上海市建平中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
上海市建平中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.“”是“”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若，则，则成立，即充分性成立，若当时，成立，但不成立，即必要性不成立，即“”是“”成立的充分不必要条件，故选：A．根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.若实数a、b满足条件，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A、，时，有成立，故A错误；对于B、，时，有成立，故B错误；对于C、，时，有成立，故C错误；对于D、由不等式的性质分析可得若，必有成立，则D正确；故选：D．根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可．3.设集合，对任意恒成立，则P与Q的关系是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：集合，对任意恒成立，．与Q的关系是．故选：C．先分别求出集合P，Q，由此能求出P与Q的关系．本题考查集合的关系的判断，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知集合2，3，，集合是集合A的子集，若且2，，，满足集合B的个数记为，则A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【解析】解：由题意可得，，，那么集合2，3，4，5，6，；集合，，满足集合B的个数列罗出来，可得：3，，3，，3，，4，，4，；5，，4，，4，，5，，5，，故选：B．根据和，可得，，，集合2，3，4，5，6，；集合，满足集合B的个数列罗出来，可得答案．本题考查子集与真子集，并且即时定义新的集合，主要考查学生的阅读理解能力．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.设全集2，3，4，5，，集合4，，则______．【答案】3，【解析】解：全集2，3，4，5，，集合4，，则3，．故答案为：3，．根据补集的定义写出 A.本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．6.不等式的解集为______．【答案】【解析】解：，，解得：，故不等式的解集是，故答案为：．问题转化为，求出不等式的解集即可．解分式不等式的方法是：移项，通分化不等式为，再转化为整式不等式，然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解．7.已知集合0，，，若，则实数a的值为______．【答案】【解析】解：若，则，；，；，；，．故答案为：．先假设，得，；，；，；取补集得结果．本题考查的知识点集合的包含关系应用，难度不大，属于基础题．8.用列举法写出集合______【答案】【解析】解：，且；，0，或1；，或1；，或0；．故答案为：．由及即可求出，0，或1，从而得出，或1，进而得出y的值，从而得出集合A．考查描述法、列举法的定义，以及绝对值不等式的解法．9.已知不等式的解集为，则______【答案】11【解析】解：不等式的解集为，方程的实数根为2和3，，，；．故答案为：11．利用不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系求出a、b的值．本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．10.命题“如果，那么”的逆否命题为______．【答案】若，则【解析】解：原命题“如果，那么”，其逆否命题为：“若，则”．故答案为：若，则．根据逆否命题的定义，即把结论和条件的否定后作为逆否命题的条件和结论即可．本题考查的知识点是逆否命题的定义，需要正确写出对条件的结论的否定，这是关键和易出错的地方．11.已知集合，，，则______．【答案】【解析】解：．故答案为：．根据交集定义得，．此题考查了交集及其运算，需要注意此题是点集，是基础题．12.若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围为______．【答案】【解析】解：若“”是“”的充分不必要条件，故答案为：根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．13.已知集合，，若，则实数a的取值集合为______【答案】．【解析】解：，，，，，，，，故实数a的取值集合为．故答案为：．分为，和两种情况讨论，取并集得结论．本题考查了集合的化简与集合的运算的应用，注意不要漏掉，属于基础题．14.已知集合中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为______．【答案】或【解析】解：集合中的所有元素之和为2，的解为或无解，或，实数a的取值集合为或．故答案为：或．推导出的解为或无解，由此能求出实数a的取值集合．本题考查实数的取值集合的求法，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.已知正实数x，y满足，则的最小值是______【答案】【解析】解：正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换16.若不等式对任意，恒成立，则a的取值范围是______．【答案】【解析】解：不等式，，，，令，可得：．．可知：时函数取得最大值，．．．不等式对任意，恒成立，的取值范围是．故答案为：．不等式，，，，令，可得：利用导数研究其单调性极值最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知x，y是实数，求证：．【答案】证明：因为，可得，，可得，所以．【解析】利用综合法，证明不等式即可．本题考查不等式的证明，综合法的应用，是基本知识的考查．18.已知全集，集合，，求，．【答案】解：；；；；，；．【解析】先求出A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．考查描述法表示集合的定义，，以及交集、并集和补集的运算．19.已知命题p：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程对于任意实数a都没有实数根．若命题p为真命题，求实数m的取值范围；若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．【答案】解：命题p：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解得；命题q：关于x的一元二次方程对于任意实数a都没有实数根，可得，由，可得无实数解，可得，即，命题p和命题q中有且只有一个为真命题，可得或，即有或．【解析】由题意可得判别式大于0，由绝对值不等式的解法可得m的范围；考虑命题q真，运用绝对值不等式的性质和判别式小于0，解不等式可得m的范围，由p，q一真一假，解不等式即可得到所求范围．本题考查二次方程和二次不等式的解法，注意运用判别式和绝对值不等式的性质，考查化简运算能力，属于基础题．20.已知集合，集合当时，求集合和集合B；若集合为单元素集，求实数m的取值集合；若集合的元素个数为个，求实数m的取值集合【答案】解：集合或，集合当时，集合；集合；因为集合为单元素集，且，所以，解得，当时，经验证，满足题意．故实数m的取值集合为因为集合A中只有2个整数0，1；B中一定含整数0，所以当时，；当时，B中有且只有两个整数0，1，解得：所以实数m的取值集合为【解析】时，化简集合A，B，即可得集合和集合B；集合为单元素集，所以集合B中有且只有一个整数，而，所以抛物线的开口向上，且与x轴的两个交点都在内，据此列式可得；因为A中只有2个整数0和1，所以的元素个数为1或2，当时，元素只能是0，所以抛物线开口向上且与x轴的两个交点在内，列式可得；当时，元素只能是0和1，抛物线的开口向上，与x轴的两个交点分别在和内，列式解得：本题考查了交、并、补集的混合运算属难题．21.已知集合P的元素个数为个且元素为正整数，将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即，，，，其中，，若集合A、B、C 中的元素满足，，，2，，则称集合P为“完美集合”．若集合2，，2，3，4，5，，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；已知集合x，3，4，5，为“完美集合”，求正整数x的值；设集合证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是或判断当时，集合P是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C；如果不是，请说明理由．【答案】解：（1）集合P=为“完美集合”，令A=，B=，C=．则集合A、B、C中的元素满足a k+b k=c k，集合Q=不是“完美集合”，若集合Q为“完美集合”，则C中元素最小为3，若C的最小元素为3，则a1+b1=1+2=3，a2+b2=4+5=c2=6不可能成立，若C的最小元素为4，则a1+b1=1+3=4，a2+b2=2+5=c2=6不可能成立，若C的最小元素为5，则a1+b1=1+4=5，a2+b2=2+3=c2=6不可能成立，综上可得集合Q=不是“完美集合”（2）由（1）可得x≠2，若A={1，3}，4∈B，则5∈C，6∈B，x=3+6=9∈C满足“完美集合”的定义；若A={1，3}，5∈B，则6∈C，5∈B，x=3+5=8∈C满足“完美集合”的定义；【解析】讨论集合A与集合B，根据完美集合的概念知集合C，根据a k+b k=c k．建立等式求x的值本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．。
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．设全集∪＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，则∁U A＝．2．不等式＜0的解集是．3．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{a2+1}，若B⊄A，则实数a的值为．4．用列举法写出集合A＝{y|y＝x2﹣1，x∈Z，|x|≤1}＝5．已知不等式x2﹣ax+b≤0的解集为[2，3]，则a+b＝6．命题“如果a≠0，那么a2＞0”的逆否命题为．7．已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈R}，B＝{（x，y）|y＝3﹣x．x∈R}，则A∩B＝．8．若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，则a的取值范围为．9．已知集合A＝{x||x﹣1|≤1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a的取值集合为10．已知集合{x|（x﹣2）（x2﹣2x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为．11．已知正实数x，y满足x+y＝1，则﹣的最小值是12．若不等式x+4≤a（x+y）对任意x＞0，y＞0恒成立，则a的取值范围是．二、选择题13．“x＞1”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．若实数a、b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＜B．a2＞b2C．ab＞b2D．a3＞b315．设集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+2mx﹣1＜0}对任意x∈R恒成立，则P与Q的关系是（）A．P⊄Q B．Q⊄P C．P＝Q D．P∩Q＝∅16．已知集合A＝{1，2，3，…n）（n∈N*}，集合B＝{j1，j2，…j k）（k≥2，k∈N*）是集合A的子集，若1≤j1＜j2＜…＜j m≤n且j i+1﹣j i≥m（i＝1，2，……，k﹣1），满足集合B的个数记为n（k⊕m），则7（3⊕2）＝（）A．9B．10C．11D．12三、解答题17．已知x，y是实数，求证：x2+y2≥2x+2y﹣2．18．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣12＜0}，B＝{y|y＝，x∈R}，求A∩B，A∪（∁U B）．19．已知命题p：关于x的一元二次方程x2﹣2x+|m﹣2|＝0有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程x2﹣mx+|a+1|+|a﹣3|＝0对于任意实数a都没有实数根．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．20．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，集合B＝{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}．（1）当m＝2时，求集合∁R A和集合B；（2）若集合B∩Z为单元素集，求实数m的取值集合；（3）若集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个，求实数m的取值集合．21．已知集合P的元素个数为3n（n∈N*）个且元素为正整数，将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即P＝A∪B∪C，A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，其中A＝{a1，a2，…，a n}，B＝{b1，b2，…b n}，C＝{c1，c2，…，c n}．若集合A、B、C中的元素满足c1＜c2＜…＜c n，a k+b k＝c k，k＝1，2，…n，则称集合P为“完美集合”．（1）若集合P＝{1，2，3}，Q＝{1，2，3，4，5，6}，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合P＝{1，x，3，4，5，6}为“完美集合”，求正整数x的值；（3）设集合P＝{x|1≤x≤3n，n≥2，n∈N*}①证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n＝4k或n＝4k+1（k∈N*）②判断当n＝4时，集合P是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C；如果不是，请说明理由．2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试卷解析一、填空题1．【解答】解：全集∪＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，则∁U A＝{1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．2．【解答】解：∵＜0，∴（x﹣1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜1，故不等式的解集是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．