飞机多学科优化设计

– 多项式响应面模型 – Kriging模型 – 径向基函数模型 – 人工神经网络模型
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多项式响应面模型
• 多项式响应面是多学科设计优化中最为常用的一种代 理模型，其基本数学表达形式 ：
f (x) = β 0 + ∑ β i ⋅ x i + ∑ ∑ β ij ⋅ x i x j + "
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– While f(x) “globally” approximates the design space, Z(x) creates “localized” deviations so that the kriging model interpolates the ns sampled data points. – The covariance matrix of Z(x) which dictates the local deviations is as follows:
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中心复合试验设计
• 中心复合试验设计(Central Composite Experiment Design)是一种针对二次多项式响应 面模型进行分批试验的一种试验设计方法。 • 步骤
– 首先要根据每个因素的两个水平值(分别代表改因素的 最大和最小水平)，利用正交表构造一个Ln(2m)的试验 方案，进行n次试验。 – 在第一批试验结束之后，在中心点(0,0,…,0)作n0次重 复试验，由于数值计算试验的结果不存在物理试验那样 的不确定性，所以对数值试验来说，此步只作一次试验 即可，即n0＝1。 18
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代理模型
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代理模型的含义
• 所谓代理模型（Surrogate Models）是 指计算量小、但其计算结果与高精度模 型的计算结果相近的分析模型。 • 在设计优化过程中，可用代理模型替代 原有的高精度分析模型 。
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构造代理模型的个步骤
• • • 用某种方法产生设计变量的样本点； 用高精度分析模型对这些样本点进行分析，获得一组输入/输出 的数据； 用某种拟合方法来拟合这些输入/输出的样本数据，构造出近似 模型，并对该近似模型的可信度进行评估。
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Kriging模型
• Kriging postulates a combination of a polynomial model and departures of the following form:
y (x ) = f (x ) + z (x )
where y(x) is the unknown function of interest f(x) is a known polynomial function of x, in many cases f(x) is simply taken to be a constant term β Z(x) is the realization of a stochastic process with mean zero, variance σ2, and nonzero covariance.
• 是一种修正的蒙特卡罗方法。 • 方法：
– 设有n个设计变量，每个变量p个水平。 – 每个设计变量分为p个区间，若均匀分布，则p个区间 等间隔。整个变量空间分成pn个子区域。 – 遵循下列两个原则取试验点。 • 样本点在每个子区域随机选取； • 在任一维，即任一变量上的投影有p个区间每个区 间有且仅有一个样本点。
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正交试验设计的特点
• 是全析因试验的一种部分试验。 • 系统在任意两个因素之间进行的是 一次带有等重复的全面试验。 • 不会漏掉主要因素的各种可能搭配， 可以根据试验结果方便的分析各因 素及其交互作用对系统响应影响的 大小和规律，这被称为正交试验的 整齐可比性。 • 与全析因试验相比，大大减少了构 造模型所需的试验次数。
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– 第三批试验是在每个因素的坐标轴上，取臂长为的两 个对称点作为试验样本点，m个因素共有2m个点。 – 这样三次试验总共取了N个样本点：
N = n + n0 + 2m
• 特点：
针对二次多项式响应面模型 进行分批试验的一种试验设 计方法； 试验次数较少。
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拉丁超立方实验设计方法
i =1 i =1 j ≥ i m m m
式中xi是m 维自变量x的第i个分量，β0， βi ， βij ，是未知参数， 将它们按照一定次序排列，构成列向量β，求解多项式拟合模 型的关键就是求解向量β。 当最高次项只考虑到二次项时,其未知系数的个数为：
( m + 1)( m + 2 ) / 2
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where R is the correlation matrix, and R(xi,xj) is the correlation function between any two of the ns sampled data points xi and xj. R is a ns x ns symmetric, positive definite matrix with ones along the diagonal. Many different correlation functions exist. The most common is a Gaussian correlation function
