高等数学换元法
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# 高等数学换元法PPT课件大纲
引言
换元法是一种在高等数学中常用的求解方法，它通过引入一个新的变量来简 化问题的求解过程。 我们将学习为什么需要换元法以及它在实际问题中的应用。
基本概念
函数
了解什么是函数及其性质，是掌握换元法 的基础。
复合函数
学习如何构造和计算复合函数，为换元法 提供更多的方法。
应用换元法解决有理函数的 复合函数问题。
常见的换元方法
1 常见的换元方法介绍
2 第一类换元法：代换法
了解常用的换元方法及其适用范围，为 问题求解提供更多的思路。
介绍使用代换法进行问题求解的具体步 骤和技巧。
3 第二类换元法：三角函数换元法 4 第三类换元法：指数函数换元法
探索利用三角函数进行变量替换的换元 方法，提高求解的便利性。
学习如何利用指数函数进行变量替换， 解决涉及指数函数的问题。
实例演示
实例1
实例2
实例3
$y = rac{sqrt[3]{x-1}}{(x-1)^2}$ $y = rac{2x-1}{sqrt{x^2+x+1}}$ $y = sqrt{ rac{1-x}{1+x}}$
小结ห้องสมุดไป่ตู้
通过本课程，我们学习了高等数学换元法的基本概念、常见的换元方法以及其在实例中的应用。 希望你对换元法有了更深入的了解，并可以在实际问题中应用这一求解方法。
变量
认识变量的含义和作用，为后续的复合函 数和反函数打下基础。
反函数
研究反函数的特性和性质，掌握反函数换 元法的应用技巧。
高数求积分方法总结
高数求积分方法总结高等数学求积分(Integration)方法总结1、换元法(Substitution Method)换元法是指计算积分时，根据被积函数和被积的变量的关系，将被积的变量由一个变量改变成另一个变量，以便转换待积函数的形式，使得函数变得更加简单，进而求解积分。
2、积分变形法(Integration Transformation Method)积分变形法就是在求解积分时先对被积函数做变形，通过将积分中的被积函数分解成多个部分，并对这些部分分别做不同的变换，使用不同的积分公式或积分变换公式，从而得出积分的解。
3、分部积分法(Partial Integration Method)分部积分法也称作展开积分法，它是将多项式的积分运算定义为求取多个式子的和，通过重项定理可以将多项式的积分分解成更简单的积分运算。
5、解析法(Analytic Function Method)解析法指的是将待积函数转换为某种常用标准函数，并应用相应积分公式进行求解积分，这可以有效地将复杂的函数形式转换成简单的函数形式，大大简化计算积分的求解工作。
6、复合分部积分法(Multiple Partial Integration)复合分部积分法是指在进行积分计算时，对被积函数进行分部展开，但是分部展开的函数又包含不同的其他多项式，这时可以就每一部分函数单独进行求积分处理，直至将所有部分积分完成，最后将积分结果求和，获得最终的积分解析结果。
7、级数法(Series Method)级数法是指将被积函数按级数的形式表达出来以后，把积分转换成求和公式，然后将每一层级按照一定的几何级数关系依次求解，最后将所求的积分求和而得出解析函数的积分表达。
8、蒙特卡洛算法(Monte Carlo Method)蒙特卡洛算法是采用抽样统计的方法来求解待积函数的积分，它可以将复杂的积分转换成随机变量的抽样统计，当抽样次数足够多时，便可以获得较为准确的积分值。
高等数学(大农类)4.2换元法
解:
∴ 原式 =
常用的几种配元形式:
万能凑幂法
例6. 求
解: 原式 =
例7. 求
解: 原式 =
例8. 求
解: 原式 =
例9. 求
解法1
解法2
两法结果一样
例10. 求
解法1
解法 2
同样可证
或
(P123 例2(5) )
例11. 求
解: 原式 =
例12 . 求
解:
令
解: 原式
(P130 公式 (17) )
例20. 求
例21. 求
解:
(P130 公式 (20) )
例22. 求
解: 原式 =
(P130 公式 (19) )
例23. 求
解: 原式
(P130 公式 (19) )
例24. 求
解: 令
得
原式
例25. 求
解: 原式
令
例16
例26.
求Байду номын сангаас定积分
2. 求
提示:
法1
法2
法3
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
难求
易求
若所求积分
易求,
则得第二类换元积分法 .