3．【解答】解：若B⊂A，则①a2+1＝﹣1，a∈∅；②a2+1＝0，a∈∅；③a2+1＝2，a＝±1；∵B⊄A，∴a≠±1．故答案为：a≠±1．4．【解答】解：∵|x|≤1，且x∈Z；∴x＝﹣1，0，或1；∴x2＝0，或1；∴y＝﹣1，或0；∴A＝{﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}．5．【解答】解：不等式x2﹣ax+b≤0的解集为[2，3]，∴方程x2﹣ax+b＝0的实数根为2和3，∴，a＝5，b＝6；∴a+b＝11．故答案为：11．6．【解答】解：原命题“如果a≠0，那么a2＞0”，∴其逆否命题为：“若a2≤0，则a＝0”．故答案为：若a2≤0，则a＝0．7．【解答】解：A∩B＝{（x，y）|}＝{（1，2）}．故答案为：{（1，2）}．8．【解答】解：若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，则a≤1，故答案为：a≤19．【解答】解：A＝{x|0≤x≤2}，①B＝∅，a＝0，②B≠∅，B＝{}，0＜≤2，≥，∴a≥1，故实数a的取值集合为[1，+∞）∪{0}．故答案为：[1，+∞）∪{0}．10．【解答】解：∵集合{x|（x﹣2）（x2﹣2x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为2，∴x2﹣2x+a＝0的解为x＝0或无解，∴a＝0或Δ＝4﹣4a＜0，解得a＞1．∴实数a的取值集合为{a|a＝0或a＞1}．故答案为：{a|a＝0或a＞1}．11．【解答】解：正实数x，y满足x+y＝1，则﹣＝＝＝（）[x+（y+1）]﹣4＝（5+）﹣4＝当且仅当且x+y＝1即y＝，x＝时取得最小值是/故答案为：12．【解答】解：∵不等式x+4≤a（x+y），x＞0，y＞0，∴a≥＝，令＝t＞0，可得：f（t）＝．f′（t）＝＝＝．可知：t＝时函数f（t）取得最大值，＝4．f（0）＝0．∴0＜f（t）≤4．∵不等式x+4≤a（x+y）对任意x＞0，y＞0恒成立，∴a的取值范围是a≥4．故答案为：[4，+∞）．二、选择题13．【解答】解：若x＞1，则0＜，则成立，即充分性成立，若当x＜0时，成立，但x＞1不成立，即必要性不成立，即“x＞1”是“”成立的充分不必要条件，故选：A．14．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、a＝1，b＝﹣1时，有＞成立，故A错误；对于B、a＝1，b＝﹣2时，有a2＜b2成立，故B错误；对于C、a＝1，b＝﹣2时，有ab＜b2成立，故C错误；对于D、由不等式的性质分析可得若a＞b，必有a3＞b3成立，则D正确；故选：D．15．【解答】解：∵集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+2mx﹣1＜0}对任意x∈R恒成立，∴Q＝{m|﹣1＜m≤0}．∴P与Q的关系是P＝Q．故选：C．16．【解答】解：由题意可得n＝7，k＝3，m＝2，那么集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}；集合B＝{j1，j2，j3}，1≤j1＜j2≤7，j i+1﹣j i≥2满足集合B的个数列罗出来，可得：{1，3，5}，{1，3，6}，{1，3，7}，{1，4，6}，{1，4，7}；{1，5，7}，{2，4，6}，{2，4，7}，{2，5，7}，{3，5，7}，故选：B．三、解答题17．【解答】证明：因为x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，可得x2≥2x﹣1，y2﹣2y+1＝（y﹣1）2≥0，可得y2≥2y﹣1，所以x2+y2≥2x+2y﹣2．18．【解答】解：A＝{x|﹣3＜x＜4}；∵x4+1≥2x2；∴；∴B＝{y|y≥2}；∴A∩B＝[2，4），∁U B＝{y|y＜2}；∴A∪（∁U B）＝（﹣∞，4）．19．【解答】解：（1）命题p：关于x的一元二次方程x2﹣2x+|m﹣2|＝0有两个不相等的实数根，可得Δ＝12﹣4|m﹣2|＞0，解得﹣1＜m＜5；（2）命题q：关于x的一元二次方程x2﹣mx+|a+1|+|a﹣3|＝0对于任意实数a都没有实数根，可得﹣x2+mx＝|a+1|+|a﹣3|，由|a+1|+|a﹣3|≥|a+1﹣a+3|＝4，可得﹣x2+mx﹣4≥0无实数解，可得Δ＝m2﹣16＜0，即﹣4＜m＜4，命题p和命题q中有且只有一个为真命题，可得或，即有4≤m＜5或﹣4＜m≤﹣1．20．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，集合{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}＝{x|[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＜0}（1）当m＝2时，集合∁R A＝{x|﹣1＜x＜2}；集合B＝{x|x＞1或x＜}；（2）因为集合B∩Z为单元素集，且0∈B，所以，解得m＝0，当m＝0时，经验证，满足题意．故实数m的取值集合为{0}（3）集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个，等价于（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0在（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）上有整数解，所以令f（x）＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1，依题意有1﹣m2≤0或或，解得m＜﹣或m＞0．21．【解答】解：（1）将P分为集合{1}、{2}、{3}，满足条件，是完美集合．将Q分成3个，每个中有两个元素，若为完美集合，则a1+b1＝c1、a2+b2＝c2，Q中所有元素之和为21，21÷2＝c1+c2＝10.5，不符合要求；（2）若集合A＝{1，4}，B＝{3，5}，根据完美集合的概念知集合C＝{6，7}，若集合A＝{1，5}，B＝{3，6}，根据完并集合的概念知集合C＝{4，11}，若集合A＝{1，3}，B＝{4，6}，根据完并集合的概念知集合C＝{5，9}，故x的一个可能值为7，9，11中任一个；（3）①证明：P中所有元素之和为1+2+…+3n＝＝a1+b1+c1+a2+b2+c2+…+a n+b n+c n＝2（c1+c2+…+c n﹣1+c n），∵c n＝3n，∴＝c1+c2+…+c n﹣1+3n，∴＝c1+c2+…+c n﹣1，等号右边为正整数，则等式左边9n（n﹣1）可以被4整除，∴n＝4k或n﹣1＝4k，即n＝4k或n＝4k+1；②p是完美集合，A＝{1，4，3，2}，B＝{6，5，8，10}，C＝{7，9，11，12}或A＝{1，2，4，3}，B＝{5，8，7，9}，C＝{6，10，11，12}或A＝{2，4，3，1}，B＝{6，5，7，11}，C＝{8，9，10，12}．。
2019-2020学年上海市建平中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
建平中学高一期中数学卷一.填空题1.已知全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，那么U A =ð________.2.不等式211x x +<-的解集是________.3.已知,a b R ∈，命题：若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠的逆否命题是__．4.已知函数()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()2f =________.5.若“x a >”是“5x >”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________.6.若x 、y +∈R ，且4xy =，则4x y +的最小值是________.7.函数y =________.8.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是________.9.若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______.10.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是________．11.关于x 的不等式2315x x a a+--≤-的解集不是∅，则实数a 的取值范围为______.12.已知x 、y +∈R ，21x y +=，可以利用不等式1ax x +≥42ay y +≥()0a >求得14x y +的最小值，则其中正数a 的值是________.二.选择题13.对于集合M 、N ，若M NÜ，则下面集合的运算结果一定是空集的是（）A.U M NI ð B.U M Nð C.U UM N痧ID.M N⋂14.已知a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列各式中不一定成立的是（）A.ab ac >B.()0c b a ->C.22cb ab < D.()0ac a c -<15.若集合{}2540A x x x =-+<，{}1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又不必要条件16.已知A 与B 是集合{}1,2,3,,100L 的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A B ⋂为空集，若n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B ⋃的元素个数最多为（）A.62B.66C.68D.74三.解答题17.解不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩.18.若0a >，0b >，求证：22b a a b a b+≥+.19.若()f x x=+，()()02x g x x-=，()()()F x f x g x =+.（1）分别求()f x 与()g x 的定义域；（2）求()F x 的定义域与值域；（3）在平面直角坐标系内画出函数()F x 的图象，并标出特殊点的坐标.20.设集合{}210A x x =-=，集合{}20,B x x ax b x R =-+=∈，且B ≠∅.（1）若B A ⊆，求实数a 、b 的值；（2）若A C ⊆，且{}21,21,C m m =-+，求实数m 的值.21.按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为nn a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h 现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．建平中学高一期中数学卷一.填空题1.已知全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，那么U A =ð________.【答案】{}5,9【分析】根据补集的定义可得出集合U A ð.【详解】 全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，由补集的定义可得{}5,9U A ð=.故答案为{}5,9.【点睛】本题考查补集的计算，考查对补集定义的理解，属于基础题.2.不等式2101x x +<-的解集是________.【答案】112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】将分式不等式等价变形为()()2110x x +-<，解此不等式即可.【详解】不等式2101x x +<-等价于()()2110x x +-<，解得112x -<<，因此，不等式2101x x +<-的解集是112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故答案为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知,a b R ∈，命题：若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠的逆否命题是__．【答案】若0a =或0b =，则0ab =【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【详解】由逆否命题定义可得原命题的逆否命题为：若0a =或0b =，则0ab =故答案为：若0a =或0b =，则0ab =.【点睛】本题主要考查四种命题的关系，掌握逆否命题的定义是解决本题的关键．4.已知函数()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()2f =________.【答案】4-【分析】根据分段函数()y f x =的解析式可计算出()2f 的值.【详解】()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩ ，()2224f ∴=-=-.故答案为4-.【点睛】本题考查分段函数值的计算，解题时要根据自变量所满足的定义域选择合适的解析式来进行计算，考查计算能力，属于基础题.5.若“x a >”是“5x >”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________.【答案】()5,+∞【分析】根据充分非必要条件关系得出()(),5,a +∞+∞Ü，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】 “x a >”是“5x >”的充分非必要条件，()(),5,a ∴+∞+∞Ü，则5a >.因此，实数a 的取值范围是()5,+∞.故答案为()5,+∞.【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，一般转化为集合包含关系来求解，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.6.若x 、y +∈R ，且4xy =，则4x y +的最小值是________.【答案】8【分析】直接利用基本不等式可求出4x y +的最小值.【详解】由基本不等式可得48x y +≥==，当且仅当4y x =时，等号成立.因此，4x y +的最小值为8.故答案为8.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，也要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.7.函数y =________.【答案】()2,∞+【分析】根据偶次根式被开方数非负、分式中分母不为零，列出关于x 的不等式组，解出即可得出函数的定义域.【详解】由题意可得2102520x x x -≥⎧⎨-+>⎩，解得2x >.因此，函数y =的定义域是()2,∞+.故答案为()2,∞+.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，解题时要根据函数解析式有意义列不等式组进行求解，考查计算能力，属于基础题.8.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是________.