高阶谱分析
高阶谱 第3章 线性系统中的高阶累积量与高阶谱
第3章 线性系统中的高阶累积量与高阶谱SISO 单入单出系统3.1 输入为高斯白噪声情况分析设()v k 是方差为2v σ的高斯白噪声，附加噪声)(k n 是方差为2n σ的高斯白噪声，且)(k v 与)(k n 统计独立。
)(k z 为系统输出。
)(∙r 和)(∙s 分别表示相关函数和功率谱。
则 ∑∞=++=+=022)()()()()()(i nvn y z k k i h i h k r k r k r δσσ(3.1)222)()(n v z H S σωσω+= (3.2)[])()()()(2k h k n z n v E k r v vz σ=+= (3.3) 系统函数)()(k h Z H −−→−反变换 证： 1° ∑+=mz k m z m z k r )()()()()()(m n m y m z +=[][]{})()()()()(k m n k m y m n m y E k r z ++++=∴ [][])()()()(k m n m n E k m y m y E +++= )()(k r k r n y += [])()()(k m y m y E k r y +=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∴∑∑l i y l k m v l h i m v i h E k r )()()()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=∑∑i l l k m v i m v l h i h E )()()()(2()()()l k ii E h i h k i v m i -=⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦∑= []∑-+=ii m v E i k h i h )()()(2∑+=iv i k h i h )()(2σ[]2()()()()n n r k E n m n m k k σδ=+=∑++=+=∴in v n y z k i k h i h k r k r k r )()()()()()(22δσσ2° ()()j k z z kS r k e ωω-=∑∑∑-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=k k j i n v e k i k h i h ωδσσ)()()(22k j k n k k j i v e k e i k h i h ωωδσσ--∑∑∑+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=)()()(222()2()()j i j k i v n i k h i e h k i e ωωσσ--+⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑222)(n v H σωσ+=功率谱是相位盲，不含有相位信息。
高等数字信号处理第3章_高阶谱估计
3.1.2、累量的性质
常量乘积的线性
k
cum(1 x1 , , k x k ) i cum( x1 , , x k ) i 1
各随机变量的对称性
cum( x1 ,, xk ) cum( xi1 ,, xik )
若{x}和{y}统计独立,则
包含全部信息的主值周期,一般指下述区域:
j
j 1,2,, k 1
Bx (1 , 2 )
高阶谱具有对称性(源于累量的对称性), 以双谱为例
Bx (2 , 1 ) Bx (1 2 , 2 )
Bx (1 ,1 2 ) Bx (1 2 , 1 )
当
k1 k 2 k n 1
时,
其n阶累量可记为:
cum( x1, x2 ,, xn ) cnx c1,1,,1
高阶矩与高阶累量的关係(M-C公式):
c1 m1
2 2
c2 m2 m
3 1
2 1
2 1
c3 m3 3m1m2 2m
c4 m4 3m 4m1m3 12m m2 6m
4 1
对于零均值随机变量,三阶以下的矩与累量相 等,而
c4 m4 3m m4
2 2
3、平稳随机过程的累量
对于零均值实平稳随机过程{x(n)},其 k阶矩(k阶相关函数)和k阶累量分别为:
mkx ( 1 , 2 ,, k 1 ) E[ x(n) x(n 1 )x(n k 1 )]
高阶谱估计
从己知一段样本序列{x(1),x(2),…….,x(N)} 出发,进行高阶谱估计的方法,与功率谱估计类 似,也可分为非参数法和参数法两大类。 3.2.1、非参数法谱估计 1、基本思路： 假定n<=0或n>=N+1范围内,样本值 x(n)=0, 由高阶谱的定义直接构造谱估计式。
高阶谱 第1章 高阶统计量的定义与性质
第1章 高阶统计量的定义与性质1.1 准备知识1. 随机变量的特征函数若随机变量x 的分布函数为)(x F ，则称⎰⎰∞∞-∞∞-===Φdx x f e x dF e e E x j x j x j )()(][)(ωωωω为x 的特征函数。
其中)(x f 为概率密度函数。
离散情况：}{,][)(k k k kx j x j x x p p p e e E k ====Φ∑ωωω特征函数)(ωΦ是概率密度)(x f 的付里叶变换。
