北京市昌平一中2014届高三数学8月月考试题 文
2014年全国高考北京市数学(文)试卷及答案【精校版】
15（. 本小题满分 13 分）已知 an 是等差数列， 满足 a1 3 ，a4 12 ，数列 bn 满足 b1 4 ，
b4 20 ，且 bn an 是等比数列 .
（1）求数列 an 和 bn 的通项公式；
（2）求数列 bn 的前 n 项和 .
16.（本小题满分 13 分）函数 f x 3sin 2x
过点 B （2， 10）存在 2 条直线与曲线 y f ( x) 相切； 过点 C（0， 2）存在 1 条直线与曲线 y f (x) 相切 .
4 时间等号成立，所以 | AB |2 8 ，
故线段 AB 长度的最小值为 2 2 .
（ 20 ）解：
（I ）由 f ( x) 2 x3 3x 得 f '( x) 6x2 3 ，令 f '(x) 0 ，得 x
2 或x
2
2
，
2
因为 f ( 2)
10 ， f (
2 )
2
2 2， f( )
2
2 ， f (1) 1 ，
（I ）根据频数分布表， 100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有
6=2+2=10 名，所以样本中的学生课外阅读时间少于
12 小时的频率是 1 10 0.9 . 100
从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于
12 小时的概率为 0.9 .
频率 （II ）课外阅读时间落在组 [4,6) 的有 17 人， 频率为 0.17 ，所以 a
时， f x 取得最大值 0；
6
12
当 2x 6
（ 17 ）解：
，即 x 2
时， f x 取得最小值 3 . 3
（I ）在三棱柱 ABC A1B1C1 中， BB1 底面 ABC ，所以 BB1 AB ，
北京市昌平区高三数学上学期期末考试试题 文
昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(文科)考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知集合{1},{|0},M x N x x =<=>则M N I 等于 A.{}1x x < B. {}1x x >C. {}01x x <<D.∅2．下列函数中，在区间(0，π2)上是减函数的是 A ． cos y x = B ． sin y x = C ．2y x = D ． 21y x =+3. 在ABC ∆中，60,A AC BC ︒∠===，则B ∠等于A. 120oB. 90oC. 60oD. 45o4．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是 A ．8B ．83C ．4侧（左）视图正（主）视图D ．435. “αβ=”是“sin sin αβ=”的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件6. 已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是A. 若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥B. 若//αβ，m α⊥，则m β⊥C. 若//αβ，//m α，则//m βD. 若//m α，//m β，则//αβ7. 某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其它费用)是A. 略有盈利B. 略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况8. 已知数列}{n a 满足*134(1),n n a a n n ++=≥∈N ，且,91=a 其前n 项之和为n S ，则满足不等式1|6|40n S n --<成立的n 的最小值是 A.7 B.6 C.5 D.4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 计算：(1i)(12i)+-= .（i 为虚数单位） 10. 执行如图所示的程序框图，如果输入2-是 ，如果输入4，那么输出的结果是 ．11. 设x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则z x y =+2的最大值是 .12. 平面向量a 与b 的夹角为60o，(1,0)=a ，=2|b |，则|2|a b -= .13. 双曲线13:22=-y x C 的离心率是_________；若抛物线mx y 22=与双曲线C 有相同的焦点，则=m _____________.14. 在下列函数①13,x y +=②,log 3x y =③21,y x =+④,sin x y =⑤cos()6y x π=+中，满足“对任意的1x ，2x ∈(0,1)，则1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立”的函数是________.(填上所有正确的序号)三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分） 已知函数1()cos cos 2 1.2f x x x x =++ (I) 求函数()f x 的最小正周期；(II)当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时的x 值．16.（本小题满分13分）有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（I ）求频率分布直方图中m 的值；(Ⅱ) 分别求出成绩落在[70,80),[80,90),[90,100]46532中的学生人数；（III ）从成绩在[80,100]的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在[80,90)中的概率．17.（本小题满分13分）在等比数列{}n a 中，252,16a a ==. （I ）求等比数列{}n a 的通项公式；（II ）若等差数列{}n b 中，1582,b a b a ==，求等差数列{}n b 的前n 项的和n S ，并求n S 的最大值.18. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，=90DAC ∠o ，O 为AC 的中点，PO ⊥底面ABCD .（I ）求证：AD ⊥平面PAC ;（II ）在线段PB 上是否存在一点M ，使得//OM 平面PAD ？若存在，写出证明过程；若不存在，请说明理由.19. （本小题满分14分） 已知函数() 1.xxf x e xe =-- （I ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设()(),f x g x x= 其中1,0x x >-≠且，证明: ()g x ＜1.20. （本小题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为2，其四个顶点组成的菱形的面积是42，O 为坐标原点，若点A 在直线2=x 上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥.（I ） 求椭圆C 的方程； （II ）求线段AB 长度的最小值； （III ）试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(文科)参考答案及评分标准 2015.1一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CADDABBC二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)9. 3i - 10. 10 ； 4 11. 2 12. 2 13. 332; 4± 14. ① ③三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为 31()sin 2cos 2122f x x x =++ ………… 4分 sin(2)16x π=++ ………… 6分所以22T π==π. ………… 7分 （Ⅱ）因为()sin(2)16f x x π=++， 02x π≤≤，所以2666x ππ7π≤+≤． …………9分所以当262x ππ+=即6x π=时，函数)(x f 的最大值是2. …………13分16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意10(23456)1m m m m m ⨯++++=，0.005m =. ………3分 （II ）成绩落在[70,80)中的学生人数为20100.036⨯⨯=， 成绩落在[80,90)中的学生人数20100.024⨯⨯=成绩落在[90,100]中的学生人数20100.012⨯⨯=. ……………6分 （III ）设落在[80,90)中的学生为1234,,,a a a a ，落在[90,100]中的学生为12,b b ，则1121314111223242122343132414212{,,,,,,,,,,,,,,}a a a a a a a b a b a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b Ω=，基本事件个数为15=n ，设A ＝“此2人的成绩都在[80,90)”，则事件A 包含的基本事件数6m =， 所以事件A 发生概率62()155m P A n ===. ……………13分17.（本小题满分13分）解：（I ）在等比数列{}n a 中，设公比为q ，因为 252,16a a ==,所以 1412,16a q a q =⎧⎨=⎩得112a q =⎧⎨=⎩所以 数列{}n a 的通项公式是 12n n a -=. ……………5分（II ）在等差数列{}n b 中，设公差为d .因为 1582,b a b a ==,所以 1582=16,=2b a b a =⎧⎨=⎩ 1116,+7=2b b d =⎧⎨⎩ 1=16,=2b d ⎧⎨-⎩ ……………9分方法一 21(1)172n n n S b n d n n -=+=-+， 当89n =或时，S n 最大值为72. ……………13分 方法二由182n b n =-,当1820n b n =-≥,解得9n ≤,即980, 2.a a ==所以当89n =或时，S n 最大值为72. ……………13分18. （本小题满分14分） 证明：（I ）在ADC ∆中，=90.DAC AD AC ∠⊥o 因为，所以又因为 PO ABCD ⊥面，AD ABCD ⊂平面所以 PO AD ⊥. 又因为 =PO AC O PC AC PAC ⊂I 平面，、,所以AD PAC ⊥平面. ……………6分 （II ）存在.当M 为PB 中点时，OM//PAD 平面. ……………7分 证明：设PA AD 、的中点分别为E F 、，连结OF ME EF 、、,ACD O AC ∆在中，为的中点，所以1//,=2OF CD OF CD .PAB M E PB PA ∆在中，、为、的中点， 所以 1//,=2ME AB ME AB ,//=ME OF ME OF ，,所以 四边形OMEF 是平行四边形, 所以 //OM EF .因为 OM PAD ⊄平面，EF PAD ⊂平面，所以 //OM PAD 平面. ……………14分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）'(),xf x xe =- …………………2分 当(,0)x ∈-∞时，f (x )＞0，f (x )单调递增； …………………4分 当(0,)x ∈+∞时，f(x )＜0，f (x )单调递减． …………………6分x( , 0)-∞0 (0 , )+∞)(' x f＋ 0 － )(x f↗极大值↘ 所以f (x )的最大值为f (0)＝0．