111反常积分概念
反常积分知识点总结框架
反常积分知识点总结框架一、反常积分的基本定义1.1 反常积分的概念反常积分是指积分区间为无穷区间或者积分函数在有限区间内存在间断点的积分。
对于无穷区间的积分，通常是指当积分区间的上限或下限取到无穷大时的情况。
而对于间断点处的积分，则是指在积分区间内，积分函数出现无穷大或不可导的情况。
1.2 反常积分的分类反常积分通常分为第一类和第二类两种情况。
第一类反常积分是指在无穷区间上的积分，通常是指当积分上限或下限趋于无穷大时的情况。
第二类反常积分是指在有限区间内积分函数发生间断的情况，通常是指积分函数在积分区间内出现无穷大或不可导的情况。
1.3 反常积分的性质反常积分有一些特殊的性质，包括线性性、可加性和可积性等。
具体来说，对于具体的积分函数和积分区间，可以根据这些性质来简化对反常积分的计算过程。
同时，这些性质也为我们理解和分析反常积分提供了重要的指导。
二、反常积分的计算方法2.1 无穷远点处的反常积分对于无穷远点处的反常积分，通常采用极限的方法进行计算。
具体而言，可以将无穷远点处的反常积分转化为极限形式，然后利用极限的性质和计算方法来求解反常积分的值。
这种方法通常比较直观和简单，适用于各类函数的反常积分计算。
2.2 间断点处的反常积分对于间断点处的反常积分，通常需要对积分区间进行分段讨论，然后将积分函数在每个子区间上进行化简和求解。
同时，还需要对积分函数在间断点附近的性质进行详细分析，以确保反常积分的计算过程是正确有效的。
2.3 特殊函数的反常积分一些特殊函数的反常积分计算通常需要依赖于一些特殊的方法和技巧。
例如，对于Gamma函数和Beta函数的反常积分计算，可以利用递推关系和变量替换等方法来简化计算过程，从而得到反常积分的精确解析表达式。
三、反常积分的应用3.1 物理学中的应用反常积分在物理学中有着重要的应用。
例如，在热力学和电磁学中，经常需要对一些特殊的物理量进行积分计算，而这些积分往往是反常积分。
《反常积分课件》课件
汇报人：PPT
目录
反常积分的定义
反常积分的定义：反常积分是一种特殊的积分，它包括无穷积分和瑕积分两种类型。
无穷积分：当积分区间为无穷大时，称为无穷积分。
瑕积分：当积分区间为有限时，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，称为瑕积 分。 反常积分的求解方法：反常积分的求解方法包括积分判别法、积分变换法、积分估计法 等。
反常积分的证明方法
直接证明法：通 过直接计算反常 积分的值来证明
间接证明法：通过 证明反常积分的极 限存在来证明
积分变换法：通过 积分变换来证明反 常积分的性质与定 理
级数展开法：通过 级数展开来证明反 常积分的性质与定 理
物理中的应用实例
计算电场强度：利用反常积 分求解电场强度
计算引力场强度：利用反常 积分求解引力场强度
反常积分的分类
无穷积分：积分区间为无穷大
瑕积分：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点
瑕积分的推广：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间 断点处函数值趋于无穷大
积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间断点处函数值趋于无穷大，但积分区 间为有限
反常积分的特点
反常积分的难点解析
反常积分的 定义和性质
反常积分的 收敛性判断
反常积分的 计算方法
反常积分的 应用实例
反常积分的易错点分析
积分函数的选择：注意函数 的连续性和可积性
积分方法的选择：注意积分 方法的适用条件和计算技巧
积分区间的选取：注意区间 的端点和区间内的函数值
积分结果的验证：注意积分 结果的正确性和合理性
反常积分(广义积分)
反常积分和无穷级数的逻辑体系
反常积分和无穷级数的逻辑体系反常积分和无穷级数是数学中比较重要的两个分支，两者常常使用到极限的概念，但是它们也有着不同的性质和应用场景。
本文将从反常积分和无穷级数的定义、性质、收敛性及其应用等方面，进行较为全面的介绍和分析。
一、反常积分1.定义在正常情况下，积分的上下限是有限的，函数在这个区间内是有定义且有界的。
但是一些情况下，积分的上下限包含无穷或者函数在某些点的值发散，这时就需要用到反常积分。
反常积分的定义可以根据积分区间中极限存在或不存在分为两种情况：①区间有限，且$f(x)$在该区间内有界但出现无穷大的间断点，即$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = \infty$或$\mathop{\lim }\limits_{x\to b} f(x) = \infty$。
此时反常积分的定义为：$$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x = \mathop {\lim }\limits_{t_1 \toa^+ ,t_2 \to b^- } \int_{t_1}^{t_2} f(x)\mathrm{d}x$$②区间不含一端点，而该端点处$f(x)$趋于无穷大，即$\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = \infty$。
