简谐激励下强迫振动的响应特性
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5-简谐激励的响应
上次内容回顾：有阻尼系统的自由振动 讲述的内容
第三章 强迫振动 3.1 对简谐激励的响应 1、无阻尼振系在正弦型挠力作用下的强迫振动 2、有阻尼振系在正弦型挠力作用下的强迫振动
3.1 对简谐激励的响应 引言
讨论单自由度线性系统在周期激扰作用下的强迫振动，通 常称为振系对周期激扰的响应．周期激扰可以是作用于振 系的周期扰力，也可以是振系支座的周期运动． 今天着重讨论正弦型激扰的情形，因为这种情形比较简单， 而所得结论却有很重要的工程应用。任意的周期激扰，都 可以通过谐波分析，分解为若干个正弦型激扰，只要分别 求出各个正弦型激扰单独引起的振动，然后叠加，就可以 得到振系对任意周期激扰的响应． 叠加原理适用于线性系统． 振系由周期激扰所引起的振 动，需要同初始激扰所引起的自由振动相叠加，才得到振 系总的运动．
有重要意义。如果振幅超过允许的限度，构件中
会产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者
影响机器及仪表的精度。
引入符号：
频率比； 振动系统零频率挠度，即在常力F0
作用下的静挠度(注意不要与 放大因子。 可以将下式写成无量纲的形式 混淆)；
以λ为横坐标，β和φ为纵坐标，对于不同 的ζ值，可以得到幅频特性曲线和相频特性曲线。
都伴随强迫振动产生的自由振动。同时，系统中不
可避免地存在着阻尼，自由振动将不断地衰减。当 t=0时， ，上式简化为
在有阻尼的情况下，后一种自由振动在一段时
间内逐渐衰减，系统的振动逐渐变成稳态振动。如
图所示。
例3.1—2 如图所示为一无重刚杆。其一端铰支， 距铰支端l处有一质量为m的质点；距2l处有一阻尼 器，阻尼系数为c；距31处有一刚度为k的弹簧，并 作用一简谐激励F=F0sinωt。刚杆在水平位置平衡， 试列出系统的振动微分方程，并求当激励频率ω等 于固有频率ωn时质点的振幅。 解：设刚杆在振动
第三章 强迫振动 3.1 对简谐激励的响应 1、无阻尼振系在正弦型挠力作用下的强迫振动 2、有阻尼振系在正弦型挠力作用下的强迫振动
3.1 对简谐激励的响应 引言
讨论单自由度线性系统在周期激扰作用下的强迫振动，通 常称为振系对周期激扰的响应．周期激扰可以是作用于振 系的周期扰力，也可以是振系支座的周期运动． 今天着重讨论正弦型激扰的情形，因为这种情形比较简单， 而所得结论却有很重要的工程应用。任意的周期激扰，都 可以通过谐波分析，分解为若干个正弦型激扰，只要分别 求出各个正弦型激扰单独引起的振动，然后叠加，就可以 得到振系对任意周期激扰的响应． 叠加原理适用于线性系统． 振系由周期激扰所引起的振 动，需要同初始激扰所引起的自由振动相叠加，才得到振 系总的运动．
有重要意义。如果振幅超过允许的限度，构件中
会产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者
影响机器及仪表的精度。
引入符号：
频率比； 振动系统零频率挠度，即在常力F0
作用下的静挠度(注意不要与 放大因子。 可以将下式写成无量纲的形式 混淆)；
以λ为横坐标，β和φ为纵坐标，对于不同 的ζ值，可以得到幅频特性曲线和相频特性曲线。
都伴随强迫振动产生的自由振动。同时，系统中不
可避免地存在着阻尼，自由振动将不断地衰减。当 t=0时， ，上式简化为
在有阻尼的情况下，后一种自由振动在一段时
间内逐渐衰减，系统的振动逐渐变成稳态振动。如
图所示。
例3.1—2 如图所示为一无重刚杆。其一端铰支， 距铰支端l处有一质量为m的质点；距2l处有一阻尼 器，阻尼系数为c；距31处有一刚度为k的弹簧，并 作用一简谐激励F=F0sinωt。刚杆在水平位置平衡， 试列出系统的振动微分方程，并求当激励频率ω等 于固有频率ωn时质点的振幅。 解：设刚杆在振动
简谐激励下强迫振动的响应特性-57页文档资料
k o Fk
Δ
x
c
F Fc
m
mg
Solution
The equation of motion: 5 x 2 0 0 0 x 1 0 s in 2 0 t
n
2000 20 rad/s 5
例 （1）
Particular solution:
x 2 t tc 1 c2 o t c 0 s 2 s2 itn 0
简谐激励下强迫振动的响应特性
强迫振动的几种形式
强迫振动的运动方程
单自由度运动微分方程的一般形式
取不同形式时，振动特点不同
其中简谐激励为最简单的激励形式
简谐激励下的响应
运动微分方程的解
x(t)xh(t)xp(t)