【答案】()()3,13,-+∞ 【分析】分0x ≥与0x <两种情况解不等式()3f x >，得出不等式的解集与定义域取交集，然后将两段解集取并集可得出()3f x >的解集.【详解】当0x ≥时，由()3f x >，得2463x x -+>，即2430x x -+>，解得1x <或3x >，此时，01x ≤<或3x >；当0x <时，由()3f x >，得63x +>，解得3x >-，此时，30x -<<.综上所述，不等式()3f x >的解集是()()3,13,-+∞ .故答案为()()3,13,-+∞ .【点睛】本题考查分段不等式的求解，解题时要注意对自变量的取值范围进行分类讨论，在得出不等式的解集后要注意与定义域取交集，考查运算求解能力，属于中等题.9.若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______.【答案】1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由题意知，对任意的x R ∈，不等式()221940mx m x m ++++≥恒成立，然后分0m =和0m >⎧⎨∆≤⎩两种情况分析，由此可得出实数m 的取值范围.【详解】由题意可知，对任意的x R ∈，不等式()221940mx m x m ++++≥恒成立.①当0m =时，则有240x +≥，该不等式在R 上不恒成立；②当0m >时，由于不等式()221940mx m x m ++++≥在R 上恒成立，则()()()224149448210m m m m m ∆=+-+=⨯--+≤，即28210m m +-≥，解得12m ≤-或14m ≥，此时，14m ≥.因此，实数m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用函数的定义域求参数，解题的关键就是将问题转化二次不等式在R 上恒成立问题，利用首项系数和判别式的符号来进行求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.10.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是________．【答案】4a >-【分析】根据A B ⋂=∅可知，A =∅或方程2(2)10x a x +++=只有非正根，由此可解得a 的范围.【详解】分A ≠∅和A =∅两种情况讨论．①当A ≠∅时，A 中的元素为非正数，A B ⋂=∅，即方程2(2)10x a x +++=只有非正数解，所以2(2)40,(2)0,a a ⎧∆=+-≥⎨-+≤⎩解得0a ≥；②当A =∅时，2(2)40a ∆=+-<，解得40a -<<．综上所述，实数a 的取值范围是4a >-．故答案为：4a >-【点睛】当A B ⋂=∅时，包含A ≠∅和A =∅两种情况，A =∅容易被忽略.11.关于x 的不等式2315x x a a +--≤-的解集不是∅，则实数a 的取值范围为______.【答案】(][),14,-∞+∞ 【分析】由题意知，存在x R ∈，使得2315x x a a +--≤-，然后利用绝对值三角不等式求出31x x +--的最小值4-，将问题转化为解不等式254a a -≥-，解出即可.【详解】由题意知，存在x R ∈，使得2315x x a a +--≤-，则()2min531a a x x -≥+--.由绝对值三角不等式得()()31314x x x x +--≤+--=，4314x x ∴-≤+--≤，()2min 5314a a x x ∴-≥+--=-，即2540a a -+≥，解得1a ≤或4a ≥.因此，实数a 的取值范围是(][),14,-∞+∞ .故答案为(][),14,-∞+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式成立问题，一般转化为绝对值不等式的最值问题，可利用绝对值三角不等式来得到，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.12.已知x、y +∈R ，21x y +=，可以利用不等式1ax x+≥42ay y +≥()0a >求得14x y +的最小值，则其中正数a 的值是________.【答案】9+【分析】利用两个基本不等式等号成立的条件得出x 、y 的表达式，代入21x y +=可求出实数a 的值.【详解】由基本不等式得1axx +≥()10,0ax x a x =>>时，即当x =.由基本不等式得42ay y +≥，当且仅当()420,0ay y a y =>>时，即当y=时，等号成立.此时，21x y+==1=+所以，(219a =+=+.故答案为9+【点睛】本题考查利用基本不等式求最值时等号成立的条件，求出对应的变量后，还应将变量代入定值条件求出参数，考查运算求解能力，属于中等题.二.选择题13.对于集合M 、N ，若M N Ü，则下面集合的运算结果一定是空集的是（）A.U M N I ð B.U M Nð C.U UM N痧ID.M N⋂【答案】A【分析】作出韦恩图，利用韦恩图来判断出各选项集合运算的结果是否为空集.【详解】作出韦恩图如下图所示：如上图所示，U M N =∅I ð，U M N ≠∅I ð，U UM N ≠∅I 痧，M N M =≠∅I .故选A.【点睛】本题考查集合的运算，在解题时可以充分利用韦恩图法来表示，考查数形结合思想的应用，属于基础题.14.已知a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列各式中不一定成立的是（）A.ab ac >B.()0c b a ->C.22cb ab <D.()0ac a c -<【答案】C【分析】由已知可得0a >，0c <，再由不等式的基本性质逐一判断即可．【详解】解：因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，对于A ，0a >，0b c ->，所以()0ab ac a b c -=->，所以ab ac >，故A 正确；对于B ，()0c b a ->，故B 正确；对于C ，当0b =时，22cb ab =，故C 错误；对于D ，0ac <，0a c ->，所以()0ac a c -<，故D 正确．故选：C ．15.若集合{}2540A x x x =-+<，{}1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又不必要条件【答案】A【分析】解出集合A 、B ，由B A ⊆得出关于a 的不等式组，求出实数a 的取值范围，由此可判断出“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件.【详解】解不等式2540x x -+<，解得14x <<，{}14A x x ∴=<<.解不等式1x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，{}11B x a x a ∴=-<<+.B A ⊆ ，则有1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得23a ≤≤.因此，“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件.故选A【点睛】本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.16.已知A 与B 是集合{}1,2,3,,100L 的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A B ⋂为空集，若n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B ⋃的元素个数最多为（）A.62 B.66C.68D.74【答案】B【分析】令22100n +≤，解得49n ≤，从A 中去掉形如22n +的数，此时A 中有26个元素，注意A 中还可含以下7个特殊元素：10、14、18、26、32、42、46，故A 中元素最多时，A 中共有33个元素，由此可得出结论.【详解】令22100n +≤，解得49n ≤，所以，集合A 是集合{}1,2,3,,49L 的一个非空子集.再由A B ⋂=∅，先从A 中去掉形如()22n n N *+∈的数，由2249n +≤，可得23n ≤，492326-=，此时，A 中有26个元素.由于集合A 中已经去掉了4、6、8、12、16、20、22这7个数，而它们对应的形如22n +的数分别为10、14、18、26、32、42、46，并且10、14、18、26、32、42、46对应的形如22n +的数都在集合B 中.故集合A 中还可有以下7个特殊元素：10、14、18、26、32、42、46，故集合A 中元素最多时，集合A 中共有33个元素，对应的集合B 也有33个元素，因此，A B ⋃中共有66个元素.故选B.【点睛】本题考查集合中参数的取值问题，同时也考查了集合中元素的个数问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三.解答题17.解不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩.【答案】[)(]1,24,5U 【分析】分别解出两个不等式，然后将两个不等式的解集取交集即可得出不等式组的解集.【详解】解不等式31x ->，即31x -<-或31x ->，解得2x <或>4x .解不等式()()150x x --≥，即()()150x x --≤，解得15x ≤≤.因此，不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩的解集为[)(]1,24,5U .【点睛】本题考查不等式组的解法，涉及绝对值不等式和一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.18.若0a >，0b >，求证：22b a a b a b+≥+.【答案】证明见解析.【分析】将不等式两边做差，变形为多个因式的积或商的形式，判断每个因式的正负即可.【详解】2233()()b a a b a b ab a b a b ab ⎛⎫+-++-+= ⎪⎝⎭()222()()()a b a ab b ab a b a b ab ab+-+-+-==.0a > ，0b >，0a b +>2()()0a b a b ab+-∴≥，22()0b a a b a b ⎛⎫∴+-+≥ ⎪⎝⎭∴原式得证.19.若()f x x=+，()()02x g x x -=，()()()F x f x g x =+.（1）分别求()f x 与()g x 的定义域；（2）求()F x 的定义域与值域；（3）在平面直角坐标系内画出函数()F x 的图象，并标出特殊点的坐标.【答案】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()g x 的定义域为()()0,22,+∞U ；（2）()F x 的定义域是()()0,22,+∞U ，()F x 的值域是[)2,∞+；（3）图象见解析.【分析】（1）根据函数解析式有意义列不等式组，由此可得出函数()y f x =和()y g x =的定义域；（2）将函数()y f x =和()y g x =的定义域取交集可得出函数()y F x =的定义域，并求出函数()y F x =的解析式，利用基本不等式可得出函数()y F x =的值域；（3）根据双勾函数的图象可得出函数()y F x =在其定义域上的图象.【详解】（1）对于函数()f x x =+0x >，则函数()f x x =+的定义域为()0,∞+.对于函数()()02x g x x --=，有2000x x x -≠⎧⎪≥⎨⎪≠⎩，解得0x >且2x ≠，所以，函数()()02x g x x -=的定义域为()()0,22,+∞U ；（2）()()()11x x F x f x g x x x x x x-=+=++=+Q ，定义域为()()0,22,+∞U .由基本不等式可得()12F x x x =+≥=，当且仅当1x =时，等号成立.因此，函数()y F x =的值域为[)2,∞+；（3）函数()1F x x x=+，()()0,22,x ∈+∞U为双勾函数图象的一部分，如下图所示：【点睛】本题考查函数的定义域与值域的求解，同时也涉及到了函数图象的画法，解题时要熟悉几种常见的函数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20.设集合{}210A x x =-=，集合{}20,B x x ax b x R =-+=∈，且B ≠∅.（1）若B A ⊆，求实数a 、b 的值；（2）若A C ⊆，且{}21,21,C m m =-+，求实数m 的值.【答案】（1）2a =，1b =或2a =-，1b =或0a =，1b =-；（2）0m =或1m =.【分析】（1）解出集合{}1,1A =-，分集合{}1B =-、{}1、{}1,1-三种情况讨论，结合韦达定理可得出实数a 、b 的值；（2）由A C ⊆可得出211m +=或21m =，并利用集合C 中的元素满足互异性得出实数m 的值.【详解】（1）{}{}2101,1A x x =-==- ，B A ⊆ ，且B ≠∅，分以下三种情况讨论：①当{}1B =-时，由韦达定理得()212211a b =-⨯=-⎧⎪⎨=-=⎪⎩；②当{}1B =时，由韦达定理得212211a b =⨯=⎧⎨==⎩；③当{}1,1B =-时，由韦达定理得()()110111a b ⎧=+-=⎪⎨=⨯-=-⎪⎩.综上所述，2a =，1b =或2a =-，1b =或0a =，1b =-；（2）A C ⊆ ，且{}21,21,C m m =-+，211m ∴+=或21m =，解得0m =或1m =±.当0m =时，{}1,1,0C =-，集合C 中的元素满足互异性，合乎题意；当1m =-时，211m +=-，集合C 中的元素不满足互异性，舍去；当1m =时，{}1,3,1C =-，集合C 中的元素满足互异性，合乎题意.综上所述，0m =或1m =.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，同时也考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时要注意有限集中的元素要满足互异性，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.21.按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【答案】(1)见解析（2）即20,12B A m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为5.(3)不存在满足条件的A m 、B m 的值【详解】本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．满分16分．(1)当35A B m m =时，h ==甲h ==乙,h 甲=h 乙（2）当35A B m m =时，h =甲由111[5,20][,]205B B m m ∈∈得，故当1120B m =即20,12B A m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105．（3）（方法一）由（2）知：0h=5由05h h ≥=甲得：12552A B A B m m m m ++⋅≤，令35,,A B x y m m ==则1[,1]4x y ∈、，即：5(14)(1)2x y ++≤．同理，由得：5(1)(14)2x y ++≤另一方面，1[,1]4x y ∈、51414[2,5],11[,2],2x y x y 、、++∈++∈55(14)(1),(1)(14),22x y x y ++≥++≥当且仅当14x y ==，即A m =B m 时，取等号．所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立．。
