运筹学 第四章—目标规划
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运筹学(第四版)：第4章 目标规划
目标函数：
min
z
P1d1
P2
(d
2
d2 )
P3d3
2x1 x2 11
x1
x2
d1
d1
0
满足约束条件：
x1
2x2
d2
d
2
10
8x1
10x2
d3
d3
56
x1, x2, di, di 0, i 1,2,3
10
第1节 目标规划的数学模型
目标规划的一般数学模型为
L
K
目标函数： min z
0
(4,3)
4
第1节 目标规划的数学模型
实际上，工厂在作决策时，需要考虑包括市场因素在内 等一系列条件。例如:
(1) 根据市场信息，产品Ⅰ的销售量有下降的趋势，因而希望产 品Ⅰ的产量不应大于产品Ⅱ。
(2) 应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班。 (3) 应尽可能达到并超过计划利润指标：56元。
5
第1节 目标规划的数学模型
这样的产品决策问题便构成了一个多目标决策问题，目 标规划方法正是解这类决策问题的方法之一。下面引入 与目标规划模型有关的概念。
1.设x1，x2为决策变量，引入正、负偏差变量d+，d−。 正偏差变量d＋表示决策值超过目标值的部分； 负偏差变量d−表示决策值未达到目标值的部分。
13
第2节 解目标规划的图解法
例3 某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装配一台电 视机需占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小时。预 计市场每周彩色电视机的销量是24台，每台可获利80元；黑 白电视机的销量是30台，每台可获利40元。该厂确定的目标 为：
第一优先级：充分利用装配线每周计划开动40小时； 第二优先级：允许装配线加班；但加班时间每周尽量不超过10小
运筹学课件目标规划
一 目标规划的数学模型
3 目标函数： 1 恰好达到目标：
minZ= f d +d+ 2 超过目标：
minZ= f d 3 不超过目标：
minZ= f d+
第四章
一 目标规划的数学模型 第四章
4 目标规划的目标：求一组决策变量的满意值;使 决策结果与给定目标总偏差最小
① 目标函数中只有偏差变量 ② 目标函数总是求偏差变量最小 ③ Z=0：各级目标均已达到
④
d4+
X2 =30
F
B
30 A d1+
d2- X1+X2 =50
X1
X1+X2 =40
1 满足目标① ②的满意域为ABCD
2 先考虑③的满意域为ABEF 再考虑④;无公共满意域
(3)、取E
X1+X2=50 X1=24
E(24,26) 获利2960
4 Zmin =d4 =30 X2 + d4+=3026=4>0
6x1+4x2 =240
2x1+3x2 =120 C
10
d2-
E
B
O 10 d3-
A d1+
x1
第四章
二 目标规划的图解法 第四章
分析：满足P1;部分满足P2的点有A;B;C;D 如果不考虑A;B产品均需生产 由解方程可得：A40;0; B60;0
C24;24; D0;60 比较与目标的偏差 A点：ZA = P1d1 + P2d2++ P2d3+ = 0+0+ P2d3+
另一种差别是相对的;这些目标具有相同的优先因 子;它们的重要程度可用权系数的不同来表示
运筹学chap.4目标规划
解：以产品 A、B 的单件利润比 2.5 ：1 为权系数，
模型如下：
min Z
P1d1
P2
(2.5d
3
d
4
)
P3d
2
30
x1
2 x1
12x2 x2
d1
d2d1d源自22500 140
x1
d
3
d
3
60
x2
d
4
d
4
100
x12
0,
d
l
,
d
l
0
(l 1.2.3.4)
第四章 目标规划
（Goal Programming，简记为GP）
教学要求：
了解目标规划在多目标决策中的作用 掌握目标规划的建模方法和线性目标规划基本 求解方法 了解目标规划在经济和管理中的基本应用方法
目标规划
60年代初，查恩斯（Charnes）和库伯（Cooper） 提出了一种用于求解多于一个目标的线性决策模型的方 法，并提出了目标规划的概念。
线性规划只研究在满足一定条件下，单 一目标函数取得最优解，而在企业管理中， 经常遇到多目标决策问题，如拟订生产计 划时，不仅考虑总产值，同时要考虑利润， 产品质量和设备利用率等。这些指标之间 的重要程度（即优先顺序）也不相同，有 些目标之间往往相互发生矛盾。
•线性规划致力于某个目标函数的最优解， 这个最优解很可能是以过分地消耗了约束 条件中的某些资源作为代价。
