安徽新高考数学理科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十四)A(含答案详析)
安徽新高考数学理科二轮复习作业精练精析专题限时集训(二)B(含答案详析)
专题限时集训(二)B[第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明](时间：30分钟)1．若执行如图X2－7122，x 3＝3，x ＝2，则输出的S 等于( )A.23 B ．1 C.13 D.12X2－7X2－82．某程序框图如图X2－8所示，若输出S ＝57，则判断框内为( ) A ．k >4? B ．k >5? C ．k >6? D ．k >7?3．已知不共线的向量a ，b ，|a |＝2，|b |＝3，a·(b －a )＝1，则|b －a |＝( ) A. 3 B ．2 2 C.7 D.234．若向量a ＝(cos θ，sin θ)，b |2a －b |的最大值为________．5．若AB →·BC →＋AB →2<0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6．△ABC 外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )A.32B.32 C ．3 D ．－327．已知a 为执行如图X2－9所示的程序框图输出的结果，则二项式a x －1x6的展开式中含x 2项的系数是( )A ．192B ．32C ．96D ．－1928．已知△ABC 的面积为2，在△ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足P A →＋PC →＝0，QA →＝2BQ →，则△APQ 的面积为( )A.12B.23C ．1D ．2 9．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 310．已知2＋23＝2 23，3＋38＝3 38，4＋415＝4 415，…，若6＋at＝6at(a ，t 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a ，t 的值，a ＋t ＝________． 11．在Rt △ABC 中，两直角边分别为a ，b ，设h 为斜边上的高，则1h 2＝1a 2＋1b2.由此类比：三棱锥S －ABC 中的三条侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且长度分别为a ，b ，c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则________________________________________________________________________．12．如图X2－10所示，表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列．记第i 行第j 列的数为a ij (i ，j ∈N )，则a 99＝________；表中数82共出现________次．专题限时集训(二)B1．A [解析] 输出的结果是（1－2）2＋（2－2）2＋（3－2）23＝23.2．A [解析] 逐次运行的结果是k ＝2，S ＝4；k ＝3，S ＝11；k ＝4，S ＝26；k ＝5，S ＝57.当k ＝5时输出结果，故选A.3．A [解析] 由a ·(b －a )＝1，得a·b －a 2＝1，则a·b ＝5.所以|b －a |＝b 2＋a 2－2ab ＝9＋4－10＝ 3.4．4 [解析] 因为向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，所以|a |＝1，|b |＝2，a·b ＝3cos θ－sin θ.又因为|2a －b |2＝4a 2＋b 2－4a ·b ＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，所以|2a －b |2的最大值为16，因此|2a －b |的最大值为4.5．B [解析] AB →·BC →＋AB →2<0，即AB →·(BC →＋AB →)＝AB →(BC →－BA →)＝AB →·AC →<0，故角A 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．6．A [解析] 由AB →＋AC →＝2AO → 知，点O 在BC 上且为BC 的中点，如图所示，由于|OA →|＝|AC →|，故△AOC 为正三角形，则∠ABC ＝30°.故BA →在向量BC →方向的投影为|BA →|cos 30°＝3×32＝32.7．D [解析] 由程序框图可知，第一次循环，a ＝11－a＝－1，i ＝i ＋1＝2，不满足条件i <2 011，再次循环；第二次循环，a ＝11－a ＝12，i ＝i ＋1＝3，不满足条件i <2 011，再次循环；第三次循环，a ＝11－a ＝2，i ＝i ＋1＝4，不满足条件i <2 011，再次循环；第四次循环，a ＝11－a＝－1，i ＝i ＋1＝5，不满足条件i <2 011，再次循环；…….由此可知a 的值为－1，12，2，三个数循环，所以输出的a 的值为2.又因为二项式的通项T r ＋1＝C r 6(a x )6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r C r 6a 6－r x 3－r，令3－r ＝2，解得r ＝1，所以二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中含x 2项的系数是(－1)C 1625＝－192. 8．B [解析] P ，Q 的位置如图所示，根据三角形面积公式则S △APQ S △ABC ＝12|AP ||AQ |sin A12|AB ||AC |sin A ＝23×12＝13，所以△APQ 的面积为23. 9．D [解析] 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，可得点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上且∠AOB ＝60°.在平面直角坐标系中，设A (2，0)，B (1，3)，P (x ，y )，则(x ，y )＝λ(2，0)＋μ(1，3)，所以x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得μ＝y 3，λ＝12x －12 3y .由于|λ|＋|μ|≤1，则12x －12 3y ＋13y≤1，即|3x －y |＋|2y |≤23，所以①⎩⎨⎧3x －y ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤2 3或②⎩⎨⎧3x －y ≥0，y <0，3x －3y ≤23或③⎩⎨⎧3x －y <0，y ≥0，－3x ＋3y ≤2 3或 ④⎩⎨⎧3x －y <0，y <0，－3x －y ≤2 3.上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图所示阴影10．41 [解析] 4 415，… 照此规律，第511.1h 2＝1a 2＋1b 2＋1c2 [解析] 方法一：过S 作△ABC 所在平面的垂线，垂足为O ，联结CO 并延长交AB 于D ，联结SD .∵SO ⊥平面ABC ，∴SO ⊥AB .∵SC ⊥SA ，SC ⊥SB ，∴SC ⊥平面ABC .∴SC ⊥AB ，SC ⊥SD ，∴AB ⊥平面SCD .则AB ⊥SD .∴在Rt △ABS 中，有1SD 2＝1a2＋1b 2，在Rt △CDS 中，有1h 2＝1SD 2＋1c 2＝1a 2＋1b 2＋1c2. 方法二：根据等体积关系16abc ＝13S △ABC h ，则1h 2＝4（S △ABC ）2a 2b 2c2.∵4(S △ABC )2＝|AB |2|AC |2sin 2A ＝|AB |2|AC |2(1－cos 2A )＝|AB |2|AC |2⎣⎡⎦⎤1－（|AB |2＋|AC |2－|BC |2）24|AB |2|AC |2＝|AB |2|AC |2－（|AB |2＋|AC |2－|BC |2）24＝(a 2＋b 2)(a 2＋c 2)－（a 2＋b 2＋a 2＋c 2－b 2－c 2）24＝b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2，∴1h 2＝4（S △ABC ）2a 2b 2c 2＝b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2a 2b 2c 2＝1a 2＋1b 2＋1c2. 12．82 5 [解析] 第9行的第一个数为10，该行的公差为9，故第9个数是10＋(9－1)×9＝82.因为第n 行的通项公式是a nk ＝(n ＋1)＋(k －1)n ＝kn ＋1，所以kn ＋1＝82，解得kn ＝81.所以n ＝1，k ＝81；n ＝3，k ＝27；n ＝9，k ＝9；n ＝27，k ＝3；n ＝81，k ＝1.。
安徽新高考数学理科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十九)(含答案详析)
专题限时集训(十九)[第19讲 坐标系与参数方程](时间：45分钟)1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( ) A ．直线、直线 B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线2．二次曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________． 3．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为________．4．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________________．5．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，则点⎝⎭⎫2，π6到直线l 的距离为________． 6．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t(t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________． 7．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ－2 2sin θ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．8．在极坐标系中，点M ⎝⎛⎭⎫4，π3到曲线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________．9．直线3x ＋4y －7＝0截曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)的弦长为________． 10．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)．若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________．11．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝－3＋3sin θ(θ为参数)表示的图形上的点到直线y ＝x 的最短距离为________．12．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋4 2(t 是参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.由直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长的最小值为________． 13．已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，定点A (0，－3)，F 1，F 2是曲线C 的左，右焦点．(1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F 1且平行于直线AF 2的直线l 的极坐标方程；(2)在(1)的条件下，设直线l 与曲线C 交于E ，F 两点，求弦EF 的长．14．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心，4为半径．(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；(2)试判定直线l 与圆C 的位置关系．15．在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρsin θ－3＝0.(1)求直线的极坐标方程；(2)若直线与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |.专题限时集训(十九)1．D [解析] ∵ρcos θ＝x ，∴将cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ中，得ρ＝x ρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x ，表示圆．∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2t ，消去参数t 得2x ＋y ＋2＝0，表示直线． 2．(－4，0) [解析] 该曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1，左焦点为(－4，0)． 3.⎝⎛⎭⎫2，3π4 [解析] 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4＋2k π(k ∈Z )． 4．x 2＋y 2－4x －2y ＝0 [解析] ∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝2y ＋4x ，即x 2＋y 2－2y －4x ＝0.5．2 [解析] 将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程y ＝3，点⎝⎛⎭⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，∴点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线l 的距离为2. 6．－6 [解析] 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t 所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线4x ＋ky ＝1垂直可得⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6. 7．ρcos θ＝3 [解析] 由ρ＝6cos θ－2 2sin θ得ρ2＝6ρcos θ－2 2ρsin θ，所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＋2 2y ＝0，将其化为标准方程为(x －3)2＋(y ＋2)2＝11，故圆心的坐标为(3，－2)，所以过圆心且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝3，将其化为极坐标方程为ρcos θ＝3.8．