初识分形

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分形的概念和应用

分形的概念和应用

起源:分形概念起源于1975年,由数学家Benoit Mandelbrot提出
概念:分形是指具有自相似性的几何形状,即无论放大或缩小,其形状保持不变
应用:分形在数学、物理学、生物学、经济学等领域都有广泛的应用
发展:分形概念的发展推动了许多学科的研究,如混沌理论、复杂系统等
生物学:分形理论在生物学பைடு நூலகம்的应用,如分形生物学、分形生态学等
计算机科学:分形理论在计算机科学中的应用,如分形图像处理、分形建模等
数学:分形理论在数学中的广泛应用,如分形几何、分形分析等
物理学:分形理论在物理学中的应用,如分形物理学、分形宇宙学等
分形渲染:利用分形算法进行3D渲染,提高渲染效率和效果
分形建模:利用分形原理进行3D建模,如分形城市、分形建筑等
平面设计:分形图案在平面设计中的应用,如海报、广告、包装等
艺术创作:分形图案在艺术创作中的应用,如绘画、雕塑、装置艺术等
汇率市场:分形理论可以用来预测汇率市场的波动和趋势
金融风险管理:分形理论可以用来评估和管理金融风险
股票市场:分形理论可以用来预测股票市场的波动和趋势
经济周期:分形理论可以用来解释经济周期的波动和规律
生成纹理:为3D模型添加分形纹理,增强视觉效果
生成动画:制作分形动画,如分形爆炸、分形生长等
生成自然景观:模拟山脉、河流、树木等自然景观
生成艺术作品:创作分形艺术作品,如分形图案、分形动画等
数学:分形理论在数学中的广泛应用,如分形几何、分形分析等
计算机科学:分形理论在计算机科学中的广泛应用,如分形算法、分形图像处理等
分形市场假说:描述金融市场的复杂性和不可预测性
分形时间序列分析:用于分析金融数据的时间序列特征

初中数学分形课件

初中数学分形课件

混沌一开, 乾坤乃定。 历经无数分叉路, 柳暗花明见新村。 教育立国, 科技兴邦, 两个强劲吸引子, 交织出一幅美丽分形。 万众协同, 应变持恒。 依凭超循环作用, 借助蝴蝶效应, 向着同宿点, 奋起马蹄奔前程。
(付新楚(1961- )《混沌寄情》)
现科学之美, 探复杂之谜, 映射突变, 分形遇与混沌帝。 马蹄迭代驱寂寞, 落霞覆涟漪, 斑图指进临境, 连络廿一世纪。 (刘华杰)
谢 谢 欣 赏 !
分形的应用领域
数学中的动力系统等;
物理中的布朗运动,流体力学中的湍流等; 化学中酶的构造等;
生物中细胞的生长等;
地质学中的地质构造等;
天文学中土星光环的模拟等;
其它:计算机,经济学,社会学,艺术等
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
随机Koch曲线 ——对海岸线的模拟
分形树叶
分形树叶(续1)分形树Fra bibliotek(续2)分形树叶(续3)
花草树木(L 系统)的一个例子
一些分形图片:

Z n1 Z c
2 n

z 和 c 都是复数)
蝴蝶函数: 花函数:
洛伦兹吸引子
函数图形(天鹅)是帮加莱截面映射
图形(稻草)是描述植物生长的PL规则图案
/
与分形有关的诗
幻境风云起,人间纷扰多。 醉弄光影躯,轻舞自婀娜。 (宋爽)
分念成形窥色相,共灵显迹化虚无。 出有入无成妙道,分形露体共真源。 (摘自《慧命经· 化身图释词》)
第一步
Sierpinsk垫片的生成过程 —第2步
Sierpinsk垫片的生成过程 —第3步
Sierpinsk垫片的生成过程 —第4步
Koch曲线