例2、已知一个生产计划的线性规划模型为
max Z 30 x1 12 x2
2 x1 x2 140 (甲 资 源)
x1
60 (乙 资 源) x2 100 (丙 资 源)
x12 0
运筹学概论 第4章 目标规划
P1：利润指标定为至少每月1.6104元；
P2：充分利用生产能力；
P3：加班时间不超过24小时；
P4：产量恰好能够满足预计销量；
为确定生产计划，试建立该问题的目标规划模型
三、目标规划的图解法
只有两个决策变量的目标规划问题可以用图解方法来求解。 在用图解法解目标规划时，首先必须满足所有绝对约束。在 此基础上，再按照优先级从高到低的顺序，逐个地考虑各个 目标约束。一般地，若优先因子Pj对应的解空间为Rj，则优先
min P1d1, P2d2, P3(5d3 3d4),P4d1
x1 x1
2x2 2x2
d1
d1
d2
d2
6 9
x1 2x2
d3 d3
4
x2
x2
d4 d4 2
x1, x2,di,di 0 i 1,2,3,4
4.5 C
d2+
3D
d3－
G
d4－ d1－
d 1+F
E A
B
0
6
9
从图6-2可见，在考虑P1和P2的目标后，解
有三种基本表达式：
① 要求恰好达到目标值。这时，决策值超过或不足目标值 都是不希望的，因此有：
mfi (d n d )
② 要求不超过目标值，但允许不足目标值。这时，不希望 决策值超过目标值，因此有：
mif( n d)
③ 要求不低于目标值，但允许超过目标值。这时，不希 望决策值低于目标值，因此有：
k
0
k 1,2,, K
模型中gk为第k个目标约束的预期目标值，
W
和
lk
为W
lk
优先P因l 子对
应各目标的权系数。
在建立目标规划数学模型时，需要确定预期目标值、优先级和权系
P2：充分利用生产能力；
P3：加班时间不超过24小时；
P4：产量恰好能够满足预计销量；
为确定生产计划，试建立该问题的目标规划模型
三、目标规划的图解法
只有两个决策变量的目标规划问题可以用图解方法来求解。 在用图解法解目标规划时，首先必须满足所有绝对约束。在 此基础上，再按照优先级从高到低的顺序，逐个地考虑各个 目标约束。一般地，若优先因子Pj对应的解空间为Rj，则优先
min P1d1, P2d2, P3(5d3 3d4),P4d1
x1 x1
2x2 2x2
d1
d1
d2
d2
6 9
x1 2x2
d3 d3
4
x2
x2
d4 d4 2
x1, x2,di,di 0 i 1,2,3,4
4.5 C
d2+
3D
d3－
G
d4－ d1－
d 1+F
E A
B
0
6
9
从图6-2可见，在考虑P1和P2的目标后，解
有三种基本表达式：
① 要求恰好达到目标值。这时，决策值超过或不足目标值 都是不希望的，因此有：
mfi (d n d )
② 要求不超过目标值，但允许不足目标值。这时，不希望 决策值超过目标值，因此有：
mif( n d)
③ 要求不低于目标值，但允许超过目标值。这时，不希 望决策值低于目标值，因此有：
k
0
k 1,2,, K
模型中gk为第k个目标约束的预期目标值，
W
和
lk
为W
lk
优先P因l 子对
应各目标的权系数。
在建立目标规划数学模型时，需要确定预期目标值、优先级和权系
运筹学第四章目标规划
min Ζ=P1d3++P2d4 ¯+P3(6d1 ¯+5d2 ¯) +P4d11++P5d5++P6(6d1++5d2+)
s.t 2x1+4x2+d1 ¯-d1+=2400 2.5x1+1.5x2+d2 ¯-d2+=2800 8x1+15x2+d3 ¯-d3+=23000 x1 +d4 ¯-d4+=1500 x2 +d5 ¯-d5+=1000 d1++d11 ¯-d11+=30 x1,x2≥0,di ¯,di+≥0 (i=1,2,3,4,5,1 10 P1 0 P2 0 P3 -75 P4 -10
x1 x2 d2- d2+ d3- d3+ d11- d11+ 0 1 1 0 -1 0 1 -1 10 00 10 0 0 0 0 -1 0 1 1 –1 1 0 0 0 1 0 0 1 –1 00 10 0 0 0 0 00 00 0 0 0 1 0 0 3 0 2 0 3 -3 0 0 0 1 0 0 –1 +1
解目标规划的计算步骤：
(1).建立初始单纯形表，在表中将检验数 行按优先因子分别列成k行，设k=1；
(2).检查该行中是否存在负数，且对应的 前k-1行的系数是零，若取其中最小者对应的 变量为换入变量，转(3)，若无负数，则转(5)。
(3).按最小比值规则确定换出变量，当存 在两个和两个以上相同的最小比值时，选取 具有较高优先级别的变量为换出变量；
