2014年福建中考数学真题卷含答案解析

2014年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题（含答案全解全析）

第Ⅰ卷(选择题,共40分)

一、选择题(共10小题,每题4分,满分40分;每小题只有一个正确的选项)

1.-5的相反数是( )

A.-5

B.5

C.1

5D.-1

5

2.地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时,将110000用科学记数法表示为( )

A.11×104

B.1.1×105

C.1.1×104

D.0.11×106

3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是( )

A.三棱柱

B.长方体

C.圆柱

D.圆锥

4.下列计算正确的是( )

A.x4·x4=x16

B.(a3)2=a5

C.(ab2)3=ab6

D.a+2a=3a

5.若7名学生的体重(单位:kg)分别是:40,42,43,45,47,47,58,则这组数据的平均数是

( )

A.44

B.45

C.46

D.47

6.下列命题中,假命题

．．．

是( )

A.对顶角相等

B.三角形两边的和小于第三边

C.菱形的四条边都相等

D.多边形的外角和等于360°

7.若(m-1)2+√n+2=0,则m+n的值是( )

A.-1

B.0

C.1

D.2

8.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器,根据题意,下面所列方程正确

的是( )

A.600

x+50=450

x

B.600

x-50

=450

x

C.600

x

=450

x+50

D.600

x

=450

x-50

9.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为( )

A.45°

B.55°

C.60°

D.75°

10.

如图,已知直线y=-x+2分别与x轴,y轴交于A,B两点,与双曲线y=k

x

交于E,F两点.若AB=2EF,则k的值是( )

A.-1

B.1

C.1

2

D.3

4

第Ⅱ卷(非选择题,共110分)

二、填空题(共5小题,每题4分,满分20分;请将正确答案填在相应位置)

11.分解因式:ma+mb= .

12.若5件外观相同的产品中有1件不合格,现从中任意抽取1件进行检测,则抽到不合格产品的概率是.

13.计算:(√2+1)(√2-1)= .

14.如图,在?ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则?ABCD的周长是.

15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使CF=1

2

BC.若AB=10,则EF的长是.

三、解答题(满分90分;请将正确答案及解答过程写在相应位置.作图或添加辅助线用铅笔画完,再用黑色签字笔描黑)

16.(每小题7分,共14分)

)0+|-1|;

(1)计算:√9+(1

2 014

.

(2)先化简,再求值:(x+2)2+x(2-x),其中x=1

3

17.(每小题7分,共14分)

(1)如图1,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D;

(2)如图2,在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中,△ABC的顶点均在格点上.

①sin B的值是;

②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(A与A1,B与B1,C与C1相对应),连结AA1,BB1,并计算梯形AA1B1B的面积.

图1 图2

18.(满分12分)

设中学生体质健康综合评定成绩为x分,满分为100分.规定:85≤x≤100为A级,75≤x<85为B 级,60≤x<75为C级,x<60为D级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩,整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中的信息,解答下列问题:

(1)在这次调查中,一共抽取了名学生,a= %;

(2)补全条形统计图;

(3)扇形统计图中C级对应的圆心角为度;

(4)若该校共有2000名学生,请你估计该校D级学生有多少名?

19.(满分12分)

现有A,B两种商品,买2件A商品和1件B商品用了90元,买3件A商品和2件B商品用了160元.

(1)求A,B两种商品每件各是多少元;

(2)如果小亮准备购买A,B两种商品共10件,总费用不超过

．．．350元,且不低于

．．．300元,问有几种购买方案,哪种方案费用最低?

20.(满分11分)

如图,在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=60°,AB=3√2,点D为BA延长线上的一点,且∠D=∠ACB,☉O为△ACD的外接圆.

(1)求BC的长;

(2)求☉O的半径.

21.(满分13分)

如图1,点O在线段AB上,AO=2,OB=1,OC为射线,且∠BOC=60°,动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动,设运动时间为t秒.

秒时,则OP= ,S△ABP= ;

(1)当t=1

2

(2)当△ABP是直角三角形时,求t的值;

(3)如图2,当AP=AB时,过点A作AQ∥BP,并使得∠QOP=∠B.求证:AQ·BP=3.

