排队问题的提出排队论基本概念到达间隔分布和服务时间

（1）萌芽阶段 1909~1920年，丹麦数学家、电气工程师爱尔朗用概率论方法研究电话通话问
题，从而开创了这门应用数学学科，并为这门学科建立了许多基本原则。之后从事 排队论研究的先驱人物有法国数学家勃拉彻、前苏联数学家欣钦、瑞典数学家巴尔 姆等，他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。 20世纪30年代中期，当费勒引进了生灭过程时，排队论才被数学界承认是一门重要 的学科。
6.1.2 排队论在现代物流管理中的运用
排队论应用面很广，从开始的通信系统到存量问题和交通运输问题，从生产作 业到公共服务，再到计算机配置等，可以说是不胜枚举。这里仅列出与现代物流管理 有关的几个应用例子。
（1）交通运输系统 港口的码头是服务台，船只为顾客，码头的使用决定了港口的吞吐量，船只过久 等待进港造成罚款都是应当注意的问题。飞机跑道或者停机坪可以作为服务台，飞机 起降为顾客的服务要求，如何安排飞机班次便利旅客并使飞机起降有条不紊，是机场 调度的重要问题。铁路公路交通站可视作一个大服务台，服务系统上的队长为交通站 内旅客以及送行者的总人数，通过对人数变化的了解，可帮助设计者决定交通站建筑 的容量、旅客候车或候机室座位的多寡等。 （2）仓储配送服务 储存系统中存量的变化是随机行为，和排队论中的队列长度变化的随机行为有相 似之处。 （3）综合物流管理 在物流系统中排队的现象很多，如决策系统收发物流信息能力的强弱，服务网点 的布局与服务水平的高低，物流设施设备的多少与服务能力的大小，服务内容的多寡 与服务质量的好坏等等。 由此可见，排队问题不是一个简单的服务问题，它是一个管理问题。表面上的排 队问题背后，实际上隐藏着急待改善管理的“大文章”。
6.2.1.1 输入
输入描述的是顾客出现在排队系统中的方式，人们通常用某种带有任意参数和 适当简化假设的随机过程来表示它。输入过程又由如下一些元素构成：
（1）顾客总体 顾客总体可以是人，也可以是非生物。如靠泊的船只、提货的单证等。可以是一 个有限的集合，也可以是一个无限的集合，但只要顾客总体所包含的元素数量充分大， 就可以把顾客总体有限的情况近似看成是顾客总体无限的情况来处理。上游河水流入 水库可以认为顾客总体是无限的，而工厂里等待修理的机器设备显然是有限的顾客总 体。
（2）产生阶段 在第二次世界大战期间和第二次世界大战以后，排队论在运筹学这个新领域中 变成了一个重要的内容。20世纪50年代初，英国人堪道尔对排队论作了系统的研究， 他用嵌入马尔柯夫链方法研究排队论，使排队论得到了进一步的发展。是他首先 （1951年）用3个字母组成的符号A/B/C表示排队系统。其中A表示顾客到达时间的 分布，B表示服务时间的分布，C表示服务机构中的服务台的个数。 排队论与存量理论、水库问题等的联系开始于20世纪50年代末到60年代初，这 期间 ，先后问世的重要著作有优先排队问题、网络队列问题。塔卡奇等人将组合方 法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。 60年代,排队论研究的课题日趋复杂，因而开始了近似法的探讨与队列上下限问 题的研究。在应用方面，排队论已经渗透到了生产系统和交通运输系统。 （3）发展阶段 70年代后，由于排队问题多呈网络出现，计算上的烦琐使得研究范围扩及到计 算方法上面，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，这成为研究现代 排队论的新趋势。排队论的发展、推广起自于实际应用的需要，同时由于近代计算 工具的精密、快速以及排队问题本身趋于复杂的倾向决定了排队论研究的方向。
6.1 排队问题的提出
6.1.1 排队论概述
排队论应用范围极广，排队论究竟包括什么内容是一件很难说清楚的事。简单 地说，排队论所讨论的是一个系统对某一群体提供某种服务时该群体占用此服务系统 时所呈现的状态。在界定排队问题中，必须交代清楚的事项包括：
（1）群体到达系统的情况； （2）系统对群体中各个分子提供服务时花去的时间的长短； （3）系统提供服务的先后次序。 到达系统的个体称作“顾客”，提供服务的系统可由一个或一个以上的“服务台” 组成，“服务时间”相当于顾客占用服务台的时间，而服务台对顾客们提供服务的次 序则称作“排队规则”。服务系统的状态通常是以顾客留在服务系统上的数量来表示， 这个数量称作“队列长度”(简称为“队长”)，有时也以顾客停留在系统上的时间表 示，这段时间称作“等待时间”。等待时间由两个部分组成，其一为顾客等候使用服 务台的“延误时间”；其二为占用服务台的时间，也即服务时间。由于排队论是讨论 有关顾客在服务系统上的活动情形，因而排队论有时也称为“随机服务系统”或称作 “拥挤理论”。 现代排队论起源于19世纪末20世纪初，二战后发展成为一门完整而丰富的理论学科。 学术界一般将其发展历程分为以下到达可能是单个发生，也可能是成批发生，但排队系统中总是假设 在同一时间点上只有一个顾客到达，同时到达的一批顾客只能看成是一个顾客。 （3）顾客到达的相关性 顾客到达可以是相互独立的，也可以是相关联的。所谓独立，即先前顾客的到 达对后续顾客的到达没有影响，否则就是相关的。 （4）顾客到达的时间间隔 顾客到达的时间间隔可以是确定的，也可以是随机的。如在流水线上装配的各
部件必须按确定的时间间隔到达装配点，定点运行的列车、班机的到达也都是确定 的，但物流配送等待的顾客、办理出关手续的顾客、通过路口的车辆的到达都是随 机的。对于随机的情形，我们必须了解单位时间的顾客到达数或相继到达的时间间 隔的概率分布。如定长分布、负指数分布等。
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6.2 排队论基本概念
6.2.1 排队系统构成要素
现实中排队现象虽然多种多样，但其排队过程基本是一致的。都包含了各个需 要服务的顾客由顾客源（总体）出发，到达服务机构（服务台、服务员）前排队等 候接受物流服务，服务完之后就离开这样一个过程。图6.1即排队过程的一般模型。 虚线包含的部分即排队系统。 图6.1物流排队系统构成示意从图中可以看出，一个排队系统由输入、队列、服务台 和输出四部分构成。