2010年“数学解题能力展示”答案
2010五年级数学解题能力展示初赛试题+详解
．
答案：30 简答：
1 1 1 1 6 （ ） 12 （ ） 19 33 21 7 22 2 3 3 4 1 7 19 33 21 7 22 30
2. 小张有 200 支铅笔，小李有 20 支钢笔．每次小张给小李 6 支铅笔，小李还给小张 1 支
6. 甲、乙两车同时从 A 城市出发驶向距离 300 千米远的 B 城市.已知甲车比乙车晚出发 1
个小时，但提前 1 个小时到达 B 城市.那么，甲车在距离 B 城市_________千米处追上 乙车．
7. 已知一个五位回文数等于 45 与一个四位回文数的乘积（即 abcba＝45×deed）,那么这
个五位回文数最大的可能值是_________．
1/7
【杯赛真题】 · 【迎春杯】 · 【五年级】 · 【初赛】
8. 从 1，2，3· · · ，9，10 中选出若干个数，使得 1，2，3， · · · ，19，20 这 20 个数中的每
个数都等于某个选出的数（可以相等）的和.那么，至少需要选出_________个数．
2010个 2009
5. 一个等差数列的第 3 项是 14，第 18 项是 23，那么这个数列的前 2010 项中有
项是整数． 答案：402 简答：等差数列的公差等于
23 14 3 ．这个等差数列的前两项不是整数，第 n n 3 18 3 5
3 项等于 14 n - 3 ．当 n 除以 5 余 3 时，第 n 项是整数．3—2010 中一共有 402 个数 5
1 小时
甲车追上乙车的地点 乙车 甲车
A
1 小时
于是，甲车在距离 B 城市 150 千米处追上乙车．
7. 已知一个五位回文数等于 45 与一个四位回文数的乘积（即 abcba 45 deed ） ，则这个
2010解题能力展示复赛试题(高年级组)
2010年“数学解题能力展示”读者评选活动小学高年级组复试试卷（测评时间：2010年2月6日8：30—10：00）学生诚信协议：活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流或讨论．我确定以下的答案均为我个人独立完成的成果．否则愿接受本次成绩无效的处罚．我同意遵守以上协议．签名：___________一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1. =×−×+1457266.22010 ． 2. 下表是人民币存款基准利率表 ．小明现在有10000元人民币，如果他按照三年期整存整取的方式存款，三年后他连本带利一共能从银行拿到 元人民币． 整存整取时间 三个月 半年 一年 三年 五年 年利率（％） 1.71 1.98 2.25 3.33 3.603. 如图所示，有大小不同的两个正方体，大正方体的棱长是小正方体棱长的6倍．将大正方体的6个面都染上红色，将小正方体的6个面都染上黄色，再将两个正方体粘合在一起．那么这个立体图形表面上红色面积是黄色面积的 倍．4. 有一块用于实验新品种水稻的试验田形状如图，面积共40亩，一部分种植新品种，另一部分种植旧品种（种植面积不一定相等），以方便比较成果．旧品种每亩产500千克；新的品种中有75%都没有成功，每亩只产400千克，但是另外25%试验成功,每亩产800千克．那么，这块试验田共产水稻 千克． 5. 在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．已知乘积有两种不同的得数，那么这两个得数的差是 ． 二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分） 6. 直角边长分别为18厘米,10厘米的直角△ABC 和直角边长分别为14厘米,4厘米的直角△ADE 如图摆放．M 为AE 的中点，则△ACM 的面积为 平方厘米．7. 黑板上一共写了10040个数字，包括2006个1，2007个2，2008个3，2009个4，2010个5．每次操作都擦去其中4个不同的数字并写上一个第5种数字（例如擦去1、2、3、4各1个，写上1个5；或者擦去2、3、4、5各一个，写上一个1；……）. 如果经过有限次操作后，黑板上恰好剩下了两个数字，那么这两个数字的乘积是 ．新品种 25% 旧品种A8. 蜜蜂王国为了迎接2010年春节的到来，特地筑了一个蜂巢如下．每个正六边形蜂窝中，有由蜂蜜凝结而成的数字0、1或2．春节到来之时，群蜂将在巢上跳起舞步，舞步的每个节拍恰好走过的四个数字：2010（从某个2出发最后走完四步后又回到2，如图中箭头所示为一个舞步），且蜜蜂每一步都只能从一个正六边形移动到与之有公共边的正六边形上．蜜蜂要经过四个正六边形且所得数字依次为2010，共有 种方法．9. 在反恐游戏中，一名“恐怖分子”隐藏在10个排成一行的窗户后面，一位百发百中的“反恐精英”使用狙击枪射击这名“恐怖分子”．“反恐精英”只需射中“恐怖分子”所在的窗户就能射中这名“恐怖分子”．每次射击完成后，如果“恐怖分子”没有被射中，他就会向右移动一个窗户．一旦他到了最右边的窗户，就停止移动．为了确保射中这名“恐怖分子”，“反恐精英”至少需要射击 次．10. 如图所示，直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的面积都等于1680平方厘米．阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分．