1.1.1算法的概念
1.1.1 算法的概念(共34张PPT)
算法与一般意义上具体问题的解法既有联系又有区别,它 们之间是一般与特殊、 抽象与具体的关系.算法的获得要借助于一般 意义上具体问题的求解方法,而任何一个具体问题都可以利用这类 问题的一般算法来解决.在解决某些问题时,需要设计出一系列可操 作或可计算的步骤,这些步骤称为解决这些问题的算法.这种用步骤 呈现解决问题过程的思想方法称为算法的思想.
设计含有判断条件的算法时,往往是先判断条件,再根据条件是 否成立,设计不同的步骤.
题型三
设计含有重复步骤的算法
【例题 3】写出求 1×2×3×4×5×6 的算法. 分析:思路一:采取逐个相乘的方法;思路二:由于重复作乘法,故可以 设计作重复乘法运算的步骤. 算法 1:第一步,计算 1×2 得到 2. 第二步,将第一步的运算结果 2 乘 3,得到 6. 第三步,将第二步的运算结果 6 乘 4,得到 24. 第四步,将第三步的运算结果 24 乘 5,得到 120. 第五步,将第四步的运算结果 120 乘 6,得到 720. 算法 2:第一步,输入 n 的值 6. 第二步,令 i=1,S=1. 第三步,判断“i≤n”是否成立,若不成立,输出 S,结束算法;若成立, 执行下一步. 第四步,令 S 的值乘 i,仍用 S 表示,令 i 的值增加 1,仍用 i 表示, 返回第三步.
1.理解算法的概念 剖析:(1)算法可以理解为按照一定规则解决某一类问题所构成 的完整的解题步骤,或看成按要求设计好的有限的确切的计算序列, 并且这样的步骤或序列能够解决一类问题. (2)展现方式:算法常用下列方式来表示: 第一步,…… 第二步,…… 第三步,…… …… (3)描述算法可以有不同的方式:文字、图形、符号. (4)算法是机械的,有时要进行大量的重复计算,只要按部就班地 去做,总能算出结果,通常把算法过程称为“数学机械化”,其最大优 点是可以让计算机来完成. (5)求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个,可能有不同 的算法.
课件11：1.1.1 算法的概念
【素养提升】
1．算法与数学问题解法的联系与区别 (1)联系 算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系． (2)区别 算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也可理解 为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过 程和步骤，是具体的解题过程．
2．设计算法应注意的问题 (1)要保证算法正确，符合运算规则，且计算机能够执行，例如： 对于计算类问题的算法设计，需确保每个计算公式都是正确的． (2)每一个步骤都有一个明确的计算任务． (3)对重复操作步骤作返回处理． (4)要使算法尽量简单、步骤尽量少，每一步骤的语言描述要准 确、简明．
(5)算法并不一定是唯一的，例如：对于某些计算类问题的算法设 计，有时可能会有多种计算方法． (6)写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数 n(n>1) 是否为质数；求任意一个方程的近似解；…)，并且能够重复使用． (7)对于非计算类问题的算法设计，关键是要将其中的逻辑关系理 清楚，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法．
S1 输入 a 的值．
S2
计算高
h＝
3 2 a.
S3 计算 S＝12ah＝12a× 23a＝ 43a2.
S4 输出 S.
【方法归纳】 设计一个具体算法的步骤 (1)认真分析问题，找出解决此问题的一般数学方法． (2)借助有关变量或参数对算法加以表述． (3)将解决问题的过程划分为若干步骤． (4)用简单的语言将步骤表示出来． [注意] 设计的算法要能重复使用.
【解析】 ①中给出了一元一次方程这一类问题的解决方式； ②中给出了求三角形面积的过程；④中给出了求 1＋2＋3＋4 的一个过程，并最终得出结果；对于③，并没有说明如何去算， 故①②④是算法，③不是算法．
课件11：1.1.1 算法的概念
学习目标
核心素养
1．通过回顾解二元一次方程组的 1．通过算法概念的理解，培
方法，了解算法的思想．(重点) 养逻辑推理素养．
2．了解算法的含义和特征．(重点) 2．借助算法的设计，养成数
3．读懂算法并能用自பைடு நூலகம்语言表述 学建模素养.
