平面几何竞赛之三角形的“五心”2
平面几何竞赛之三角形的“五心”
一、基本概念
1、内心：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心.内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.
内心有以下常用的性质：
性质1：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是：I 到三角形三边的距离相等.
性质2：设I 是⊿ABC 内一点，AI 所在直线交⊿ABC 的外接圆于D ， I 为⊿ABC 内心的充要条件是：ID=DB=DC.
性质3：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是：
∠BIC=900+21∠A ，∠AIC=900+21∠B ，∠AIB=900+2
1∠C.
证明：
性质4：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是： ⊿IBC 、⊿IAC 、⊿IAB 的外心均在⊿ABC 的外接圆上. 证明：
性质5：设I 为⊿ABC 内心，BC=a ，AC=b ，AB=c ，I 在BC 、AC 、AB
边上的射影分别为D 、E 、F ，内切圆的半径为r ，令p=2
1(a+b+c),则 (1)ID=IE=IF=r ，
S ⊿ABC =pr=))()((c p b p a p p ---=xyz z y x )(++；
海伦公式推导：
(2)r=c
b a S ABC
++∆2；
(3)abc ·r=p ·AI ·BI ·CI.
性质6：设I 为⊿ABC 内心，BC=a ，AC=b ，AB=c ，∠A 的平分线交BC 于K ，交⊿ABC 的外接圆于D ，则IK AI =DI AD =DK DI =a c b +.
M
〖例1〗如图，设⊿ABC 的外接圆O 的半径为R ，内心为I ，∠B=600
，∠A<∠C,∠A 的外角平分线交圆O 于E ，证明：(1)IO=AE,(2)2R<IO+IA+IC<(1+3)R. (1994高中联赛)
〖例2〗如图，在⊿ABC 中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A 的平分线交⊿ABC 的外接圆于K ，O 、I 分别是⊿ABC 的外心和内心，求证：IO ⊥AK. (1982四川省数学竞赛题)
【练习1】如图，已知点I 是ABC ∆的内心，延长AI 交ABC ∆的外接圆于点D ，交BC 于点E ．求证：DI 是DE 、AD 的比例中项．
【练习2】⑴ 如图，在ABC ∆中，A ∠、B ∠，C ∠的平分线分别交外接圆于点P 、Q 、R ．
证明：AP BQ CR BC CA AB ++>++．
A
B
C
R
P
Q
I
B'
C'
A'
A
B
C
I
⑵ 如图，设I 为ABC ∆的内心，且'A 、'B 、'C 分别为IBC ∆、IAC ∆、IAB ∆的外心， 证明：ABC ∆与
'''A B C ∆有相同的外心．
D
⑶ 已知I 是ABC ∆的内心，AI 、BI 、CI 的延长线分别交ABC ∆的外接圆于D 、E 、F ． 求证：EF AD ⊥．
M
F
E
D
I
C
B
A
D
⑷ 已知一等腰三角形的外接圆半径为
R ，内切圆半径为r ， 证明：两圆心的距离为d =
【练习3】如图，ABC ∆的三边满足关系()1
2
BC AB AC =
+，O 、I 分别为ABC ∆的外心，内心，BAC ∠的外角平分线交圆O 于E ，AI 的延长线交圆O 于D ，DE 交BC 于H ．求证：
⑴ AI BD =；
⑵ 1
2
OI AE =．
I
H O
E
D
C
B
A
【练习3】设ABC ∆的内切圆O 切BC 于点D ，过点D 作直径DE ，连接AE ，并延长交BC 于点F ，则BF CD =．
F D
C
B
2、外心：经过三角形各顶点的圆叫做此三角形的外接圆，其圆心叫做此三角形的外心.外心是三角形三条边的垂直平分线的交点. 锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部.
性质1：⊿ABC所在平面上一点是其外心的充要条件是：该点到三角形三顶点的距离相等.
性质2：设O是⊿ABC所在平面内一点，则O为⊿ABC的外心的充要条件是：
(1)∠BOC=2∠A，∠ACC=2∠B，∠AOB=2∠C.
(2)OB=OC, 且∠BOC=2∠A.
性质3：R=
ABC
S
abc
4
或S⊿ABC=
R
abc
4
.
〖例3〗如图，设AD是⊿ABC的∠BAC的平分线，O是⊿ABC的外心，01是⊿ABD的外接圆的圆心，02是⊿ADC的外接圆的圆心.求证：OO1=OO2. (1990高中联赛)
3、重心：三角形三条边中线的交点叫做此三角形的重心.
等于它到对边中点距离的2倍（即：重心将每条中线分成1:2两部分）.
重心有以下常用的性质：
性质1：设G是⊿ABC的重心，连AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，
AD2=
2
1
(AB2+AC2)-BC2,且AG:GD=2:1.
性质2：设G是⊿ABC的重心，P为⊿ABC内任意一点，则
(1)AP2+BP2+CP2=AG2+BG2+CG2+3PG2；
(2)AG 2+BG 2+CG 2=3
1(AB 2+BC 2+CA 2
).
性质3：设G 是⊿ABC 内一点，G 是⊿ABC 的重心的充要条件是下列条件之一：
(1)S ⊿GBC =S ⊿GCA =S ⊿GAB =3
1
S ⊿ABC ；
(2)当AG 、BG 、CG 的延长线交三边于D 、E 、F 时，S ⊿AFG =S ⊿BDG =S ⊿CEG .
(3)当点G 在三边BC 、CA 、AB 上的射影分别为D 、E 、F 时，GD ·GE ·GF 值最大；
(4)过G 的直线交AB 于P ，交AC 于Q 时，AP AB +AQ
AC
=3；
(5)BC 2+3AG 2=CA 2+3GB 2=AB 2+3GC 2
.
4、垂心：三角形三条边高线的交点叫做此三角形的垂心。
锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心在直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外部.
C
垂心有以下常用的性质：
性质1：设H 是⊿ABC 的垂心，则∠BHC=∠B+∠C=1800-∠A ，∠CHA=∠C+∠A=1800
-∠B ，∠AHB=∠
A+∠B=1800
-∠C.
