分形PPT作业
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分形理论及其应用22页PPT
己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
分形理论简介ppt
进一步对形成的9条子线段作分割和“日” 字型折线框形构造，便形成81条子折线，而 每条折线的长度为1/9； 如此分割构造下去便得到了皮亚诺曲线。
分割次数越多，得到的皮亚诺曲线就越密。
由于皮亚诺曲线最终可以穿行（遍历）一个 平面上的每一个点，因此它也被称作空间填 充曲线。
例子6：谢尔宾斯基三角垫
Nr A 1/ r d
则称d为A的盒计数维数
盒维数为d，当且仅当存在一个正数k使得 lim r 0
lim log Nr A d log r log k
r 0
N r A k 1 rd
d lim
log k log N r A log N r A lim r 0 r 0 log r log r
自仿射性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自仿射性是自相似性的一种拓展和延伸，如果局部到整体在各个方向上的变换比率是相同的， 那么就是自相似性变换；而当局部到整体在不同方向上的变换比率不一定相同时，就称为自仿 射性变换。自相似性变换是自仿射性变换的特例。
分形几何与欧氏几何的区别
11
两种几何学 欧氏几何
描述对象 人类创造的简单标 准物体（连续、光 滑、规则、可微） 大自然创造的复杂 的真实物体（不连 续、粗糙、不规则、 不可微）
N×r3=1
小正方体的测量数目为N(r)=r -3
分形维数：相似维数
14
线、面、体的维数为1、2、3，归纳为 N (r ) r D
两边取对数 D
log N r 1 log r
相似维数的定义：如果一个分形对象 A（整体）可以划分为 N(A,r) 个 同等大小的子集（局部单元），每个子集以相似比 r 与原集合相似， 则分形集 A 的相似维数 Ds 定义为
美丽的分形ppt-PPT文档资料
自相似放大图
用数学方法对放大区域进行 着色处理，这些区域就变成 一幅幅精美的艺术图案，这 些艺术图案人们称之为“分 形艺术”。 “分形艺术”以一种全新的 艺术风格展示给人们，使人 们认识到该艺术和传统艺术 一样具有和谐、对称等特征 的美学标准。这里值得一提 的是对称特征，分形的对称 性即表现了传统几何的上下、 左右及中心对称。同时她的 自相似性又揭示了一种新的 对称性，即画面的局部与更 大范围的局部的对称，或说 局部与整体的对称。
美丽的分形
欢迎进入美妙 的 分形世界!!!
我们人类生活的世界是一个极其复杂 的世界，例如，喧闹的都市生活、变 幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、 蜿蜒曲折的海岸线于传统欧几里得几何学的各 门自然科学总是把研究对象想象成一 个个规则的形体，而我们生活的世界 竟如此不规则和支离破碎，与欧几里 得几何图形相比，拥有完全不同层次 的复杂性。分形几何则提供了一种描 述这种不规则复杂现象中的秩序和结 构的新方法
Mandelbrot集合是 Mandelbrot在复平面中 对简单的式子 Z <- Z^2 + C 进行迭代产生的图 形。虽然式子和迭代运 算都很简单，但是产生 的图形出现那么丰富多 样的形态及精细结构简 直令人难以置信以至于 不可思议。
Julia 集合
在复平面上，水平的轴线代表实数，垂直的轴线代表 虚数。每个Julia集合（有无限多个点）都决定一个常 数C，它是一个复数。现在您在复平面上任意取一个点， 其值是复数Z。将其代入下面方程中进行反复迭代运算： Zn+1=Zn*Zn+C 就是说，用旧的Z自乘再加上C后的结果作为新的Z。 再把新的Z作为旧的Z，重复运算。 当你不停地做，你 将最后得到的Z值有3种可能性：
分形几何 ppt课件
27
❖ f(z) = |z2|
分形几何
28
分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
29
分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
36
分形几何
❖ 我们照这个思路（加0.2然 后平方）迭代12次后，可 得到右图图形。可以看见 整个图形已经具有了分形 图形的复杂程度（图形的 “黑边”其实是密集的等 高线）。
37
分形几何
❖ 上图中，大部分区域内的数都变得越来越大，直 达无穷。而原点附近这个四叶草形区域内的数， 至少目前还不算太大。
8
分形几何
9
分形几何 ❖康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于
非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其 局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。
10
分形几何
4. Mandelbrot集合 曼德博集合可以用复二次多项式来定义： fc(z)=z2+C; 其中 c 是一个复数参数。
➢ 从 z = 0 开始对 fc(z) 进行迭代：
