通信网基础-排队论及其应用
排队论
Interesting questions
• Given the system and incoming traffic,what is the quality of service experienced by the user?
• Given the incoming traffic and required quality of service,how should the system be dimensioned?
– quality of service – traffic load – system capacity
华中科技大学电子与信息工程系 赵尔敦
Example
• Telephone call
– – traffic = telephone calls by everybody – – system = telephone network – – quality of service = probability that the phone rings
• Given the system and required quality of service,what is the maximum traffic load?
华中科技大学电子与信息工程系 赵尔敦
General purpose
• Determine relationships between the following three factors:
• Random variable is described by its distribution, e.g.
– – probability that there are n ongoing calls – – probability that there are n packets in the buffer
排队论及其应用
排队系统的符号表述描述符号：①/②/③/④/⑤/⑥各符号的意义：①——表示顾客相继到达间隔时间分布，常用以下符号：M——表示到达的过程为泊松过程或负指数分布；D——表示定长输入；EK——表示K阶爱尔朗分布；G——表示一般相互独立的随机分布。
②——表示效劳时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布一样。
③——表示效劳台(员)个数：“1〞表示单个效劳台，“s〞(s>1)表示多个效劳台。
④——表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量。
如系统有K个等待位子，那么，0<K<∞，当K=0时，说明系统不允许等待，即为损失制。
K=∞时为等待制系统，此时一般∞省略不写。
K为有限整数时，表示为混合制系统。
⑤——表示顾客源限额，分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，一般∞也可省略不写。
⑥——表示效劳规那么，常用以下符号FCFS：表示先到先效劳的排队规那么；LCFS：表示后到先效劳的排队规那么；PR：表示优先权效劳的排队规那么。
二、排队系统的主要数量指标描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有：1．队长和排队长(队列长)队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾客数与正在承受效劳的顾客数之和)；排队长是指系统中正在排队等待效劳的顾客数。
队长和排队长一般都是随机变量。
2．等待时间和逗留时间从顾客到达时刻起到他开场承受效劳止这段时间称为等待时间。
等待时间是个随机变量。
从顾客到达时刻起到他承受效劳完成止这段时间称为逗留时间，也是随机变量。
3. 忙期和闲期忙期是指从顾客到达空闲着的效劳机构起，到效劳机构再次成为空闲止的这段时间，即效劳机构连续忙的时间。
这是个随机变量，是效劳员最为关心的指标，因为它关系到效劳员的效劳强度。
与忙期相对的是闲期,即效劳机构连续保持空闲的时间。
在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。
4．数量指标的常用记号(1)主要数量指标L——平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数的期望值；L q——平均等待队长，即稳态系统任一时刻等待效劳的顾客数的期望值；W——平均逗留时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值；W q——平均等待时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客等待时间的期望值。
排队论的应用
