2.5.3三角形全等的判定定理2(东直门梁燕)
【数学知识点】全等三角形的判定与性质
【数学知识点】全等三角形的判定与性质经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。
SSS（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。
SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。
ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。
AAS（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。
RHS（直角、斜边、边）（又称HL定理(斜边、直角边)）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。
（它的证明是用SSS原理）下列两种方法不能验证为全等三角形：AAA（角角角）：三角相等，不能证全等，但能证相似三角形。
SSA（边边角）：其中一角相等，且非夹角的两边相等。
1.全等三角形的对应角相等。
2.全等三角形的对应边相等。
3.能够完全重合的顶点叫对应顶点。
4.全等三角形的对应边上的高对应相等。
5.全等三角形的对应角的角平分线相等。
6.全等三角形的对应边上的中线相等。
7.全等三角形面积和周长相等。
8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
1、自行车架自行车架根据用途分类可以分为停放自行车架与汽车自行车架。
2、篮球架篮球架是篮球场地的必需设备。
篮球运动器材。
包括篮板和篮板支柱，架设在篮球场两端的中央。
目前使用的有液压式、移动式、固定式、吊式、海燕式、炮式等等。
3、相机三脚架三脚架是用来稳定照相机，以达到某些摄影效果，三脚架的定位非常重要。
三脚架按照材质分类可以分为木质、高强塑料材质，合金材料、钢铁材料、火山石、碳纤维等多种。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
12全等三角形判定二(SSS,AAS)(基础)知识讲解
全等三角形的判定二（SSS ，AAS ）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”；2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定3——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件可选择的判定方法 一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等.【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.举一反三：【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边 ∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）2、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC ＝AD ，就是证含有这两个线段的三角形△BAC ≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，过C 、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF 、BE.求证：BE ＝CF.【答案】证明：∵AD 为△ABC 的中线∴BD ＝CD∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等） ∴△BED ≌△CFD （AAS ）∴BE ＝CF3、如图：AB=A′B′，∠A=∠A′，若△ABC≌△A′B′C′，则还需添加的一个条件有（）种．A.1B. 2C.3D.4【思路点拨】本题要证明△ ABC≌△ A′B′C′，已知了AB=A′B′，∠A=∠ A′，可用的判别方法有ASA，AAS，及SAS，所以可添加一对角∠B=∠B′，或∠C=∠C′，或一对边AC=A′C′，分别由已知与所添的条件即可得证．【答案与解析】解：添加的条件可以为：∠B=∠B′；∠C=∠C′；AC=A′C′，共3种．若添加∠B=∠B′，证明：在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）；若添加∠C=∠C′，证明：在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）；若添加AC=A′C′，证明：在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．故选C.【总结升华】此题考查了全等三角形的判定，是一道条件开放型问题，需要由因索果，逆向推理，逐步探求使结论成立的条件，解决这类问题要注意挖掘隐含的条件，如公共角、公共边、对顶角相等，这类问题的答案往往不唯一，只有合理即可．熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．【答案与解析】证明：在△DEH 和△DFH 中，DE DF EH FH DH DH ⎧⎪⎨⎪=⎩＝＝∴△DEH ≌△DFH(SSS)∴∠DEH ＝∠DFH ．【总结升华】证明△DEH ≌△DFH ，就可以得到∠DEH ＝∠DFH ，我们要善于从实际问题中抽离出来数学模型，这道题用“SSS ”定理就能解决问题.举一反三：【变式】雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC ，支撑杆OE=OF ，AE=AB ，AF=AC ，当O 沿AD 滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD 与∠CAD 有何关系？说明理由．【答案】解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD=∠CAD，理由如下：∵AB=AC，AE=AB ，AF=AC ，∴AE=AF，在△AOE 与△AOF 中，，∴△AOE≌△AOF（SSS ），∴∠BAD=∠CAD．。
初中数学三角形全等五个判定方法(附例题)
初中数学三角形全等五个判定方法1. SSS（边边边）判定定理- 内容：三边对应相等的两个三角形全等。
- 解释：如果有两个三角形，它们的三条边分别相等，那么这两个三角形的形状和大小完全一样，是全等三角形。
例如，在三角形ABC和三角形DEF中，若AB = DE，BC = EF，AC = DF，那么可以判定三角形ABC全等于三角形DEF，记作△ABC△△DEF。
- 应用场景：当已知两个三角形的三边长度时，就可以直接使用SSS判定定理来证明它们全等。
比如在建筑工程中，要确定两个三角形结构的钢梁是否完全一样，只要测量三边长度是否相等即可。
2. SAS（边角边）判定定理- 内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- 解释：对于两个三角形，有两条边以及这两条边所夹的角分别相等，那么这两个三角形全等。
在三角形ABC和三角形DEF中，若AB = DE，△B = △E，BC = EF，那么△ABC△△DEF。
这里的角必须是两条边的夹角，顺序不能颠倒。
- 应用场景：在几何证明中，如果已知两个三角形有两条边相等，并且这两条边所夹的角也相等，就可以使用SAS判定定理。
例如在测量土地时，已知两块三角形土地的两边长度及其夹角相等，就可以判定这两块土地的形状完全相同。
3. ASA（角边角）判定定理- 内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- 解释：如果两个三角形中有两个角以及这两个角所夹的边分别相等，那么这两个三角形是全等的。
比如在三角形ABC和三角形DEF中，若△A = △D，AB = DE，△B = △E，那么△ABC△△DEF。
这里的边是两个角的夹边。
- 应用场景：当已知两个三角形的两个角和它们的夹边相等时，可使用该定理。
在航海中，通过测量两个角度和它们的夹边长度来确定两个三角形海域是否全等，从而判断船只的位置和航线。
4. AAS（角角边）判定定理- 内容：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
三角形全等的判定定理
B’
C’
图2-38
探究
在△ABC和△A’B’C’ 中,∠ABC=∠ A’B’C’ ,AB=A’B’, BC=B’C’ . (2)△ABC和△A’B’C’ 的位置关系如图2-39.