性质2：设H 是⊿ABC 的垂心，则H 、A 、B 、C 四点中任意一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点组为一垂心组，且一垂心组的四个外接圆的圆心是另一垂心组，与原垂心组全等）。
性质3：设⊿ABC 有三条高线为AD 、BE 、CF 。
其中D 、E 、F 分别为垂足，垂心为H ， 则对于A 、B 、C 、H 、D 、E 、F 有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似三角形， 且AH ·HD=BH ·HE=CH ·HF.
性质4：H 是⊿ABC 所在平面上一点，H 是其垂心的充要条件是下列条件之一： (1)H 关于三边的对称点都在⊿ABC 的外接圆上；
(2)⊿ABC 、⊿ABH 、⊿BCH 、⊿ACH 的外接圆是等圆； OB=OC, 且∠BOC=2∠A. (3)H 关于三边中点的对称点都在⊿ABC 的外接圆上； (4)∠HAB=∠HCB ，∠HBC=∠HAC ；
(5)∠BAO=∠HAC ，∠ABO=∠HBC 其中O 是⊿ABC 外心.
性质5：三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；
性质6：锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
性质7：锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短.
H
〖例4〗如图，设A 1A 2A 3A 4是圆O 的内接四边形，H 1、H 2、H 3、H 4依次是⊿A 2A 3A 4、⊿A 3A 4A 1、⊿A 4A 1A 2、⊿A 1A 2A 3的垂心，求证：H 1、H 2、H 3、H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992高中联赛)
5、旁心：与三角形一条边和外切，又与另两边的延长线相切的圆叫做三角形的旁切圆.一个三角形有三个旁切圆，旁切圆的圆心简称三角形的旁心.
〖例5〗如图，圆O 1与圆O 2和⊿ABC 的三边所在的三条直线都相切，E 、F 、G 、H 为切点，直线EG
与FH 相交于点P ，求证：PA ⊥BC.(1996全国联赛题)
〖例6〗如图，O 、I 分别为⊿ABC 外心和内心，AD 是BC 边上的高，I 在线段OD 上， 求证：⊿ABC 的外接圆半径等于BC 边上的旁切圆的半径.(1998全国联赛题)
〖例7〗设圆O 是三角形ABC 的BC 边外侧的旁切圆，D 、E 、F .(1)若OD 与EF 相交于K ，求证：AK 平分BC ；(2)已知BC= A,AC=B,AB=C,且b>c,求S ⊿ABC :S ⊿BKC .(1999年四川省竞赛题)
【例8】 设O A ，O B ，O C 是⊿ABC 的三个旁切圆的圆心，证明：点A 、B 、C 是⊿O A O B O C 三条高的垂足。
三角形五心分别是什么(一)2024
三角形五心分别是什么（一）引言概述:三角形是几何学中的基本形状之一，它由三条直线边和三个角组成。
在三角形中，有五个特殊的点，它们分别被称为三角形的五心。
这些五心在三角形的性质和形态研究中起着重要的作用。
本文将介绍三角形的五心是什么，并对它们的定义、性质和作用进行详细的阐述。
正文:一、外心（Circumcenter）1. 外心是三角形的一个重要概念，它是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
2. 外心具有以下性质：外心到三个顶点的距离相等，外心到三条边的距离都相等。
3. 外心在三角形中起着重要的作用，特别是在构造等边三角形和外心三等分线时具有重要意义。
二、内心（Incenter）1. 内心是三角形的另一个关键概念，它是三角形三条内切圆的圆心。
2. 内心具有以下性质：内心到三条边的距离相等，内心到三个顶点的连线上的角平分线垂直于相应的边。
3. 内心在三角形中具有重要作用，如构造等边三角形和求解三角形的面积等，还可以用于判断三角形是否等腰、直角等特殊类型。
三、重心（Centroid）1. 重心是三角形的一个特殊点，它是三角形三个顶点连线的中点的集合。
2. 重心具有以下性质：重心到三个顶点的距离成等比例，重心到三角形三条中线的距离成等比例。
3. 重心在三角形的计算、分割和构造等方面具有重要作用，它能帮助确定三角形的质心以及用于判断三角形是否平衡。
四、垂心（Orthocenter）1. 垂心是三角形的一个关键概念，它是三角形三条高线的交点。
2. 垂心具有以下性质：垂心到三个顶点的连线上的角的和为180度，垂心到三角形三条边的距离具有一定的关系。
3. 垂心在三角形的垂线构造、判断特殊类型和计算各种长度方面具有重要作用。
五、内垂心（Incenter）1. 内垂心是三角形中的另一个关键点，它是三角形三条内角平分线的交点。
2. 内垂心具有以下性质：内垂心到三个顶点连线上的角的和为180度，内垂心到三个顶点的距离的倒数之和等于测角的弦长之和。
三角形的五心讲义-重心、垂心、内心、外心、旁心
．O A BDC2016届高三数学讲义————三角形的“五心”————（Ⅰ）“五心”的概念及性质一、外心（1）定义：三角形三边垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． （2）外心的位置锐角三角形的外心在三角形内；锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点；直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． （3）性质垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等． 内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径)R= 2sin c C(某边除以它对角正弦的2倍) 证明过程如下:连接AO 并延长交圆O 于D,则AD 为圆直径,AD=2R ．又90ABD Ð=°(直径所对的圆周角是90°),AB=c, ADB CÐ=Ð(同弧AB 所对的圆周角相等),∴AD= sin AB ADB Ð,即2R sin c C =, R=2sin cC ． 延伸①:正弦定理由于R=2sin cC ,同理易证2sin 2sin 2sin cbaR C B A===,变形得到变形得到正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C===(每边除以它所对角的正弦为2R) 延伸②:余弦定理2222cos a b c bc A =+- （222cos 2b c a A bc+-=）ABC OA BCD证明过程如下：作CD ^AB 交其于D ，∴cos cos AD AC A b A ==，BD= cos c b A -，sin CD b A =，又222BC BD CD =+，即222(cos )(sin )a c b A b A =-+=22222222cos cos sin 2cos c bc A b A b A b c bc A -++=+-，其他边角也同求．二、内心（1）定义：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心．