如果某一个Ri已退化为一点，则计算亦 应终止，这一点亦即为最优解，它只能满足
运筹学第四章目标规划
目标规划
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第四章 目标规划
目标规划（Good Programming，简记为GP）是在线性规划的基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个运筹学分支，是实行目标管理这种现代化管理技术的一个有效工具。
4.1 目标规划的数学模型
例4.1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限制.在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最大的生产计划，具体数据见下表。
200
300
400
500
1
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1.访问时间最好不超过680小时； 2.访问时间最好不少于600小时； 3.销售收入尽量不少于70,000； 4.访问老顾客数最好不少于200个； 5.访问新顾客数最好不少于120个。
目标规划的求解---多阶段算法
访问时间最好不超过680小时；
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
实际值
目标值
1.当实际值>目标值时 d－＝0
01
02
03
目标约束（软约束）是指在目标规划问题中目标值允许发生正、负偏差，在这些约束中加入正、负偏差变量的约束。
绝对约束（硬约束）是指必须严格满足的等式约束和不等式约束。
线性规划问题的目标函数在给定目标值和加入正、负偏差变量后，可变换为目标约束，也可根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束。
200
600
500
400
X
2
100
200
300
400
500
(1)
(2)
1.访问时间最好不超过680小时； 2.访问时间最好不少于600小时； 3.销售收入尽量不少于70,000； 4.访问老顾客数最好不少于200个； 5.访问新顾客数最好不少于120个。
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第四章 目标规划
目标规划（Good Programming，简记为GP）是在线性规划的基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个运筹学分支，是实行目标管理这种现代化管理技术的一个有效工具。
4.1 目标规划的数学模型
例4.1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限制.在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最大的生产计划，具体数据见下表。
200
300
400
500
1
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1.访问时间最好不超过680小时； 2.访问时间最好不少于600小时； 3.销售收入尽量不少于70,000； 4.访问老顾客数最好不少于200个； 5.访问新顾客数最好不少于120个。
目标规划的求解---多阶段算法
访问时间最好不超过680小时；
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
实际值
目标值
1.当实际值>目标值时 d－＝0
01
02
03
目标约束（软约束）是指在目标规划问题中目标值允许发生正、负偏差，在这些约束中加入正、负偏差变量的约束。
绝对约束（硬约束）是指必须严格满足的等式约束和不等式约束。
线性规划问题的目标函数在给定目标值和加入正、负偏差变量后，可变换为目标约束，也可根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束。
200
600
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400
X
2
100
200
300
400
500
(1)
(2)
1.访问时间最好不超过680小时； 2.访问时间最好不少于600小时； 3.销售收入尽量不少于70,000； 4.访问老顾客数最好不少于200个； 5.访问新顾客数最好不少于120个。
第四章 目标规划课件(运筹学)
如，引例中的 x1 4与2x2 12 是绝对约束.
