计算几何算法与实现
计算几何-多边形重心公式
计算⼏何-多边形重⼼公式计算⼏何-多边形的重⼼1. 1 累加和求重⼼设平⾯上有N 个离散数据点( xi , yi ) ( i = 1, 2, ., n) , 其多边形重⼼G( . x1, . y1) 为:这是求多边形最简单直观的⽅法。
可以直接利⽤离散数据点的x, y坐标就能求图形重⼼。
但是缺陷在于没有对离散数据点所围图形做任何处理和分析,精度不够。
1. 2算法⼀：在讲该算法时，先要明⽩下⾯⼏个定理。
定理1已知三⾓形△A1A2A3的顶点坐标Ai ( xi , yi ) ( i =1, 2, 3) 。
它的重⼼坐标为: xg = (x1+x2+x3) / 3 ;yg = (y1+y2+y3) / 3 ;定理2已知三⾓形△A1A2A3的顶点坐标Ai ( xi , yi ) ( i =1, 2, 3) 。
该三⾓形的⾯积为: S = ( (x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 -y1) ) / 2 ;△A1A2A3 边界构成逆时针回路时取+ , 顺时针时取-。
另外在求解的过程中，不需要考虑点的输⼊顺序是顺时针还是逆时针，相除后就抵消了。
原理:将多边形划分成n个⼩区域, 每个⼩区域⾯积为σi ,重⼼为Gi ( xi , yi ) ,利⽤求平⾯薄板重⼼公式把积分变成累加和:由前⾯所提出的原理和数学定理可以得出求离散数据点所围多边形的⼀般重⼼公式:以Ai ( xi , yi ) ( i = 1, 2, ., n) 为顶点的任意N 边形A1A2 .An ,将它划分成N - 2个三⾓形(如图1) 。
每个三⾓形的重⼼为Gi (xi , . yi ) ,⾯积为σi。
那么多边形的重⼼坐标G( x2, .y2) 为:图1 多边形分解例题：HDU 1115 Lifting the Stone代码：如下。
1 #include2 #include3 #include4struct centre5 {6double x , y ;7 };8int cas , n ;9double Area( centre p0 , centre p1 , centre p2 )10 {11double area = 0 ;12 area = p0.x * p1.y + p1.x * p2.y + p2.x * p0.y - p1.x * p0.y - p2.x * p1.y - p0.x * p2.y;13return area / 2 ; // 另外在求解的过程中，不需要考虑点的输⼊顺序是顺时针还是逆时针，相除后就抵消了。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是计算机科学的一个重要分支，它结合了几何学与计算，研究如何使用计算方法解决几何问题。
随着计算机技术的发展，计算几何所涉及的问题越来越多，应用也变得愈加广泛。
本文将对计算几何的基本概念、应用以及相关算法进行详细讨论。
什么是计算几何计算几何是研究几何对象及其关系，使用算法和数据结构来解决几何问题的领域。
其主要研究内容包括点、线、面、体及其组合的性质和运算，如距离、夹角、面积、交点等。
它在处理具有空间特征的问题时显得尤为重要，例如计算机图形学、机器人导航、地理信息系统（GIS）、CAD（计算机辅助设计）等领域。
基本概念几何对象：在计算几何中，最基本的几何对象包括点、线段、多边形、多面体等。
空间维度：计算几何可分为一维（线）、二维（平面）和三维（空间）。
不同维度的几何问题解决方法有所不同。
组合几何：研究有限点集之间的组合关系，例如点与点之间的连线构成的图形。
算法复杂性：在解决几何问题时，算法的时间复杂性与空间复杂性是一个重要考量因素。
常用的数据结构包括平衡树、链表、栈等。
计算几何中的基本算法在计算几何中，有许多经典算法可以用来解决各种问题。
以下是一些重要的算法：凸包算法凸包是指一个点集的最小凸形状。
在二维平面上，凸包可以想象成一个橡皮筋套在点集周围。
常用的计算凸包的算法有：Graham扫描算法：先选择一个基准点，然后根据极角对其他点进行排序，最后通过规则判断哪些点构成凸包。
Jarvis行走法：从一个极点开始，不断找到下一个最远的点，直到回到起始点。
