数学实验之分形图的绘制
fractal02二维空间上的分形图形生成法
gi Di
变量：ax,ay（线段端点坐标） ls bx,by（线段端点坐标） ta cx,xy （线段端点坐标） dx,dy（线段端点坐标） ex,ey （线段端点坐标） L （线段长度） alpha （基线与水平线正 方向夹角）
5
ne to
参考书：《分形算法与程序设计》
2.2 Koch曲线的递归算法
gi Di
ls ta
ne to
参考书：《分形算法与程序设计》
2.5 分支结构分形递归算法
算法：Ramus (x,y,alpha,L,n) 标题：分支结构递归算法 分支结构 参数： PI（π值） 变量：n （递归深度） L （线段长度） x,y （线段起点坐标） x1,y1 （线段终点坐标） alpha （主干生成角度） alpha_L（左支干生成角度） alpha_R（右支干生成角度）
gi Di
ls ta
ne to
参考书：《分形算法与程序设计》
13
2.6 分形树递归算法
算法：tree (x,y,L,alpha) 标题：分形树递归算法 分形树 参数： PI（π值） A（主干生长方向） B（侧干与主干的夹角） C（主干偏转角度） s1（长度小量，控制递归深度） s2（主干与侧干之比） s3（上一级主干与下一级主干之比）
函数： plot(x1,y1) –(x2,y2) （画直线函数） sin( ) （正弦函数） cos( ) （余弦函数） sqrt( ) （开平方函数）
gi Di
ls ta
ne to
参考书：《分形算法与程序设计》
8
2.3 Sierpinski垫片的递归算法
BEGIN IF (n=1) THEN BEGIN x1=x-L/2 x01=x-L/4 y1=y+L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/2 y01=y+L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/4 x2=x+L/2 x02=x-L/4 y2=y+L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/2 y02=y+L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/4 x3=x x03=x y3=y-L*(sin(PI/6)/cos(PI/6)) y03=y- L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/2 plot(x1,y1)-(x1,y1) Sierpinski(x01,y01,L/2,n-1) plot(x2,y2)-(x2,y2) Sierpinski(x02,y02,L/2,n-1) plot(x3,y3)-(x3,y3) Sierpinski(x03,y03,L/2,n-1) END END ELSE 9 参考书：《分形算法与程序设计》 END BEGIN
分形图形的Mathematica绘制
Al高l剑波R[2i]则g针h对t理s论R如e何s与e现r实v结e合d的.问题展开了讨论遥 本文在现有
研究的基础上袁 分析总结了不同的算法下袁Mathematica 程序编译尧绘 制的分形图形遥 本文的图形均由 Mathematica 绘制而成遥
揖摘 要铱俗话说野想致富尧先修路冶袁社会主义新农村的建设就是为了农村生产更好的发展袁生活更加富裕袁而这些都是在交通便利这个平 台上实现的遥 近几年来袁农村人口密集化袁房屋建设也在道路两旁建设起来袁那么农村公路的建设就显得尤为重要遥 目前袁农村公路的建设发展 已经成为我国公路网上的重要组成部分袁在党的十六大召开以来袁为贯彻党中央的领导决策袁中国交通运输系统把农村公路的发展作为工作重 点袁推动着新农村一步步向前发展遥 但是在农村公路的日常养护中所面临的问题也日益增多袁本文针对甘肃省的现状袁分析农村公路养护出现 的问题袁并提出一些相应的建议遥
的袁但是要调整消费税的返还使用问题袁是可以做到的袁需要政府部门 监理完善的资金管理制度袁进一步落实资金使用情况袁同时也需要国 家做好引导工作袁 让消费税返还金额全部用于农村公路的养护建设袁 加大资金监管制度袁对于某些地区的虚假申报尧重复申报要进行调查 了解袁在掌握农村公路的基本情况下袁做好前期工作袁尽可能最大化的 资金使用公开遥 国家也要加大监督力度袁不定期的安排人员对项目进 行审计和监督袁使资金真正的取之于民袁用之于民遥 3.2 扩大融资渠道
揖关键词铱农村公路养护曰建议曰推动
1 农村公路养护的意义
自 2013 年 1 月 1 日起袁甘肃省为了加强农村公路建设尧养护尧规 划尧管理袁保证农村公路的通畅安全袁由甘肃省人民代表大会常务委员 会发布了叶甘肃农村公路条例曳袁由此可见甘肃省政府及交通主管部门 对农村公路的重视遥 农村公路的建设发展已经成为我国公路网上的重 要组成部分袁在党的十六大召开以来袁为贯彻党中央的领导决策袁中国 交通运输系统把农村公路的发展作为工作重点袁推动着新农村一步步 向前发展遥
分形图制作简明教程06
分形图制作简明教程06/INCENDIA软件的使用方法天星1．软件下载地址：这是一款专门做3D图形的软件。
软件名:INCENDIA/work/show/9772，安装非常简单，既不破介也不注册。
安装完毕后启动软件：学做简单练习。
这时,在右边午台你可以看到一个多重三角形的图形。
这是上默认的几何图形。
你可以用这个图形来做一张3d图形。
方法是用右下角的三个按钮。
