无穷小的比较教案
高数教案_无穷小比较7
课 题: 无穷小量的比较 目的要求：了解高阶，同阶，等价，k 阶无穷小量的定义熟练掌握等价无穷小量的应用掌握x 0时，常用的等价无穷小量 教学重点：熟练掌握等价无穷小量的定义与应用 教学难点：熟练掌握等价无穷小量的定义与应用 教学课时： 2教学方法：讲练结合 教学内容与步骤：无穷小的比较：同一极限过程中的无穷小量趋于零的速度不一相同，我们用两个无穷小量的比值的极限来衡量这两个无穷小量趋于零的快慢速度。
同时，研究这个问题能得到一种求极限的方法 一般, 无穷小量的商有下列几种情形设α(x )与β(x )是同一极限过程中的两个无穷小量：lim α(x )=0, lim β(x )=0. 定义 设lim α(x )=0, lim β(x )=0. ()(1) lim0,()x x αβ=若则称α(x )是比β(x )高阶的无穷小量, 记作, α(x )=o (β(x )) 或称β(x )是比α(x )低阶的无穷小量, ()lim()x x βα=∞若,则称β(x )是比α(x )低阶的无穷小量.()(2) lim,(0)()x A A x αβ=≠若，则称α(x )是β(x )的同阶无穷小量，记作, α(x )=O (β(x ))，特别的，当A=1时，则称α(x )与β(x )是等价无穷小量，记作：α(x )~ β(x ) 例如，0sin lim1x xx→=即sin ~(0)x x x →；201cos lim 12x x x →-=即21cos ~(0)2x x x -→． 定理 设(1)~,~a a ββ''；(2)lim(),A a β'=∞'或 则limlim()A aa ββ'==∞'或．证：limlim lim lim lim lim ().a a A a a a a a a ββββββββ'''''⎛⎫==⋅⋅==∞ ⎪'''''⎝⎭或 推论：设~,~a a ββ'',若()lim f x αβ存在或为无穷大，则：''()lim f x αβ=()lim f x αβ推论：设~a a ',若lim ()f x α存在或为无穷大，则：'lim ()f x α= lim ()f x α 总结：无穷小量的运算过程中，运算式先化为乘积形式，再用等价无穷小量去代换。
无穷小的比较
无穷小的比较教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
教学重点：用等价无穷小求极限教学过程：一、讲授新课：在第三谈中我们探讨了无穷小的和、高、内积的情况，对于其商会发生相同的情a0b00mnmnmn况，例如：lima0xb0xnmx?0?limxx?0n?m?a0b0（a0,b0为常数，m,n为自然数）可见对于m,n取不同数时，a0xn与b0xm趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：定义：设立?与?为x在同一变化过程中的两个无穷小，(i)若lim(ii)0，就说?是比?高阶的无穷小，记为??o(?)；若lim，，就说道?就是比?低阶的无穷小；，，就说?是比?同阶的无穷小；(iii)若lim(iv)【基准1】若lim?c?0?1，就说?与?是等价无穷小，记为?~?。
当x?0时，x2就是x的高阶无穷小，即x2?o(x)；反之x就是x2的低阶并无穷小；x2与1?cosx是同阶无穷小；x与sinx是等价无穷小，即x~sinx。
备注1：高阶无穷小不具备等价赋值性，即为：x2?o(x),x2?o(x)，但o(x)?o(x)，因为o(?)不是一个量，而是高阶无穷小的记号；2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；3：等价无穷小具备传递性：即为?~?,?~~?；14：未必任一两个无穷小量都可以展开比较，比如：当x?0时，xsinxsin1x1x与x2既非同阶，又无高低阶可比较，因为limx?0x2不存在；5：对于无穷大量也可为相似的比较、分类；6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：定理：若?,?,??,??均为x的同一变化过程中的无穷小，且?~??,?~??，及mil那么lim【基准2】lim?，2。
求lim1?cosxsinxx?0解：因为当x?0时，sinx~x所以lim1?cosxsin2x?0xx?0?lim1?cosxx2x?0?12。
【基准3】谋limarcsin2xx?2x2x2解：因为当x?0时，arcsin2x~2x，所以原式?limx?0x?2x2?lim2x?2x?0?22?1。
无穷小的比较教案
定义：设 与 为 在同一变化过程中的两个无穷小，
(i)若 ，就说 是比 高阶的无穷小，记为 ；
(ii)若 ，，就说 是比 低阶的无穷小；
(iii)若 ，，就说 是比 同阶的无穷小；
(iv)若 ，就说 与 是等价无穷小，记为 。
二、课堂练习：
三、布置作业：
注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。
参考教材
[1]郭运瑞，陈付贵.高等数学（上册）.北京：人民教育出版社，2009
[2]李进金.高等数学（上册）.南京：南京大学出版社，2006
课外作业
课后体会
学完本节课要理解无穷小比较的定义，要牢记课上总结的常见等价无穷小，等价无穷小替换时求极限的一种重要方法，做题时要注意正确的替换方法，在加减法中千万不能用等价无穷小替换，要结合例题和习题掌握牢固和熟练。
教学方法
根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。
教学手段
传统教学与多媒体资源相结合。
一、讲授新课：
在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如： （ 为常数， 为自然数）
5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类；
6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：
定理：若 均为 的同一变化过程中的无穷小，且 ，及 ，那么 。
【例2】求 。
解：因为当 时，
所以 。
【例3】求
解：因为当 时， ，
所以原式 。
高数教案 两个重要极限及无穷小的比较
两个重要极限和无穷小的比较
授课类型
理论课
首次授课时间
年 月 日
学时
2
教学目标
1、掌握两个重要极限的一般形式及特点
2、会运用两个重要极限求相关极限
3、理解等价，同阶，高阶无穷小
重点与难点
重要极限的运用
教学手段与方法
1 、多媒体 PPT 教学 2 、课堂讲解3 、学生练习
教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分具体内容、时间分配等）
说明：（1）这个重要极限主要解决含有三角函数的 型极限．
（2）为了强调其一般形式,我们把它形象地写成 (方框□代表同一变量)．
例6求 .
