北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
y f (x)
a
b
x
5
积分上限
a f ( x )dx I
积分下限
b
lim f (i )xi
n i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
6
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a
(3)
b
b
b
f (t)dt a
a
b
f(u)du。
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
a f(x)dx - b f (x)dx
7
(二)、定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分a f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
1
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽 车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于 几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概 念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解 掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单 的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意 义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
ba Sn f (i )x f (i ) n i 1 i 1 如果 x 无限接近于 0（亦即 n ） 上述和式 S n 时， 无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区
n n
间 [ a, b] 上的定积分。记为： S
b
a
f ( x )dx
2
（一）、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:
分割---近似代替----求和------取极限得到解决.
ba 小矩形面积和S= f (i )x f (i ) n i 1 i 1
n n
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
3 取极限
1 1 2 1 0 x dx lim Sn lim 4 (1 n ) 4 n n
1 3
13
练习：利用定积分计算： x 3 dx
0
2
例2：计算定积分
1
0
(2x - x ) dx
2
练习：用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3所 围成的图形面积
4
定积分的定义： 即
b
a
ba f ( x)dx lim f (i ) n n i 1
n
定积分的相关名称： ———叫做积分号， y f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O b ———叫做积分上限， [a, b] —叫做积分区间。
f (x)dx。
yf (x)
9
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分 yf (x) 的面积? y
S S1 S2 f ( x)dx g ( x)dx
a a
b
b
S1 y f ( x) dx a g ( )
b
S 2 g ( x)dx
a
b
O
a a
y yf (x)
b
a f (x)dx a
O a
b
b
c
f (x)dxc f (x)dx。
b
b x
特别地，当 ab 时，有 a
f (x)dx0。
8
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的 曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分a f (x)dx 在几何上表示
b
b
c
c
b
b b
c
b
a
a
a
a
a
c c
aHale Waihona Puke cf (x)dx。
O
a
c2 c1
c
b c2
b
x
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
c1 a
12
解：1 分割：在区间 0 ,1 上等间隔地插入 n 1个点， 将 区 间 0 ,1 等 分 成 n 个 小 区 间 ， 记 第 i 个 区 间 为
例 1：利用定积分的定义，计算 x3 dx 的值。
0
1
i i 1 1 i 1 i n , n (i 1, 2 , , n) ，其长度为 x n n n 。 2 近似代替，求和 n 1 i i 3 取 i (i 1, 2,...n) 则 x dx Sn f ( ) x 0 n n i 1 n i 3 1 1 n 3 1 1 2 1 1 2 2 ( ) 4 i 4 n (n 1) (1 ) n n i 1 n 4 4 n i 1 n
b x
10
性质1.
（三）、定积分的基本性质
b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
b a
性质2.
b
a
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
b b a a
11
三:
定积分的基本性质
性质3.
定积分关于积分区间具有可加性
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
c b a c
y y=f(x)
思考：从定积分的几何 意义解释性质⑶ f (x)dx f (x)dx f f f (x)dx f (x)dx。 f(x)dx f (x)dx(x)dx(x)dx。
b
y
yf (x)
上述曲边梯形面积的负值。
S [ f ( x)]dx
a b
S [ f ( x)]dx
a
b
b
a
b
f ( x)dx ． ，
c b
O a
b c
b x
a a f (x)dx S f (x)dxc
b
f (x
a a f (x)dx S f (x)dxc
x + 3 dx - x
3 3 0 0
2
- x + 3 dx -x + 3x dx
3 2 0
14
（四）、小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值． ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取逼近 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
取逼近
精确值——定积分
3.定积分的几何意义及简单应用
a
b
ba lim 即 f (x)dx，即 ff (x)dx lim ( i)xf。 i ) a a ( x)dx n01 f n i ( i i 1
b b
n
n
3
定积分的概念 一般地，设函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续，用分点 a x0 x1 x2 xi1 xi xn b 将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间，每个小区间长度为 x ba （ x ） ，在每个小区间 xi 1 , xi 上取一点 n i i 1,2,, n ，作和式：
(五)．布置作业：课本P81页习题4-1A 组4、5 B组2 五、教学后记：
15
再 见
16
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北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
a
b
即 f (x)dx，即 a
a
bb
ba (x x)) dx lim x fi。 (i ) lim f( dx f ( i) n 0 n i 1 i 1
n n
2
定积分的概念 一般地，设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，用分点 a x0 x1 x2 xi 1 xi xn b 将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间，每个小区间长度为 x ba （ x ） ，在每个小区间 xi 1 , xi 上取一点 n i i 1, 2,, n ，作和式：
b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
a
b b
b
性质2.
b
a
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
a a
10
三:
定积分的基本性质
性质3.