此时反常积分的定义为：$$\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x = \mathop {\lim }\limits_{t\to +\infty } \int_{a}^{t} f(x)\mathrm{d}x$$或$$\int_{-\infty}^{b}f(x)\mathrm{d}x = \mathop {\lim }\limits_{t\to -\infty } \int_{t}^{b} f(x)\mathrm{d}x$$2.性质反常积分的基本性质包括线性性质、比较性质和底比复.其中比较性质是判断反常积分收敛与否的重要方法，其主要内容为：比较定理：设$0\leq f(x) \leq g(x)$,$a\leq x\leq b$,则有$$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\mathrm{d}x$$比较判别法：设$f(x)$和$g(x)$在$[a,+\infty)$上非负，则有a.如果$\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，且 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)} < +\infty $，则$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛；b.如果$\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x$ 发散，且 $\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)} > 0 $，则$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 也发散。
11-1反常积分的概念
0 dt 2 t2
(2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间,
分别讨论每一区间上的反常积分.
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思考题
积分
1
0
ln x xHale Waihona Puke 1dx的瑕点是哪几点？
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思考题解答
积分
1
0
ln x x1
dx
可能的瑕点是
x
0,
x1
lim ln x lim 1 1, x 1 不是瑕点, x1 x 1 x1 x
e pt ]0
1 lim te pt 0 1 (0 1) 1
p t
p2
p2
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引例2 曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积 可记作
y
所围成的
其含义可理解为
A lim
1 dx
lim 2
1 x
x u 0 u
u 0
u
lim 2(1 u ) u 0
区间 [a, u] 上可积. 若存在极限
u
lim f ( x)dx J ,(1)
u a
则称此极限 J 为函数 f 在 a , 上的无穷限反
常积分(简称无穷积分),记作
J a f ( x)dx,
并称 f ( x)dx 收敛, 否则称 f ( x)dx 发散.
.
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2）任取实数a，讨论如下两个 无穷积分：
y
y
1 1 x2
由于
a dx
1 x2 和
dx a 1 x2
a dx
反常积分的概念与计算
反常积分的概念与计算反常积分是微积分中一个非常重要的概念，在实际问题中经常会遇到需要计算反常积分的情况。
本文将介绍反常积分的概念、性质和计算方法。
1. 反常积分的概念反常积分是指定积分区间上函数不满足某些条件而导致积分值无法直接计算的情况。
它分为两类：第一类反常积分和第二类反常积分。
1.1 第一类反常积分第一类反常积分是指函数在积分区间上存在无穷间断点或者设置大量的函数间断点的情况。
这导致在这些间断点处，函数的积分值无法定义。
举个例子，考虑函数$f(x)=\\frac{1}{x}$，在区间(0,1)上，f(x)在x=0处无穷大。
因此，这个积分称为第一类反常积分。
为了计算这个反常积分，我们可以将它分解为两个部分，一个是从0到某个小正数$\\epsilon$的积分，另一个是从$\\epsilon$到1的积分。
然后，我们可以取极限$\\epsilon$趋近于0，来计算反常积分的值。
