一元一次不等式与一元一次不等式组典型例题
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一元一次不等式与一元一次不等式组的解法
一、知识点回顾
1.不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式.常见的不等号有五种: “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”. 2.不等式的解与解集
不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.
不等式的解集:一个含有未知数的不等式的解的全体,叫做不等式的解集.
不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来,具体表示方法是先确定边界点。解集包含边界点,是实心圆点;不包含边界点,则是空心圆圈;再确定方向:大向右,小向左。
说明:不等式的解与一元一次方程的解是有区别的,不等式的解是不确定的,是一个范围,而一元一次方程的解则是一个具体的数值. 3.不等式的基本性质(重点)
(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式.不等号的方向不变.如果a b >,那么__a c b c ±±
(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.如果,0a b c >>,那么__ac bc (或
___a b
c c )
(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.如果a b >,0c <那么__ac bc (或___a b
c c
)
说明:常见不等式所表示的基本语言与含义还有:
①若a -b >0,则a 大于b ;②若a -b <0,则a 小于b ;③若a -b ≥0,则a 不小于b ;④若a -b ≤0,则a 不大于b ;⑤若ab >0或
0a b >,则a 、b 同号;⑥若ab <0或0a
b
<,则a 、b 异号。 任意两个实数a 、b 的大小关系:①a -b>O ?a>b ;②a -b=O ?a=b ;③a-b 只含有一个未知数,且未知数的次数是1.系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式. 注:其标准形式:ax+b <0或ax+b ≤0,ax+b >0或ax+b ≥0(a ≠0). 5.解一元一次不等式的一般步骤(重难点) (1)去分母;(2)去括号;(3)移项; (4)合并同类项;(5)化系数为1. 例:13 1 321≤---x x 解不等式: 6.一元一次不等式组 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组. 说明:判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件:①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式,且未知数相同;②不等式组中不等式的个数至少是2个,也就是说,可以是2个、3个、4个或更多. 7.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组中,几个不等式解集的公共部分.叫做这个一元一次不等式组的解集. 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定. 8. 不等式组解集的确定方法,可以归纳为以下四种类型(设a>b)(重难点) 9.解一元一次不等式组的步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.(三)常见题型归纳和经典例题讲解 类型一:不等式性质 1.若,则的大小关系为() A . B . C . D .不能确定 2.若x y >,则下列式子错误的是( ) A .33x y ->- B .33x y ->- C .32x y +>+ D . 33 x y > 类型二:比较大小 1.若01x <<,则2 1x x x ,,的大小关系是( ) A . 21x x x << B .21x x x << C .21x x x << D .21 x x x << 2.实数在数轴上对应的点如图所示,则 ,, 的大小关系正确的是() 1.B. C.D.类型三:解一元一次不等式 1.不等式的解集为 . 2.解不等式:2(x + )-1≤-x +9 类型四:不等式中字母的取值范围 1.关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数,则k 的取值范围是 2.已知2ab =.(1)若3-≤b ≤1-,则a 的取值范围是____________. (2)若0b >,且2 2 5a b +=,则a b +=____________. 3.关于x 的不等式2x -a ≤-1的解集如图2所示,则a 的取值是( )。 A 、0 B 、-3 C 、-2 D 、-1 类型五:解一元一次不等式组 1.不等式组3(2)412 1.3 x x x x --?? +?>-??≥,的解集是 . (图2) 2.解不等式组:3221317.22 x x x x ->+?? ?--??,≤ 类型六:解一元一次不等式组及解集在数轴上的表示 1.不等式组220 1 x x +>??--?≥的解集在数轴上表示为( ) A . B . C . D . 2.不等式组213 351x x +>??-? ≤的解集在数轴上表示正确的是( ) 类型七:不等式组的整数解 1.不等式组2752312x x x x -<-?? ?++>??的整数解是 . 2.不等式组26623212 x x x x -<-?? ?++>??的整数解是( ) A .1,2 B .1,2,3 C .33 1 < D .0,1,2 1 2 A . B . 1 2 C . 1 2 D . 1 2 3.解不等式组并写出该不等式组的最大整数解. 4.解不等式组并求出所有整数解的和. 类型八:已知不等式组的整数解,求字母的取值范围 1.已知关于x的不等式组 521 x a x - ? ? -> ? ≥, 只有四个整数解,则实数a的取值范围是. 