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷（含答案解析）
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一(上)期中数学试卷一'选择题(本大题共4小题，共12.0分)1.“/〈I”是“xvl”的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要2.若a>b,则下列不等式中正确的是()A.a2 >b2B.->|C. ac2>be2D.a3 >b3a b3.集合P=(x|y=Vx+1)»集合Q={y\y=Vx-1).则P与Q的关系是()A.P=QB.P^QC.P^QD. FCQ=04.己知集合为={0,123},B={x|x2_x=o),则集合A C\B的子集个数为()A.2B.4C.6D. 8二、填空题(本大题共12小题，共36.0分)5.设全集U=(-1,2.4}.集合4={一1,4},则C b4=.6.不等式刍VI的解集为.7.已知={x\x2 =1).B={x\ax=1),若B d则实数“的值为.8.用列举法表示集合M=(m|-^eN.mEZ)=:9.若关于a的不等式ax2+6x-a2<0的解集是(-cx>,l)U(rn,+co).则实数m.10.命题“若x<1,则/<1”的逆否命题为.1L集合4={(x,y)|x-y=0},B=((x,y)|2x-3y+4=0).则AnB=.12.“a=O”是“函数/•(x)=x3+ax2(x€R)为奇函数”的条件.13.已知集={x\x z=1),B=(x|ax=1),B=A,则实数a=.14.己知集^A={a+2016,fl2-2015a+2016,2015).且2016E4,则实数“的取值集合为15.已知正实数满足2x+y=l，则土+上的最小值为・16.在A上定义运算“*”：x*y=x(l—y).若不等式(x-a)*(x+a)<1对任意的；v恒成立，则实数〃的取值范围是.三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)17.已知x,yER,且|x|Vl,|y|<1.求证：土+&2亡>18.已知集合A=(x\y=1B={x\x—5<0).⑴知n B；(2)若全集u=R,求(GM)nB,(C")U(C〃B)：19.已知函数/•(x)=|2x+a|+x・(1)若q=2,解不等式/(x)V2:(2)若FER, /(%-«)</(%)+a2"是直命题，求实数“的取值范围.20.已知集合A={x|l V2x-1V7},集合5=(x|x2-2%-3<0).⑴求"B；(2)求C R(AUB).21.己知集合4={4,尸+4。
上海市2018-2019学年建平中学高一上学期数学期中考试
2018-2019学年度建平中学高一年级期中考数学试卷一. 填空题1. 已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,4,6}A =，则U A =ð2. 不等式102x x -<+的解集为 3. 已知集合{1,0,2}A =-，2{1}B a =+，若B A ，则实数a 的值为4. 用列举法写出集合2{|1,,||1}A y y x x x ==-∈≤=Z5. 已知不等式20x ax b -+≤的解集为[2,3]，则a b +=6. 命题“如果0a ≠，那么20a >”的逆否命题为7. 已知集合{(,)|1,}A x y y x x ==+∈R ，{(,)|3,}B x y y x x ==-∈R ，则A B =8. 已知“1x >”是“x a ≥”的充分非必要条件，则a 的取值范围是9. 已知集合{||1|1}A x x =-≤，{|2}B x ax ==，若A B A = ，则实数a 的取值集合为10. 已知集合2{|(2)(2)0,}x x x x a x --+=∈R 中的所有元素之和为2，则实数a 的取值集 合为11. 已知正实数x 、y 满足1x y +=，则141y x y -+的最小值是12. 若不等式()x a x y +≤+对任意0x >，0y >恒成立，则a 的取值范围是二. 选择题13. “1x >”是“11x<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件14. 设a 、b ∈R ，a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 11a b< B. 22a b > C. 2a ab > D. 33a b > 15. 设集合{|10}P m m =-<≤，2{|210Q m mx mx =+-<对任意x ∈R 恒成立}，则P 与Q 的关系是（ ）A. P Q B. Q P C. P Q = D. P Q =∅16. 已知集合{1,2,3,,}A n =⋅⋅⋅()n ∈*N ，集合12{,,,}k B j j j =⋅⋅⋅(2,)k k ≥∈*N 是集合A 的子集，若121m j j j n ≤<<⋅⋅⋅<≤且1i i j j m +-≥(1,2,,1)i k =⋅⋅⋅-，满足集合B 的个数记为()n k m ⊕，则7(32)⊕=（ ）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12三. 解答题17. 已知x 、y 是实数，求证：22222x y x y +≥+-.18. 已知全集U =R ，集合2{|120}A x x x =--<，421{|,}x B y y x x+==∈R ， 求A B ，()U A B ð.19. 已知命题p ：关于x 的一元二次方程2|2|0x m -+-=有两个不相等的实数根，命题q ：关于x 的一元二次方程2|1||3|0x mx a a -+++-=对于任意实数a 都没有实数根.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.20. 已知集合2{|20}A x x x =--≥，集合22{|(1)210,}B x m x mx m =-+-<∈R .（1）当2m =时，求集合A R ð和集合B ；（2）若集合B Z 为单元素集，求实数m 的取值集合；（3）若集合()A B Z 的元素个数为n ()n ∈*N 个，求实数m 的取值集合.21. 已知集合P 的元素个数为3n ()n ∈*N 个且元素为正整数，将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，即P A B C = ，A B =∅ ，A C =∅ ，B C =∅ ，其中12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，12{,,,}n B b b b =⋅⋅⋅，12{,,,}n C c c c =⋅⋅⋅. 若集合A 、B 、C 中的元素满足12n c c c <<⋅⋅⋅<，k k k a b c +=，1,2,,k n =⋅⋅⋅，则称集合P 为“完美集合”.（1）若集合{1,2,3}P =，{1,2,3,4,5,6}Q =，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合{1,,3,4,5,6}P x =为“完美集合”，求正整数x 的值；（3）设集合{|13,2,}P x x n n n =≤≤≥∈*N ，① 证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是4n k =或41n k =+()k ∈*N ；② 判断当4n =时，集合P 是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C ，如果不是，请说明理由.2018-2019学年度建平中学高一年级期中考数学试卷2018.11参考答案一. 填空题1. {1,3,5}；2. (2,1)- ；3. 1±；4. {1,0}-；5. 11；6. 如果20a ≤，则0a = ；7. {(1,2)}；8. 1a ≤；9. {0}[1,)+∞ ； 10. {0}(1,)+∞ ； 11.12； 12. 4a ≥； 二. 选择题13. A 14. D 15. C 16. B三. 解答题17. 22(1)(1)0x y -+-≥. 18. (3,4)A =-，[2,)B =+∞，(,2)U B =-∞ð，[2,4)A B = ，()(,4)U A B =-∞ ð.19.（1）(1,5)-；（2）命题q ：44m -<<，∴范围为(4,1][4,5)-- .20.（1）(1,2)A =-R ð，1(,)(1,)3B =-∞+∞ ；（2）{0}；（3）略.21.（1）P 是，Q 不是；（2）7、9、11；（3）略.。
上海市的建平中小学学年度高三第一学期期中考试.doc
上海市建平中学2019—2019 学年度高三第一学期期中考试数学试题（理科）2019.11.12一、填空题：本题有 14 小题，每小题 4 分，共 56 分1．已知集合 U 1，2, 3, 4, 5 , A 2，4 ，B4，5 ，则 AC U B2．函数 y x 2 的递减区间为3．已知 zC ，且 f ( z) z 1，则 f (i)x, x 0 z 14．函数 yyx 2 , x 的反函数是5．已知圆的极坐标方程为2sin，则圆心的极坐标为x 2 4t6．已知直线 l 的方程为1 ，则直线 l 的斜率为y 3t7．设函数 y a xb(a 0, a 1) 的图象过点 1, 2 ，函数 y log b ( xa)(b 0, b 1) 的图像过点 0 , 2 ,则 a b 等于8．若不等式 x 1 1 a 的解集非空，则整数 a 的最小值是9．函数 y a 1 x (a 0， a 1) 的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx ny 1 0 上，则 m 2 n 的最小值为10．已知关于 x 的方程lg (x 2 2x 11) t 1 0 有实数解，则实数 t 的范围是11．已知 f (x)(2a 1)x 4a x 1 ,) 上的减函数，那么 a 的取值范围是log a x是 (12xx 1 x) 02019 2019．若关于 的方程 f (2008x) f ( a恰有 个根，且所有根的和为，则实数 a 的值 为．13．已知函数 f ( x)1 x，规定：anmf ( 1) f ( 2) f ( 3)f (m) (n, m N ) ，xn nn n且 S n m a 1m a 2m a n m (n, m N ) ，则 S 20102010 的值是14．若存在实数a R ，使得不等式 x x ab 0 对于任意的 x [0,1] 都成立，则实数 b 的取值范围是二、选择题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分15．不等式1 1的解集是（）A ． ( x 2B ． (2,, 2) ) C ． (0, 2) D ． ( ,0) (2, )16．若 y f ( x) 是定义在 R 上的函数，则 “f (0) 0 ”是 “y f ( x) 是奇函数 ”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17．满足方程 f (x) x 的根 x 0 称为函数 yf (x) 的不动点，设函数 y f (x) ， y g(x) 都有不动点，则 下列陈述正确的是（）A ． y f ( g(x)) 与 yf (x) 具有相同数目的不动点B ． y f ( g(x)) 一定有不动点C ． yf (g( x)) 与 y g( x) 具有相同数目的不动点D ． y f (g( x)) 可以无不动点18．函数f1x 1 x ， f2 x 1 | x | ， f3 x 1 x ， f4 x 1 | x | 的图像分别是点集C1，C2，C3，C4，这些图像关于直线x = 0 的对称曲线分别是点集D1，D2，D3，D4，现给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）① D1 D2 ② D1∪ D3 = D 2∪ D4 ③ D4 D3 ④ D1∩ D 3 = D2∩ D4A．① ③B．① ②C．② ④D．③ ④三、解答题：（本题共有 5 道大题，满分78 分），解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（本题满分14 分）本题共 2 小题，第 1 小题6 分，第 2 小题8 分已知关于t 的方程t 2 2t a 0 一个根为 1 3i ． a R（ 1）求方程的另一个根及实数 a 的值；（ 2）若x a m2 3m 6 在x (0, ) 上恒成立，试求实数m 的取值范围．x20．（本题满分14分）本题共 2 小题，第 1 小题 7 分，第2 小题 7 分如图在长方体 ABCD －A1B1C1 D1 中，AD 1 ，AB= 2 ，点E 是棱AB 上的动点．AA 1（ 1）若异面直线AD1与EC所成角为600，试确定此时动点 E 的位置；（ 2）求三棱锥C－DED1的体积． D1 C1A1B1D CA E B21．（本题满分 16 分）本题共 2 小题，第 1 小题 8 分，第 2 小题 8 分某投资公司计划投资 A 、 B 两种金融产品，根据市场调查与预测， A 产品的利润 y 与投资量 x 成正 比例，其关系如图 1， B 产品的利润 y 与投资量 x 的算术平方根成正比例，其关系如图 2，（注：利润与投 资量单位：万元）（ 1）分别将 A 、 B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（ 2）该公司已有 10 万元资金，并全部投入 A 、 B 两种产品中，问：怎样分配这10 万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？yy0.3 2.4 0.21.6o11.5 xo49x图 1图 222．（本题满分 16 分）本题共 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分已 知 函 数 f xlog 1 x 1 ， 当 点 P ( x 0， y 0 ) 在 y f (x)的 图 像 上 移 动 时 ， 点2Q (x 0t 1 在函数 yg(x) 的图像上移动。