…………………7分DABC FEM OP（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x >时，()0,()0 1.f x g x <<< …………………9分 当10x -<<时，()1g x <等价于().f x x > 设()()h x f x x =-，则'()1xh x xe =--．当(1,0)x ∈-时，01,01,xx e <-<<<则01,xxe <-<从而当(1,0)x ∈-时，'()0h x <，()h x 在(1,0)-单调递减．…………………12分 当(1,0)x ∈-时，()(0)0,h x h >= 即()(0)0,()f x x h f x x ->=>所以， 故g (x )＜1． 综上，总有g (x )＜1．…………………14分20. （本小题满分13分）解：（I）由题意2c e a ab ⎧==⎪⎨⎪=⎩，解得224,2a b ==.故椭圆C 的标准方程为22142y x +=. ……………3分 （II ）设点A ，B 的坐标分别为00(2,),(,)t x y ，其中00≠y ，因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=uu r uu u r，即0020+=x ty ， ……………4分解得002=-x t y ，又220024+=x y ， 所以22200||(2)()=-+-AB x y t=2200002(2)()-++x x y y =2220002044+++x x y y=2220002042(4)42--+++y y y y =2200284(04)2++<≤y y y ，……………5分因为22002084(04)2+≥<≤y y y ，当且仅当204=y 时等号成立，所以2||8AB ≥，故线段AB长度的最小值为……………7分（III ）直线AB 与圆222x y +=相切. ……………8分证明如下：设点A,B 的坐标分别为00(,)x y ，(2,)t ，其中00y ≠.因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，即0020x ty +=，解得002xt y =-. (9)分直线AB 的方程为00(2)2y ty t x x --=--， 即0000()(2)20y t x x y y tx ----+=， ……………10分圆心O 到直线AB 的距离d =, ……………11分由220024y x +=，02x t y =-， 故d ===，所以 直线AB 与圆222x y +=相切. ……………13分。
北京昌平一中高三上学期12月月考数学(理)试题及答案
昌平一中高三年级第一学期十二月月考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，并把答案填在题后的表格中．1．已知集合{}M x x a =≤，{20}N x x =-<<，若M N =∅，则a 的取值范围为（ ）． A ．0a > B ．2a -≤ C ．0a ≥ D ．2a <-2．已知命题π:2P x ∃≥，sin 1x >，则p ⌝为（ ）．A ．π2x ∀≥，sin 1x ≤B ．π2x ∀<，sin 1x ≤C ．π2x ∃≥，sin 1x ≤D ．π2x ∃<，sin 1x ≤3．已知直线1:(2)10l ax a y =+++，2:20l ax y -=+，若12l l ∥，则a 的值为（ ）． A ．0 B ．3- C ．0或3- D ．2或1-4．已知α，β表示不重合的两个平面，a ，b 表示不重合的两条直线，则下列命题中正确的是（ ）．A ．若a b ⊥，且b α∥，则a α⊥B ．若a b ⊥且b α⊥，则a α∥C ．若a α⊥，且b α∥，则a b ⊥D ．若a α⊥，且αβ⊥，则a β∥ 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（ ）．AB ．3 C． D6．若x ，y 满足03030y x y kx y ⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≥，且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为（ ）．A ．32-B ．32C ．23-D ．237．设10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则“(,1]a ∈-∞-”是“12log 2x x a >+”成立的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数(1)a a >的点的轨迹．下列四个论断中一定错误的是（ ）．A ．曲线C 关于坐标原点对称B ．曲线C 与x 轴恰有两个不同交点C ．若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积不大于212aD ．椭圆222211x ya a +=-的面积不小于曲线C 所围成的区域的面积二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式 为n a =____________．10．椭圆22192x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =__________，12F PF ∠的大小为____________．11．直线:3l y kx =+与圆22:(2)(3)4C x y -+-=相交于A ，B两点，若||AB =k =____________．12．已知AOB △为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边的高．C BAOP（1）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=__________．（2）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅的取值范围为__________．13．已知椭圆2214x y +=，O 为坐标原点．（1）椭圆的短轴长为__________．（2）若M 为椭圆上一点，且在y 轴的右侧，N 为x 轴上一点，90OMN ∠=︒，则点N 的横坐标最小值为__________．14．如图，在四面体ABCD 中，点1B ，1C ，1D 分别在棱AB ，AC ，AD 上，且平面111B C D ∥平面BCD ，1A 为BCD △内一点，记三棱锥1111ABCD -的体积为V ，设1AD x AD=，对于函数()V f x =，则下列结论正确的是__________．DC①当23x =时，函数()f x 取到最大值； ②函数()f x 在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数；③函数()f x 的图像关于直线12x =对称；④不存在0x ，使得01()4A BCD f x V ->（其中A BCD V -为四面体ABCD 的体积）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()sin(π2)f x x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期． （Ⅱ）求函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．（Ⅲ）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，π4CAD ∠=，72AC =，cos ADB ∠=CB AD（Ⅰ）求sin C ∠的值．（Ⅱ）若5BD =，求ABD △的面积．17．如图，PA ⊥面ABC ，AB BC ⊥，22AB PA BC ===，M 为PB 的中点．MDABCP（Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ．（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值．（Ⅲ）在线段PC 上是否存在点D ，使得BD AC ⊥，若存在，求出PDPC的值，若不存在，说明理由．已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++（a 为实数）．（Ⅰ）若2a =-，求函数()y f x =在1x =处的切线方程． （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．（Ⅲ）若存在[1,e]x ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，离心率e =且椭圆经过点(0,1)．过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若||AB =l 的方程．（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形M ATB 是菱形，且点T 在椭圆上．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．20．（本题满分13分）已知有穷数列1:A a ，2a ，3a ，，(2,*)n a n n ∈N ≥，若数列A 中各项都是集合{11}x x -<<的元素，则称该数列为Ω数列．对于Ω数列A ，定义如下操作过程:T 从A 中任取两项i a ，(1,)j a i j n ≤≤，将1i j i ja a a a ++的值添在A 的最后，然后删除i a ，j a ，这样得到一个1n -项的新数列，记作1A （约定：一个数也视作数列）．若1A 还是Ω数列，可继续实施操作过程T ．得到的新数列记作2A ，，如此经过k 次操作后得到的新数列记作k A ．（Ⅰ）设:0A ，12，13，12-，请写出1A 的所有可能的结果．（Ⅱ）求证：对Ω数列A 实施操作过程T 后得到的数列1A 仍是Ω数列．（Ⅲ）设5:7A -，16-，15-，14-，56，12，13，14，15，16，23，求10A 的所有可能的结果，并说明理由．昌平一中高三年级第一学期十二月月考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，并把答案填在题后的表格中．1．已知集合{}M x x a =≤，{20}N x x =-<<，若M N =∅，则a 的取值范围为（ ）． A ．0a > B ．2a -≤ C ．0a ≥ D ．2a <- 【答案】B【解析】∵{}M x x a =≤，{20}N x x =-<<， 由M N =∅，得2a -≤． 故选B ．2．已知命题π:2P x ∃≥，sin 1x >，则p ⌝为（ ）．A ．π2x ∀≥，sin 1x ≤B ．π2x ∀<，sin 1x ≤C ．π2x ∃≥，sin 1x ≤D ．π2x ∃<，sin 1x ≤【答案】A【解析】特称命题的否定是全称命题，所以p ⌝为：π2x ∀≥，sin 1x ≤ ．故选A ．3．已知直线1:(2)10l ax a y =+++，2:20l ax y -=+，若12l l ∥，则a 的值为（ ）． A ．0 B ．3- C ．0或3- D ．2或1- 【答案】C【解析】若12l l ∥，则2aa a -=+，化简得230a a +=，解得0a =或3-． 故选C ．4．已知α，β表示不重合的两个平面，a ，b 表示不重合的两条直线，则下列命题中正确的是（ ）．A ．若a b ⊥，且b α∥，则a α⊥B ．若a b ⊥且b α⊥，则a α∥C ．若a α⊥，且b α∥，则a b ⊥D ．若a α⊥，且αβ⊥，则a β∥ 【答案】C【解析】A 项，若a b ⊥，且b α∥，则a α∥或a 与α相交，故A 选项错误； B 项，若a b ⊥且b α⊥，则a α∥或a α⊂，故B 选项错误；C 项，若b α∥，则存在b α'⊂且b b ''∥，因为a α⊥，所以a b '⊥，所以a b ⊥，故C 选项正确；D 项，若a α⊥，且αβ⊥，则a β∥或a β⊂，故D 选项错误．故选C ．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（ ）．