信号系统在自动控制原理中的应用

信号系统在自动控制原理中的应用【摘要】：信号系统的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如信号处理、通信系统、计算机系统、控制系统中的问题的有力工具。

而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了信号系统的发展，丰富了它的内容。

我们在学习的过程中，要正确理解和掌握信号系统中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。

文中简单地介绍了该门课程在电气工程理论中的应用。

【关键词】：线性系统卷积拉普拉斯变换【正文】：随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。

当然信号系统在自动控制原理方面的应用也更大的加快了自动化的发展，自动控制也更加离不开一套有效的处理方法。

但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了我们的首要问题。

而傅立叶变换和拉普拉斯变换又和信号有什么关系呢？傅立叶系数与波形对称性的关系一、为偶函数—纵轴对称即，如下图傅里叶系数：且有：二、为奇函数—原点对称即，如下图傅里叶系数：且有：从傅立叶变换到拉普拉斯变换：一个信号f(t)若满足绝对可积条件，则其傅里叶变换一定存在。

例如，e-αtε(t)( α>0)就是这种信号。

若f(t)不满足绝对可积条件，则傅里叶变换不一定存在。

例如，信号ε(t) 在引入冲激函数后其傅里叶变换存在，而信号 eαtε(t)( α>0)的傅里叶变换不存在。

若给信号eαtε(t)乘以信号e-σt(σ>α)，得到信号 e-(σ-α)tε(t) 。

信号 e-(σ-α)tε(t)满足绝对可积条件，因此其傅里叶变换存在。

设有信号f(t)e-σt（σ为实数），并且能选择适当的σ使f(t)e-σt绝对可积,则该信号的傅里叶变换存在。

若用 F(σ+jω)表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义，则有(4.1-1) 根据傅里叶逆变换(inverse Fourier transform)的定义，则上式两边乘以e σt，得(4.1-2)令 s= σ+j ω, 则 jd ω=ds ，代入式(4.1-1)和式(4.1-2)得到(4.1-3)(4.1-4)式(4.1-3)称为信号f(t)的双边拉普拉斯变换(two-sided Laplace transform)，记为F(s)=￡[f(t)] 。

式 (4.1-4) 称为双边拉普拉斯逆变换或反变换(inverse two-sidedLaplace transform)。

记为 f(t)= ￡-1[F(s)]。

F(s)又称为f(t)的像函数，f(t)又称为 F(s)的原函数。

双边拉普拉斯变换简称为双边拉氏变换。

分析问题：例1： 如图1所示电路，原处于稳态，开关S 于t=0时由1端转向 2端，R=10Ω，L=1H,C=0.004F,求换路后电流i(t)。

解：因换路前电路已达稳态，故可知()=-0i 0, ()V u c 20=- 换路后，电路的微分方程为图1+ 2V -+()t u C -CL()t iRS120=t+ 10V -()()()+++-0c u dtt di L t Ri ⎰-td i C 0)(1ττ=10)(t ε 对上式进行拉普拉斯变换，得 ()()()[]+-+-0i s sI L s RI sC s I s u c )()0(+-=s10解得 ()s I =sCsL R s u Li s c 1)0()0(10++-+-- 代入已知数据得()s I =ss s s 25010210++-=2501082++s s =2215)5(15158++⨯s用查表法可求得上式的拉普拉斯反变换为()At t e t i t)(15sin 1585ε⋅=- 例2： 如图2所示为常用的二阶有源系统的电路模型，设Ω=1R 、C=1F 。

试求系统函数（电压传递函数）()()()s U s U s H 12=；当K=3时，求冲激响应()t h 和阶跃响应()t s 。

解：由图2可得s 域的节点方程b1F+()t u 2-+()t Ku b-+()t u b -1FΩ1aΩ1+()t u 1-图2()()()()[]()()()()()()()s KU s U Rs U s U s sCU Rs U s U s U s U sC R s U s U b b a b b aa a =-=-=-+-221联立上述三式求解，并代入参数，可得 ()()()()13212+-+==s K s Ks U s U s H 当K=3时，得 ()132+=s s H 所以 ()()[]()()t t s H Lt h εsin 31==- V由于 ()()()1312+==s s s H s s S 故得阶跃响应 ()()()t t t s εcos 13-= V由上面两例题可以看出，通过拉普拉斯变换可将时域中的微分方程变换为复频域中的代数方程，使求解简化。