其中, x h (t) 为相应齐次方程的解
瞬态响应
（有阻尼系统中该项解将逐渐消失）
运动方程一般形式 假设稳态解形式并代入运动方程得
用三角函数公式展开 令两边同谐波项相等
幅频特性 相频特性
无量纲化
式中：
振幅放大系数（幅值比）
力函数和响应相位差
稳态响应的相位特性
Force Excitation
F(t) Restoring
kx
Damping
cx
Inertia
m x 2
Amplitude F0
F
c
m
mg
Substitute above equations in equation of motion to obtain
2 c 1 s 0 2 t i c 2 0 c n 0 2 t o 2 0 t c 1 s c 0 2 t o c 0 2 s 0 2 t s i 0 2 n 0 t c 1 c 0 2 t o c 0 2 s 0 2 t s i 0
机械振动3强迫振动1-4讲解
求系统响应。
解：方程的通解为
x
C1
cosnt
C2
sin
nt
k
F0
m
2
sin
t
将初始条件代上式：
x(0)
C1
x0
,
x(0)
C2n
k
F0 m2
x0
得：
C1
x0
,
C2
x0
n
F0 ( / n ) k m 2
方程的解（系统的响应）为
x
x0
cosnt
arc
2
tan 1
2
其中
n
,
n
k M
机械的振动为 x X sin(t ) me2
k 机器的振幅可改为：
X me 2 H ()
k
sin(t ) (1 2 )2 (2 )2
180
me ( )2
1
M n (1 2 )2 (2 )2
x(t)
e nt
( x0
c osd t
x0
n x0 d
sin dt)
初始条件响应
X 0ent [sin
c osd t
n d
(
s in
cos) sin dt]
X0
sin(t
)
自由伴随振动，也是衰减的
强迫振动
n
k m
c
响应 x 也为复变量，其实部和虚部分别表示系统对余弦 激励和正弦激励的响应。
机械振动单自由度系统的简谐强迫振动 (1)
1 H ( ) 22 2 [ 1 ( / ) ] ( 2 / ) n n
图2—16
1 H ( ) 22 2 [ 1 ( / ) ] ( 2 / ) n n
图2—16
1 H ( ) 22 2 [ 1 ( / ) ] ( 2 / ) n n
利用可以产生简谐激励的激振器激励被测结构以分析 其振动特性的方法，即所谓正弦激励方法，是测试系 统振动特性最常用的方法之一。
2.4.1 系统在简谐激励下的响应
典型的受简谐激励的单自由度系统示于图2-13。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图 2—13
图 2—14
从波形图可以看出：
2.4.2 复频率响应 幅频特性与相频特性
§2.4 单自由度系统的简谐强迫振动
简谐强迫振动指激励是时间简谐函数，它在工程结构 的振动中经常发生，它通常是由旋转机械失衡造成的。 简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非周期激励 下系统响应的基础。通过分析系统所受的简谐激励与 系统响应的关系，可以估计测定系统的振动参数，从 而确定系统的振动特性（系统识别）。
图2—16
2.4.3 能量关系与等效阻尼
图 2—17
说明： 无阻尼系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固有频率，由 于系统无阻尼，因此外力对系统做的功全部转成系统的机械能即振动 的能量。外力持续给系统输入能量，使系统的振动能量直线上升，振 幅逐渐增大。 由此可知，即使是无阻尼系统共振时，也需要一定的时间来积 累振动能量。这在实际中很重要，有些机械结构在起动或停机时无法 避免通过共振区，为避免在共振区给结构造成损坏，可以采用迅速通 过共振区的办法来解决。
2. 等效阻尼
振动时振动能量的耗散有各种的形式，并且与许多因素有关，处 理起来比较复杂。在线性振动理论中，通常把其他形式的阻尼等 效为粘性阻尼，以使阻尼力线性化，得到等效的线性系统。其方 法是，假定系统做简谐振动，令原系统耗散的能量与粘性阻尼耗 散的能量相同，从而求出等效阻尼系数。
简谐激励的响应.ppt
第3章 单自由度系统的强迫振动
振动研究的重要内容之一就是求解振动系统对 外部激励的响应。第2章讨论了振动系统在外部初 始干扰下依靠系统本身的弹性恢复力维持的自由振 动。本章将主要讨论振动系统在外部持续激励作用 下所产生的振动，称为强迫振动。强迫振动从外界 不断地获得能量来补偿阻尼所消耗的能量，使系统 得以持续振动。