第一个preview(预览)第二个是draw(拖拽)第三个是render（渲染）图形的大小可以用当中的zoom横条来调节。
方位可用draw来拖。
调好后。
点一下render就开始渲染。
渲染的时间可能会很长。
一般作为练买。
你可以做个五分钟之后按stop停掉。
3．对刚才渲染的3D图形作彩色处理。
打开render的界面。
在中间有二个园形图案。
点击它可以定义图形和背景的彩色。
在彩色表中选中彩色。
点一下ok.彩色就会调整。
4．最后点左上角的saveBitmap即可以存出图片(bmp格式)存出来的图片格式是bmp。
而且尺寸较大。
你可以缩小转换为jpg格式。
体积会小很多。
好了最简单的3d作品做好了。
是不是很简单。
分形图制作简明教程07/INCENDIA软件的使用方法之二天星把incendia软件比喻为一个具有亿万图片的图库并不过份。
而且也并非确切。
其一用它做出的图片是无限数的。
其二用它做出的图片是没有重复的。
即便你选用相同的参数图形也不一致。
因为其中含有随机参数。
当然要取出这些无穷无尽的图片，确实需要一定的练习。
下面我们共同的演练一下。
1．打开软件。
午台上总是出现那张生硬的三角形图形。
不用着急。
这跟电脑的《开始》键相似。
一切从这里出发！2．再打开编辑器<editors>,在左上角勾选一下edit,午台显出虚线的图片。
再点一下菜单new.在左面板上就出现了48种效果图.我们先选用一个最简单的《园球效果》来试试（用鼠标点击它）这时《效果》就跳进右边的午台上。
分形图形的Mathematica绘制
分形图形的Mathematica绘制作者：陈颂闫晓芳来源：《科技视界》2014年第22期【摘要】分形以迭代的方式描述了自相似的自然现象，使人们对自然界的认识与描述更进一步。
分形图形的算法有很多，也可以用多种软件绘制。
相对于其它软件，Mathematica非常适宜绘制分形图形，它的程序可以非常简单。
本文列出几种经典分形图形的Mathematica绘制方法。
【关键词】分形；Mathematica；M集；谢尔宾斯基三角形；Koch曲线我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，分形几何提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。
什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。
“分形”一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。
Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，Mandelbrot集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。
近年来，许多专家学者投入到分形的研究之中，例如，朱华、姬翠翠[1]在分形理论及其应用中系统阐述了分形的理论知识和应用领域；高剑波[2]则针对理论如何与现实结合的问题展开了讨论。
本文在现有研究的基础上，分析总结了不同的算法下，Mathematica程序编译、绘制的分形图形。
本文的图形均由Mathematica绘制而成。
绘制分形图形主要有两种方法：1 逃逸时间算法假设有一个充分大的整数N，当未逃逸区域M中的初始点a经过小于N次迭代就达到未逃逸区域M的边界，甚至超出了边界，我们就认为点a逃逸出去了；而如果经过N次迭代后a 的轨迹仍未达到M的边界，我们就认为a是A上的点。
分形的Mathematica实现
分形的Mathematica实现【内容提要】本文主要叙述了分形的发展史和分形中的两类图形Mandelbrot集和Julia集及他们的Mathematica实现。
第一部分为分形的发展史，着重叙述分形的几何特征。
第二部分着重叙述Mandelbrot集和Julia集，以及Mathematica程序设计、运行结果。
【关键词】分形，Mandelbrot集，Julia集。
分形是自然界的几何学。
——Mandelbrot（分形理论创始人）一、分形的发展史1.1分形概念的提出与分形理论的建立分形在英文中为fractal,由美籍数学家Mandelbrot创造出来的，源于拉丁文（形容词）fractus,（动词）frangere它与英文的fraction（碎片）及fragment（碎片）具有相同的根。
在20世纪70年代中期以前，Mandelbrot一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想,因此，取拉丁词之头，撷英文之尾所合成的fractal ,本意是不规则、破碎的、分数的。
Mandelbrot是想用此词描述自然界中传统欧氏几何学不能描述的一大类复杂无规的几何对象，例如：蜿蜒曲折的海岸线，起伏不定的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云。
它们的特点：极不规则或极不光滑。
1975年，Mandelbrot出版了他的法文专著《分形对象：形、机遇与维数》，标志着分形理论正式诞生。
1977年，他又出版了该书的英译本。
1982年Mandelbrot的另一历史著作《大自然的分形几何》与读者见面，该书虽然是前书的增补本，但在Mandelbrot看来却是分形理论的“宣言书”，而在分形迷的眼中，它无疑是一部“圣经”，该书从分形的角度考察了自然界中诸多现象，引起了学术界的广泛注意，Mandelbrot也因此一举成名。