也是三角形内切圆的圆心． （2）性质角平分线的性质：到角两边距离相等．角平分线的性质：到角两边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．延伸①：内角平分线定理如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有(=)A B B D A C D C =上左下左上右下右证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,则E DAC Ð=Ð． ∵BAD DAC Ð=Ð,∴E BAD Ð=Ð,AB BE ==c ． 又∵BE//AC,易证△ADC ∽ △EDB, ∴BD=DCAB EB AC AC =,得证． 延伸②：外角平分线定理如图，AD 为△ABC 的外角平分线，交BC 延长线于D ，则有()AB BDAC DC=同上IK H EF D ABCMABDCEcb cAB CDEFcb cA FBDCE证明过程如下：作CE//AB 交AD 于E,则AEC EAF Ð=Ð．∵EAF EAC Ð=Ð,∴AEC EAC Ð=Ð,AC AE =． 又∵CE//AB,易证△ADB ∽ △EDC, ∴BD =DCAB AB ACCE=,得证．得证．延伸③：三角形内角平分线长公式如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有2bccos 2cos2211b+c +b c A AAD =（或）证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,BF ^AE 交其于F ．由前文的内角平分线定理可知，△ADC ∽ △EDB,∴bcAD AC DE BE ==． 又+DE=AE AD ,即bb+cAD AE =．而△ABE 为等腰三角形, BF ^AE, ∴22sin =2csin 2AAE AF AB BAF ==Ð,∴2bccos 2cos 2211b+c +b cA AAD =（或）．延伸④：内心到三边距离r(三角形内切圆半径)设三角形面积为S ，则有，则有2r=a+b+cS（即面积的（即面积的22倍除以周长） 证明过程如下：连接OA,OB,OC ． ∵相切，∴OF AB ^，即S △AOB = 11cr 22AB OF ·=，同理，同理S △AOC = 1br 2，S △BOC = 1ar 2．又∵S=S △AOB + S △AOC + S △BOC ,即S= 1(a+b+c)r 2,∴2r=a+b+cS．．O A F BDCE（1）定义：三角形三条中线的交点．三角形三条中线的交点． （2）性质中线性质:将三角形面积等分成两部分．将三角形面积等分成两部分． 重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短) 如图:AD,BE,CF 为△ABC 三条中线，G 为其重心，则有:::2:1A G G CB G G EC G G F === 证明过程如下：作BH//FC 交AD 延长线于H,易证△GDC ≌ △HDB ，∴,2GD DH GH GD == 又∵BH//FG ，F 为AB 中点，∴G 也为AH 中点，即2AG GH GD ==， ∴:2:1AG GC =，其他同证．，其他同证． 延伸:三角形中线长公式如图,AD 为△ABC 的中线,则有则有221b +c +2bccos 2AD A =证明过程如下:作BE//AC 交AD 延长线于E,易证△ADC ≌ △EDB ， ∴1,=2AD DE AD AE=即，∵BE//AC ，∴ABF A Ð=Ð．作AF ^EB 交其交其 延长线于F ．又AB=c ，∴BF=AB cos ABF Ð=cos c A ，AF=sin c A ， 故EF=cos c A b +．∴12AD AE ==222211(cos )(sin )b +c +2bccos 22c A b c A A ++=四、垂心（1）定义：三角形三条高的交点．：三角形三条高的交点． （2）性质斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂任何三个为顶点的三角形的垂 心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．AFBEDCBCD EFGAG FE CBD H（1）定义：三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线的交点(旁切圆的圆心)．（2）性质每个三角形都有三个旁切圆．每个三角形都有三个旁切圆．三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有 一个，但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等． （Ⅱ）三角形“四心”与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小．在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质．既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感．的数学美感．一、“重心”的向量风采【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC△的重心．如图⑴．的重心．如图⑴．A'GCAB【命题2】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC l =++，(0)l Î+¥，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心．的重心． 【解析】【解析】 由题意()AP AB AC l =+ ，当(0)l Î+¥，时，由于()AB AC l +表示BC 边ABCDEFI a图⑴图⑴图⑵图⑵MPCBAO二、“垂心”的向量风采【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ×=×=×，则P 是ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】由PA PB PB PC ×=× ，得()0PB PA PC ×-= ，即0PB CA ×=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶．的垂心．如图⑶．PABC【命题4】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C l æöç÷=++ç÷èø ，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C l æöç÷=+ç÷èø，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C æöç÷+×=ç÷èø， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B AC C××+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷．