高中数学 换元法(附答案)
高中数学解题基本方法 换元法
高中数学解题基本方法--换元法高中数学解题基本方法--换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t 0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x＋y＝r（r 0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t 0和α∈[0,]。
Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx??cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设 f x＋1 ＝log 4－x （a 1），则 f x 的值域是_______________。
换元法专题含答案
的斜率为 ， 是坐标原点． （1）求 的方程； （2）设过点 的直线 与 相交于 ， 两点，当
的面积最大时，求直线 的方程．
14. 已知椭圆 t
t 的离心率为 ，左焦点 到点 区 的距离为 t．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ， ，则
内切圆的面积是否存
在最大值?若存在，求出这个最大值及此时直线 的方程；若不存在，请说明理由．
t
区． t
在 t区 t 上恒成立，
即：
t
t 在 t区 t 上恒成立，令
，则
log ．
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t
t
t
t
t
在
区t 时恒成立，所以
t
因为 t，所以 t
，所以 t
所以 t
，
t
，
min
，
所以
，
t min
所以
．
5. （1） 因为
，
所以 sin sin⸷，
16. 已知椭圆 ㌱： t
t 的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为 的正方形．
（1）求椭圆 ㌱ 的方程；
（2）过点 区t 的直线 与椭圆 ㌱ 相交于 ，⸷ 两点，且点
别为 ， ，当
取最大值时，求直线 的方程．
区 ，记直线 ， ⸷ 的斜率分
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（1）求椭圆 ㌱ 的方程； （2）设过点 的动直线 与椭圆 ㌱ 相交于 ， 两点，当
程．
的面积最大时，求直线 的方
29. 已知函数 （1）若函数 （2）若
高中换元法专题(有答案)
高中换元法专题(有答案)通过换元法可以把未知问题化为已知问题，把抽象问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过换元可以清楚的认识问题的实质，迅速寻找和选择解决问题的途径的方法. 根据数式的特点常见的换元法有：（1）整体换元；（2）平均数换元法；（3）比值换元法；（4）三角代换法；（5）不等量换元法；（6）根式换元法；（7）倒数换元法；（8）相反数换元法；（9）坐标换元法等等.一、整体换元例1：求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值.练习1. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx ＋cosx)－sinx ·cosx －2a 2的最大值和最小值。
练习2. 设对所于有实数x ，不等式x 2log 241()a a +＋2x log 221a a +＋log 2()a a +1422>0恒成立，求a 的取值范围。
例2.已知01x <<,,a b 为正常数,求221a b y x x=+-的最小值.练习1. 已知a b c >>,求证:114a b b c a c+≥---.练习2. 求函数28(1)1x y x x +=≠-的值域.二、三角换元例3：求函数25x x y -+=的值域.三、平均数换元法例4：已知正数1125,1,:()().4x•y x y x y x y +=++≥满足求证练习3． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B ，1cos A ＋1cos C ＝－2cos B ，求cos A C -2的值。
四、比值换元例5：已知sin θx ＝cos θy ，且cos 22θx ＋sin 22θy ＝10322()x y + (②式)，求x y 的值。
练习4.已知x ，y ，z 满足x -1=3221-=+z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最小值？五、根式换元例6：求函数y =2x +x 21-的值域.六、巩固性题组：1. 已知f(x 3)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。
高中数学 双变量不含参不等式证明方法之换元法(教师版)
nm
mnm
mnm
令 n ＝x，构造函数 m
g(x)＝ln
x－1＋x(x≥1)，则 x
g′(x)＝1x＋x12＋1．
因为 x∈[1，＋∞)，所以 g′(x)＝1x＋x12＋1＞0，故 g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
n
由已知 n＞m＞0，得 n ＞1，所以 g m ＞g(1)＝0，即证得 ln n －m＋ n ＞0 成立，所以命题得证．
ln a－ln b
ln a－ln b 2
总结提升
两个正数
a
和b
的对数平均定义：
L(a,
b)
a
ln a
b ln b
(a
b),
a(a b).