1.2分形的几何特征Mandelbrot（1986年）曾经给分形下过这样一个定义：组成部分与整体部分以某种方式相似的形，也就是说：分形一般具有自相似性。
分形几何 ppt课件
❖ f(z) = |z2|
分形几何
28
分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
29
分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
36
分形几何
❖ 我们照这个思路（加0.2然 后平方）迭代12次后，可 得到右图图形。可以看见 整个图形已经具有了分形 图形的复杂程度（图形的 “黑边”其实是密集的等 高线）。
37
分形几何
❖ 上图中，大部分区域内的数都变得越来越大，直 达无穷。而原点附近这个四叶草形区域内的数， 至少目前还不算太大。
8
分形几何
9
分形几何 ❖康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于
非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其 局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。
10
分形几何
4. Mandelbrot集合 曼德博集合可以用复二次多项式来定义： fc(z)=z2+C; 其中 c 是一个复数参数。
➢ 从 z = 0 开始对 fc(z) 进行迭代：
① 将线段分成三等份（AC,CD,DB）； ② 以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角
形DMC ； ③ 将线段CD移去； ④ 分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
5
分形几何
6
数学拓展课——分形图
分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，
我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的 边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的 线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相 似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分 为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、 2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说 来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b 个图形所组成，有：a^D=b的关系成立，则指数D 称为相似性维数，从这个角度来看，D应该是整 数。
图3中的阴影部分的面积的变化有什么规律？
图4中的图形的周长的变化有什么规律？
分形图的特点
1.从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如 海岸线，从远距离观察，其形状是极不规则的。 2.在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。从近距 离观察海岸线，其局部形状又和整体形态相似，它们 从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形 几何图形，它们并不完全是自相似的。
这是Koch曲线,它可以从一 个等边三角形开始来画:把一个 等边三角形的每边分成相同的 三段,再在每边中间一段上向外 画出一个等边三角形,这样一来 就做成了一个六角星.然后在六 角星的各边上用同样的方法向 外画出更小的等边三角形,出现 了一个有关18个尖角的图形.如 此继续下去,就能得到分支越来 越多的曲线.继续重复上面的过 程,图形的外边界逐渐变得越来 越曲折、越来越长、图案变得 越来越细致,越来越像ห้องสมุดไป่ตู้花、越 来越美丽了。
分形动画演示
分维
在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的， 平面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也 可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入 高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分 形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家 在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概 念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程 度，1919年，数学家从测度的角度引入了维 数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破 了一般拓扑集维数为整数的界限。
数学实验迭代：分形
迭代：分形姓名：学号：班级：数学与应用数学4班实验报告实验目的：以迭代的观点介绍分形的基本特性以及生成分形图形的基本方法，使读者在欣赏美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解，并从哲理的高度理解这门学科诞生的必然，激发读者探寻科学真理的兴趣。