的垂心，如图⑷．图⑶图⑶ 图⑷图⑷ H FEM ABCO P三、“内心”的向量风采 【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC++=，则I 是ABC △的内心．的内心．【解析】 ∵IB IA AB =+ ，IC IA AC =+ ，则由题意得()0a b c IA bAB cAC++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB ACæöç÷+=×+×=××+ç÷èø， ∴bc AB AC AI a b c AB ACæöç÷=+ç÷++èø．∵AB AB与ACAC分别为AB 和AC 方向上的单位向量，量，∴AI与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC Ð． 同理可证：BI 平分ABC Ð，CI 平分ACB Ð．从而I 是ABC △的内心，如图⑸．的内心，如图⑸．【命题6】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB ACOP OA AB ACl æö=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．的内心． 【解析】【解析】 由题意得AB AC AP AB AC l æöç÷=+ç÷èø，∴当(0)l Î+¥，时，AP 表示BAC Ð的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹．的内心，如图⑹．图⑸图⑸图⑹图⑹ABCOPbacIA CBOCAB四、“外心”的向量风采【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC == ，则O 是ABC △的外心．外心．【解析】 若222OA OB OC == ，则222O A O B O C == ，∴OA OB OC == ，则O是ABC △的外心，如图⑺．的外心，如图⑺．【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC Cl æö+ç÷=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心．的外心．【解析】 由于2OB OC + 过BC 的中点，当(0)l Î+¥，时，cos cos AB AC AB B AC Cl æöç÷+ç÷èø表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、命题4解释．），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻．的外心，如图⑻．图⑺图⑺M OB CAP图⑻图⑻。
26三角形的五心
三角形的五心(一)------重心三角形的三条中线相交于一点.三角形的三条中线的交点,叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部.三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍.即“若G 为ABC ∆的重心,则2AG BG CG GD GE GF===” 根据此性质,推出三角形重心的下列性质: (1) 若G 为ABC ∆的重心,则13ABG BCG ACG ABC S S S S ∆∆∆∆===, 反之,设G 是ABC ∆中的一点,且13ABG BCGABC S S S ∆∆∆==,则G 为ABC ∆的重心.(2) G 为ABC ∆的重心,若222AG BG CG +=,则AD BE ⊥；反之,若AD BE ⊥,则222AG BG CG +=(3) G 为ABC ∆的重心,则 ()22222222223333BC AG CA GB AB GC AB BC CA +=+=+=++ 事实上,由三角形中线长公式2222111224AD AB CA BC =+-,有 ()2222222222224111233332243BC GA BC AD BC AB CA BC AB BC CA ⎛⎫⎛⎫+=+=++-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4) G 为ABC ∆的重心,过G 作//,//,//DE BC PF AC KH AB ,则23DE FP KH BC CA AB ===(5) G 为边长为a 的对边ABC ∆的重心,则3GA GB GC === (6)到三角形的三个顶点的距离的平方和为最小的点是三角形的重心,在ABC ∆中,若G 为重心, M 是平面上任意一点,则有22222223MA MB MC GA GB GC MG ++=+++【例1】(1)已知G 是ABC ∆的重心,若3,4,5AG BG CG ===,则ABC ∆的面积为=_________(2)在ABC ∆中,3,4,BC AC BC ==和AC 的中线,AE BD 互相垂直,则AB =_________(3)在ABC ∆中,,,,90,BC a AC b AB c C CD ===∠=和BE 是ABC ∆的两条中线,且CD BE ⊥,那么::a b c =_______(4)在Rt ABC ∆中,90,A G ∠=为重心,且2GA =,则22GB GC +=__________【例2】(1)已知平行四边形ABCD 的面积是120,,E F 分别是,AB BC 的中点,AF 分别与,ED BD 交于,G H ,求四边形BHGE 的面积.(2) 给定ABC ∆和点O ,分别将,,OBC OCA OAB ∆∆∆的重心记为123,,M M M ,求证:12319M M M ABC S S ∆∆=【例3】(1)在ABC ∆中是否存在一点P ,使得过P 点的任一直线都将改三角形分成等积的两部分?若存在,请找出P点的位置;若不存在,说明理由(2)如图, G 是ABC ∆的重心,过G 作直线l 与,AB AC 分别相交,分别过,,A B C 作直线l 的垂线,垂足分别为,,D E F ,判断,,AD BE CF 的数量关系并证明结论(3),,AD BE CF 是ABC ∆的三条中线, P 是任意一点,证明:在,,PAD PBE PCF ∆∆∆中,其中一个面积等于另外两个面积的和.三角形的五心(二)------垂心三角形的三条高恰好相交于一点三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心锐角三角形的垂心在三角形内,钝角三角形的垂心在三角形外,直角三角形的垂心就是直角顶点.三角形的垂心有下列基本性质:(1) 三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边(2) 三角形的垂心与三个顶点组成一个垂心组(即这四点中以任意三点为三角形的顶点,则另一点为这个三角形的垂心)(3) 设H 为ABC ∆的垂心,则2222AB AC HB HC -=-2222BA BC HA HC -=-2222CA CB HA HB -=-(4) 设H 为ABC ∆的垂心,则180BHC B C A ∠=∠+∠=-∠180CHA C A B ∠=∠+∠=-∠180AHB A B C ∠=∠+∠=-∠(5) 设H 为ABC ∆的垂心,则点H 关于该三角形三遍的对称点均在ABC ∆的外接圆上.