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： ab L(a, b) a b （此式记为对数平均不等式） 2
取等条件：当且仅当 a b 时，等号成立．
[例 3] 已知 f (x) ln x, g(x) f (x) ax2 bx ，其中 g(x) 图像在 (1, g(1)) 处的切线平行于 x 轴．
t 1 t 1
∴ g(t) 在 (1, ) 上是减函数，所以 g(t) g(1) 0 ．
∴
t
ln
2t 1
t
ln
1
2
t
t
1 得证．所以 kAB
f
( x1
x2 ) 成立． 2
总结提升
(1)本题考验不等式的变形，对于不等式 x2 ln
2 x2 x1 x2
x1 ln
2 x1 x1 x2
x2
∴ f (x) 的单调增区间是 (1 , ) ，单调减区间是 (0, 1) ，
e
e
f x 的极小值为 f (1) 1 ln 1 1 ，无极大值．
高考数学解题方法-换元法-含答案
知识点练习一、填空题1. 求函数的解析式：（1）已知，则．（2）已知，则．2. 设实数，，，满足，则的取值范围是．3. 已知函数，则的解析式为．4. 若函数，则的解析式为．5. 函数满足，则．6. 函数的值域是．7. 已知，则．8. 若，则的解析式为．9. 方程的解是．10. 对于问题："已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式 "，给出如下一种解法：参解：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为．参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为．11. 设，则函数的值域是．12. 为正实数，且，则的最大值为．13. 函数，其中，则其值域为．14. 已知的三边长，，满足，，则的取值范围为．15. 如图，矩形中，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为．16. 正方形的四个顶点分别是、、、，点在正方形内，且点到各边的距离的平方和为，并与直线的距离最短，则点坐标是．17. 在三角形中，，，，点，分别在边，上，且，则的最大值为．18. 已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为．19. 已知，，满足则的最大值为．20. 已知正数满足：，，则的取值范围是．二、解答题21. 已知，则．已知，则．22. 求下列函数的值域(1) ；(2)23. 求函数的最小值．24. 函数，求在上的最小值．25. 若有最大值和最小值，求实数，的值．26. 学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤烧开水每吨开水费为元，用电炉烧开水每吨开水费为元，，．其中为毎吨煤的价格，为每百度电的价格，如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则仍用原备的锅炉使用煤炭烧水，否则就用电炉烧水．(1)如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数；(2)如果每百度电价不低于元，则用煤烧水时每吨煤的最高价是多少？27. 已知点是圆上任意一点．(1)求点到直线的距离的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值．28. 已知函数有且仅有一个零点，求的取值范围，并求出该零点．29. 已知，求．30. 若函数且在上的最大值为，求的值．31. 已知实数满足，求的最小值．32. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)直线过点且与椭圆相交于、两点，当面积取得最大值时，求直线的方程．33. 一动圆与圆：外切，与圆：内切．(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)设过圆心的直线：与轨迹相交于，两点，请问（为圆的圆心）的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由．34. 函数，．(1)若，求的最大值；(2)设时，若对任意，都有恒成立，且的最大值为，求的表达式．35. 已知椭圆的焦点坐标为，，过垂直于长轴的直线交椭圆于，两点，且，(1)求椭圆的方程；(2)过的直线与椭圆交于不同的两点，，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．36. 知函数，实数，满足，设，．(1)当函数的定义域为时，求的值域；(2)求函数关系式，并求函数的定义域；(3)求的取值范围．37. 已知，，且，求证：．38. 已知函数的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数的一个解析式；(2)根据（1）的结果，若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．39. 已知函数在处取得极值．(1)求的值；(2)当时，求证：．40. 已知椭圆，过作互相垂直的两直线，，分别与椭圆交于，两点．(1)若直线经过点，求线段的长；(2)求面积的最大值．答案第一部分1 （1）；（2）234567891011121314151617181920第二部分21 ；22 (1) 设，则，且．于是．由，得的值域为．(2) 令，则，．所以．因为，所以．所以原函数的值域为．23 设，所以因为当时，函数递增，所以，函数的最小值为24 令，则．，，，即在上的最小值为．25 ．令，，则，的对称轴为．①当时，函数在为减函数，，，解得：，．②当时，函数在为增函数，，，，．③当时，．（i）当时，．解得：，与矛盾；（ii）当时，．解得：，与矛盾．综合上述：，或，．26 (1) 依题意，得，即．(2) 由，得．不妨令，则，则．因为，所以，即．所以当时，，此时．答：每吨煤的最高价为元．27 (1) 圆心到直线的距离为．所以点到直线的距离的最大值为，最小值为．(2) 设，则直线与圆有公共点．所以．所以．所以，．即的最大值为．最小值为．(3) 设，则直线与圆有公共点，所以．