2.若不等式组有实数解,则实数 的取值范围是() A.B. C.D. 3.若不等式组的解集为 ,则a的取值范围为() A.a>0 B.a=0 C.a>4 D.a=4 4.如果一元一次不等式组 3 x x a > ? ? > ? 的解集为3 x>.则a的取值范围是() A .3a > B .a ≥3 C .a ≤3 D .3a < 类型九:利用不等式组的解集求值 1.如果不等式组2 223 x a x b ?+???-≥的解集是01x <≤,那么a b +的值为 . 2.若不等式组220x a b x ->??->? 的解集是11x -<<,则2009 () a b += . 3.若不等式组 , 的整数解是关于x 的方程的根,求a 的值 4.已知不等式组的解集为-1<x<2,则(m+n)2008=_______________. 类型十:不等式应用题1:一般不等式应用题 分配问题: 1.把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分3颗,就剩下8颗;如果每只猴子分5颗,那么最后一只猴子虽分到了花生,但不足5颗。问猴子有多少只,花生有多少颗 二速度、时间问题 1爆破施工时,导火索燃烧的速度是s,人跑开的速度是5m/s,为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区,导火索至少需要多长 三工程问题 1 .一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程,第一天完成了60土方,现在要比原计划至少提前两天完成,则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土 四价格问题 1商场购进某种商品m件,每件按进价加价30元售出全部商品的65%,然后再降价10%,这样每件仍可获利18元,又售出全部商品的25%。 (1)试求该商品的进价和第一次的售价; (2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%,剩余商品的售价应不低于多少元 五其他问题 1.有一个两位数,其十位上的数比个位上的数小2,已知这个两位数大于20且小于40,求这个两位数 2.一次知识竞赛共有15道题。竞赛规则是:答对1题记8分,答错1题扣4分,不答记0分。结果神箭队有2道题没答,飞艇队答了所有的题,两队的成绩都超过了90分,两队分别至少答对了几道题 六方案选择与设计 1.某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料,已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表: 现配制这种饮料10千克,要求至少含有4200单位的维生素C,并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元,(1)设需用x千克甲种原料,写出x应满足的不等式组。 (2)按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内 2.红星公司要招聘A、B两个工种的工人150人,A、B工种的工人的月工资分别为600和1000元,现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍,那么招聘A工种工人多少时,可使每月所付的工资最少此时每月工资为多少元 3.某工厂接受一项生产任务,需要用10米长的铁条作原料。现在需要截取3米长的铁条81根,4米长的铁条32根,请你帮助设计一下怎样安排截料方案,才能使用掉的10米长的铁条最少最少需几根 4.某校办厂生产了一批新产品,现有两种销售方案,方案一:在这学期开学时售出该批产品,可获利30000元,然后将该批产品的投入资金和已获利30000元进行再投资,到这学期结束时再投资又可获利%;方案二:在这学期结结束时售出该批产品,可获利35940元,但要付投入资金的%作保管费,问: (1)当该批产品投入资金是多少元时,方案一和方案二的获利是一样的 (2)按所需投入资金的多少讨论方案一和方案二哪个获利多。 第九章、不等式(组)单元测试题 一、 选择题(.每题3分,共30分) 1、如果a 、b 表示两个负数,且a <b ,则( ). (A)1>b a (B)b a <1 (C)b a 11< (D)ab <1 2、 a 、b 是有理数,下列各式中成立的是( ). (A)若a >b ,则a 2>b 2 (B)若a 2>b 2,则a >b (C)若a ≠b ,则|a |≠|b | (D)若|a |≠|b |,则a ≠b 3、 若由x <y 可得到ax >ay ,应满足的条件是( ). (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a >0 (D)a <0 4、 若不等式(a +1)x >a +1的解集是x <1,则a 必满足( ). (A)a <0 (B)a >-1 (C)a <-1 (D)a <1 5、 某市出租车的收费标准是:起步价7元,超过3km 时,每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计).某人乘这种 出租车从甲地到乙地共支付车费19元,设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ,那么x 的最大值是( ). (A)11 (B)8 (C)7 (D)5 6、 若不等式组?? ?>≤ 初中数学教案 教学设计 课题§9.3一元一次不等式组(1)分析、评价 一、教材分析一元一次不等式组,是新人教版教材《数学》七年级下册第九章第三节的第一课时.本节内容是在学习了不等式的解集之后的知识内容,?在此基础上提出若某数同时满足几个不等式时,如何去确定这个数的取值范围,这就是不等式组的公共解集的确定,在实际生活中同样会遇到一个数所能满足的条件不止一个的问题,这就要用到不等式去确定其解. 二、教学目标 知识与 技能 1.了解一元一次不等式组的概念,理解一元一次不等式组的解集 的意义,掌握求一元一次不等式组的解集的常规方法; 2.通过确定不等式组的解集与确定方程组的解集进行比较,?