外部激励引起的系统的振动状态称为响应。系 统对外部激励的响应取决于激励的类型，依照从简 单到复杂的次序，外部激励可分为：简谐激励、周 期激励及非周期激励。
叠加原理是线性振动系统分析的基础。即对于 线性系统，可以先分别求出对所给定的各种激励的 响应，然后组合得出总响应。
3．1 对简谐激励的响应 如图所示为二阶线性有阻尼质量—弹簧系
第一项是初始条件产生的自由振动；第二项是简谐
激励产生的强迫振动；第三项是不论初始条件如何
都伴随强迫振动产生的自由振动。同时，系统中不
可避免地存在着阻尼，自由振动将不断地衰减。当
t=0时，
，上式简化为
在有阻尼的情况下，后一种自由振动在一段时 间内逐渐衰减，系统的振动逐渐变成稳态振动。如 图所示。
例3.1—2 如图所示为一无重刚杆。其一端铰支， 距铰支端l处有一质量为m的质点；距2l处有一阻尼 器，阻尼系数为c；距31处有一刚度为k的弹簧，并 作用一简谐激励F=F0sinωt。刚杆在水平位置平衡， 试列出系统的振动微分方程，并求当激励频率ω等 于固有频率ωn时质点的振幅。
实际上，当有阻尼作用时，振幅最大并不在 ω=ωn处，而发生在
从图中同样可以看出振幅最大的峰点在 λ=ω/ωn=1的左面，为了确定曲线峰点的位置， 可以采用计算极值的标准数学方法，即将方程对 ω(或λ)进行微分，并令其结果等于零。即
2.5简谐激励作用下的强迫振动
(1<r<机2 )械2动力(学2>>r)2
sin(t
)
MX 0
sin(t7 )
简谐激励作用下的强迫振动
• 稳态响应特性
M (r)
5
0
M (r)
1
0.1
4
(1 r2 )2 (2 r)2
3
0.25
（2）当r→∞( ω>> ωn ）
2
0.375 0.5
1
激振频率相对于系统固有频率很高
1
r
0
0
1
2
4
（4）当r=1 ( ω≈ ωn ）
3
0.25
0.375
对应于较小ξ值，M(r)迅速增大 2
0.5
1
1
r
当 0
M (r)
0
0
1
2
3
结论：激励频率和系统的固有频率一致时，振幅趋于无穷大， 系统产生共振
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 r=1 附近的区域内， 增加阻尼使振幅明显下降
21.4.24
mx cx kx F sint
用复指数法求解，以Fe jωt代换Fsinωt
mx cx kx Fe jt
21.4.24
<<机械动力学>>
F (t )
x
m
0
k
c
F (t )
m mx
kx cx
2
简谐激励作用下的强迫振动
振动微分方程：mx cx kx Fe jt
显含时间 t 非齐次微分方程
设：xs (t) Xe jt X ：稳态响应的复振幅
代入，有： (2m jc k) Xe jt Fe jt
sin(t
)
MX 0
sin(t7 )
简谐激励作用下的强迫振动
• 稳态响应特性
M (r)
5
0
M (r)
1
0.1
4
(1 r2 )2 (2 r)2
3
0.25
（2）当r→∞( ω>> ωn ）
2
0.375 0.5
1
激振频率相对于系统固有频率很高
1
r
0
0
1
2
4
（4）当r=1 ( ω≈ ωn ）
3
0.25
0.375
对应于较小ξ值，M(r)迅速增大 2
0.5
1
1
r
当 0
M (r)
0
0
1
2
3
结论：激励频率和系统的固有频率一致时，振幅趋于无穷大， 系统产生共振
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 r=1 附近的区域内， 增加阻尼使振幅明显下降
21.4.24
mx cx kx F sint
用复指数法求解，以Fe jωt代换Fsinωt
mx cx kx Fe jt
21.4.24
<<机械动力学>>
F (t )
x
m
0
k
c
F (t )
m mx
kx cx
2
简谐激励作用下的强迫振动
振动微分方程：mx cx kx Fe jt
显含时间 t 非齐次微分方程
设：xs (t) Xe jt X ：稳态响应的复振幅
代入，有： (2m jc k) Xe jt Fe jt
单自由度系统强迫振动资料
响应：外界激振力所引起的系统的振动状态。 振动研究的重要内容之一就是求解振动系统对外部激励
1.3.1
运动微分方程及其解
在图示单自由度系统中，作用有简谐激振力。 取振体的静平衡位置为坐标原点，x 轴铅直 向下。由牛顿第二定律，可得有阻尼的强迫 振动微分方程：
cx kx H sin pt m x
2 1 2
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1.3.2 偏心质量引起的强迫振动