分形的定义及其特点

分形的定义及其特点

分形定义与特点解析
哎呀,说起这个分形啊,它就像咱们四川的山山水水,层层叠叠,复杂又迷人。

分形嘛,简单来说,就是那些看起来自相似,不管你咋个放大缩小,它都长得差不多的图形或者结构。

就像你站在峨眉山脚看金顶,跟你在金顶上看周围的云海,那种层层叠叠、云雾缭绕的感觉,差不多就是分形的一个味儿。

分形的特点,第一就是自相似性,就像我前面说的,它自个儿跟自个儿像,不管大小,都有那么一股子“家族脸”。

第二呢,就是无限复杂性,你越往细里看,它就越复杂,好像永远都看不完,跟咱们四川的竹林一样,一根竹子里头还有无数小枝丫,小枝丫上又有更细的,没完没了。

再来说说它的应用,那可就广了。

在自然界里头,雪花、河流的分支、树叶的脉络,都是分形的杰作。

在科学里头,分形理论还被用来研究天气变化、股市波动这些看似杂乱无章,实则暗藏规律的东西。

就连咱们画画、设计里头,也经常能见到分形的影子,让作品看起来更加生动、有层次感。

所以说,分形这个东西,它不仅仅是数学上的一个概念,更是大自然和人类智慧的一种奇妙结合。

咱们四川人讲究的是“巴适”,我觉得分形就挺“巴适”的,既复杂又简单,既抽象又具体,让人越看越有味儿。

第四章 分形041019105835

第四章 分形041019105835
D
Df : 显然,D 即为相应图形的维数。对上式取对 数,并将 D 记为 D f log log K L (4-1-2)
可以见到,对于正规的几何图形,(4-1-2)式的分子刚好可以为分母所整除, D f 为整数,这就是我们所熟悉的欧几里德维数。但对于不规则的几何图形, (4-1-2) 式不总是可以整除的,于是在一般情况下,一个几何图形的维数是个分数, 简称 为分维。这就是说,规则几何图形是一般几何图形的特殊情况,与此相对应 f 常称为豪斯道夫维数。 的分数维概念, 的整 数维数也只是一种特例。这就是 1919 年由法国数学家豪斯道夫(Hausdorff) 我们还可以从另外角度来讨论图形维数的定义。例如,一个具有单位面积的 引进 正方形,现在把它等分成九个小正方形,即九个小正方形相加等于原来的面积, D 而这时小正方形的边长缩小为原来长度的 1/3 倍。上述关系为: 9×(1/3)2=1 (4-1-3)
2. 规则分形
现在来看一些比较特殊的几何图形,它们是在曼德布罗特提出分形理论之前, 由许多数学家构造出来的一批具有自相似的几何图形,如康托尔(Cantor)点集, 科赫(Koch)曲线,谢尔宾斯基(Serpinski)地毯等。这些数学家当时是从纯数学兴 趣来构造这些图形,并称之为“病态图形”。现在采用分形理论去研究它们时, 可以看到这些图形与正规几何图形之间存在着直接的联系。
图 4-1 布朗微粒运动的径迹
基于测量对象体形上的自相似性与标度不变性,曼德布罗特提出了分形理论。 首先,他在 1973 年在法兰商学院讲学期间提出了分形的几何学的基本思想,接 着在 1977 年他出版了第一本著作:《分形对象:形、机遇与维数》,而在 1982 年出版了第二本著作:《自然界的形几何学》,从而奠定了这门新科学的基础。 分形的英文词是“fractal”,是曼德布罗特创造的,用以表征某些不规则的几何形 体。他给出的分形定义为: A fractal is a shape made of parts simslar to the whole in some way”,即“分形是其组成部分以某种方式与整体相似的图形”,或者说, 分形是指一类体形复杂的体系,其局部与整体具有相似性。与人们熟悉的整规体 形的整数维不同,分形体的维数不一定是整数,它可取连续变化的各种数值,称 之为分形维数,或简称分维。根据分形体的不同特征,有多种分形维数的定义, 而且由不同分形维数定义计算出的维数也有一些差别。 目前,分形的研究现已大大地超出了数学、物理学的范畴,它不仅广泛用于 处理自然科学中相关问题,象雷电、相变、聚合物生长等等,而且在扩展到生态、 生命、经济、人文的许多领域。在地震、气象的预报预测、石油的多次开采等应 用领域,甚至在股票涨落分析等方面,分形也都得到了广泛的应用。由此可见, 分形为人们处理复杂对象提供了一个强有力的工具。尤其值得一提的是虽然从表 面上看来,分形似乎和前面讨论过的非线性动力学无多大关系,但是深入研究发 现,分形与系统的混沌运动是密切相关的,它是非线性科学中的另一个重要分支。