抽象 出这二者中的异同,由此理解不等式组的公共解集. 过程与 方法 通过由一元一次不等式,一元一次不等式的解集、解不等式的概念 来类推学习一元一次不等式组,一元一次不等式组的解集,解不等 式组这些概念,?发展学生的类比推理能力.逐步熟悉数形结合的 思想方法,感受类比与化归的思想. 情感态度 价值观 通过培养学生的动手能力发展学生的感性认识与理性认识,?培养 学生独立思考的习惯;通过与其他同学交流、活动,初步形成积 极参与数学活动,提高学习兴趣,主动与他人合作交流的意识. 三、教学重难点与关键教学重点一元一次不等式组的解法 教学难点 1.在数轴上找不等式解集的公共部分; 2.确定不等式组的解集. 教学关键类比不等式及方程组得出相关概念,运用数形结合思想。 四、教学策略教法选择情境教学、类比探究、多媒体演示相结合. 学法引导 不等式的解集已经在前一节中学习并运用其解决实际问题,?若由 多个不等式构成的不等式组的解集如何确定呢?不等式的解集可 类比方程的解进行求解,是否不等式组的解与方程组的解也类似 呢?因此学生就会进行类比,进而可得出其解集的公共部分. 课堂组织 形式 游戏活动、分小组教学. 教具媒体 应用 多媒体辅助教学. 五、 课时 课型 课时:一课时课型:新课讲授六、教学过程 八下2.6一元一次不等式组 一、选择题 1、下列不等式组中,解集是2<x <3的不等式组是( ) A 、???>>23x x B 、???<>23x x C 、? ??><23x x D 、???<<23x x 2、在数轴上从左至右的三个数为a ,1+a ,-a ,则a 的取值范围是( ) A 、a <12 B 、a <0 C 、a >0 D 、a <-12 3、不等式组10235x x +??+ ≤,的解集在数轴上表示为( ) 4、不等式组31025x x +>?? 的整数解的个数是( )A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 5、在平面直角坐标系内,P (2x -6,x -5)在第四象限,则x 的取值范围为( ) A 、3<x <5 B 、-3<x <5 C 、-5<x <3 D 、-5<x <-3 6、已知不等式:①1x >,②4x >,③2x <,④21x ->-,从这四个不等式中取两个,构成正整数解是2的不等式组是( )A 、①与② B 、②与③ C 、③与④ D 、①与④ 7、如果不等式组x a x b >?? B. 109m > C. 1910m > D. 1019 m > 二、填空题 9、若y 同时满足y +1>0与y -2<0,则y 的取值范围是______________. 10、不等式组3010x x -?+?≥的解集是 .11、不等式组20.53 2.52 x x x -??---?≥≥的解集是 . 12、若不等式组? ??->+<121m x m x 无解,则m 的取值范围是 . A B C D 苏教版2017-2018学年七年级下册 《一元一次不等式》(附答案) 一、选择题 1.下列不等式中,是一元一次不等式的有()个. ①x>-3;②xy ≥1;③32 9.当x________时,代数式 61523--+x x 的值是非负数. 10.当代数式2x -3x 的值大于10时,x 的取值范围是________. 11.若代数式 2)52(3+k 的值不大于代数式5k -1的值,则k 的取值范围是________. 12.若不等式3x -m ≤0的正整数解是1,2,3,则m 的取值范围是________. 13.关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数,则k 的取值范围是 . 14、 若关于x 的不等式2x+a ≥0的负整数解是-2 ,-1 ,则a 的取值范围是_________。 三、解答题 15.解不等式,并把解集在数轴上表示: (1)2-5x ≥8-2x (2) 223125+<-+x x (3)3[x -2(x -7)]≤4x . (4).17 )10(2383+-≤-- y y y 初中数学精品试卷 3.4 一元一次不等式组 学习目标 : 1.理解一元一次不等式组的概念; 2.理解不等式组的解的概念; 3.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并会用数轴确定解. 学习重点:一元一次不等式组的解法. 学习难点:例 2 较为复杂,几乎包含了一元一次不等式的全部步骤. 学习过程 自主预学 : x 2 y3, 1.解方程组 3x 8 y13; 2. 同时满足二元一次方程组中的解,叫做的解. 3.阅读教材中的本节内容后回答: (1)一元一次不等式组和二元一次方程组有哪些区别? (2)所有的一元一次不等式组都会有解吗? 课堂导学 : 一、知识梳理 1.由几个含有的一元一次不等式所组成的一组不等式组叫做. 2.归纳常见的不等式组解: a 初中数学精品试卷 x a x b 二、例题学习 例 1:解一元一次不等式组 3x 2 x 1 x ≤2 3 思考:结合一元一次方程组的解法,对本例题如何处理呢? 3 5x x (2 x 1) 例 2:解一元一次不等式组 3x 2 x 4 2.5 2 思考:本例题与例 1 有什么不同的地方?如何处理呢? 分层助学: 一、基础练习 1.下列哪个不等式组的解集在数轴上表示如图所示( ) x 2 B. x 2 x 2 x 2 A. 1 x 1 C. D. x 1 x x 1 2.不等式组 x 2x 4 x 的正整数解有( ) 2 4x 1 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.解下列不等式组,并把解在数轴上表示出来 . (1) 2x 1 1 (2) x 2 0 x 2≤ 3 x 5 ≤ 3x 7 二、拓展提高 一元一次不等式组 年级 七科目数学任课教师授课时间 课题9.3.1一元一次不等式组授课类型新授课标依据一元一次不等式组的解法 教学目标知识与 技能 了解一元一次不等式组的概念 过程与 方法 理解一元一次不等式组解集的意义 情感态 度与价 值观 掌握一元一次不等式组的解法 教学重点难点教学 重点 一元一次不等式组的解法 教学 难点 一元一次不等式组的解集的表示 教学媒体选择分析表 知识点学习目标 媒体 类型教学 作用 使用 方式 所得结论 占用时 间 媒体来源 介绍知识目标图片 A G 拓展知识2分钟自制讲解 过程与方 法 图片 A E 建立表象5分钟下载观看 过程与方 法 图片 A E 帮助理解5分钟下载理解 情感态度 价值观 图片 A I 升华感情2分钟下载 ①媒体在教学中的作用分为:A.