3
x1 x2 d1 d1
x1
2 x2
d
2
d 2
0 18
是目标约束.
3
x1
5 x2
d
3
d
3
32
但是问题不同时，软硬约束也会发生变化，要因地制宜.
-12-
China University of Mining and Technology
决策要求：
设备/台时 3
218ຫໍສະໝຸດ 原料A/吨10
4
（1）要求甲产品产量不大于乙产品产量。 原料B/吨 0 2 12
要求 x1 x2，既 x1 x2 0，
单位赢利/ 3
5
万元
0是目标值， x1 x2 是决策值，则
x1 x2 d1 d1 0
（2）尽可能利用设备台时，不希望加班。目标值是现拥 有的18台时，
-2-
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运筹学
4.1 目标规划的数学模型
-3-
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运筹学
问题的提出——引例
产品
甲
资源
设备/台时
3
原料A/吨
1
原料B/吨
0
单位赢利/万元
3
目标规划的数学模型
由于在实际决策中，不可能同时出现正负两个偏差，所以 应该有一个变量的值为0，即：
正负偏差变量两者必有一个为0。 当实际值超出目标值时： d+>0, d-=0; 当实际值未达到目标值时： d+=0, d->0; 当实际值同目标值恰好一致时： d+=0, d-=0;
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• 从线性规划的角度来看，问题似乎已经得到圆满的解，但实际上工厂作 决策时可能还需根据市场和工厂实际情况，考虑其它问题，如：
• （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； • （2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； • （3）最好能节约4小时设备工时； • （4）计划利润不少于48元. • 这时，问题变成一个多目标问题，线性规划方法就很难处理。
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1.当实际值>目标值时 d－＝0
目标值
实际值
d＋
有：目标值＝实际值－d+
2.当实际值<目标值时d+＝0
实际值
目标值
（此时d－＝0）
d－
有：目标值＝实际值＋d－ （此时d＋＝0）
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
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4
4
利润 (元/件)
6
8
限量 60
40
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Page:4
设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1 , x2 ，建立线性规划模型
M azx6x18x2
St. 4x14x240
5x110 x260
x1,x2 0
解之得最优生产计划为 x1 8 件，x2 2 件，利润为 zmax64元。
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3、优先因子（优先等级）与权系数
• 在实际问题中，决策者要求达到这些目标时，是有主次或 轻重缓急的不同，凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 P1 ，次位的目标赋予优先因子P2，…，并规定：Pk>>Pk+1 表示Pk 比Pk+1有更大的优先权，即首先保证级P1目标的实 现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目
• （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； • （2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； • （3）最好能节约4小时设备工时； • （4）计划利润不少于48元. • 这时，问题变成一个多目标问题，线性规划方法就很难处理。
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1.当实际值>目标值时 d－＝0
目标值
实际值
d＋
有：目标值＝实际值－d+
2.当实际值<目标值时d+＝0
实际值
目标值
（此时d－＝0）
d－
有：目标值＝实际值＋d－ （此时d＋＝0）
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