最近点对给定一组点，寻找其中距离最近的一对点。
常见的方法有：暴力搜索法：逐一比较每对点，时间复杂度为O(n^2)。
分治法：通过划分空间减少比较次数，时间复杂度降至O(n log n)。
线段相交判断两条线段是否相交是一个基本问题，可用于图形碰撞检测。
常用方法包括：扫动线法：以一条假想的垂直线从左到右移动，并利用事件队列存储可能相交的线段。
二分法程序实现平面区域计算几何
二分法程序实现平面区域计算几何计算几何是一门研究不同形状的几何图形之间的关系和属性的学科。
而平面区域计算几何则是研究平面上的区域和图形之间的关系和属性的领域。
在平面区域计算几何中，二分法是一种常见且有效的算法，能够在相当快的时间内对平面上的区域和图形进行分析和计算。
下面将介绍如何使用编程语言实现二分法程序，在计算几何问题中应用。
一、二分法算法二分法是一种基于分治思想的高效算法，其核心思想是通过将一个问题拆分为多个子问题，逐步缩小问题规模，最终得到问题的解。
在平面区域计算几何中，二分法通常被用来确定一个区域中特定位置的坐标或特定图形的性质。
下面是二分法的伪代码：```// 求解特定区域中位置的坐标或图形的性质low = 区域左下角坐标high = 区域右上角坐标while low < high:mid = (low + high) / 2if 满足条件1:high = midelse:low = mid + 1// 返回满足条件的坐标或性质return low```在二分法算法中，我们需要定义满足条件1的规则，以便在分治过程中快速定位目标区域。
对于不同问题，这个规则有很大的差异。
二、应用二分法算法解决平面区域计算几何问题使用二分法实现平面区域计算几何，需要先定义问题，然后才能确定条件1和算法规则。
这里我们的例子是一个简单的问题：给定一个二维平面上的矩形区域和一个内部点P，求该点到矩形的距离。
这个问题在计算机图形学和计算几何中是一个经典问题，可以应用于线段和多边形的求解。
二分法的核心是分治，所以我们首先要将问题分解为多个子问题，然后使用递归算法来解决它。
在这个问题中，我们可以使用水平线和垂直线将矩形划分成9个小矩形（包括本身）。
然后对每个小矩形重复这个过程，直到我们找到包含点P的最小矩形。
这个过程可以看做是一个模板，我们可以在这个过程中填充我们自己定义的条件1和算法规则。
代码实现如下：```// 定义一个二维点类class Point {double x;double y;}// 定义一个矩形类class Rect {Point topLeft;Point bottomRight;}// 定义一个函数来计算点到矩形的距离double distanceFromPointToRect(Point p, Rect rect) {// 判断点是否在矩形内if (p.x >= rect.topLeft.x && p.x <= rect.bottomRight.x &&p.y >= rect.topLeft.y && p.y <= rect.bottomRight.y) {return 0;}// 判断点在矩形的上下左右哪个区域double dx = 0.0, dy = 0.0;if (p.x < rect.topLeft.x) {dx = p.x - rect.topLeft.x;} else if (p.x > rect.bottomRight.x) {dx = p.x - rect.bottomRight.x;}if (p.y < rect.topLeft.y) {dy = p.y - rect.topLeft.y;} else if (p.y > rect.bottomRight.y) {dy = p.y - rect.bottomRight.y;}// 如果点在矩形的左上角、右上角、右下角或者左下角，直接返回距离if (dx == 0.0 || dy == 0.0) {return sqrt(dx*dx + dy*dy);}// 查找包含点P的最小子矩形Rect subRect = null;while (true) {// 将当前矩形平分为4个子矩形double midX = (rect.topLeft.x + rect.bottomRight.x) / 