提供事实,建立经验;B.创设情境,引发动机;C.举例验证,建立概念;D.提供示范,正确操作;E.呈现过程,形成表象;F.演绎原理,启发思维; G.设难置疑,引起思辨;H.展示事例,开阔视野;I.欣赏审美,陶冶情操;J.归纳总结,复习巩固;K.其它。 ②媒体的使用方式包括:A.设疑—播放—讲解;B.设疑—播放—讨论;C.讲解—播放—概括;D.讲解—播放—举例;E.播放—提问—讲解;F.播放—讨论—总结;G.边播放、边讲解; H.设疑_播放_概括.I讨论_交流_总结J.其他 教学过程师生活动设计意图 设计 (一)导入新课 动手解一解下列不等式,并在数轴上表示解集: ①0.53x < ②21x x ->- ③321x x -<+ ④541x x +>+ (二)讲授新课 一、合作探究(10分钟),要求各小组组长组织成员进行先自主学习再合作探究、讨论。 1、一元一次不等式组: 用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水, 估计积存的污水超过1200吨不足1500吨, 那么大约需要多少时间能将污水抽完? 分析:若设需要x 分钟才能将污水抽完,则根据题意可列出两个不等式: _____________________ (1) _____________________ (2) 这两个不等式同时成立,与方程组类似,可以把它们组合在一起,得到: ? ? ?____________________ (一元一次不等式组) 概念:由两个(或两个以上)含有同一个未知数的______________组成的不等式组,叫做一元一次不等式组. 2、一元一次不等式组的解集:一元一次不等式组中同几个不等式的解集的__________叫做一元一次不等式组的解集. 练一练:由“温故知新”可知: (1)?????<>+22 13 12x x 的解集是___________; (2)? ??->++<-1424 23x x x x 的解集是_____________. 3、解一元一次不等式组:求一元一次不等式组的______ 一元一次不等式组练习题 1、已知方程???-=++=+② ①m 1y 2x m 31y x 2满足0y x <+,则( ) A. 1m -> B. 1m > C. 1m -< D. 1m < 2、若不等式组? ??+>+<+1m x 1x 59x 的解集为2x >,则m 的取值范围是( ) A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m > 3、若不等式组? ??>+>-01x 0 x a 无解,则a 的取值范围是( ) A. 1a -≤ B. 1a -≥ C. 1a -< D. 1a -> 4、如果不等式组? ??<->-m x x x )2(312的解集是x <2,那么m 的取值范围是( ) A 、m=2 B 、m >2 C 、m <2 D 、m≥2 5、如果不等式组2223x a x b ?+???-≥的解集是01x <≤,那么a b +的值为 . 6、若不等式组0,122x a x x +??->-? ≥有解,则a 的取值范围是( ) A .1a >- B .1a -≥ C .1a ≤ D .1a < 7、关于x 的不等式组12 x m x m >->+???的解集是1x >-,则m = . 8、已知关于x 的不等式组0521 x a x -??->?≥, 只有四个整数解,则实数a 的取值范围是 ____ 9、若不等式组530,0x x m -??-?≥≥有实数解,则实数m 的取值范围是( ) ≤53 <53 >53 ≥53 10、关于x 的不等式组?????x +152>x -3 2x +23<x +a 只有4个整数解,则a 的取值范围是 ( ) 初二下期单元测试题 一兀一次不等式和一兀一次不等式组 一 ?填空题:(每小题2分,共20分) 1 .若 X < y ,则 X —2 ____ y — 2 ;(填“< >或="号) 2.若一— < ,则3a b ;(填“< >或="号) 3.不等式2x ≥ X + 2的解集是 ; 3 9 4.当y 时,代数式 士旦 的值至少为1 ; 5.不等式6-12Xvo 的解集是 _____________ —; 4 6.不等式7—x>1的正整数解为: ________________ ;7 ?若一次函数y = 2x —6 ,当X _____ 时,y>0 ; 3 8. _________________________________________________________ X 的一与 12 的差不小于 6, 用不等式表示为 ________________________________________________________ ; 5 Zx —3c0 9. 不等式组丿 的整数解是 _______________ ; Qx+2 >0 '3x + 2y = p +1 10. 若关于X 的方程组』 ________________________ 的解满足x >y ,贝U P 的取值范围是 ; 4x +3y = p _1 二.选择题:(每小题3分,共30分) 11. 若a >b ,则下列不等式中正确的是 (A ) a - b :: - 0 (B ) - 5— ::: -5b (C ) 12. 关于X 的不等式2x — a ≤- 1的解集如图所示,则 A. 0 B. — 3 C. — 2 a 8 :: b - 8 (D ) a 的取值是( D. -2 -1 0 (第12题) 13. 已知两个不等式的解集在数轴上如图表示,那么这个解集为 .? ------ ( ) (A ) X ≥ -1 ( B ) X 1 (C ) -3:::X — -1 (D ) X- -3 「x +8 < 4x -1 14. 如果不等式组 8 , 的解集是 > m A. m ≥ 3 B. m ≤3 15. 