2 [解析] 依题意知，点M 的直角坐标是(2，2 3)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为|2＋2 3×3－4|12＋（3）2＝2. 9.85[解析] 曲线的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.由圆心(0，1)到直线3x ＋4y －7＝0的距离d ＝|0＋4－7|32＋42＝35，则弦长L ＝2 r 2－d 2＝85. 10．4 －1 [解析] 将l 1，l 2的方程化为一般方程，得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y－1＝0.由l 1∥l 2，得k 2＝21⇒k ＝4；由l 1⊥l 2，得2k ＋2＝0⇒k ＝－1. 11．3(2－1) [解析] 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝－3＋3sin θ化为普通方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝9，圆心坐标为(3，－3)，半径r ＝3，则圆心到直线y ＝x 的距离d ＝|3－（－3）|2＝3 2，所以圆上点到直线y ＝x 的最短距离为d －r ＝3 2－3＝3(2－1)．12．2 6 [解析] ∵ρ＝2cos θ－2sin θ，∴ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝1，∴圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22，－22，半径为1. 直线l 上的点向圆C 引切线所得的切线长是⎝⎛⎭⎫22t －222＋⎝⎛⎭⎫22t ＋22＋4 22－1＝t 2＋8t ＋40＝（t ＋4）2＋24≥2 6， ∴直线l 上的点向圆C 引切线，切线长的最小值是2 6.13．解：(1)圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)， 所以普通方程为C ：x 24＋y 23＝1. ∵A (0，－3)，F 2(1，0)，F 1(－1，0)，∴k ＝3，l ：y ＝3(x ＋1)，∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3ρcos θ＋3，即2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝ 3. (2)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝3（x ＋1）⇒5x 2＋8x ＝0， ∴x 1＋x 2＝－85，x 1·x 2＝0， ∴|EF |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝165. 14．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos π3·t ，y ＝－5＋sin π3·t ⇒⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t (t 为参数)． 因为M 点的直角坐标为(0，4)，所以圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝16，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入得圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ. (2)直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0，圆心M 到l 的距离为d ＝|－4－5－3|2＝9＋32>4. 则直线l 与圆C 相离． 15．解：(1)消去参数得直线的普通方程为：y ＝3x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入得ρsin θ＝3ρcos θ. 则直线的极坐标方程为θ＝π3. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρsin θ－3＝0，θ＝π3，得ρ2－3ρ－3＝0， 设A ⎝⎛⎭⎫ρ1，π3，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，π3，则有ρ1＋ρ2＝3，ρ1·ρ2＝－3. 则|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1·ρ2＝15.。
安徽新高考数学理科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十)(含答案详析)
专题限时集训(十)[第10讲 数列求和及数列的简单应用](时间：45分钟)1．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2n n －1a 2n ＋1(n ≥2)，则a 6等于( )A ．16B ．8C ．2 2D ．42．已知数列{a n }为等比数列，且a 4·a 6＝2a 5，设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 5＝2a 5，则S 9＝( )A ．36B ．32C ．24D ．223．设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n .若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝________．4．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形的面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2012＝________．5(1101)2表示二进制的数，将它转化成十进制数的形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数111…1(2)(共16位)转换成十进制数的值是( )A ．217－2B ．217－1C ．216－1D ．215－16．已知函数f (x )＝1x ＋1，点O 为坐标原点，点A n (n ，f (n ))(n ∈N *)．若记直线OA n 的倾斜角为θn ，则tan θ1＋tan θ2＋…＋tan θn ＝( )A.1nB.1n ＋1C.n n ＋1D.n －1n 7．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝15，且对任意的正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n <t 恒成立，则实数t 的最小值为( )A.14B.34C.43D ．4 8．在数列{a n }中，若对任意的n ∈N *均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则数列{a n }的前100项的和S 100＝( )A ．132B ．299C ．68D ．999．定义n p 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，又b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝________． 10．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2013＝________．11．已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n .若a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，a n 是偶数，3a n ＋1，a n 是奇数，且S 3＝29，则a 1＝________；S 3n ＝________． 12．对于一切实数x ，令[x ]为不大于x 的最大整数，则函数f (x )＝[x ]称为高斯函数或取整函数．若a n ＝f n 3，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3n ＝________． 13．已知等差数列{a n }满足a 3＝10，a 5－2a 2＝6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1（n 为奇数），12a n －1（n 为偶数），T n 为数列{b n }的前n 项和，求T 2n .14．等差数列{a n }中，2a 1＋3a 2＝11，2a 3＝a 2＋a 6－4，其前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝1S n ＋1－1，其前n 项和为T n ，求证：T n <34(n ∈N *)．15．环保刻不容缓，或许人类最后一滴水将是自己的泪水．某地水资源极为紧张，且受工业污染严重，预计20年后该地将无洁净的水可用．当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除．已知旧城区的住房总面积为64a m 2，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积a m 2，前四年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加a m 2.设第n (n ≥1，且n ∈N )年新城区的住房总面积为a n m 2，该地的住房总面积为b n m 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若每年拆除4a m 2，比较a n ＋1与b n 的大小．专题限时集训(十)1．D [解析] 根据2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1知，数列{a 2n }为等差数列，首项为1，公差为3，所以a 2n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2，又a n >0，所以a n ＝3n －2，所以a 6＝18－2＝4.2．A [解析] 由a 4·a 6＝2a 5，得a 25＝2a 5，即a 5＝2，所以b 5＝4，S 9＝9（b 1＋b 9）2＝9b 5＝36.3．6 [解析] 设公比为q ，因为a n >0，所以q >0，则a 3＝4＝a 1q 2＝q 2，所以q ＝2，又S k ＝63＝1－2k1－2，即2k ＝64，所以k ＝6. 4.20122013 [解析] 直线与两坐标轴的交点坐标分别为⎝⎛⎭⎫2n ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2n ＋1，故S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以S 1＋S 2＋…＋S 2012＝1－12013＝20122013. 5．C [解析] 即215＋214＋…＋2＋1＝216－1. 6．C [解析] A n ⎝⎛⎭⎫n ，1n ＋1，tan θn ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以tan θ1＋tan θ2＋…＋tan θn ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 7．A [解析] 令m ＝1可得a n ＋1＝15a n ，所以{a n }为首项为15，公比为15的等比数列，所以S n ＝15⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫15n 1－15＝14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫15n <14，故实数t 的最小值为14. 8．B [解析] 设a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝M ，则a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝M ，后式减去前式得a n ＋3＝a n ，即数列{a n }是以3为周期的周期数列，a 7＝a 1＝2，a 9＝a 3＝3，a 98＝a 2＝4，所以在一个周期内的三项之和为9，所以S 100＝33×9＋2＝299.9.1011 [解析] 由已知得n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n ＋1)＝S n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，当n ＝1时也成立，∴a n ＝4n －1，∴b n ＝a n ＋14＝n ，∴1b n b n ＋1＝1n －1n ＋1， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝1011. 10．－1005 [解析] a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝1，…，由此可得该数列的周期为4，一个周期内四项之和为－2，2013＝503×4＋1，a 2013＝a 1，所以S 2013＝503×(－2)＋1＝－1005.11．5 7n ＋22 [解析] 若a 1＝4k ，则a 2＝2k ，a 3＝k ，此时S 3＝7k ＝29，由于k 为整数，此时无解；若a 1＝4k ＋1，则a 2＝12k ＋4，a 3＝6k ＋2，此时S 3＝22k ＋7＝29，解得k ＝1，即a 1＝5； 若a 1＝4k ＋2，则a 2＝2k ＋1，a 3＝6k ＋4，此时S 3＝12k ＋7＝29，由于k 为整数，此时无解；若a 1＝4k ＋3，则a 2＝12k ＋10，a 3＝6k ＋5，此时S 3＝22k ＋18＝29，由于k 为整数，此时无解．综上可知a 1＝5.由于a 1＝5，则a 2＝16，a 3＝8，a 4＝4，a 5＝2，a 6＝1，a 7＝4，a 8＝2，a 9＝1，a 10＝4，a 11＝2，a 12＝1.a 1＝4＋1，a 2＝2＋14，a 3＝1＋7，则a 1＋a 2＋a 3＝22＋7，其余每连续三项之和为7，故S 3n ＝22＋7n .12.32n 2－12n [解析] 当n ＝3k ，n ＝3k ＋1，n ＝3k ＋2时均有a n ＝f ⎝⎛⎭⎫n 3＝⎣⎡⎦⎤n 3＝k ，所以 S 3n ＝0＋0＋1＋1＋1,\s \do 4(3个))＋2＋2＋2,\s \do 4(3个))＋…＋(n －1)＋(n －1)＋(n －1),\s \do 4(3个))＋n ＝3×1＋n －12×(n －1)＋n ＝32n 2－12n . 13．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝10，a 1＋4d －2(a 1＋d )＝6，解得a 1＝2，d ＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －2.(2)数列{b n }的前2n 项和中，奇数项和偶数项各有n 项．奇数项是首项为1，公比为4的等比数列，其和为1×（1－4n ）1－4＝4n －13；偶数项是首项为1，公差为4的等差数列，其和为n ＋n （n －1）2×4＝2n 2－n . 