排队论(Queueing Theory)

M/D/1
服务时间不变的服务系统.
D/M/1
确定性到达模式, 及指数分布服务时间. 例如：医生赴约治病的 时间表.
M/E k/1 ♂
服务服从 Erlang 分布. 例如：用相同平均时间去完成一些程序。
排队论课件
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结束语
排队论是专门研究带有随机因素，产生 拥挤现象的优化理论。也称为随机服务 系统。 排队论应用十分广泛。
0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM 26 28 30 32 34 36 38 40
♂
Probability
排队论课件
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其他模型
M/M/c/K/K
顾客来源是有限的服务系统. 例如： 一个饭店有 X 张桌子和 Y 个服务生服务来源有限的顾客.
排队论课件 19
M/M/1 举例
M/M/s queuing computations
Arrival rate Service rate Number of servers 5 6 1 83.33% 0.1667 4.1667 5.0000 0.8333 1.0000
Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system
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M/M/1/N/∞ 举例
M/M/s with Finite Queue
Arrival rate 5 Service rate 6 Number of servers 1 Maximum queue length 4 Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system Probability that a customer waits Probability that a customer balks
P(T > t + ∆t / T > ∆t ) = P(T > t )
不管多长时间(∆t)已经过去， 逗留时间的概率分布与下 一个事件独立的指数分布的随机变量的最小有 一个指数分布
U = Min.(T1 , T2 ,..., Tn ) P(U > t ) = e −(α1 +α 2 +...α n )t
c −1 n c −1
(c ρ ) c P0 P∞ = c !(1 − ρ ) ρ P∞ ρ P∞ Lq = , L = cρ + 1− ρ 1− ρ L 1 W = , Wq = W −
λ
µ
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M/M/c 举例
M/M/s queuing computations
Arrival rate Service rate Number of servers 10 6 2 83.33% 0.0909 3.7879 5.4545 0.3788 0.5455 Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system
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排队论（Queueing Theory）
基本模型 M/M/1 模型 M/M/c 模型 其他模型 结束语
♂ ※
排队论课件 2
基本的排队模型
基本组成 概念与记号 指数分布和生灭过程
♂
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基本组成
排队系统 输入 来源 顾客 队列 服务机构 服务完离开
排队系统的三个基本组成部分. •输入过程 (顾客按照怎样的规律到达); •排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务); ♂ •服务机构 (服务机构的设置,服务台的数量,服务的 方式,服务时间分布等)
排队论课件 4
基本排队模型 － 输入过程
顾客来源
有限/无限
顾客数量
有限 无限
经常性的顾客来源.
顾客到达间隔时间: 到下一个顾客到达的时间. 服从某一概率分布. (指数分布)
顾客的行为假定为:
♂
在未服务之前不会离开; 当看到队列很长的时候离开； 从一个队列移到另一个队列。
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基本排队模型－队列/排队规则
W = Wq +
♂
1
µ
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指数分布
随机变量 T 密度函数
αe−αt fT (t ) = 0 for t ≥ 0
for t < 0
均值 方差 fT(t) α
E (T ) =
1
1 Var (T ) = α
α
2
分布函数
P(T ≤ t ) = 1 − e −αt E (T ) =
几个独立的指数分布的随机 变量的和还是一个指数分数 的随机变量
T1(α1) T1(α2) T1(α3)
T (α1 +α2 +α3)
排队论课件 16
指数分布性质4
指数分布
αe−αt fT (t ) = (t 0 1 E (T ) = for t ≥ 0
for t < 0
Poisson分布
(αt ) n e −αt P( X (t ) = n) = n!
α
E ( X (t )) = αt
服务时间的概率 = t 1/α: 平均服务时间
在t时间内已经服务n个顾客 的概率 平均服务率= α
排队论课件 17
指数分布性质5
P(T ≤ t + ∆t / T > t ) ≈ α∆t for small ∆t
More precisely P(T ≤ t + ∆t / T > t ) =α Lim ∆t ∆t →0
♂
排队论课件 18
M/M/1/∞/∞ 或 M/M/1 模型
一个基本地排列模型. 一个服务台, 到达率 λ 和服务率 µ 都服从指数分布。
λ ρ= µ ρ2 ρ Lq = , L= 1− ρ 1− ρ ρ 1 Wq = , W= µ (1 − ρ ) µ (1 − ρ )
Pn = (1 − ρ ) ρ n
1 λ=µ N +1, Pn = (1 − a )a n ,λ ≠µ 1 − a N +1 N λ=µ 2, L= a 1 − ( N + 1)a N + Na N +1 , λ ≠ µ (1 − a N +1 )(1 − a )
Lq = L − (1 − P0 ), ρ = 1 − P0 W= L 1 , Wq = W − λ (1 − PN ) µ
队列
队列容量
有限/无限
排队规则
先来先服务（FCFS）；后来先服务； 随机服务； 有优先权的服务； ♂
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基本排队模型－服务规则
服务机构
服务设施， 服务渠道与服务台 服务台数量 服务时间分布:
指数, 常数, k级Erlang
♂
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基本排队模型－记号方案
Arrival Queue Server
1/λ = 期望到达间隔时间 1/µ = 期望服务时间 ρ = 服务强度， 或称使用因子, λ/(sµ)
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统计平稳条件下的记号
L 平均队长 Lq 平均等待队长
Wq 平均等待时间
W
平均逗留时间
排队论课件 11
L, W, Lq, Wq
L = λW
Lq = λWq
Little’s formula
♂
Probability
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增加更多服务台 M/M/c
所有服务台是空的概率P0,和所有服务台都在忙的概率 P∞,需要下面比较复杂的公式。
λ ρ= , cµ
(c ρ ) (c ρ ) P0 = ∑ + c !(1 − ρ ) n =0 n !
排队论课件 8
基本排队模型－记号
系统状态 = 排队系统顾客的数量。 N(t) = 在时间 t 排队系统中顾客的数量。
队列长度 = 等待服务的顾客的数量。 Pn(t) = 在时间t,排队系统中恰好有n个顾客的概率。 s = 服务台的数目。
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基本排队模型－统计平稳条件 下的记号
λn = 系统有n个顾客时的平均到达率（单位时间平均到达的顾客人 数即是平均到达率） µn = 系统有n个顾客时的平均到达率 λ µ = 对任何n都是常数的平均到达率. = 对任何n都是常数的平均到达率.
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM 26 28 30 32 34 36 38 40
74.94% 0.2506 1.2294 1.9788 0.2734 0.4401 0.7494 0.1007
顾客到达时间间隔分布/服务时间分布/服务台数目/排队系统 允许的最大顾客容量/顾客总体数量/排队规则 (Kendall 记号) / /