排队论的应用排队是人们日常生活中常见的一种现象，它可以在各个领域中被发现。
排队有时看似简单，但实际上是一个涉及着许多细节和规则的复杂问题。
排队论是研究这种现象的一种数学方法，它可以帮助我们更好地理解和优化排队系统。
排队论的应用广泛而深入，涉及各个方面。
首先，排队论在运输领域得到了广泛应用。
例如，在公共交通系统中，排队论可以帮助优化乘客上下车的流程，减少等待和拥堵时间。
同时，在物流领域，排队论可以协助规划货物的运输路线和时程，提高运输效率。
其次，排队论在服务行业中也有重要的应用。
例如，在银行、医院和餐厅等场所，排队论可以帮助优化客户的等待时间，提高客户满意度。
通过合理安排服务窗口、分配服务资源以及优化服务流程，排队论可以帮助提供更高质量的服务体验。
此外，排队论还在制造业中发挥重要作用。
在生产线上，排队论可以帮助优化机器和工人的调度，提高生产效率。
通过合理调整工作流程、减少等待时间，排队论可以帮助企业提高生产线的整体效益。
不仅如此，排队论还在通信网络中得到了广泛应用。
在互联网时代，人们对于网络服务的需求越来越高，因此如何更好地管理网络流量成为了一个重要的问题。
通过排队论，可以帮助网络运营商合理分配带宽和资源，提高网络的可用性和稳定性。
另外，排队论还在金融行业中发挥着重要作用。
在股票交易所中，随着投资者数量的增加，交易系统的负荷也在不断增加。
排队论可以帮助交易所合理规划交易系统的容量和速度，提高交易效率和可靠性。
总体而言，排队论的应用范围非常广泛，几乎涉及到人们生活的方方面面。
通过排队论，我们可以更好地理解和优化排队系统，提高效率、降低成本。
然而，要注意的是，排队论只是一种方法论，具体的应用需要根据实际情况和需求来进行适当的调整和优化。
希望随着科技的发展和人们对服务质量的要求越来越高，排队论能够在更多领域中得到应用并取得更大的成就。
网络通信的排队等待理论
网络通信的排队等待理论在我们日常生活中，网络通信已经成为了必不可少的一部分。
不论是浏览网页、发送电子邮件，还是在线聊天和视频通话，我们都需要依赖网络进行信息传递。
然而，网络通信也面临着一个普遍存在的问题，那就是排队等待。
在网络通信中，当大量的用户同时发送数据包时，就会出现数据传输的排队等待现象。
这导致了网络的拥塞，降低了数据传输的效率。
为了解决这个问题，学者们发展了一些排队等待理论模型，这些模型可以帮助我们理解和优化网络通信的性能。
一、排队论的基本概念排队论是研究排队系统的数学理论。
在网络通信中，数据包的传输可以看作是一个排队系统，而排队论提供了分析和优化这个系统的方法。
排队论中的基本概念包括以下几个要素：顾客、服务设备和排队规则。
顾客代表数据包或请求，服务设备代表网络传输的资源，排队规则则决定了数据包的排队顺序和等待时间。
二、排队论的主要模型1. M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最为经典的模型之一，它假设到达时间和服务时间都符合泊松分布，且只有一个服务设备。
在M/M/1模型中，我们可以通过计算顾客的平均等待时间和平均逗留时间来评估排队系统的性能。
这对于网络通信来说非常重要，因为我们可以根据这些指标来判断网络的拥塞程度，从而采取相应的优化策略。
2. M/M/c模型M/M/c模型是在M/M/1模型基础上进行扩展得到的，它允许有多个服务设备同时提供服务。
在M/M/c模型中，我们可以计算出系统中平均的顾客数和顾客的平均等待时间。
这些指标可以帮助我们评估多设备网络通信系统的性能，并进行资源的合理分配和负载均衡。
三、排队论在网络通信中的应用排队论的研究成果在网络通信中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 流量调度通过排队论模型，可以确定不同流量的优先级和调度方式，从而合理分配网络资源，提高数据传输的效率和服务质量。
2. 延迟优化排队论提供了衡量网络延迟的指标，可以帮助我们优化网络的传输延迟，提升用户体验。
排队论与在通信领域中的应用
排队论及其在通信领域中的应用信息与通信工程学院2010211112班姓名：李红豆学号：10210367班内序号：26指导老师：史悦一、摘要排队论是为了系统的性态、系统的优化和统计推断.根据资料的合理建立模型.其目的是正确设计和有效运行各个服务系统.使之发挥最佳效益。
排队是一种司空见惯的现象.因此排队论可以用来解决许多现实问题。
利用排队论的知识可以来解决通信服务中的排队论问题。
应用排队论一方面可以有效地解决通信服务系统中信道资源的分配问题；另一方面通过系统优化.找出用户和服务系统两者之间的平衡点.既减少排队等待时间.又不浪费信号资源.从而达到最优设计的完成。
二、关键字排队论、最简单流、排队系统、通信三、引言排队论又称随机服务系统, 主要解决与随机到来、排队服务现象有关的应用问题。