例：设x ~),(2σa N ，则特征函数为dx e e x j a x ⎰∞∞---=Φωσσπω222/)(21)(令σ2/)(a x z -=，则dz e aj z j z⎰∞∞-++-=Φωσωπω221)(根据公式：AB AC CxBx AxeAdx e 222--∞∞--±-=⎰π，则 2221)(σωωω-=Φa j e若0=a ，则2221)(σωω-=Φe。
2. 多维随机变量的特征函数设随机变量n x x x ,,,21 联合概率分布函数为),,,(21n x x x F ，则联合特征函数为),,,(][),,,(21)()(2122112211n x x x j x x x j n x x x dF e eE n n n n ⎰⎰∞∞-+++∞∞-+++==Φωωωωωωωωω令T n x x x ],,,[21 =x ,T n ],,,[21ωωω =ω，则⎰=ΦdX f e Tj )()(x ωx ω 矩阵形式或 n n x jn dx dx x x f eknk k ,,),,(),,,(11211⎰⎰∞∞-∞∞-∑=Φ=ωωωω 标量形式其中，),,,()(21n x x x f f =x 为联合概率密度函数。
例：设n 维高斯随机变量为T n x x x ],,,[21 =x ,T n a a a ],,,[21 =a⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n c c c c c c2111211c )])([(],cov[k k i i k i ik a x a x E x x c --== x 的概率密度为⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=)()(21exp )2(1)(2/12/a x c a x cx T n P π x 的特征函数为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=Φc ωωωa ωT T j 21ex p )( 矩阵形式其中，T n ],,,[21ωωω =ω,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=Φ∑∑∑===n i nj j i ij ni i i n C a j 1112121exp ),,,(ωωωωωω 标量形式 3. 随机变量的第二特征函数定义：特征函数的对数为第二特征函数为 )(ln )(ωωΦ=ψ (1) 单变量高斯随机过程的第二特征函数 22221ln )(22σωωωσωω-==ψ-a j e a j(2) 多变量情形j n i i nji ij i ni i n C a j ωωωωωω∑∑∑===-=ψ1112121),,,(1.2 高阶矩与高阶累积量定义1. 单个随机变量情形 (1) 高阶矩定义随机变量x 的k 阶矩定义为⎰∞∞-==dx x p x x E m k k k )(][ (1.1)显然10=m ，][1x E m ==η。
高阶谱分析及其应用
虽然对这些脑电信号双谱结构的生理意义目 前尚无一致认识，但应用这种分析方法可发现更 多的隐藏在脑电信号中的信息，从而使我们可以 透过脑电信号更深人地了解大脑的功能。特别是 脑电信号三阶能量在双频域中各频段的分布上， 双谱分析可为我们了解大脑功能提供一条新的途 径。
此外高阶谱在从有色高斯测量噪声中提 取信号、非最小相位系统的参数辨识等涉及 信号处理方面还有着更为广
大部分生物信号是非高斯和非线性的信号，如脑 电信号等。 常规脑电图分析脑电信号的频率、波幅、相位、 对称性等信息，对于正常人，在闭目清醒状态下 显示以 α波段为主的脑电波；睁眼和积极思维α 节律衰减，显示以β节律为主要特征的脑电波； 过度换气时出现慢波节律。
应用高阶谱技术建立的双谱分析方法，则可 显示出常规脑电图无法显示的信息。如睁眼时脑 电信号双谱结构的双谱谱峰主要出现在θ 波段， 过度换气时出现在α 波段和θ 波段，尤其是在心 算时α 频率分量的有序性大大增强，起主导作用， 双谱谱峰基本集中在α波段。
Thanks
安德列· 柯尔莫哥洛夫是20世纪苏 联最杰出的数学家，也是20世纪世 界上为数极少的几个最有影响的数 学家之一。他的研究几乎遍及数学 的所有领域，做出许多开创性的贡 献。 Kolmogorov一开始并不是数学系的，他 17岁左右的时候写了一片和牛顿力学有关的 文章，于是到了Moscow State University去 读书。入学的时候，Kolmogorov对历史颇为 倾心，一次，他写了一片很出色的历史学的 文章，他的老师看罢，告诉他说在历史学里， 要想证实自己的观点需要几个甚至几十个正 确证明才行，Kolmogorov就问什么地方需要 一个证明就行了，他的老师说是数学，于是 Kolmogorov开始了他数学的一生。
高级谱
例7 化合物C7H7N，谱图见下，推其结构式。
Hx C=C HB HA
N
＝5，假定有一个芳环，一个双键，该双键只能是C＝C。 （1）d8.5和d7.21ppm，4H，四峰，芳香的AA’XX’。因为谱图 上没有NH的峰，所以4H构成分子片段（a）。 （2）余下3个H，有ABX系统12峰特征，是乙烯片段（b）.