2.0;double midY = (rect.topLeft.y + rect.bottomRight.y) / 2.0;Rect[] subRects = {new Rect(rect.topLeft, new Point(midX, midY)),new Rect(new Point(midX, rect.topLeft.y), newPoint(rect.bottomRight.x, midY)),new Rect(new Point(midX, midY), rect.bottomRight),new Rect(new Point(rect.topLeft.x, midY), new Point(midX, rect.bottomRight.y))};// 判断点所在的子矩形if (p.x < midX) {if (p.y < midY) {subRect = subRects[0];} else {subRect = subRects[1];}} else {if (p.y < midY) {subRect = subRects[3];} else {subRect = subRects[2];}}// 如果包含点，则递归实现求解if (p.x >= subRect.topLeft.x && p.x <= subRect.bottomRight.x &&p.y >= subRect.topLeft.y && p.y <= subRect.bottomRight.y) {return distanceFromPointToRect(p, subRect);}// 否则将包含点的子矩形作为下一个矩形继续递归分治rect = subRect;}}```这个算法基于二分法思想，分治过程中计算出点P到矩形最小矩形的距离，最终得出点P到矩形的距离。
计算几何算法
计算几何算法计算几何学是一门复杂而又深入的学科，它将数学和计算机科学结合在一起，用于对空间几何问题提出数学和计算机科学方法的解决方案。
计算几何学研究的主要内容包括几何计算、几何分析、图形处理等等。
计算几何学的研究可以追溯到古希腊的几何学，但它作为现代科学的一个分支是在20世纪60年代开始发展的。
在这50多年的发展中，计算几何学逐渐发展出一系列算法以解决各种几何问题。
计算几何学的算法分为基本算法和高级算法。
基本算法主要包括点位置检查算法、距离计算算法、可视性分析算法、图算法等等。
例如，点位置检查算法是一种用于判断两个点在三维空间中的关系的算法，距离计算算法用于计算两点在三维空间中的距离，可视性分析算法用于检测两个几何物体之间的可视性，而图算法则是用于建模空间结构和做几何计算的一类算法。
除了基本算法外，计算几何学还涉及一些高级算法，如几何建模算法、线性规划算法、最短路径算法、剖面分析算法等。
几何建模算法用于模拟物体的表面形状，利用该算法可以建立更真实的虚拟模型。
线性规划算法用于解决线性优化问题，可以用来找出最优路径。
最短路径算法用于求解具有权重的网络最短路径，是图论中应用最广泛的算法之一。
最后，剖面分析算法则是一种用于求解物体表面剖面的算法，可以帮助分析物体的结构和性质。
计算几何学的算法可以应用于各种空间几何问题的求解，为计算机视觉、图形学以及制造等领域提供了强大的算法支持。
计算几何学算法在空间几何问题领域中占据着重要的地位，在各种空间几何计算中得到了广泛的应用。
随着计算机技术的不断发展，计算几何学算法也在不断的完善和改进，使得计算几何学能够更加有效的解决空间几何问题，为解决现实世界中的各种复杂问题提供了强有力的技术支持。
展望未来，计算几何学将继续发展壮大，发展出更加强大的算法，为人类带来更多惊喜和机遇。
信息学竞赛中的计算几何问题与算法
信息学竞赛中的计算几何问题与算法计算几何是信息学竞赛中的一个重要篇章，它将几何学和计算机科学相结合，利用算法和数据结构解决实际问题。
在本文中，我们将探讨信息学竞赛中的计算几何问题以及相应的算法。
一、点和线的处理信息学竞赛中，点和线的处理是最基础的问题之一。
常见的问题有求两点之间的距离、点是否在线段上、点是否在多边形内、线段是否相交等。
对于求两点之间的距离，我们可以利用勾股定理进行计算。