所以．所以，．即的最大值为，最小值为．28 因为有且仅有一个零点，所以方程仅有一个实根．设，则方程仅有一个正根．当时，即，当时，；时，（不合题意，舍去），所以，解得，符合题意．当时，即或时，方程有两正或两负根，即有两个零点或没有零点，此时不适合题意．综上，时，有唯一零点，且该零点为．29 设，则，所以所以30 令，则，该二次函数在上是增函数．①若，，故当时，，解得（舍去）．②若，，故当时，．所以或（舍去）．综上可得或．31 可将改写为，令，可得，，，则．因为，所以，当时，，所以的最小值为．32 (1) 设椭圆的方程为（）．由题意，得所以所求椭圆的方程为．(2) 由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．由消去，得．由直线与椭圆相交于两点，得，解得．设，，则，．原点 到直线 的距离为 ．所以．令 ，则． 当且仅当，即 时，． 此时从而直线 的方程为．33 (1) 设动圆圆心为 ，半径为 ．由题意，得 ， ， 所以 ．由椭圆定义知 在以 ， 为焦点的椭圆上，且 ， ， 所以 ． 于是动圆圆心 的轨迹 的方程为．(2)如图，设 内切圆 的半径为 ，与直线 的切点为 ，则三角形 的面积当 最大时， 也最大， 内切圆的面积也最大． 设 ， ，则．由得 ， 解得，．所以．令 ，则，且 ，从而．令，则．当时，，在上单调递增，则有，从而，即当，时，有最大值，即得，这时所求内切圆的面积为，所以存在直线：，的内切圆的面积最大值为．34 (1) 令，，则，所以等价于求，的最大值．因为，的图象的对称轴为，结合函数图象可知故的最大值为．(2) 令，则，由恒成立可得，，．因为，所以，而，所以，即，所以．又时，，所以，结合可知二次函数的图象的顶点坐标为，所以，，所以．35 (1) 设椭圆方程为，由焦点坐标可得．由，可得，解得故椭圆方程为．(2) 设，，设的内切圆的径，则的周长为，．因此最大，就最大．由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由得，得则令，则，则当且仅当，时，，所以，这时所求内切圆面积的最大值为．36 (1) 若，令，在上为增函数，，，所以的值域为．(2) 实数，满足，则则，而，，所以，．由题意，，则，所以．又，即，所以，当且仅当时取等号．综上所述，的定义域为．(3)令，，在上恒成立，所以在上单调递增．又，，所以，所以．37 ，可设，则，，又，且，而指数函数是减函数，所以，即注：式“ ”当，时成立．同理，并结合式，得（当且仅当或时取“ ”）38 (1) 的最小正周期为，由，得．又由解得由，即，解得，所以．(2) 由的周期为及，得．令，由，得．如图所示，若在上有两个不同的解，则，所以方程当时恰好有两个不同的解，则，因此，实数的取值范围是．39 (1) 由已知，得．由在处取得极值，得，即，解得．经验证，得适合题意．(2) 由（1）知，．令，则．令，则．令，则．当时，，则函数在上为增函数；当时，，则函数在上为减函数，所以，即对任意，恒成立，即．由，得当时，由得．当时，以代换式中的，得．当时，，由得，，所以，从而函数在上为增函数，于是，当时，，即当时，．再由，得，则函数在上为增函数，所以当时，，即当时，，因此．40 (1) 不妨设的方程为，则的方程为．由得，从而．同理可得．直线的斜率为．由点斜式，得的方程为，即，从而直线过定点．又因为直线过，所以直线的方程为．由得．由弦长公式，得(2) 由（1），得，．由弦长公式，得于是令，则当且仅当时，面积的最大值为．。
高中数学解题方法梯度训练(2)换元法
换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2]。
一、再现性题组：1.y＝sinx²cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
《解一元二次方程—换元法》典型例题解析与同步训练(后附答案)
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，
解得x=3或x=6；
（4）化简得：（x﹣1﹣2）（x﹣1﹣3）=0
即（x﹣3）（x﹣4）=0
解得x=3或x=4．
例4．阅读下面材料：解答问题
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后设x2﹣1=y，那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=± ；当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=± ，故原方程的解为x1= ，x2=﹣ ，x3= ，x4=﹣ ．
2.2.5《解一元二次方程—换元法》典型例题解析与同步训练
【知识要点】
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
解得y1=6，y2=﹣2（4分）
当y=6时，x2﹣x=6即x2﹣x﹣6=0
∴x1=3，x2=﹣2（6分）
当y=﹣2时，x2﹣x=﹣2即x2﹣x+2=0
∵△=（﹣1）2﹣4×1×2＜0
∴方程无实数解（8分）
∴原方程的解为：x1=3，x2=﹣2．（9分）
例5．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
（2）先移项，然后把x2﹣9因式分解为（x+3）（x﹣3），然后再提取公因式，因式分解即可．
（3）先移项，然后用提取公因式法对左边进行因式分解即可．
高考数学解题之换元法
换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。
Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x 2＋1)＝log a (4－x 4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
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二、换元法（课时10）
一、知识提要
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，
这叫换元法.