下列不等式求解的结果,正确的是 X ≤ -3 (A )不等式组」 的解集是X 兰-3 K ≤ -5 X >5 (C )不等式组丿 无解 -3 -2 -1 U 1 X 3 ,那么m 的取值范围是( ) C.m=3 D. m<3 ( ) \ > -5 (B )不等式组丿 的解集是x ≥-5 XA —4 ■- r X 兰 10 (D )不等式组丿 的解集是—3兰x≡M0 IX £ -7 H > -3 第二章一元一次不等式和一元一次不等式组 第一节不等关系 【学习目标】 1.理解不等式的概念,感受生活中存在的不等关系。 2.能根据条件列出不等式,增强学生的符号感,发展其数学化的能力。 3.通过观察、分析、猜想、独立思考的过程感受不等式这个重要的过程,发展学生归纳、猜想能力。 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合. 【学习重难点】重点:对不等式概念的理解。 难点:怎样建立量与量之间的不等关系。 【学习过程】 模块一预习反馈 一.学习准备 1.一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连成的式子叫做。 注意:用符号“≠”连接的式子也叫不等式。 2.列不等式:列不等式类似于列方程,列方程依据的是等量关系,列不等式依据的是不等关系,列不等式的关键是找不等关系。大于用符号表示,小于用符号表示;不大于用符号表示,不小于用符号表示。 3.阅读教材:第一节不等关系 二.教材精读 4.例题:如图,用两根长度均为l cm的绳子,分别围成一个正方形和圆, (1)如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式? (2)如果要使圆的面积不小于100 cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式? (3)当l=8时,正方形和圆的面积哪个大?l=12呢? (4)你能得到什么猜想?改变l的取值再试一试? 分析:正方形的面积等于边长的平方.圆的面积是πR2,其中R是圆的半径.两数比较有大于、等于、小于三种情况,“不大于”就是等于或小于. “不小于”就是大于或等于。 做一做:通过测量一棵树的树围(树干的周长),可以计算出它的树龄,通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝,以后树围每年增加约3㎝,这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m?(只列关系式) 归纳小结:一般地,用符号“〈”(或“≤”),“〉”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。 实践练习:判断下列各式哪些是不等式,哪些既不是等式也不是不等式。 ①x+y ② 3x>y ③ 3+2=5 ④ x2≥5 ⑤2x-3y=1 ⑥-1<0. 解:不等式有;既不是等式也不是不等式的有; 9.3一元一次不等式组(1) 一、教学内容及分析: 1、教学内容: (1)一元一次不等式组,一元一次不等式组的解集,解不等式组等概念; (2)解不等式组成的不等式组,用数轴确定解集; (3)用一元一次不等式组解决实际问题. 2、内容分析: (1)一元一次不等式组,一元一次不等式组的解集,解不等式组等概念是对代数知识的综合理解及运用,为学生在后面列不等式解决实际问题时打下基础; (2)解不等式组成的不等式组,用数轴确定解集主要是让学生更进一步清楚不等式的解集是多个解的集合,形成整体思想; (3)列利用一元一次不等式组解决实际问题是基于方程的应用,训练学生的分析问题的能力及解决问题的意识,到达训练思维的目的. 二、教学目标及分析: 1、学习目标: (1)了解一元一次不等式组及其解集等概念. (2)会解一元一次不等式组,并会用数轴确定解集. 2、目标分析: (1)了解一元一次不等式组,一元一次不等式组的解集,解不等式组等概念就是指能判断什么样的是不等式组,解集的含义等纯代数意义的解读,使学生找到知识间的内在联系; (2)会解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并会用数轴确定解集,就是 指学生清楚求不等式组解集的过程,知道用数轴表示不等式解集的四种形式,形成与方程的区别; (3)能够利用一元一次不等式组解决实际问题就是指会根据条件知道用不等式组来解决,知道不等式组与实际问题的联系. 三、问题诊断分析: 本节课学生可能会遇到的问题是学生很难找到问题中的不等关系,原因主要是学生分析问题的能力未到达,解决这些困难就把问题分类讨论,使学生知道不同问题的不同解决思路,而关键是列代数式,使问题分解。 四、教学过程: 问题一: 某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月.如果每月比计划多烧5吨煤,那么取暖用煤总量将超过100吨;如果每月比计划少烧5吨煤,那么取暖用煤总量不足68吨.该校计划每月烧煤多少吨? 设计意图:通过此问题的分析—解决让学生初步了解不等式与实际问题的联系,搞清已知条件和未知元素,从而确定用哪一个知识点来解决问题,即把实际问题转换为数学模型,从而求解. 师生活动: 1、学生根据已有的不等式的知识进行独立思考.已知条件有:取暖时间为4个月,未知量是计划每月烧煤的数量(x ).当每月比原计划多烧5吨煤时,每月实际烧煤(x +5)吨,这时总量4(x +5)>100;当每月比原计划少烧5吨煤时,实际每月烧(x -5)吨煤,有4(x -5)<68.进而归纳不等式组的概念. 2、这是一个实际问题,请学生先理解题意,搞清已知条件和未知元素,从而确定用哪一个知识点来解决问题,即把实际问题转换为数学模型,从而求解.此时引导学生发现x 的值要同时满足上述两个不等式,进而引导学生归纳一元一次不等式组的概念. 把两个不等式合起来,就组成了一元一次不等式组(此时可以与方程组类比理解). 问题二:类比方程组的解,如何确定不等式???<->+68 )5(4100)5(4x x 的解集. 设计意图:进一步熟悉解一元一次不等式组的步骤,特别是了解用数轴表示解集的四种不同形式。 师生活动: 1、学生独立思考,容易分别解出两个不等式组,得到解集后,在解出后进行讨论,然后交流如何确定这个不等式组的解集,经过分析发现x 的值必须同时满足x >20,x <22两个不等式,于是可以发现x 的取值范围应该是20<x <22;或者运用数轴,如图1,从数轴上容易观察,同时满足上述两个不等式的x 的值应是,两个不等式解集的公共部分,因此解集为 八下一元一次不等式组 一、选择题 1、下列不等式组中,解集是2<x <3的不等式组是( ) A 、???