难求，
定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 ,
证:
令
则
则有换元公式
例16. 求
解: 令
则
∴ 原式
例17. 求
解: 令
则
∴ 原式
例18. 求
解:
令
则
∴ 原式
令
于是
说明:
解：
令
高等数学-4_2换元法
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨换元法是高等数学中的一种重要的解题方法，广泛应用于微积分、积分学等领域。
通过适当的变换，可以将复杂的积分问题转化为简单的形式，使问题更易于解决。
本文将探讨高等数学中换元法的教学方法和注意事项，帮助学生更好地理解和运用这一解题方法。
换元法的教学内容应包括基本概念和基本方法。
换元法的核心思想是通过变量的替换，改变被积函数的形式，使之更方便进行积分。
教学内容可以从简单的一元函数开始，引导学生理解变量代换的意义和作用，进而介绍二元函数和多元函数的换元法。
教学方法可以通过具体的例子和图形解释，帮助学生理解换元法的基本原理和步骤。
换元法的教学过程应注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
换元法的应用需要学生具备一定的数学分析和推理能力，能够分析问题、找到解决问题的方法和途径。
在教学过程中，可以引导学生进行问题分析和推理，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
给学生提供一个较复杂的积分问题，要求他们分析问题的特点和难点，找到合适的变量代换，并运用相应的换元方法进行求解。
换元法的教学应注重实际应用的训练和综合能力的培养。
换元法不仅仅是一种技术性的解题方法，还可以应用于实际问题的求解。
在教学过程中，可以通过一些实际应用问题的训练，培养学生将数学理论与实际问题相结合的能力。
引导学生通过利用换元法分析和解决实际问题，如求曲线与坐标轴所围成的面积，计算杯子中液体的体积等，帮助学生理解和掌握换元法的实际应用。
换元法的教学中需要注意的是引导学生理解和掌握换元法的思想和原则，而不仅仅是记忆和机械运用公式和方法。
换元法的应用需要学生具备一定的数学分析和推理能力，能够灵活运用所学的知识解决实际问题。
教师应引导学生通过大量的练习和思考，培养他们的分析和推理能力，帮助学生理解和掌握换元法的思想和原则。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨引言换元法是高等数学中比较重要的一个概念，在求解一些较为复杂的积分时，起到了非常重要的作用。
然而，对于初学者来说，换元法并不是一件容易掌握的事情。
在教学中如何更好地让学生理解和掌握换元法，是每一位高等数学教师必须面对的问题。
本文将从以下几方面探讨高等数学中换元法的教学方法。
一、基本概念的讲解在教学中，首先应该从基本概念讲起，即什么是换元法，为什么使用换元法可以求出积分。
可以结合图例进行讲解，让学生通过图像感性理解换元法的原理，进而掌握其思想。
二、例题的讲解与分析在讲解基本概念后，需要配合一些例题进行讲解和分析。
在例题的选择上，要注意难度逐渐递增，避免一开始就使用过于复杂的例题，造成学生的挫败感。
同时，通过对例题的分析和讲解，可以帮助学生更好地掌握换元法的应用技巧和方法。
三、引导学生探究在掌握了基本概念和应用技巧后，可以引导学生探究一些新的问题，如何判断某个积分中是否需要使用换元法？如果选择的换元方法不正确，会对结果造成怎样的影响？可以通过一些综合性的例题进行引导，激发学生的独立思考能力和问题解决能力。
四、拓展应用与归纳总结在完成了一系列的教学任务后，可以引导学生拓展换元法的应用范围，并给予充分的练习和实践机会。
同时，通过对换元法的归纳总结，可以让学生更好地理解其内在的规律和思想，从而提高其整体的学习效果。
思考与展望总的来说，换元法是高等数学中比较重要的一个概念，其教学方法也需采用灵活多样的方式，从基本概念、例题讲解、问题探究、拓展应用等多方面展开。
除此之外，还可以采用一些生动有趣的小技巧和案例，激发学生的兴趣和积极性，让他们自主学习和探索，实现真正的知识共享和问题解决。
希望能够借此机会，共同探讨高等数学中换元法的教学策略，推动数学教育的创新和发展。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨一、换元法的基本概念换元法是指将一个变量替换成一个表达式，从而使原有的方程式变形成一个更加容易求解的方程的方法。
通常情况下，采用换元法前后的未知量并不相同，因此可以通过选择合适的代换量，以便将方程转化成最简单的形式。
二、换元法的一般步骤（1）化简原方程，以便找到需要代换的变量。
（2）找到一个代换变量，将原方程中的变量全部替换为代换变量，并将原方程转化成带有新变量的方程。
（3）求解新方程，得到新变量的值。
（4）将新变量的值代入代换变量，得到原变量的值。