实验环境：Mathematica软件实验基本理论和方法：在19世纪末及20世纪初，一些数学家就构造出一些边界形状极不光滑的图形，而这类图形的构造方式都有一个共同的特点，即最终图形F都是按照一定的规则R通过对初始图形不断修改得到的。
其中最有代表性的图形是Koch曲线，Koch曲线的构造方式是：给定一条直线段F，将该直线段三等分，并将中间的一段用以该线段为边的等边三角形的另外两条边代替，得到图形1，然后再对图形1中的每一小F = liuFu段都按上述方式修改，以至无穷。
则最后得到的极限曲线• 即是所谓的Koch曲线。
生成元：Koch曲线的修改规则R是将每一条直线段八用一条折线代替，我们称为该分形的生成元。
分形的基本特性完全由生成元确定，因此，给定一个生成元，我们就可以生成各种各样的分形图形。
Julia集绘制方法：（1）设定初值p, q, —个最大的迭代次数N，图形的分辨率的大小a，b，和使用的颜色数（如K=16）（或者给定灰度级L）；（2）设定一个上界值绘吟伽仙冷）；（3）将矩形区域小H X 丫 z 分成“ b 的网格，分别以每个网格点（I 「，2M5j = -M + ------- x j值g “利用riter 做迭代（实际上，只需对满足 「’汀汁的初值点 做迭代）。
如果对所有则将图形的门门像素点用黑 色显示，否则，如果从迭代的某一步『开始有"，则用“ modK 种颜色显示相应像素（或者用相应的灰度级显示）Mandelbrot 集绘制方法：设定一个最大的迭代次数 N ，图形的分辨 率的大小a, b,和使用的颜色数（如K 二佝（或者给定灰度级L ）；（2） 设定一个上界值，「；（ 3）将矩形区域 「 E ⑴I r r..分成 |…作为参数值』W 厂利用riter 做迭代（实际上，只需对£灶1的初值点做迭代），每次迭代的初值均取 为心八皿‘门。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
钦州学院数学与计算机科学学院
数学实验报告
专业 : 数学与应用数学班级姓名：学号：
实验完成日期 :2010 年 11 月 1 日，第 10 周，星期一
成绩等级（五级分制）评阅教师评阅日期年月日数学实验报告填写要求：思路清晰，中间结果和最终结果真实；字迹工整，报告完整。
[实验题目及内容]
实验题目：分形图形的绘制
实验内容：利用二叉树的画法对生成元带参数进行迭代绘制分形图。
[问题描述]（用自己组织的相关数学语言重述现实问题；注意对约定的条件作说明）
分形图是由一个简单的枝杈不断向周围延伸增加枝干而成，由简单元素生成整体，其中包含有旋转、带参数深层迭代等步骤，对生成元的张开角度和线段长度也有所控制才能绘制出多彩的图形，所以就要设计几个能控制生成图的角度的圆，随时改动分形图的伸张。
[模型建立或思路分析]（建立合理，可解释的数学模型，通过公式、表格或图形直观明确地描述模型的结构；无法通过建立模型解决的，给出解题的思路及办法。
）
整个分形图就由几个简单的枝杈进行带参数深层迭代而成，所以先做一个作为整棵树的树主干，做线段AB，以一个B端点作为旋转中心，做两个能控制角度旋转的圆，以圆上所选的角度做适当旋转将线段AB及端点A向上旋转得到两条线段，将得到的线段进行缩放到原来的三分之二，三条线段就组成一个树杈，再继续做另外两个圆选好角度将由线段AB旋转得到的两条线段再向上旋转得到另两条线段，将得到的线段进行缩放到原来的一半。
新建参数n=1,对AB两点和参数n进行深度迭代，使得旋转得到的线段的起始点对应
线段AB的起始点，改变n值，即可得到一棵参天大树，即分形图完成。
[实验结果]（通过数学表达式、列表或图形图像的方式显示实验结果。
）
[结果分析及结论]（对实验结果进行定量分析、合理性分析或误差分析；对所讨论的问题重新认识或提出相关类似问题的拓延；给出自己的意见和合理建议。
）
得出的分形图伸张程度和倾斜程度都可以由原先做出的角度控制，改变圆上的角度的大小就可以改变树的弯曲倾斜程度，改变三层基层线段的粗细和颜色可以让分形图更形象，分形图的迭代情况有参数n控制，改变n值增加迭代次数，让树的枝丫伸展使得分形图更多彩。
也可以改变生成元的构成，可以在基层增加枝干，进行深层迭代后得出不同形象的分形图。
[求解方法或解题步骤]（针对所建模型或解题思路，给出具体的求解方法或解题步骤。
对通过编程解决的问题，画出流程图，给出细节部分的算法，给出相关软件的代码；其他方法解决的，给出详细的解题步骤。
）
1.对分形图枝干角度由圆上的标志角度控制，为能更好地控制分形图的角度伸张，在编辑菜单中选择参数选项，将度改为方向度，精确度改为十万分之一。
2.对分形图角度伸张的控制的问题解决，做线段AB，圆D和圆G，分别在两个圆上度量角CDE和角FGH,以B点为中心，将线段AB和端点A以已度量的两个角度旋转得到两条线段，对新的两条线段进行三分之二缩放得到线段BO和BP；另做圆J和圆M,在两圆上度量角度IJK和角度LMN，将线段BO和BP按标志角度IJK和LMN旋转得到新的两条线段，进行二分之一的缩放得到线段OQ和PR.
3.调整好角度使生成元比例合适，对线段BO和BP粗细设计为细线，颜色为深绿；对线段OQ和PR粗细设计为极细，颜色为浅绿。
新建参数n=1，同时选取参数n和AB两点选择变换深度迭代，A--B,B--P,相继增加新的迭代，对应关系为A--B,P,O;B--O,B,R,迭代后将n的值改为5,即可得出以上的实验结果。
分形图的绘制完成。