① 将线段分成三等份（AC,CD,DB）； ② 以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角
形DMC ； ③ 将线段CD移去； ④ 分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
5
分形几何
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❖ f(z) = |z2|
分形几何
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分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
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分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
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分形几何
❖ 我们照这个思路（加0.2然 后平方）迭代12次后，可 得到右图图形。可以看见 整个图形已经具有了分形 图形的复杂程度（图形的 “黑边”其实是密集的等 高线）。
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分形几何
❖ 上图中，大部分区域内的数都变得越来越大，直 达无穷。而原点附近这个四叶草形区域内的数， 至少目前还不算太大。
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分形几何
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分形几何 ❖康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于
非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其 局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。
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分形几何
4. Mandelbrot集合 曼德博集合可以用复二次多项式来定义： fc(z)=z2+C; 其中 c 是一个复数参数。
➢ 从 z = 0 开始对 fc(z) 进行迭代：
① 将线段分成三等份（AC,CD,DB）； ② 以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角
形DMC ； ③ 将线段CD移去； ④ 分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
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分形几何
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分形ppt
i
ln(1/ r)
多重分维的定义包含了各种分维的定义（具体见书
本）。多重分形式定义了无穷多种维数，它依赖一
个参数q ，当q=0，1，3时，Dq分别等于Hausdorff维 数，信息维D1和关联维数D2。当然q不必限于正整数， 它可以取从-∞到+∞的一切实数值。
§14.2 应用实例之一： 甘肃城镇体系的分形研究
分形的基本属性是自相似性。表现为，当 把尺度r变换为λr时，其自相似结构不变， 只不过是原来的放大和缩小，λ称为标度因 子，这种尺度变换的不变性也称为标度不 变性，是分行的一个普适规律。有
N (r) 1 D0 N (r) (r) D0
海岸线分形，如果考虑其长度随测量尺度的变化，
L(r) rN (r) 1D0 r N (r) L(r)
同的线条集合，它们构成单分形子集合。对每一个
单分形子集合，其标度指数为α，分维为f(α)。
最后每段线条的质量相当于二项式 (P1 P2 )n展开中的
一项，n 。因此可以用P1的q阶矩i Piq 取代单分形
中的盒子数N，多重分维Dq可以定义为
Dq
lim 1 r0 1 q
ln Piq
§14.1 分形理论简介
分形的概念 分形维数的定义和测算 标度律与多重分形
分形的有关概念
(1)分形，是指其组成部分以某种方式与整体相似的 几何形态(Shape)，或者是指在很宽的尺度范围内， 无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。分 形是一种复杂的几何形体，唯有具备自相似结构的那 些几何形体才是分形。 (2)特征尺度 ,是指某一事物在空间，或时间方面具 有特定的数量级，而特定的量级就要用恰当的尺子去 量测。凡是具有自相似结构的现象都没有特征尺度, 分形的一个突出特点是无特征尺度。在无特征尺度区， 用来表征的特征量是分形维数 。
ln(1/ r)
多重分维的定义包含了各种分维的定义（具体见书
本）。多重分形式定义了无穷多种维数，它依赖一
个参数q ，当q=0，1，3时，Dq分别等于Hausdorff维 数，信息维D1和关联维数D2。当然q不必限于正整数， 它可以取从-∞到+∞的一切实数值。