(6) 设H 为ABC ∆的垂心,则ABC ∆、BCH ∆、ACH ∆、ABH ∆的外接圆是等圆.(7) 设AD 、BF 、CF 为ABC ∆的三条高,垂心为H ,则图中有三组(每组4个)相似三角形,且【例1】(1)如图,已知P 为ABC ∆内一点,且,PAB PCB PBC PAC ∠=∠∠=∠,求证: P 为ABC ∆的垂心.(2)如图,已知AB 是O 的直径,AH 是弦,C 是AH 的中点,CD AB ⊥分别交AH 、AB 于E 、D ,BC 交AH 于F ,求证:2AF EF =【例2】(1)在Rt ABC ∆中,90,A A ∠=∠的平分线交边BC 于点D ,点D 在边AB 、AC 上的投影分别为P 、Q ,若BQ 交DP 于点M ,CP 交DQ 于点N ,BQ 交CP 于点H ,证明:①PM DN =;②//MN BC ;③AH BC ⊥(2)如图,点H 为ABC ∆的垂心,以AB 为直径的1O 和BCH ∆的外接圆2O 相交于点D ,延长AD 交CH 于点P ,求证:点P 为CH 的中点三角形的五心(三)------外心外心的性质及应用三角形三边的中垂线恰巧相交于一点,这个点到三角形的三个顶点距离相等三角形三条中垂线的交点叫做三角形的外心三角形的外心,就是三角形的外接圆的圆心锐角三角形的外心在三角形内,钝角三角形的外心在三角形外,直角三角形的外心就是斜边的中点三角形外心有下列基本性质:(1) 三角形的外心到三角形顶点的距离相等,且在各边的中垂线上(2) 设O 为ABC ∆的外心,则2BOC A ∠=∠，2AOC B ∠=∠，2AOB C ∠=∠(3) 设ABC ∆的外接圆半径为R ,,,BC a CA b AB c ===,则2sin sin sin a b c R A B C===∠∠∠ (4) 设ABC ∆的三条边长、外接圆半径、面积分别为a 、b 、c 、R 、S ,则4abc R S = 【例1】(1)P 点ABC ∆在中,,2,PA PB APB ACB AC =∠=∠与BP 交于点D ,且4,3PB PD ==,则AD DC ⋅=___(2)设D 是ABC ∆的边上一点,但不是中点,设1O 和2O 分别是ABD ∆和ADC ∆的外心,求证: ABC ∆的中线AK 的垂直平分线过线段12O O 的中点(3)凸四边形ABCD 内接于圆O ,对角线AC 与BD 相交于P ,PAB ∆与PCD ∆的外心分别为1O 、2O ,求证:四边形12PO OO 为平行四边形.【例2】(1)设ABC ∆的外心为O ,在其边AB 和BC 上分别取点M 和N ,使得2MON AOC ∠=∠,求证:MBN ∆的周长不小于边AC 之长(2)如图,在ABC ∆中,90BAC ∠=,点E 在ABC ∆的外接圆T 的弧BC (不含点A )内,AE EC >,连接EC 并延长至点F ,使得EAC CAF ∠=∠,连接BF 交圆T 于点D ,连接ED ,记DEF ∆的外心为O ,求证:A 、C 、O 三点共线三角形的五心(四)------内心内心的性质及应用三角形的三条内角平分线恰巧相交于一点,这一点到三角形的三边的距离相等三角形的三条内角平分线的交点,叫做三角形的内心三角形的内心,就是三角形的内切圆的圆心三角形的内心都位于三角形内三角形的内心有下列基本性质:(1) 三角形的内心到三角形三遍的距离相等(2) 设I 为ABC ∆的内心,则1902BIC A ∠=+∠，1902AIC B ∠=+∠，1902AIB C ∠=+∠ (3) 设I 为ABC ∆的内心,,,BC a AC b AB c ===,面积为S ,内切圆半径为r ,记()12p a b c =++,则2,S S pr r a b c==++ (4) 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到三角形另两顶点的距离与其内心的距离相等；反之,若ABC ∆的A ∠的平分线与外接圆交于D ,I 是AD 上一点,且DI DB =,则I 为ABC ∆的内心(5) 设I 为ABC ∆的内心,由I 向三边作垂线,垂足分别为D 、E 、F ,则有()12AE AF AB AC BC ==+-【例1】(1)如图,在ABC ∆中,点D 、E 是ABC ∠、ACB ∠的三等分线的交点,当60A ∠=时,求BDE ∠的度数(2)在ABC ∆内部有一点Q ,已知1902AQC B ∠=+∠，1902AQB C ∠=+∠,求证:点Q 是ABC ∆的内心【例2】(1)如图,在ABC ∆中,A ∠、B ∠、C ∠的平分线分别交外接圆于点P 、Q 、R ,求证:AP BA CR BC CA AB ++>++(2)如图,设ABC ∆的三内角平分线分别交其外接圆于D 、E 、F ,又交DEF ∆的三边于1A 、1B 、1C ，点M 、N 、P 、Q 、R 、S 分别是ABC ∆与DEF ∆三边的交点,记A ∠、B ∠、C ∠为的三内角, ABC ∆的内心为I ,求证: ①AD EF ⊥； ②I 为111A B C ∆的内心③四边形AMIS 为菱形； ④M 、I 、Q 三点共线,且//MQ AC旁心的性质及应用三角形旁切圆的圆心,简称为三角形的旁心,它是三角形一个内角平分线和其他两个内角的外角平分线的交点 任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心.【例4】(1)ABC ∆中的角平分线AD 、BE 分别交BC 、CA 于D 、E ,DE 平分ADC ∠,求A ∠.(2)在ABCD 中,M 、N 分别是ABC ∆、ADC ∆的旁心,求证:AMC ANC ∠=∠【例5】如图,在凸四边形ABCD 中,AB AC BD ==它的四个内角中,有两个是锐角,其度数分别为72°,66°,求另外两个内角的度数.三角形的五心(五)欧拉线的概念及性质(1) 三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的2倍(2) 设G 、H 、O 分别是ABC ∆的重心、垂心和外心,则G 在H 、O 的连线上,且2HG GO =,此连线称为三角形的欧拉线【例1】(1)证明: 三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的2倍(2)证明:三角形的外心、重心、垂心在一条直线上(常称为欧拉线),且垂心与重心的距离是外心与重心距离的2倍【例2】(1)如图,设O 、H 分别为锐角ABC ∆的外心和垂心,求证:AOH ∆ 、BOH ∆、COH ∆中有一个的面积等于另外两个面积之和(2)如图,AD 、BE 、CF 为ABC ∆的三条高,若EF 平分AD ,则ABC ∆的欧拉线平行于边BC五心之间的联系和应用(1) 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心(2) 设O 、H 、I 分别是ABC ∆的外心、垂心、内心,则任一顶点与内心的连线平分这一顶点与外心、垂心所成的角【例3】(1)等腰ABC ∆中,BC AC =,O 是它的外心, I 是它的内心,点D 在边BC 上,且OD BI ⊥,求证://ID AC(2)如图所示,已知Rt ABC ∆中,AH 为斜边上BC 的高,M 为BC 中点,O 为AMC ∆外心,OB 交AH 于D ,求证:2AD DH =三角形的五心(六)【例1】(1)如图所示,已知ABC ∆的重心G 与内心I 的连线//GI BC ,求证:2AB AC BC +=(2)如图,ABC ∆的外心与内心分别为O 、I ,外接圆于内切圆半径分别为R 、r ,求证:222IO R Rr =-(欧拉公式)【例2】(1)ABC ∆的外心为O ,,AB AC D =是AB 的中点,E 是ACD ∆的重心,证明:OE CD ⊥(2)点A 在KMN ∆内部,点B 在KM 上,如果CBM ABK ∠=∠,BCM ACN ∠=∠,求证:BCM ∆的外心在AM 上【例3】(1)如图,ABC ∆中,A ∠的平分线与外接圆交于点D ,I 是内心,M 是BC 的中点,P 为I 关于M 的对称点,延长DP 与外接圆相交于N ,求证:线段AN 、BN 、CN 中有两个的和等于第三个(2)已知AD 是Rt ABC ∆斜边BC 上的高(AB AC <),1I 、2I 分别是ABD ∆、ACD ∆的内心,12AI I ∆的外接圆O 分别交AB 、AC 于点E 、F ,直线EF 、BC 交于点M ,证明: 1I 、2I 分别ODM ∆是的内心、旁心.。