定积分关于积分区间具有可加性
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
ba Sn f (i )x f (i ) n i 1 i 1 如果 x 无限接近于 0（亦即 n ） 时， 上述和式 S n
n n
无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区 间 [a, b] 上的定积分。记为： S f ( x)dx
a b
3
定积分的定义： 即
b
a
ba f ( x)dx lim f (i ) n n i 1
n
高中数学复习课件-北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
如果 Dx 无限接近于 0（亦即 n ）时，上述和式 Sn
无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f (x) 在区
间[a,b] 上的定积分。记为： S =
b
f (x)dx
a
定积分的定义：
即
b a
f
( x)dx
=
lim
n
n i=1
b-a n
f
(xi )
定积分的相关名称：
———叫做积分号，
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
f
(xi
)
b
n
a
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
b a
f
(x)dx，即 b b aa
ff
n
((xx))ddxx==limlim n 0 i=1i
n
f
=1
b(x-ni)aDxfi。(xi
)
定积分的概念
一般地，设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，用分点
(3)取极限:，所求曲边梯形的
面积S为
n
S
= lim n i=1
f (xi )Dx
Oa
xi xi xi+1
b
x
Dx
（一）、定积分的定义
北师大版数学【选修2-2】《定积分的概念》ppt课件
������ ������
������ (������)������������,即
积分号 上限
������ ������ (������)������������ ������
= ������.其中 叫作
下限
. .
,������叫作积分的 ,������(������)叫作
,������叫作积分的 .
第四章 定积分
.. 导. 学 固思
知识点
新课程标准的要求 层次要求 领域目标要求 通过定积分概念的 形成过程,理解现实中的 抽象概况,体会数学中的
定积分的概念与 了解定积分的实际背景,基本思想 计算 微积分基本定理 及应用 定积分的实际意 及概念 了解微积分基本定理的含义
化曲为直,化复杂为简单
初步涉及定积分的应用 的处理问题的方法
5.了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分.
6.了解定积分的几何意义及性质.
.. 导. 学 固思
我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面“ 直边图形”的面积,在物理中,我们知道了匀速直线运动的 时间、速度与路程的关系等.在数学和物理中,我们经常会 遇到计算平面曲线所围成的平面“曲边图形”的面积、
������ ������
������ (������)������������
(������为常数);
������ [ ������1 (������) ������
± ������2 (������)]������������ =
������ ������
������1 (������)������������ ±
1
把区间[1,3]等分n份,所得n个小区间的长度均为(
A.
1 ������
������ (������)������������,即
积分号 上限
������ ������ (������)������������ ������
= ������.其中 叫作
下限
. .
,������叫作积分的 ,������(������)叫作
,������叫作积分的 .
第四章 定积分
.. 导. 学 固思
知识点
新课程标准的要求 层次要求 领域目标要求 通过定积分概念的 形成过程,理解现实中的 抽象概况,体会数学中的
定积分的概念与 了解定积分的实际背景,基本思想 计算 微积分基本定理 及应用 定积分的实际意 及概念 了解微积分基本定理的含义
化曲为直,化复杂为简单
初步涉及定积分的应用 的处理问题的方法
5.了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分.
6.了解定积分的几何意义及性质.
.. 导. 学 固思
我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面“ 直边图形”的面积,在物理中,我们知道了匀速直线运动的 时间、速度与路程的关系等.在数学和物理中,我们经常会 遇到计算平面曲线所围成的平面“曲边图形”的面积、
������ ������
������ (������)������������
(������为常数);
������ [ ������1 (������) ������
± ������2 (������)]������������ =
������ ������
������1 (������)������������ ±
1
把区间[1,3]等分n份,所得n个小区间的长度均为(
A.
1 ������
推荐高中数学第四章定积分4.1定积分的概念4.1.2定积分课件北师大版选修2_2
圆的面积,其
值为
π 4
,
所以
1 0
1-������2d������ = π4.
3.性质
定积分有如下性质:
性质 1:
������ ������
1d������ = ������ − ������;
性质 2:
������ ������
������������(������)d������ = ������
=5+
3 n2
[0
+
1
+
2
+
⋯+(n-1)]=
3 2
·nn22-n
+
5
=
13 2
−
23n.
取
ξi=
n+i n
(������
=
1,2,
…,n),
题型一 题型二 题型三
n
������
则 S= ∑ ������(������������)Δ������ = ∑ ������
i=1
������=1
n+i n
������
n 3(n + i)
1 n 3������ 5
=∑
i=1
n
+2
·n
=
∑
i=1
������2 + ������
=5+
3 ������2
(1
+
2
+
3
+
⋯+n)=
13 2
+
23������.