AB ．3 C． D【答案】D 【解析】CBA DP作出三棱锥P ABC -的直观图如图所示，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，连接PD ．由三视图可知PA ⊥平面ABC ，1AB AD ==，2CD PA ==，∴3BC =，PD，AC，AB BC PD ⊥．∴1322ABC S BC AD =⨯⨯=△，12ABP S AB PA =⨯⨯=△12ACP S AC PA =⨯⨯=△12BCP S BC PD =⨯⨯=△．∴三棱锥P ABC -的四个面中，侧面PBC．故选D ．6．若x ，y 满足03030y x y kx y ⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≥，且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为（ ）．A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】如图，取4z =得直线方程24y x =-+，分别画出3y x =+，0y =以及24y x =-+， 由图可知，当3y kx =+过点(2,0)时，2y x z =-+通过点(2,0)时截距最大，即z 取得最大值，代入得023k =+，解得32k =-．故选A ．7．设10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则“(,1]a ∈-∞-”是“12log 2x x a >+”成立的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】12log 2x x a >+等价于12log 2a x x <-，令12()log 2f x x x=-，则min ()a f x <．∵12()log 2f x x x=-在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴0a ≤． ∴“(,1]a ∈-∞-”是“12log 2x x a >+”成立的充分不必要条件．故选A ．8．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数(1)a a >的点的轨迹．下列四个论断中一定错误的是（ ）．A ．曲线C 关于坐标原点对称B ．曲线C 与x 轴恰有两个不同交点C ．若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积不大于212aD ．椭圆222211x ya a +=-的面积不小于曲线C 所围成的区域的面积【答案】D【解析】设点(,)x y 2a ．A 选项，若(,)x y 在曲线C 上，则(,)x y --也在曲线C 上，即曲线关于坐标原点对称， 故A 选项正确；B 项，令0y =2a ，化简得21x a -=或21x a -=-，因为21x a -=有两个解，21x a -=-无解，所以曲线C 与x 轴恰有两个不同交点，故B 选项正确；C 项，若点P 在曲线C 上，则1221212121||||sin sin 22F PFa S F P F P F PF F PF =⋅∠=∠△． ∵12sin 1F PF ∠≤，∴1222F PF a S ≤△，故C 选项正确；D 项，若点P 在曲线C 上，根据1222PF PF a +>≥可知，曲线C 上点都在椭圆222211x y a a +=-外，故椭圆222211x y a a +=-的面积小于曲线C 所围成的区域的面积． 故D 选项论断错误． 故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式 为n a =____________． 【答案】21n +【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵1a ，4a ，13a 成等比数列，13a =，∴24113a a a =，即2(33)3(312)d d +=+， 解得2d =或0d =（舍去），故{}n a 的通项公式为32(1)n a n =+-，即21n a n =+．10．椭圆22192x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =__________，12F PF ∠的大小为____________． 【答案】2；120︒【解析】由椭圆方程可得：12||||26PF PF a +==，12||2F F c ==∵1||4PF =，∴2||2PF =， 由余弦定理可得22212121212||||||1cos 2||||2PF PF F F F PF PF PF +-∠==-⋅． 故12120F PF ∠=︒．11．直线:3l y kx =+与圆22:(2)(3)4C x y -+-=相交于A ，B两点，若||AB =k =____________．【答案】 【解析】根据题意可得，圆心(2,3)到直线3y kx =+的距离1d =．1=，解得k =．12．已知AOB △为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边的高． CB AO P（1）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=__________．（2）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅的取值范围为__________．【答案】（1）18-；（2）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】y（1）以O 为原点，OB 为x 轴，OA 为y 轴建立如图直角坐标系，则根据题可知，(0,1)A ，(1,0)B ，11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,44AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,44OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴13116168AP OP ⋅=-=-． （2）设OP OC λ=，则11,22OP λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,22P λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，11,122AP λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 其中，01λ≤≤． ∴21111111222222AP OP λλλλλλ⎛⎫⋅=⨯+-=- ⎪⎝⎭，01λ≤≤，当12λ=时，AP OP ⋅的取得最小值18-． 当1λ=时，AP OP ⋅取得最大值0．故AP OP ⋅的取值范围为1[,0]8-．13．已知椭圆2214x y +=，O 为坐标原点． （1）椭圆的短轴长为__________．（2）若M 为椭圆上一点，且在y 轴的右侧，N 为x 轴上一点，90OMN ∠=︒，则点N 的横坐标最小值为__________．【答案】（1）1；（2【解析】（1）由椭圆标准方程可知2a =，1b =，故椭圆的短轴长为2．（2）∵点M 为椭圆上一点，且在y 轴的右侧，设(,)M a b ，则0a >，且OM 的斜率为b k a=， ∴MN 的斜率a k b =-，MN 的直线方程为()a y b x a b-=--， 令0y =解得点N 的横坐标2b x a a=+． ∵2214a b +=，∴2214a b =-，213144a a x a a a -=+=+≥ 当且仅当314a a =，即a 时等号成立， 故点N14．如图，在四面体ABCD 中，点1B ，1C ，1D 分别在棱AB ，AC ，AD 上，且平面111B C D ∥平面BCD ，1A 为BCD △内一点，记三棱锥1111ABCD -的体积为V ，设1AD x AD=，对于函数()V f x =，则下列结论正确的是__________．DC ①当23x =时，函数()f x 取到最大值； ②函数()f x 在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数； ③函数()f x 的图像关于直线12x =对称； ④不存在0x ，使得01()4A BCD f x V ->（其中A BCD V -为四面体ABCD 的体积）． 【答案】①②④【解析】设四面体的底面积为S ，高为h ，则13A BCD V Sh -=． ∵平面111BCD ∥平面BCD ，∴111B C D BCD △∽△． 又∵1AD x AD=，∴1112B C D BCD S x S =△△，∴1112B C D S Sx =△， 设1111A B C D V -的高为h '，则h h x h'-=，得(1)h h x '=-． ∴2232311(1)()()33A BCD V Sx h x Sh x x V x x -=⋅-=-=-，(01)x <<． 2(32)A BCD V x x V -'=-+，令0V '=，得23x =， 当20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '>，()V f x =是增函数． 当2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '<，()V f x =是减函数． 当23x =时，()V f x =取得最大值，4()=27A BCD V f x V -=最大值，【注意有文字】 故不存在0x ，使得01()4A BCD f x V ->． 综上所述，结论正确的是①②④．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()sin(π2)f x x x =+-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期．（Ⅱ）求函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值． （Ⅲ）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间． 【答案】【解析】（1）∵2()sin(π2)f x x x =+-1)sin2x x ++sin 2x x =π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∴函数()f x 的最小正周期为π．（2）∵ππ66x -≤≤， ∴π2π0233x +≤≤， ∴π0sin 213x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤≤，π2sin 223x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 故函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2（3）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴令πππ2332x +≤≤，得π012x ≤≤． 令ππ4π2233x +≤≤，得ππ122x ≤≤． ∴函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间是π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间是ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦．16．（本题满分13分）如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，π4CAD ∠=，72AC =，cos ADB ∠= CAD（Ⅰ）求sin C ∠的值．（Ⅱ）若5BD =，求ABD △的面积．