1.2 第二类反常积分第二类反常积分是指函数在积分区间上的某些点奇异或无界的情况。
这导致函数在这些点上的积分值为无穷大或无定义。
举个例子，考虑函数$f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{x}}$，在区间(0,1)上，函数f(x)在x=0处无穷大。
因此，这个积分称为第二类反常积分。
同样地，为了计算这个反常积分，我们可以将它分解为两个部分，一个是从0到某个小正数$\\epsilon$的积分，另一个是从$\\epsilon$到1的积分。
然后，我们可以取极限$\\epsilon$趋近于0，来计算反常积分的值。
2. 反常积分的计算方法反常积分的计算方法主要有两种：换元法和分部积分法。
2.1 换元法换元法也被称为变量代换法，它适用于一类特殊的反常积分。
换元法的基本思想是将变量进行替换，将一个难以计算的函数变成一个简单的形式。
通常情况下，我们选择适当的变量替换来简化积分的计算。
具体步骤如下：1.选择一个适当的替换变量，使得被积函数转化为一个更简单的表达式。
数学分析(下)11-1反常积分概念
§1 反常积分概念反常积分讨论的是无穷区间上的积分和无界函数的积分是定积分概念的推广.一、反常积分的背景二、两类反常积分的定义返回一、反常积分的背景在讨论定积分时有两个最基本的条件在讨论定积分时有两个最基本的条件：：积分区积分区间间但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间例1(第二宇宙速度问题第二宇宙速度问题））在地球表面垂直发射火的有穷性; 被积函数的有界性.上的“积分”或无界函数的“积分”.箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v 0至少要多大至少要多大？？于是流完一桶水所需时间为二、两类反常积分的定义区间[a, u ]上可积. 若存在极限lim()d ,uau f x x J ®+¥=ò则称此极限J 为函数 f 在上的无穷限无穷限反反[)¥+,a ()d ,aJ f x x +¥=ò()d ,af x x +¥ò并称收敛()d .af x x +¥ò否则称发散定义1设函数f 定义在[a, +¥)上, 且在任何有限常积分(简称无穷积分),记作类似定义()d lim()d ,bbuu f x x f x x -¥®-¥=òò()d ()d ()d .a af x x f x x f x x +¥+¥-¥-¥=+òòò).a -¥+¥其中是(，内任意一点域内无内无界界, 但在任何内闭区间[u ,b ] 上有界且可积. 如果存果存在极限在极限lim ()d ,buu af x x J +®=ò定义2 设函数f 定义在(a , b ] 上, 在a 的任意右邻则称此极限为无界函数 f 在(a , b ] 上的反常积分, ()d ,baJ f x x =ò()d baf x x 则称发散.ò()d ba f x x 并称收敛.òlim ()d ,buu a f x x 若极限不存在+®ò类似定义瑕点为b 时的瑕积分()d lim ()d .buaau bf x x f x x -®=òò()d ba f x x 又称为瑕积分,ò通常称a 为f 的瑕点.记作其中f 在[a , b ) 有定义, 在b 的任一左邻域内无界, ()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+òòòlim ()d lim ()d .u bavu cv cf x x f x x -+®®=+òò若f 的瑕点, 定义(,)c a b Î()d ()d ,()d cbbacaf x x f x x f x xòòò若和都收敛则称.收敛[,][,]a u a b Ì在任何上可积.d x+¥1茨公式写作11æö是否必有lim ()0?x f x ®+¥=2.()[,)f x a +¥在上非负连续, ,0)(lim =+¥®x f x 是否可推得()d a f x x +¥ò收敛?3.()[,)f x a +¥在上定义, 且.)(lim A x f x =+¥®复习思考题()d 0?af x x A +¥=ò当收敛时,是否必有1.()[,)f x a +¥在上非负连续, 且收敛, ()d a f x x +¥ò作业P276：1（1）、（3）、（5）、（7）2（2）、（4）、（6）、（8）。
10_1_1 反常积分 高等数学 微积分 考研数学
“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
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例2.
证明第一类 p 积分
dx a xp
当 p >1 时收敛 ;
p≤1
时发散 .
证:当 p =1 时有
dx
ax
ln x
a
当
p
≠
1 时有
dx a xp
x1 p 1 p
a
, a 1 p , p 1
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为
相转化 .