2018-2019学年上海市上海中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市上海中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合，则中元素的个数为A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 2．已知实数x，y，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】找出与所表示的区域，再根据小范围推大范围可得结果．【详解】表示的区域是以为顶点的正方形及内部，表示的区域是以为圆心，1为半径的圆及内部，正方形是圆的内接正方形，，推不出，“”是“”的充分而不必要条件．故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了不等式组表示的区域，考查了推理能力，属于中档题．3．设，，且，则（）A．B．C．D．以上都不能恒成立【答案】A【解析】利用反证法可证得，进而由可得解.【详解】利用反证法：只需证明，假设，则：所以：，但是，故：，，．所以：与矛盾．所以：假设错误，故：，所以：，故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：反证法的应用，关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型．4．对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．是的零点B．1是的极值点C．3是的极值D．点在曲线上【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．二、填空题5．已知集合，用列举法表示集合______．【答案】0，1，【解析】先由x的范围推出y的范围，然后从中取整数即可．【详解】因为，，即，又，，，，，，，故答案为：0，1，【点睛】本题考查了集合的表示法属基础题．6．设集合，集合，则______．【答案】【解析】根据交集定义求出即可．【详解】，，故答案为：．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7．能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.【答案】（答案不唯一）【解析】分析：举出一个反例即可．详解：当时，不成立，即可填．点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力．8．集合，，若，则a的取值范围是______．【答案】【解析】先求出集合A，根据，即可求出a的取值范围．【详解】，，若，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查集合子集关系的应用，利用不等式的解法以及数轴是解决此类问题的关键．9．命题“若，则且”的逆否命题是______．【答案】若或,则【解析】试题分析：原命题：若则。
上海建平香梅中学数学高一上期中经典复习题(含答案)
一、选择题1．(0分)[ID ：11828]已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．(0分)[ID ：11822]函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．(0分)[ID ：11815]若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭4．(0分)[ID ：11779]已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．505．(0分)[ID ：11759]函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．(0分)[ID ：11758]已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞7．(0分)[ID ：11755]函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）．A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]8．(0分)[ID ：11753]已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．19．(0分)[ID ：11750]函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．(0分)[ID ：11765]函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-11．(0分)[ID ：11763]定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3x f x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-12．(0分)[ID ：11745]已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1-B ．12-C ．12D 213．(0分)[ID ：11740]三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>14．(0分)[ID ：11731]已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-15．(0分)[ID ：11823]已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题16．(0分)[ID ：11919]已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x =的零点的个数是________.17．(0分)[ID ：11890]函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＋1，则当x<0时，f(x)＝________.18．(0分)[ID ：11887]已知函数()2()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______.19．(0分)[ID ：11880]已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x－1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是______________.20．(0分)[ID ：11874]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 21．(0分)[ID ：11871]关于下列命题：①若函数2xy =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； ③若函数2yx 的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤；④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上).22．(0分)[ID ：11861]已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m 的取值范围为______．23．(0分)[ID ：11857]已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．24．(0分)[ID ：11843]关于函数()f x =__________.①()f x 的定义域为[)(]1,00,1-；②()f x 的值域为()1,1-；③()f x 的图象关于原点对称；④()f x 在定义域上是增函数.25．(0分)[ID ：11829]若关于 x 的方程2420x x a ---= 在区间 (1, 4) 内有解，则实数 a 的取值范围是_____．三、解答题26．(0分)[ID ：12019]近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入(a 单位：万元)满足6P =，乙城市收益Q 与投入(b 单位：万元)满足124Q b =+，设甲城市的投入为(x 单位：万元)，两个城市的总收益为()(f x 单位：万元)．（1）写出两个城市的总收益()(f x 万元)关于甲城市的投入(x 万元)的函数解析式，并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？ 27．(0分)[ID ：11995]已知函数()2x f x =，1()22xg x =+．（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值．28．(0分)[ID ：11990]某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为212m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m ，且不计房尾背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？29．(0分)[ID ：11985]2018年1月8日，中共中央､国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x （单位：克）的关系为：当06x ≤<时，y 是x 的二次函数；当6x ≥时，13x ty -⎛⎫= ⎪⎝⎭测得数据如下表（部分）：（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；（2）当该产品中的新材料含量x 为何值时，产品的性能指标值最大.30．(0分)[ID ：11981]已知函数()212ax f x x b +=+是奇函数，且()312f =.（1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在(],1-∞-上的单调性，并用定义加以证明．（3）若[]2,1x ∈--，求函数的值域【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．D 8．B 9．B 10．B 11．D 12．C 13．B 14．C 15．B二、填空题16．4【解析】【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得当时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查17．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填18．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得19．－5－2【解析】分析：求出函数的值域根据条件确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论详解：由题意得：在－22上f(x)的值域A为g(x)的值域B的子集易得A＝－33B ＝m－18＋m从而解得－5≤m≤20．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力21．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主22．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没23．；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数（且）在上是减函数当时故本题即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意24．①②③【解析】【分析】由被开方式非负和分母不为0解不等式可得f（x）的定义域可判断①；化简f（x）讨论0＜x≤1﹣1≤x＜0分别求得f（x）的范围求并集可得f（x）的值域可判断②；由f（﹣1）＝f（25．-6-2)【解析】【分析】转化成f(x)=与有交点再利用二次函数的图像求解【详解】由题得令f(x)=所以所以故答案为-6-2)【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题考查二次函数的图像和性质意在考查学三、解答题26．27．28．29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．B解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断．【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1， f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．3．D解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.4．C解析：C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=, 因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.6．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．7．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.8．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.9．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果.【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.11．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--，由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x a a x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =， 所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠， 所以121()222f ==，所以211(())(2)log 222f f f ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．13．B解析：B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．14．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤，∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一(上)期中数学试卷