(3)取极限:
当 n→+∞,S→123 , 且s→123,
定积分的概念课件北师大选修
x^(n+1)+C等。
02
换元法
通过换元法将复杂的积分转化为简单的积分，如令t=√x，则
dt=1/(2√x) dx。
03
分部积分法
通过分部积分法将两个函数的乘积的积分转化为一个函数的积分和一个
函数的微分的和，如∫x*sin x dx=∫x*d(-cos x)=x*cos x-∫cos x dx。
2023
体积计算
总结词
定积分在体积计算中也有着重要的应用，可以用来计算旋转体的体积。
详细描述
通过将旋转体的边界曲线在平面上进行分割，并利用定积分计算每个小曲边柱体的体积，然后将这些 体积求和，即可得到整个旋转体的体积。例如，利用定积分可以计算球体的体积，即将球体分割成若 干个小球体，每个小球体近似为圆柱体，然后计算所有小圆柱体的体积的总和。
变速直线运动的路程
总结词
定积分还可以用来计算变速直线运动的 路程。
VS
详细描述
变速直线运动的路程可以通过对速度函数 进行定积分来得到。具体来说，先对速度 函数进行积分，得到位移函数，然后再对 位移函数进行定积分，即可得到变速直线 运动的路程。例如，如果速度函数为 v(t)=t^2，则位移函数为 s(t)=∫v(t)dt=t^3/3，最后对s(t)进行定 积分得到总路程为t^4/12。
具之一，可以用 于解决各种实际问题，如物理、工程、经济 等领域的建模问题。
数值计算
定积分在数值计算中也有广泛的应用，例如在计算 物理实验的数据处理、数值天气预报等领域中都有 重要的应用。
科学计算
在科学计算中，定积分可以用于解决各种复 杂的数学问题，如求解偏微分方程、积分方 程等。
换元法
在计算定积分时，有时可以通过换元法简化计算，即通过变量替换将复杂的积分区间变 换为简单的区间，或者将复杂的被积函数变换为容易积分的函数。
北师大数学选修2-2配套课件：第四章 定积分 §1
• 1．定积分
• 一般地，给定一个在区间[a， b]上的函数y＝f(x)，其图像如 图所示．
• 将区间[a，b]分成n份，分点为
：第i个小区间[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)
• a＝x <x <x <…<x <x ＝b. 在区间[xi－1，xi]上的值最大，设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋
b
f(x)dx
b
f(x)dx
与s同时趋a 于________a __________，我们称
A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上
•的定积分，记作___________，即A＝ __________.其中积分号是∫，积分的下限是
2．定积分的意义 (1)当 f(x)≥0 时，b f(x)dx 表示的是__y_＝__f_(x_)_的__图__像__与__直__线__x_＝__a_，__x_＝__b_和__x_轴___
第四章 定积分
• 本章知识概述：本章的主要内容是定积分 的概念，计算和简单应用．
• 教科书通过曲边梯形面积问题，变速直线 运动物体的路程问题，变力做功等问题， 充分演示了定积分概念产生的背景以及定 积分概念形成过程中的思路．微积分基本 定理为我们处理积分的计算问题提供了有 力工具，教科书主要介绍了求简单图形的 面积和求简单旋转体的体积．
• 通过对不同背景下的问题中蕴涵的统一的 数学内容过程的揭示，认识到数学与生活
§1 定积分的概念
1 自主预习
学
案
2 互动探究
学
案
3 课时作业
学
案
自主预习学案
• 研究函数，从量的方面研究事物运动 变化是微积分的基
【高中课件】高中数学北师大版选修22第4章1定积分的概念课件ppt.ppt
4．对定积分及性质的理解： (1)定积分bf(x)dx 是一个常数．
a
(2)一般情况下(如图)，定积分bf(x)dx 的几何意义是介于 x a
轴、函数 f(x)的图像以及直线 x＝a、x＝b 之间各部分面积的代 数和，在 x 轴上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号．
(3)性质 3 对于有限个函数(两个以上)也成立．性质 4 对于 把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也成立．
i＝1
其中 Δx 为小区间的长度．那么和式 Sn 的大小( ) A．与 f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数 n 和 ξi 的取法
无关
B．与 f(x)、区间[a，b]和分点的个数 n 有关，与 ξi 的取法 无关
a
(4)b f(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx.
a
a
c
1.求曲边梯形面积的步骤 设由曲线 y＝f(x)，直线 x＝a，直线 x＝b(a<b)及 x 轴围成 的曲边梯形的面积为 S.其求解步骤是： (1)分割：将区间[a，b]n 等分．
(2)计算：过剩估计值 S1＝[f(a＋b－n a)＋f(a＋2bn－a)＋… ＋f(a＋nbn－a)]×1n；
在这个小区间上取一点 ξi，使 f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最 小，设 s＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.