是研究系统由于随机因素的干扰而出现排队(或拥塞) 现象的规律的一门学科, 排队论的创始人Erlang 是为了解决电话交换机容量的设计问题而提出排队论。
它适用于一切服务系统,包括通信系统、计算机系统等。
可以说, 凡是出现拥塞现象的系统, 都属于随机服务系统。
随着电子计算机的不断发展和更新, 通信网的建立和完善, 信息科学及控制理论的蓬勃发展均涉及到最优设计与最佳服务问题, 从而使排队论理论与应用得到发展。
四、正文1、排队论概述：1.1基本概念及有关概率模型简述：1.1.1排队论基本概念及起源：排队论是一个独立的数学分支有时也把它归到运筹学中。
排队论是专门研究由于随机因素的影响而产生的拥挤现象(排队、等待)的科学也称为随机服务系统理论或拥塞理论。
它专于研究各种排队系统概率规律性的基础上解决有关排队系统的最优设计和最优控制问题。
排队论起源于20世纪初。
当时美国贝尔Bell电话公司发明了自动电话以后如何合理配臵电话线路的数量以尽可能地减少用户重复呼叫次数问题出现了。
1909年丹麦工程师爱尔兰A.K.Erlang发表了具有重要历史地位的论文“概率论和电话交换”从而求解了上述问题。
通信网基础-排队论及其应用
时间t内有k个顾客到达的概率： p(t)kk!k 0, 1, 2,产生排队的原因： 顾客需求的 随机性和服务设施的 有限性。
排队系统一般分为：窗口数W 认长，容许一定数量顾 客排队，趙过容量则拒絶丰拒絶糸统：糸统弁许排队无隗扣售爲.炎■共电话排队系统的三个基本参数：m ：窗口数:顾客到达率或系统到达率 ，即单位时间内到达系统的平均顾客数。
其单位为个/时间或份/时间。
有效到达率：e （1R ） 或e （N L s ） 0:一个服务员（或窗口）的服务速率，即单位时间内由一个服务员（或窗口）进行服务所 离开系统的平均顾客数。
一 1/是单个窗口对顾客的平均 服务时间，也是一个呼叫的平均持续时间。
系统模型：X/Y/m/n/NX :顾客到达时间间隔分布 Y :服务时间分布m :窗口或服务员数目（此处特指并列排队系统） n :截止队长（省略这一项表示n，即为非拒绝系统）N :潜在的顾客总数（潜在的无限顾客源，即 N时，可省去这一项）指数分布.kP k P{ X k} 一eki；k!F(t)1 e tt 00 t 0E( X )D(X1 1E(t)丄D(t) J最简单流：平稳性 无后效性疏稀性1®务机构杲否允许顾客井队等待服务即时拒绝系统窗口数X 队长，不披服务就被拒 绝，如电话网Q3: M/M/1 系统 平均队长：L1 t f(t)dt一个随机过程为泊松到达过程 =到达时间间隔为指数分布若顾客的离去过程也满足最简单流条件，则离去过程(即服务过程)也为泊松过程,完成服务的平均时间：1E( ) t f (t)dt -Q1:泊松过程，求：时间间隔 t 内，有k 次呼叫的概率:(t)ketek!P k (t)0, 1, 2,Q2 :泊松过程 的顾客到达时间间隔分布 求顾客到达时间 间隔小于t 的概率，即tStep1: t 内没顾客的概率 P0(t)t |k! I k 0内有顾客的概率分布P o (t) Step2:t 内有顾客概率： F T (t) P(T 1-step1t) 1 P(Tt) 1P o (t) 1 etE(T)o1．纯ALOHA（ P-ALOHA ）系统纯随机方式抢占信道：某数据站（用户）有信息要发送时，立即发送。
通信网理论基础(修订版)第二章
顾客数
w4
w2
w3
wn
t1
t2 t3
tn
t
到达 C1 C2
离去
1 C1
C3 C4 2
3
C2
C3
Cn
Cn+1
n
Cn-1 Cn
T
I
排队过程实例
窗口数m、顾客到达率l和服务率m虽是排队系统 的3个基本参数，要充分描述排队系统并分析其 运行状态还是不够的，因为排队系统的性能主要 取决于顾客到达时间间隔ti与服务时间i的统计分 布和排队规则。
证明简单流的到达间隔是负指数分布:
设为到达间隔为t,把t分成N等份,每份的长度
t N
根据无后效性和稀疏性，在前面N个 内无顾客到
达，再一个内有一个顾客到达的概率为（其中，
a(t)为概率密度）：
：
N个
[
a(t) (1 l) N l (1 l t) N l
N
-N
[(1 l t) lt ]-lt l lelt ,
(l是 单 位 时 间 里 到 达 的 顾客 数, 称 到 达 强 度)
T:顾客到达时间间隔，0<T<∞
如果将T看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数FT (t) 在t处的函数值就表示T落在区间(-∞,t]上的概率
❖ 概率分布函数 FT (t) P{T t} t a(t) dt 0t l el tdt （1 el t）u(t)
(t )d t
leltdt
1
e lt
t0
0