§14.2 应用实例之一： 甘肃城镇体系的分形研究
分形的基本属性是自相似性。表现为，当 把尺度r变换为λr时，其自相似结构不变， 只不过是原来的放大和缩小，λ称为标度因 子，这种尺度变换的不变性也称为标度不 变性，是分行的一个普适规律。有
N (r) 1 D0 N (r) (r) D0
海岸线分形，如果考虑其长度随测量尺度的变化，
L(r) rN (r) 1D0 r N (r) L(r)
同的线条集合，它们构成单分形子集合。对每一个
单分形子集合，其标度指数为α，分维为f(α)。
最后每段线条的质量相当于二项式 (P1 P2 )n展开中的
一项，n 。因此可以用P1的q阶矩i Piq 取代单分形
中的盒子数N，多重分维Dq可以定义为
Dq
lim 1 r0 1 q
ln Piq
§14.1 分形理论简介
分形的概念 分形维数的定义和测算 标度律与多重分形
分形的有关概念
(1)分形，是指其组成部分以某种方式与整体相似的 几何形态(Shape)，或者是指在很宽的尺度范围内， 无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。分 形是一种复杂的几何形体，唯有具备自相似结构的那 些几何形体才是分形。 (2)特征尺度 ,是指某一事物在空间，或时间方面具 有特定的数量级，而特定的量级就要用恰当的尺子去 量测。凡是具有自相似结构的现象都没有特征尺度, 分形的一个突出特点是无特征尺度。在无特征尺度区， 用来表征的特征量是分形维数 。
分形分维ppt
分形分维
分形理论
提出：曼德.布罗特，题为“英国的海岸线有多长？”的论文使得 数学家开始正视“无限复杂性” 基础：分形几何学（以不规则几何形态为研究对象的几何学） 特点：用分数维度的视角和数学方法描述和研究客观事物
分形特征：
1.在任何细小的尺度下， 分形具有精细的结构,，即有任意小 比例的细节 2.分形不规则，因而它的整体和局部都不能用传统的几何语言 来描述 3.分形通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的 4.一般地， 分形的 “分形维数” (以某种方式定义)大于它的 拓朴维数
• 3.相似维数：F是Rd上的有界子集，如果F可划分为N个同等大小的部分， 且每部分与F的相似比为r，则称dimsF=logN/log1/r
• 特点：1.不规则形2.长度为(4/3)k,为无穷 大3.自相似性4.平面内面积为零
分形的度量尺度—分维
• 分维产生原因：近似或统计的图形自相似性
• 自相似性：如果一个物体自我相似，表明它每部分的曲线 有一小块和它相似，比如海岸线 • 维数：几何对象的一个重要特征量，是为了确定几何对象中的 一个点的位置所需要的独立坐标的个数或独立方向的数目
KOCH曲线
• 产生：设 E0是单位长度的直线段,E1是由 E0去掉中间 1 /3的线段,而代替以底边在 被除去的线段上的等边三角形的另外两边 所得的图形,它包含四个线段,对 E1的每个 直线段重复上述同样的过程构造出 E2.依 此类推,从 Ek - 1得到Ek.当 k→∞时,折线 序列趋于极限曲线 E,称 E 为 koch 曲线, 它是一条处处连续但处处不可微的曲线。
常见分维数的定义
• 1.豪斯道夫维数：提出连续空间概念，认为空间维数连续。取D维物体， 将每一维尺寸放大L倍，得到K个原来的物体，则K=LD，两边取对数，得 到维数D=lnk/lnL • 2.盒维数：设E属于Rd且有界非空, 令 Nδ(E)为半径为 δ的覆盖 E 的球的 最小个数, 则称dimBE =limδ→ 0[log Nδ(E)/(- logδ)]为 E 的盒维数
分形理论
提出：曼德.布罗特，题为“英国的海岸线有多长？”的论文使得 数学家开始正视“无限复杂性” 基础：分形几何学（以不规则几何形态为研究对象的几何学） 特点：用分数维度的视角和数学方法描述和研究客观事物
分形特征：
1.在任何细小的尺度下， 分形具有精细的结构,，即有任意小 比例的细节 2.分形不规则，因而它的整体和局部都不能用传统的几何语言 来描述 3.分形通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的 4.一般地， 分形的 “分形维数” (以某种方式定义)大于它的 拓朴维数
• 3.相似维数：F是Rd上的有界子集，如果F可划分为N个同等大小的部分， 且每部分与F的相似比为r，则称dimsF=logN/log1/r
• 特点：1.不规则形2.长度为(4/3)k,为无穷 大3.自相似性4.平面内面积为零
分形的度量尺度—分维
• 分维产生原因：近似或统计的图形自相似性
• 自相似性：如果一个物体自我相似，表明它每部分的曲线 有一小块和它相似，比如海岸线 • 维数：几何对象的一个重要特征量，是为了确定几何对象中的 一个点的位置所需要的独立坐标的个数或独立方向的数目
KOCH曲线
• 产生：设 E0是单位长度的直线段,E1是由 E0去掉中间 1 /3的线段,而代替以底边在 被除去的线段上的等边三角形的另外两边 所得的图形,它包含四个线段,对 E1的每个 直线段重复上述同样的过程构造出 E2.依 此类推,从 Ek - 1得到Ek.当 k→∞时,折线 序列趋于极限曲线 E,称 E 为 koch 曲线, 它是一条处处连续但处处不可微的曲线。
常见分维数的定义