如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于 0，那么 S 与 s
的差也趋于 0，此时，S 与 s 同时趋某于一_个__固__定__的__常__数__A_____，我
• 4．能够利用定积分的定义对一些简单的定积分进行 计算．
• 本节重点：定积分的概念及性质． • 本节难点：以直代曲的思想.
a
(2)一般情况下(如图)，定积分bf(x)dx 的几何意义是介于 x a
轴、函数 f(x)的图像以及直线 x＝a、x＝b 之间各部分面积的代 数和，在 x 轴上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号．
(3)性质 3 对于有限个函数(两个以上)也成立．性质 4 对于 把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也成立．
i＝1
其中 Δx 为小区间的长度．那么和式 Sn 的大小( ) A．与 f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数 n 和 ξi 的取法
无关
B．与 f(x)、区间[a，b]和分点的个数 n 有关，与 ξi 的取法 无关
a
(4)b f(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx.
a
a
c
1.求曲边梯形面积的步骤 设由曲线 y＝f(x)，直线 x＝a，直线 x＝b(a<b)及 x 轴围成 的曲边梯形的面积为 S.其求解步骤是： (1)分割：将区间[a，b]n 等分．
(2)计算：过剩估计值 S1＝[f(a＋b－n a)＋f(a＋2bn－a)＋… ＋f(a＋nbn－a)]×1n；
在这个小区间上取一点 ξi，使 f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最 小，设 s＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.
如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于 0，那么 S 与 s
的差也趋于 0，此时，S 与 s 同时趋某于一_个__固__定__的__常__数__A_____，我
• 4．能够利用定积分的定义对一些简单的定积分进行 计算．
• 本节重点：定积分的概念及性质． • 本节难点：以直代曲的思想.
高中数学北师大版选修2-2第4章 知识归纳：定积分的基本性质盘点
定积分的基本性质盘点一、定积分基本性质假设下面所涉及的定积分都是存在的，则有性质1 函数代数和（差）的定积分等于它们的定积分的代数和（差）．即[()()]()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形．性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号前，即()()bbaakf x dx k f x dx=⎰⎰（k 为常数）．性质3 不论a b c ，，三点的相互位置如何，恒有()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰．这性质表明定积分对于积分区间具有可加性．性质4 若在区间[]a b ，上，()0f x ≥，则()0ba f x dx ⎰≥．推论1 若在区间[]a b ，上，()()f x g x ≤，则()()b baaf x dxg x dx ⎰⎰≤．推论2()()bbaaf x dx f x dx ⎰⎰≤．性质5 （估值定理）设函数()f x 在区间[]a b ，上的最小值与最大值分别为m 与M ，则()bbbaaamdx f x dx Mdx ⎰⎰⎰≤≤．证明：因为()m f x M ≤≤，由推论1得()bb baaamdx f x dx Mdx ⎰⎰⎰≤≤．即()bbbaaam dx f x dx M dx ⎰⎰⎰≤≤．故()()()bam b a f x dx M b a --⎰≤≤．利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围．二、定积分性质的应用例1.比较定积分120x dx ⎰和130x dx ⎰的大小．分析：由都在区间[0，1]，无需求出积分值，只需比较被积函数大小即可． 解：由在区间[0，1]上，有x 2≥x 3．根据性质4的推论1，知120x dx ⎰≥130x dx ⎰．评注：利用性质，可减少计算量． 例2.计算：0|sin cos |x x dx π-⎰．分析：首先去绝对值，分0＜x ＜4π和4π＜x ＜π两个区间，分开运算． 解：0|sin cos |x x dx π-⎰＝4(cos sin )x x dx π-⎰＋4(sin cos )x x dx ππ-⎰＝(sinx ＋cosx)40|π＋(－cosx －sinx)4|ππ＝＋1)＋－1)＝．评注：这里用到了定积分对于积分区间具有可加性．例3.求函数f(x)＝3,[0,1][1,2]2,[2,3]x x x x x ⎧∈∈∈⎪⎩在区间[0，3]上的积分．分析：先分段，再运用性质． 解：由积分性质，知3()f x dx ⎰＝10()f x dx ⎰＋21()f x dx ⎰＋32()f x dx ⎰＝13x dx ⎰＋1⎰＋322x dx ⎰＝44x 10|＋3223x 21|＋2ln 2x 32|＝5412ln 2-．评注：⑴分段函数在区间[a ，b]上积分可分成几段积分的和的形式； ⑵分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段即可，无需分得过细．例4.估计定积分π30212sin dx x+⎰的值．分析：不用求出积分的值，可用估值定理解决． 解：∵当[0π]x ∈，时，0sin 1x ≤≤，∴320sin 1x ≤≤，由此有3222sin 3x +≤≤，32111322sin x+≤≤， 于是由估值定理得π302π1π322sin dx x+⎰≤≤．评注：运用的估值定理为大学涉及内容，不作要求，可以了解．。
(推荐)北师大版高中数学选修22第四章《定积分》定积分的概念
b
S=a[-f(x)]dx
b
S=a[-f(x)]dx
=-
b
f
(x)d
x．，
a
Oa
bx
bc b
a f ( x ) d x == - a S f ( x ) d x c f ( x
b f ( x ) d x == -c S f ( x ) d x b f ( x ) d x 。 aa c y=f (x)
性质2.