假设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则距离d可以通过以下公式计算：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。
判断点是否在线段上可以利用叉积的性质。
设点A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，则若AB和AC的叉积等于0，即(x2-x1)*(y3-y1) - (x3-x1)*(y2-y1) = 0，点C在线段AB上。
判断点是否在多边形内可以利用射线法。
假设有一条射线从当前点发出，若与多边形的边交点数为奇数，则点在多边形内；若为偶数，则点在多边形外。
判断线段是否相交可以利用线段相交的充要条件。
对于两条线段AB和CD，若AC和AD的叉积和BC和BD的叉积异号，并且CA和CB的叉积和DA和DB的叉积异号，则线段AB和CD相交。
二、面积和重心的计算另一个重要的计算几何问题是求解多边形的面积和重心。
多边形的面积可以通过求解多边形顶点的坐标和来计算，其中x[i]和y[i]分别表示第i个顶点的横坐标和纵坐标。
根据公式：Area = 0.5 * (x[0]*y[1] +x[1]*y[2] + ... + x[n-1]*y[0] - x[1]*y[0] - x[2]*y[1] - ... - x[0]*y[n-1])，即可求得多边形的面积。
多边形的重心是指多边形所有顶点的平均位置，计算重心的坐标可以通过求解多边形每个顶点和重心的横纵坐标之和的平均值来得到。
重心的横坐标的计算公式为：x = (x[0] + x[1] + ... + x[n-1]) / n，纵坐标的计算公式为：y = (y[0] + y[1] + ... + y[n-1]) / n。
给定平面上的n个点,求距离最近的两个点的距离。c语言
给定平面上的n个点,求距离最近的两个点的距离。
c语言给定平面上的n个点，我们需要找到距离最近的两个点之间的距离。
这是一个常见的计算几何问题，在计算机科学中有很多有效的算法可以解决这个问题。
在本文中，我们将使用C语言来实现一个简单但有效的算法来求解这个问题。
首先，我们需要定义一个点的结构体来表示平面上的点。
点结构体可以包含两个成员变量，分别表示x和y坐标。
cstruct point {double x;double y;};接下来，我们需要实现一个计算两点之间距离的函数。
根据欧几里得距离公式，两点之间的距离可以通过下列公式计算得出：cdouble distance(struct point p1, struct point p2) {double dx = p1.x - p2.x;double dy = p1.y - p2.y;return sqrt(dx * dx + dy * dy);}现在我们已经有了计算距离的函数，接下来我们将介绍一种简单但有效的算法来找到距离最近的两个点。
我们首先需要将所有的点按照x坐标进行排序。
使用快速排序算法可以很高效地实现这一步。
cvoid quickSort(struct point arr[], int low, int high) {if (low < high) {int pivot = partition(arr, low, high);quickSort(arr, low, pivot - 1);quickSort(arr, pivot + 1, high);}}int partition(struct point arr[], int low, int high) {struct point pivot = arr[high];int i = (low - 1);for (int j = low; j <= high - 1; j++) {if (arr[j].x <= pivot.x) {i++;swap(&arr[i], &arr[j]);}}swap(&arr[i + 1], &arr[high]);return (i + 1);}void swap(struct point* a, struct point* b) {struct point temp = *a;*a = *b;*b = temp;}在完成排序之后，我们可以使用分治算法来找到最近的两个点。
