四、指数函数、对数函数、幂函数 2

指数函数、对数函数、幂函数一、考点、要点、疑点：考点：1、理解指数与对数；2、理解指数函数、对数函数的图象与性质。

3、了解幂函数。

要点：1、根式：一般地，如果一个数的n 次方等于a (n ＞1，且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n次方根．也就是，若a x n=，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且n ∈N *。

式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．2、根式的有关性质：(1) 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根只有一个，用符号n a 表示.(2) 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示， 正负两个n 次方根可以合写为：±n a (a ＞0) (3) 负数没有偶次方根；零的任何次方根都是零 。

3、分数指数幂的意义：n mnm a a=，nm nm aa1=-（a ＞0，m ，n 都是正整数）0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义。

4、分数（有理数）指数幂的运算性质： rs s r r r r s r s rrr sra ab a ab a aa aa a =⋅===⋅-+)(,)(,, 5、指数函数： 一般地，函数xa y =(a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，其定义域是R ，值域为（0，＋∞）。

指数函数的图象与性质：6、对数：一般地，如果a (a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ， 其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式常用对数：通常将N 10log 叫做常用对数，为了简便，N 的常用对数记作lg N 自然对数：通常将以无理数e （2.71828…）为底的对数叫做自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作ln N . 7、对数运算性质：(1) 负数和零没有对数； (2) 01log =a ；(3) 1log =a a ； （4） 对数恒等式：N a Na =log ；（5）换底公式：aNN b b a log log log =8、对数运算法则：（1） )(log log log MN N M a a a =+ （2）NM N M a a a log log log =- （3） M n Ma na log log =（以上，a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0）9、对数函数： 一般地，函数y ＝x a log (a ＞0，且a ≠1) 叫做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(－∞，＋∞)。

（对数函数y ＝x a log 与指数函数互xa y =为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。

）对数函数图象与性质：10、幂函数：一般地，函数αx y =称作幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

几个特殊的幂函数：（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -=（5）3y x =用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出：幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α>0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.疑点：1、研究指数、对数问题时尽量要为同底，另外，注意指数、对数的联系。

2、解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？ （真数大于零，底数大于零且不等于1，字母底数还需讨论。

）3、注意指数函数与幂函数的区别（自变量x 所在的位置）。

4、几类常见的抽象函数 ：①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ---------------()()()f x y f x f y ±=±；②幂函数型：2()f x x = --------------()()()f xy f x f y =，()()()x f x f yf y =； ③指数函数型：()xf x a = ------------()()()f x y f x f y +=，()()()f x f x y f y -=；④对数函数型：()log a f x x = -----()()()f xy f x f y =+，()()()xf f x f y y=-；⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-。

指数函数习题例1： 比较下列各题中两值的大小观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法。

（1）（2）两题底相同，指数不同，（3）（4）两题可化为同底的，可以利用函数的单调性比较大小。

（5）题底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小。

（6）题底不同，指数也不同，可以借助中介值比较大小。

例2：已知下列不等式 , 比较m ,n 的大小 :这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆。

1、化简：⑴、65212121132)(ba bab a ⋅⋅⋅⋅---⑵、4223ba ab b a2、计算：⑴、1412121)32(10)427()23(10)3001(---⨯-⨯⨯+⑵、)21)(21)(21)(21)(21(214181161321-----+++++3、已知322=+-xx，求x x -+44，x x -+88，x x )22()2(+，x x 3322()2(+的值。

二、提高题4、求函数)32(425152-≥++=x x x y 的值域。

幂函数练习例1．已知函数()()2531m f x m m x--=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；例2．比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5习题1. 下列函数中不是幂函数的是（ ）Ａ．y =Ｂ．3y x = Ｃ．2y x = Ｄ．1y x -=2. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -= 3. 下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（ ） Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x -= Ｄ．32y x-=4．函数y ＝（x 2－2x ）21－的定义域是（ ）A ．{x |x ≠0或x ≠2}B ．（－∞，0） （2，＋∞）C ．（－∞，0）］ ［2，＋∞］D ．（0，2）5．函数y ＝（1－x 2）21的值域是（ ）A ．［0，＋∞］B ．（0，1）C ．（0，1）D ．［0，1］ 6．函数y ＝32)215(x x －＋的定义域是 。

综合练习 一．基础题：1、① 25log 20log 42-＝② lg 2lg50lg5lg 20lg100lg5lg 2+-= ③ 已知12log ,,54,3log 255表示用b a a b===_______________ 2、函数xy 12=的定义域是 ，值域为 。

3、函数)23(log21-=x y 的定义域是：4、如图，曲线1C ，2C ，3C ，4C 分别表示指数函数 xa y =，xb y =，xc y =，xd y =的图象， 则d c b a ,,,及0 ，1按从小到大可以排列为： 。

5、若02log 2log b a ，则b a ,及0 ，1按从小到大可以排列为： 。

6、下列不等式中，正确的有 ： ① 3.04.05.05.0 ② 3.0log 4.0log 5.05.0 ③ 5.05.03.04.0 ④ 23.03.02--7、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为 二、典型例题解析： 例1、设132log <a，则实数a 的取值范围是 . 例2、若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x、三、四象限，则实数b a ,的取值范围分别是 ， 。

例3、⎩⎨⎧≤+-=1,log 1,4)13()( x x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是例4、设10<<a ，)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是 例5、若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则c b a ,,的大小关系为：例6、对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论： ① f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ② f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2) ③1212()()f x f x x x -->0；④ 1212()()()22x x f x f x f ++<. 当x x f 2log )(=时，上述结论中正确结论的序号是例7、已知函数)2(log ax y a -=在]1,0[上是x 的减函数，则a 的取值范围是例8、已知函数)1,0(11log )(≠--=a a x mxx f a 是奇函数， （1）求m 的值及函数的定义域；（2）判断)(x f 在（1，＋∞）上的单调性； （3）当)2,(,1-∈a r x a 时，)(x f 的值域是（1，＋∞），求a ，r 的值三、练习：1、64log 2log 273＝2、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g =__________3、函数x y 2log 2-=的定义域为：4、若函数)1,0)(1(log )(≠+=a a x x f a 的定义域和值域都是]1,0[，则a ＝5、若1,10- b a ，则函数b a x f x+=)(的图象不经过第 象限。

6、方程1)3lg(lg =++x x 的解x ＝ ；7、设函数⎩⎨⎧≤=-1,log 1,2)(81 x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x ＝ ；8、若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则a ＝参考解答：课前热身：1、① 2 ② 1 ③bab 21+ 2、}1,0{},0{≠≠y y y x x 且 3、]132(，4、c d a b 105、10 a b6、③7、1，3例题解析：1、),1(32,0(+∞ 2、0,10 b a 3、)31,71[4、)3log ,(a -∞5、b a c6、②③7、)2,1(8、（1）1-=m ，定义域),1()1,(+∞--∞ （2）当1 a 时，增函数 ；当10 a 时，减函数 （3）1,32-=+=r a课堂练习：1、21 2、213、]4,0(4、25、一6、27、38、22。