三、实际教学中如何进行换元法的解题（1）帮助学生掌握常见的代换方法对于换元法的教学来说，了解常见的代换方法是非常重要的。
例如，对于二次方程，可以通过配方法将其转化为完全平方数形式，从而进行方便的变量替换。
而对于三次方程，可以使用Tartaglia公式求解，从而将不易求解的三次方程转化为容易求解的算式形式。
（2）引导学生选择合适的替代变量不同的代换变量可能会导致不同的转换结果，因此在实际解题中需要根据题目的要求来选择合适的替代变量。
例如，某些题目需要进行逆变换，这时选择正弦或余弦的比值作为代换变量可能会更加适合。
（3）注重解题过程中的物理意义在高等数学的教学中，注重解题过程中的物理意义能够帮助学生更好地理解本质。
例如，在物理问题中，可能需要使用对数或指数来描述问题，在解题过程中注重对数或指数的物理含义可以更好地理解问题以及求解过程。
四、结束语在高等数学的教学中，换元法是重要的解题方法之一，不仅能够帮助学生更好地理解数学知识，并且可以帮助学生更好地掌握解题思路。
因此，在高等数学的教学中，教师需要注重引导学生掌握常见的代换方法，引导学生选择合适的替代变量，并注重解题过程中的物理意义，从而帮助学生更好地掌握这一重要的解题方法。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨换元法是高等数学中一种基本的解法方法，可以运用于微积分、线性代数等多个领域的问题解决。
本文就对高等数学中换元法的教学进行探讨，旨在让学生对换元法有更深入的理解与掌握。
一、换元法的基本概念换元法就是将一个或多个自变量用一个或多个新变量来代替，以便简化问题进一步求解。
在微积分中，通常情况下都是将一些复杂表达式中的函数用类似于反函数之类的方法进行换元化简，使其变成可进行进一步处理的形式。
例如，可以使用$x^2=\sin t$将$\sqrt{1-x^2}$转化为$\cos t$，方便进行计算。
换元法的一般步骤包括确定新变量、确定旧变量与新变量之间的关系、求解新方程、将得到的结果通过新旧变量之间的关系回代到原方程中。
其中，确定新变量的关键是要找到能够化简问题的合适变量。
以求解微积分中的曲线积分为例，根据问题不同，我们可以使用极坐标、参数方程等不同的变量来实现化简。
确定旧变量与新变量之间的关系，通常需要根据题目的要求，采用特定的变量替换方法。
有的换元法遇到的变量替换可能较复杂，学生可借助画图来理解和记忆。
例如常常遇到的三角换元法。
三、典型例题具体来看，下面结合具体的例子，进行探讨。
例1. 求$\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{1-x^2}}$解: 可以使用反三角函数中的$\arcsin$关系进行换元，设$x=\sin t$，则$\mathrm{d}x = \cos t\mathrm{d}t$，原式变为$\int\frac{\cost\mathrm{d}t}{\sin^2t\cos t} = \int\frac{\mathrm{d}t}{\sin t} =\ln|\tan\frac{t}{2}|+C$。
通过将$t$换回$x$来得到最终的答案，记得当$x$在区间$(-1,1)$之外时需加符号来保证得到的结果为正值，答案为$\ln\left|\frac{1}{x}+\sqrt{1-x^2}\right|+C$。
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1 dx dx ∴ 原式 = 2a x a xa
d( x a ) 1 d( x a ) xa 2a x a
1 ln x a ln x a 2a
1 xa C C ln 2a x a
dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 x x x d ( 1 e ) (1 e ) e dx d x x 1 ex 1 e x x ln(1 e ) C
解法2
e x d(1 e x ) dx x x 1 e 1 e ln(1 e x ) C
(直接配元)
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例4. 求 解:
sin x dcos x cos xdx cos x
类似
cos x dx d sin x sin x sin x
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例5. 求 解:
1 ( x a) ( x a) 1 1 1 1 ( ) 2 2 2a ( x a)( x a ) 2a x a x a x a
或
x ln tan C 2
(P196 例16 )
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例11. 求
x3 (x2 a2 )
3 2
dx .