【答案】【解析】（1）∵cos ADB ∠=sin ADB ∠= 又∵π4CAD ∠=，∴π4C ADB ∠=∠-， ∴πππsin sin sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB ⎛⎫∠=∠-=∠-∠⋅ ⎪⎝⎭45=+=． （2）在ACD △中，由sin sin AD AC C ADC=∠得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅===∠．∴11sin 5722ABD S AD BD ADB =⋅⋅⋅∠=⋅=△．17．如图，PA ⊥面ABC ，AB BC ⊥，22AB PA BC ===，M 为PB 的中点．MDA BCP（Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ．（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值．（Ⅲ）在线段PC 上是否存在点D ，使得BD AC ⊥，若存在，求出PD PC的值，若不存在，说明理由． 【答案】【解析】（1）证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥．∵BC AB ⊥，PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB ．又AM ⊂平面PAB ，∴AM BC ⊥．∵PA AB =，M 为PB 的中点，∴AM PB ⊥．又∵PB BC B =，∴AM ⊥平面PBC ．（2）如图，在平面ABC 内作AZ BC ∥，则AP ，AB ，AZ 两两垂直，建立空间直角坐标系A xyz -．则(0,0,0)A ，(2,0,0)P ，(0,2,0)B ，(0,2,1)C ，(1,1,0)M ． (2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM =．设平面APC 的法向量为(,,)n x y z =，则：00n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，则2z =-． ∴(0,1,2)n =-．由（1）可知(1,1,0)AM =为平面PBC 的一个法向量，∴cos ||||5AM n n AM AM n ⋅⋅==∵二面角A PC B --为锐角，∴二面角A PC B --． （3）证明：设(,,)D v w μ是线段PC 上一点，且PD PC λ=，(01)λ≤≤， 即(2,,)(2,2,1)v w μλ-=-，∴22μλ=-，2v λ=，w λ=． ∴(22,22,)BD λλλ=--．由0BD AC ⋅=，得4[0,1]5λ=∈， ∴线段PC 上存在点D ，使得BD AC ⊥，此时45PD PC λ==． 18．（本题满分13分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++（a 为实数）．（Ⅰ）若2a =-，求函数()y f x =在1x =处的切线方程．（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．（Ⅲ）若存在[1,e]x ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围．【答案】【解析】（1）当2a =-时，2()2ln f x x x =-，2()2f x x x'=-． ∴(1)0f '=，(1)1f =，∴所求切线方程为1y =．（2）22(2)(2)(1)()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x---'=-==++++． 令()0f x '=，则2a x =或1x =， 当0a ≤时，令()0f x '>，则1x >，令()0f x '<，则01x <<． 当12a =时，即2a =时，()0f x '≥恒成立． 当12a >时，即2a >时，令()0f x '>，则01x <<或2a x >． 令()0f x '<，则12a x <<． 当012a <<即02a <<时，令()0f x '>，则02a x <<或1x >， 令()0f x '<，则12a x <<． 综上，当0a ≤时，()f x 的单调增区间为(1,)∞+，单调减区间为(0,1)；当02a <<时，()f x 的单调增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(1,)∞+，单调减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当2a =时，()f x 的单调增区间为(0,)∞+； 当2a >时，()f x 的单调增区间为(0,1)和,2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭+，单调减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （3）当2a ≤时，()f x 在[1,e]上单调递增，∴()f x 的最小值为(1)1f a =--，∴(1)1f a =--≤0，∴12a -≤≤．当22e a <<时，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调减，在,e 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴()f x 的最小值为2ln ln 124224a a a a a f a a a ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+． ∵22e a <<， ∴0ln 12a <<，3e 11242a <<++， ∴ln 10224a a a f a ⎛⎫⎛⎫=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴22e a <<．当2e a ≥时，()f x 在[1,e]上单调递减，∴()f x 的最小值为2(e)=e (2)e f a a -++． ∵2e 2e 2e e 1a ->-≥，∴(e)0f <， ∴2e a ≥．综上可得1a -≥．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，离心率e =且椭圆经过点(0,1)．过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若||AB =l 的方程． （Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形M ATB 是菱形，且点T 在椭圆上．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．【答案】【解析】（1）由题意可得2221b c a a b c =⎧⎪⎪⎨⎪⎪=⎩+，解得a =，1b c ==， ∴椭圆C 的方程为2212x y =+． （2）设直线l 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩+，消去y 得2222(21)4220k x k x k --=++， 2122421k x x k =++，21222221k x x k -=+．∵AB ，， 化简得427250k k --=即22(1)(75)0k k -=+，解得1k =±．故直线l 的方程为1y x =-或1y x =--．（3）由（2）可知(0,1)A -，41,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，假设存在点(,0)M m ，设00(,)T x y ，则 220000001244()033122x y x m y x m y ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩+++，解得(0,1)m =， 故不存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形M ATB 是菱形． 20．（本题满分13分）已知有穷数列1:A a ，2a ，3a ，，(2,*)n a n n ∈N ≥，若数列A 中各项都是集合{11}x x -<<的元素，则称该数列为Ω数列．对于Ω数列A ，定义如下操作过程:T 从A 中任取两项i a ，(1,)j a i j n ≤≤，将1i j i ja a a a ++的值添在A 的最后，然后删除i a ，j a ，这样得到一个1n -项的新数列，记作1A （约定：一个数也视作数列）．若1A 还是Ω数列，可继续实施操作过程T ．得到的新数列记作2A ，，如此经过k 次操作后得到的新数列记作k A ．（Ⅰ）设:0A ，12，13，12-，请写出1A 的所有可能的结果．（Ⅱ）求证：对Ω数列A 实施操作过程T 后得到的数列1A 仍是Ω数列． （Ⅲ）设5:7A -，16-，15-，14-，56，12，13，14，15，16，23，求10A 的所有可能的结果，并说明理由． 【答案】【解析】（1）1A 有如下6种可知结果：11:3A ，12-，12；11:2A ，12-，13； 11:2A ，13，12-；1:0A ，12-，57；1:0A ，13，0；1:0A ，12，15-． （2）证明：∵a ∀，{11}b x x ∈-<<，有：(1)(1)1011a b a b ab ab ----=<+++且(1)(1)(1)011a b a b ab ab--=>+++++， ∴{11}1a b x x ab∈-<<++． 故对Ω数列实施操作T 后得到的数列1A 仍是Ω数列．（3）由题意可知10A 中仅有一项，对于满足a ，{11}b x x ∈-<<的实数a ，b 定义运算：1a b a b ab=++， 下面证明这种运算满足交换律和结合律．∵1a b a b ab =++，且1b a b a ba=++， ∴a b b a =，即该运算满足交换律．∵1()1111b c a b c a b c abc bc a b c a b c bc ab bc caa bc===⋅++++++++++++++， 1()1111a b c a b a b c abc ab a b c c a b ab ab bc ca c ab===⋅++++++++++++++． ∴()()a b c a b c =，即该运算满足结合律，∴10A 中的项与实施的具体操作过程无关． 选择如下操作过程求10A ，由（1）可知115237=， 易知55077-=，11044-=，11055-=，11066-=． 52276328=． 综上可知1027:28A ．。
北京市昌平区2013-2014学年第一学期高三年级期末理科数学-含答案
昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（理 科）（满分150分，考试时间120分钟） 2014.1考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知全集=R U ，集合{1,0,1}=-A ,2{20}=-<B x x x , 则=I ðU A B(A) {1,0}- (B) {1,0,2}- (C) {0} (D) {1,1}- (2) “1cos 2α=”是“3πα=”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件(3) 给定函数①21y x =+，②12log y x =，③12y x =，④1()2xy =，其中在区间(0,1)上单调递增的函数的序号是（A ）② ③（B ）① ③ （C ）① ④（D ）② ④w(4) 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4俯视图左视图主视图(5) 若实数,x y 满足10,2,3,+-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩x y x y 则z y x =-的最小值是(A) 1 (B) 5 (C) 3- (D) 5- (6) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 (A) 1 (B) 2(C)23 (D)13(7) 连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,若记向量()m n ，a =与向量(12)=-，b 的夹角为θ,则θ为锐角的概率是 (A)536 (B) 16 (C) 736(D) 29（8）已知函数21,0,(),40⎧+>⎪=-≤≤x x f x a x 在点(1,2)处的切线与()f x 的图象有三个公共点，则a 的取值范围是（A）[8,4--+ （B）(44---+ （C）(48]-+ （D）(48]---第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）(9) 已知θ是第二象限的角，3sin 5θ=，则tan θ的值为___________ .(10) 如图，在复平面内，复数z 对应的向量为OA uu r，则复数i ⋅z =_______ .(11) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2461a a a -+=，则4a =_____ ，7S = _____. （12）曲线11,2,,0====x x y y x所围成的图形的面积等于___________ .(13) 在ABC ∆中，4,5,2==⋅=AB BC BA AC u u r u u u r,则AC =________ .(14) 将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A B C 、、,其中12{,,,}n A a a a =L ，12{,,,}n B b b b =L ，12{,,,}n C c c c =L ，若A B C 、、中的元素满足条件：12n c c c <<<L ，k k k a b c +=，(1,2,3,,)k n =，则称M 为“完并集合”.①若{1,,3,4,5,6}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为 .（写出一个即可） ②对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是 .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当5[,]126x ππ∈-时，求函数()f x 的取值范围.(16)(本小题满分13分)为了调研某校高一新生的身高（单位：厘米）数据，按10%的比例对700名高一新生按性别分别进行“身高”抽样检查，测得“身高”的频数分布表如下表1、表2.（Ⅰ）求高一的男生人数并完成下面的频率分布直方图； （Ⅱ）估计该校学生“身高”在[165,180)之间的概率；（Ⅲ）从样本中“身高”在[180,190)的男生中任选2人，求至少有1人“身高”在[185,190)之间的概率.D CBAP(17)(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，2PD CD BC AD ===,//,90AD BC BCD ∠=︒.(Ⅰ)求证：BC PC ⊥；(Ⅱ)求PA 与平面PBC 所成角的正弦值；(Ⅲ)线段PB 上是否存在点E ,使AE ⊥平面PBC ？说明理由.(18)(本小题满分13分)在平面直角坐标系x y O 中，已知点(,0)(0)≠A a a ,圆C 的圆心在直线4y x =-上，并且与直线:10l x y +-=相切于点(3,2)P -.(Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)若动点M 满足2MA MO =，求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，是否存在实数a ，使得CM 的取值范围是[1,9]，说明理由.(19)(本小题满分13分)已知函数2(2)()m xf x x m-=+.（Ⅰ）当1m =时，求曲线()f x 在点11(,())22f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.(20)(本小题满分14分)设满足以下两个条件的有穷数列123,,,,n a a a a L 为(2,3,4,)=L n n 阶“期待数列”： ①1230++++=L n a a a a ，②1231++++=L n a a a a .(Ⅰ)若等比数列{}n a 为2()∈N*k k 阶“期待数列”,求公比q ；(Ⅱ)若一个等差数列{}n a 既是2()∈N*k k 阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式； (Ⅲ)记n 阶“期待数列”{}i a 的前k 项和为(1,2,3,,)=L k S k n .(1)求证: 12≤k S ； (2)若存在{1,2,3,,}∈L m n ，使12=m S ,试问数列{}(1,2,3,,)=L i S i n 能否为n 阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2014.1一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
北京市昌平区2014届高三年级第二次统一练习数学试卷(带解析)
北京市昌平区2014届高三年级第二次统一练习数学试卷（带解析）1．已知集合{213}=+<A x x ,2{4}=≤B x x , 则A B =U （ ） (A){21}-≤<x x (B){2}≤x x (C){21}-<<x x (D){2}<x x 【答案】B 【解析】 试题分析：2131x x +<⇒<，即{1}A x x =<。
()()2422022x x x x ≤⇒+-≤⇒-≤≤，即{22}B x x =-≤≤，所以{2}A B x x =≤U 。
故B 正确。
考点：1一元二次不等式；2集合的运算。
2．“1,1a b >>”是“1ab >”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：根据不等式同向正数可乘性可得1,11a b ab >>⇒>；但1ab >，不妨取2,3a b =-=-，故“1,1a b >>”是“1ab >”的必要不充分条件。
故A 正确。
考点：充分必要条件。
3．设0.10.134,log 0.1,0.5a b c ===，则（ ）（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）b c a >> 【答案】C 【解析】试题分析：0.10441a =>=，33log 0.1log 10b =<=，因为0.1000.50.51<<=，即01c <<。
综上可得a c b >>。
故C 正确。
考点：1指数函数的单调性及值域；2对数函数的单调性。
4． 62)-的展开式中2x 的系数是 （ ）（A ）120- （B ）120 （C ）60- （D ）60 【答案】D 【解析】试题分析：通项()()63216622k kkkkk k T CC x--+=-=-，令322k-=解得2k =。
2014年北京市数学(文)高考真题含答案带解析(超完美word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B = （ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.y x =C.ln y x =D.y x =3.已知向量()2,4a = ，()1,1b =-，则2a b -= （ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.155.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件 6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中， 包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1B.()1,2C.()2,4D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ， 使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”. 在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟） 满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数）， 图中记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据， 可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 10.设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为.11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.侧（左）视图正（主）视图12.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 13.若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y +的最小值为 .14.顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都 完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 工作日.三、解答题共6小题，共80分。
北京市昌平一中2014届高三2月月考数学(理)试题无答案
昌平一中2014届高三年级2月月考数学试题（理工类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1、已知全集U =R ，集合{}12<=xx A ，{}01<-=x x B ，则B A C U )(=（ ）A . {|1}x x >B . {}10<≤x x C . {|01}x x <≤ D . {|1}x x ≤ 2、在等腰直角三角形ABC 中，D 为斜边AB 上任意一点，则AD 的长小于AC 的长的概率为（ ） A ．221-B ．21C ．22D.23、直线()110a x y +++=与圆222x y x +-A . 1或1- B . 2- C . 4、某程序框图如图所示,A ．4=a B ．5=a C ．6=aD ．7=a5、如图，阴影区域是由函数sin y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这 个阴影区域的面积是（ ）A. 1 B ．2 C ．π2D.π6、设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a b ⊥的是（ ） A ．a α⊥，//b β，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，//b β，αβ⊥7、在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组0,0,2x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤所表示的平面区域为D . 在映射,:u x y T v x y=+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v ，则由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为（ ）A.16B. 8C. 4D.2A8、设圆O 的半径为2，点P 为圆周上给定一点，如图所示，放置边长为2 的正方形ABCD （实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合，点B 在圆周上）.