计算几何中的交点检测算法研究
计算几何中的交点检测算法研究计算几何是一门研究几何形体与计算机表示与处理的学科。
其中，交点检测算法是计算几何中的重要内容之一，它能够在运用中涉及到多种场合，如矢量图形编辑器、计算机辅助设计(CAD)等领域。
本文将基于此进行研究。
一、计算几何中的交点检测算法意义计算几何中的交点检测算法是指根据输入的变量，判断它们是否有交点的一种算法。
简单来说，就是当我们需要判断两个图像是否相交时，通过计算两者之间是否存在交点来得出结论。
这种算法在矢量图形的绘制以及计算机辅助设计中得到广泛应用。
二、计算几何中交点检测算法的部分实现方法下面我们将介绍几种实现交点检测的常见方法，它们分别是：扫描线算法、随机增量法、新是赋权法和线段树法。
1. 扫描线算法扫描线算法通过将图形分割成一系列的横向均匀间隔的线段，并将其存放到二叉搜索树中，来判断两个图像之间是否存在交点。
通过该算法可以实现对图像的快速处理，同时也能够减少计算量。
但是使用此方法需要做好数据的预处理工作，否则算法复杂度会变得比较高，而时间和空间成本也会变得高昂。
2. 随机增量法随机增量法是通过随机选择一个点作为增量向量，来确定一个合理的交点。
本方法也可以支持多边形的交点检测。
其最大的优点就是运行速度快，但缺点在于结果的可靠性不是太高，需要对一些特殊情况作出特殊处理，否则容易出现计算错误的情况。
3. 新是赋权法新是赋权法主要是通过每个交点赋权进行筛选，然后根据权值大小来确定是否为合格交点。
该算法的优点在于运算简单，但缺点在于精度会受到赋权参数的影响，如果不恰当设置赋权参数可能会出现误差。
4. 线段树法线段树法是一种基于线段树数据结构的算法。
通过构建线段树，将多边形分为若干的子区域，并将其插入到线段树中，从而实现多边形的交点检测。
该算法可以有效地减少计算复杂度，同时，也能够精准的检测两个图形之间的交点。
三、总结交点检测算法的运用非常广泛，无论是在几何图形处理中还是在计算机辅助设计中都有着重要的作用。
计算几何教程
多边形的记录一般以顺次记录其顶点的方式完成， 即顺次记录组成多边形的线段。方向一般为逆时针。
判断点在多边形内外
以要判断的点为起点任作一射线，计算该射线与多边 形的交点数目。
若有偶数个交点则在形外，否则在形内。 若与线段在端点处相交或重合，则要进行复杂的判断。
Graham 扫描的时间复杂度
这太傻缺了。算法的瓶颈在排序，所以时间复杂度
是 O(N log N)。
若坐标均为整数，可以用基数排序将复杂度优化到
O(N)。
旋转卡壳算法
如何计算 N 个点中，距离最大的两个点的距离？ 要求 O(N log N) 的算法。
容易证明距离最大的两个点一定是凸包上的两个点， 很明显是先求凸包然后做文章啦。
每次顺次枚举多边形的边，与半平面求交，并将交 的部分加入新多边形。
在得到半平面边界与凸多边形所交形成的边时，立 即将其加入新多边形。
算法演示
值得注意的边界情况 1
值得注意的边界情况 2
值得注意的边界情况 3
合计 O(NlogN) 的算法
这是朱泽园在其国家集训队论文《半平面交的新算 法及其实用价值》中提出的算法。
注意不只有“点 – 点”的情况，还有“点 – 边”和 “边 – 边”的情况。这些情况下要枚举所有的点对。
虽然看上去很简单，但是写起来还是要颇费一番周 折的。
旋转卡壳练习题
POJ 2178 求点集中最远点 POJ 3608 求两凸包间的最近点 POJ 2079 求以点集中的点为顶点组成的三角形的
矢量的表示
点积
夹角
矢量的垂直
计算几何 最小圈
计算几何最小圈
在计算几何中，最小圈是包含给定点集的最小的圆。
也可以称之为最小包围圆或最小外接圆。
求解最小圈的常用算法是Welzl 算法（也称为随机增量法）和Graham's Scan算法。
以下是一般的最小圈求解步骤：
1.输入点集：给定一组点集P。
2.初始化最小圈：选择初始最小圈C，可以是一个已知的圆
（如两个点之间的线段的中点为圆心，半径为两端点之间
的距离的一半），或者一个空圆。
3.递归算法：使用递归算法依次考虑每个点p属于P。
对于
每个点p，进行以下判断：
o如果点p在当前最小圈C内，则继续处理下一个点。
o如果点p在当前最小圈C外，则更新最小圈C使之包含点p，并递归地考虑剩余点集。