h
2
p n p 1 2
激振力的幅 值引起的静 变形
2
1
B0 2 2
2 2
静力偏移 相对阻尼系数 频率比
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
B
1
B0 2 2
x2 ( t )
h ( 2 p 2 )2 4n2 p 2
sin( pt )
全解：
稳态响应：
x2 (t ) B sin( pt )
B
h ( 2 p 2 )2 4n 2 p 2
tan
2np 2 p2
简谐激振力引起的振动的全解：
右端第一项是齐次解，代表衰减的自由振动；由于瞬态振动会很快衰 减而停止，我们在研究强迫振动问题时主要关心它的稳态振动解。 第二项是特解，代表由激振力引起的稳态强迫振动，位移响应是一简谐 运动，其频率与激振力的频率相同，但稳态响应的相位滞后于激励相位。 振幅B和相位差 都只取决于系统本身的物理性质和激振力的大小与 频率，与初始条件无关（初始条件只影响瞬态振动） 。 强迫振动的振幅大小，在工程实际问题中具有重要意义。如果振幅超过 允许的限度，构件中会产生过大的交变应力，而招致疲劳破坏。或者会影 响机器及仪表的精度。在振动利用中也需要控制一定的振幅。
1.3.1
运动微分方程及其解
在图示单自由度系统中，作用有简谐激振力。 取振体的静平衡位置为坐标原点，x 轴铅直 向下。由牛顿第二定律，可得有阻尼的强迫 振动微分方程：
cx kx H sin pt m x
2 1 2
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1.3.2 偏心质量引起的强迫振动
h
2
p n p 1 2
激振力的幅 值引起的静 变形
2
1
B0 2 2
2 2
静力偏移 相对阻尼系数 频率比
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
B
1
B0 2 2
x2 ( t )
h ( 2 p 2 )2 4n2 p 2
sin( pt )
全解：
稳态响应：
x2 (t ) B sin( pt )
B
h ( 2 p 2 )2 4n 2 p 2
tan
2np 2 p2
简谐激振力引起的振动的全解：
右端第一项是齐次解，代表衰减的自由振动；由于瞬态振动会很快衰 减而停止，我们在研究强迫振动问题时主要关心它的稳态振动解。 第二项是特解，代表由激振力引起的稳态强迫振动，位移响应是一简谐 运动，其频率与激振力的频率相同，但稳态响应的相位滞后于激励相位。 振幅B和相位差 都只取决于系统本身的物理性质和激振力的大小与 频率，与初始条件无关（初始条件只影响瞬态振动） 。 强迫振动的振幅大小，在工程实际问题中具有重要意义。如果振幅超过 允许的限度，构件中会产生过大的交变应力，而招致疲劳破坏。或者会影 响机器及仪表的精度。在振动利用中也需要控制一定的振幅。
第三章.单自由度系统的强迫振动
k c 其中： , ζ= , ωd = ω0 1−ζ 2 其中： ω0 = m 2ω0m
ω λ = , B= ω0
p0
2 2
(1−λ ) + (2ζλ)
k
2
2ζλ , φ = tg 1− λ2
−1
3 . 3 力激励、位移激励和加速度激励 力激励、
力激励 位移激励 加速度激励
1.力激励：（同前分析） 力激励：（同前分析） ：（同前分析
3.1简谐振动下的强迫振动
此时品质因素： 此时品质因素：Q =
ω 1 = 0 2ζ ∆ω
机械阻抗：简谐振动时复数形式的输入与输出之比（位移，速度，加速度） { 机械阻抗：简谐振动时复数形式的输入与输出之比（位移，速度，加速度） 机械导钠：机械阻抗的复数。 机械导钠：机械阻抗的复数。 位移导钠和位移阻抗又称为动柔度和动刚度。 位移导钠和位移阻抗又称为动柔度和动刚度。 复频响应函数（频率响应函数） 复频响应函数（频率响应函数）
第三章 单自由系统的强迫振动
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 简谐振动下的强迫振动(稳定阶段 简谐振动下的强迫振动 稳定阶段) 稳定阶段 强迫振动的过渡过程 力激励,位移激励和加速度激励 力激励 位移激励和加速度激励 振动的隔离 周期激励的响应 任意激励的响应
3.1简谐振动下的强迫振动
mɺɺ+ cx + kx = p sin ωt x ɺ p ɺɺ+ 2ζω0 x +ω x = e jωt ɺ x m 是复数，其特解为： x是复数，其特解为： x = Be jωt
2 0
{
jωt
c = 2ζω0 m k 2 = ω0 m
其中； 其中；B 为复振幅
第三章单自由度系统的强迫振动