• 1.豪斯道夫维数：提出连续空间概念，认为空间维数连续。取D维物体， 将每一维尺寸放大L倍，得到K个原来的物体，则K=LD，两边取对数，得 到维数D=lnk/lnL • 2.盒维数：设E属于Rd且有界非空, 令 Nδ(E)为半径为 δ的覆盖 E 的球的 最小个数, 则称dimBE =limδ→ 0[log Nδ(E)/(- logδ)]为 E 的盒维数
分形理论ppt课件
X
分形理论在图象压缩中的应用
为什么分形理论能用于图象压缩
图象压缩：指在没有明显失真的前提下，将图象的
位图信息转变成另外一种能将数据量缩减的表达形 式。 首先，尽管图象中数据量很大，但数据之间不是完 全独立的，图象中存在着各种各样的相关性或冗余 信息。即一部分数据可以由另一部分数据完全推算 出来。 其次，大部分图象视频信号的最终接收者都是人眼， 人眼对图象中的不同部分的敏感程度是不同的。
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
X
分形理论简介
五、分形的应用范围
分形观念的引入并非仅是一个描述手法上的改变，
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形
X
分形理论简介
四、分形的特点
(1)分形的最基本特征是所谓的“自相似性”。如图1
(2)该集有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 如图2
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
分形理论
X
X
分形理论简介
一、什么是分形？ 1、问题的引入 －－英国的海岸线有多长
2、欧氏几何的局限性 －－欧氏几何主要是基于中小尺度上的点、线、面 之间的关系
3、分形----自然几何
X
分形理论简介
二、分形的发展
萌芽：1919年以前
分形理论在图象压缩中的应用
为什么分形理论能用于图象压缩
图象压缩：指在没有明显失真的前提下，将图象的
位图信息转变成另外一种能将数据量缩减的表达形 式。 首先，尽管图象中数据量很大，但数据之间不是完 全独立的，图象中存在着各种各样的相关性或冗余 信息。即一部分数据可以由另一部分数据完全推算 出来。 其次，大部分图象视频信号的最终接收者都是人眼， 人眼对图象中的不同部分的敏感程度是不同的。
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
X
分形理论简介
五、分形的应用范围
分形观念的引入并非仅是一个描述手法上的改变，
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形
X
分形理论简介
四、分形的特点
(1)分形的最基本特征是所谓的“自相似性”。如图1
(2)该集有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 如图2
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
分形理论
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X
分形理论简介
一、什么是分形？ 1、问题的引入 －－英国的海岸线有多长
2、欧氏几何的局限性 －－欧氏几何主要是基于中小尺度上的点、线、面 之间的关系
3、分形----自然几何
X
分形理论简介
二、分形的发展
萌芽：1919年以前
FRACTAL PAINTING分形绘画-PPT资料28页
Hokusai
• Hokusai was best known for his painting The Great Wave (at the top). Hokusai saw the complex patterns that occur in nature and would repeat these. Many of his pictures remind us of the detail of Julia sets. Notice the self-similarity on the edge of the waves.
Vincent Van Gogh
• Vincent Van Gogh is known for his chaotic paintings. Mathematical studies have shown that Van Gogh’s stormy paintings almost perfectly imitates real turbulence.
Egyptian Temple Column
• This shows the capital of an Egyptian temple column. In Ancient Egyptian cosmogony the white lotus flower often represents the development of the universe. The petals within petals within petals represents the cosmos on smaller and smaller scales, and is a clear example of self-similarity.