所以T 2n ＝4n －13＋2n 2－n . 14．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则2a 1＋3a 2＝2a 1＋3(a 1＋d )＝5a 1＋3d ＝11， 2a 3＝a 2＋a 6－4，即2(a 1＋2d )＝a 1＋d ＋a 1＋5d －4，得d ＝2，a 1＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)证明：S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝n ×1＋12n (n －1)×2＝n 2， b n ＝1S n ＋1－1＝1（n ＋1）2－1＝1n 2＋2n ＝1n （n ＋2）＝121n －1n ＋2， 所以T n ＝1211－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝1211＋12－1n ＋1－1n ＋2<34(n ∈N *)． 15．解：(1)设第n 年新城区的住房建设面积为λn m 2，则当1≤n ≤4时，λn ＝2n －1a ；当n ≥5时，λn ＝(n ＋4)a .所以，当1≤n ≤4时，a n ＝(2n －1)a ，当n ≥5时，a n ＝a ＋2a ＋4a ＋8a ＋9a ＋…＋(n ＋4)a ＝n 2＋9n －222a ， 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（2n －1）a ，1≤n ≤4，n 2＋9n －222a ，n ≥5. (2)当1≤n ≤3时，a n ＋1＝(2n ＋1－1)a ，b n ＝(2n －1)a ＋64a －4na ，显然有a n ＋1<b n ，当n ＝4时，a n ＋1＝a 5＝24a ，b n ＝b 4＝63a ，此时a n ＋1<b n .当5≤n ≤16时，a n ＋1＝n 2＋11n －122a ，b n ＝n 2＋9n －222a ＋64a －4na . a n ＋1－b n ＝(5n －59)a .所以，当5≤n ≤11时，a n ＋1<b n ；当12≤n ≤16时，a n ＋1>b n .当n ≥17时，显然a n ＋1>b n ， 故当1≤n ≤11时，a n ＋1<b n ；当n ≥12时，a n ＋1>b n .。
安徽新高考数学理科二轮复习作业精练精析专题限时集训(二)A(含答案详析)
专题限时集训(二)A[第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明](时间：30分钟)1．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，(a ＋b )⊥a －52b ，则a 与b 的夹角为( )A.π3B.π4C.π2D.π62．已知如图X2－1所示的程序框图，若执行该程序后输出的结果是2910，则判断框内应填入的条件是( )A ．i >4?B ．i ≥4?C ．i－1X2－23．运行如图X2－2所示的程序框图，则输出a 的结果为( ) A ．初始值a B ．三个数中的最大值 C ．三个数中的最小值 D ．初始值c4．P 是正六边形ABCDEF 某条边上的一点，该正六边形的边长为1，AP →＝xAB →＋yAF →，则x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．75．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－4OB →＋3OC →＝0，则|AB →||BC →|＝( )A ．3B ．4C ．5D ．66．已知向量a ＝(－1，1)，b ＝(3，m )，a ∥(a ＋b )，则m ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－3 D ．37．若程序框图如图X2－3所示，则该程序运行后输出的k 值是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．78．设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝( )A.OM → B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →X2－3X2－49．如图X2－4给出的是计算1＋13＋15＋…＋12013的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．i ≤1006?B ．i >1006?C ．i ≤1007?D ．i >1007?10．如图X2－5所示，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD .若动点P从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP →＝λAB →＋μAE →，下列判断正确．．的是( ) A ．满足λ＋μ＝2的点P 必为BC 的中点B ．满足λ＋μ＝1的点P 有且只有一个C ．λ＋μ的最大值为3D ．λ＋μ的最小值不存在11．已知21×1＝2，22×1×3＝3×4，23×1×3×5＝4×5×6，24×1×3×5×7＝5×6×7×8，…依此类推，第n 个等式为X2－5X2－612．在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图X2－6中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数，若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．专题限时集训(二)A 1．A [解析] 因为(a ＋b )⊥⎝⎛⎭⎫a －52b ，所以(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫a －52b ＝0，则|a |2－32a ·b －52|b |2＝0，即|a |2－32|a |·|b |cos 〈a ，b 〉－52|b |2＝0.又因为|a |＝2，|b |＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝12.由于0≤〈a ，b 〉≤π，故〈a ，b 〉＝π3.2．C [解析] 逐次计算的结果是a ＝2，i ＝2；a ＝52，i ＝3；a ＝2910，i ＝4，此时满足条件输出．故选C.3．C [解析] 题中程序框图的运算功能是求三数中的最小数．另外，也可以取特殊值验证．4．A [解析] 如图，以A 为坐标原点，AD 为x 轴，与AD 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系得，B ⎝⎛⎭⎫12，32，F ⎝⎛⎭⎫12，－32⇒AP →＝⎝⎛⎭⎫12（x ＋y ），32（x －y ），由P 点的横坐标的最大值为2，得x ＋y 的最大值为4.5．A [解析] 由OA →－4OB →＋3OC →＝0，得A ，B ，C 三点共线．又因为OA →－4OB →＋3OC →＝0⇔BA →＝3CB →，所以|AB →||BC →|＝3.6．C [解析] 由向量a ＝(－1，1)，b ＝(3，m )，得a ＋b ＝(2，m ＋1)．因为a ∥(a ＋b )，所以－(m ＋1)＝2，解得m ＝－3.7．B [解析] 逐次运行的结果依次是n ＝16，k ＝1；n ＝8，k ＝2；n ＝4，k ＝3；n ＝2，k ＝4；n ＝1，k ＝5.当n ＝1时，循环终止，输出k ＝5.8．D [解析] 如图所示，设P ，Q 分别为AB ，CD 的中点．因为OA →＋OB →＝2OP →，OC →＋OD →＝2OQ →，OP →＋OQ →＝2OM →，所以→→→→→.9．C [解析] i ＝1，S ＝0→S ＝12×1－1，i ＝2；i ＝2，S ＝12×1－1→S ＝12×1－1＋12×2－1，i ＝3；……i ＝1007，S ＝12×1－1＋12×2－1＋12×3－1＋…＋12×1006－1→S ＝12×1－1＋12×2－1＋12×3－1＋…＋12×1007－1，i ＝1008.此时终止循环，故选C.10．C [解析] 由题意可知，λ≥0，μ≥0，当λ＝μ＝0时，λ＋μ的最小值为0，此时P 点与点A 重合，故D 错误；当λ＝1，μ＝1时，P 点也可以在D 点处，故A 错误；当λ＝1，μ＝0，λ＋μ＝1时，P 点在B 处，当点P 在线段AD 中点时，λ＝μ＝12，即λ＋μ＝1，所以B错误．11．2n ×1×3×5…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×(n ＋3)×…×(n ＋n ) [解析] 根据等式两端的特点可得．12．(1)3，1，6 (2)79 [解析] (1)把四边形面积分割，其中四个面积为12的三角形，一个面积为1的正方形，故其面积S ＝3；四边形内部只有1个整点；边界上有6个整点，故答案为3，1，6.(2)根据图中的格点三角形和四边形可得1＝4b ＋c ，3＝a ＋6b ＋c ，再选顶点为(0，0)，(2，0)，(2，2)，(0，2)的格点正方形可得4＝a ＋8b ＋c .由上述三个方程解得a ＝1，b ＝12，c＝－1，所以S ＝N ＋12L －1，将已知数据代入得S ＝71＋9－1＝79.。
安徽高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(二)A(含答案详析)
专题限时集训(二)A[第2讲算法初步、推理与证明](时间：30分钟)1．某程序框图如图X2－1x的值是()A．3 B．4C．6 D．8X2－1X2－22．执行如图X2－2所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x值的个数为()A．1 B．2C．3 D．43．观察下列等式：2＋23＝2 23，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，照此规律，第五个等式为________．4．观察下列算式：13＝1，23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，……若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n＝________．5．阅读如图X2－3所示的程序框图，输出的S等于________．X2－3X2－46．在如图X2－4所示的数阵中，第________．7．某程序框图如图X2－5( )A ．3B ．4C ．5D ．6X2－5X2－68．某程序框图如图X2－6所示，则该程序运行后输出的值是( )A ．2011B ．2012C ．2013D ．20149．已知数列{a n }为11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为________．10．观察下列等式：1 3＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，16 3＋173＋193＋203＋223＋233＝39，…则当m<n且m，n∈N时，3m＋13＋3m＋23＋3m＋43＋3m＋55＋…＋3n－23＋3n－13＝________(最后结果用m，n表示)．11．用火柴棒摆“金鱼”，如图X2－7所示，按照规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________(用n表示)．－712．根据下面一组等式：S1＝1；S2＝2＋3＝5；S3＝4＋5＋6＝15；S4＝7＋8＋9＋10＝34；S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65；S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111；S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175；……可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝________．13．“无字证明”，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图X2－8中甲、乙两图阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：________________________________________________________________________.图X2－8专题限时集训(二)A1．D [解析] 第一次循环结束时，S ＝4，k ＝2；第二次循环结束时，S ＝22，k ＝3；第三次循环结束时，S ＝103，k ＝4，此时103>100，不满足S<100，则输出的x 的值为8.故选D.2．C [解析] 由题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤2，log 2x ，x>2.当x ≤2时，由x 2－1＝3，得x 2＝4，解得x ＝±2.当x>2时，由log 2x ＝3，得x ＝8，所以可输入的实数x 值的个数为3，选C.3.6＋635＝6 635 [解析] 注意到2＋222－1＝2·222－1，3＋332－1＝3·332－1，4＋442－1＝4·442－1，…，由此归纳得知，第五个等式是6＋662－1＝6·662－1，即6＋635＝6·635. 4．45 [解析] 观察所给算式的规律，我们发现：第一个式子的最后一个数为12＋0，第二个式子的最后一个数为22＋1，第三个式子的最后一个数为32＋2，…，所以第n 个式子的最后一个数为n 2＋n －1，而2013介于442＋43和452＋44之间，所以n ＝45.5．50 [解析] S ＝－1＋2－3＋4－…－99＋100＝50.6．66 [解析] 每行的第2个数构成一个数列{a n }，由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，所以a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，等式两边同时相加得a n －a 2＝[（2n －3）＋3]×（n －2）2＝n 2－2n ， 所以a n ＝n 2－2n ＋a 2＝n 2－2n ＋3(n ≥2)，所以a 9＝92－2×9＋3＝66.7．B [解析] 第一次循环得S ＝0＋20＝1，k ＝1；第二次循环得S ＝1＋21＝3，k ＝2；第三次循环得S ＝3＋23＝11，k ＝3，第四次循环得S ＝11＋211＝2059，k ＝4，此时S>1000，不满足条件，输出k ＝4，所以选B.8．B [解析] 在循环中S 的值具有周期性：2012→2013→2012→2013→…，当i ＝0时，输出结果为2012.9.3724 [解析] 据题意分组得⎝⎛⎭⎫11，⎝⎛⎭⎫21，12，⎝⎛⎭⎫31，22，13，…，(n 1，n －12，…，2n －1，1n)，第1组有1项，第2组有2项，…，第n 组有n 项．令n （n ＋1）2>99，当n ＝14时，n （n ＋1）2＝105，比99大6，故a 1，a 2，a 105分别为⎝⎛⎭⎫11，⎝⎛⎭⎫21，12，⎝⎛⎭⎫31，22，13，…，(141，132，…，78，69，510，411，312，213，114)，故a 99＋a 100＝78＋69＝3724. 10．n 2－m 2[解析] 据已知可得73＋83＋103＋113＝3×2＋13＋3×2＋23＋3×4－23＋3×4－13＝42－22＝12，同理163＋173＋193＋203＋223＋233＝3×5＋13＋3×5＋23＋3×5＋43＋3×5＋53＋3×8－23＋3×8－13＝82－52＝39，据此规律可得3m ＋13＋3m ＋23＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2.11．6n ＋2 [解析] 根据图形可知，当n ＝1时，S 1＝6＋2；当n ＝2时，S 2＝6×2＋2；当n ＝3时，S 3＝6×3＋2，…，依此推断，S n ＝6n ＋2.12．n 4 [解析] S 1＝1；S 1＋S 3＝1＋15＝16；S 1＋S 3＋S 5＝1＋15＋65＝81，由归纳推理可知S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝n 4.13．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β[解析] 由题意知甲图的阴影部分为菱形，其面积为S＝1×1×sin(α＋β)，乙图阴影部分的面积为sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)．。