简单的算法．(难点、易错点)
【自主预习】
1．算法的概念
3．算法的设计目的 计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分 解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的 “语言” 准确地描述出来，计算机才能够解决问题．
【基础自测】
1．下列可以看成算法的是( ) A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先 复习再做作业，之后做适当的练习题 B．今天餐厅的饭真好吃 C．这道数学题难做 D．方程 2x2－x＋1＝0 无实数根 A [A 是学习数学的一个步骤，所以是算法．]
2．下列对算法的理解不正确的是( ) A．算法可以无止境地运行下去 B．算法的步骤是不可逆的 C．同一个问题可以有不同的算法 D．算法中的每一步都应当有效地执行，并得到确定的结果 A [A 项中，由于算法具有有限性，因此不可能无止境地运行 下去，不正确；B 项中，算法中的步骤是按照顺序一步步进行下 去的，因此是不可逆的，正确；C、D 项符合算法的特征，正确．]
【规律方法】 分段函数求值问题的算法设计 分段函数求值的算法要运用分类讨论思想进行设计必须先 判断 x 的范围，对算法中可能遇到的情况一定要考虑周全， 满足与不满足都要有相应的步骤.
【课堂小结】
1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性． 2．算法设计的要求 (1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质 数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用． (2)要使算法尽量简单，步骤尽量少． (3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每步执行的 操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果．
学案8：1.1.1 算法的概念
1.1.1算法的概念新知初探1．算法的概念在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．2．算法的特征(1)确定性：算法中每一步都是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果．(2)有限性：一个算法的步骤是有限的，不能无限地进行下去，它能在有限步的操作后解决问题．(3)有序性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步．(4)不唯一性：解决一个问题可以有多种不同的算法．(5)普遍性：给出一个算法的程序步骤，它可以解决一类问题，并且能够多次重复使用．小试身手1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求解一类问题的算法是唯一的()(2)算法必须在有限步骤操作之后解决问题()(3)算法执行后一定产生确定的结果()2．下列叙述不能称为算法的是()A．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海B．解方程4x＋1＝0的过程是先移项再把x的系数化成1C．利用公式S＝πr2计算半径为2的圆的面积得π×22D．解方程x2－2x＋1＝03．下面是某人出家门先打车去火车站，再坐火车去北京的一个算法，请补充完整．第一步，出家门．第二步，________________.第三步，坐火车去北京．题型一算法概念的理解[典例]下列说法正确的是()A．算法就是某个问题的解题过程B．算法执行后可以产生不同的结果C．解决某一个具体问题算法不同，则结果不同D．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施类题通法算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想．[活学活用]有人对哥德巴赫猜想“任何大于4的偶数都能写成两个奇质数之和”设计了如下操作步骤：第一步，检验6＝3＋3.第二步，检验8＝3＋5.第三步，检验10＝5＋5.……利用计算机一直进行下去！请问：利用这种步骤能够证明猜想的正确性吗？这是一个算法吗？题型二算法的设计[典例]写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法．类题通法设计具体问题的算法的一般步骤(1)分析问题，找出解决问题的一般数学方法；(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．[活学活用]1．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法如下，请补充完整．第一步，求1×3得结果3.第二步，将第一步所得结果3乘以5，得到结果15.第三步，_________________________________________________________________.第四步，再将第三步所得结果105乘以9，得到结果945.第五步，再将第四步所得结果945乘以11，得到结果10 395，即为最后结果．2．写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．学业水平达标1．下列关于算法的说法中正确的个数有( )①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步骤操作之后停止；③x 2－x ＞2是一个算法；④算法执行后一定产生确定的结果．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知直角三角形两直角边长为a ，b ，求斜边长c 的一个算法分下列三步：( )①计算c ＝a 2＋b 2；②输入直角三角形两直角边长a ，b 的值；③输出斜边长c 的值．其中正确的顺序是( )A ．①②③B ．②③①C ．①③②D ．②①③3．