如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆，则这个圆的面积等于_________平方厘米．三、填空题Ⅲ（每题12分，共60分）11. 用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是 ． 12. 现有一块L 形的蛋糕如图所示，现在要求一刀把它切成3部分，因此只能按照如图的方式切，但不能斜着切或横着切.要使得到的最小的那块面积尽可能大，那么最小的面积为 平方厘米．13. 小李开车从甲地去乙地，出发后2小时，车在丙地出了故障，修车用了40分钟，修好后，速度只为正常速度的75%，结果比计划时间晚2小时到乙地．若车在行过丙地72千米的丁地才出故障，修车时间与修车后的速度分别还是40分钟与正常速度的75%，则比计划时间只晚1.5小时．那么，甲乙两地全程 千米．14. 9000名同学参加一次数学竞赛，他们的考号分别是1000,1001,1002,…9999．小明发现他的考号是8210，而他的朋友小强的考号是2180．他们两人的考号由相同的数字组成（顺序不一样），差为2010的倍数． 那么，这样的考号（由相同的数字组成并且差为2010的倍数）共有 对．15. 小华编了一个计算机程序．程序运行后一分钟，电脑屏幕上首次出现一些肥皂泡，接下来每到整数分钟的时刻都会出现一些新的肥皂泡，数量与第一分钟出现的相同．第11次出现肥皂泡后半分钟，有一个肥皂泡破裂．以后每隔一分钟又会有肥皂泡破裂，且数量比前一分钟多1个（即第12次出现肥皂泡后半分钟，有2个肥皂泡破裂…）．到某一时刻，已破裂的肥皂泡的总数恰好等于电脑屏幕上出现过的肥皂泡的总数，即此刻肥皂泡全部消失．那么在程序运行的整个过程中，在电脑屏幕上最多同时有 个肥皂泡出现．10厘米20厘米30。
数学解题能力展示五年级真题汇编0712
5.如图，7×7 的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所在的方格都连在一 起（相连的两个方格必须有公共边），现在已经给出了 1，2，3，4，5 各两个， 那么，表格中所有数的和是________。
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指南针小升初
6.甲、乙两人从 A 地步行去 B 地。乙早上 6:00 出发，匀速步行前往；甲早上 8:00 才出发，也是匀速步行。甲的速度是乙的速度的 2.5 倍，但甲每行进半小时都需 要休息半小时。甲出发后经过________分钟才能追上乙。
三、填空题Ⅲ（每题12 分，共48 分）
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指南针小升初
9.甲、乙两人分别从AB两地同时出发，相向而行。第一次迎面相遇在距离B地100米 处，相遇后甲的速度提高到原来的 2倍；甲到 B 后立即调头，追上乙时，乙还有 50米才到A。那么，AB间的路程长________米。 10.在右图中，线段AE、FG将长方形ABCD分成了四块；已知 其中两块的面积分别是 2 cm2、 11cm2，且E 是 BC 的中点， O是AE的中点；那么长方形ABCD的面积是________cm2。
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指南针小升初
2011 年“数学解题能力展示”读者评选活动 五年级组初试试题
一、填空题（每题8分，共40分） 1.算式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的计算结果是________。
2.十 二 月 份 共 有 31天 ， 如 果 某 年 12月 1 日 是 星 期 一 ， 那 么 该 年 12月 19日 是 星 期 ________。(星期一至星期日用数字1至7表示) 3.如图的等腰梯形上底长度等于3，下底长度等于9，高等 于4，那么这个等腰梯形的周长等于________。 4.某乐团女生人数是男生人数的2倍，若调走24名女生，则男生人数是女生人数的2 倍，那么该乐团原有男女学生一共有________人。 5.规定 1※2=0.1+0.2=0.3 , 2※3=0.2+0.3+0.4=0.9 , 5※4=0.5+0.6+0.7+0.8=2.6 。 如果 a ※15=16.5，那么 a 等于________。
2010年考研数学试题详解及评分参考
ò 积分 xydx + x2dy = L
.
2010 年 • 第 4 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010 年数学试题详解及评分参考
【答】 应填 0 .
【解法一】 补有向线段 L : y = 0 (x Î[-1,1]) ，起点为 (1, 0) ，终点为 (-1, 0) ，设由
L 与 L 围成的平面区域为 D ，则利用格林公式及区域 D 关于 y 轴的对称性，得
nx
-
x
)
dx
ò (1) 对于
1 2
m
ln 2
(1 -
x)
dx
，易见被积函数非负，且只在
x
®
0+
时无界，于是
0
nx
ò ò 当 n > 1 时，由 lim n x m ln2 (1- x) = 0 及
1 2
1
dx 收敛，知
1 2
m
ln 2
(1 -
x)
dx
收敛；
x®0+
nx
0 nx
0
nx
( ) 当 n = 1 时，由 m ln2 (1- x)
.
