2016-2017学年高中数学人教A版必修四 第三章 三角恒等变换 学业分层测评21 Word版含答案

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学业分层测评(二十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·鞍山高一检测)cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )
A．12 B．13
C．32 D．33
【解析】 原式＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12.
【答案】 A
2．已知sin α＝13，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( )

A．－3－222 B．3－226

C．3＋226 D．－3＋226
【解析】 因为sin α＝13，α是第二象限角，所以cos α＝－223，故cos(α
－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝－223×12＋13×32＝－22＋36.
【答案】 B
3．(2016·梅州高一检测)若12sin x＋32cos x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值是
( )
A．－π6 B．－π3
C．π6 D．π3
【解析】 对比公式特征知，cos φ＝32，
sin φ＝－12，故只有－π6合适．
【答案】 A
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4．sin α＝35，α∈π2，π，则cosπ4－α的值为( )
A．－25 B．－210
C．－7210 D．－725
【解析】 因为sin α＝35，α∈π2，π，
所以cos α＝－1－sin2 α＝－1－925＝－45，
所以cosπ4－α＝cosπ4cos α＋sin π4sin α，
＝22×－45＋22×35＝－210.
【答案】 B
5．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( )
【导学号：00680068】
A．0 B．1
C．±1 D．－1
【解析】 因为sin αsin β＝1，－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以

sin α＝1，sin β＝1或者sin α＝－1，sin β＝－1，解得


cos α＝0，
cos β＝0，
于是cos(α－β)＝cos αcos
β

＋sin αsin β＝1.
【答案】 B
二、填空题

6．(2016·济南高一检测)已知cosπ3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为
________．

【解析】 因为cosπ3－α＝cosπ3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin
α
＝18，
所以cos α＋3sin α＝14.
【答案】 14
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7．在△ABC中，sin A＝45，cos B＝－1213，则cos(A－B)＝________.
【解析】 因为cos B＝－1213，且0所以π2

所以sin B＝1－cos2 B＝1－－12132＝513，且0所以cos A＝1－sin2 A＝1－452＝35，
所以cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B，
＝35×－1213＋45×513＝－1665.
【答案】 －1665
三、解答题
8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求证：cos(α
－β)＝－12.
【证明】 由sin α＋sin β＋sin γ＝0，
cos α＋cos β＋cos γ＝0得
(sin α＋ sin β)2＝(－sin γ)2，①
(cos α＋cos β)2＝(－cos γ)2.②
①＋②得，2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1，
即2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.
9．已知tan α＝4 3，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．
【解】 ∵α∈0，π2，tan α＝4 3，
∴sin α＝4 3cos α，①
sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得sin α＝4 37，cos α＝17.
∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114，
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∴sin(α＋β)＝5 314.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

＝－1114×17＋5 314×4 37＝12.
∴cos β＝12.
[能力提升]
1．若α，β为两个锐角，则( )
A．cos(α＋β)>cos α＋cos β
B．cos(α＋β)C．cos(α－β)D．cos(α－β)

【解析】 cos[]α－（－β）－(cos α＋cos β)
＝cos αcos β－sin αsin β－cos α－cos β
＝cos α(cos β－1)－sin αsin β－cos β，
因为α，β是锐角，
所以cos β－1<0，cos α(cos β－1)<0，
－sin αsin β<0，－cos β<0，
故cos [α－(－β)]－(cos α＋cos β)<0，
即cos(α＋β)因为cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，
α，β均为锐角，所以cos αcos β
>0，

sin αsin β>0，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β>cos αcos β，
同理cos(α－β)>sin αsin β，故C、D错误．
【答案】 B

2．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求
β的值．
【解】 ∵π2<α－β<π，cos(α－β)＝－45，
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∴sin(α－β)＝35.
∵32π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－35，
∴cos(α＋β)＝45.
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)

＝45×－45＋－35×35＝－1.
∵π2<α－β<π，32π<α＋β<2π，
∴π2<2β<3π2，2β＝π，∴β＝π2.