安徽新高考数学理科二轮复习作业精练精析专题限时集训(二十)(含答案详析)
专题限时集训(二十)[第20讲 不等式选讲]时间：45分钟)1．下列各式中，最小值等于2A.x y ＋y x B.x 2＋5x 2＋4C ．tan ＋1tan θD ．2x ＋2－x2．不等式1＜|x ＋1|＜3的解集为______________________________________． 3．不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为________．4．若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意a 的取值范围是________．5．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10A ．[－5，7] B ．[－4，6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)6．若x ，y ∈R 且满足x ＋3y ＝2，则3x ＋27y ＋1的最小值是( )A ．3 39 B ．1＋2 2 C ．6 D ．77．设x >0，y >0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A ，B 的大小关系是( )A ．A ＝B B ．A <BC ．A ≤BD ．A >B8．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是________．9．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．10．已知h ＞0，a ，b ∈R ，条件甲：|a －b |＜2h ，条件乙：|a －1|＜h 且|b －1|＜h ，则甲是乙的________条件．(填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”)．11．若对任意的x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．12．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，则实数a 的值为________．13．已知关于x 的不等式|ax －2|＋a |x －1|≥2(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．14．(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)设1＜a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .15．设数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝ca 3n ＋1－c ，c ∈N *，其中c 为实数．证明： (1)a n ∈[0，1]对任意n ∈N *成立的充分必要条件是c ∈[0，1]；(2)若0<c <13，则a n ≥1－(3c )n －1，n ∈N *且n ≥2；(3)若0<c <13，则a 21＋a 22＋…＋a 2n>n ＋1－21-3c，n ∈N *.专题限时集训(二十)1．D [解析] A ，C 中不满足正值条件．B 中x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2，当且仅当x 2＋4＝1即x 2＝－3时等号成立，因此x 2＋5x 2＋4>2，B 不正确，D 正确，∵2x >0，2－x >0，∴2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2，当且仅当2x ＝12x ，即x ＝0时等号成立．2．(－4，－2)∪(0，2) [解析] 由1<|x ＋1|<3可知⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|<3，|x ＋1|>1⇒⎩⎪⎨⎪⎧－4<x <2，x >0或x <－2，故x 的取值范围是(－4，－2)∪(0，2)．3．{x |x ＜5} [解析] 令f (x )＝|x －8|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4<x ≤8，－4，x >8.当x ≤4时，f (x )＝4＞2；当4＜x ≤8时，f (x )＝－2x ＋12＞2，得x ＜5，故4＜x ＜5；当x ＞8时，f (x )＝－4＞2不成立．故原不等式的解集为{x |x ＜5}．4．(－∞，3] [解析] 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以a ≤3. 5．D [解析] ①当x ≥5时，不等式化为x －5＋x ＋3≥10，解得x ≥6. ②当－3<x <5时，不等式化为5－x ＋x ＋3≥10，不等式不成立． ③当x ≤－3时，不等式化为5－x －(x ＋3)≥10，解得x ≤－4. 由①②③得x ≤－4或x ≥6.6．D [解析] 由基本不等式得，3x ＋33y ＋1≥2 3x ·33y ＋1＝2 3x ＋3y ＋1＝7，当且仅当3x ＝33y ，即x ＝1，y ＝13时，等号成立．7．B [解析] 因为x >0，y >0，所以B ＝x 1＋x ＋y 1＋y >x 1＋x ＋y ＋y1＋y ＋x ＝x ＋y 1＋x ＋y＝A ，即A <B .8．k ＜1 [解析] ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k ＜1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k ＜1.9．(－∞，0)∪{2} [解析] 当a ＜0时，显然成立；当a ＞0时，∵|x ＋1|＋|x －3|≥|x ＋1－(x －3)|＝4，∴a ＋4a≤4，∴a ＝2.综上可知a 的取值范围是(－∞，0)∪{2}．10．必要不充分 [解析] |a －b |＝|a －1＋1－b |≤|a －1|＋|b －1|＜2h ，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．11.⎣⎡⎭⎫15，＋∞ [解析] ∵a ≥x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3对任意的x ＞0恒成立，设u ＝x ＋1x ＋3，∴只需a ≥⎝⎛⎭⎫1u max 即可．∵x ＞0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)．由u ≥5知，0＜1u ≤15，∴a ≥15.12．1 [解析] 由|2x －a |＋a ≤6得|2x －a |≤6－a ，所以a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3，所以a －3＝－2，所以a ＝1.13．解：(1)当a ＝1时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥2.当x ≤1时，不等式为－(x －2)－(x －1)≥2，解得x ≤12；当1<x <2时，不等式为－(x －2)＋(x －1)≥2，解得x ∈∅；当x ≥2时，不等式为(x －2)＋(x －1)≥2，解得x ≥52.综上可知，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥52或x ≤12. (2)∵|ax －2|＋a |x －1|≥|(ax －2)－(ax －a )|＝|a －2|，∴|a －2|≥2，解得a ≥4或a ≤0，又a >0，∴实数a 的取值范围是[4，＋∞)．14．证明：(1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．已知x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0， 从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c＝xy .于是所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1，故由(1)成立知所要证明的不等式成立．15．证明：(1)先证必要性．∵a 1＝0，∴a 2＝1－c ， 又∵a 2∈[0，1]，∴0≤1－c ≤1，即c ∈[0，1]．再证充分性．设c ∈[0，1]，用数学归纳法证明a n ∈[0，1]． 当n ＝1时，a 1＝0∈[0，1]．假设a k ∈[0，1](k ≥1)，则a k ＋1＝ca 3k ＋1－c ≤c ＋1－c ＝1，且a k ＋1＝ca 3k ＋1－c ≥1－c ≥0， 所以a k ＋1∈[0，1]．由数学归纳法知a n ∈[0，1]对所有n ∈N *成立．综上可知a n ∈[0，1]对任意n ∈N *成立的充分必要条件是c ∈[0，1]． 当n ≥2时，(2)∵a n ＝ca 3n －1＋1－c ，∴1－a n ＝c (1－a n －1)(1＋a n －1＋a 2n －1)．∵0<c <13，由(1)知a n －1∈[0，1]，所以1＋a n －1＋a 2n －1≤3且1－a n －1≥0， ∴1－a n ≤3c (1－a n －1)，∴1－a n ≤3c (1－a n －1)≤(3c )2(1－a n －2)≤…≤(3c )n －1(1－a 1)＝(3c )n －1，∴a n ≥1－(3c )n －1(n ∈N *且n ≥2)．(3)设0<c <13，当n ＝1时，a 21＝0>2－21－3c，结论成立． 当n ≥2时，由(2)知a n ≥1－(3c )n －1>0，∴a 2n ≥[1－(3c )n －1]2＝1－2(3c )n －1＋(3c )2(n －1)>1－2(3c )n －1， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 22＋…＋a 2n >n －1－2[3c ＋(3c )2＋…＋(3c )n －1]＝n ＋1－2[1－（3c ）n]1－3c >n ＋1－错误!.。
2024年安徽省高考数学真题及参考答案
2024年安徽省高考数学真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合{}553<<-=x x A ，{}3,2,0,13--=，B ，则=B A （）A.{}0,1-B.{}32， C.{}0,13--， D.{}2,0,1-2.若i z z+=-11，则=z （）A.i --1B.i +-1C.i -1D.i +13.已知向量()1,0=a，()x b ,2= ，若()a b b 4-⊥，则=x （）A.2- B.1- C.1D.24.已知()m =+βαcos ，2tan tan =βα，则()=-βαcos （）A.m3- B.3m -C.3m D.m35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）A.π32 B.π33 C.π36 D.π396.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥++<---=0,1ln 0,22x x e x a ax x x f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A.(]0，∞-B.[]0,1-C.[]1,1-D.[)∞+，07.当[]π2,0∈x 时，曲线x y sin =与⎪⎭⎫⎝⎛-=63sin 2πx y 的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数()x f 定义域为R ，()()()21-+->x f x f x f ，且当3<x 时，()x x f =，则下列结论中一定正确的是（）A.()10010>fB.()100020>fC.()100010<f D.()1000020<f二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，由选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值1.2=x ，样本方差01.02=S ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.08.1，N ，假设失去出口后的亩收入Y 服从发正态分布()2,S x N ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,σμN ，则()8413.0≈+<σμZ P ）A.()2.02>>X PB.()5.0<>Z X PC.()5.0>>Z Y P D.()8.0<>Z Y P 10.设函数()()()412--=x x x f ，则（）A.3=x 是()x f 的极小值点B.当10<<x 时，()()2xf x f <C.当21<<x 时，()0124<-<-x f D.当01<<-x 时，()()x f x f >-211.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于2-，到点()02，F 的距离与到定直线()0<=a a x 的距离之积为4，则（）A .2-=aB .点()022，在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,y x 在C 上时，2400+≤x y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于B A ,两点，若131=A F ，10=AB ，则C 的离心率为.13.若曲线x e y x+=在点()1,0处的切线也是曲线()a x y ++=1ln 的切线，则=a .14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己特有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分小于2的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知B C cos 2sin =，ab c b a 2222=-+.（1）求B ；（2）若ABC ∆的面积为33+，求c .16.（15分）已知()30，A 和⎪⎭⎫⎝⎛233，P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：上两点.