❖ 表示T落在区间(-∞,t]上的概率是1-e-λt
所以，对于最简单流有：
概率密度：a T
5通信网理论-排队论基础3
通信网理论（三）排队论与通信网业务分析排队论基础（3）纪阳北京邮电大学 移动生活与新媒体实验室 E-mail: jiyang@通信网业务模型与分析一 各种测度1. 业务量： 占线时间：在观测时间内信道被占用的总时间。
设有m条线路，在r条被占用Tr 秒，则T = ∑ Trr =1 m若t瞬时有R (t )条线被占用，观测期τ内的业务量为T = ∫ 呼叫量 = T 占线时间 业务量T = （Erlang） A = τ 观察时间 观察时间τ 单位： 厄朗（Erlang），亦称爱尔兰。
可见，若m = 1则 A ≤ 1 ; A = limτ →∞t +τtR(t )dt2. 呼叫量：线路占用率－观察时间内线路被占用的百分比若m > 1 则 可能A > 1平均呼叫量－网设计要求之一，理论上，τ → ∞ 1τ∫t +τtR(t )dt但R(t )在∞区间内不稳定 ∴τ = 1通常取小时－小时呼叫量（小时厄朗）日呼叫量－一天中最忙小时内的厄朗数（亦称小时厄朗） 年呼叫量－一年取30日，其日呼叫量的平均值－基准呼叫量 小网－四季变化不大，以日呼叫量为设计依据 大网－日呼叫量变化不大，以年呼叫量为设计依据可见 : g 呼叫量－指实际可接通的业务流（throughput） offered traffic－实际要求接通的呼叫量，若不超网能力 （二者相等）g对应排队模型的参数： m －窗口数（线路数）λ0－每窗口平均分担呼叫率（次 / 秒）总到达率λ = mλ0 τ －平均服务时间，即每次呼叫的平均占线时间。
（τ = ） μ则平均呼叫量为: a=mλ0τ = mp 其中（排队强度）ρ =λ0τ = 1λ m λ = mμ μ二1.几类呼叫纯随机呼叫 g 潜在呼叫源(用户)为无限多; g 用户间满足平稳、独立、疏稀性 - 泊桑流； g 则Δt 内有呼叫的概率为λΔt，总呼叫率为λ = lim N λ 0N →∞g 此类呼叫数学上便于描述处理，但实际网用户总量是有限的， 只能近似，严格说并非纯随机呼叫。
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时间t
内有k
个顾客到达的概率： p
(t)k
k!
k 0, 1, 2,
产生排队的原因： 顾客需求的 随机性和服务设施的 有限性。
排队系统一般分为：
窗口数W 认长，容许一定数量顾 客排队，趙过容量则拒絶
丰拒絶糸统：糸统弁许排队无隗扣售爲.炎■共电话
排队系统的三个基本参数：
m ：窗口数
:顾客到达率或系统到达率 ，即单位时间内到达系统的平均顾客数。
其单位为个/时间或份
/时间。
有效到达率：
e （1
R ） 或
e （N L s ） 0
:一个服务员（或窗口）的服务速率，即单位时间内由一个服务员（或窗口）进行服务所 离开系统的平均顾客数。
一 1/
是单个窗口对顾客的平均 服务时间，也是一个呼叫的平均持续时间。
系统模型：
X/Y/m/n/N
X :顾客到达时间间隔分布 Y :服务时间分布
m :窗口或服务员数目（此处特指并列排队系统） n :截止队长（省略这一项表示
n
，即为非拒绝系统）
N :潜在的顾客总数（潜在的无限顾客源，即 N
时，可省去这一项）
指数分布
.
k
P k P{ X k} 一e
k
i
；
k!
F(t)
1 e t
t 0
0 t 0
E( X )
D(
X
1 1
E(t)丄
D(t) J
最简单流：平稳性 无后效性
疏稀性
1®务机构杲否允许顾
客井队等待服务
即时拒绝系统
窗口数X 队长，不披服务就被拒 绝，如电话网
Q3: M/M/1 系统 平均队长：L
1 t f(t)dt
一个随机过程为泊松到达过程 =到达时间间隔为指数分布
若顾客的离去过程也满足最简单流条件，则离去过程(即服务过程)也为泊松过程,
完成服务的平均时间：
1
E( ) t f (t)dt -
Q1:泊松过程，求：时间间隔 t 内，有k 次呼叫的概率:
(t)k
e
t
e
k!
P k (t)
0, 1, 2,
Q2 :泊松过程 的顾客到达时间间隔分布 求
顾客到达时间 间隔小于t 的概率，即t
Step1: t 内没顾客的概率 P0(t)
t |
k! I k 0
内有顾客的概率分布
P o (t) Step2:
t 内有顾客概率： F T (t) P(T 1-step1
t) 1 P(T
t) 1
P o (t) 1 e
t
E(T)
o
1．纯ALOHA（ P-ALOHA ）系统纯随机方式抢占信道：某数据站（用户）有信息要发送时，立即发送。
S-ALOHA 系统特点：网内所有的用户都与主时钟同步
原理：S-ALOHA 系统把时间分成一段段等长的时隙（Slot），记为TO,并规定不论帧何时产生，每个用户只能在每个时隙的前沿发送信息。