4.递归基：当递归到只剩下一个点或没有点时，结束递归，
最小圈已经找到。
5.输出最小圈：返回找到的最小圈C作为结果。
最小圈的求解算法可以根据具体情况进行优化，例如根据点的位置进行顺序处理，避免计算不必要的点。
Welzl算法和Graham's Scan算法都能在较高效的时间复杂度内找到最小圈。
需要注意的是，最小圈的求解问题可以有多种变种和扩展，具体算法和实现因问题和条件的不同而有所差异。
计算几何---多边形三角剖分算法研究与实现（1）：多边形单调划分
计算⼏何---多边形三⾓剖分算法研究与实现（1）：多边形单调划分1概述多边形三⾓剖分是计算⼏何( Computational Geometry)中的经典问题，起源于⼀个有趣的艺术画廊问题。
⽬前有很多不同的算法实现了对多边形的三⾓剖分，三⾓化算法所追求的⽬标主要有两个：形状匀称和计算速度快，这也决定了多边形三⾓剖分的两个不同的应⽤⽅向。
在形状匀称⽅⾯，⼈们对三⾓化的性质、形状最优准则及算法进⾏了深⼊研究，采⽤较多的是 Delaunay 准则。
这些算法在保证形状匀称的前提下，也尽可能考虑了提⾼计算速度。
在有限元分析等许多应⽤场合三⾓形匀称是必须的，对单元质量是有⼀定要求的。
但有些应⽤场合对三⾓形匀称性的要求不⾼，甚⾄没有匀称性要求。
例如⽤ OpenGL显⽰图形时，不同的三⾓化策略对图形效果基本没有影响。
在三⾓化时考虑匀称性，会使算法思想受到限制，从⽽影响算法效率。
因此追求较⾼计算效率的三⾓化算法还是有意义的。
本⽂所探讨的即是时间复杂度为O(n log n)的多边形三⾓剖分算法,这也是很多经典计算⼏何教材所给出的经典算法。
此算法的核⼼思想是⾸先对多边形进⾏单调划分，也就是将多边形分解为若⼲个单调多边形，然后再对单调多边形进⾏三⾓剖分，最终⽣成对初始多边形的三⾓剖分。
1基本概念简单多边形（Simple Polygon）：由单个不相交的封闭的多边形链围成的图形。
（不含孔洞、边不相交）多边形的三⾓剖分（Triangulation）：通过⼀组极⼤地互不相交的对⾓线，将⼀个多边形分解为多个三⾓形的集合。
定理1：任何简单多边形都存在（⾄少）⼀个三⾓剖分，若其顶点数⽬为n，则它的三⾓剖分结果中包含n-2个三⾓形。
定理2：（艺术画廊定理）包含n个顶点的任意简单多边形，（在最坏的情况下）最多只需要n/3台摄像机就能保证多边形中的任何⼀点都可见于⾄少⼀台摄像机。
定理3：任何⼀个包含n个顶点的简单多边形，总可以在O(n log n)时间内在多边形中确定n/3台摄像机的位置，使得多边形中任⼀点可见摄像机。
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计算几何算法与实现
计算几何算法是计算机科学领域中的一个重要分支，其主要研究对象是在计算机中对几何形体的描述、计算和变换。
计算几何算法包括点、线、多边形、曲线、曲面等几何形体的基本操作，如插值、拟合、裁剪、交、并、差、距离、相似变换、仿射变换、透视变换等。
在实际应用中，计算几何算法被广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计、计算机视觉、机器人、计算机动画等领域。
本书旨在系统介绍计算几何算法及其实现方法，涵盖了点、线、多边形、曲线、曲面等几何形体的基本操作及其应用。
本书共分为四个部分。
第一部分介绍计算几何算法的基础知识，包括坐标系、向量、点乘、叉乘、向量长度、向量夹角等概念。
第二部分重点介绍计算几何算法的基本操作，包括点、线、多边形、曲线、曲面的插值、拟合、裁剪、交、并、差、距离等。
第三部分介绍计算几何算法的应用，包括计算机图形学、计算机辅助设计、计算机视觉、机器人、计算机动画等领域的常用算法及其实现方法。
第四部分介绍计算几何算法的最新进展，包括深度学习、机器学习、数据挖掘等领域中的应用。
本书的目标读者为计算机科学及相关专业的本科、研究生学生，以及从事计算机图形学、计算机辅助设计、计算机视觉、机器人、计算机动画等领域工作的专业人员。
本书既可作为高校计算几何算法课程的教材，也可作为相关领域从业人员的参考书。
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