（1）求C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP ∆的面积为9，求l 的方程.17.（15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥P A 底面ABCD ，2==PC P A ，1=BC ，3=AB .（1）若PB AD ⊥，证明：∥AD 平面PBC ；（2）若DC AD ⊥，且二面角D CP A --的正弦值为742，求AD .18.（17分）已知函数()()312ln-++-=x b ax xx x f .（1）若0=b ，且()0≥'x f ，求a 的最小值；（2）证明：曲线()x f y =是中心对称图形；（3）若()2->x f ，当且仅当21<<x ，求b 的取值范围.19.（17分）设m 为正整数，数列242.1,,,+m a a a 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j i <后剩余的m 4项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列.（1）写出所有的()j i ,，61≤<≤j i ，使数列62.1,,,a a a 是()j i ,一一可分数列；（2）当3≥m 时，证明：数列242.1,,,+m a a a 是()13,2一一可分数列；（3）从242,1+m ，， 中一次任取两个数i 和j ()j i <，记数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列的概率的概率为m P ，证明：81>m P .参考答案一、单项选择题1.A解析：∵553<<-x ，∴3355<<-x .∵2513<<，∴1523-<-<-.∴{}0,1-=B A .2.C解析：∵i z z +=-11，∴()()i i i z i iz z i z -=+=⇒+=⇒-+=11111.3.D 解析：()4,24-=-x a b ，∵()a b b4-⊥，∴()044=-+x x ，∴2=x .4.A解析：∵()m =+βαcos ，2tan tan =βα，∴()()32121tan tan 1tan tan 1sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos -=-+=-+=-+=+-βαβαβαβαβαβαβαβα.∴()m 3cos -=-βα.5.B解析：由32⋅==r rl S ππ侧可得32=l ，∴3=r .∴ππ33393131=⋅⋅==Sh V .6.B由()()0,1ln ≥++=x x e x f x为增函数，故此分段函数在R 上递增，只需满足：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-=--1022a a a，解得01≤≤-a .7.C解析：∴32π=T .8.B解析：()()()123f f f +>，()22=f ，()11=f .()()()()()122234f f f f f +>+>，()()()()()1223345f f f f f +>+>，……()()()8912123410>+>f f f ，……，()()()9871233237715>+>f f f ，()()()15971377261016>+>f f f .∴()100020>f .二、多项选择题9.BC 解析：已知()21.08.1~，N X ，由题目所给条件：若随机变量Z 服从正态分布，()8413.0≈+<σμZ P ，则()8413.09.1≈<X P ，易得()1587.08413.012≈-<>X P .故A 错误，B 正确；对于C：()21.01.2~，N Y ，∴()5.01.2=>Y P ，即()()5.01.22=>>>Y P Y P ，故C正确；对于D：同上易得()8413.02.2≈<Y P .由正态密度曲线的对称性可知()()8.08412.02.22>≈<=>Y P Y P .故D 错误.10.ACD解析：对于A：()()()()()()31314122--=-+--='x x x x x x f .令()0='x f ，解得11=x ，32=x .x 变化时，()x f '与()x f 变化如下表：故A 正确；对于B：当10<<x 时，102<<<x x ，又()x f 在()1,0上单调递增，所以()()x f xf <2，故B 错误；对于C ：令()2112<<-=x x t ，则31<<x .()x f 在()3,1上单调递减，()()()13f t f f <<，()43-=f ，()11=f ，即()0121<-<-x f .故C 正确；对于D：()()()412--=x x x f ，()()()()()21421222---=---=-x x x x x f .∴()()()()()32122212-=--=--x x x x f x f .当01<<-x 时，()013<-x ，∴()()x f x f -<2成立.故D 正确.11.ABD解析：对于A：O 点在曲线C 上，O 到F 的距离和到a x =的距离之积为4，即42=⨯a ，解得2±=a .又∵0<a ，∴2-=a ，故A 正确；对于B：由图象可知曲线C 与x 轴正半轴相交于一点，不妨设B 点.设()0,m B ，其中2>m ，由定义可得()()422=+-m m ，解得22±=m .又∵2>m ，∴22=m ，故B 正确；对于C：设C 上一点()y x P ,，()()42222=++-x y x ，其中2->x .化简得曲线C 的轨迹方程为()()2222216--+=x x y ，其中2->x .已知2=x 时，12=y ，对x 求导()()2223232--+-=x x y .2122-==x y ，则在2=x 是下降趋势，即存在2<x 时，1>y 成立，故C 错误；对于D：()()2222216--+=x x y ，∵()022≥-x ，∴()22216+≤x y .∴240+≤x y .又∵20->x ，2400+≤x y ，则24000+≤≤x y y ，故D 正确.三、填空题12.23解析：作图易得131=A F ，52=AF ，且212F F AF ⊥，12222121=-=AF A F F F .由双曲线定义可得：8221=-=AF A F a ，6221==F F c ，则23==a c e .13.2ln 解析：1+='xe y ，20='==x y k ，切线l 的方程：12+=x y .设l 与曲线()a x y ++=1ln 的切点横坐标为0x ，110+='x y ，则2110=+=x k ，解得210-=x .代入12+=x y 可得切点为⎪⎭⎫⎝⎛-021，，再代入()a x y ++=1ln ，a +=21ln 0，即2ln =a .14.21解析：不妨确定甲的出牌顺序为7,5,3,1.乙随机出牌有2444=A 种基本事件.甲的数字1最小，乙的数字8最大.若数字1和数字8轮次不一致，乙最少得2分，甲最多2分.站在甲的视角下，分四种情况：①8对1，则7必得分（1）若得3分：3,5都得分，3对2,5对4（1种情况）（2）若得2分：3,5只有一个得分（ⅰ）：5得分，3不得分：5对2,3对4或6（2种情况）；5对4,3对6（1种情况）；（ⅱ）：3得分，5不得分：3对2,5对6（1种情况）；②8对3,7必得分5得分：5对2,4,7对应2种情况，共有422=⨯种情况；③8对5,7必得分3得分：3对2,7对应2中情况，共有221=⨯种情况；④8对7，最多得2分3得分，5得分：3对2,5对4（1种情况）.共有12种情况，甲总得分不小于2的概率为212412=.四、解答题15.解：（1）∵ab c b a 2222=-+，∴22222cos 222==-+=ab ab ab c b a C .∴22cos 1sin 2=-=C C .又∵B C cos 2sin =，∴22cos 2=B ，∴21cos =B ，∴3π=B .（2）∵33sin 21+==∆Bac S ABC ，∴333sin 21+=ac π.即434+=ac ……①由（1）易知4π=C ，3π=B .由正弦定理C c A a sin sin =，()CcC B a sin sin =+.∴4sin43sin πππc a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴224269c =+，∴c a 213+=.代入①式解得22=c .16.解：（1）将()30，A ，⎪⎭⎫⎝⎛233，P 代入椭圆12222=+b y a x 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=149919222b a b ，可得⎪⎩⎪⎨⎧==91222b a ，∴3222=-=b a c ，∴32=a ，3=c .∴离心率21323===a c e .（2）①当l 斜率不存在时，29332121=⨯⨯=-⋅=∆A P ABP x x PB S ，不符，舍去.②当l 斜率存在时，设l 方程：()323-=-x k y .联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-191232322y x x k y 可得：()()()02736212342222=--++-++k k x k k x k.由韦达定理：()34273622+--=⋅k k k x x B P ，又3=P x ，∴()3491222+--=k k k x B .∵BP 与y 轴交点⎪⎭⎫ ⎝⎛+-233,0k ，∴()9349123323213232122=+---⋅+=-+⋅=∆k k k k x x k S B P ABP 解得21=k 或23，∴l 方程x y 21=或0623=--y x .17.解：（1）证明：∵⊥P A 底面ABCD ，∴AD P A ⊥.又∵PB AD ⊥，∴⊥AD 平面P AB ，则AB AD ⊥.又∵1,32===BC AB AC ，，∴222BC AB AC +=，则BC AB ⊥，∴BC AD ∥.∵⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，∴∥AD 平面PBC .（2）以D 为原点，DA 为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.设0,0,,>>==q p q DC p DA ，满足4222==+AC q p ，则()()()()0,0,0,0,,0,20,0,0,D q C p P p A ，，.设平面APC 法向量为()111,,z y x m =，∴()()0,,200q p AC AP -==，，，.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅002111qy px m AC z m AP ，取()0,,p q m = .设平面DPC 法向量为()()()0,,0,2,0,,,,222q DC p DP z y x n ===.∴⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002222qy n DC z px n AP ，取()p n -=,0,2 .∴2222742142,cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⋅+=p q p qn m .∴7142=+p q .又∵422=+q p ，∴3=p ，即3=AD .18.解：（1）0=b 时，()ax x x x f +-=2ln，∴()()022≥+-⋅='a x x x f .∴()22-≥x x a .又∵()2,0∈x ，设()()22-=x x x h ，当()2,0∈x 时，()2max -=x h ，∴2-≥a .∴a 的最小值为2-.（2）由题意可知()x f 的定义域为()20，.()()()()()a x b x a xx bx x a x x x f x f 2111ln 111ln1133=-+-++-++++-+=-++.∴()x f 关于()a ,1中心对称.（3）()212ln 3->-++-x b ax xx ，即()0212ln3>+-++-x b ax x x 即()()02112ln 3>++-+-+-a x b x a xx.令1-=x t ，则()1,0∈t ，()0211ln 3>++++-+=a bt at tt t g .()t g 关于()a +2,0中心对称，则当且仅当()1,0∈t 时，()0>t g 恒成立.需02=+a ，即2-=a ，()0≥'t g 在()1,0恒成立.()()()()22222212231223032112t t t b t bt bt t t t g --≥⇒--≥⇒≥+--+='.令2t m =，则()1,0∈m ，()()12122-=--=m m m m m h .()2max -=m h ，∴23-≥b ，即32-≥b .∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,32b .19.解：（1）从1,2,3,4,5,6中删去()j i ,剩下的四个数从小到大构成等差数列，记为{}k b ，41≤≤k .设{}k b 公差为d ，已知1=d ，否则，若2≥d ，则6314≥=-d b b ，又51614=-≤-b b ，故矛盾，∴1=d ，则{}k b 可以为{}4,3,2,1，{}5,4,3,2，{}6,5,4,3，则对应()j i ,分别为()()()2,16,16,5，，.（2）证明：只需考虑前14项在去掉()13,2后如何构成3组4项的等差数列，后面剩下的()34124-=-m m 可自然依序划分为3-m 组等差数列.则只需构造{}14,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,1的一组划分，使划分出的3组数均成等差数列，取{}{}{}14,11,8,512,9,6,310,7,4,1，，，这单租数均为公差为3的等差数列，对于剩下的()34-m 个数，按每四个相邻数一组，划分为3-m 组即可.由此可见去掉()13,2后，剩余的m 4个数可以分为m 组，每组均为等差数列，故3≥m 时，24,2,1+m 是()13,2可分数列，即2421,,,+m a a a 是()13,2可分数列.（3）证明：用数学归纳法证明：共有不少于12++m m 中()j i ,的取法使24,2,1+m 是()j i ,可分数列，①当1=m 时，由（1）知，有11132++=种()j i ,的取法，②假设当n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法，则当1+=n m 时，考虑数列{}64,,2,1+n 下对于()j i ,分三种情况讨论：1°当1=i 时，取()1,,,2,1,0,24+=+=n n k k j 则j i ,之间（不含j i ,）有k k 41124=--+个连续的自然数，可按形如{}{}{}14,4,14,249,8,7,65,4,3,2+--k k k k ，，， 划分，剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2,1,0+=n n k ，∴这种情况有2+n 种()j i ,的取法.2°当2=i 时，取()1,,,2,14+=+=n n k k j ，现以k 为公差构造划分为：{}13,12,11+++k k k ，，{}33,32,3,3+++k k k ，……{}14,13,12,1----k k k k ，{}k k k k 4,3,22,，{}24,23,22,2++++k k k k （注意当2=k 时，只有{}{}10,8,6,47,5,3,1，这两组）剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2+=n n k ，∴这种情况有n 种()j i ,的取法.3°当2>i 时，考虑{}64,,7,6,5+n 共24+n 个数，由归纳假设里n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法.综合1°2°3°，当1+=n m 时，至少有()()()()1111222++++=+++++n n n n n n 中取法，由①②及数学归纳法原理，值共有不少于12++m m 种()j i ,的取法使24,2,1+m 为()j i ,可分数列，那么()()8188811681121411222222242=++++>++++=++++=++≥+m m m m m m m m m m m m C m m P m m ，∴81>m P .。