>>23x x B 、???<>23x x C 、? ??><23x x D 、???<<23x x 2、在数轴上从左至右的三个数为a ,1+a ,-a ,则a 的取值范围是() A 、a <12 B 、a <0 C 、a >0 D 、a <-12 3、不等式组10235x x +??+ ≤,的解集在数轴上表示为() 4、不等式组31025x x +>?? 的整数解的个数是()A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 5、在平面直角坐标系内,P (2x -6,x -5)在第四象限,则x 的取值范围为() A 、3<x <5 B 、-3<x <5 C 、-5<x <3 D 、-5<x <-3 6、已知不等式:①1x >,②4x >,③2x <,④21x ->-,从这四个不等式中取两个,构成正整数解是2的不等式组是()A 、①与② B 、②与③ C 、③与④ D 、① 与④ 7、如果不等式组x a x b >??109 m >1910m >1019m >二、填空题 9、若y 同时满足y +1>0与y -2<0,则y 的取值范围是______________. 10、不等式组3010x x -?+?≥的解集是.11、不等式组20.53 2.52x x x -??---? ≥≥的解集是 . A B C D 一元一次不等式组教案公开课教案修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】 §9.3一元一次不等式组 肖慧 教学目标 知识与技能: 1、了解一元一次不等式组及其解集的概念。 2、会利用数轴求不等式组的解集。 过程与方法: 1、培养学生分析实际问题,抽象出数学关系的能力。 2、培养学生初步数学建模的能力。 情感态度价值观: 加深学生对数形结合的作用的理解,让学生体会数学解题的直观性和简洁性的数学美。感受探索的乐趣和成功的体验,使学生养成独立思考的好习惯。 教学重难点 重点:不等式组的解法及其步骤。 难点:确定两个不等式解集的公共部分。 教法与学法分析 教法:启发式、讨论式和讲练结合的教学方法。 学法:实践、比较、探究的学习方式。 教学课型 新授课 教学用具 多媒体课件 教学过程 一、复习引入 一元一次不等式的解法我们已经全部讲完,现在复习一下前面的内容。 1、不等式的三个基本性质是什么? 2、一元一次不等式的解法是怎样的? 3、情境引入:这个星期的星期天是我母亲的生日,肖老师想买一束康乃馨送给妈妈. 要求:这束花不低于20元,又少于40元 如果你是花店售货员,你会拿什么价格的康乃馨给我选择呢 二、讲授新知 探究新知: 题中一共有两种数量关系,讲解时应注意引导学生自主探究发现。 题中的x 应同时满足两个不等式,从而引出一元一次不等式组的概念:把两个一元一次不等式合在一起,就得到一个一元一次不等式组。 同时满足两个不等式的未知数,既是两个不等式解集的公共部分,要找出公共部分,就要利用数轴,在此要引导学生重视数轴的作用,并指导学生在数轴如何观察数轴上对应解集的范围。 记着20≤X<40(引导发现,此就是不等式组的解集。) 不等式解集的概念:不等式组中的几个不等式解集的公共部分。由此,教师可以引导学生自己总结出解一元一次不等式组的一般步骤。学生回答后教师总结步骤:分别求出每个不等式的解集;找出它们的公共部分。 三、例题讲解 教师提出问题,有了上面的铺垫,我们来完整的解一元一次不等式组。 例1解不等式组 (1)312128 x x x ->+??>? 八下一元一次不等式组 一、选择题 1、下列不等式组中,解集是 2< x < 3 的不等式组是 ( ) x 3 B x 3 x 3 x 3 A 、 2 、 2 C 、 2 D 、 2 x x x x 2、在数轴上从左至右的三个数为 a ,1+a ,- a ,则 a 的取值范围是( ) A 、a < 1 B 、a <0 C 、 a > 0D 、 a <- 1 2 2 3、不等式组 x 1 ≤ , ) 3 0 的解集在数轴上表示为( 2x 5 1 1 x 11 x 1 1 x 1 1 x A B C D 3x 1 0 ) A 、 1 个 B 、2 个 C 、3 个 D 、4 个 4、不等式组 5 的整数解的个数是( 2x 5、在平面直角坐标系内, P (2x - 6,x -5)在第四象限,则 x 的取值范围为( ) A 、3<x <5 B 、- 3<x <5 C 、- 5<x < 3 D 、- 5<x <- 3 6、已知不等式:① x 1 ,② x 4 ,③ x 2,④ 2 x 1 ,从这四个不等式中取两个,构成正整 数解是 2 的不等式组是( ) A 、①与② B 、②与③ C 、③与④ D 、①与④ 7、如果不等式组 x a 无解,那么不等式组的解集是( ) x b - b < x < 2- a -2<x < a - 2 C.2 -a <x < 2-b D. 无解 8、方程组 4x 3m 2 的解 x 、y 满足 x >y ,则 m 的取值范围是( ) 8x 3y m A. m 9 B. m 10 C. m 19 D. m 10 10 9 10 19 二、填空题 9、若 y 同时满足 y +1>0 与 y - 2< 0,则 y 的取值范围是 ______________. x 3 0 ≥ 0.5 10、不等式组 .11、不等式组 2x 的解集是. ≥ 的解集是 ≥ x 0 2.5x 2 1 3x 12、若不等式组 x m 1 无解,则 m 的取值范围是 . x 2m 1 二元一次方程组和不等式组测试题 1.已知关于x 的不等式组?? ???<->>a x x x 12 无解,则a 的取值范围是( ) A 、1-≤a B 、2≤a C 、21<<-a D 、1-a 2.已知方程组???=+=+15 231032y x y x ,不解方程组则=+y x 3.已知关于x 的不等式组()324213 x x a x x --≤???+>-??的解集是13x ≤<,则=a 4.已知关于x 的不等式组???--≥-1 230 x a x 的整数解有5个,则a 的取值范围是_____ 5.某商场计划在一月份销售彩电1000台,据统计本月前10天平均每天销售32台.现商场决定开展促某商.。…….