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）设全集∪={1.2.3.4.5.6}.集合A={2.4.6}.则∁U A=___ ．2.（填空题.3分）不等式x−1x+2＜0的解集是___ ．3.（填空题.3分）已知集合A={-1.0.2}.B={a2+1}.若B⊄A.则实数a的值为___ ．4.（填空题.3分）用列举法写出集合A={y|y=x2-1.x∈Z.|x|≤1}=___5.（填空题.3分）已知不等式x2-ax+b≤0的解集为[2.3].则a+b=___6.（填空题.3分）命题“如果a≠0.那么a2＞0”的逆否命题为___ ．7.（填空题.3分）已知集合A={（x.y）|y=x+1.x∈R}.B={（x.y）|y=3-x．x∈R}.则A∩B=___ ．8.（填空题.3分）若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件.则a的取值范围为___ ．9.（填空题.3分）已知集合A={x||x-1|≤1}.B={x|ax=2}.若A∪B=A.则实数a的取值集合为___10.（填空题.3分）已知集合{x|（x-2）（x2-2x+a）=0.x∈R}中的所有元素之和为2.则实数a 的取值集合为___ ．11.（填空题.3分）已知正实数x.y满足x+y=1.则1x - 4yy+1的最小值是___12.（填空题.3分）若不等式x+4 √3xy≤a（x+y）对任意x＞0.y＞0恒成立.则a的取值范围是___ ．13.（单选题.3分）“x＞1”是“ 1x＜1”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题.3分）若实数a、b满足条件a＞b.则下列不等式一定成立的是（）A. 1a ＜1bB.a2＞b2C.ab＞b2D.a3＞b315.（单选题.3分）设集合P={m|-1＜m≤0}.Q={m|mx2+2mx-1＜0}对任意x∈R恒成立.则P与Q的关系是（）A.P⊄QB.Q⊄PC.P=QD.P∩Q=∅16.（单选题.3分）已知集合A={1.2.3.…n）（n∈N*}.集合B={j1.j2.…j k）（k≥2.k∈N*）是集合A 的子集.若1≤j1＜j2＜…＜j m≤n且j i+1-j i≥m（i=1.2.…….k-1）.满足集合B的个数记为n（k⊕m）.则7（3⊕2）=（）A.9B.10C.11D.1217.（问答题.0分）已知x.y是实数.求证：x2+y2≥2x+2y-2．.x∈R}.求A∩B.A∪18.（问答题.0分）已知全集U=R.集合A={x|x2-x-12＜0}.B={y|y= x4+1x2（∁U B）．19.（问答题.0分）已知命题p：关于x的一元二次方程x2-2 √3 x+|m-2|=0有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程x2-mx+|a+1|+|a-3|=0对于任意实数a都没有实数根．（1）若命题p为真命题.求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题.求实数m的取值范围．20.（问答题.0分）已知集合A={x|x2-x-2≥0}.集合B={x|（1-m2）x2+2mx-1＜0.m∈R}．（1）当m=2时.求集合∁R A和集合B；（2）若集合B∩Z为单元素集.求实数m的取值集合；（3）若集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个.求实数m的取值集合．21.（问答题.0分）已知集合P的元素个数为3n（n∈N*）个且元素为正整数.将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C.即P=A∪B∪C.A∩B=∅.A∩C=∅.B∩C=∅.其中A={a1.a2.….a n}.B={b1.b2.…b n}.C={c1.c2.….c n}．若集合A、B、C中的元素满足c1＜c2＜…＜c n.a k+b k=c k.k=1.2.…n.则称集合P为“完美集合”．（1）若集合P={1.2.3}.Q={1.2.3.4.5.6}.判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合P={1.x.3.4.5.6}为“完美集合”.求正整数x的值；（3）设集合P={x|1≤x≤3n.n≥2.n∈N*}① 证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n=4k或n=4k+1（k∈N*）② 判断当n=4时.集合P是否为“完美集合”.如果是.求出所有符合条件的集合C；如果不是.请说明理由．2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）设全集∪={1.2.3.4.5.6}.集合A={2.4.6}.则∁U A=___ ．【正确答案】：[1]{1.3.5}【解析】：根据补集的定义写出∁U A．【解答】：解：全集∪={1.2.3.4.5.6}.集合A={2.4.6}.则∁U A={1.3.5}．故答案为：{1.3.5}．【点评】：本题考查了补集的定义与应用问题.是基础题．＜0的解集是___ ．2.（填空题.3分）不等式x−1x+2【正确答案】：[1]（-2.1）【解析】：问题转化为（x-1）（x+2）＜0.求出不等式的解集即可．＜0.【解答】：解：∵ x−1x+2∴（x-1）（x+2）＜0.解得：-2＜x＜1.故不等式的解集是（-2.1）.故答案为：（-2.1）．＞0.再转化为整式不等式F（x）【点评】：解分式不等式的方法是：移项.通分化不等式为F(x)G(x)G（x）＞0.然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解．3.（填空题.3分）已知集合A={-1.0.2}.B={a2+1}.若B⊄A.则实数a的值为___ ．【正确答案】：[1]a≠±1【解析】：先假设B⊂A.得a2+1=-1.a∈∅；a2+1=0.a∈∅；a2+1=2.a=±1；取补集得结果．【解答】：解：若B⊂A.则① a2+1=-1.a∈∅；② a2+1=0.a∈∅；③ a2+1=2.a=±1；∵B⊄A.∴a≠±1．故答案为：a≠±1．【点评】：本题考查的知识点集合的包含关系应用.难度不大.属于基础题．4.（填空题.3分）用列举法写出集合A={y|y=x2-1.x∈Z.|x|≤1}=___【正确答案】：[1]{-1.0}【解析】：由|x|≤1及x∈Z即可求出x=-1.0.或1.从而得出x2=0.或1.进而得出y的值.从而得出集合A．【解答】：解：∵|x|≤1.且x∈Z；∴x=-1.0.或1；∴x2=0.或1；∴y=-1.或0；∴A={-1.0}．故答案为：{-1.0}．【点评】：考查描述法、列举法的定义.以及绝对值不等式的解法．5.（填空题.3分）已知不等式x2-ax+b≤0的解集为[2.3].则a+b=___【正确答案】：[1]11【解析】：利用不等式与对应方程的关系.结合根与系数的关系求出a、b的值．【解答】：解：不等式x2-ax+b≤0的解集为[2.3].∴方程x2-ax+b=0的实数根为2和3.∴ {2+3=a.2×3=ba=5.b=6；∴a+b=11．故答案为：11．【点评】：本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题.是基础题．6.（填空题.3分）命题“如果a≠0.那么a2＞0”的逆否命题为___ ．【正确答案】：[1]若a2≤0.则a=0【解析】：根据逆否命题的定义.即把结论和条件的否定后作为逆否命题的条件和结论即可．【解答】：解：原命题“如果a≠0.那么a2＞0”.∴其逆否命题为：“若a2≤0.则a=0”．故答案为：若a2≤0.则a=0．【点评】：本题考查的知识点是逆否命题的定义.需要正确写出对条件的结论的否定.这是关键和易出错的地方．7.（填空题.3分）已知集合A={（x.y）|y=x+1.x∈R}.B={（x.y）|y=3-x．x∈R}.则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{（1.2）}【解析】：根据交集定义得A∩B={（x.y）| {y=x+1y=3−x }=（1.2）．【解答】：解：A∩B={（x.y）| {y=x+1y=3−x }={（1.2）}．故答案为：{（1.2）}．【点评】：此题考查了交集及其运算.需要注意此题是点集.是基础题．8.（填空题.3分）若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件.则a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]a≤1【解析】：根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】：解：若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件.则a≤1.故答案为：a≤1【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.比较基础．9.（填空题.3分）已知集合A={x||x-1|≤1}.B={x|ax=2}.若A∪B=A.则实数a的取值集合为___ 【正确答案】：[1][1.+∞）∪{0}．【解析】：分为B=∅.和B≠∅两种情况讨论.取并集得结论．【解答】：解：A={x|0≤x≤2}.① B=∅.a=0.② B≠∅.B={ 2a}.0＜2a ≤2. a2≥ 12.∴a≥1.故实数a的取值集合为[1.+∞）∪{0}．故答案为：[1.+∞）∪{0}．【点评】：本题考查了集合的化简与集合的运算的应用.注意不要漏掉B=∅.属于基础题．10.（填空题.3分）已知集合{x|（x-2）（x2-2x+a）=0.x∈R}中的所有元素之和为2.则实数a 的取值集合为___ ．【正确答案】：[1]{a|a=0或a＞1}【解析】：推导出x2-2x+a=0的解为x=0或无解.由此能求出实数a的取值集合．【解答】：解：∵集合{x|（x-2）（x2-2x+a）=0.x∈R}中的所有元素之和为2.∴x2-2x+a=0的解为x=0或无解.∴a=0或△=4-4a＜0.解得a＞1．∴实数a的取值集合为{a|a=0或a＞1}．故答案为：{a|a=0或a＞1}．【点评】：本题考查实数的取值集合的求法.考查集合定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．11.（填空题.3分）已知正实数x.y满足x+y=1.则1x - 4yy+1的最小值是___【正确答案】：[1] 12【解析】：由已知分离1x - 4yy+1= 1x−4y+4−4y+1= 1x+4y+1−4 .然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【解答】：解：正实数x.y满足x+y=1.则1x - 4yy+1= 1x−4y+4−4y+1= 1x+4y+1−4= 12（1x+4y+1）[x+（y+1）]-4= 12 （5+y+1x +4x y+1 ）-4 ≥12(5+4)−4 = 12当且仅当y+1x =4xy+1 且x+y=1即y= 13 .x= 23 时取得最小值是 12 /故答案为： 12【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值.解题的关键是进行分离后利用1的代换 12.（填空题.3分）若不等式x+4 √3xy ≤a （x+y ）对任意x ＞0.y ＞0恒成立.则a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][4.+∞）【解析】：不等式x+4 √3xy ≤a （x+y ）.x ＞0.y ＞0.a≥ x+4√3xy x+y=x y +4√3•x y x y+1 .令 √x y=t ＞0.可得：f（t ）= t 2+4√3tt 2+1．利用导数研究其单调性极值最值即可得出．【解答】：解：∵不等式x+4 √3xy ≤a （x+y ）.x ＞0.y ＞0. ∴a≥x+4√3xy x+y=x y +4√3•x y x y+1 .令 √x y=t ＞0.可得：f （t ）=t 2+4√3tt 2+1． f′（t ）= (2t+4√3)(t 2+1)−2t(t 2+4√3t)(t 2+1)2 = −4√3t 2+2t+4√3(t 2+1)2 = −(t+√32)(t−2√33)(t 2+1)2 ． 可知：t=2√33时函数f （t ）取得最大值. f (2√33) =4． f （0）=0． ∴0＜f （t ）≤4．∵不等式x+4 √3xy ≤a （x+y ）对任意x ＞0.y ＞0恒成立. ∴a 的取值范围是a≥4． 故答案为：[4.+∞）．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法.考查了推理能力与计算能力.属于难题． 13.（单选题.3分）“x ＞1”是“ 1x ＜1 ”成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】：解：若x＞1.则0＜1x ＜1 .则1x＜1成立.即充分性成立.若当x＜0时. 1x＜1成立.但x＞1不成立.即必要性不成立.即“x＞1”是“ 1x＜1”成立的充分不必要条件.故选：A．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14.（单选题.3分）若实数a、b满足条件a＞b.则下列不等式一定成立的是（）A. 1a ＜1bB.a2＞b2C.ab＞b2D.a3＞b3【正确答案】：D【解析】：根据题意.由不等式的性质依次分析选项.综合即可得答案．【解答】：解：根据题意.依次分析选项：对于A、a=1.b=-1时.有1a ＞1b成立.故A错误；对于B、a=1.b=-2时.有a2＜b2成立.故B错误；对于C、a=1.b=-2时.有ab＜b2成立.故C错误；对于D、由不等式的性质分析可得若a＞b.必有a3＞b3成立.则D正确；故选：D．【点评】：本题考查不等式的性质.对于错误的结论举出反例即可．15.（单选题.3分）设集合P={m|-1＜m≤0}.Q={m|mx2+2mx-1＜0}对任意x∈R恒成立.则P与Q的关系是（）A.P⊄QB.Q⊄PC.P=QD.P∩Q=∅【正确答案】：C【解析】：先分别求出集合P.Q.由此能求出P与Q的关系．【解答】：解：∵集合P={m|-1＜m≤0}.Q={m|mx2+2mx-1＜0}对任意x∈R恒成立.∴Q={m|-1＜m≤0}．∴P与Q的关系是P=Q．故选：C．【点评】：本题考查集合的关系的判断.考查不等式性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．16.（单选题.3分）已知集合A={1.2.3.…n）（n∈N*}.集合B={j1.j2.…j k）（k≥2.k∈N*）是集合A 的子集.若1≤j1＜j2＜…＜j m≤n且j i+1-j i≥m（i=1.2.…….k-1）.满足集合B的个数记为n（k⊕m）.则7（3⊕2）=（）A.9B.10C.11D.12【正确答案】：B【解析】：根据n（k⊕m）和7（3⊕2）.可得n=7.k=3.m=2.集合A={1.2.3.4.5.6.7}；集合B={j1.j2.j3}.1≤j1＜j2≤7满足集合B的个数列罗出来.可得答案．【解答】：解：由题意可得n=7.k=3.m=2.那么集合A={1.2.3.4.5.6.7}；集合B={j1.j2.j3}.1≤j1＜j2≤7.j i+1-j i≥2满足集合B的个数列罗出来.可得：{1.3.5}.{1.3.6}.{1.3.7}.{1.4.6}.{1.4.7}；{1.5.7}.{2.4.6}.{2.4.7}.{2.5.7}.{3.5.7}.故选：B．【点评】：本题考查子集与真子集.并且即时定义新的集合.主要考查学生的阅读理解能力．17.（问答题.0分）已知x.y是实数.求证：x2+y2≥2x+2y-2．【正确答案】：【解析】：利用综合法.证明不等式即可．【解答】：证明：因为x2-2x+1=（x-1）2≥0.可得x2≥2x-1.y2-2y+1=（y-1）2≥0.可得y2≥2y-1.所以x2+y2≥2x+2y-2．【点评】：本题考查不等式的证明.综合法的应用.是基本知识的考查．18.（问答题.0分）已知全集U=R.集合A={x|x2-x-12＜0}.B={y|y= x4+1.x∈R}.求A∩B.A∪x2（∁U B）．【正确答案】：【解析】：先求出A.B.然后进行交集、并集和补集的运算即可．【解答】：解：A={x|-3＜x＜4}；∵x4+1≥2x2；∴ x4+1≥2；x2∴B={y|y≥2}；∴A∩B=[2.4）.∁U B={y|y＜2}；∴A∪（∁U B）=（-∞.4）．【点评】：考查描述法表示集合的定义.a2+b2≥2ab.以及交集、并集和补集的运算．19.（问答题.0分）已知命题p：关于x的一元二次方程x2-2 √3 x+|m-2|=0有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程x2-mx+|a+1|+|a-3|=0对于任意实数a都没有实数根．（1）若命题p为真命题.求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得判别式大于0.