b
b
b
[f(x)g(x)]dx= f(x)dx g(x)dx
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的
面积?
y
y=f (x)
b
b
S=S1-S2=af(x)dx-ag(x)dx
S1
b
=y = a
fg((xx))dx
b
S2 =
g(x)dx
a
O aa
bx
（三）、定积分的基本性质 性质1.
b
b
a
kf( x )dx =k a
f( x)dx
a
n n i=1
i)
定积分的相关名称：
———叫做积分号，
y
f(x) ——叫做被积函数，
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量，
a ———叫做积分下限， O b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
y= f (x)
a
bx
积分上限
n
b
f
( x)dx
=
I
=
lim
n
a
i =1
Oa
bx
特 别 地 ， 当 a = b 时 ， 有 b f ( x ) d x = 0 。 a
高中数学第四章定积分4.1定积分的概念4.1.2定积分课件北师大版选修22
1.2 定积分
1.准确理解定积分的概念及其几何意义;并会根据定积分的定义, 求一些简单函数的定积分.
2.理解定积分的简单性质并会应用.
1.定义 一般地,给定一个在区间[a,b]上的函数y=f(x),其图像如图所示:
将[a,b]区间分成n份,分点为:a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b.第i个小 区间为[xi-1,xi],设其长度为Δxi,在这个小区间上取一点ξi,使f(ξi)在区 间[xi-1,xi]上的值最大,设 S=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi+…+f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一 点ζi,使f(ζi)在区间[xi-1,xi]上的值最小,设 s=f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2+…+f(ζi)Δxi+…+f(ζn)Δxn.
的面积,显然其面积为 b-a,故
������ ������
1d������ = ������ − ������, 如图①所示.
图①
2.性质 2,3 称为定积分的线性性质,性质 4 称为定积分对积分区 间的可加性.根据性质 3 可将两个函数的和或差在区间[a,b]上的定 积分转化为两个函数在区间[a,b]上的定积分的和或差,要注意的是 f(x)和 g(x)在区间[a,b]上必须是连续的.
f(x)表示速度关于时间
x
的函数时,
������ ������
f (x)dx
表示的是
运动物体从 x=a 到 x=b 时所走过的路程.
【做一做 1】
说明
1 0
1-������2d������的意义,
并根据其意义求出该定积分的值.
1.准确理解定积分的概念及其几何意义;并会根据定积分的定义, 求一些简单函数的定积分.
2.理解定积分的简单性质并会应用.
1.定义 一般地,给定一个在区间[a,b]上的函数y=f(x),其图像如图所示:
将[a,b]区间分成n份,分点为:a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b.第i个小 区间为[xi-1,xi],设其长度为Δxi,在这个小区间上取一点ξi,使f(ξi)在区 间[xi-1,xi]上的值最大,设 S=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi+…+f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一 点ζi,使f(ζi)在区间[xi-1,xi]上的值最小,设 s=f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2+…+f(ζi)Δxi+…+f(ζn)Δxn.
的面积,显然其面积为 b-a,故
������ ������
1d������ = ������ − ������, 如图①所示.
图①
2.性质 2,3 称为定积分的线性性质,性质 4 称为定积分对积分区 间的可加性.根据性质 3 可将两个函数的和或差在区间[a,b]上的定 积分转化为两个函数在区间[a,b]上的定积分的和或差,要注意的是 f(x)和 g(x)在区间[a,b]上必须是连续的.
f(x)表示速度关于时间
x
的函数时,
������ ������
f (x)dx
表示的是
运动物体从 x=a 到 x=b 时所走过的路程.
【做一做 1】
说明
1 0
1-������2d������的意义,
并根据其意义求出该定积分的值.