三角形的五心口诀(二)2024
三角形的五心口诀（二）引言概述：三角形是几何学中一个重要的图形，其五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心和旁心。
在本文中，我们将继续探讨三角形的五心及其相关性质。
通过深入研究五心的特点和相互关系，我们能够更好地理解三角形的性质和几何关系。
正文内容：一、重心1. 重心是三角形三条中线的交点，称为三角形的质心。
2. 重心将三角形的每条中线与其余两条中线的中点连线分成2：1的比例。
3. 重心是三角形的平衡点，如果在重心处施加一个力，三角形将保持平衡。
4. 重心是三角形的垂心和外心连线的中点。
二、外心1. 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
2. 外心是三角形内接圆的圆心，其到三角形三个顶点的距离相等。
3. 外心是三角形两条边的延长线的交点。
4. 外心到三角形三个顶点的距离小于到三角形内心的距离。
三、内心1. 内心是三角形三条边的角平分线的交点。
2. 内心是三角形三个内切圆的圆心。
3. 内心到三角形三条边的距离相等，且到三角形三个顶点的距离之和最小。
4. 内心到三角形的每条边的距离即为三角形的内角平分线的长度。
四、垂心1. 垂心是三角形三条边的高的交点。
2. 垂心是三角形三个垂直平分线的交点，也是三角形三段高线的交点。
3. 垂心到三角形三个顶点的距离相等。
4. 垂心是三角形的外心和重心连线的中点。
五、旁心1. 旁心是三角形外角平分线的交点，一个三角形有三个旁心。
2. 旁心是三角形的角的外接圆的圆心。
3. 旁心到三角形的两个顶点的测地距离相等。
4. 旁心是三角形的重心和垂心连线的中点。
总结：三角形的五心（重心、外心、内心、垂心和旁心）是三角形的重要特点和几何性质。
通过研究五心的位置、性质和相互关系，我们可以更好地理解和分析三角形的结构和性质。
五心可以帮助我们解决三角形相关的问题，并为进一步的几何研究奠定基础。
高二数学竞赛班二试平面几何讲义.第八讲-----三角形的五心(二)doc1
高二数学竞赛班二试平面几何讲义第八讲 三角形的五心（二）班级 姓名一、知识要点：1. 垂心三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.2．九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点， 共九点共圆。
此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆。
ABC ∆的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是ABC ∆的外接圆半径的12。
证明：ABC ∆的九点圆与ABC ∆的外接圆，以三角形的垂心为外位似中心，又以三角形的重心为内位似中心。
位似比均为1:2。
3．欧拉线：ABC ∆的垂心H ，重心G ，外心O 三点共线。
此线称为欧拉线，且有关系：2HG GO =二、例题精析：例1. 设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛)例2. 如图，△ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ， FD 和AC 交于点N ．求证：（1）OB ⊥DF ，OC ⊥DE ． （2）OH ⊥MN ．.O A A A A 1234H H 12 OABCH FE DNM例3. 锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重.例4. H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为 圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题)三、精选习题：1. △ABC 中∠C ＜90°，从AB 上M 点作CA ，CB 的垂线MP ，MQ .H 是△CPQ 的垂心.当M 是AB 上动点时，求H 的轨迹.(IMO -7)B C O I AO G H O G H G O G H 123112233H H HM AB BA ABC C C F 12111222D E2. 锐角△ABC 的垂心关于三边的对称点分别是H 1，H 2，H3.已知：H 1，H 2，H 3，求作△ABC .(第7届莫斯科数学奥林匹克)3. △ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题)4. 设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =F A 。
什么是三角形的五心(二)2024
什么是三角形的五心（二）引言概述：三角形是几何学中最基本、最常见的图形之一，它具有许多独特的性质和特征。
其中，三角形的五心是一个重要的概念，它们分别是内心、外心、垂心、重心和旁心。
在上一篇文章中，我们已经介绍了其中三个三角形五心的定义和性质。
在本文中，我们将继续探讨剩下的两个三角形五心，即重心和旁心，并分别从他们的定义、性质和应用进行阐述。
正文：一、重心1. 定义：重心是一个三角形五心的特殊点，它是三角形三条中线的交点。
2. 性质：a. 重心与各个顶点的连线长度相等。
b. 重心到三角形三边的距离满足一定的比例关系。
c. 重心是三角形平衡的中心，质点在三角形上的重心处，经过的路径最短。
d. 重心是三角形内切圆和外接圆的共同中心。
二、旁心1. 定义：旁心是一个三角形五心的特殊点，它是三角形的外接圆和三个外切圆的圆心。
2. 性质：a. 旁心到相邻两边的距离相等。
b. 旁心到第三边的距离满足一定的比例关系。
c. 旁心是三角形内角平分线的交点。
d. 旁心是三角形的垂心、内心和外心连线的垂直平分线。
三、应用1. 重心在建筑设计中的应用：重心在建筑结构设计中起到重要的平衡作用，设计师需要合理考虑重心的位置。
2. 旁心在三角测量中的应用：旁心可以通过测量三角形两边与倾斜角来确定旁心的位置，从而实现精确测量。
结论：综上所述，重心和旁心作为三角形的两个重要五心，在几何学中具有特殊的定义和性质。
它们的研究对于我们深入理解和应用三角形的性质和特征具有重要意义。
在实际应用中，重心和旁心也有着广泛的应用领域，如建筑设计和三角测量等。