简谐激励下的的强迫振动（稳态阶段）
简谐激励是激励形式中最简单的一种，是理解 系统对其他激励的基础
如图所示的弹簧质量系 统中，质量块上作用有 简谐激振力 P=P0sinω t
m x
r
k m P=P0sinω t x
rx
kx
P
2、运动微分方程： 按牛顿第二定律： m cx kx P sin t x 0 按达朗伯原理（动静法）： m cx kx P sin t 0 x 0 最后都得到： m cx kx P sin t （1） x 0
得到： 1, 0 ,这时：
P0 1 x sin t 2 k 1
这样，我们就完全确定了特解x2 。
x (B )
P0 Ф
m 2 B t cB
x2 B sin(t )
B P0 (k m ) (c )
2 2
1
x (B)
2
t0
kB
c tg k m 2
得到： 1, ,这时：
2 ( B) x
无阻尼系统对简谐振动的稳态响应，当 w wn 时
P0 1 x sin(t ) 2 k 1
x x1 x2 我们知道，x的前一项代表有阻尼自由振动，
随时间t增加而衰减至消失，称为瞬态振动。而第 二项则代表有阻尼强迫稳态振动。在简谐激振力下， 它是简谐振动，它与激振力有相同频率，其振幅B， 相位差φ 只与系统本身性质、激振力大小、频率有 关，与初始条件无关。初始条件只影响瞬态振动。
〔注1：达朗伯原理：当一个力学 系统运动时，它的任何位置都可 以看作是平衡位置，只要我们在 原动力上再加上惯性力。这样就 可以把任何动力学问题按相当的 静力学问题来处理。〕
简谐强迫振动
Theory of Vibration with Applications
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 复频率响应 幅频特性与相频特性
H ()
为系统的放大因子
1 / 2 /
2 2 n
1
2 n
自由振动 位移幅值 速度幅值
A
受迫振动
H () A
(2.4-4)
它的通解为
x x1 X cost
x1 应该满足方程
2 2 1 2 n x 1 n x x1 A cos t 0n 0 x 0 X sin x0 x 0 X cos , x
（2.4-5）
返回首页theory简谐强迫振动简谐强迫振动系统在简谐激励下的响应系统在简谐激励下的响应单自由度系统受简谐激励的微分方程为244它的通解为245可以得到sincossincoscos返回首页theory简谐强迫振动简谐强迫振动系统在简谐激励下的响应系统在简谐激励下的响应返回首页theory简谐强迫振动简谐强迫振动系统在简谐激励下的响应系统在简谐激励下的响应从图中可以看出频率为的简谐振动无论受何种初始条件的作用由于阻尼的存在经过一定的时间后将趋于消失它只在有限的时间内存在
T 0
周期
T
2π
(t ) d t π kA2 H () sin cX 2 WP FS x
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 系统在简谐激励下的响应
a
b
c
Theory of Vibration with Applications
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 系统在简谐激励下的响应
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1 s 2 t 0 in 0
c1
100.05(m) 200
c2 0
例（1）
The solution: x t A c2 o t B 0 s s2 it n 0 . 0 0 tc 5 2 o t 0 s
A and B are determined using the initial conditions
mg
Substitute above equations in equation of motion to obtain
2 c 1 s 0 2 t i c 2 0 c n 0 2 t o 2 0 t c 1 s c 0 2 t o c 0 2 s 0 2 t s i 0 2 n 0 t c 1 c 0 2 t o c 0 2 s 0 2 t s i 0
x00 A0 x t 2 0 B c o s 2 0 t 0 . 0 5 c o s 2 0 t t s i n 2 0 t x00 B0.050.0025(m )
20
Hence, the complete response of the undamped system is
x t 0 .0 0 2 5 s i n 2 0 t 0 .0 5 tc o s 2 0 tm