【答】 应填
2 3
.
{ } 【解】 记 D = ( x, y) x2 + y2 £ 1 ，有
òòò òò ò òò ò ò W
dxdydz =
D
dxdy
1 dz
x2 + y2
= (1- x2 - y2 )dxdy =
D
2p dq
0
1(1- r2 )rdr
0
=
p 2
，
òòò òò ò òò ò ò W
10年数学解题能力展示六年级试题及答案
10年数学解题能力展示六年级试题及答案答案：303解析：50个1，25个（1+2=3），25个（1+2+4=7），再加上2010的和：3，所以答案为50+25*3+25*7+3=50+250=303答案：91解析：假设原来可以买x支，每支价格为k，则 x*k=(x+13)*k*(1-0.125)X=7*13=91答案：102解析：要得到最小的三位数，a最小可以取1，b最小可以取0，而c在与第二个数的十位相乘的时候要进以为，所以最小为2.答案：314解析：三个60度的扇形拼起来就是一个半圆，周长为π*r=3.14*100=314答案：99解析：本身为合数的数有：9，8，6，4。
需要组合的数有0，1，2，3，5，7.7放个位，与2组合才能得到最小的数，剩下的组合就是35，10或者30，15，结果一样。
总和为99.答案：18解析：辅助线如图，图中三角形为一勾3股4弦5的三角形。
斜边上的高正好是梯形的高 h=3*4/5 所以梯形的面积为1/2 * (5+10) * h = 1/2 * 15 * 12/5 =18答案：62解析：2,6,12,18,24答案：230解析：大正方体部分的表面积为：25*6-4*4中正方体部分的表面积为（4*6-4-1）*4=19*4小正方体部分的表面积为5*4总共为25*6+20*4=150+80=230答案：9解析：从a点出发，只能往右上角走，到达右上角之后有三种可能的方向，分析每种可能的方向，都有三种可能的方式到达终点，所有有3*3=9种答案：82解析：1、第一次听对，第二次听对的概率为0.9*0.9=0.812、第一次听对，第二次听错的概率为0.9*0.1=0.093、第一次听错，第二次听对的概率为0.1*0.9=0.094、第一次听错，第二次听错的概率为0.1*0.1=0.01其中，第一种和第四种情况最终的结果是正确日期，所以为0.81+0.01=82%答案：16解析：8：30时已到达A，说明，乙全程需要30-12=18分钟，所以乙每一段需要18/3=6分钟。
【初赛】2010年迎春杯六年级
2010“数学解题能力展示”读者评选活动六年级组初赛试题（测评时间：2010年1月3日9：00—10：00； 满分150）一、填空题Ⅰ（每题8分，共32分）1. 10015022541112224442010+++ 个个个计算结果的数字和是________．2.小明带着一些钱去买签字笔，到商店后发现这种笔降价了12.5%，如果他带的钱恰好可以比原来多买13支，那么降价前这些钱可以买________支签字笔．3.满足图中算式的三位数abc 最小值是________．4.三个半径为100厘米且圆心角为60º的扇形如图摆放；那么，这个封闭图形的周长是________厘米．（π取3.14）二、填空题Ⅱ（每题10分，共40分）5.用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是________．6.梯形的上底为5，下底为10，两腰分别为3和4，那么梯形的面积为________．7.有5个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是12的倍数，那么这5个数之和的最小值是________．8.一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为5厘米、2厘米、1厘米．那么，这个立体图形的表面积是________平方厘米．三、填空题Ⅲ（每题12分，共48分）9.九个大小相等的小正方形拼成了右图．现从A 点走到B 点，每次只能沿着小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法）．那么从A 点走到B 点共有________种不同的走法．10.学校打算在1月4日或1月10日组织同学们看电影．确定好日期后，老师告诉了班长，但是由于“四”和“十”发音接近，班长有10%的可能性听错（把4听成10或者把10听成4）．班长又把日期告诉了小明，小明也有10%的可能性听错．那么小明认为看电影的日期是正确日期的可能性为________%．11.如图，C ,D 为AB 的三等分点； 8点整时甲从A 出发匀速向B 行走，8点12分乙从B出发匀速向A 行走，再过几分钟后丙也从B 出发匀速向A 行走；甲,乙在C 点相遇时丙恰好走到D 点，甲,丙8:30相遇时乙恰好到A ．那么，丙出发时是8点________分． 12.图中是一个边长为1的正六边形，它被分成六个小三角形．将4、6、8、10、12、14、16各一个填入7个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成6个菱形，把每个菱形的四个顶点上的数相加，填在菱形的中心A 、B 、C 、D 、E 、F 位置上（例如：a b g f A +++=）．已知A 、B 、C 、D 、E 、F 依次分别能被2、3、4、5、6、7整除，那么a g d ⨯⨯=___________． B D【参考答案】2010“数学解题能力展示”读者评选活动六年级组初赛试题（测评时间：2010年1月3日9：00—10：00； 满分150）一、填空题Ⅰ（每题8分，共32分）1. 10015022541112224442010+++ 个个个计算结果的数字和是________．答案：303简解：相加时不进位，和的数字和就等于各数数字和的和．所以，1×100＋2×50＋4×25＋2＋0＋1＋0＝3032.小明带着一些钱去买签字笔，到商店后发现这种笔降价了12.5%，如果他带的钱恰好可以比原来多买13支，那么降价前这些钱可以买________支签字笔．答案：91简解：降价前后单价比为1: (1-12.5%)＝8:7，相同的钱，降价前后购买的签字笔支数比为7:8所以，降价前这些钱可以买13÷(8－7)×7＝91(支) 3.