系统的起始状态（条件）可以自动地包含到象函数中，从而可一举求得方程的完全解。

用拉普拉斯变换法分析电网络系统时，甚至不必列写出系统的微分方程，而直接利用电路的s 域模型列写电路方程，就可以获得响应的象函数，再反变换即可得原函数。

目前，卷积已成为现代电路与系统分析的重要工具，是研究 系统中信号传递规律的关键所在。

例3：设信号()t f 和()t h 如图3所示，试求()()t h t f *。

解：对于图中的()t f 和()t h ，可以分别表示()()()222--=t t t f εε()()t e t h tε-=则响应()t y 可利用延时性质得到()()()()()[]()t e t t t h t f t y tεεε-*--=*=222()()()()t e t t e t t t εεεε--*--*=222 ()()()[]()212122----=---t e t e t t εε通过卷积的运用，我们在后期专业课中，能较好地解决信号与系统中的问题。

推广应用：Fourier 变换与Laplace 变换的计算可以使用到科学和工程计算，方便地为我们解决了频谱分析、信号处理等工作。

在本专业上的推广应用也很广泛，比如应用于电力工程、通信和自动控制领域以及信号分析、图像处理。

Fourier 变换应用于频谱分析和信号处理等。

频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析。

Laplace 变换应用于控制问题。

例4： 某一反馈和给定输入前馈复合控制系统的结构图如图4所示，图中前馈环节的传递函数()()()122++=s T bsas s F r，当输入信号()22tt r =时，为使系统的稳态误差终值等于零，试确定前馈环节的参数a 和b 。

解：系统的闭环传递函数为图3(b)t e -1t()t h(a)22t()t f()()()()()()112212122221++++++=s T K K s s T bsas K s T K K s R s C 系统的给定误差函数的拉式变换为 ()()()()()()s R s R s C s C s R s E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=1 ()()()()()s R s T K K s s T bs as K s T K K ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++-=1112212122221 ()()()()()s R s T K K s s T sb K s a K T T s T T 112212122221321+++-+-++=代入()31s s R =，并利用终值定理，得()()()()0111322121222213210lim=∙+++-+-++==→ss T K K s s T s b K s a K T T s T T s e s ss 要使上述等式成立，须满足 01,02221=-=-+b K a K T T 由此可得前馈环节的参数 22211,K b K T T a =+=结论：在写论文的过程中，通过论文资料的收集，结合平时老师的讲解和自己的理解和整理，让我了解到了信号系统在各个领域中的应用和地位，尤其是在本专业中的应用及其不可或缺图4()s C++ -+()s R()s F r1K()112+s T s K的地位。

自动控制在工程和科学技术发展中起着十分重要的作用，在日常生活中也得到广泛的应用。

而信号系统在其发展中起着不可或缺的推动作用。

由例题可见，拉氏变换在解决工程学问题上具有重大作用及应用意义。

通过对信号系统的学习，使我掌握信号系统的基本理论和方法，并获得初步应用的能力。

用拉氏变换解高阶微分方程和常定系数微分方程比较简单，在工程学上拉氏变换的重要作用在于将一个性能好从时域上转变为复频域上来表示。

【参考文献】：（1）《自动控制原理学习指南》主编冯江王晓燕（2）《信号分析与处理》主编燕庆明（3）《现代信号处理理论与应用》主编张忠（4）《自动控制理论》主编葛思擘张爱民杜行俭杨清宇（5）《复变函数论》主编：钟玉泉(6)《信号与系统[M]》沈元隆，周井泉．北京：AE邮电出版社，20o3．(7)《信号与系统分析基础[M]》姜建国，曹建中，高玉明．．北京：【致谢】：历时将近一个月的时间终于将这篇论文写完，本篇论文虽是自己动手完成，凝聚着自己的汗水，但却不完全是个人智慧的结晶。

在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，论文即将完成之日，感慨颇多，从论文的设计、整改及论文的定稿过程中，在校图书馆查找资料的时候，图书馆中的图书也给我提供了很多方面的支持与帮助。

如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。

本文引用了数位学者的研究文献。

感谢这篇论文所涉及到的各位学者。