由绝对值不等式的解法可得m 的范围；（2）考虑命题q 真.运用绝对值不等式的性质和判别式小于0.解不等式可得m 的范围.由p.q 一真一假.解不等式即可得到所求范围．【解答】：解：（1）命题p ：关于x 的一元二次方程x 2-2 √3 x+|m-2|=0有两个不相等的实数根.可得△=12-4|m-2|＞0.解得-1＜m ＜5；（2）命题q ：关于x 的一元二次方程x 2-mx+|a+1|+|a-3|=0对于任意实数a 都没有实数根. 可得-x 2+mx=|a+1|+|a-3|.由|a+1|+|a-3|≥|a+1-a+3|=4.可得-x 2+mx-4≥0无实数解.可得△=m 2-16＜0.即-4＜m ＜4.命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题.可得 {−1＜m ＜5m ≥4或m ≤−4 或 {m ≥5或m ≤−1−4＜m ＜4. 即有4≤m ＜5或-4＜m≤-1．【点评】：本题考查二次方程和二次不等式的解法.注意运用判别式和绝对值不等式的性质.考查化简运算能力.属于基础题．20.（问答题.0分）已知集合A={x|x 2-x-2≥0}.集合B={x|（1-m 2）x 2+2mx-1＜0.m∈R}．（1）当m=2时.求集合∁R A 和集合B ；（2）若集合B∩Z 为单元素集.求实数m 的取值集合；（3）若集合（A∩B ）∩Z 的元素个数为n （n∈N *）个.求实数m 的取值集合．【正确答案】：【解析】：（1）m=2时.化简集合A.B.即可得集合∁R A 和集合B ；（2）集合B∩Z 为单元素集.所以集合B 中有且只有一个整数.而0∈B .所以抛物线y=（1-m 2）x 2+2mx-1的开口向上.且与x 轴的两个交点都在[-1.1]内.据此列式可得m=0；（3）集合（A∩B ）∩Z 的元素个数为n （n∈N *）个.等价于（1-m 2）x 2+2mx-1＜0在（-∞.-1]∪[2.+∞）上有整数解．【解答】：解：集合A={x|x 2-x-2≥0}={x|x≥2或x≤-1}.集合{x|（1-m 2）x 2+2mx-1＜0.m∈R}={x|[（1+m ）x-1][（1-m ）x+1]＜0}（1）当m=2时.集合∁R A={x|-1＜x ＜2}；集合B={x|x ＞1或x ＜ 13 }；（2）因为集合B∩Z 为单元素集.且0∈B .所以 {(1−m 2)×(−1)2−2m −1≥0(1−m 2)×12+2m −1≥0.解得m=0. 当m=0时.经验证.满足题意．故实数m 的取值集合为{0}（3）集合（A∩B ）∩Z 的元素个数为n （n∈N *）个.等价于（1-m 2）x 2+2mx-1＜0在（-∞.-1]∪[2.+∞）上有整数解.所以令f （x ）=（1-m 2）x 2+2mx-1.依题意有1-m 2≤0或 {1−m 2＞0f (−1)＜0 或 {1−m 2＞0f (2)＜0 . 解得m ＜- 12或m ＞0．【点评】：本题考查了交、并、补集的混合运算．属难题．21.（问答题.0分）已知集合P 的元素个数为3n （n∈N *）个且元素为正整数.将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C.即P=A∪B∪C .A∩B=∅.A∩C=∅.B∩C=∅.其中A={a 1.a 2.….a n }.B={b 1.b 2.…b n }.C={c 1.c 2.….c n }．若集合A 、B 、C 中的元素满足c 1＜c 2＜…＜c n .a k +b k =c k .k=1.2.…n .则称集合P 为“完美集合”．（1）若集合P={1.2.3}.Q={1.2.3.4.5.6}.判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合P={1.x.3.4.5.6}为“完美集合”.求正整数x 的值；（3）设集合P={x|1≤x≤3n .n≥2.n∈N *}① 证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是n=4k 或n=4k+1（k∈N *）② 判断当n=4时.集合P 是否为“完美集合”.如果是.求出所有符合条件的集合C ；如果不是.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据完美集合的定义.将P 分为集合{1}、{2}、{3}符合条件.将Q 分成3个.每个中有两个元素.根据完美集合的定义进一步判断即可；（2）根据完美集合的概念直接求出集合C.从而得到x 的值；（3） ① P 中所有元素之和为 3n (3n+1)2 =2（c 1+c 2+…+c n-1+c n ）.根据 9n (n−1)4=c 1+c 2+…+c n-1.等号右边为正整数.可得等式左边9n （n-1）可以被4整除.从而证明结论； ② 根据p 是完美集合.直接列出集合A.B.C 即可．【解答】：解：（1）将P 分为集合{1}、{2}、{3}.满足条件.是完美集合．将Q 分成3个.每个中有两个元素.若为完美集合.则a 1+b 1=c 1 、a 2+b 2=c 2.Q 中所有元素之和为21.21÷2=c 1+c 2=10.5.不符合要求；（2）若集合A={1.4}.B={3.5}.根据完美集合的概念知集合C={6.7}.若集合A={1.5}.B={3.6}.根据完并集合的概念知集合C={4.11}.若集合A={1.3}.B={4.6}.根据完并集合的概念知集合C={5.9}.故x 的一个可能值为7.9.11 中任一个；（3） ① 证明：P 中所有元素之和为1+2+…+3n= 3n (3n+1)2=a 1+b 1+c 1+a 2+b 2+c 2+…+a n +b n +c n =2（c 1+c 2+…+c n-1+c n ）.∵c n =3n.∴3n (3n+1)4 =c 1+c 2+…+c n-1+3n. ∴ 9n (n−1)4=c 1+c 2+…+c n-1.等号右边为正整数. 则等式左边9n （n-1）可以被4整除.∴n=4k 或n-1=4k.即n=4k 或n=4k+1；② p 是完美集合.A={1.4.3.2}.B={6.5.8.10}.C={7.9.11.12}或A={1.2.4.3}.B={5.8.7.9}.C={6.10.11.12}或A={2.4.3.1}.B={6.5.7.11}.C={8.9.10.12}．【点评】：本题考查了集合的交、并、补集的混合运算和等差数列的前n 项和.考查了分类讨论思想和计算能力.属难题．。
2018-2019学年上海市建平中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市建平中学 高一下学期期中数学试题一、单选题 1．“”2πθ=是“sin()cos x x θ+=”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当2πθ=时，()sin cos x x θ+= ，但是当()sin cos x x θ+= ，可能52πθ=， 据此可得“”2πθ=是“()sin cos x x θ+=”成立的充分不必要条件.本题选择A 选项.2的值等于（ ） A ．cos2 B ．1cos2C ．cos2-D ．1cos2- 【答案】Ccos 2cos 2===-.本题选择C 选项.3．ABC ∆中，，且222x y z +=，则ABC ∆的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断【答案】A【解析】，222x y z +=，()22x y z +>0>.则ABC ∆的形状为锐角三角形. 本题选择A 选项.点睛：判断三角形形状的两种途径 一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.4．设函数()xxxf x a b c =+-，其中0c a >>，0a b >>，若a ，b ，c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的是（ ） ①对一切(),1x ∈-∞都有()0f x >；②存在x R +∈，使x a ，x b ，x c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若ABC ∆为钝角三角形，则存在()1,2x ∈，使()0f x =； A ．①②； B ．①③；C ．②③；D ．①②③；【答案】D【解析】①利用指数函数的性质以a ，b ，c 构成三角形的条件进行证明；②可以举反例进行判断；③利用函数零点的存在性定理进行判断； 【详解】①Q a ，b ，c 是ABC ∆的三条边，a b c ∴+>，0c a >>Q ，0c b >>，01ac ∴<<，01b c<<， 当(),1x ∈-∞时，()1x x xx x xa f x abc c b c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣+⎦=-10x x a b a b c c c c c c +-⎛⎫>⋅+-=⋅> ⎪⎝⎭，∴①正确；②令2,3,4a b c ===，则a ，b ，c 可以构成三角形， 但2224,9,16a b c ===却不能构成三角形，∴②正确；③0c a >>Q ，0c b >>，若ABC ∆为钝角三角形，则2220a b c +-<，()10f a b c =+->Q ，()22220f a b c =+-<，∴根据函数零点的存在性定理可知在区间()1,2上存在零点，即存在()1,2x ∈，使()0f x =，故③正确； 故选：D 【点睛】本题考查的知识点较多，考查函数零点的存在性定理、考查指数函数的性质以及余弦定理的应用，属于中档题.二、填空题5．幂函数()f x 的图象过点，则()f x 的解析式是______________． 【答案】34y x =【解析】结合题意求解幂函数的解析式即可. 【详解】设幂函数的解析式为()f x x α=，由题意可得：3α=，解得：34α=， 即()f x 的解析式是34y x =. 【点睛】本题主要考查幂函数的定义，函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．若角α的终边上一点3,4)(0)Pa a a -≠（，则cos α=____________. 【答案】35±【解析】若0a >，则3cos 5α==-，若0a <，则3cos 5α==， 综上所述，3cos 5α=±．7．若扇形的圆心角为3π，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为____________. 【答案】2:3 【解析】【详解】设扇形的半径为R ，内切圆半径为r ，∵扇形的中心角3π， ∴R−r=2r ，∴3r=R ，∴扇形的面积22603606R R ππ==内切圆面积为πr 229R π=，扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为2:3.8．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 【答案】二【解析】由点P （tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限． 【详解】因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限， 故答案为二．点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号． 9．已知(()sin πα-=α在第二象限角，则 tan α=____________. 【答案】12-【解析】由题意可得：()sin sin απα=-=结合角的范围有：cos α==， 则sin 1tan cos 2ααα==-. 点睛：解决此类问题要熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题.10．已知3sin 5α=，α在第二象限，则tan 2α=____________.【答案】3【解析】由题意：2222sincos2tan3222sin 5sin cos tan 1222ααααααα===++，解得：tan32α=或1tan23α=， 又α在第二象限，故tan32α=．11．求值：tan tan(60)tan(60)θθθθ+︒-︒-=____________.【解析】由题意：()()()tan 60tan tan 60tan601tan 60tan θθθθθθ-+=+-==--o oo o则：()()tan 60tan 60tan θθθθ-+=-o o，()()tan tan 60tan 60θθθθ+︒-︒-=12．已知3sin(2)65x π+=，[,]42x ππ∈，则cos2x =____________.【解析】∵[,]42x ππ∈,∴272[,]636x πππ+∈.∵3sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∴4cos 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴cos 2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 666666x x x x ππππππ=+-=+++=.点睛：给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．13．在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是____________. 【答案】3π【解析】利用正弦定理有：222b ac a c +≥+，则2221cos 22a cb B ac +-=≤，则角B 的最小值是3π． 14．ABC ∆的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，则B =____________. 【答案】34π 【解析】∵3cos 2cos a C c A =，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA ， ∴3tanA=2tanC ，∵tanA=13，∴2tanC=3×13=1,解得tanC=12.∴()()tan tan tan tan[]tan 11tan tan A CB AC A C A Cπ+=-+=-+=-=--，∵B ∈(0,π)， ∴34B π=. 15．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12()log g x x =，，记函数(),()()()(),()()g x f x g x h x f x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，则函数()()5F x h x x =+-所有零点的和为____________. 【答案】5【解析】∵()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()12log g x x =，关于直线y=x 对称，()()()()()()(),,g x f x g x h x f x f x g x 记⎧≤⎪=⎨>⎪⎩∴可知h （x ）关于直线y=x 对称．∵y=x 与y=5-x ，交点为A （2.5，2.5）∴y=5-x ，与函数h （x ）交点关于A 对称，x 1+x 2=5，∴函数F （x ）=h （x ）+x-5，的零点．设h （x ）与y=5-x 交点问题，可以解决函数F （x ）=h （x ）+x-5零点问题．故函数F （x ）=h （x ）+x-5所有零点的和为5． 故答案为：5．