满足图中算式的三位数abc 最小值是________．答案：102简解：abc =100，101时均不满足题意．当abc =102时，10225225704⨯=满足条件．因此，最小的abc 是102．4.三个半径为100厘米且圆心角为60º的扇形如图摆放；那么，这个封闭图形的周长是________厘米．（π取3.14）答案：314简解：2π×100÷2＝100π≈314(cm )二、填空题Ⅱ（每题10分，共40分）5.用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是________．答案：99简解：因为0,1,2,3,5,7这6个数不是合数，所以至少有6÷2＝3个数字不能在个位；于是这些合数的和至少为(1+2+3)×10+0+4+5+6+7+8+9＝99．另外，这些合数可以是4,6,8,9,10,27,35，说明99可以实现．6.梯形的上底为5，下底为10，两腰分别为3和4，那么梯形的面积为________．答案：18简解：如图，将梯形分为一个平行四边形和一个三角形，则三角形的三边长为3、4、5，由勾股定理可知此三角形为直角三角形，面积为3426⨯÷=．平行四边形与直角三角形等底等高，从而面积为6212⨯=，于是可得梯形面积为18．7.有5个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是12的倍数，那么这5个数之和的最小值是________．答案：62简解：由任两数乘积都是3的倍数可知这5个数中至多只有一个数不是3的倍数，即至少有4个3的倍数；再由任两数乘积都是4的倍数可知这5个数或者全是偶数，或者1个奇数4个4的倍数。
数学解题能力展示四年级真题汇编0730
三、填空题（每小题 15 分，共 60 分）
7.如图，有两个小正方形和一个大正方形，大正方形的边长是小正方形边长的 2 倍，阴影部分三角形面积为 240，请问三个正方形的面积和是________。
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指南针小升初
8.小张早晨 8 点整从甲地出发去乙地，速度是每小时 60 千米。早晨 9 点整小王从 乙地出发去甲地。小张到达乙地后立即沿原路返回，恰好在 12 点整与小王同时 到达甲地。那么两人相遇时距离甲地________千米。 9.下图是由 9 个 2×2 的小网格组成的一个正方形大网格并要求相邻两个小网格内 的相邻数字完全相同（这些小网格可以旋转，但不能翻转）。现在大网格中已放 好一个小网格， 请你将剩余 8 个网格按要求放好。右下角格内的数是 ________。
三、填空题（每小题 15 分，共 30 分）
9.如图，一个周长为 24 厘米的小正方形和 4 个周长为 32 厘米的相同长方形拼成一 个大正方形，那么一个长方形的面积是_____对爸爸说：“我特别期待 2013 年的到来。”爸爸 问：“为什么呢？”小杰说：“你看，2013 的 4 个数字互不相同，我长这么 大，头一次过这样的年份呢。”爸爸笑道：“是呀，我们可以把这种各个数字 都不相同的年份叫做‘幸运年’，这样算来，明年爸爸就过第 13 个‘幸运年’ 了。”小杰想了想说：“当我像您这么大的时候，我刚好也过第 13 个‘幸运 年’。”那么，小杰明年________岁。
11.若三位数 abc （其中a,b,c都是非零数字）满足 ab bc ca ，则称该三位数为 “龙腾数”，那么共________个“龙腾数”。 12.在边缘的每个空白格内都填入一个箭头，方格中的数字表示指向该数字的箭头 个数，箭头的方向可以是上、下、左、右、左上、左下、右上、右下，但每个 箭头至少指向一个数字，例如，图2的填法是图1的答案.请按照此规则在图3中 填入箭头，那么指向右下方向的箭头共有________个。
2010年高考全国数学卷(全国Ⅱ.理)(含详解答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II ）数学(理科）【教师简评】按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想，本套试卷的总体印象是:题目以常规题为主，难度较前两年困难，得高分需要扎扎实实的数学功底.1.纵观试题，小题起步较低，难度缓缓上升，除了选择题11、12、16题有一定的难度之外，其他题目难度都比较平和.2.解答题中三角函数题较去年容易，立体几何难度和去年持平，数列题的难度较去年有所提升，由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明，不易拿满分，概率题由去年背景是“人员调配”问题，转变为今年的与物理相关的电路问题，更体现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制，和去年比较更有利于分步得分.3.要求考生有比较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力.不管题目难度如何变化，“夯实双基(基础知识、基本方法)”，对大多数考生来说，是以不变应万变的硬道理.（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. （2）.函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（A ） 211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。