下列叙述中，①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…99＋1＝100；③从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州；④3x ＞x ＋1；⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….能称为算法的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 4．下列所给问题中，不能设计一个算法求解的是( )A ．用“二分法”求方程x 2－3＝0的近似解(精确度0.01)B ．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0，x －y ＋3＝0 C ．求半径为2的球的体积D ．求S ＝1＋2＋3＋…的值参考答案小试身手1．【解析】由算法具有有限性、确定性和不唯一性可知(1)错，(2)、(3)对．【答案】(1)× (2)√ (3)√2．【解析】选项A，B给出了解决问题的方法和步骤，是算法；选项C是利用公式计算，也属于算法；选项D只提出问题没有给出解决的方法，不是算法．【答案】D3．【答案】打车去火车站[典例]【解析】例如：判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；选项A，算法不能等同于解法；选项C，解决某一个具体问题算法不同，但结果应相同；选项D，算法可以为很多次，但不可以无限次．【答案】B[活学活用]解：利用这种步骤不能证明猜想的正确性．此步骤不满足算法的有限性，因此不是算法.[典例] [解]法一：第一步，计算1＋2得到3.第二步，将第一步中的运算结果3与3相加得到6.第三步，将第二步中的运算结果6与4相加得到10.第四步，将第三步中的运算结果10与5相加得到15.第五步，将第四步中的运算结果15与6相加得到21.法二：第一步，将原式变形为(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝3×7.第二步，计算3×7.[活学活用]1．【解析】依据算法功能可知，第三步应为“再将第二步所得结果15乘以7，得到结果105”．【答案】再将第二步所得结果15乘以7，得到结果1052．解：法一：第一步，移项得x2－2x＝3.①第二步，①式两边同时加1，并配方得(x－1)2＝4.②第三步，②式两边开方，得x－1＝±2.③第四步，解③式得x1＝3，x2＝－1.法二：第一步，计算出一元二次方程的判别式的值，并判断其符号．显然Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0.第二步，将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x1,2＝－b±b2－4ac2a，得x1＝3，x2＝－1.学业水平达标1．【解析】依据算法的多样性(不唯一性)知①错误；由算法的有限性，确定性知②④正确；因为x2－x＞2仅仅是一个数学问题，不能表达一个算法，所以③是错误的；由于算法具有可执行性，正确的有②④.【答案】B2．【解析】明确各步骤间的关系即可知D选项正确．【答案】D3．【解析】根据算法的含义和特征知：①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④，3x＞x＋1不是一个明确的步骤，不符合确定性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．【答案】B4．【解析】对于D，S＝1＋2＋3＋…，不知道需要多少步完成，所以不能设计一个算法求解．【答案】D。
1.1.1 算法的概念
第一步:报“4000”； 第二步 : 若主持人说高了 ( 说明答案在 0～4000 之间 ), 就报 “2000”,否则(答案在4000～8000之间)报“6000”；
第三步:重复第二步的报数方法取中间数,
直至得到正确结果.
算法的概念
1. 6+5×(4-2)
先去括号 再乘除 后加减
2. 两个大人和两名儿童一起渡河，渡口只有一条小船，
第一章 算法初步
1.1 算法与程序框图
1.1.1 算法的概念
1.了解算法的含义，体会算法的思想； 2.能够用自然语言叙述算法； 3.掌握正确的算法应满足的要求； 4.会写出解线性方程（组）的算法.
在中央电视台“幸运52”节目中,有一个猜商品价格的
环节,竟猜者如在规定时间内大体猜出某种商品的价格,就 可获得该件商品.现有一商品,价格在0-8000元之间,采取怎 样的策略才能在最短的时间内说出正确(大体上)的答案呢?
切,不能含混不清,而且在有限步之内完成后能得出结果.
3.算法的基本特征:
明确性 : 算法的每一个步骤都是确切的 , 能有效执行且
得到确定结果,不能模棱两可. 有限性:算法应由有限步组成,至少对某些输入,算法应 在有限多步内结束,并给出计算结果． 有效性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤 ,每
一步都只能有一个确定的继任者,只有执行完前一步才能
进入到后一步,并且每一步都确定无误后,才能解决问题. 不唯一性 : 求解某一个问题的算法不一定是唯一的 , 对 于同一个问题可以有不同的算法.
问题1：这两个解方程组算法的适用范围有何不同？
---------------------------------------------------
1.1.1算法的概念
(1) a2 (2) a1 得：
（4）
a2c1 a1c2 y . a2b1 a1b2
第五步,得到方程组的解为
思考
这 两个解方程组的算法 的适用范围有何不同？
① --------------------------------------------------②
x 2 y 1, 2 x y 1
第四步，将第三步中的运算结果10与5相加得15.
第五步，将第四步中的运算结果15与6相加得21.
解法2.可以运用下面公式直接计算.
n(n 1) 1 2 3 4 n 2
第一步,取 n =6; 第二步,计算
n( n 1) 2
;
第三步,输出计算结果.
求解某一个题的 算法不一定是唯 一的, 对于一个 问题可以有不同 的算法.