图1 图2 备用图

22.(满分14分)

如图,抛物线y=1

(x-3)2-1与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为

2

D.

(1)求点A,B,D的坐标;

(2)连结CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连结AE,AD.求证:∠AEO=∠ADC;

(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作☉E 的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标.

备用图

答案全解全析：

一、选择题

1.B 只有符号不同的两个数互为相反数,-5的相反数是5,故选B. 评析 本题考查相反数的定义,属容易题.

2.B 科学记数法的表示形式为a×10n ,1≤|a|<10,故110 000=1.1×105

,故选B. 评析 本题考查科学记数法的定义,属容易题.

3.D 由主视图和左视图为三角形知此几何体为锥体,由俯视图为圆可推得此几何体为圆锥.

评析 本题考查由三视图抽象出几何体和学生的空间想象能力,属容易题.

4.D x 4·x 4=x 4+4=x 8,A 选项错误;(a 3)2=a 3×2=a 6,B 选项错误;(ab 2)3=a 3·b 2×3=a 3b 6

,C 选项错误;根据合并同类项法则知,D 选项正确,故选D. 5.C 这组数据的平均数是

40+42+43+45+47+47+58

7

=46,故选C.

评析 本题考查数据分析中的平均数的计算方法,属容易题.

6.B 根据三角形三条边之间的关系可知B 是错误的,故选B.

7.A ∵(m -1)2

+√n +2=0,∴{m -1=0,n +2=0,∴{m =1,n =-2,

∴m+n=-1,故选A.

8.A 根据“现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同”可以列出方程

600x+50=450

x

,故选A.

评析 本题考查分式方程的应用,根据题意正确找出等量关系是关键,属容易题. 9.C 由已知得AB=AE,∠BAE=150°,∴∠ABF=15°,∴∠BFC=∠ABF+∠BAF=60°. 评析 本题考查正方形、等边三角形、等腰三角形的性质,属中等难度题.

10.D 如图,作ED ⊥OB,EC ⊥OA,FG ⊥OA,垂足分别为D,C,G,ED 交FG 于H,易得A(2,0),B(0,2),∴△ACE 、△AOB 、△EHF 都是等腰直角三角形, 又∵AB=2EF,∴EH=FH=1,设OG=x,∴AC=EC=1-x, ∴E(x+1,1-x),F(x,2-x).

又∵点E 、F 在双曲线上,∴(x+1)(1-x)=x(2-x),解得x=1

2,∴E (32,1

2),k=3

4

.

评析 本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题,相似三角形的判定和性质,属难题. 二、填空题

11.答案 m(a+b) 解析 ma+mb=m(a+b).

评析 本题考查提公因式法分解因式,属容易题. 12.答案 15

解析 5件外观相同的产品中有1件不合格,从中任意抽取1件进行检测,则抽到不合格产品的概率是15.

评析 本题考查概率,属容易题. 13.答案 1

解析 (√2+1)(√2-1)=(√2)2

-12

=2-1=1.

评析 本题考查二次根式的运算法则和平方差公式,属容易题. 14.答案 20

解析 ∵四边形ABCD 是平行四边形,AD=6,BE=2, ∴BC=AD=6,∴EC=4.

又∵DE 平分∠ADC,∴∠ADE=∠EDC. ∵AD ∥BC,∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠EDC.∴CD=EC=4. ∴?ABCD 的周长是2×(6+4)=20.

评析 本题考查平行四边形的性质和等腰三角形的判定,属中等难度题. 15.答案 5

解析 ∵在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,点D,E 分别是边AB,AC 的中点,AB=10, ∴AD=5,AE=EC,DE=12

BC,∠AED=90°. ∵CF=12

BC,∴DE=FC.

在Rt △ADE 和Rt △EFC 中,∵AE=EC,∠AED=∠ECF=90°,DE=FC, ∴Rt △ADE ≌Rt △EFC(SAS).∴EF=AD=5.

评析 本题考查三角形中位线定理,属中等难度题. 三、解答题

16.解析 (1)原式=3+1+1=5.

(2)原式=x 2+4x+4+2x-x 2

=6x+4. 当x=1

3时,原式=6×1

3+4=6.