【解析】由原函数解得，即，又；∴在反函数中，故选D.（3）.若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.【解析】可行域是由A(1,1),B(1,4),C(1,1)---构成的三角形，可知目标函数过C 时最大，最大值为3，故选C.（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】173454412747()312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++=== （5）不等式2601x x x ---＞的解集为 （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1或x ＞3，故选C（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位【答案】B【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】s i n (2)6y x π=+=sin 2()12x π+，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，所以将s i n (2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，故选B.（8）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若C B a =u u r ，CA b =uu r，1a =，2b =，则CD =u u u r（A ）1233a b +（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 【答案】B【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 【解析】因为CD 平分ACB ∠，由角平分线定理得AD CA2=DBCB 1=，所以D 为AB 的三等分点，且22AD AB (CB CA)33==- ，所以2121CD CA+AD CB CA a b 3333==+=+，故选B.（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B （C ）2 （D ）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.（10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..【解析】332211',22y x k a --=-∴=-，切线方程是13221()2y a a x a ---=--，令0x =，1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =.故选A.（11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点 （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM ⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B （C （D ）2【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。
2010年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
g (t ) at 3 (a 3)t .
(t 1)( at (t 1) 3) 0 及 t 1 0 at 3 (a 3)t 3 ， at (t 2 1) 3(t 1) 0 ， a (t 2 t ) 3
（1）
2
知 at (t 1) 3 0 即
BA1 (2,0,2), BP (1, 3 ,1), B1 A1 (2,0,0), B1 P (1, 3 ,1) .
设分别与平面 BA1 P 、平面 B1 A1 P 垂直的向量是 m ( x1 , y1 , z1 ) 、 n ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，则
当 t 0,1 时（1）总成立；对 0 t 1,0 t t 2 ；对 1 t 0, 从而可知：
3 a 12 . 2
2 2
1 t2 t 0. 4
2010B 3、双曲线 x y 1 的右半支与直线 x 100 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标 均为整数的点）的个数是 ◆答案： 4851 ★解析：由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k ( k 1,2, ,99) 与双曲线右半支于 Ak , 交直线 x 100 于 Bk ，则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 k ，从而在 x 轴上方区域内部整点的 个数为
解法二：如图， PC PC1 , PA1 PB . 设 A1 B 与 AB1 交于点 O, 则 OA1 OB , OA OB1 , A1 B AB1 .
因为 PA PB1 , 所以 PO AB1 , 从
而 AB1 平面 PA1 B .过 O 在平面 PA1 B 上作 OE A1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 B1 EO 为二面角 B A1 P B1 的平面角.设 AA1 2 ,则易求得
2010中国数学奥林匹克解答
2010中国数学奥林匹克解答第一天1、如图，两圆21,ΓΓ相交于B A ,两点，过点B 的一条直线分别交圆21,ΓΓ于点D C ,，过点B 的另一条直线分别交圆21,ΓΓ于点F E ,，直线CF 分别交圆21,ΓΓ于点Q P ,．设N M ,分别是弧PB ，弧QB 的中点．求证：若EF CD =，则N M FC ,,,四点共圆．（熊斌提供）证明：连接DF AF AE AD AC ,,,,，则由AEF ACB AFB ADB ∠=∠∠=∠，及题设EF CD =知AEF ACD Δ≅Δ，所以AFE ADC AF AD ∠=∠=，，故AFD ADF ∠=∠．从而ABF ADF AFD ABC ∠=∠=∠=∠，即AB 是CBF ∠的角平分线．连接FN CM ,，由于M 是弧PB 的中点，所以CM 是DCF ∠的角平分线．同样FN 是CFB ∠的角平分线，于是FN CM BA ,,三线共点．