1
12 2 22
X0 k
F0
12 222
稳态响应的高频特性
, 0 , , X 0 F k 0 n 2 2 m F 0 2
(Inertia domination)
（外力主要与惯性力平衡）
Φarctan122
1
12 2 22
X0 k
F0
12 222
稳态响应的共振特性
x 2 t tc 1 c2 o t c 0 s 2 s2 itn 0
kc
x x 2 2 t t 4 c 1 c c 1 2 s t 2 0 o c t 2 c s i 0 2 c 2 0 t n s 2 i t 2 t o 4 n 0 c 1 t 0 s c 1 0 c 2 s 0 t 2 i t c 2 c c o 2 n 0 s 2 0 0 2 t t o s i o0 xΔ0 n Fs k F Fm c
简谐激励下强迫振动的响应特性
强迫振动的几种形式
强迫振动的运动方程
单自由度运动微分方程的一般形式
取不同形式时，振动特点不同
其中简谐激励为最简单的激励形式
简谐激励下的响应
运动微分方程的解
x(t)xh(t)xp(t)
其中, x h (t) 为相应齐次方程的解
瞬态响应
（有阻尼系统中该项解将逐渐消失）
x p (t) 为方程的特解 稳态响应
拍的现象
拍的现象
m x kxF 0sin t m 1, k1, F01
we have ωn-ω=2ε
x xsi n t
Period of beating:? Max. Amplitude: ?
1.06
1.1
1.12
激励频率与固有频率比不同时的情况
1.8
例（1）
问题描述
如右图所示的单自由度系统: m=5kg, c=0 Ns/m, and k=2000 N/m.
r /n
静位移 无量纲频率比
无阻尼系统幅频特性
稳态解的分段响应特性
总响应
共振
此时 由罗比塔法则
x (t) x 0c o sn tx 0 nsinn tst2n tsinn t
激励频率与固有频率接近
Case 4: ωn ≈ ω
设 x0 x0 0，则：
令 n 2 ， 为一小正数。则：
n 2 n 2
n22 4
激励频率与固有频率接近
因此有：
xtF 20/msintsint
F0 / m sin t 2
可变幅值
幅值变化周期为 2 /
出现拍的现象
激励频率与固有频率接近
拍振周期：两零幅值点或最大幅值点对应的时间
b
2 2
2 n
拍频： b 2 n
(or : fb fn f )
1 , 2 1 ,
, 2
X 0ination)
（共振时，外力与阻尼力平衡，惯性力与弹性力平衡）
Φarctan2 1 2
1
12 2 22
X0 k
F0
12 222
振幅达到最大值时的频率
'
12
1
2 22
22112 22228223
Exceed x (t) 180o
Vector relationship
稳态响应的低频特性
若 r X 0
st
Vector relationship
（习惯表达方式）
0 , 1 , 0 , X 0 F k0
(Stiffness domination)
（外力主要与弹性力平衡）
Φarctan122
如果F(t)=10sin(20t)(N), 所有初条 件为零, 求系统响应x(t)=?
k o Fk
Δ
x
c
F Fc
m
mg
Solution
The equation of motion: 5 x 2 0 0 0 x 1 0 s i n 2 0 t
n
2000 20 rad/s 5
例 （1）
Particular solution:
例（1）
The solution: x t 0 .0 0 2 5 s i n 2 0 t 0 .0 5 tc o s 2 0 tm
详细推导
稳态 和瞬 态问 题！！
全解！
二、有阻尼情形
运动方程一般形式 假设稳态解形式并代入运动方程得
用三角函数公式展开 令两边同谐波项相等
幅频特性 相频特性
无量纲化
式中：
振幅放大系数（幅值比）
力函数和响应相位差
稳态响应的相位特性
Force Excitation
F(t) Restoring
kx
Damping
cx
Inertia
m x2
Amplitude F0
kX0 cωX0 mω2X0
Phase Angle 0o
Lag F(t)
Φ
Exceed x (t) 90o
振动的时域波形
一、无阻尼情形
无阻尼情形的运动方程
瞬态解的一般形式：
稳态解的一般形式： 代入运动方程，得到振幅：
因此，总振动的一般形式为：
放大系数与静位移
总振动方程中代入初始条件，可求得待定常数
得到总振动的表达式
稳态解的振幅 X 通常可表达成
X 1 st 1 r 2
X
振幅放大系数（幅值比）
其中： st F0 / k