评析 本题考查了实数的运算,属容易题. 17.解析 (1)证明:∵BE=CF, ∴BE+EF=CF+EF, 即BF=CE.

又∵AB=DC,∠B=∠C, ∴△ABF ≌△DCE. ∴∠A=∠D. (2)①35.

②如图所示.由轴对称的性质可得,AA 1=2,BB 1=8,梯形AA 1B 1B 的高是4. ∴S 梯形AA 1B 1B =1

2(AA 1+BB 1)×4=20.

评析 本题考查了全等三角形的判定与性质,属容易题. 18.解析 (1)50;24. (2)如图所示.

综合评定成绩条形统计图

(3)72.

(4)该校D 级学生约有2 000×450

=160(名).

评析 本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用,条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比,属容易题. 19.解析 (1)设A 商品每件x 元,B 商品每件y 元.

依题意,得{2x +y =90,

3x +2y =160.

解得{x =20,y =50.

答:A 商品每件20元,B 商品每件50元.

(2)设小亮准备购买A 商品a 件,则购买B 商品(10-a)件.

依题意,得{20a +50(10-a)≥300,

20a +50(10-a)≤350.

解得5≤a ≤623

.

根据题意知,a 的值应为整数,所以a=5或a=6.

方案一:当a=5时,购买费用为20×5+50×(10-5)=350元; 方案二:当a=6时,购买费用为20×6+50×(10-6)=320元. ∵350>320,

∴购买A 商品6件,B 商品4件的费用最低.

答:有两种购买方案,方案一:购买A 商品5件,B 商品5件;方案二:购买A 商品6件,B 商品4件.其中方案二费用最低.

20.解析 (1)过点A 作AE ⊥BC,垂足为E. ∴∠AEB=∠AEC=90°. 在Rt △ABE 中,∵sin B=AE AB

,

∴AE=AB ·sin B=3√2·sin 45°=3√2×√2

2=3. ∵∠B=45°,∴∠BAE=45°. ∴BE=AE=3.

在Rt △ACE 中,∵tan ∠ACB=AE EC

, ∴EC=AE

tan ∠ACB =3

tan60°=√3=√3.

∴BC=BE+EC=3+√3.

(2)由(1)得,在Rt △ACE 中,∠EAC=30°,EC=√3,

∴AC=2√3.

解法一:连结AO并延长交☉O于M,连结CM.

∵AM为直径,∴∠ACM=90°.

在Rt△ACM中,∵∠M=∠D=∠ACB=60°,sin M=AC

,

AM

∴AM=AC=2√3=4.

∴☉O的半径为2.

解法二:连结OA,OC,过点O作OF⊥AC,垂足为F,则AF=1

AC=√3.

2

∵∠D=∠ACB=60°,

∴∠AOC=120°.

∠AOC=60°.

∴∠AOF=1

2

在Rt△OAF中,∵sin∠AOF=AF

,

AO

=2,即☉O的半径为2.

∴AO=AF

sin∠AOF

评析本题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数的应用,属中等难度题.

.

21.解析(1)1;3√3

4

(2)①∵∠A<∠BOC=60°,

∴∠A不可能为直角.

②当∠ABP=90°时,

∵∠BOC=60°,

∴∠OPB=30°.

∴OP=2OB,即2t=2.

∴t=1.

③当∠APB=90°时,作PD⊥AB,垂足为D,则∠ADP=∠PDB=90°.

∵OP=2t,

∴OD=t,PD=√3t,AD=2+t,BD=1-t(△BOP是锐角三角形).

解法一:BP2=(1-t)2+3t2,AP2=(2+t)2+3t2.

∵BP2+AP2=AB2,

∴(1-t)2+3t2+(2+t)2+3t2=9,

即4t2+t-2=0.

解得t 1=

-1+√338,t 2=-1-√33

8

(舍去). 解法二:∵∠APD+∠BPD=90°,∠B+∠BPD=90°,

∴∠APD=∠B.

又∵∠ADP=∠PDB=90°, ∴△APD ∽△PBD, ∴AD PD =PD

BD ,∴PD 2

=AD ·BD.

于是(√3t)2

=(2+t)(1-t),即4t 2

+t-2=0.