安徽新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十四)(含答案详析)
专题限时集训(十四)[第14讲 直线与圆](时间：45分钟)1．过点A(1，2)且垂直于直线2x ＋( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝02．经过圆x 2－2x ＋y 2＝0的圆心且与直线x ＋2y ＝0平行的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．x －2y －2＝0 C ．x －2y ＋1＝0 D ．x ＋2y ＋2＝03．若直线(1＋a)x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值是( ) A ．1或－1 B ．2或－2 C ．1 D ．－1 4．已知圆C ：x 2＋y 2＝2与直线l ：x ＋y ＋2＝0，则圆C 被直线l 所截得的弦长为( ) A ．1 B. 3 C ．2 D ．2 35．设过点(0，b)且斜率为1的直线与圆x 2＋y 2＋2x ＝0相切，则b 的值为( ) A ．2± 2 B ．2±2 2 C ．1±2 D.2±16．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋a 的值为________．7．已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝02＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．圆C 1：x 2＋y 2－1＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －5＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．外离9．若直线ax －by ＋1＝0过圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎤－∞，18C.⎝⎛⎦⎤0，14D.⎝⎛⎦⎤0，18 10．若直线ax ＋2by －2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( ) A ．1 B ．5C ．3＋4 2D ．3＋2 211．直线x －3y ＋2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的劣弧长为________．12．若直线l 与圆x 2＋(y ＋1)2＝4相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点坐标是(1，－2)，则直线l 的方程为________．13．已知圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝8(ab>0)过坐标原点，则圆心C 到直线l ：x b ＋ya＝1的距离的最小值等于________．14．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝4上的任意一点，点Q(2a ，a －3)(a ∈R )，则线段PQ 长度的最小值为________．15．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，过点P(0，2)作圆C 的切线，交x 轴正半轴于点Q ，若M(m ，n)为线段PQ 上的动点，求3m ＋1n的最小值．16．过原点O 且以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B.(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．专题限时集训(十四)1．C [解析] 直线2x ＋y －5＝0的斜率为－2，因此所求直线的斜率为12，方程为y －2＝12(x －1)，化为一般式为x －2y ＋3＝0. 2．A [解析] 圆x 2－2x ＋y 2＝0的圆心为(1，0)，所求直线方程为y －0＝－12(x －1)，即x ＋2y －1＝0.3．D [解析] x 2＋y 2－2x ＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，由|1＋a ＋1|（1＋a ）2＋12＝1得a ＝－1.4．C [解析] 因为d ＝|2|2＝1，所以弦长为2 （2）2－12＝2.5．C [解析] 设直线的方程为y ＝x ＋b ，圆心(－1，0)到直线的距离等于半径1，即|－1＋b|2＝1，解得b ＝1±2. 6．1 [解析] x 2＋y 2＋2x －4y ＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则有3×(－1)＋2＋a ＝0，解得a ＝1.7．A [解析] 由1×(a －2)＋(a －2)a ＝0得a ＝－1或a ＝2，因此“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．8．C [解析] 两圆标准方程分别为x 2＋y 2＝1和(x －2)2＋y 2＝9，（0－2）2＋（0－0）2＝2＝3－1，所以两圆位置关系为内切．9．B [解析] 因为直线ax －by ＋1＝0过圆C 的圆心(－1，2)，所以a ＋2b ＝1.由（a ＋2b ）28≥ab ab ≤18. 10．D [解析] 圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的圆心为(2，1)，由题知直线过圆心，所以2a ＋2b －2＝0，即a ＋b ＝1.故1a ＋2b ＝a ＋b a ＋2（a ＋b ）b ＝3＋b a ＋2ab≥3＋2 2.11.4π3 [解析] 圆心为(0，0)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2|12＋（3）2＝1，直线l 与圆C 相交所得的弦长为2 22－12＝2 3，该弦所对的圆心角为π3×2＝2π3，所以劣弧长为2π3×2＝4π3.12．x －y －3＝0 [解析] 圆心坐标为(0，－1)，则直线l 的斜率为k ＝－1－2－（－1）1－0＝1，所以直线l 的方程为y ＋2＝x －1，即x －y －3＝0.13.2 [解析] 由题意得a 2＋b 2＝8，x b ＋ya＝1可化为ax ＋by －ab ＝0，所以d ＝|a 2＋b 2－ab|a 2＋b2＝|8－ab|8≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－a 2＋b 228＝|8－4|8＝ 2.14.5－2 [解析] 点Q 在直线x －2y －6＝0上，圆心(1，0)到该直线的距离为d ＝|1－2×0－6|12＋22＝5，因此线段PQ 长度的最小值为5－2.15．解：如图所示，设直线PQ 联结OA ，则OA ⊥PQ.因为OA ＝1， OP ＝2，所以∠OPA ＝30°，所以∠OQP ＝60°.故直线PQ 的斜率为tan 120°＝－3，直线PQ 的方程为y ＝－3x ＋2⎝⎛⎭⎫0≤x ≤2 33.因为点M(m ，n)在线段PQ 上，所以3m ＋n ＝2，故3m ＋1n ＝12⎝⎛⎭⎫3m ＋1n (3m ＋n)＝12(4＋3n m ＋3m n )≥ 12(4＋2 3)＝2＋3，当且仅当m ＝n ＝3－1时取等号． 16．解：(1)证明：因为圆C 过原点O ，OC 2＝t 2＋4t2.所以圆C 的方程为(x －t)2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t2，令x ＝0得y ＝0或4t ；令y ＝0得x ＝0或2t ，故A(2t ，0)，B ⎝⎛⎭⎫0，4t . 所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t|＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)因为OM ＝ON ，CM ＝CN ，所以OC 垂直平分线段MN.因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12，所以直线OC 的方程为y ＝12x.因为C 为圆心，所以2t ＝12t ，解得t ＝±2.当t ＝2时，点C(2，1)，OC ＝5，此时点C 到直线y ＝－2x ＋4的距离为d ＝|2×2＋1－4|22＋1＝55<5，直线与圆交于两点；当t ＝－2时，点C(－2，－1)，OC ＝5，此时点C 到直线y ＝－2x ＋4的距离为 d ＝|－2×2－1－4|22＋1＝9 55>5，直线与圆相离，所以t ＝－2不符合题意，舍去．所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。
新课标新高考数学理科二轮复习作业精练精析专题限时集训(六)A(含答案详析)
专题限时集训(六)A[第6讲 导数及其应用](时间：45分钟)1．曲线y ＝2x 3－3x ＋1在点(1，0) ) A ．y ＝4x －5 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋4 D ．y ＝3x －32．函数f (x )＝2ln x ＋x 2－bx ＋a (b >0，a ∈R )在点(b ，f (b ))处的切线斜率的最小值是( ) A ．2 2 B ．2 C. 3 D ．13．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．44．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1（－1≤x ≤0），1－x 2（0<x ≤1），则⎠⎛－11f (x )d x 的值为( ) A ．1＋π2 B .12＋π4C ．1＋π4D .12＋π25．函数f(x)＝x ＋sin x(x ∈R )( A ．是偶函数且为减函数 B ．是偶函数且为增函数 C ．是奇函数且为减函数 D ．是奇函数且为增函数6．若y ＝f (x )既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y ＝f ′(x )( ) A ．既是周期函数，又是奇函数 B ．既是周期函数，又是偶函数 C ．不是周期函数，但是奇函数 D ．不是周期函数，但是偶函数7．设函数f (x )＝|sin x |的图像与直线y ＝kx (k >0)有且仅有三个公共点，这三个公共点的横坐标的最大值为α，则α等于( )A ．－cos αB ．tan αC ．sin αD ．π8．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0，使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是( )①f (x )＝x 2；②f (x )＝e －x ；③f (x )＝ln x ；④f (x )＝tan x ；⑤f (x )＝x ＋1x.A ．①③⑤B ．③④C ．②③④D ．②⑤9.⎠⎛1(1－x2－x)d x＝________．10．函数y＝f(x)的导数记为f′(x)，若f′(x)的导数记为f(2)(x)，f(2)(x)的导数记为f(3)(x)，…，已知f(x)＝sin x，则f(2013)(x)＝________．11．由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，直线x＝1围成的封闭图形的面积为________．12．函数f(x)＝x3＋2xf′(－1)，则函数f(x)在区间[－2，3]上的值域是________．13．已知函数f(x)＝x，g(x)＝x4x－a.函数g(x)在(1，＋∞)上单调递减．(1)求实数a的取值范围；(2)设函数h(x)＝f(x)·g(x)，x∈[1，4]，求函数y＝h(x)的最小值．14．已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋a ln x＋2a＋2，其中a≤2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．15．已知函数f(x)＝(2－a)ln x－1，g(x)＝ln x＋ax2＋x(a∈R)，令φ(x)＝f(x)＋g′(x)．(1)当a＝0时，求φ(x)的极值；(2)当－3<a<－2时，若对∀λ1，λ2∈[1，3]，使得|φ(λ1)－φ(λ2)|<(m＋ln 2)a－2ln 3恒成立，求实数m的取值范围．专题限时集训(六)A1．D [解析] y ′＝6x 2－3，当x ＝1时y ′＝3，即曲线y ＝2x 3－3x ＋1在点(1，0)处的切线方程的斜率为3，故切线方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.2．A [解析] f ′(x )＝2x ＋2x －b ，故曲线y ＝f (x )在点(b ，f (b ))的切线斜率是f ′(b )＝2b＋2b －b ＝b ＋2b≥2 2，当b ＝2时等号成立．3．A [解析] 由题意，在x ＝14处，两个函数的导数值相等．又f ′(x )＝12 x，g ′(x )＝a x ，所以1＝4a ，即a ＝14. 4．B [解析] 根据定积分的几何意义可得所求的定积分为12＋π4.5．D [解析] f (x )满足f (－x )＝－f (f ′(x )＝1＋cos x ≥0，函数f (x )是增函数．6．B [解析] 因为y ＝f (x )是周期函数，则有f (x ＋T )＝f (x )，两边同时求导，得f ′(x ＋T )(x ＋T )′＝f ′(x )，即f ′(x ＋T )＝f ′(x )，所以导函数为周期函数．因为y ＝f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，两边同时求导，得f ′(－x )(－x )′＝－f ′(x )，即－f ′(－x )＝－f ′(x )，所以f ′(－x )＝f ′(x )，即导函数为偶函数．选B.7．B [解析] 直线y ＝kx 与曲线y ＝－sin x (x ∈[π，2π])相切，设切点为(α，－sin α)，则－sin α＝kα且k ＝－cos α，所以α＝tan α.8．A [解析] ①即x 2＝2x ，这个方程显然有解，故①符合要求；②即e －x ＝－e －x ，此方程无解，故②不符合要求；③即ln x ＝1x，数形结合可知这个方程也存在实数解，故③符合要求；④中，f ′(x )＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ，若f (x )＝f ′(x )，即1cos 2x＝tan x ，化简得sin x cos x ＝1，即sin 2x ＝2，方程无解，故④不符合要求；⑤中，f ′(x )＝1－1x 2，1－1x 2＝x ＋1x，即x 3－x 2＋x＋1＝0，令g (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，则g (－1)＝－2，g (0)＝1，所以必存在x 0∈(－1，0)使g (x 0)＝0，故⑤符合要求．