例5 化合物C12H14O4的1H-NMR如下图，推其结构式
O COCH2CH3 COCH2CH3 O
(P85 例6)
4H
4H
6H
＝6 。d1.4ppm附近和d4.3ppm附近的两峰组明显是互相耦合的， 估计为-CH2CH3, dCH2移向高场，故很可能为-OCH2CH3。从峰 面积比和分子式知道，有两个乙氧基。而d7.6ppm附近的4H应该 是苯环，双取代，谱形有AA’BB’特征(对称多峰)，取代基又相同， 所以应是邻位取代 (相同取代基，对位取代应为单峰) 。
总结氢谱解析步骤
•（1）根据分子式计算化合物的不饱和度。 •（2）由各峰组面积，确定其对应的质子数目。 •（3）根据每一个峰组的化学位移值、质子数目 以及峰组裂分的情况推测出对应的结构单元。 •（4）计算剩余的结构单元和不饱和度（不含氢 的基团在氢谱中不产生直接的信息）。 •（5）根据化学位移和耦合关系，将结构单元组 合成可能的结构式。 •（6）有时需借助于其他波谱分析方法验证。
C=C C OH Hb O Ha
乙烯型的J值 3J =11.6Hz 不饱和度＝6 顺 3J =19.1Hz d7.2ppm附近单峰(5个H): 单取代苯。 反 d10.9ppm处单峰 (1个H), 且分子式中又有2个O: -COOH 还剩C2H2及一个不饱和度。 d5.5 (1H)与d7.8 (1H) 两组双峰, 间距相同, AX系统，C2H2是 烯，且反式（根据乙烯型的J值判断）。
《随机信号的谱分析》课件
01
谱分析的未来发展 与挑战
高阶谱分析
高阶谱分析
高阶谱分析是一种研究信号高阶统计特性的方法，可以提供更多的信息，如信号 的非高斯性和非线性。
挑战
高阶谱分析面临计算量大、算法复杂度高等挑战，需要进一步研究高效算法和优 化计算方法。
常见的参数模型包括 AR模型、MA模型和 ARMA模型等。
AR模型是一种自回归 模型，通过将信号表 示为一组自回归系数 的线性组合来描述信 号的动态特性。
MA模型是一种移动 平均模型，通过将信 号表示为一组白噪声 序列的线性组合来描 述信号的动态特性。
ARMA模型则是自回 归和移动平均模型的 结合，通过同时描述 信号的自回归和移动 平均特性来描述信号 的动态特性。
基于FFT的快速谱分析方法
基于FFT的快速谱分析方法是一种利用快 速傅里叶变换（FFT）算法来计算信号的 频谱的方法。
加窗技术则是通过在信号上加上特定的 窗函数来减小频谱泄漏效应，从而提高 频谱分析的精度。
STFT是一种将信号分成短时分析窗口并 计算每个窗口内的频谱的方法，可以提 供信号在不同时间点的频谱信息。
《随机信号的谱分析 》ppt课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 引言 • 随机信号的基本概念 • 谱分析的基本理论 • 谱分析的方法和技术 • 谱分析的应用实例 • 谱分析的未来发展与挑战
01
引言
背景介绍
随机信号的谱分析是信号处理领域的重要分支，主要研究随机信号的频域特性。
04
按空间分类
标量随机信号：只有幅度信息，没有方向 信息。
第六章-高阶谱分析
h(n)h(n m)h(n m2 )e j ( m11 m2 2 )
h(n m1 )e j1 ( n m1 ) h(n m2 )e j 2 ( n m2 ) h(n)e j (1 w2 ) n
m1 m2 n
H (1 ) H ( 2 ) H (1 2 ) H (1 ) H ( 2 ) H *(1 2 )