通过深入研究和了解重心和旁心的性质，我们可以更好地应用它们，解决实际问题。
三角形五心定律_2-精品文档资料
三角形五心定律垂心三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
锐角三角形垂心在三角形内部。
直角三角形垂心在三角形直角顶点。
钝角三角形垂心在三角形外部。
垂心是高线的交点垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点。
三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点能够得到6个四点圆。
三角形上作三高，三高必于垂心交。
高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角有十二，构成六对类似形，四点共圆图中有，细心分析可找清，重心重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证实，特别简单。
证实经过又是塞瓦定理的特例。
重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：〔z1+z2+z3〕/35、三角形内到三边距离之积最大的点内心内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角〔原理：角平分线上点到角两边距离相等〕。
内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
注意到内心到三边距离相等〔为内切圆半径〕，内心定理其实极易证。
若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。
直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
希望对你有帮助！三角形五心定律三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定律指是三角形重心定律，外心定律，垂心定律，内心定律，旁心定律的总称。
三角形的五心定理
三角形的五心定理在数学的广袤天地中，三角形犹如一座神秘而稳固的城堡，而“五心定理”则是开启这座城堡秘密之门的关键钥匙。
让我们一同踏上探索三角形五心定理的奇妙之旅。
一、什么是三角形的五心三角形的五心分别是重心、外心、内心、垂心和旁心。
重心，是三角形三条中线的交点。
它在物理学中也有着重要的意义，比如均匀薄板的重心就与三角形的重心位置相同。
外心，是三角形三边中垂线的交点，也就是三角形外接圆的圆心。
内心，是三角形三条内角平分线的交点，同时也是三角形内切圆的圆心。
垂心，是三角形三条高的交点。
旁心，是三角形一内角平分线和另外两外角平分线的交点。
一个三角形有三个旁心。
二、重心定理重心到三角形顶点的距离是到对边中点距离的两倍。
为了更好地理解这一定理，我们可以通过一个小实验来感受。
比如，我们用一块均匀的木板制作一个三角形，然后找到三条中线的交点，也就是重心。
当我们把这个三角形放在一个支点上，使其保持平衡，这个支点的位置往往就是重心所在。
从数学推导的角度来看，假设三角形的三个顶点坐标分别为A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，C(x₃,y₃)，那么重心的坐标为(（x₁＋ x₂＋x₃) ／ 3, （y₁＋ y₂＋ y₃) ／ 3)。
重心在解决很多与三角形相关的力学问题和几何问题中都发挥着重要作用。
比如，在计算三角形的质心位置时，重心的概念就不可或缺。
三、外心定理外心到三角形三个顶点的距离相等。
这意味着，如果我们以这个外心为圆心，以外心到顶点的距离为半径，就可以画出一个三角形的外接圆。
在实际应用中，外心定理常用于求解与三角形外接圆相关的问题。
比如，已知一个三角形的三个顶点坐标，我们可以通过求出外心的坐标和外接圆的半径，来进一步研究这个三角形的外接圆的性质。
四、内心定理内心到三角形三边的距离相等。
内心是三角形内角平分线的交点，这也就决定了它到三边的距离相等。
从实际生活的角度来看，如果我们要在一个三角形的内部找一个点，使得这个点到三边的距离之和最小，那么这个点就是内心。
平面几何竞赛之三角形的“五心”2
平面几何竞赛之三角形的“五心”一、基本概念1、内心：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心.内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.内心有以下常用的性质：性质1：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是：I 到三角形三边的距离相等.性质2：设I 是⊿ABC 内一点，AI 所在直线交⊿ABC 的外接圆于D ， I 为⊿ABC 内心的充要条件是：ID=DB=DC.性质3：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是：∠BIC=900+21∠A ，∠AIC=900+21∠B ，∠AIB=900+21∠C.证明：性质4：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是： ⊿IBC 、⊿IAC 、⊿IAB 的外心均在⊿ABC 的外接圆上. 证明：性质5：设I 为⊿ABC 内心，BC=a ，AC=b ，AB=c ，I 在BC 、AC 、AB边上的射影分别为D 、E 、F ，内切圆的半径为r ，令p=21(a+b+c),则 (1)ID=IE=IF=r ，S ⊿ABC =pr=))()((c p b p a p p ---=xyz z y x )(++；海伦公式推导：(2)r=cb a S ABC++∆2；(3)abc ·r=p ·AI ·BI ·CI.性质6：设I 为⊿ABC 内心，BC=a ，AC=b ，AB=c ，∠A 的平分线交BC 于K ，交⊿ABC 的外接圆于D ，则IK AI =DI AD =DK DI =a c b +.M〖例1〗如图，设⊿ABC 的外接圆O 的半径为R ，内心为I ，∠B=600，∠A<∠C,∠A 的外角平分线交圆O 于E ，证明：(1)IO=AE,(2)2R<IO+IA+IC<(1+3)R. (1994高中联赛)〖例2〗如图，在⊿ABC 中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A 的平分线交⊿ABC 的外接圆于K ，O 、I 分别是⊿ABC 的外心和内心，求证：IO ⊥AK. (1982四川省数学竞赛题)【练习1】如图，已知点I 是ABC ∆的内心，延长AI 交ABC ∆的外接圆于点D ，交BC 于点E ．求证：DI 是DE 、AD 的比例中项．【练习2】⑴ 如图，在ABC ∆中，A ∠、B ∠，C ∠的平分线分别交外接圆于点P 、Q 、R ．证明：AP BQ CR BC CA AB ++>++．ABCRPQIB'C'A'ABCI⑵ 如图，设I 为ABC ∆的内心，且'A 、'B 、'C 分别为IBC ∆、IAC ∆、IAB ∆的外心， 证明：ABC ∆与'''A B C ∆有相同的外心．D⑶ 已知I 是ABC ∆的内心，AI 、BI 、CI 的延长线分别交ABC ∆的外接圆于D 、E 、F ． 