9.π4－12 [解析] ⎠⎛01(1－x 2－x)d x ＝⎠⎛01 1－x 2d x －⎠⎛01x d x ＝π4－⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 210＝π4－12. 10．cos x [解析] f′(x)＝cos x ，f (2)(x)＝－sin x ，f (3)(x)＝－cos x ，f (4)(x)＝sin x ，以4为周期，故f (2013)(x)＝f′(x)＝cos x.11.163[解析] 联立直线方程与抛物线方程得x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1，即直线y ＝－4x －2为抛物线y ＝2x 2的一条切线(如图)，因此所求的面积为定积分⎠⎛－11(2x 2＋4x ＋2)d x ＝23(x ＋1)3错误!错误!－1＝错误!.12．[－4 2，9] [解析] f′(x)＝3x 2＋2f′(－1)，令x ＝－1可得f ′(－1)＝－3，所以f(x)＝x 3－6x ，f′(x)＝3x 2－6.令f′(x)＝0得x ＝±2，根据三次函数的性质，可得x ＝－2为其极大值点，x ＝2为其极小值点．又f(－2)＝4，f(－2)＝4 2，f(2)＝－4 2，f(3)＝9，所以函数f(x)在区间[－2，3]上的最小值为f(2)＝－4 2，最大值为f(3)＝9，所以其值域为[－4 2，9]．13．解：(1)g(x)＝x 4x －a ＝14（4x －a ）＋14a 4x －a＝14＋a4（4x －a ）.因为g(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a 4≤1，即0<a ≤4.(2)h(x)＝x ·x4x －a ＝（x ）34x －a ，h ′(x)＝32x 12（4x －a ）－4x 32（4x －a ）2＝2 x ⎝⎛⎭⎫x －3a 4（4x －a ）2， 因为0<a ≤4，所以0<3a4≤3.当0<3a 4≤1，即0<a ≤43时，h(x)在[1，4]上单调递增，所以h(x)min ＝h(1)＝14－a；当1<3a 4≤3，即43<a ≤4时，h(x)在⎣⎡⎭⎫1，3a 4上单调递减，在⎣⎡⎦⎤3a 4，4上单调递增，所以h(x)min ＝h ⎝⎛⎭⎫3a 4＝3 3a 16.14．解：(1)函数定义域为{x|x>0}，且f′(x)＝2x －(a ＋2)＋a x ＝（2x －a ）（x －1）x.①当a ≤0，即a2≤0时，令f′(x)<0，得0<x<1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)；令f′(x)>0，得x>1，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．②当0<a 2<1，即0<a<2时，令f′(x)>0，得0<x<a2或x>1，所以函数f(x)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，a2，(1，＋∞)； 令f′(x)<0，得a2<x<1，所以函数f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，1. ③当a2＝1，即a ＝2时，f′(x)≥0恒成立，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．(2)①当a ≤0时，由(1)可知，函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，f(x)在(1，2]单调递增．所以f(x)在(0，2]上的最小值为f(1)＝a ＋1.由于f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝1e 4－2e 2－a e 2＋2＝⎝⎛⎭⎫1e 2－12－a e2＋1>0，要使f(x)在(0，2]上有且只有一个零点，需满足f(1)＝0或⎩⎪⎨⎪⎧f （1）<0，f （2）<0，解得a ＝－1或a<－2ln 2.②当a ＝2时，由(1)可知，函数f(x)在(0，2]上单调递增，且f(e －4)＝1e 8－4e4－2<0，f(2)＝2＋2ln 2>0，所以f(x)在(0，2]上有且只有一个零点．③当0<a<2时，由(1)可知，函数f(x)在⎝⎛⎭⎫a 2，1上单调递减，在⎝⎛⎭⎫0，a2，(1，2]上单调递增，又因为f(1)＝a ＋1>0，所以当x ∈⎝⎛⎦⎤a 2，2时，总有f(x)>0.因为0<e －2a ＋2a<1<a ＋2，所以f ⎝⎛⎭⎫e －2a ＋2a ＝e －2a ＋2a ⎣⎡⎦⎤e －2a ＋2a －（a ＋2）＋⎝⎛⎭⎫a ln e －2a ＋2a ＋2a ＋2＝e －2a ＋2a ⎣⎡⎦⎤e －2a ＋2a －（a ＋2）<0.所以f(x)在区间⎝⎛⎭⎫0，a 2内必有零点．又因为f(x)在⎝⎛⎭⎫0，a 2内单调递增，从而当0<a ≤2时，f(x)在(0，2]上有且只有一个零点．综上所述，0<a ≤2或a<－2ln 2或a ＝－1时，f(x)在(0，2]上有且只有一个零点．15．解：因为g′(x)＝1x ＋2ax ＋1，所以φ(x)＝(2－a)ln x ＋1x＋2ax ，x ∈(0，＋∞)．(1)a ＝0时，φ(x)＝2ln x ＋1x ，x ∈(0，＋∞)，φ′(x)＝2x －1x 2＝2x －1x2.令φ′(x)＝0，得x ＝12.当0<x<12时，φ′(x)<0；当x>12时，φ′(x)>0.所以函数φ(x)在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增，所以函数φ(x)在x ＝12处取得极小值φ⎝⎛⎭⎫12＝2－2ln 2，无极大值．(2)φ′(x)＝2－a x －1x 2＋2a ＝2ax 2＋（2－a ）x －1x 2＝2a ⎝⎛⎭⎫x －12⎝⎛⎭⎫x ＋1a x 2，x ∈(0，＋∞)．当a<－2时，0<－1a <12，所以在⎝⎛⎭⎫0，－1a 和⎝⎛⎭⎫12，＋∞上φ′(x)<0.所以函数的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，－1a ，⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 所以当－3<a<－2时，φ(x)在[1，3]上单调递减，所以φ(x)min ＝φ(3)＝(2－a)ln 3＋13＋6a ，φ(x)max ＝φ(1)＝2a ＋1.对∀λ1，λ2∈[1，3]，使得|φ(λ1)－φ(λ2)|<(m ＋ln 2)a －2ln 3恒成立等价于|φ(λ1)－φ(λ2)|max＝φ(1)－φ(3)<(m ＋ln 2)a －2ln 3恒成立，即(2a ＋1)－⎣⎡⎦⎤（2－a ）ln 3＋13＋6a ＝23－2ln 3＋(ln 3－4)a<(m ＋ln 2)a －2ln 3恒成立，即⎝⎛⎭⎫m ＋4＋ln 23a －23>0在－3<a<－2时恒成立． 令h(a)＝⎝⎛⎭⎫m ＋4＋ln 23a －23，则h(a)是a 的一次函数，故只要h(－3)≥0且h(－2)≥0即可．h(－3)＝⎝⎛⎭⎫m ＋4＋ln 23(－3)－23≥0，解得m ≤－389－ln 23； h(－2)＝⎝⎛⎭⎫m ＋4＋ln 23(－2)－23≥0，解得m ≤－133－ln 23.所以m ≤－133－ln 23.所以所求的m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－133－ln 23. (也可使用分离参数的方法)。
安徽新高考数学理科二轮复习作业精练精析专题限时集训(四)B(含答案详析)
专题限时集训(四)B[第4讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质](时间：30分钟)1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3（x ≤0），f （x －1）－f （x －2）（x >0），则f (2)＝( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．－12．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后来为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是( )图X4－2 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12（－x ），x <0，若af (－a )>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)4．已知函数f (x )的图像如图X4－3所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e x xC ．f (x )＝1x 2－1D ．f (x )＝x －1x5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x <0，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A.203，263B.203，263C.113，6D.113，66．函数f (x )＝ln |x |( )图X4－47．函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在常数C ，对任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得f （x 1）f （x 2）＝C ，则称函数f (x )在D 上的几何平均数为C .已知f (x )＝x 3，x ∈[1，2]，则函数f (x )在[1，2]上的几何平均数为( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 28．定义在R 上的函数y ＝f (x )，在(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)9．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f －32的值等于( ) A ．－12 B ．－13 C ．－14 D ．－1510．定义区间(a ，b )，[a ，b )，(a ，b ]，[a ，b ]的长度均为d ＝b －a ，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，(1，2)∪[3，5)的长度d ＝(2－1)＋(5－3)＝3.用[x ]表示不超过x 的最大整数，记{x }＝x －[x ]，其中x ∈R .设f (x )＝[x ]·{x }，g (x )＝x －1，当0≤x ≤k 时，若不等式f (x )< g (x )的解集区间的长度为5，则k 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．911．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )＝12，则a 等于________． 12．设a ，b ∈R ，且a ≠2，若定义在区间(－b ，b )内的函数f (x )＝lg 1＋ax 1＋2x 是奇函数，则a ＋b 的取值范围是________．13．设函数f (x )＝|x －a |－ax ，其中a 为常数．若函数f (x )存在最小值的充要条件是a ∈A ，则(1)集合A ＝________；(2)当a ∈A 时，函数f (x )的最小值为________．专题限时集训(四)B1．D [解析] f (2)＝f (1)－f (0)＝[f (0)－f (－1)]－f (0)＝－f (－1)＝－1.2．C [解析] 由题意可知函数图像最开始为“斜率为负的线段”，接着为“与x 轴平行的线段”，最后为“斜率为负值，且小于之前斜率的线段”．观察选项中图像可知，C 项符合，故选C.3．A [解析] 若a >0，则f (－a )>0，即log 12a >0，解得0<a <1；若a <0，则f (－a )<0，即log 2(－a )<0，解得－1<a <0.故实数a 的取值范围是(－1，0)∪(0，1)．4．A [解析] 从图像可知，函数是奇函数且以±1为零点，且随着x →＋∞，函数值逐步趋近于0，故选项A 中的函数符合．5．D [解析] 设x 1<0，x 2≥0，x 3≥0，根据抛物线的对称性可得x 2＋x 3＝6，函数f (x )在[0，＋∞)最小值为－3，当x ∈(－∞，0)时，函数f (x )<4.所以x 1满足－3<3x 1＋4<4，即－73<x 1<0.由此得113<x 1＋x 2＋x 3<6. 6．B [解析] 函数是非奇非偶函数，排除选项A ，C.当x >0时f (x )＝sin 2x ＋x ，f ′(x )＝2cos 2x ＋1，此时函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π6上单调递增，只能是选项B 中的函数图像． 7．D [解析] 由于x 1∈[1，2]，所以2x 1∈[1，2]，取x 2＝2x 1即得f (x 1)f (x 2)＝8，所以f （x 1）f （x 2）＝2 2.8．A [解析] 由于函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，其图像关于y 轴对称，把这个函数图像平移|a |个单位(a <0左移、a >0右移)可得函数y ＝f (x )的图像，因此可得函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称，此时函数在(a ，＋∞)上是减函数，由于x 1<a ，x 2>a 且|x 1－a |<|x 2－a |，说明x 1离对称轴的距离比x 2离对称轴的距离小，故f (x 1)>f (x 2)．9．C [解析] 由于函数f (x )是奇函数，且对任意t ∈R f (t )＝f (1－t )，所以f (x )＝－f (x －1)⇒f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以2为周期的周期函数，故f (3)＝f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14. 所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝－14. 10．B [解析] 当n ≤x <n ＋1，n 为自然数，[x ]＝n ，{x }＝x －[x ]＝x －n ，不等式f (x )<g (x )，即n (x －n )<x －1，即(n －1)x <n 2－1.当n ＝0时，不等式(n －1)x <n 2－1，即x >1，此时无解；当n ＝1时，不等式(n －1)x <n 2－1，即0<0，此时不等式也无解；当n ≥2时，不等式(n －1)x <n 2－1，即x <n ＋1，此时不等式f (x )<g (x )的解集为[n ，n ＋1)． 综上可知不等式f (x )<g (x )在0≤x ≤k 上只有k >2时有解，且其解集为[2，k )，故当解区间的长度为5时k ＝7. 11.2或－1 [解析] 若a >0，则log 2a ＝12，得a ＝2；若a ≤0，则2a ＝12，得a ＝－1. 12.⎝⎛⎦⎤－2，－32 [解析] f (－x )＋f (x )＝lg 1－ax 1－2x ＋lg 1＋ax 1＋2x ＝lg 1－a 2x 21－4x 2＝0，∴1－a 2x 21－4x 2＝1，∴(a 2－4)x 2＝0，∵x 2不恒为0，∴a 2＝4，又a ≠2，故a ＝－2，∴f (x )＝lg 1－2x 1＋2x. 由1－2x 1＋2x>0，得－12<x <12，由题意(－b ，b )⊆⎝⎛⎭⎫－12，12，∴0<b ≤12，故－2<a ＋b ≤－32. 13．[－1，1] －a 2 [解析] (1)当x ≥a 时，f (x )＝(1－a )x －a ；当x <a 时，f (x )＝a －(1＋a )x .要使f (x )有最小值，需满足1－a ≥0，且1＋a ≥0，即－1≤a ≤1时，f (x )存在最小值．(2)当x ＝a 时，f (x )取得最小值－a 2.。