大班数学教案分形

大班数学教案分形

大班数学教案分形一、引言分形是一种具有自相似性和无限细节的数学图形,具有广泛的应用和研究价值。

本教案将介绍大班数学课程中关于分形概念的教学内容,旨在培养学生的观察力和创造力,帮助他们理解数学中的抽象概念。

二、教学目标1.了解分形的基本概念和特征;2.学习观察和分析分形图形;3.培养学生的创造力和解决问题的能力。

三、教学准备1.白板、黑板或投影仪;2.数学课本和练习册;3.笔、纸和尺子。

四、教学过程第一节:认识分形1.分形的定义和特征(教师讲解):–分形是一种具有自相似性的数学图形;–分形具有无限的细节,并且在各个尺度上都有相似的结构。

2.分形的例子(教师示范):–科赫雪花;–谢尔宾斯基三角形;–蒙德里安风格的图形。

第二节:观察分形图形1.小组活动:观察和分析分形图形(学生讨论)–将学生分成小组,每个小组观察一种分形图形;–学生讨论图形的特征、规律和自相似性。

2.学生报告(小组展示)–每个小组派代表报告他们观察到的分形特征;–教师指导学生提出问题和讨论。

第三节:创造分形图形1.分形图形的制作(学生实践):–学生使用尺子和纸制作自己的分形图形;–可以使用递归的方法或其他方法。

2.学生展示和评价(学生展示)–学生展示自己制作的分形图形;–其他学生对作品进行评价和提出改进建议。

第四节:巩固练习1.教师出示多个分形图形,要求学生分析和描述图形的特征和规律。

2.学生完成练习册上的练习题,加深对分形的理解和应用。

五、教学总结通过本次课程,学生了解了分形的基本概念、特征和应用。

通过观察、分析和制作分形图形,学生的观察力和创造力得到了培养和发展。

通过练习和讨论,学生对分形有了更深入的理解。

这些能力和知识对学生的数学学习和解决问题的能力有着积极的影响。

六、拓展阅读•Mandelbrot B.B. (1983). The Fractal Geometry of Nature. W.H.Freeman and Company.•Falconer, K. (1990). Fractal Geometry - Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons.。

斐波那契数列与黄金分割

 斐波那契数列与黄金分割
1973年,Mandelbrot在法兰西学院讲课时,首次提出了分维和分形几何 的思想,认为分形几何可以处理自然界中那些极不规则的构型,指出
分形几何学将成为许多物理现象的有力工具。
1974年,就职于IBM托马斯·沃森研究中心的Mandelbrot萌生出一种新的 几何测量思想,用这个思想描述股票价格波动,结果显示整个市场从它的
10.门格尔海绵(Menger sponge)
分形的定义
Kenneth Falconer的定义(描述性)
分形的原意是不规则的、分数的、支离破碎的,它是一种具有自 相似性的图形、现象或物理过程等。
• 它具有精细的结构,即在任意小的尺度下,它可以有更小 的细节;
• 它是如此的不规则,无论从局部还是整体看,它都无法用 微积分或传统的几何语言来描述;
4.柯赫曲线(Koch curve)
5.柯赫雪花(Koch snowflake)
6.明可夫斯基香肠(Minkowski sausage)
7.皮亚诺曲线(Peano curve)
8.谢尔宾斯基三角垫(Sierpinski triangle gasket)
9.谢尔宾斯基方毯(Sierpinski carpet)
最大尺度到最小尺度是自相似的,这就是分形的雏形。后来,Mandelbrot 转向研究数据传输的噪声问题,他用自己萌发的几何学思路提出了一个模
型,该模型不用天文学数据,仅通过数学图形就显示出天体物理家证实的
宇宙星系分布。
Mandelbrot所做的描述,正是以19世纪数学家Cantor命名的抽象构造-Cantor集。这种高度抽象的描述对试图控制误差是有意义的。分析表明, 不应靠加强信号来淹没噪声,而应采用适当的信号。他认为“自相似绝不
• 它本身的结构通常在大小尺度上有某种自相似的性质; • 它的分形维数大于它的拓扑维数; • 在多数情况下,它可以由迭代方法产生; • 它通常具有“自然”的外貌。