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设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1 , x2 ，建立线性规划模型
M azx6x18x2
St. 4x14x240
5x110 x260
x1,x2 0
解之得最优生产计划为 x1 8 件，x2 2 件，利润为 zmax64元。
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3、优先因子（优先等级）与权系数
• 在实际问题中，决策者要求达到这些目标时，是有主次或 轻重缓急的不同，凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 P1 ，次位的目标赋予优先因子P2，…，并规定：Pk>>Pk+1 表示Pk 比Pk+1有更大的优先权，即首先保证级P1目标的实 现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目
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6. 目标规划模型的单纯形法
m inz P1d 1 P2 d 2 d 2 P3 d 3
m inz P1d 1 P2 d 2 d 2 P3 d 3
11 2 x1 x 2 x1 x 2 d 1 d 1 0 x1 x 2 d 2 d 2 10 8 x1 10x 2 d 3 d 3 56 x , x , d , d 0, i 1,2,3 1 2 i i
2）约束条件 • 系统约束（刚性约束、硬约束）：必须严格满足的等式和不等式约束。 如：设备运行能力严格限定为24小时。 • 软约束（目标约束）：由多目标规划问题的目标函数加入正负偏差变量 和期望值后转化得来。 6 如：必要时允许加班从而超过24小时。
3）优先级与权数 • 为了表示各项目标重要程度的悬殊差异，可划分为不同的优先级， 并且根据其级别的高低用优先因子 Pk (k 1,, K ) 表示。
10
4.目标规划的数学模型
模型的一般式：
K
优先因子
L
负偏差变量
正偏差变量
min z Pk wkl d l wkl d l k 1 l 1
n (i 1, , m) aij x j ()bi 目标期望值 jn1 cij x j d l d l g l (l 1, , L) j 1 ( j 1, , n) xj o d ,d 0 (l 1, , L) l l
6 5 5 6
－8
3/2 3/2 1/2 3 [3]
－10
1 1 1 1 1 1 －5 －1 －1/2 1/2 1/2 －5 1/2 －1/2 －1/2 5 1
1
P3
－1
6/3
cj zj
P1 P2 P3
－3
5
1
17
cj
CB X B xs d1 x2 P3 d 3
b
6 5 5 6
x1
3/2 3/2 1/2 [3]
m axz 8 x1 10 x 2 2 x1 x 2 11 x1 2 x 2 10 x , x 0 1 2
解得：
* x1 4 * x2 3
z * 62
4
考虑市场条件，除上述目标之外，还要满足以下目标 （1） 产品I的销量有下降的趋势，故产品I的产量不大于产品II； （2） 应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班； （3） 应尽可能达到并超过利润指标56元。 这就使例1变成了多目标决策问题。
第5部分 目标规划
GP
Goal Programming
1. 问题的提出
在线性规划、整数规划、动态规划等规划问题中，规划的目标只有一 个，这在很大程度上是对实际问题的一种简化。在实际的规划问题以及进 行决策时，很多情况是多个目标并存且不宜简化为单个目标。这些目标之 间很可能是不相容的，可能有不同性质的度量单位。如：企业中可能要求 产品质量最好，费用最少，利润最大，时间最短，这些指标的度量单位不 一样，且有矛盾。 再如核电站的建设要考虑：发电能力，可靠性，环境保护，生物，人 体，社会经济效益，建造成本等。这些目标矛盾且不公度，有些还是模糊 的。
mind i mind i
② ③
要求尽可能不低于期望值，而允许超过期望值 要求不超过期望值，但允许低于期望值
minz d1 (d2 d 2 ) d3
例如：在例1中目标函数
（1）产品I的产量不大于产品II
x1 x2 d1 d1 0
（2）应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班
T
d 、d
例1中，假设还要满足以下目标 ① 产品I的销量有下降的趋势，故产品Ⅰ的产量不大于产品Ⅱ； ② 应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班； ③ 应尽可能达到并超过利润指标56元。