C • 这里： ， k 为 x 的 k 阶累量 j • 例：考察具有特殊地位的高阶随机变量x(m, 2 )的累量 解： 的概率密度函数 f (x)为 x
Ck
k
( k ) (0)
1 dk [ln (v)] v 0 j k dv k
f ( x)
1 2
e
1 ( xm)2 2 2
(1 , 1 ) (1 ) ( 2 ) (1 2 )
• 解：x1 (t ) 的频谱 X ( ) 是两个 的函数
1
1 X 1 ( ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2
由双谱定义式（确定序列）：
B x1 (1 , 2 ) X 1 (1 ) X 1 ( 2 ) X 1* (1 2 )
1
W0
W1 W2 0
• x2 (t ) 的频谱 X
( ) 为 1 X 2 ( ) A ( ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2， 0， 0
W2
W0
W0
W0
0
W0
W1
* Bx2 (1 , 2 ) X 2 (1 ) X 2 ( 2 ) X 2 (1 2 )
Bx ( w1 , w2 ) Bx ( w2 , w1 ) Bx ( w1 w2 , w2 ) Bx ( w1 w2 , w1 ) Bx ( w2 , w1 w2 ) Bx ( w1 , w1 w2 ) Bx ( w1 2 , w2 2 ) Bx ( w1 , w2 )
第5章高阶统计分析
(2) 分割为2个子集合： q 2
矩—累积量转换公式：
c2 x ( ) E{x(t ) x(t )} E{x(t )}E{x(t )}
i 1
k
性质2: 矩和累积量相对于变元是对称的，即
mom x1 , cum x1 , , xk mom xi1 , , xk cum xi1 ,
, xik , xik
i1,
, ik 是 1, , k 的排列
例： c3 x (m, n) c3 x (n, m) c3 x (m, n m) c3 x (n m, m)
x(t )
，令
x1 x(t ), x2 x(t 1 ),
随机信号x(t)的k阶矩：
mkx (1, , k 1 )
, xk x(t k 1 )
E x(t ) x(t 1 )
x(t k 1 )
随机信号x(t)的k阶累积量：
ckx (1, , k 1 ) cumx(t ), x(t 1 ), , x(t k 1 )
第二特征函数：( ) ln ( )
k阶累积量 (cumulant)：
k d ( ) k (k ) k cx ( j ) (0) ( j ) d k 0
第二特征函数 ( ) 积量模母函数
累积量生成函数或累
2. 多个随机变量的高阶矩与高阶累积量
k个随机变量r.v. (random variable) 第一联合特征函数
, k I
矩—累积量转换关系：
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容易证明，如果利用模
2π
相位
Ψˆ
x 3
(ω1,ω2
)
代替真实双谱相位，则
(6.6)
式和(6.7)
式将
产生有误差的 Fourier 相位φˆx (ω ) ，即φˆx (ω ) −φx (ω ) ≠ 2π k (ω ) 。
Brillinger 算法是递推的，因此对误差敏感，特别在初始相位值φx (1) 的估计中。
⎢
⎥
A
=
⎢1 ⎢⎢0
0 2
0 0
0 −1
0 0
... ...
