数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练(包含答案)

数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练

一．选择题

1．如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN上，则点O是△ABC的（）

A．垂心B．重心C．内心D．外心

2．课本第5页有这样一个定义“三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心”．现在我们继续定义：①三角形三边上的高线的交点叫做三角形的垂心；②三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心；③三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心．在三角形的这四“心”中，到三角形三边距离相等的是（）

A．重心B．垂心C．内心D．外心

3．如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（）

A．△ACD的重心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的垂心4．如图，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF等于（）

A．a：b：c B．：：

C．sin A：sin B：sin C D．cos A：cos B：cos C

5．在△ABC中，两中线AD与CF相交于点G，若∠AFC＝45°，∠AGC＝60°，则∠ACF的度数为（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

6．如图，已知△ABC的三个顶点分别在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，那么△ABC的（）也一定在该函数图象上．

A．重心B．内心C．外心D．垂心

7．如图，已知H是△ABC的垂心，△ABC的外接圆半径为R，△BHC的外接圆半径为r，则R 与r的大小关系是（）

A．R＝r B．R＞r C．R＜r D．无法确定

8．以Rt△ABC的两条直角边AB、BC为边，在三角形ABC的外部作等边三角形ABE和等边三角形BCF，EA和FC的延长线相交于点M，则点B一定是三角形EMF的（）

A．垂心B．重心C．内心D．外心

9．如图，锐角△ABC的垂心为H，三条高的垂足分为D、E、F，则H是△DEF的（）

A．垂心B．重心C．内心D．外心

10．三个等圆O 1，O 2，O 3有公共点H ，点A 、B 、C 是其他交点，则H 是三角形ABC 的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．垂心

D ．重心

二．填空题

11．在半径为1的⊙O 中内接有锐角△ABC ，H 是△ABC 的垂心，角平分线AL 垂直于OH ，则BC ＝ ．

12．如图，ADCFBE 是某工厂车间的一种剩余残料，且∠ACB ＝90°，现需要利用这块残料在△ABC 的外部制作3个等边△ADC 、△CBF 、△ABE 的内切圆⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3，若其中最大圆⊙O 3的半径为0.5米，可使生产成本节约3元（节约成本与圆面积成正比），照此计算，则10块这样的残料可使生产成本节约 元．

13．如图，在△ABC 中M 为垂心，O 为外心，∠BAC ＝60°，且△ABC 外接圆直径为10，则AM ＝ ．

14．如图，锐角三角形ABC 内接于半径为R 的⊙O ，H 是三角形ABC 的垂心，AO 的延长线与BC 交于点M ，若OH ⊥AO ，BC ＝10，OA ＝6，则OM 的长＝ ．

15．设凸四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，△OAB ，△OBC ，△OCD ，△ODA 的重心分别为E ，F ，G ，H ，则S EFGH ：S ABCD ＝ ．

16．如图，I 是Rt △ABC （∠C ＝90°）的内心，过I 作直线EF ∥AB ，分别交CA 、CB 于E 、F ．已

知EI＝m，IF＝n，则用m、n表示S

△ABC

＝．

17．已知点I是锐角三角形ABC的内心，A

1、B

1

、C

1

分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，

若点B在△A

1B

1

C

1

的外接圆上，则∠ABC等于．

三．解答题

18．如图所示，已知锐角△ABC的外接圆半径R＝1，∠BAC＝60°，△ABC的垂心和外心分别为H、O，连接OH、BC交于点P

（1）求凹四边形ABHC的面积；

（2）求PO•OH的值．

19．如图，AD，BE，CF是△ABC的高，K，M，N分别为△AEF，△BFD，△CDE的垂心，求证：△DEF≌△KMN．

20．如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O

1和△BCH的外接圆⊙O

2

相交于点D，延

长AD交CH于点P，

求证：点P为CH的中点．

21．如图，△ABC的三边满足关系BC＝（AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC 的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H，

求证：（1）AI＝BD；

（2）OI＝AE．

22．如图，H是锐角△ABC的垂心，O为△ABC的外心，过O作OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AH＝2OD；

（2）若AO＝AH，求∠BAC的度数．

23．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且∠FDE ＝∠A ，∠DEF ＝∠B ．又设△AFE ，△BDF ，△CED 均为锐角三角形，它们的垂心依次为H 1，H 2，H 3，求证：

1．∠H 2DH 3＝∠FH 1E ；

2．△H 1H 2H 3≌△DEF ．

24．如图，△ABC 为锐角三角形，CF ⊥AB 于F ，H 为△ABC 的垂心．M 为AH 的中点，点G 在线段CM 上，且CG ⊥GB ．

（1）求证：∠MFG ＝∠GCF ；

（2）求证：∠MCA ＝∠HAG ．

25．如图，已知H 为锐角△ABC 的垂心，D 是使四边形AHCD 为平行四边形的一点，过BC 的中点M 作AB 的垂线，垂足为N ，K 为MN 的中点，过点A 作BD 的平行线交MN 于点G ，若A ，K ，M ，C 四点共圆．求证：直线BK 平分线段CG ．