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专题限时集训(十四)A[第14讲 圆锥曲线的热点问题](时间：45分钟)1．已知椭圆C ：x 24＋y2b＝1，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1，4)B ．[1，＋∞)C ．[1，4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)2．与两圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上 D ．一个圆上3．已知两定点A (1，1)，B (－1，－1)，动点P 满足P A →·PB →＝x22，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线4．已知椭圆C 1：x 2m ＋2＋y 2n＝1与双曲线C 2：x 2m －y 2n ＝1共焦点，则椭圆C 1的离心率e的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫22，1B.⎝⎛⎭⎫0，22C ．(0，1) D.⎝⎛⎭⎫0，125．以抛物线y 2＝8x x ＋2＝0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是( )A ．(0，2)B ．(2，0)C ．(4，0)D ．(0，4) 6．已知圆柱的底面半径为2，高为3，用一个平面去截该圆柱，若所截得的截面为椭圆，则椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，25 C.⎝⎛⎦⎤0，35 D.⎝⎛⎦⎤0，45 7．过椭圆x 29＋y 24＝1上一点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，A ，B 为切点，过A ，B 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，则△POQ 的面积的最小值为( )A.12B.23 C ．1 D.438．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A ，B 在此抛物线上，且∠AFB ＝90°，弦AB的中点M 在该抛物线准线上的射影为M ′，则|MM ′||AB |的最大值为( )A. 3B.32 C ．1 D.229．双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ，b >0)的一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2＋e b的最小值为________．10．过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线m 的倾斜角θ≥π4，直线m 交抛物线于A ，B 两点，且A 点在x 轴上方，则|F A |的取值范围是________．11．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心、右焦点、右顶点分别为O ，F ，G ，且直线x ＝a 2c与x 轴相交于点H ，则|FG ||OH |最大时椭圆的离心率为________．12．抛物线y 2＝8x 的准线为l ，点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0上，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PQ |的最小值为________．13．已知E (2，2)是抛物线C ：y 2＝2px 上一点，经过点(2，0)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(不同于点E )，直线EA ，EB 分别交直线x ＝－2于点M ，N .(1)求抛物线方程及其焦点坐标；(2)已知O 为原点，求证：∠MON 为定值．14．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为53，定点M 的坐标为(2，0)，椭圆短轴的端点分别是B 1，B 2，且MB 1⊥MB 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点．试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分∠APB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．15．设双曲线C 以椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点为焦点，且双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点E ，F ，且点E ，F 都在以点P (0，3)为圆心的圆上，求实数m 的取值范围．专题限时集训(十四)A1．C [解析] 直线恒过定点(0，1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.2．B [解析] 圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为(4，0)，半径为2，动圆的圆心到(4，0)的距离减去到(0，0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．3．B [解析] 设点P (x ，y )，则P A →＝(1－x ，1－y )，PB →＝(－1－x ，－1－y )，所以P A →·PB →＝(1－x )(－1－x )＋(1－y )(－1－y )＝x 2＋y 2－2.由已知可知x 2＋y 2－2＝x 22，即x 24＋y 22＝1，所以点P 的轨迹为椭圆，故选B.4．A [解析] 根据已知得m >0，n >0，且m ＋2－n ＝m ＋n ，即n ＝1，所以椭圆的离心率为e ＝m ＋1m ＋2＝1－1m ＋2.又m >0，所以1－1m ＋2>12，所以22<e <1.5．B [解析] 直线x ＋2＝0为抛物线y 2＝8x 的准线，根据抛物线的定义可知圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，故与直线x ＋2＝0相切的圆恒过定点(2，0)．6．C [解析] 无论怎么截取，所得椭圆的短轴长为2b ＝4，而圆柱底面直径为4，高为3，所以所得椭圆的长轴长的范围为4<2a ≤5，故45≤b a <1，于是椭圆的离心率0<e ＝1－b 2a2≤35. 7．B [解析] 设M (x 0，y 0)，根据圆的切线知识可得过A ，B 的直线l 的方程为x 0x ＋y 0y＝2，由此得P ⎝⎛⎭⎫2x 0，0，Q ⎝⎛⎭⎫0，2y 0，故△POQ 的面积为12×⎪⎪⎪⎪2x 0×⎪⎪⎪⎪2y 0＝2||x 0y 0.因为点M 在椭圆上，所以x 209＋y 204＝1≥2⎪⎪⎪⎪x 03·⎪⎪⎪⎪y 02，由此得|x 0y 0|≤3，所以2|x 0y 0|≥23，当且仅当|x 0|3＝|y 0|2时等号成立．8．D [解析] |MM ′|＝12(|AF |＋|BF |)≤|AF |2＋|BF |22＝|AB |22＝22|AB |，故|MM ′||AB |≤22.9.2 63 [解析] 由已知可得b a ＝3，b ＝3a 且双曲线的离心率为e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，所以a 2＋e b ＝a 2＋23a ≥2 2a 3a＝2 63，当且仅当a ＝2时等号成立．10.⎝⎛⎦⎤14，1＋22 [解析] 当θ→π时，|F A |取值趋于p 2，故|F A |的取值范围的左端点是p 2＝14；当直线m 的倾斜角等于π4时，|F A |取值最大，此时直线方程是y ＝x －14，代入抛物线方程得x 2－32x ＋116＝0，由此可得点A 的横坐标是x ＝32＋⎝⎛⎭⎫322－142＝34＋22.根据抛物线定义可知该点到焦点的距离等于其到准线的距离，故这个距离是34＋22＋14＝1＋22.故|F A |的取值范围是⎝⎛⎦⎤14，1＋22.11.12[解析] 已知O (0，0)，F (c ，0)，G (a ，0)，H ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0，所以|FG ||OH |＝a －c a 2c ＝ac －c 2a 2＝e －e 2＝－⎝⎛⎭⎫e －122＋14≤14，所以当|FG ||OH |最大时，e ＝12.12.41－2 [解析] 由抛物线的定义可知，点P 到直线l 的距离m 即为点P 到抛物线的焦点F (2，0)的距离．设线段FC 与圆交于点E ，则|FE |即为m ＋|PQ |的最小值．将圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0化为标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝4，其半径r ＝2，故|FE |＝|FC |－r ＝（－3－2）2＋（－4－0）2－2＝41－2.13．解：(1)将E (2，2)代入y 2＝2px ，得p ＝1，所以抛物线方程为y 2＝2x ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.(2)证明：设A ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )．方法一：因为直线l 不经过点E ，所以直线l 一定有斜率，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y 2＝2x ，消去x ，得ky 2－2y －4k ＝0，由韦达定理得y 1y 2＝－4，y 1＋y 2＝2k.直线AE 的方程为y －2＝y 1－2y 212－2(x －2)，即y ＝2y 1＋2(x －2)＋2，令x ＝－2，得y M ＝2y 1－4y 1＋2，同理可得y N ＝2y 2－4y 2＋2.又OM →＝(－2，y M )，ON →＝(－2，y N )，所以OM →·ON →＝4＋y M y N ＝4＋2y 1－4y 1＋2·2y 2－4y 2＋2＝4＋4[y 1y 2－2（y 1＋y 2）＋4]y 1y 2＋2（y 1＋y 2）＋4＝4＋4⎝⎛⎭⎫－4－4k ＋4－4＋4k＋4＝0，所以OM ⊥ON ，即∠MON 为定值π2.方法二：设直线l 的方程为x ＝my ＋2，与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x ，消去x ，得y 2－2my －4＝0，由韦达定理得y 1y 2＝－4，y 1＋y 2＝2m .直线AE 的方程为y －2＝y 1－2y 212－2(x －2)，即y ＝2y 1＋2(x －2)＋2，令x ＝－2，得y M ＝2y 1－4y 1＋2，同理可得y N ＝2y 2－4y 2＋2.又OM →＝(－2，y M )，ON →＝(－2，y N )，OM →·ON →＝4＋y M y N ＝4＋4（y 1－2）（y 2－2）（y 1＋2）（y 2＋2）＝4＋4[y 1y 2－2（y 1＋y 2）＋4]y 1y 2＋2（y 1＋y 2）＋4＝4＋4（－4－4m ＋4）－4＋4m ＋4＝0，所以OM ⊥ON ，即∠MON 为定值π2.14．解：(1)由e 2＝59＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2，得b a ＝23.依题意可知△MB 1B 2是等腰直角三角形，从而b ＝2，故a ＝3，所以椭圆C 的方程是x 29＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋2.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得(4m 2＋9)y 2＋16my －20＝0，所以y 1＋y 2＝－16m 4m 2＋9，y 1y 2＝－204m 2＋9.若PM 平分∠APB ，则直线P A ，PB 的倾斜角互补，所以k P A ＋k PB ＝0.设P 点的坐标为(a ，0)，则有y 1x 1－a ＋y 2x 2－a＝0.将x 1＝my 1＋2，x 2＝my 2＋2代入上式，整理得2my 1y 2＋（2－a ）（y 1＋y 2）（my 1＋2－a ）（my 2＋2－a ）＝0，所以2my 1y 2＋(2－a )(y 1＋y 2)＝0，将y 1＋y 2＝－16m 4m 2＋9，y 1y 2＝－204m 2＋9代入上式，整理得(－2a ＋9)·m ＝0.由于上式对任意实数m 都成立，所以a ＝92.综上可知，存在定点P ⎝⎛⎭⎫92，0，使PM 平分∠APB .15．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，(a ，b >0)．依题可知双曲线C 的两个焦点分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，∴c ＝4.又∵双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2 3，∴|4b |a 2＋b2＝|4b |c ＝2 3，即b ＝2 3，∴a 2＝c 2－b 2＝4，∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.(2)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 212＝1消去y 整理得(3－k 2)x 2－2kmx －(m 2＋12)＝0， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－k 2≠0，Δ＝4k 2m 2＋4（3－k 2）（m 2＋12）>0.(*) 设EF 的中点为G (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝km3－k 2，又∵点G 在直线y ＝kx ＋m 上，∴y 0＝kx 0＋m ＝3m 3－k2，∴G 点的坐标为⎝⎛⎭⎫km 3－k 2，3m 3－k 2. ∵E ，F 两点都在以P (0，3)为圆心的同一圆上，∴GP ⊥EF ，即k GP ·k ＝3m3－k 2－3km 3－k 2·k ＝－1，整理得k 2＝9－4m3，代入(*)式得⎩⎨⎧3－9－4m 3≠0Δ＝4m 2·9－4m 3＋4⎝⎛⎭⎫3－9－4m 3（m 2＋12）>0，解得m >0或m <－163.又k 2＝9－4m 3>0，∴m <94.故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－163∪⎝⎛⎭⎫0，94.。