销活动,并追加月计划量的20%,则这个商场本月后20天至少平均每天销售多少台? 6.风景点门票是每人10元,20人以上(含20人)的团体八折优惠.现有18位游客买20人的团体票; (1)问这样比普通票总共便宜多少钱? (2)此外,不足20人时,需多少人以上买20人的团体票才比普通票便宜? 7.车站有有待运的甲种货物1530吨,乙种货物1150吨,原计划用50节A ,B 两种型号的车厢将这批货物运至北京,已知每节A 型货箱的运费为0.5万元,每节B 型货箱的运费为0.8万元,甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A 型货箱,甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B 型货箱,按此要求安排B A ,两种货箱的节数,共有哪几种方案?请你设计出来,并说明哪种方案的运费最少? 8.某园林的门票每张10元,一次使用.考虑到人们的不同需求,也为了吸引更多的游客,该园林除保留原来的售票方法外,还推出了一种“购买个人年票”的售票方法(个人年票从购买日起,可供持票者使用一年),年票分A ,B ,C 三类:A 类年票每张120元,持票者进入园林时,无需再购买门票;B 类年票每张60元,持票者进入该园林时,需再购买门票,每次2元;C 类年票每张40元,持票者进入该园林时,需再购买门票,每次3元. (1)如果你只选择一种购买门票的方式,并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上,试通过计算,找出可使进入该园林的次数最多的购票方式; (2)求一年中进入该园林至少超过多少次时,购买A 类年票比较合算. 10.解不等式6 52123--≤-x x 并把解集在数轴上表示出来 11.?????-<-≤--x x x x 14 214)23( 12. 求不等式组?????>--≤--41)3(28)3(2x x x x 的整数解 13.若不等式7)1(68)2(5+-<+-x x 的最小整数解是方程32=-ax x 的解,求a a 144-的值 14. 有大小两种货车,3辆大车与5辆小车一次可运货24.5吨,两辆大车与3辆小车一次可运15.5吨,求5辆大车和6辆小车一次可运货多少吨? 一元一次不等式组教案 教学目标: 1、了解一元一次不等式组的概念,理解一元一次不等式组解集的意义,掌握求一元一次不等式组解集的常规方法; 2、经历知识的拓展过程,感受学习一元一次不等式的必要性; 3、逐步熟悉数形结合的思想方法,感受类比和化归思想。 4、通过利用数轴探求一元一次不等式组的解集,感受类比和化归的思想,积累数学学习的经验,体验数学学习的乐趣。 5、通过观察、类比、画图可以获得数学结论,渗透数形结合思想,鼓励学生积极参与数学问题的讨论,敢于发表自己的观点,学会分享别人的想法的结果,并重新审视自己的想法,能从交流中获益。 教学重难点: 重点:一元一次不等式组的解集与解法。 难点:一元一次不等式组解集的理解。 教学过程: 呈现目标 目标一:创设情景,引出新知 (教科书第137页)现有两根木条a与b,a长10厘米,b长3厘米,如果再找一根木条c,用这三根木条钉成一个三角形木框,那么对木条c的长度有什么要求? (教科书第135页第10题)求不等式5x-1>3(x+1)与x-1<7- x的解集的公共部分。 目标二:解法探讨数形结合 解下列不等式组: 2x-1>x+1 X+8<4x-1 2x+3≥x+11 -1<2-x 目标三:归纳总结反馈矫正 解下列不等式组 (1)3x-15>0 7x-2<8x (2) 3x-1 ≤x-2 -3x+4>x-2 (3) 5x-4≤2x+5 7+2x≤6+3x (4) 1-2x>4-x 3x-4>3 归纳解一元一次不等式组的步骤:(1)求出各个不等式的解集;(2)把各不等式的解集在数轴上表示出来;(3)找出各不等式解集的公共部分。 第141页9.3第1 题中,体会不等式组与解集的对应关系 X<4 x>4 x<4 x>4 X<2 x>2 x>2 x<2 X<2 x>4 2<x<4 无解 教师推荐解不等式组口决:同大取大,同小取小,大小小大中间夹,小小大大无解答。 目标四:巩固提高知识拓展 《完全解读》第230页 已知∣a-2∣+(b+3) =0,求-2<a(x-3)-b(x-2)+4<2的解集。 求不等式10(x+1)+x≤21的不正整数解。 探究合作 小组学习:各学习小组围绕目标一、目标二进行探究,合作归纳解一元一次不等式组的基本步聚; 教师引导:(1)什么是不等式组? (2)不等式组的解题步骤是怎样的?你是依以前学习的哪些旧知识猜想并验证的? 展示点评 分组展示:学生讲解的基本思路是:本题解题步骤,本小组同学错误原因,易错点分析,知识拓展等。 教师点评:教师推荐解不等式组口决。 巩固提高 教师点评:本题共用了哪些知识点?怎样综合运用这些知识点的性质解决这类题目。 一元一次不等式组练习题 一、选择题: 1.不等式组?????>+≤-0 530 2 1 x x 的解集为( ) A . -53 第一章一元一次不等式和一元一次不等式组整章水平测试 一、填空题(每小题 3 分,共 30 分) 1.若代数式的值不小于-3 ,则 t 的取值范围是 _________. 2.不等式的正数解是1,2, 3,那么 k 的取值范围是 ________. 3.若,则x 的取值范围是________. 4.若,用“<”或“>”号填空:2a______, _____. 5.若,则x 的取值范围是 _______. 6.如果不等式组有解,那么m的取值范围是 _______. 7.若不等式组的解集为,那么的值等于_______. 8.函数,,使的最小整数是________. 9.如果关于x 的不等式和的解集相同,则 a 的值为 ________. 10.一次测验共出 5 道题,做对一题得一分,已知26 人的平均分不少于分,最低的得 3 分,至少有 3 人得 4 分,则得 5 分的有 _______人. 二、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.当时,多项式的值小于0,那么 k 的值为 [ ]. A.B.C.D. 2.同时满足不等式和的整数x 是 [ ]. A. 1,2, 3 B . 0, 1,2, 3 C. 1,2, 3, 4 D . 