点睛：本题考查了函数的交点，解决复杂函数的零点问题，反函数的对称问题，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()12log g x x =关于直线y=x 对称，则()h x 关于直线y=x 对称，利用y=x 与y=5-x 的交点，结合图求解即可．16．如果满足45B =︒，10AC =，BC k =的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是____________.【答案】{}(0,10]102k ∈⋃ 【解析】【详解】 由正弦定理有：10sin sin 45k A =o， 则102k A =，()0,135A ∈o o， 可得，当(){}0,13590A ∈⋃o oo时满足题意， 此时(]{}0,10102k ∈⋃.17．已知α【答案】-1【解析】试题分析：由题意结合同角三角函数基本关系和诱导公式化简所给的三角函数式即可. 试题解析： 原式sin cos 1cos sin αααα-==--三、解答题 18．已知cosα=17，cos （α-β）=1314，且0＜β＜α＜π2． （Ⅰ）求tan2α的值； （Ⅱ）求cosβ． 【答案】（1）；（2）12.【解析】试题分析：(1)由题意求得tan α=tan2α= (2)构造角之后利用两角和差正余弦公式可得()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦ 12= 试题解析： （1）1cos tan 7αα=⇒=22tan tan21tan ααα===- （2）()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦ ()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-11317142=⨯= 点睛：(1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角； ②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等．(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．19．如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CA =km ，2DB =km ，AB 两端之间的距离为6km .（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确定点P 的位置.（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置.【答案】(1)2AP km =；（2）746AQ =-(km)．【解析】试题分析：（1）设AP x =，我们只要利用已知CPA DPB ∠=∠列出关于x 的方程即可，而这个方程就是在两个三角形中利用正切的定义，1tan AC CPA AP x∠==，2tan 6DB DPB BP x ∠==-，因此有126x x=-，解之得；实际上本题可用相似形知识求解，ACP BDP ∆~∆，则AP ACBP BD =，由引开出方程解出x ；（2）要使得CQD ∠最大，可通过求tan CQD ∠，因为tan tan[()]CQD CQA DQB π∠=-∠+∠tan()CQA DQB =-∠+∠，只要设AQ x =，则tan ,tan CQA DQB ∠∠都可用x 表示出来，从而把问题转化为求函数的最值,同（1）可得26tan 62x CQD x x +∠=-+，这里我们用换元法求最值，令6t x =+，则有21tan 74187418t CQD t t t t∠==-++-，注意到612t <<，tan CQD ∠可取负数，即CQD ∠为钝角，因此在tan CQD ∠取负值中的最小值时，CQD ∠取最大值.（1）设PA x =，CPA α∠=，DPB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-. 3分 由tan tan αβ=，得126x x=-，解得2x =，故点P 应选在距A 点2km 处. 6分（2）设AQ x =，CQA α∠=，DQB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-， 21266tan tan[()]tan()126216x x x CQD x x x xπαβαβ++-∠=-+=-+=-=-+-⋅-10分令6t x =+，由06x <<，得612t <<，2261tan 7462187418x t CQD x x t t t t+∠===-+-++-，12分747455274663t t ≤+<+=Q ，， 当7427418180t t≤+-<，所张的角为钝角，最大角当74即746x =时取得，故点Q 应选在距A 746km 处. 14分【考点】(1)角相等的应用与列方程解应用题；（2）角与函数的最大值.20．若函数()f x 定义域为R ，且对任意实数12,x x ，有1212()()()f x x f x f x ++＜，则称()f x 为“V 形函数”，若函数()g x 定义域为R ，函数()0g x ＞对任意x ∈R 恒成立，且对任意实数12,x x ，有[][][]1212lg (lg ()lg ()g x x g x g x ++＜，则称为“对数V 形函数” .（1）试判断函数()2f x x =是否为“V 形函数”，并说明理由；（2）若()1()2xg x a =+是“对数V 形函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()f x 是“V 形函数”，且满足对任意x ∈R ，有()2f x ＞，问()f x 是否为“对数V 形函数”？证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）1a ≥；（3）见解析. 【解析】试题分析：(1)结合题中的定义和函数的性质可得所给函数不是“V 形函数” (2)由题意分离系数，结合函数解析式的特征可得1a ≥； (3)利用“V 形函数”结合题意讨论可得()f x 是“对数V 形函数”. 试题解析：（1）()()21212f x x x x +=+，()()221212f x f x x x +=+，当1x 、2x 同号时，()2221212x x x x +>+，不满足()()()1212f x x f x f x ++＜，∴不是“V 形函数”（2）()102xg x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞恒成立，∴0a ≥，根据题意，()()()1212g x x g x g x +⋅＜恒成立，即1212111222x x x x a a a +⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＜，去括号整理得1211122x x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫>-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴1a ≥（3）()()()1212f x x f x f x +<+，∵()12f x >，∴()111f x ->，同理()211f x ->，∴()()12111f x f x ⎡⎤⎡⎤-->⎣⎦⎣⎦，去括号整理得()()()()1212f x f x f x f x +＞， ∴()()()1212f x x f x f x +＜，()()()1212lg lg lg f x x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦⎣⎦＜，是“对数V 形函数”21．（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p 的最小值； （2）若三角形有一个内角为7cos 9α=，周长为定值p ，求面积S 的最大值； （3）为了研究边长c a b 、、满足9843a b c ≥≥≥≥≥≥的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S ∆=（其中1()2p a b c =++， 三角形面积的海伦公式），∴216)()()()S a b c a b c a b c a b c =+++--+-++（()()2222[][]a b c c a b =+---42222222()()c a b c a b =-++-- ()222222[]4c a b a b =--++，而2222[()]0c a b --+≤，281a ≤，264b ≤，则36S ≤，但是，其中等号成立的条件是222,9,8c a b a b =+==，于是2145c =与34c ≤≤矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．【答案】（1）12+；（2）16；（3）见解析. 【解析】试题分析：(1)由题意结合均值不等式的结论可得周长最小值为12+第 11 页 共 11 页 (2)由题意得到面积函数，结合均值不等式的结论可得22119sin 2296432S ab p p α=≤⨯⨯=，即面积最大值为232p (3)题中的解答存在问题，利用海伦公式三边可互换进行解答可得面积最大值为16.试题解析：（1）设两直角边为a b 、，=≥=∴12P a b =++12+（2）设夹α的两边为a b 、，则第三边p a b --，∴()2227cos 29a b p a b ab α+---==， ∴223218189369ab ap bp p p =+-≥，∴()()330p p ≥， ∵3)0p（＜，∴30p ≤，即2964ab p ≤，22119sin 2296432S ab p p α=≤⨯⨯=，即面积最大值为232p （3）不正确，∵海伦公式三边可互换，∴()2222222221644S a c b c b c b ⎡⎤=--++≤⎣⎦， 即2164166416S S ≤⨯⨯≤，，此时22280a b c=+=，a =16点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．。
2019建平中学高一期中
建平中学高一期中数学试卷2018.11一.填空题1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,4,6}A =，则U A =ð2.不等式102x x -<+的解集为3.已知集合{1,0,2}A =-，2{1}B a =+，若B A ，则实数a 的值为4.用列举法写出集合2{|1,,||1}A y y x x x ==-∈≤=Z5.已知不等式20x ax b -+≤的解集为[2,3]，则a b +=6.命题“如果0a ≠，那么20a >”的逆否命题为7.已知集合{(,)|1,}A x y y x x ==+∈R ，{(,)|3,}B x y y x x ==-∈R ，则A B = 8.已知“1x >”是“x a ≥”的充分非必要条件，则a 的取值范围是9.已知集合{||1|1}A x x =-≤，{|2}B x ax ==，若A B A = ，则实数a 的取值集合为10.已知集合2{|(2)(2)0,}x x x x a x --+=∈R 中的所有元素之和为2，则实数a 的取值集合为11.已知正实数x 、y 满足1x y +=，则141yx y -+的最小值是12.若不等式()x a x y +≤+对任意0x >，0y >恒成立，则a 的取值范围是二.选择题13.“1x >”是“11x <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.设a 、b ∈R ，a b >，则下列不等式一定成立的是（）A.11a b < B.22a b > C.2a ab > D.33a b >15.设集合{|10}P m m =-<≤，2{|210Q m mx mx =+-<对任意x ∈R 恒成立}，则P 与Q 的关系是（）A.P QB.Q PC.P Q =D.P Q =∅16.已知集合{1,2,3,,}A n =⋅⋅⋅()n ∈*N ，集合12{,,,}k B j j j =⋅⋅⋅(2,)k k ≥∈*N 是集合A 的子集，若121m j j j n ≤<<⋅⋅⋅<≤且1i i j j m +-≥(1,2,,1)i k =⋅⋅⋅-，满足集合B 的个数记为()n k m ⊕，则7(32)⊕=（）A.9 B.10 C.11 D.12三.解答题17.已知x 、y 是实数，求证：22222x y x y +≥+-.18.已知全集U =R ，集合2{|120}A x x x =--<，421{|,}x B y y x x +==∈R ，求A B ，()U A B ð.19.已知命题p ：关于x 的一元二次方程2|2|0x m -+-=有两个不相等的实数根，命题q ：关于x 的一元二次方程2|1||3|0x mx a a -+++-=对于任意实数a 都没有实数根.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.20.已知集合2{|20}A x x x =--≥，集合22{|(1)210,}B x m x mx m =-+-<∈R .（1）当2m =时，求集合A R ð和集合B ；（2）若集合B Z 为单元素集，求实数m 的取值集合；（3）若集合()A B Z 的元素个数为n ()n ∈*N 个，求实数m 的取值集合.21.已知集合P 的元素个数为3n ()n ∈*N 个且元素为正整数，将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，即P A B C = ，A B =∅ ，A C =∅ ，B C =∅ ，其中12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，12{,,,}n B b b b =⋅⋅⋅，12{,,,}n C c c c =⋅⋅⋅.若集合A 、B 、C 中的元素满足12n c c c <<⋅⋅⋅<，k k k a b c +=，1,2,,k n =⋅⋅⋅，则称集合P 为“完美集合”.（1）若集合{1,2,3}P =，{1,2,3,4,5,6}Q =，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合{1,,3,4,5,6}P x =为“完美集合”，求正整数x 的值；（3）设集合{|13,2,}P x x n n n =≤≤≥∈*N ，①证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是4n k =或41n k =+()k ∈*N ；②判断当4n =时，集合P 是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C ，如果不是，请说明理由.参考答案一.填空题1.{1,3,5}2.(2,1)-3.1±4.{1,0}-5.116.如果20a ≤，则0a =7.{(1,2)}8.1a ≤9.{0}[1,)+∞ 10.{0}(1,)+∞ 11.1212.4a ≥二.选择题13.A14.D 15.C 16.B 三.解答题17.22(1)(1)0x y -+-≥.18.(3,4)A =-，[2,)B =+∞，(,2)U B =-∞ð，[2,4)A B = ，()(,4)U A B =-∞ ð.19.（1）(1,5)-；（2）命题q ：44m -<<，∴范围为(4,1][4,5)-- .20.（1）(1,2)A =-R ð，1(,)(1,)3B =-∞+∞ ；（2）{0}；（3）略.21.（1）P 是，Q 不是；（2）7、9、11；（3）略.。