解得t 1=

-1+√338,t 2=-1-√33

8

(舍去). 综上,当△ABP 是直角三角形时,t=1或

-1+√33

8

.

(3)证法一:∵AP=AB, ∴∠APB=∠B.

作OE ∥AP,交BP 于点E, ∴∠OEB=∠APB=∠B. ∵AQ ∥BP,

∴∠QAB+∠B=180°. 又∵∠3+∠OEB=180°, ∴∠3=∠QAB.

又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP, 已知∠B=∠QOP, ∴∠1=∠2.

∴△QAO ∽△OEP. ∴AQ EO =AO

EP ,即AQ ·EP=EO ·AO. ∵OE ∥AP,∴△OBE ∽△ABP. ∴OE AP =BE BP =

BO BA =1

3

.

∴OE=1

3AP=1,BP=3

2EP.

∴AQ ·BP=AQ ·32

EP=32

AO ·OE=32

×2×1=3. 证法二:连结PQ,设AP 与OQ 相交于点F. ∵AQ ∥BP,

∴∠QAP=∠APB.

∵AP=AB, ∴∠APB=∠B. ∴∠QAP=∠B. 又∵∠QOP=∠B, ∴∠QAP=∠QOP. ∵∠QFA=∠PFO, ∴△QFA ∽△PFO. ∴FQ FP =FA FO ,即FQ FA =FP

FO .

又∵∠PFQ=∠OFA, ∴△PFQ ∽△OFA. ∴∠3=∠1.

∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP, 已知∠B=∠QOP, ∴∠1=∠2. ∴∠2=∠3.

∴△APQ ∽△BPO. ∴AQ =AP

.

∴AQ ·BP=AP ·BO=3×1=3.

22.解析 (1)顶点D 的坐标为(3,-1). 令y=0,得1

2(x-3)2

-1=0,

解得x 1=3+√2,x 2=3-√2. ∵点A 在点B 的左侧,

∴点A 坐标为(3-√2,0),点B 坐标为(3+√2,0). (2)证明:过D 作DG ⊥y 轴,垂足为G, 则G(0,-1),GD=3.

令x=0,则y=72,∴点C 坐标为(0,7

2).

∴GC=7

2-(-1)=92

. 设对称轴交x 轴于点M.

∵OE ⊥CD,

∴∠GCD+∠COH=90°. ∵∠MOE+∠COH=90°, ∴∠MOE=∠GCD.

又∵∠CGD=∠OME=90°, ∴△DCG ∽△EOM.

∴CG OM =DG EM ,即9

23=3EM .

∴EM=2,即点E 的坐标为(3,2),∴ED=3.

由勾股定理,得AE 2=6,AD 2

=3,

∴AE 2+AD 2=6+3=9=ED 2

.

∴△AED 是直角三角形,且∠DAE=90°.

设AE 交CD 于点F. ∴∠ADC+∠AFD=90°. 又∵∠AEO+∠HFE=90°, ∠AFD=∠HFE, ∴∠AEO=∠ADC.

(3)由☉E 的半径为1,根据勾股定理,得PQ 2

=EP 2

-1.

要使切线长PQ 最小,只需EP 长最小,即EP 2

最小. 设点P 的坐标为(x,y),

由勾股定理,得EP 2=(x-3)2+(y-2)2

. ∵y=12

(x-3)2

-1,

∴(x -3)2

=2y+2.

∴EP 2=2y+2+y 2-4y+4=(y-1)2

+5.

当y=1时,EP 2

取最小值,为5.

把y=1代入y=12(x-3)2

-1,得1

2(x-3)2

-1=1,

解得x 1=1,x 2=5.

又∵点P 在对称轴右侧的抛物线上, ∴x 1=1舍去.

∴点P 的坐标为(5,1). 此时Q 点坐标为(3,1)或(195,

13

5

).

评析 本题是压轴题,涉及考点众多,难度较大.第(2)问中,注意观察图形,将问题转化为证

明△ADE 为直角三角形的问题,综合运用勾股定理及其逆定理、三角函数(或相似形)求解;第

(3)问中,解题关键是将最值问题转化为求EP 2最小值的问题,注意求EP 2

最小值的具体方法.属难题.