分形

分形
25
在 Sierpinski 三角形中,我们首先作一个完全 填充的三角形(二维)。然后,我们从中间移去一 个三角形,然后再在剩下的三角形中分别移去一个 三角形。最终它的面积等于零了,于是,它的维数 自然小于 2 ,但是却永远达不到 1 ,因为,无论何 处,它都不接近一条线。所以,它的维数也在 2与 1 之间,经过数学计算,它的真正维数大约是 1.5850 。
11
Koch 雪 花 和 Sierpinski 三 角 形 也 是 比较典型的分形图形,它们都具有严格的 自相似特性。但是在前面说述的 Mandelbrot集合却并不严格自相似。所以, 用“具有自相似”特性来定义分形已经有 许多局限了。
12
我们把具有某种方式的自相似性的图形 或集合称为分形。自相似性就是局部与整体相 似,局部中又有相似的局部,每一小局部中包 含的细节并不比整体所包含的少,不断重复的 无穷嵌套,形成了奇妙的分形图案,它不但包 括严格的几何相似性,而且包括通过大量的统 计而呈现出的自相似性。
分 形
Fractal
1

作为一门新兴学科,分形不但受 到了科研人员的青睐,而且因为 其广泛的应用价值,正受到各行 各业人士的关注。那么,在我们 开始学习分形之前,首先应该明 白的一件事情是:什么是分形?
2
严格地而且正式地去定义分形是一件非常复 杂而且困难的事情。但是,有一些不太正规的定 义却可以帮助我们理解分形的含义。在这些定义 中,最为流行的一个定义是: 分形是一种具有自相似特性的现象、图像或 者物理过程。 也就是说,在分形中,每一组成部分都在特 征上和整体相似,只仅仅是变小了一些而已。
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分形的历史发展
• 分形的研究可以上溯到很久以前。大约100年前分形的 思想已经开始出现在数学领域。但是,就像其它的一些革命 性的思想一样,分形的研究受到了主流学术的谴责,被人们 认为只是研究一些数学中的怪异现象。那个时候著名的数学 家 Charles Hermite 把分形称为“怪物”,这代表了绝大 多数人的观点。 IBM公司的数学家 Benoit B. Mandelbrot 认真地研究 了分形与自然的关系。他向人们展示了分形广泛地存在于我 们身边,一些现象都能够用分形来进行准确的描述。他和他 的同事们用分形来描述树和山等复杂事物。他还扩展了维数 的概念,开创性地提出了分数维的概念,并创造了“fractal” 一词。“ fractal”就是我们所说的“分形”,也叫“分维”, 台湾的学者则称之为“碎形”。为了褒奖 Mandelbrot 的突 15 出贡献,人们把他称为“分形之父”。

分形的感受和理解

分形的感受和理解

我对分形的认识和感受
白丹丹 12计应三 12051433
首先,分形是具有以非整数维形式充填空间的形态特征的数学工具。

我们身处的大自然不规则的显现普遍存在。

如果任由其自由发展不去探索我们肯定是一无所得的除了从自然获取养分之外。

因此被称为描述大自然的分形几何学肯定是要应运而生的。

像其他科学一样分形的提出便很快得到了社会的各个科学领域的关注。

我想,而且在实用上分形几何都具有重要价值。

著名的物理学家惠勒说过这样一句话:“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人,将来谁不知道分形概念,也不能称为有知识。

”足见分形在科学领域的的重要性。

它的出自现描述了然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。

例如,弯弯曲曲的海岸线、令人眼花缭乱的满天繁星等。

它们的特点都是,极不规则或极不光滑。

直观而粗略地说,这些对象都是分形。

想到分形我的第一印象就是花菜,因为花菜的特征完全符合曼德勃罗给分形下过的定义:部分与整体以某种形式相似的形,称为分形。

分形从上世纪80年代初开始便经久不息。

它作为一种新的概念和方法,正在许多领域开展应用探索。

分形几何不仅展示了数学之美,也揭示了世界的本质,还改变了人们理解自然奥秘的方式;可以说分形几何是真正描述大自然的几何学,对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。