m axz 8 x1 10 x 2 2 x1 x 2 11 x1 2 x 2 10 x , x 0 1 2
x 产品I与产品II的销量限制： 1
设备台时： 利润目标：
x2 d1 d1 0
x1 2 x2 d3 d3 18
3）建立新的目标方程
① 要求尽可能准确地实现目标
min( i d i ) d
G
D C
d3
d2
1 2 3
4
d2 A 5 6d 7 8 9 10
3
x1
13
x2
11 B 10 9 8 7 6 5 F 4 3 2 1 0
①
③
d1 d1
G D C
d3
d2
②
1 2 3
4
d2 5A 6d 3 7 8 9 10
x1
14
最优解：在线段GD上，G点坐标为（2，4），D点坐标为（10/3，10/3）
d1
d2 d2
x1 2 x2 d d 10
（3）应尽可能达到并超过利润指标56元
2
2
8 x1 10x2 d d 56
3
3
d3
9
4）目标的优先等级和权系数 （1）优先等级：它是各目标优先次序的一种划分。 例如，例1中，优先等级依次为
P1 , P2 , P3
P P2 PK 1
(k 1,, K )
• 同一优先级内各分目标（量纲一致），可再按其重要程度的不同， 赋予不同的权数。
wkl
(k 1,, K , l 1,, L)
表示分别赋予第l 个目标约束的正负偏差 变量的权系数
7
3. 建立目标规划的步骤
1）设立目标函数的期望值 E e1, e2 ,, el 2）引入正、负偏差变量
x s 11 2 x1 x 2 x1 x 2 d 1 d 1 0 x1 x 2 d 2 d 2 10 8 x1 10x 2 d 3 d 3 56 x , x , x , d , d 0, i 1,2,3 1 2 s i i
12
x2
解：1、在第一象限内，作各约束条件： 11 B 10 （1）绝对约束的做法与线性规划相同 9 （2）目标约束：先令 d i , d i 0作直线， 8 ③ 7 然后在直线旁标出 d i , d i ② 6 5F 2、求解：按优先等级确定最优解 4 3 2 1 0
①
d1 d1
1）正、负偏差变量
d 、d
d ——超出目标的差距，称为正偏差变量； d ——未达目标的差距，称为负偏差变量。
d 和d 二者至少有一个为， d 0 0 d
• 当实际值超出目标时 • 当实际值未达到目标时 • 当实际值恰好等于目标时
d 0, d 0 d 0, d 0 d d 0
2
1. 问题的提出
线性规划的不足之处：
1）线性规划是在一组线性约束条件下寻求某一项目标 的最优值，而经营管理中人们希望更多目标达到较 好水平——满意解； 2）线性规划各约束条件处于同等重要地位，实际上处 于不同层次、具有不同权重的； 3）线性规划要求最优解存在的前提条件是其可行域为 非空集，否则线性规划无解。
3
1. 问题的提出——举例说明
例1 某工厂在计划期内要生产 Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知有关数据如下表，试确定 获得的利润最大的生产方案，建立这个问题的基本模型。
Ⅰ
原材料(kg) 设备（hr） 利润（元/件） 2 1 8
Ⅱ
1 2 10
资源拥有量 11 10
解：设x1，x2分别表示Ⅰ、Ⅱ两种产品生产的数量，则得基本模型如下：
目标函数为：
minz P1 d1 P2 d2 d2 P3d3
（2）权系数：目标函数中各目标偏差变量的有限值系数称为权系数。如
minz 5d1 6d 2 4d 3
它表示了一目标相对于其它目标的重要程度。权系数对目标规划解的
影响是很大的。不同的权系数会得出完全不同的最优解。因此，要想 得到符合实际情况的最优方案，必须对各个目标确定适当的权系数。
15
cj
CB
XB xs d1 d2 d3
b
11 0 10 56
x1
2 1 1 8 －1 －8
x2
1 －1 2 [2] 10
xs
1
d1
1
P1 d1
－1
P2 d2
P2 d2
P3 d3
d3
i
P2 P3
1
－1 1 －1
10/2
cj zj
P1 P2 P3
1
－2 －10 2 1
•
目标规划中，不可能所有级别的目标都能够实现，需要确认何时停止运算。
停止运算准则： • • 检验数行所有值均非负 若k行为非负，k+1行存在负的检验数，而该负检验数同列较高优先级的行中
存在正检验数
19
20
11
5. 目标规划模型的图解法
m inz P1d 1 P2 d 2 d 2 P3 d 3
11 2 x1 x 2 x1 x 2 d 1 d 1 0 x1 2 x 2 d 2 d 2 10 8 x1 10x 2 d 3 d 3 56 x , x , d , d 0, i 1,2,3 1 2 i i
3
4/3 －5/3
－3
5/3 1
－1/2
1/3
1/2
1/6 －1/3
－4/3 －1/6