现将正方形ABCD 沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点A 首次回到点P 的位置时，点A 所走过的路径的长度为（ ）.A.4πB.π⎛⎝⎭C.(1π+D.(2π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9、设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为10、在数列{}n a 中，1211,2,n n a a a a n λ+==∙=，（λ为常数，*n N ∈），则λ= ；4a =11、在ABC ∆中，3,5,120a b C ===，则_______,sin _______.c A ==12、设抛物线22=y px (0)>p 的焦点为F ，点(0, 2)A ．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为13、已知函数21(),0,()2log ,0,xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则函数()()1F x f x =-的零点的个数为 ；使不等式()1F x ≤成立的x 的取值范围是14、如图，在四面体ABCD 中，AB BCD ⊥平面，BCD ∆ 是边长为.若4AB =，则点B 到平面ACD 的距离是_______；四面体ABCD 外接球的表面积为_____.昌平一中高三年级2 成绩(9) ； (10) ， ； (11) ， ；(12) ； (13) ， ； （14) ， ；三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13分）已知函数2()2coscos()23xf x x ωπω=++()0ω>的最小正周期为π. （Ⅰ）求实数ω的值；（Ⅱ）在锐角．．ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若1(),32f A c =-=,ABC ∆的面积为求角A 的值和边a 的值.16. （本小题满分13分）一汽车厂生产A 、B 、C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆．（Ⅰ）求z 的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（Ⅲ）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2. 把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中 任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是梯形，BC ∥AD ，o 90=∠ABC ，1===PA BC AB ，2=AD ，E ，F 分别为PA ，AD 的中点.（Ⅰ）求证：平面BEF ∥平面PCD ； （Ⅱ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设Q 为侧棱PD 上一点，λ=，试确定λ的值， 使得二面角P AC Q -- 的AP DE F余弦值为318.（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a R ∈.（Ⅰ）当[0,4]x ∈时，函数2()f x e ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()()F x af x =的单调区间.19.（本小题满分14分）椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>, 点A 为左顶点，点B 为上顶点，直线AB 的斜率为, 又直线(1)y k x =-经过椭圆C 的一个焦点且与其相交于点,M N . ( I ) 求椭圆C 的方程； ( II ) 将||MN 表示为k 的函数；(III) 线段MN 的垂直平分线与x 轴相交于点P ，又点(1,0)Q ，求证：||||PQ MN 为定值.20.（本小题满分13分）将各项均为正整数的数列{}n a 排成如下所示的三角形数阵（第n 行有n 个数；在同一行中，各项的下标从左到右依次增大）.n b 表示该数阵中第n 行第1个数.已知数列{}n b 为公比为q 等比数列，1321,1a a a ==+，且从第3行开始，从左到右，各行均构成公差为d 的等差数列.( I )设2,1q d ==，试确定2014a 是数阵的第几行 的第几个数，并求2014a 的值；( II )设2,1q d ==，试确定数列{}(),2014k a k N k *∈≤中能被3整除的项的个数.(III)求证：数列{}n a 是单调递增数列的充分必要条件是()322,12,q d q q d q d N *≥≥->∈且.高考资源网版权所有！投稿可联系QQ ：108459180112345678910a a a a a a a a aa。
北京市昌平一中2014届高三8月月考数学(文)试题无答案
昌平一中高三年级8月月考数学试题（文史类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则()=U A B ð ( )A.{}134，，B.{}34，C. {}3D. {}42.已知cos 5α=，且tan 0α<，则sin α的值为（ ）A.3．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A. 1.B. 2C. 3D. 44. 以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)）A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,85. 若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,2x y +则的最大值是（ ）A ．53 B ．52 C ．0 D ． 5-26．已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+,若()()m n m n +⊥-,则=λ（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．-17、函数3()22x f x x =+-的零点所在区间是（ ）A.(2,1)--B. (1,0)-C. (0,1)D. (1,2)8、已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（ ）A ．0x ∃∈R,0()0f x = B.函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 10y +-=的倾斜角是10. 按右图所示的程序框图运算，则输出S 的值是11. 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点.若·0AD BE =, 则AB 的长为______，AE 的长为12. 已知()f x 是定义域为R 的偶函数,当x ≥0时,2()4f x x x =-,那么当0x <时，()f x = ,不等式(2)5f x +<的解集是____________.13．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为14．由211=，22343++=，2345675++++=，…，得5678910111213++++++++=_________ ，….由此归纳出对任意∈N*n 都成立的上述求和的一般公式为_______________________ .昌平一中高三年级8月月考数学试题（文史类）成绩(9) ； (10) ； (11) , ；(12) , ； (13) ； （14) , ；三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题满分12分）在ABC ∆中, 32.a b B A ==∠=∠，(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.16．（本小题满分13分）某产品的三个质量指标分别为x , y , z , 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S ≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:(Ⅰ) (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取2件产品, 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率.17. （本小题满分13分）设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值18、（本小题满分14分）设()()256ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.(I)确定a 的值;(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间与极值.19、（本小题满分14分）已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，,παβ<<<0. (I)若||2a b -=,求证:a b ⊥;(Ⅱ)设(0,1)c =,若a b c +=,求βα,的值.20、（本小题满分14分）设直线l为曲线C:ln xyx在点(1,0)处的切线.(I)求直线l的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方.高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801。
北京市昌平区2014届高三上学期期末考试数学文试题 含答案
昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（文 科）（满分150分，考试时间120分钟）2014.1考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知全集{0,1,2,3,4,5,6}=U ，集合{1,2},{0,2,5}==A B ,则集合()=I U A B ð (A){3,4,6} (B){3,5} (C ){0,5} (D){0,2,4}(2) 在复平面内表示复数i(12i)+的点位于(A)第一象限 (B )第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(3) 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于 (A)63 (B )31 (C)127 (D)15(4) “1a =”是“直线1:210l ax y +-=与2:(1)40l x a y +++=平行”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件(5) 设,m n 是两条不同直线, ,αβ是两个不同的平面,下列命题正确的是 (A) //,//,m n αβ 且//αβ，则//m n (B ) ,,⊥⊥m n αβ且⊥αβ，则⊥m n (C) ,,⊥⊂m n αβ⊥m n ，则⊥αβ (D) ,,⊂⊂m n αα //,//m n ββ，则//αβ(6)将函数2cos y x =的图象向右平移2π个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到的函数解析式为 (A) 2cos 2y x = (B )2cos 2y x =- (C) 2sin 2y x =-(D ) 2sin 2y x =(7)已知函数2 2, 01,()21,30xa x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨--+-≤≤⎪⎩的值域为[2,2]-，则实数a 的取值范围是(A) 0a ≥ (B) 03a ≤≤ (C ) 30a -≤≤ (D) 30a -<<(8) 已知函数()xf x Rπ=的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆222x y R +=上，则函数()f x 的图象的一条对称轴可以是(A)直线2x π= (B) 直线12x =(C)直线x π=- (D )直线1x =-第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）(9) 已知向量(3,1),(,3)k ==a b ，若⊥a b ，则k =________ .