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精细结构
任意小局部总是包含细致的结构。
Байду номын сангаас
参考书:《分形算法与程序设计》
3
1.3 分形的度量
(1)长度的测量 Length(n=0)=1 Length(n=1)=4/3 Length(n=2)=16/9 ………… Length=lim(Length(n))
n→∞
=lim(4/3)n= ∞
n→∞
参考书:《分形算法与程序设计》
第 1 章 初识分形
1.1 Fractal 的含义 1.2 分形的几何特征 1.3 分形的度量
1.4 分形维数 1.5 分形是一种方法论 1.6 分形与计算机图形学
参考书:《分形算法与程序设计》
1
1.1 Fractal 的含义
英文单词Fractal,在大陆被译为“分形”,在台湾被译为 “碎形”。它是由美籍法国数学家曼德勃罗(Benoit Mandelbrot) 创造出来的。其含义是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是 想用此词来描述自然界中传统欧几里得几何学所不能描述的一大 类复杂无规的几何对象。
分形作为一种方法,在图形学领域主要是利用迭代、递归等技 术来实现某一具体的分形构造。
分形几何学与计算机图形学相结合,将会产生一门新的学科— —分形图形学。它的主要任务是以分形几何学为数学基础,构造非规 则的几何图素,从而实现分形体的可视化,以及对自然景物的逼真 模拟。
参考书:《分形算法与程序设计》
9
欧氏空间中的面积为0。如此看来,Koch曲线在传统欧氏空间中
不可度量。
参考书:《分形算法与程序设计》
5
1.4 分形维数
分形维数是分形的很好的不变量,它一般是分数,用它可以 把握住分形体的基本特征。
图a是边长为1的正方形,当边长 变 成 原 来 的 1∕2 时 , 原 正 方 形 中 包 含4个小正方形,如图b,而4=22;
的复杂形态提供了一个新的尺度。复杂性科学是现代科学的前沿,在这
门科学的研究过程中,发现了许多符合分形规则的复杂形态,而分数维
是测量这些形态复杂程度的一种度量。也就是说,我们找到了对复杂性
做定量分析的工具。
参考书:《分形算法与程序设计》
8
1.6 分形与计算机图形学
分形理论的发展离不开计算机图形学的支持,如果一个分形构 造的表达,不用计算机的帮助是很难让人理解的。不仅如此,分形 算法与现有计算机图形学的其他算法相结合,还会产生出非常美丽 的图形,而且可以构造出复杂纹理和复杂形状,从而产生非常逼真 的物质形态和视觉效果。
在计算机上构造出以假乱真的景象来,显然利用这套方法我们可以把世
界压缩到几个分形规则中,便于携带和传播。其次,许多以前被认为是
随机的现象,从分形理论的角度看并不是随机的,比如布朗运动、股票
价格的波动、传染病的流行传播等,这为我们控制这些貌似随机的现象
奠定了理论基础。最后,分形理论中的分数维概念,为我们认识世界中
4
1.3 分形的度量
(2)面积的测量 Area(n0)=(1╳√3/6)/2= √3/12 Area(n1)=√3/12 ╳(4/9) Area(n2)=√3/12 ╳(4/9)2 ………… Area(n)=lim(√3/12 ╳(4/9)n)=0
n→∞
如上所述,koch曲线在一维欧氏空间中的度量为∞,在二维
对于实际的自然景物,我们可以用计盒维数的方法测量分维。
参考书:《分形算法与程序设计》
7
1.5 分形是一种方法论
沃尔夫奖(Wolf Prize)在颁发给分形理论创始人曼德勃罗时的评 语所说的,“分形几何改变了我们对世界的看法”。
分形理论至少会在三个方面改变我们对世界的认识。首先,自然界
中许多不规则的形态其背后都有规则,都可以用分形的方法建立模型并
图c是边长为1的正立方体,当边 长 变 成 原 来 的 1∕2 时 , 原 正 立 方 体 中包含8个小正立方体,如图d,而 8=23。
则有N=kD , D=log(N)/log(k)
这样Koch曲线的分形维数D=log(4)log(3)=1.2618
参考书:《分形算法与程序设计》
6
1.4 分形维数
参考书:《分形算法与程序设计》
2
1.2 分形的几何特征
自相似性 自相似,便是局部与整体的相似。
自仿射性
自仿射性是自相似性的一种拓展。如果,将自相 似性看成是局部到整体在各个方向上的等比例变 换的结果的话,那么,自仿射性就是局部到整体 在不同方向上的不等比例变换的结果。前者称为 自相似变换,后者称为自仿射变换。
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