0, 1,2, 3, 4 3.若三个连续正奇数的和不大于27,则这样的奇数组有[ ]. A. 3 组B.4组C.5组D.6组 4.如果,那么[ ]. A.B.C.D. 5.某数的 2 倍加上 5 不大于这个数的 3 倍减去 4,那么该数的范围是[ ].A.B.C.D. 6.不等式组的正整数解的个数是[ ]. A. 1B.2C.3D.4 7.关于 x 的不等式组有四个整数解,则 a 的取值范围是[ ]. A.B. C.D. 8.已知关于x 的不等式组的解集为,则的值为[ ]. A. -2 B.C.-4D. 9.不等式组的解集是,那么m的取值范围是[ ]. A.B.C.D. 10.现用甲、乙两种运输车将46 吨抗旱物资运往灾区,甲种运输车载重 5 吨,乙种运输车载重 4 吨,安排车辆不超过10 辆,则甲种运输车至少应安排[ ] .A. 4 辆 B . 5 辆 C . 6 辆 D .7 辆 三、解答题(本大题,共40 分) 1.(本题 8 分)解下列不等式(组): ( 1); (2) 2.(本题 8 分)已知关于x, y 的方程组的解为非负数,求整数m的值. 3.(本题 6 分)若关于x 的方程的解大于关于x 的方程的解,求 a 的取值范围. 课题 一元一次不等式的解法 【学习目标】 1.了解一元一次不等式的概念. 2.掌握解一元一次不等式的基本方法,并会在数轴上正确地表示不等式的解集. 【学习重点】 一元一次不等式的解法及解集的表示. 【学习难点】 区别与一元一次方程解法上的异同,并正确表示解集. 行为提示:点燃激情,引发学生思考本节课学什么. 行为提示:认真阅读课本,独立完成“自学互研”中的题目,并在练习中发现规律,从猜测到探索到理解知 识.情景导入 生成问题 旧知回顾: 1.什么叫一元一次方程? 答:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程. 2.解一元一次方程的步骤有哪些? 答:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化成1. 3.试解不等式2-3x 3>1. 解:两边乘以3得2-3x>3,两边减去2得-3x>1,两边除以-3,得x<-13 . 自学互研 生成能力 【自主探究】 阅读教材P 46的内容,回答下列问题: 什么叫一元一次不等式? 答:只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式叫一元一次不等式. 方法指导:解一元一次不等式可以按照解一元一次方程的基本步骤求解:去分母、去括号、移项,合并同类项、两边都除以未知数的系数. 学习笔记: 行为提示:在群学后期教师可有意安排每组的展示问题,并给学生板书题目和组内演练的时间.有展示 ,有补充、有质疑、有评价穿插其中. 学习笔记: 教会学生整理反思. 范例1:下列式子中,是一元一次不等式的有( B ) ①2x -7≥-3;②1x -x>0;③7<9;④x 2+3x>1;⑤a 2 -2(a +1)≤1;⑥m -n>3. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 仿例:下列不等式中,是一元一次不等式的是( A ) A .2x -1>0 B .-1<2 C .3x -2y≤-1 D .y 2+3>5 阅读教材P 46-47的内容,回答下列问题: 范例2:解下列一元一次不等式,并在数轴上表示: (1)2? ?? ??x +12-1≤-x +9;(2)x -32-1>x -53. 解:(1)去括号,得2x +1-1≤-x +9,移项、合并同类项,得3x≤9,两边都除以3,得x≤3; (2)去分母,得3(x -3)-6>2(x -5),去括号,得3x -9-6>2x -10,移项,得3x -2x>-10+9+6,合并同类项,得x>5. 仿例:解下列不等式,并把解集表示在数轴上. (1)12x -1≤23x -12;(2)2x -13≤3x +24 -1 解:(1)去分母,得3x -6≤4x-3,移项,得3x -4x≤6-3.合并同类项,得-x≤3,系数化为1,得x≥-3.这个不等式的解集在数轴上表示为:. 《一元一次不等式组》教学设计 课题一元一次不等式组授课时间45分钟 执教郑银华所属学科数学年级八年级教学内容分析 本课是数学湘教版八年级上册第4章第5节的内容。从其形式上看,与七年级下册第1章学习的方程组有类似之处,它们都是表示同时要满足几个数量关系,所求的都是公共解集或公共解。本课内容是一元一次不等式知识的综合运用和拓展延伸,是进一步刻画现实世界数量关系的数学模型,是下一节利用一元一次不等式组解决实际问题的基础和关键。本节课,既有概念教学又有解题教学,而概念教学,应该从生活、生产实例或学生熟悉的已有知识引入,引导学生通过观察、比较、分析、综合,抽取共性,得到概念的本质属性。通过对“数”与“形”两种角度表示不等式组的解集,将帮助学生加深对不等式组的解集的理解,这也是运用“数形结合”思想研究数学问题的生动体现。 学习者特征分析: 从学生学习的基础和认知特点来看,学生已经学习了一元一次不等式,并能熟练地解一元一次不等式,能将一些简单的实际问题抽象为数学模型。但学生将两个一元一次不等式的解集在同一数轴上表示会产生一定的困惑。而八年级的学生,以感性认识为主,并向理性认知过渡,所以更需要独立思考,动手操作,合作交流,从而自主学习。 教学目标分析: 教学目标: 1、了解一元一次不等式组的概念。 2、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组,会用数轴确定解集。 3、让学生进一步感受数形结合的作用,逐步熟悉和掌握这一重要思想方 法。 教学重点: 解一元一次不等式组。 教学难点: 利用数轴确定不等式组的解集。 教学过程: 教学环节教学活动学习活动 一、导入1、情景引入: 邵阳市体育局修建了一座全新的体育馆。 揭示课题: 学生通过看、思考然后 交流。 二、探索新知1、一元一次不等式组的定义 2、一元一次不等式组的解集 3、解一元一次不等式组的步骤学生理解、感受、练习 三、探索规律1、在数轴上表示下列不等式组,并找到公共部分? 2、小组合作、展示规律。 4、小结,大屏幕展示:(完整版)一元一次不等式组测试题1含答案
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