(10) 若实数,x y 满足10,2,3x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则z y x =-的最大值是________ .(11) 抛物线2y ax =的准线方程是1x =-，则实数a 的值为________ .(12) 设23232(),,log 3===ma b m c m ，当1>m 时，,,a b c 从小到大．．．．的顺序是___ . (13) 若m 是2和8的等比中项，则m =________ ，圆锥曲线221+=y x m的离心率是___________ .(14) 函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,∈x x D ，当12<x x 时，都有12()()≥f x f x ，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0=f ；②1()()32=x f f x ；③(1)1()-=-f x f x .则1()6f =_______ ；11()()47f f +=_________ .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)已知∆ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=，cos C =，3a =. (Ⅰ)求sin B ； (Ⅱ)求∆ABC 的面积.(16)(本小题满分13分)为了参加某项环保活动，用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中，抽取若干人组成环保志C 1B 1A 1DCBA（Ⅰ）分别求出样本中高一、高二年级志愿者的人数x ，y ；（Ⅱ）用(1,2,)=L i A i 表示样本中高一年级的志愿者，(1,2,)=L i a i 表示样本中高二年级的志愿者，现从样本中高一、高二年级的所有志愿者中随机抽取2人.（1）按照以上志愿者的表示方法，用列举法列出上述所有可能情况； （2）求二人在同一年级的概率.(17)(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1,2⊥===AC BC AC BC BB ,D 为AB 的中点. （Ⅰ）求证：1BC ∥平面CD A 1； (Ⅱ) 求证：⊥1BC 平面C AB 1； （Ⅲ）求三棱锥1D A AC -的体积.(18)(本小题满分13分)设函数2()ln ,,=-∈R f x a x bx a b .（Ⅰ）若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为12=-y ,求实数,a b 的值； （II ）若1b =，求函数()fx 的最大值.(19)(本小题满分13分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点(3,0)M 的直线l 与椭圆C 交于两点,A B .（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设P 为椭圆上一点，且满足+=uu r uu u r uu u rOA OB tOP （O 为坐标原点），求实数t 的取值范围.(20)(本小题满分14分)已知无穷数列{}n a 中，123,,,,m a a a a L 是首项为10,公差为2-的等差数列，1232,,,,+++m m m m a a a a L 是首项为12,公比为12的等比数列(其中3,m m ≥∈N*),并对任意的n ∈N*，均有2n m n a a +=成立.(Ⅰ)当12m =时,求2014a ； (Ⅱ)若521128a =，试求m 的值； (Ⅲ)判断是否存在(3,)m m m ≥∈N*，使得12832014m S +≥成立?若存在,试求出m 的值；若不存在,请说明理由.昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）参考答案及评分标准 2014.1一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
北京高三高中数学月考试卷带答案解析
北京高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.命题“，”的否定是（）.A．不存在，B．存在，C．存在，D．对任意的，2.已知集合，集合，若，则的值为（）.A．B．C．或D．0，或3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为若,则角B为（）.A. B. C.或 D. 或4.已知，且，则的值是（）.A．B．C．D．随取不同值而取不同值5.某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂八年来这种产品的年产量y可用图像表示的是（）.6.某正弦型函数的图像如图，则该函数的解析式可以为（）.A．B．C．D．7.设函数的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是( ). A．B．C．D．8.设是定义在实数集上的函数，且满足下列关系，，则是（ ）.A ．偶函数，但不是周期函数B ．偶函数，又是周期函数C ．奇函数，但不是周期函数D ．奇函数，又是周期函数二、填空题1.等差数列中，若，，则=______.2.数列的前n 项和则= ． 3.已知两个单位向量与的夹角为，若（）（），则. 4.已知是第二象限角，，则_________. 5.已知，且，则= .6.已知凸函数的性质定理：“若函数f(x)区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有”，若函数y="sinx" 在区间(0,)上是凸函数，则在ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值是 .三、解答题1.（16分） 设，，函数（1）用五点作图法画出函数在一个周期上的图象； （2）求函数的单调递减区间和对称中心的坐标； （3）求不等式的解集; （4）如何由的图象变换得到的图象.2.（12分）已知定义域为R 的函数是奇函数.（1）求的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.3.（13分）已知函数，.（1）求函数的极大值和极小值;（2）求函数图象经过点的切线的方程；（3）求函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积.4.（12分）在中，角分别对应边，已知成等比数列，且.（1）若，求的值；（2）求的值.5.（13分）已知函数.（Ⅰ）若求函数的单调区间；（Ⅱ）若在上的最小值为，求的值；（Ⅲ）若在上恒成立，求的取值范围.6.（14分）已知函数.（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，求证：北京高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.命题“，”的否定是（）.A．不存在，B．存在，C．存在，D．对任意的，【答案】C【解析】由题意可知命题的否定为存在x∈R，，故选C【考点】本题考查命题的否定点评：解决本题的关键是掌握全称命题的否定是特称命题2.已知集合，集合，若，则的值为（）.A．B．C．或D．0，或【答案】D【解析】由题意可知M={-1,1}，当a=0时，ax=1无解，则N=，成立；当a≠0时，∵，∴，解得a=-1或a=1.综上，a的值为0,1或-1，故选D【考点】本题考查集合与集合的关系点评：解决本题的关键是注意不要丢掉N是空集的情况3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为若,则角B为（）.A. B. C.或 D. 或【答案】D【解析】由余弦定理，又，∴，故选D【考点】本题考查余弦定理点评：解决本题的关键是熟练掌握余弦定理以及同角三角函数之间的基本关系4.已知，且，则的值是（）.A．B．C．D．随取不同值而取不同值【答案】C【解析】令ln10=t，则，，，故选C【考点】本题考查函数的奇偶性点评：解决本题的关键是由f（x）与f（-x）的关系，联系到函数的奇偶性5.某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂八年来这种产品的年产量y可用图像表示的是（）.【答案】B【解析】∵前四年年产量的增长速度越来越慢，可知图象的斜率随x的变大而变小，在图象向上呈现上凸的情形；又∵后四年年产量的增长速度保持不变，可知图象的斜率不变，呈直线型变化．【考点】本题考查函数的图象点评：解决本题的关键是考虑增长速度，即考虑导函数值，即从图象的斜率变化考虑6.某正弦型函数的图像如图，则该函数的解析式可以为（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】由图象可得最大值为2，则A=2，周期，∴∴，又，是五点法中的第一个点，∴，∴把A,B排除，对于C：，故选C【考点】本题考查函数的图象和性质点评：解决本题的关键是确定的值7.设函数的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是( ). A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知，最大值为，∴=3，∴，令，所以对称轴方程为x=令k=0,可得，故选A【考点】本题考查函数的图象和性质，导函数的运算点评：解决本题的关键是正确求出f(x)的导函数，得出的值8.设是定义在实数集上的函数，且满足下列关系，，则是（）.A．偶函数，但不是周期函数B．偶函数，又是周期函数C．奇函数，但不是周期函数D．奇函数，又是周期函数【答案】D【解析】∵f（20-x）=f[10+（10-x）]=f[10-（10-x）]=f（x）=-f（20+x）．∴f（20+x）=-f（40+x），结合f （20+x）=-f（x）得到f（40+x）=f（x）∴f（x）是以T=40为周期的周期函数；又∵f（-x）=f（40-x）=f（20+（20-x）=-f（20-（20-x））=-f（x）．∴f（x）是奇函数．故选：D【考点】本题考查函数的奇偶性，周期性点评：解决本题的关键是准确理解相关的定义及其变形，即满足f(x+T)=f(x)，则f(x)是周期函数，函数的奇偶性，则考虑f(x)与f(-x)的关系二、填空题1.等差数列中，若，，则=______.【答案】9【解析】因为数列是等差数列，则也成等差数列，所以【考点】本题考查等差数列的性质点评：解决本题的关键是熟练掌握等差数列的性质2.数列的前n项和则= ．【答案】【解析】由题意可知，当n>1时，，当n=1时，，不满足上式，所以【考点】本题考查数列的递推公式，求数列的通项公式点评：解决本题的关键是应用，注意验证n=1的情况3.已知两个单位向量与的夹角为，若（）（），则 .【答案】-1或1【解析】由题意可知，，∵，∴ ，解得=-1或1【考点】本题考查平面向量的数量积的运算，向量垂直的充要条件 点评：解决本题的关键是熟练掌握向量垂直的充要条件 4.