例如 ,
1 0
dx 1 x2
2 dt
0
(令 x sin t）
1 0
x2 x4
1dx 1
1 0
1
1 x2
x2
1 x2
dx
1
d(
x
1 x
)
0
(x
1 x
)
2
2
0 dt 2 t2
(令 t x 1 ) x
(2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间,
分别讨论每一区间上的反常积分.
f (x) dx lim
c f (x) dx lim
b
f (x) dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称 f (x) dx 发散 .
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 , 它表明该反常积分发散 .
开口曲边梯形的面积可记作
y
A
1
0
dx x
其含义可理解为
A lim 0
1 dx
lim 2 x 0
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c
f ( x)dx f ( x)dx c f ( x)dx
收敛 收敛 收敛
注： f ( x)dx lim
A
f ( x)dx.
A A
例1、讨论反常积分
1
1 xp
dx
的敛散性
.
注：无穷限积分的N-L公式
a
f
( x)dx
F(x)
a
例2、讨论下列反常积分的敛散性。
(1)
e
1 x(ln x) p
a
b
定义3、设 f ( x) 在 (a,b]的任一闭子区间[a ,b]上
可积 , a 是
f
(
x
)
的瑕点
.
称
b
a
f
(
x
)dx
为
无界函数 f ( x) 在 (a,b] 上的反常积分.
如：
1
0
1 x
dx.
面积=？
a
b
定义4、设 f ( x) 在 (a,b]的任一闭子区间[a ,b] 可
积 , a 是 f (x)的瑕点. 若存在极限
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx;
收敛 收敛 收敛
(3)以a,b 为瑕点的反常积分
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx;
收敛 收敛 收敛
c
a
a
b
c
c
b
例3、求下列反常积分。
1
(1)0
1 dx; 1 x2
1
(2)0 ln xdx.
例4、讨论反常积分
1
0
1 xq
dx
的敛散性(q
0).
例5、讨论反常积分
0
1 xp
dx
的敛散性
.
例6、求反常积分
8
1
3
1 dx x
.
6 3 2
作业 习题11-1：1(1)(5)(6)、2(1)(2)(4)
定义1、设函数 f ( x) 在[a,)的任何闭子区间 [a,b]上可积 , 记
b
a
f
( x)dx
lim
b a
f
( x)dx
,
称 a
f
( x)dx
为
f
( x)
在无穷区间[a,)
上的反常积分。
定义2、设函数 f ( x) 在[a,) 的任何闭子区间
[a,b]上可积 , 若存在极限
b
lim f ( x)dx J
§11.1 反常积分概念
定积分
积分区间
被积函数
反常积分
积分区间 被积函数
有限 有界
无限 无界
一、无穷限的反常积分
引例1(第二宇宙速度）在地球表面垂直发射火箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初 速度 v0 至少要多大？
(其中重力加速度 g 9.81m / s2 , 地球半径 R 6.371106 m .)
b a
则称反常积分
a
f ( x)dx
收敛，
并称极限
J
为反常积分
a
f
( x)dx
的值
,
记作
J a f ( x)dx.
否则称反常积分
a
f
( x)dx
发散.
x
b
a
f
( x)dx
lim b a
f
( x)dx.
类似地，我们定义：
b
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a a
x
类似地，我们定义：
dx;
(2)
2 x 2
1 2x
1
dx;
1
(3) 1 x2 (1 x) dx.
二、无界函数的反常积分
若 lim f ( x) , 则称点a为函数 f ( x)的瑕点. xa
若 lim f ( x) , 则称点b为函数 f ( x)的瑕点. xb 如： f ( x) 1 , x a 0.
b
lim f ( x)dx I ,
Байду номын сангаас 0 a
则称反常积分
b
a
f
(
x
)dx
收敛。
并称
I
为反常积分
b
a
f
(
x
)dx
的值
,
记作
I
b
a
f
( x)dx.
b
b
a
f ( x)dx
lim 0 a
f ( x)dx.
类似地，(1)以b 为瑕点的反常积分
b
b
a
f
( x)dx
lim
0 a
f ( x)dx;
(2)以c 为瑕点的反常积分(其中c (a,b))