解
例7求 .
解 ．
例8 求 ．
解
由例7知
故
2. EMBED Equation.3 ．
解释说明：列出 的数值表(如下表)，观察其变化趋势.
1
2
3
4
5
10
100
1000
(2)若 ，则称 与 是同阶无穷小，特别地，若 ，则称 与 是等价无穷小，记为 ．
例如， 即 ；
即
定理 设 ；
则 ．
例12求 ．
解当 时， , ,
所以
例13 求
解 因为当 时, ,
,所以
常用的几个等价无穷小代换
当 时,有
小结：一、两个重要极限
二、无穷小的比较
思考题、讨论题、作业
思考题1.下列运算错在何处：
10000
…….
2
2.250
2.370
2.441
2.488
2.594
2.705
2.717
2.718
无穷大与无穷小课程教案
当 时， 都趋于0
当 时， 都趋于0,、
2、无穷小的性质
（1）有限个无穷小代数和仍为无穷小；
（2）常数与无穷小之乘积仍为无穷小；
（3）有限个无穷小乘积仍为无穷小；
（4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
在某个变化过程中，limf(x) f(x)-A是一个无穷小
二、无穷大
（1） ，当 时， ；
（2） ，当 时， ；
（3） ，当 时， ；
定义：某一变化过程中，其绝对值无限增大的变量，称为无穷大量，简称无穷大.
当 时， 和 都是无穷大量；
当 时， 、 都是无穷大量；
在自变量的同一变化过程中，如果 是无穷大，则 是无穷小，反之如果 都是无穷小，且 ，则 是无穷大.
三、无穷小的比较
在同一变化过程中，两个无穷小的和、差、积仍都是无穷小量，那么，两个无穷小量的商仍会出现什么情况呢？
当 时， 都是无穷小量，那么两个无穷小量的商会出现什么情况呢？
当 时， 都Байду номын сангаас无穷小量，而 ，
，
出现不同情况的原因是他们趋向于0的快慢程度不同.
定义：在同一个变化过程中
（1）如果 则称 是比 较高阶的无穷小，记作 .
课程教案
教学内容
无穷大与无穷小
教学时数
1
教学地点
汇智楼303
教学对象
2014财务八班
教学目的
了解无穷大与无穷小的概念，及其比较的概念
教学重点
无穷小的比较及等价无穷小的应用
教学过程
教学步骤及教学内容
一、无穷小
1、观察下列几个函数的极限：
无穷小的比较
教学重点：用等价无穷小求极限
教学过程：
一、讲授新课：
在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如： （ 为常数， 为自然数）
可见对于 取不同数时， 与 趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：
定理4：设函数 在点 连续，且 ，函数 在 点连续，那么，复合函数 在点 处连续。
注3：定理3、4说明 与 的次序可交换。
注4：在定理3中代入 ，即得定理4。
【例1】 由于 （ 为正整数）在 上严格单调且连续，由定理2，其反函数 在 上也严格单调且连续，进而：对于有理幂函数 （ 为正整数）在定义上是连续的。
综合以上结果，得：基本初等函数在其定义域内都是连续的，由基本初等函数的连续性，及定理1～4，即得：
结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
注1：定义区间为包含在定义域内的区间；
2：在§1.9，我们是用极限来证明连续，现在可利用函数的连续来求极限。
【例3】 。
【例4】 。
【例5】
。
三、课堂练习：
四、布置作业：
定理2（反函数的连续性）：如果 在区间 上单值，单增（减），且连续，那么其反函数 也在对应的区间 上单值，单增（减），且连续。
注1： 亦为 的反函数，如上知： 在 上有上述性质。
定理3：设 当 时的极限存在且等于 ，即 ，又设 在 处连续，那么，当 时，复合函数 的极限存在，且等于 ，即 。
注2：可类似讨论 时的情形。
6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：
定理：若 均为 的同一变化过程中的无穷小，且 ，及 ，那么 。
【例2】求 。
解：因为当 时，
高等数学的教学课件1-7无穷小的比较
0
0
定义3 如果x 时 ( x)是无穷小， 且lim ( x) L 0,
1 xk
则x 时 ( x)是关于 1 x的k阶的无穷小;
二、等价无穷小的性质
性质1 ~ o( ).