1⎥ 0⎥⎥
,
⎢0 1 1 0 −1 ... 0⎥
⎢ ⎢
.
.
.
.
.
...
.
⎥ ⎥
⎢ . . . . . ... . ⎥
⎢ ⎢
.
.
.
.
.
...
.
⎥ ⎥
⎢⎣ . . . . . ... 0⎥⎦
其中，矩阵的维数：若
N
为
偶
数
，
为
⎛ ⎜⎜⎝
⎛ ⎜⎝
N 2
(6.10)
因此，对于 j = 1 ，有
φx
(
i
)
=
φx
(1)
+
φx
(
i
−1)
−
Ψ
x 3
(
i
−
1,1)
(6.11)
用初始条件φx (0) = 0 ，φx (1) 为任意值。根据(6.11)式，可恢复相位如下
φx (2) = φx (1) +φx (1) − Ψ3x (1,1)
(6.12.1)
φx
(3)
k
其中
s
(
k
)
=
∑
Ψ
x 3
(
i,
k
−
i
)
i=0
注意到，k=N 对应于ω = π 。为了实现(6.6)式中的递推，需要初始值φx (0) 和φx (1) 。
为了确定这两个值，首先假设φx (0) = 0, φx ( N ) = 0 。实际上，φx ( N ) = kπ ，k = 0, ±1, ±2,... 。
复以上过程直到求出所有相位值。将 j = 2,3, , N 分别代入(6.10)式，有类似的相位关
系。因此，每个相位φx ( p) 有 ( p −1) 2 个独立的表示（对于 p 为奇数），或 p 2 个表示
（对于 p 为偶数）。 为了改善表示的信噪比（SNR），可以对这些表示取平均。注意，应对指数因子
6.2 利用高阶谱估计信号的幅度和相位
对于一个线性非高斯信号，已知其高阶谱即可恢复它的 Fourier 幅度（在一个尺度 因子内）和相位（差一个线性相移）。本节讨论假设已知双谱幅度和相位时，恢复信号 Fourier 幅度和相位的算法。这些算法可以直接推广到如三谱等高阶谱的情况。
设信号 X (k) 的 FT 为 X (ω) ，则其双谱相位 Ψ3x (ω1,ω2 ) 和 Fourier 相位φx (ω ) 间有以
双谱值。然而依据相位恢复算法，这将导致有误差的 Fourier 相位φˆx (ω ) 。对于将要讨
论的算法，从计算双谱相位导出的 Fourier 相位φˆx (ω ) 与真实相位仅差一线性相位项，
即φˆx (ω ) = φx (ω ) + 2π k (ω ) ，其中 k (ω ) 是一整数函数。
线性相位差一般不重要，因为它仅对应一个信号的时移。如果情况不是这样，那 么在应用相位恢复算法前，需要估计双谱相位的二维解相位模糊算法。
Φx = ⎡⎣φx (1),φx (2),...,φx ( N )⎤⎦T
( ) Ψ
x 3
=
⎡⎣Ψ
x 3
(1,1)
,
Ψ
x 3
(1,
2
)
,
...,
Ψ
x 3
(1,
N
−
1)
,
Ψ
x 3
(
2,
2
)
,
...,
Ψ
x 3
N 2,N 2
⎤T ⎦
和
(6.15)
授课教师：姬红兵教授 hbji@
85
方法。如下：将ω1 = 1, 2,..., N 2 和ω2 = ω1,ω1 +1,..., N − ω1 代入(6.1)式，有下面方程组
Ψ
x 3
(1,1)
=
2φx
(1)
−
φx
(
2)
Ψ
x 3
(1,
2
)
=
φx
(1)
+
φx
(
2)
−
φx
(3)
Ψ
x 3
(1,
3)
=
φx
(
2
)
+
φx
(
3)
−
φx
(
5
)
………
Ψ
x 3
(6.8)
i=0
再设φx (0) = 0 ，φx (1) 为任意值，它建立了时间信号的位置。用这些初始条件，即
使用模 2π
双谱相位
Ψˆ
x 3
(i,1) 代替真实双谱相位 Ψ3x
(i,1) ，(6.8)式仍能给出正确的
Fourier
相位估计φˆx (k ) 。
设φx (1) = 0 ，由(6.8)式可得