求证：EF AD ⊥．MFEDICBAD⑷ 已知一等腰三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ， 证明：两圆心的距离为d =【练习3】如图，ABC ∆的三边满足关系()12BC AB AC =+，O 、I 分别为ABC ∆的外心，内心，BAC ∠的外角平分线交圆O 于E ，AI 的延长线交圆O 于D ，DE 交BC 于H ．求证：⑴ AI BD =；⑵ 12OI AE =．IH OEDCBA【练习3】设ABC ∆的内切圆O 切BC 于点D ，过点D 作直径DE ，连接AE ，并延长交BC 于点F ，则BF CD =．F DCB2、外心：经过三角形各顶点的圆叫做此三角形的外接圆，其圆心叫做此三角形的外心.外心是三角形三条边的垂直平分线的交点. 锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部.性质1：⊿ABC所在平面上一点是其外心的充要条件是：该点到三角形三顶点的距离相等.性质2：设O是⊿ABC所在平面内一点，则O为⊿ABC的外心的充要条件是：(1)∠BOC=2∠A，∠ACC=2∠B，∠AOB=2∠C.(2)OB=OC, 且∠BOC=2∠A.性质3：R=ABCSabc4或S⊿ABC=Rabc4.〖例3〗如图，设AD是⊿ABC的∠BAC的平分线，O是⊿ABC的外心，01是⊿ABD的外接圆的圆心，02是⊿ADC的外接圆的圆心.求证：OO1=OO2. (1990高中联赛)3、重心：三角形三条边中线的交点叫做此三角形的重心.等于它到对边中点距离的2倍（即：重心将每条中线分成1:2两部分）.重心有以下常用的性质：性质1：设G是⊿ABC的重心，连AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，AD2=21(AB2+AC2)-BC2,且AG:GD=2:1.性质2：设G是⊿ABC的重心，P为⊿ABC内任意一点，则(1)AP2+BP2+CP2=AG2+BG2+CG2+3PG2；(2)AG 2+BG 2+CG 2=31(AB 2+BC 2+CA 2).性质3：设G 是⊿ABC 内一点，G 是⊿ABC 的重心的充要条件是下列条件之一：(1)S ⊿GBC =S ⊿GCA =S ⊿GAB =31S ⊿ABC ；(2)当AG 、BG 、CG 的延长线交三边于D 、E 、F 时，S ⊿AFG =S ⊿BDG =S ⊿CEG .(3)当点G 在三边BC 、CA 、AB 上的射影分别为D 、E 、F 时，GD ·GE ·GF 值最大；(4)过G 的直线交AB 于P ，交AC 于Q 时，AP AB +AQAC=3；(5)BC 2+3AG 2=CA 2+3GB 2=AB 2+3GC 2.4、垂心：三角形三条边高线的交点叫做此三角形的垂心。
平面几何：有关三角形五心的经典试题及证明
平面几何：有关三角形五心的经典试题及证明咅部门：XXX时间：XXX整理范文，仅供参考，可下载自行编辑平面几何：有关三角形五心的经典试卷三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1.过等腰△ ABC底边BC上一点P弓I PM/ CA交AB于M引PN// BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P'.试证：P'点在厶ABC 外接圆上.b5E2RGbCAP（杭州大学《中学数学竞赛习题》＞p：「A分析：由已知可得MP =MP=MBNP二=NC故点皿是厶P‘ BP的外心，点3P CN是厶P‘ PC的外心.有/ BP P=0 / BMP= / BAC/ PP C= | Z PNC= / BAC.•••/ BP C=Z BP P+Z P‘ PC Z BAC.从而，P f点与A, B, C共圆、即P f在厶ABC外接圆上.由于P‘ P平分Z BP C,显然还有P‘ B:P ' C=BP:PC.例2 .在△ ABC的边AB, BC, CA上分别取点P, Q, S.证明以△ APS △ BQP △ CSQ的外心为顶点的三角形与△ ABC 相似.p1Ea nqFDPw(B •波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》 > AA.01P02Q0后再由外 心性质可知/ P01S=2A, / QO2P=2 B , / SO3Q=2 C.•••2 P01S 2 QO2P 2 SO3Q=36° .从而又知 2 01P02+2 O2QO32O3SO1=36°将 △ O2QO3绕着 03点旋转到 △ KS03 ,易判断△ KSO ^A 02P01 同时可得厶 0102*△ O1KO3.DXDiTa9E3d• 2 0201032 K0103= 2 0201K= 」(2 0201S 2 S01K>= |( 2 0201S 2 P0102>=勺 2 P01S 2 A ;同理有 2 0102032 B.故厶 01020^△ ABC. 、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题分析：设 01, 02 03是4 APS △ BQP P△ CSG 的外心，作出六边形KQ C，BC 相交.从A ，C, D, E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为 A', C ,有 S A PGE 二△PGD+S PGF.两边各扩大3倍，有S A PBE=S\ PAD+金 PCF.例4.如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将厶ABC 简记为△，由三中线 AD BE, CF 围成的三角形简记为△' .G 为重心，连DE 到H,使EH=DE 连HC HF,则△' 就是△ HCF.5PCzVD7HxA (1>a2, b2, c2成等差数列若厶ABC 为正三角形，易证 不妨设a >b >c ,有CF= ______ BE=I例3. AD, BE, CF 是厶ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△ PAD △ PBE △ PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积 的和只TCrpUDGiT第26届莫斯科数学奥林匹克> B分析: 设 GABC 重心，直线 PG 与 AB••• EE 易证 AA =2DD , CC =2FF‘，2EE=DD +FF .=AA +CC ,7-CPAD= || .将a2+c2=2b2,分别代入以上三式，得CF= | , BE= , AD=1J .••• CF:BE:AD =凶:|二1| : 2]=a:b:c.故有.（2>a2, b2, c2 成等差数列.当△中a>b>c时，△'中CF> BE> AD.•=（日>2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的勺”，有凶=].•••因二月回3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等（外接> 圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.jLBHrnAlLg例5.设A1A2A3A4为。