设它们的交点为I ，在圆1Γ和2Γ中，由圆幂定理得IB AI IM CI ⋅=⋅，IF NI IB AI ⋅=⋅，所以IM CI IF NI ⋅=⋅．从而N M F C ,,,四点共圆．2、设整数3≥k ，数列}{n a 满足k a k 2=，且对所有k n >，有⎩⎨⎧+=−−−．n a n n a a a n n n n 不互素与若互素，与若111,2,1 证明：数列}{1−−n n a a 中有无穷多项是素数．（朱华伟提供）证明：假设k l l a l ≥=，2．再设p 为1−l 的最小素因子．则 .,,1,1),1(⎩⎨⎧=<≤=−p i p p i i l 即 .,,1,1)1,22(⎩⎨⎧=<≤=−+−+p i p p i i l i l由题设知 .,222,1,121⎩⎨⎧=−+<≤−+=−+p i p l p i i l a i l因此p p l p l a a p l p l =−+−−+=−−+−+)22()222(21为素数，)1(21−+=−+p l a p l ．由以上讨论知有无穷多个k l ≥，使l a l 2=且p a a p l p l =−−+−+21为1−l 的最小素因子．3、设复数c b a ,,满足：对任意模不超过1的复数z ，都有12≤++c bz az ． 求||bc 的 最大值．（李伟固提供）解：令 c bz az z f ++=2)(,212)()(−−−++==cz bz a z f z z g ,a zb zc z e g e z h i i ′+′+′==−−12)()(βα．取适当的实数βα,，使得0,≥′′b c ，对1≤r ，有a b r c r re h re h ri i ′+′+′=≥≥−−Im sin 2sin )(Im )(1122θθθθ． 不妨设0Im ≥c ，否则可做变换θθ−→，这样对任意的20πθ<<，有θθθθsin 2sin 2sin 2sin 123122c b r b r c r r′′≥′+′≥−−−，这推得 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∈≤≤′′=2,0,1 ,sin 2sin 41πθθθr r c b bc 对任意,故 θθθθπθπθsin 2sin 41min sin 2sin 41min2,02,0,1⎟⎠⎞⎜⎝⎛∈⎟⎠⎞⎜⎝⎛∈≤=≤r bc r1633sin 2sin max 412,0==⎟⎠⎞⎜⎝⎛∈θθπθ．1633||=bc 的例子：8234682)(2−−=z z z f ，对于1,≤=r re z i θ，有 ()()()().1181223213cos 3218122321sin 322sin 3cos 322cos 321)(24222422222≤++≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−=r r r r r r r r r r e f i θθθθθθ第二天4、设n m ,是给定的大于1的整数，m a a a <<<"21都是整数． 证明：存在整数集的一个子集T ，其元素个数121||1+−+≤n a a T m ， 且对每个},,2,1{m i "∈，均有T t ∈及],[n n s −∈，使得s t a i +=．（冷岗松提供）证明：令b a a a m ==，1，作带余除法r q n a b ++=−)12(，其中Z r q ∈,且n r 20≤≤． 取},,1,0|)12({q k k n n a T "=+++=，则1211||+−+≤+=n ab q T ，且集合 }2)12(,,1,{},,1,,|{n q n a a a n n n s T t s t B ++++=+−−=∈+=""．注意到b r q n a n q n a =+++≥+++)12(2)12(，故每个i a 均在B 中，从而结论成立．5、我们对放置于点n A A A ,,,21"及点O 处的卡片进行操作（3≥n ）．所谓一次操作是指 （1）若某个点i A 处的卡片数目不少于3，则可从中取出3张，在点11,+−i i A A 及O 处各放一张（这里110A A A A n n ==+，）；或者（2）若点O 处的卡片数目不少于n ，则可从中取出n 张，在点n A A A ,,,21"处各放一张． 证明：只要放置于这1+n 个点处的卡片总数不少于132++n n ，则总能通过若干次操作， 使每个点处的卡片数目均不小于1+n ．（瞿振华提供）证明：只需考虑卡片总数等于132++n n 的情况．我们采取如下策略：如果有某个点i A 处的卡片数不少于3，则对点i A 处的卡片进行操作(1)．这样的一次操作使得点O 处的卡片数增加1，于是经过有限次操作(1)后，将不能再进行操作(1)．这时每个点i A 处的卡片数不超过2，点O 处的卡片数不少于12++n n ．然后对点O 处的卡片进行1+n 次操作(2)，这样每个点i A 处的卡片数不少于1+n ．下面我们在保持每个点i A 处的卡片数不少于1+n 的情况下，使点O 处的卡片数增加到至少1+n ．设想n A A A ,,,21"顺次排列在以O 为圆心的圆周上．连续相邻的若干个点的集合n l n i A A A G l i i i ≤≤≤≤=−++1,1},,,,{11"称为一个团，这里若有下标n j >，则n j j A A −=．一个团G 称为好团，如果对G 中每点处的卡片都做一次操作(1)后，G 中每点处的卡片数仍然不少于1+n ．设n a a a ,,,21"分别为点n A A A ,,,21"处的卡片数，n i n a i ,,2,1 ,1"=+≥．好团需满足如下的充要条件：一个点的团}{i A G =是好团当且仅当4+≥n a i ；两个点的团},{1+=i i A A G 是好团当且仅当3,1+≥+n a a i i ；l 个点的团（13−≤≤n l ）},,,{11−++=l i i i A A A G "是好团当且仅当3,1+≥−+n a a l i i 且2+≥n a j ，21−+≤≤+l i j i ；最后全部n 个点的团},,,{21n A A A G "=是好团当且仅当n j n a j ≤≤+≥1 ,2．下面证明当点O 处的卡片数少于1+n 时，或等价地，12221++≥+++n n a a a n "时，必存在好团．