练习2. 任意给定一个大于 1 的正整数 n ， 设计一个算法求出 n 的所有因数. 算法步骤： 第一步, 依次以2 ～（n – 1）为除数除 n ，检查余数是否为0；若是，则是 n 的因 数；若不是，则不是 n 的因数； 第二步,
第三步,
在 n 的因数中加入 1 和 n；
输出n的所有因数.
练习3. 写出求一元二次方程
小结：
1.算法的概念：算法通常指可以用来解决的 某一类问题的步骤或程序，这些步骤或程序 必须是明确的和有效的，而且能够在有限步 之内完成的.
新课讲解
定义： 一般地 , 对于一类问题的机械式地、统一 地、按部就班地求解过程称为算法(algorithm) 它是解决某一问题的程序或步骤. 所谓 “算法”就是解题方法的精确描述. 从更广义的角度来看 , 并不是只有“计算”的 问题才有算法 ,日常生活中处处都有 .如乐谱是 乐队演奏的算法 ,菜谱是做菜肴的算法 ,珠算口 诀是使用算盘的算法.
课件10：1.1.1 算法的概念
输入只能得到相同的输出结果
算法中的每一步骤必须能用实现算法的工具精确表达， 可行性
并能在有限步内完成
有序性 普遍性 不唯一性
算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个 步骤只能有一个确定的后继步骤，只有执行完前一步 才能执行后一步 算法一般要适用于输入值集合中不同形式的输入值， 而不是局限于某些特殊的值，即算法具有一般性，一 个算法总是针对某类问题设计的，所以对于求解这类 问题中的任意一个问题都应该是有效的 解决一个或一类问题，可以有不同的方法和步骤，也 就是说，解决这个或这类问题的算法不一定是唯一的
解：算法如下： S1 任取 2 枚银元分别放在天平的两端，如果天平左右不平 衡，则轻的一端放的是假银元；如果天产平衡，则进行 S2； S1 从余下的 3 枚银元中再任取 2 枚分别放在天平的两端， 如果天平左右不平衡，则轻的一端放的是假银元；如果天平 平衡，那么剩下的还未称的那 1 枚就是假银元．
本课结束
A，B 两选项给出了解决问题的方法和步骤是算法. B× C × 利用公式计算也属于算法. D √ 只提出问题，没有给出解决的方法，不是算法. 答案：D
[名师点评] 算法与解法的区别 (1)解法是解决一个问题的方法与过程． (2)算法是解决一类问题的程序化的流程． (3)解法比算法更具体实际，但是具有局限性，只能解决一个问题．
警误区 算法特征中的有限性与步骤中的有限步 算法特征中的有限性不等同于步骤的有限步，在算法结构中会 出现步骤的重复使用，也就是说算法执行的步数大于或等于步 骤中的步骤，很可能步骤中的步数较少而要执行的步数很多， 但不可以无限.
知识点三 算法的描述 (1)展现形式：目前可使用文字语言表示． (2)展现方式：算法常用下列方式来表示． S1…… S2…… S3…… ……
课件13：1.1.1 算法的概念
解：第一步，规定 8 kg 的大油瓶为 A,5 kg 和 3 kg 的油瓶分别为 B， C. 第二步，从 A 往 C 倒 3 kg，将 C 装满，此时 A 中剩下 5 kg 油． 第三步，将 C 中的 3 kg 油倒进 B. 第四步，再从 A 往 C 倒 3 kg 油． 第五步，从 C 往 B 倒 2 kg，即 B 装满． 第六步，将 B 中油全部倒入 A. 第七步，将 C 中油全部倒入 B. 第八步，从 A 往 C 倒油，将 C 装满，此时 A 中的油为 4 kg. 第九步，将 C 中的油全部倒入 B，则 B 中的油为 4 kg.