证 lim 1 lim( 1) lim
lim 1 lim 0
~ o( ).
v
1 v1
lim lim u1 lim 1
1
v 1
lim u1 . v 1
说明: 在求极限的过程中，分子或分母中的因子， 可用其等价无穷小替换。
常用等价无穷小:
假设( x)是不取0值的无穷小,则：
~ sin ~ tan ~ arcsin ~ arctan, ~ e 1 ~ ln(1 ), (1 ) 1 ~ , 1 cos ~ 1 2.
x0
sin 3x
解 tan 5x ~ 5x, sin 3x ~ 3x, 1 cos x ~ 1 x2.
2
原式 lim tan 5x lim1 cos x
x0 sin 3x x0 sin 3x
lim
5x
lim
1 2
x2
5 0 5.
x0 3x x0 3x 3
3
原式X
5x lim
x0
1 2
3x
x2
5 3
例4 求 lim ln(e x sin2 x) x . x0 ln(e 2 x x 2 ) 2 x
解 ln(e x sin2 x) x ln e x (1 ex sin2 x) x ln(e2x x 2 ) 2 x ln e2x (1 e2x x 2 ) 2 x
2
例1 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
大一高数课件 ch2-6无穷小的比较
三、小结
1. 无穷小的比较
反映了同一过程中, 反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 快慢 但并不是所有的无穷小都可进行比较 阶无穷小; 高(低)阶无穷小 等价无穷小 无穷小的阶 低 阶无穷小 等价无穷小; 无穷小的阶.
2. 等价无穷小的代换 等价无穷小的代换:
(1 + ax ) − 1 6. lim =_________. x →0 x 3 时 7. 当x → 0时, a + x − a ( a > 0) _______阶无穷小 对于 x 是_______阶无穷小 . n 等价， 8. 当x → 0时, 无穷小 1 − cos x 与 mx 等价，则 时 m = _______, n _______ .
tan 2 x 例３ 求 lim . x →0 1 − cos x
1 2 解 当x → 0时, 1 − cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 = lim = 8. x→0 1 → 2 x 2
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积， 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限． 穷小代换，而不会改变原式的极限．
2
( x + 1) sin x . 例４ 求 lim x → 0 arcsin x
解
当x → 0时, sin x ~ x , arcsin x ~ x . ( x + 1) x = lim( x + 1) = 1. 原式 = lim x →0 x →0 x
不能滥用等价无穷小代换. 注意 不能滥用等价无穷小代换 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 因子作等价无穷小代换 对于代数和中各无穷小不能分别代换. 对于代数和中各无穷小不能分别代换.
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6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：
定理：若 均为 的同一变化过程中的无穷小，且 ，及 ，那么 。
【例2】求 。
解：因为当 时，
所以 。
【例3】求
解：因为当 时， ，
所以原式 。
7：在目前，常用当 时，等价无穷小有：
；
8：用等价无穷小代换适ห้องสมุดไป่ตู้于乘、除，对于加、减须谨慎！
可见对于 取不同数时， 与 趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：
定义：设 与 为 在同一变化过程中的两个无穷小，
(i)若 ，就说 是比 高阶的无穷小，记为 ；
(ii)若 ，，就说 是比 低阶的无穷小；
(iii)若 ，，就说 是比 同阶的无穷小；
(iv)若 ，就说 与 是等价无穷小，记为 。
【例1】当 时， 是 的高阶无穷小，即 ；反之 是 的低阶无穷小； 与 是同阶无穷小； 与 是等价无穷小，即 。
注1：高阶无穷小不具有等价代换性，即： ，但 ，因为 不是一个量，而是高阶无穷小的记号；
2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；
3：等价无穷小具有传递性：即 ；
4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当 时， 与 既非同阶，又无高低阶可比较，因为 不存在；
高等数学教案
授课班级
授课教师
教案
教师姓名
周萌
授课班级
授课形式
启发、讲授、
授课日期
授课时数
2
授课章节
名称
§1-7无穷小的比较
教学目的
要求
1、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；
2、熟记一些常见的等价无穷小；
教学重点与难点
1、常见的等价无穷小的推导；
2、等价无穷小求极限；
学情分析
我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。
教学方法
根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。
教学手段
传统教学与多媒体资源相结合。
一、讲授新课：
在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如： （ 为常数， 为自然数）
二、课堂练习：
三、布置作业：
注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。
参考教材
[1]郭运瑞，陈付贵.高等数学（上册）.北京：人民教育出版社，2009
[2]李进金.高等数学（上册）.南京：南京大学出版社，2006
课外作业
课后体会
学完本节课要理解无穷小比较的定义，要牢记课上总结的常见等价无穷小，等价无穷小替换时求极限的一种重要方法，做题时要注意正确的替换方法，在加减法中千万不能用等价无穷小替换，要结合例题和习题掌握牢固和熟练。