假设不存在好团，于是每个}3,2,1{+++∈n n n a i ，否则会有某个点i A 处的卡片数4+≥n a i ，}{i A G =是一个好团．设n a a a ,,,21"中有x 个1+n ，y 个2+n ，z 个3+n ．下面说明一定有z x ≥．由于)2(122+>++n n n n ，故1≥z ．若1=z ，则有1≥x ，否则所有2+≥n a i ，},,,{21n A A A G "=是一个好团．若2≥z ，有3+n 张卡片的z 个点将圆周分成z 段圆弧，由于不存在好团，这z 个点没有两点相邻，且每段圆弧上都存在一个点只有1+n 张卡片．故z x ≥．这样点n A A A ,,,21"处的卡片总数为12)2()2)(()3()2()1(2++<+=+++≤+++++n n n n n z y x n z n y n x ．矛盾．这样我们证明了当点O 处的卡片数少于1+n 时，点n A A A ,,,21"中总存在好团．于是每次对一个好团中的每个点做操作(1)，直至点O 处的卡片数不少于1+n ，而点n A A A ,,,21"处的卡片数也不少于1+n ．结论证毕．6、设321321,,,,,b b b a a a 为互不相同的正整数，满足n nn n n n b n nb b n a n na a n 321321)1()1( )1()1(−+++−+++，对任何正整数n 成立．求证：存在正整数k ，使得i i ka b =，3,2,1=i ．（陈永高提供）证明：设r 为任意正整数．由于素数有无穷多个，故存在素数p ，使得))((321321r r r r r r b b b a a a p ++++> (1)由于p 为素数及(1)，故1),(321=++rr r a a a p ．又p 与1−p 互素，由中国剩余定理知存在正整数n ，使)1(mod −≡p r n ， (2))(mod 0)(31321p a a a a a n rr r r r ≡−+++．(3)由(2),(3)及Fermat 小定理知)(mod 0)()1()1(31321321p a a a a a n a n na a n rr r r r n n n ≡−+++≡−+++． (4) 由题设，得)(mod 0)1()1(321p b n nb b n n nn ≡−+++． 再由(2)及Fermat 小定理得)(mod 0)(31321p b b b b b n r r r rr ≡−+++．(5)由(4),(5)消去n ，得)(mod ))(())((3132131321p a a b b b b b a a a r r r r r r r r r r −++≡−++．(6) 由(1),(6)得 ))(())((3132131321r r r r r r r r r r a a b b b b b a a a −++=−++，即r r r r r r b a b a b a b a b a b a )()(2)()()(2)(323121231312++=++． (7)下面先证一个引理．引理：设s s y y x x ,,,,,11""为实数，s s y y y x x x ≤≤≤<≤≤≤<""21210 ,0，满足对任何正整数r ，总有r s rr r s r r y y y x x x +++=+++""2121，则i i y x = (s i ,,2,1"=)．引理的证明：对s 用归纳法．当1=s 时，取1=r ，有11y x =．假设当t s =时引理成立．当1+=t s 时，若11++≠t t y x ，不妨设11++<t t y x ，则111111111≥+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++++rt t rt rt t rt y y y y y x y x ""． 由于)11( 101+≤≤<<+t i y x t i，令+∞→r ，有10≥，矛盾．因此11++=t t y x ．从而""",2,1 ,11=++=++r y y x x r t r r t r ．由归纳假设知),,2,1( t i y x i i "==． 由数学归纳原理知引理对一切正整数s 成立．现在回到原题．由于321321,,,,,b b b a a a 互不相同，故32123231312123131312b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ≠≠≠≠≠，，，，．由(7)及引理知322113312312b a b a b a b a b a b a ====，， (8) 或322331132112b a b a b a b a b a b a ===，，．(9)若(8)成立，则323121231312b a b a b a b a b a b a ==，即211332a aa a a a ==，这与321,,a a a 互不相同矛盾．所以(9)成立．于是332211a b a b a b ==．设1 ,1),( ,11≥==l l k lka b ，则3,2,1==i a l k b i i ，．由)2(22121a a lkb b +=+及题设（取1=n ）21212 2b b a a ++知l k 为整数，即1=l ．所以3,2,1==i ka b i i ，．。
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一、填空题（每小题8分,共24分）
1、2010个连续自然数由小到大排成一排,排在奇数个上的各数的平均数是2345,那么,排在偶数个上各数的平均数是_2346____
分析:2010个数字中奇数位上的数与偶数位上的数的个数是一样的,每一个偶数位的数字比它前一个奇数位上的数多1,则偶数个上的数字和比奇数个上的数字和多2010÷2×1=1005个,恰好是1005个数,则偶数个上的数的平均数比奇数个上的数平均数多1005÷1005=1,即2345+1=2346
2、小红去买水果,如果买5千克苹果则少4元;如果买6千克梨则少3元,已知苹果比梨每500克贵5角5分,那么小红买水果共带了__24__元.