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Julia集
Julia 集是由法国数学家 Gaston Julia 和 Pierre Faton 在发展了复变函数迭代的基础理论后获得 的。Julia 集也是一个典型的分形，只是在表达上 相当复杂，难以用古典的数学方法描述。 Julia 集Julia 集由一个复变函数。尽管这个复变函数看 起来很简单，然而它却能够生成很复杂的分形图 形。
基本意义
上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。分形作为一 种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。美国物 理学大师约翰· 惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能 被称为科学上的文化人。由此可见分形的重要性。 中国 著名学者周海中教授认为：分形几何不仅展示了数学之美， 也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式； 可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究 也极大地拓展了人类的认知疆域。 分形几何学作为当今 世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人 们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。 分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与 艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。
Байду номын сангаас
分形艺术
分形艺术的英文表述:fractal art，不规则几何元素 Fractal，是由IBM研究室的数学家曼德布洛特 (Benoit.Mandelbrot，1924-2010)提出。其维度并 非整数的几何图形，而是在越来越细微的尺度上 不断自我重复，是一项研究不规则性的科学。 中文名称：分形艺术 外文名称：fractal art 提出者：曼德布洛特 提出时间：不详
基本特征
分形艺术作品具有以下基本特征: 一、自相似性 如果一个几何对象的某个局部放大后，与其整体相似，这 种性质就叫做自相似性。 二、无限精细 任意小尺度下依然有精细的结构。随着图像的放大，不但 不会丢失细节，相反会看到越来越精细的细节。 三、极不规则 很多有分形特征的事物不能用简单的几何图形去描述。
创作特点
分形艺术"不同于普通的"电脑绘画"，普通的"电脑绘画"概念是 用电脑为工具从事美术创作，创作者要有很深的美术功底，且 作品的创作几乎完全依赖于作者的个人意愿。而"分形艺术"则 是利用分形几何学原理，借助计算机强大的运算能力，将数学 公式反复迭代运算，再结合作者的审美及艺术性的塑造，从而 将抽象神秘的数学公式变成一幅幅精美绝伦的艺术画作。 当然，如果你有着较好的数学和计算机编程功底，那么对于绘 制分形图案将大有裨益，但这些并不是必要的。如果你有一定 的美术功底和对色彩与造型方面的基本认识，那么创作出分形 图形并不是难于登天。随着技术的发展，诞生了许多优秀的分 形艺术创作软件，简化了分形艺术的创作过程，从而使得没有 良好数学功底的人也能利用软件做出美丽的分形艺术作品。
基本原则 自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要则。它表征 分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。由 自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分 形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义 上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成 无限精细的结构，如科契雪花曲线、谢尔宾斯基地毯曲线 等。这种有规分形只是少数，绝大部分分形是统计意义上 的无规分形。
三分康托集
1883年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知 的三分康托集。三分康托集是很容易构造的，然而，它却 显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发，再 由这个区间不断地去掉部分子区间的过程构造出来的。其 详细构造过程是：第一步，把闭区间[0，1]平均分为三段， 去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和 [2/3，1]。第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为 三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0， 1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重复 删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断的分割下去， 最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。 三分康 托集的 Hausdorff维数是0.6309。
分形 变形雕塑
Koch 曲线
1904年，瑞典数学家柯赫构造了 “Koch曲线”几何图形。 Koch曲线大于一维，具有无限的长度，但是又小于二维， 并且生成的图形的面积为零。它和三分康托集一样，是一 个典型的分形。根据分形的次数不同，生成的Koch 曲线 也有很多种，比如三次 Koch 曲线，四次 Koch 曲线等。下 面以三次 Koch 曲线为例，介绍 Koch 曲线的构造方法，其 它的可依此类推。 Koch 曲线的生成过程三次Koch曲线的 构造过程主要分为三大步骤：第一步，给定一个初始图 形——一条线段；第二步，将这条线段中间的 1/3 处向外 折起；第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段中间 的 1/3 处向外折起。这样无限的进行下去，最终即可构造 出Koch曲线。
分形
分形理论是指部分与整体以某种 方式相似的形体称为分形。 中文名称：分形理论 外文名称：Fractal Theory 提出：芒德勃罗(B.B.Mandelbrot) 含义：形成研究分形性质及其应 用的科学
分形理论简介
分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形 的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。 1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海 岸线有多长》的著名论文。海岸线作为曲线,其特征是极不规则， 极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构 上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同 样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的, 也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西 作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10 公里长海岸线的两张照片,看上去会十分相似。事实上,具有自 相似性的形态广泛存在于自然界中,如:连绵的山川、飘浮的云 朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑 皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体 称为分形。1975年，他创立了分形几何学。在此基础上,形成 了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论。