已知是第二象限角，，则_________.【答案】【解析】因为α是第二象限角，，所以是第三象限角，所以，所以【考点】本题考查三角函数恒等变换，同角三角函数之间的基本关系，两角和与差的三角函数 点评：解决本题的关键是“凑角”即 ，利用同角三角函数之间的基本关系，求出的值 5.已知，且，则= .【答案】【解析】由 ，又 ， ∴ ， ∴【考点】本题考查同角三角函数之间的基本关系，二倍角公式点评：解决本题的关键是熟练掌握同角三角函数之间的基本关系，二倍角公式，注意三角函数在各象限的6.已知凸函数的性质定理：“若函数f(x)区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有”，若函数y="sinx" 在区间(0,)上是凸函数，则在ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值是 . 【答案】【解析】∵f （x ）=sinx 在区间（0，π）上是凸函数，且A 、B 、C ∈（0，π）， ∴ ，即sinA+sinB+sinC≤3sin，所以sinA+sinB+sinC 的最大值为【考点】本题考查新定义函数的性质点评：解决本题的关键是，认真审题，分析问题，应用凸函数的性质解决具体问题三、解答题1.（16分） 设，，函数（1）用五点作图法画出函数在一个周期上的图象； （2）求函数的单调递减区间和对称中心的坐标； （3）求不等式的解集; （4）如何由的图象变换得到的图象.【答案】（1），图略；（2）单调递减区间为；对称中心为；（3）；（4）由的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得到f(x)的图象【解析】（1）列表得x0 0 0如图（2）令，解得，所以函数f(x)的单调递减区间为；令，解得 ,所以对称中心为；（3）由题意得，即，∴，解得，所以不等式的解集为；（4）由的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得到f(x)的图象【考点】本题考查三角函数与向量的综合，二倍角公式，两角和与差的三角函数，函数的图象和性质点评：解决本题的关键是利用平面向量的数量积的坐标运算，以及二倍角公式，两角和与差的三角函数把f(x)整理成形式2.（12分）已知定义域为R的函数是奇函数.（1）求的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）a=2,b=1；（2）k≥5【解析】（1）因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0，即，解得b=1从而有又由，知，解得a="2" -----5分（2）由（1）知易知f(x)在R上为减函数因f(x)是奇函数，从而不等式等价于因f(x)是R上的减函数，由上式推得即对一切恒成立,从而 -----7分【考点】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性点评：解决本题的关键是（1）掌握奇函数若在x=0处有定义，则f(0)=0；（2）解不等式，通常用函数的单调性转化为自变量的大小关系3.（13分）已知函数，.（1）求函数的极大值和极小值;（2）求函数图象经过点的切线的方程；（3）求函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积.【答案】（1）极大值1，极小值；（2）y=1或；（3）【解析】解：（1），令，解得x=0或x=1，令，得x<0或x>1，，解得0<x<1，∴函数f(x)在上单调递增，在(0,1)上单调递减，在上单调递增∴x=0是其极大值点，x=1是极小值点，所以f(x)的极大值为f（0）=1； f(x)的极小值为（2）设切点为P，切线斜率∴曲线在P点处的切线方程为，把点代入，得，所以切线方程为y=1或；（3）由，所以所求的面积为.【考点】本题考查利用导数研究曲线的切线方程，求极值，导数的应用点评：解决本题的关键是第二问经过点的切线，此点未必是切点，应设出切线，注意导数的几何意义；（3）求封闭曲线围成的面积，应用定积分，注意求出函数f(x)与直线y=1的交点，这是边界4.（12分）在中，角分别对应边，已知成等比数列，且.（1）若，求的值；（2）求的值.【答案】（1）3；（2）【解析】（1）由得：，因，所以：ac=2，由余弦定理得于是：故a+c=3.（2）由得，由得，-----6分【考点】本题考查三角函数与向量与数列的综合，余弦定理、正弦定理点评：解决本题的关键是熟练掌握余弦定理、正弦定理、同角三角函数之间的基本关系，两角和与差的三角函数等公式5.（13分）已知函数.（Ⅰ）若求函数的单调区间；（Ⅱ）若在上的最小值为，求的值；（Ⅲ）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是；（2）；（3）【解析】解：（1）由题意：的定义域为，且．单调递增区间是；（2）由（1）可知：①若，则，即在上恒成立，此时在上为增函数，（舍去）．②若，则，即在上恒成立，此时在上为减函数，（舍去）．③若，令得，当时，在上为减函数，当时，在上为增函数，综上可知：．（3）．又令，在上是减函数，，即，在上也是减函数，．令得，∴当在恒成立时，．【考点】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，恒成立的问题点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，恒成立的问题，注意分类讨论，以及恒成立的问题转化为最值问题6.（14分）已知函数.（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，求证：【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）；（3）略【解析】解：（Ⅰ）由k=e得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是．（Ⅱ）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．②当时，．当x变化时的变化情况如下表：由此可得，在上，．依题意，，又．综合①，②得，实数k的取值范围是． -----5分（Ⅲ），，，由此得，故．【考点】本题考查利用导数研究函数的单调性，求最值，恒成立的问题，不等式的证明点评：本题考查了函数的单调性，极值，最值，导数，不等式，考查了分类讨论，划归以及数形结合的数学思想。
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昌平一中高三年级8月月考数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求．
1. 已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，
,{}=23B ，,则()=U A B ð
( ) A.{}134，
， B.{}34， C. {}3 D. {}4 2.
已知cos 5
α=
，且tan 0α<，则sin α的值为（ ）
A.
C.
3．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )
A. 1.
B. 2
C. 3
D. 4
4. 以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)
） A ．2,5
B ．5,5
C ．5,8
D ．8,8
5. 若变量,x y 满足约束条件211y x
x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
,2x y +则的最大值是（ ）
A ．
53
B ．
52
C ．0
D ． 5-
2
6．已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+ ,若()()
m n m n +⊥-
,则=λ（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．-1
7、函数3
()22x
f x x =+-的零点所在区间是（ ）
A.(2,1)--
B. (1,0)-
C. (0,1)
D. (1,2) 8、已知函数3
2
()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是
（ ）
A ．0x ∃∈R,0()0
f x =
B.函数()y f x =的图像是中心对称图形
C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减
D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9. 10y +-=的倾斜角是
10. 按右图所示的程序框图运算，则输出S 的值是
11. 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·0AD BE = , 则AB 的长为______，AE 的长为
12. 已知()f x 是定义域为R 的偶函数,当x ≥0时,
2()4f x x x =-,那么当0x <时，()f x = ,
不等式(2)5f x +<的解集是____________.
13．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
14．由211=，2
2343++=，2
345675++++=，…，得
5678910111213++++++++=_________ ，….由此归纳出对任意∈N*n 都成立的上述求和的一般公式为_______________________ .
昌平一中高三年级8月月考数学试题（文史类）
成绩
(9) ； (10) ； (11) , ；
(12) , ； (13) ； （14) , ；
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分12分）
在ABC ∆中, 32.a b B A ==∠=∠， (I)求cos A 的值; (II)求c 的值.
16．（本小题满分13分）
某产品的三个质量指标分别为x , y , z , 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若
S ≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标
列表如下:
(Ⅰ) (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取2件产品, 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率.
17. （本小题满分13分）
设向量)
(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤
=
=∈⎢⎥⎣⎦
(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =
求的最大值
18、（本小题满分14分）
设()()2
56ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线与y 轴相
交于点()0,6. (I)确定a 的值;
(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间与极值.
19、（本小题满分14分）
已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=
＝，
,παβ<<<0.
(I)若||a b -=
求证:a b ⊥ ;
(Ⅱ)设(0,1)c =
,若a b c += ,求βα,的值.
20、（本小题满分14分）
设直线l为曲线C:
ln x
y
x
在点(1,0)处的切线.
(I)求直线l的方程;
(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方.。