分析:这是一道盈亏问题,先要统一标准.由"苹果比梨每500克贵5角5分"可知,苹果比梨每千克多11角,则"买6千克梨则少3元"换成"买6千克苹果则少30+6×11=96角"由盈亏公式可得苹果的价钱为:
（96-40）÷（6-5）=56角,则共带了5×56-40=240角=24元
二、填空题（每小题10分,共40分）
1、数一数,下边图形中有__6___个平行四边形.
分析:本题是一道几何计数问题,应不漏不重地按规律去数,每相邻两个三角形可组成一个平行四边形,共计6个.
2、有8名小朋友,他们每人头上戴着一顶红帽子或蓝帽子,如果一名小朋友看到另外3名或3名以上的小朋友戴着红帽子,就拿一个红气球,否则就拿一个蓝气球,结果这些小朋友中既有拿红气球的,也有拿蓝气球的,那么一共有___3__个小朋友戴红帽子.
分析:此题可用假设的方法.
假如有1名或2名小朋友戴红帽子,那么小朋友都要拿出蓝气球;
假如有3名小朋友戴红帽子,那么戴红帽子的小朋友都会拿出蓝气球,而戴蓝帽子的小朋友会拿出红气球;符合题意.
假如有4名或4名以上的小朋友戴红帽子,那么小朋友都要拿出红气球;
所以答案为3名小朋友.
3、六个人传球,每两个之间至多传一次,那么这六个人最多共进行__13___次传球.
分析:本题是一道比赛场数计数问题,"每两个之间至多传一次"让六个人最多次地传球,则是5+4+3+2+1=15次.但得看是否可传递回去,在传递过程中同两人是否重复.
（15条线,代表传球15次）根据一笔画问题,行不通,应减少奇点个数,共有6个奇点,应该去掉两条两条直线,即去掉了4个奇点,剩下2个奇点,可以传递成功,共15-2=13次传球.
4、喜羊羊等一群小羊割了一堆青草准备过冬吃,他们算了一下,平均每只小羊割了45千克,如果除了他们自己外,再分给慢羊羊村长一份,那么每只小羊可分得36千克,回到村里,懒羊羊走来,也要分一分,这样一来,每只小羊就只能分得___30___千克草了.
分析:给慢羊羊一份后就会每只小羊就少了45-36=9千克,慢羊羊是36千克,则是从36÷9=4只小羊身上分出的草,则4只小羊共割了4×45=180千克,再加上慢羊羊和懒羊羊共6只羊,则每只小羊分180÷6=30千克.
三、填空题:（每题12分,共36分）
1、在左下表中,在有公共边的两格内的数同时加上1或同时减去1叫做一次操作,经过有限次操作后由左下表变为右下表,那么右下表中A处的数为_____5_____
分析:本题是一道操作题,须找规律进行计算确定。
2、某校师生共为地震灾区捐款462000元,经统计发现,他们各自所捐的钱数,共有10种不同档次,最低档次共有10人,而每上升一个档次,捐款人数就减少1人;且从第二档次开始,以后各档次的捐款钱数,分别为最低档次的2倍、3倍、4倍……10倍,那么捐款最多的人捐款___21000___元
分析:本题是一道和倍问题,最高档次是1个人,恰好是最低档次10人合捐的10倍,则把最低档次10人看作"1"份,则共10×1+9×2+8×3+7×4+5×6+……++2×9+1×10=220份,462000÷220=2100元,则最高档次即捐款最多的人捐款为2100×10=21000元
3、下表中,A、B、C、D、E、F、G、H、M各代表一个互不相同的非零数字,其中A+B=14,M÷G=M-F=H-C,D×F=24,B+E=16,那么H代表___4___
分析:由"A+B=14,D×F=24,B+E=16"、"A、B、C、D、E、F、G、H、M各代表一个互不相同的非零数字",则假定这九个字母就是1-9这9个数字.再由A+B=14=9+5=8+6,D×F=24=4×6=8×3,则A、B只能从5、9中取值.由于M÷G=M-F,可得M=6,G=2,F=3,则A=5,B=9,H-C=3,则C=1,D=8,F=3,H=4。