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81
更新日期 2011 年 4 月 25 日
研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析
课程编号：0211007（博）0221023（硕） 西安电子科技大学
Ψˆ 3x
(ω1,ω2
)
=
arctan
Im Re
⎡⎣C3x ⎡⎣C3x
(ω1,ω2 (ω1,ω2
课程编号：0211007（博）0221023（硕） 西安电子科技大学
该算法实质上仅限于利用沿直线
Ψ
x 3
(i,1)
，i
=
0,1,
, N 上的双谱值。因此，没有考
虑现有的全部双谱信息，这在带限信号的情况中会产生严重的问题。例如，考虑一带
限信号，其低频和高频截止频率分别为ωL 和ωH 。如果ωL > 1 ，则 Lii-Rosenblatt 算法 将失效，因为所用的双谱值全为零。
6.3.2 Lii-Rosenblatt 算法（1982）
Lii-Rosenblatt 算法也是递推的，但它仅利用了一条双谱线上的值。将对应于 ω1 = 0,1, , k −1和ω2 = 1的双谱相位值求和，得
k −1
φx
(
k
)
=
−∑
Ψ
x 3
(
i,1)
+
kφx
(1)
+
φx
(
0
),
k = 2,3,
,N
=
φx
(1)
+
φx
(
2
)
−
Ψ
x 3
(
2,1)
……..
φx ( N ) = φx (1) +φx ( N −1) − Ψ3x ( N −1,1)
（6.12.2) (6.12.3)
其中，将φx (1) 代入(6.12.1)式可得φx (2) 。同样，将φx (2) 代入(6.12.2)式可得φx (3) ，重
下面给出两种双谱相位解模糊的方法。 方法Ⅰ[Marron 等 1990 年]
设 Ψˆ 3x (ω1,ω2 ) 表示模 2π 双谱相位，即有
ω2 π
ωH
ωL
1
0 ωL ωH π
ω1
图 6.2 计算带限信号相位所能用的双谱值
6.3.3 Bartelt-Lohman-Wirnitzer 算法（1984）
Bartelt-Lohman-Wirnitzer 算法基本上是 Lii-Rosenblatt 算法的推广。由(6.1)式可得
φx (i) = φx ( j) +φx (i − j) − Ψ3x (i − j, j)
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第六章 利用高阶谱恢复信号的非参数方法
6.1 引言
利用高阶谱恢复信号的非参数方法是指利用双谱或三谱恢复信号的 Fourier 幅度和 相位的方法，这些方法无需用参数模型（如 AR、MA、ARMA 等）适配数据来求解问 题。非参数方法需要信号双谱和三谱的先验信息。本章研究几种不同的信号恢复的非 参数算法，包括： （1） 相位恢复算法：递推和非递推； （2） 基于多倒谱的相位和幅度恢复算法； （3） 仅用双谱相位的信号恢复方法； （4） 双通道盲解卷积中的信号恢复。
因此，假设φx ( N ) = 0 将意味着信号将被时移。
利用关于φx ( N ) 的这一假设，φ (1) 可按如下方法计算
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)⎤⎦ )⎤⎦
(6.4)
其中 Im[i] ， Re[i]分别表示双谱 C3x (ω1,ω2 ) 的虚部和实部。
即使忽略双谱的估计误差，计算的相位
Ψˆ
x 3
(ω1,ω2
)
也与真实相位
Ψ3x
(ω1,ω2
)
差
2π k (ω1,ω2 ) ，其中 k (ω1,ω2 ) 仅取整数值。这一相位差对双谱无关紧要，因为它不影响