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.
二、例题讲解
例1．（1）已知：x x
f l
g )12
(
=+，求)(x f . （2）设实数x 、y 满足0122
=-+xy x ，则y x +的取值范围是_________. （3）方程2)22
(log )12(log 1
22=+⋅++x x
的解集是______________.
解：（1）)1)(1lg(2lg )(>--=x x x f ；
（2）设k y x =+，则1044,0122
2≥⇒≥-=∆=+-k k kx x 或1-≤k ； （3）令)12(log 2+x
=t ，可得原方程的解集为}0{.
例2．（1）函数2
23
)
1(x x x y +-=的值域是_____________. (2)已知：数列}{n a 的11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S .求}{n a 的通项公式.
解：（1）令θtan =x ，)2,2(π
πθ-∈，则θθθθθθsin )tan 1(cos )
tan 1(tan tan 2
32
23-=+-=y θθθθθθθθ4sin 412cos cos sin )sin (cos sin cos 22=
⋅=-=， ∴]4
1
,41[-∈y . （2）由241+=+n n a S ，知)2(241≥+=-n a S n n ，
∴)2)((411≥-=--+n a a S S n n n n ，即)2)((411≥-=-+n a a a n n n
∴)2)(2(2211≥-=--+n a a a a n n n n ，令n n n a a b 21-=+，则)2(21≥=-n b b n n
∵11=a ，52=a ，∴31=b ，1
23-⨯=n n b ，即n n n a a 22311+⨯=-+.
两边除以12+n 得：
432211=-++n n n n a a ，令n
n n a c 2=，则有43
1=-+n
n c c ， ∴)13(41-=
n c n ，代入n
n n a c 2
=得： 2
2)13(-⋅-=n n n a . 例3．实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求
m ax
1s ＋
m in
1s 的值.（93年全国高中数学联赛题）
方法1：设⎪⎩⎪⎨⎧==α
α
sin cos s y s x 代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5
解得 S ＝
α
2sin 5810
- ；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴
1013≤1085-sin α≤103
∴
m ax
1s ＋
m in
1s ＝
310＋1310＝1610＝8
5
方法2：由S ＝x 2
＋y 2
，设x 2
＝
2s ＋t ，y 2
＝2
s －t ，t ∈[－S 2，S 2]，
则2
24t s xy －±=代入①式得：4S ±5224
t s －=5， 移项平方整理得 100t 2
+39S 2
－160S ＋100＝0 .
∴ 39S 2
－160S ＋100≤0 解得：
1013≤S ≤10
3
∴
m ax
1s ＋
m in
1s ＝
310＋1310＝1610＝8
5
方法3：（和差换元法）设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，代入①式整理得3a 2＋13b 2＝5 ，求得a 2∈[0,
53]，所以S ＝(a －b)2＋(a ＋b)2＝2(a 2＋b 2)＝1013＋2013a 2∈[1013,10
3]，再求
m ax
1s ＋
m in
1
s 的值.
三、同步练习
1．x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值是__
1
2
＋2___. 2．已知数列}{n a 中，n n n n a a a a a -=⋅-=++111,1a 1＝－1，则数列通项n a ＝_____
n
1
____. 3．已知x 2＋4y 2
＝4x ，则x ＋y 的范围是_____]25,25[---______.
4．设等差数列}{n a 的公差2
1=d ，且145100=s ，则99531a a a a ++++ 的值为（C ）
A. 85
B. 72.5
C. 60
D. 52.5
5．已知0,0≥≥b a ，1=+b a ，则a +12
＋b +12
的范围是__]2,2
2
6[
+__. 6．函数12++=x x y 的值域是_____),2[+∞-_____.
7．已知正四棱锥ABCD S -的侧面与底面所成的角为β，相邻两侧面所成的角为α 求βα2
cos cos +的值.
解答：0
8．如图，已知椭圆19
25:
2
2=+y x C ，圆∈=+P y x O ,4:22椭圆C 而PA 、PB 是圆O 任意切线，A 、B 为切点.
（1）求AB 中点M 的轨迹方程；
（2）设AB 所在直线交x 轴于C ，交y 轴与D ，求COD S ∆的最小值.
解：（1）)(225)169(162
2
2
2
y x y x +=+；
（2）15
16)(min
=∆COD S .
x。