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• 拉丁超立方抽样试验点可用下面的算法产生
x (ji ) =
其中：
π (j i ) + U (j i )
k
1≤ j ≤ n
1≤ i ≤ k
K 为样本点数量即试验次数 N 是设计变量的个数 U 为[0 1]之间的随机数， π 为0，1…，k-1独立随机排列，有k！种排列。 i 表示第i次试验（sample number） j 表示第j个变量（dimension index）
• 在求解模型的时候，样本点个数n通常总是大于，写成 向量乘积的形式，可以得到如下方程组：
f ( xi ) = X i β
的行向量，要满足如下条件 (i=1,……n）
其中Xi是由样本点xi的分量按照β中各对应分量的次序构成
f ( xi ) = y i
从而有
X ⋅β =Y
其中：
⎡ X1 ⎤ ⎢ ⎥ X =⎢ # ⎥ n ⎢ X ⎣ ⎥ ⎦
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L9(33)正交试验设计
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均匀试验设计
• 在不考虑整齐可比性，而完全保证样本点分布 的均匀性情况下所进行的一种试验设计方法。 • 在均匀试验中，每个因素的水平是在试验范围 内均匀分布的，而且每个水平都只作一次试验。 • 像用正交表来安排正交试验那样，均匀试验设 计也有专用的均匀设计表。
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– Once a correlation function has been selected, predicted estimates of the response, at untried values of x are given by:
l + rT ( x)R −1 ( y − f β l) y=β
数值计算噪声
气动数值计算所产生的躁声
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并行计算（离线）
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MDO集成
Optimization
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试验设计
• 试验设计方法是有关如何合理安排试验的数学方法。 • 它是代理模型的取样策略，决定了构造代理模型所需 样本点的个数和这些点的空间分布情况。 • 常用方法：
– 全析因试验设计 – 正交试验设计 – 中心复合试验设计 – 均匀试验设计 – 随机投点设计 – 拉丁方方法
⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ Y =⎜ # ⎟ ⎜ yn ⎟ ⎝ ⎠
解上式得：
T ⎤ X X X Y β =⎡ ⎣ ⎦ T −1
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特点
• 多项式响应面模型具有良好的连续性和可导性， 能较好地去除数字噪声的影响，极易实现寻优。 • 根据多项式中各分量的系数的大小，可以判断 各项参数对整个系统响应影响的大小。 • 在处理非线性程度比较高的高维问题时，多项 式响应面的拟合预测效果不太理想了。 • 在多项式阶数较高时还会出现过拟合现象。
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全析因试验设计
• 因素
– 系统的输入变量被称为因素
• 水平
– 因素在样本点处的值被称为水平
33全析因试验设计
• 全析因设计是指在一次完全试 验中，系统的所有因素的所有 水平可能的组合都要被研究到 的一种试验设计方法。
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全析因试验设计
• 优点：
– 能够分析因素对系统影响的大小和分析因素间的交 互作用。
– L 代表正交表； – A表示表中有A个横行，也即总共所需的试验次数； – p表示因素的水平数； – q表示因素的个数。
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• • 使用正交表通常都要求各因素的水平数是相同； 当各因素水平数不等的试验，有两种方法可以用来安排正交试验， 其中一种是直接套用不等水平正交表，另一种则是采用拟水平法。
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均匀试验设计
• 均匀设计表：UA(pq)
– U 表示均匀设计表； – A 表示行数，即均匀试验的次数， – p 表示因素的水平数; – q 表示因素的个数，即该表最多所能安排的 因素数。
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X 2 和X 4
X 2 和X 3
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特点
• 采用U表的均匀试验设计的试验次数与表 的水平数相等。
• 缺点：
– 当系统的因素和水平比较多时，模型样本点个数会 将会是一个很大的数字。 – 假定一个有10个设计变量的系统要进行2水平的全 析因试验设计，所需进行的试验次数为210次。 – 只用于低维低水平的试验设计问题中。