状元随笔 算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序 所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的、 有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解 决某一类问题．它和数学问题 的解法既有联系也有区别： (1)联系：算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具 体的关系．比如，教材中根据具体的二元一次方程组的求 解步骤，归纳出求解一般的二元一次方程组的步骤，这些 步骤就构成了解二元一次方程组的一个算法．
解：算法如下： 第一步，给出任意一个正整数 n(n>1)． 第二步，若 n＝2，则输出“2 是素数”，判断结束． 第三步，令 m＝1. 第四步，将 m 的值增加 1，仍用 m 表示． 第五步，如果 m≥n，则输出“n 是素数”，判断结束． 第六步，判断 m 能否整除 n， ①如果能整除，则输出“n 不是素数”，判断结束； ②如果不能整除，则转第四步．
解：(1)第一步，判断 1 573 是否为质数：否． 第二步，确定 1 573 的最小质因数是 11，即 1 573＝11×143. 第三步，判断 143 是否为质数：否． 第四步，确定 143 的最小质因数 11，即 143＝11×13. 第五步，判断 13 是否为质数：是． 分解结果是 1 573＝11×11×13. (2)第一步，比较 a、b 的大小，若 a<b，则记 m＝b，若 b<a，则 记 m＝a. 第二步，比较 m 与 c 的大小，若 m<c，则 c 为最大数，若 m＞c， 则 m 为最大数.
1.1.1 算法的概念
2.算法的基本特征:
➢有限性:一个算法的步骤序列是有限的 它应在有限步操作之后停止，而不能是 无限的． ➢确定性:算法中的每一步都应该是确 定的,并且能有效地执行且得到确定的 结果.
➢顺序性与正确性:算法从初始步骤开 始，分为若干明确的步骤，每一个步 骤只能有一个确定的后继步骤，前一 步是后一步的前提，只有执行完前一 步才能进行下一步，并且每一步都准 确无误，才能解决问题．
1.5
0.125
1.375
1.437 5
0.062 5
1.406 25
1.437 5
0.031 25
1.406 25
1.421 875
0.015 625
1.414 625
1.421 875
0.007 812 5
1.414 062 5
1.417 968 75 0.003 906 25
此步骤也是求 2的近似值的一个算法.
a1b2 a2b1
根据上述分析，用加减消元法解二元一 次方程组，可以分为五个步骤进行，这 五个步骤就构成了解二元一次方程组的 一个“算法”.我们再根据这一算法编制 计算机程序，就可以让计算机来解二元 一次方程组.
1.算法定义： 在数学中，现代意义上的算法通
常是指可以用计算机来解决的某一 类问题的程序或步骤，这些程序或 步骤必须是明确的和有效的，而且 能够在有限步之内完成。
问1:在初中，对于解二元一次方程组你 学过哪些方法？
加减消元法和代入消元法
问2:用加减消元法解二元一次方程组 x 2y 1 2x y的具1 体步骤是什么？
x 2y 1 ① 2x y 1 ②
第一步：①+②×2，得 5x=1 . ③
第二步：解③，得 x 1 .
1.1.1算法的概念
代入①，得
1、算法的含义
算法 （algorithm) 通常是指按照一定规 则解决某一类问题的明确和有限的步骤。现 在，算法通常可以编成计算机程序，让计算 机执行并解决问题。
【例】写出你在家中烧开水的过程的一个算法。
1、往壶内注水； 2、点火加热； 3观察：如果水开，则停止烧火，否 则继续烧火； 4、如果水未开，重复“3”直至水开。 解:
2、回顾 二元一次方程组
x 2 y 1 2 x y 1
① ②
的求解过程.
我们可以归纳它的步骤: ③
第一步: ②-①×2，得 5y=3
第二步: 解③得 y=
第三步:
将y 3 5
3 5
代入 ① ，得 x
1 5
一般的二元一次方程组 a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2
总结：“1”其实大部分事情都是按照一定的程序执行， 因此要理清事情的每一步。 “2”判断水是否烧开与是否继续烧火的过程是 一个反馈与判断过程，因此有必要不断重复过程“3”
请写出下面一个算法：
写出出已知直角三角形两边a,b，求斜边的一个算法 ． 解：①输入直角三角形两边a,b的值；
②计算Ｌ=
a b
广播操图解是广播操的算法； • 菜谱是做菜的算法； • 歌谱是一首歌曲的算法； • 空调说明书是空调使用的算法等
例1、（1）设计一个算法，判断7是否为质数。 （2）设计一个算法，判断35是否为质数。 算法（1） 第一步，用2除7，得到余数1。因为余数 不为0，所以2不能整除7。 第二步，用3除7，得到余数1。因为余数 不为0，所以3不能整除7。 第三步，用4除7，得到余数3。因为余数 不为0，所以4不能整除7。 第四步，用5除7，得到余数2。因为余数 不为0，所以5不能整除7。 第五步，用6除7，得到余数1。因为余数 不为0，所以6不能整除7。因此，7是质数