1 1 (x2 a2 ) a2 2 x 2 dx 2 dx 解: 原式 = 3 3 2 ( x2 a2 ) 2 2 (x2 a 2 ) 2 1 2 2 2 2 12 ( x a ) d( x a ) 2 a2 2 2 2 2 3 2 d ( x a ) (x a ) 2
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F (u ) f (u ) , 可导, 则有
dF [ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx F [ ( x)] C F (u ) C
f (u )du
u ( x )
1 u2
想到公式 du
arctan u C
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例3. 求
解:
a
dx
x)2 1 (a
x) d (a x )2 1 (a
想到
du 1 u2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
f ( ( x))d ( x)
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f (sin x)cos xdx f (cos x)sin xdx
dsin x dcos x
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(6) (7 )
(8)
x x f ( e )e dx
1 f (ln x) dx x
f (tan x)sec 2 xdx
dtan x
f ( x) f ( x) d( ) f ( x) f ( x)
1 f ( x) 2 C 2 f ( x)
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小结 常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项;
1 sin 2 x cos 2 x 等 (2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
1 (t (C t )] )d t( tx) t [ft[] 1 ( x )
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例16. 求
), , 解: 令 x a sin t , t ( 2 2 则
a 2 x 2 dx (a 0) .
a x a a sin t a cos t dx a cos t d t
dx dx ( 2) (1) 4 x 4 x2 2 x d ( 4 x ) 1 (3) d x 2 2 4 x 4 x2 x2 (4) d x 4 x2 dx 1 1 (5) 2 2 x 2 x 4 x dx (6) 4x x2
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例14. 求
解: 原式=
ex
ex
1 1 x ( x ) d( x e ) x x e 1 x e
ln x e x ln 1 x e x C x ln x ln 1 x e x C
1 1 xe x xe x 分析: x x xe (1 xe ) xe x (1 xe x )
f [ ( x)] ( x)dx 易求,
则得第二类换元积分法 .
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定理2 . 设
是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1 ( x) 是 x (t ) 的反函数 .
证: 设 f [ (t )] (t ) 的原函数为 (t ) , 令
2
x a
2
2
ln
x2 a2 x
C 1 a
(C C1 ln a)
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t a
x
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例18. 求
则 解: 当x a 时, 令 x a sec t , t ( 0 , ) , 2
则
(t ) f [ (t )] (t ) F ( x) [ 1 ( x) ] d dt 1 F ( x) f [ (t )] (t ) f ( x) d t dx (t ) f ( x) dx F ( x) C [ 1 ( x)] C
x x x
ln(1 e ) ln[e (e 1)] 两法结果一样
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例10. 求 解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x 1 1 1 d sin x 2 1 sin x 1 sin x 1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
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一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
公式
f (u )du
即
u ( x)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
∴原式 =
1 (1 cos 8 x) 8
1 4
(1 cos 4 x) sin 2 2 x cos 2 x 1 8
1 cos 8 x d(8 x ) d x 64 2 1 cos 4 x d( 4 x ) 1 sin 2 x d (sin 2 x ) 2 32
( x 1)e dx xe dx e dx
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x
x
x
例15. 求 解: 原式
f ( x) f ( x) f ( x) 1 f ( x) f 2 ( x)
dx
f ( x) f 2 ( x) f ( x) f ( x) dx 2 f ( x) f ( x)
de
x
dln x
例6. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
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例7. 求
e3
x
x
dx .
3 x
x
解: 原式 = 2 e
2 3 e 3
2 3 x d x e d(3 x ) 3 C
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a t
x
例17. 求
), , 解: 令 x a tan t , t ( 则 2 2
x 2 a 2 a 2 tan 2 t a 2 a sec t
dx a sec t d t a sec2 t d t sec t d t ∴ 原式 a sec t ln sec t tan t C1
万能凑幂法
n 1 1 f (xn ) 1 d xn f (x ) x dx n x
n
n n f ( x ) d x f ( x n )x n 1 dx 1 n
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
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思考与练习
1. 下列各题求积方法有何不同?
2
2
2
2
2
2 2 a cos a cos t a cos t d t ∴ 原式 t d t a2 x2 2 t sin 2t C a 2 4 x a2 x2 sin 2t 2 sin t cos t 2 a a x 1 a2 arcsin x a 2 x 2 C 2 a 2
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常用的几种配元形式:
1 (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 (2) f ( x )x dx n 1 n 1 (3) f (x ) dx n x
d(a x b)
dx
n
1 n d x xn