图2-39
探究
在△ABC和△A’B’C’ 中,∠ABC=∠ A’B’C’ ,AB=A’B’, BC=B’C’ . (3)△ABC和△A’B’C’ 的位置关系如图2-40.
例4 如图2-45,为测量河宽AB,小军从河岸的A点 沿着与AB垂直的方向走到C点,并在AC的中点E处 立一根标杆,然后从C点沿着和AC垂直的方向走到 D点,使点D,E,B恰好在一条直线上.于是小军说： “CD的长就是河的宽度.”你能说出这个道理吗？
B
A
E
图2-45
C
D
在△AEB和△CED中, 证明： ∠A=∠C= 90°, 图2-45 AE=CE, ∠AEB =∠CED (对顶角相等) , ∴ △AEB ≌ △CED（ASA）. ∴ AB=CD (全等三角形对应边相等). 因此,CD的长就是河的宽度.
图2-40
探究
在△ABC和△A’B’C’ 中,∠ABC=∠ A’B’C’ ,AB=A’B’, BC=B’C’ . (4)△ABC和△A’B’C’ 的位置关系如图2-41.
A ’’
B ’’ B
C’’ C
A
图2-41
结论
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. (可简写成“边角边”或“SAS”).
S ——边
(3)“角边角”中的“边”必须是两角的夹边.
结
束
单位：北京市东直门中学 姓名：梁燕
A——角
练习
1.在下列图中找出全等三角形,并把它们用符号写出来.
中考数学知识点复习：全等三角形判定定理
中考数学知识点复习：全等三角形判定定理
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定理：全等三角形的对应边、对应角相等
边角边定理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
角边角定理(ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
边边边定理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等
中考。
全等三角形的性质和判定
全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点二、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，其中点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点；AB 和DE ，BC 和EF ，AC 和DF 是对应边；∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F 是对应角.要点三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点四、全等三角形的判定（SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ）全等三角形判定一（SSS ，SAS ）全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.举一反三：【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90ABE CBD BE BD ⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD举一反三：【变式】已知：如图，PC ⊥AC ，PB ⊥AB ，AP 平分∠BAC ，且AB ＝AC ，点Q 在PA 上，求证：QC ＝QB类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．【答案与解析】证明：在△DEH 和△DFH 中，EH FH DH DH ⎪⎨⎪=⎩＝∴△DEH ≌△DFH(SSS)∴∠DEH ＝∠DFH ．一、选择题1. △ABC 和△'''A B C 中，若AB ＝''A B ，BC ＝''B C ，AC ＝''A C .则（ ）A.△ABC ≌△'''A C BB. △ABC ≌△'''A B CC. △ABC ≌△'''C A BD. △ABC ≌△'''C B A2. 如图，已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，则下列结论中错误的是（ ）A.AB ∥DCB.∠B ＝∠DC.∠A ＝∠CD.AB ＝BC3. 下列判断正确的是（ ）A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等6. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，AB ＝CD ，BC ＝ED ，以下结论不正确的是（ ）A.EC ⊥ACB.EC ＝ACC.ED ＋AB ＝DBD.DC ＝CB二、填空题9. 如图，在△ABC 和△EFD 中，AD ＝FC ，AB ＝FE ，当添加条件_______时，就可得△ABC ≌△EFD （SSS ）10. 如图，AC ＝AD ，CB ＝DB ，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE ＝_______.12. 已知，如图，AB ＝CD ，AC ＝BD ，则△ABC ≌，△ADC ≌ .三、解答题13. 已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠ADC ＝∠BCD ，AD ＝BC ，求证：CO ＝DO ．14. 已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ．求证：AD ∥BC ．分析：要证AD ∥BC ，只要证∠______＝∠______，又需证______≌______．证明：∵ AB ∥CD （ ），∴ ∠______＝∠______ （ ），在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ （ ）．∴ ∠______＝∠______ （ ）．∴ ______∥______（ ）．15.如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：AE＝DE.全等三角形判定3——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果∠A＝∠'A，AB＝''A B，∠B＝∠'B，则△ABC≌△AB C.'''要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS类型一、全等三角形的判定3——“角边角”1、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF举一反三：【变式】如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF.求证：AB ＝CD.类型二、全等三角形的判定4——“角角边”2、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，过C 、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF 、BE.求证：BE ＝CF.【答案】证明：∵AD 为△ABC 的中线∴BD ＝CD∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等） ∴△BED ≌△CFD （AAS ）∴BE ＝CF3、已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB ∥DC ，AB ＝DC ．（1）求证：AC 与BD 互相平分；（2）若过O 点作直线l ，分别交AB 、DC 于E 、F 两点，求证：OE ＝OF.证明：∵AB ∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO 与△CDO 中A C (AOB COD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝对顶角相等） AB=CD∴△ABO ≌△CDO （AAS ）∴AO ＝CO ，BO=DO在△AEO 和△CFO 中A C (AOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝AO=CO＝对顶角相等） ∴△AEO ≌△CFO （ASA ）∴OE ＝OF.一、选择题1. 能确定△ABC ≌△DEF 的条件是 （ ）A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠EB ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠EC ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠DD ．∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E2．如图，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是 （ ）图4－3 A ．甲和乙 B ．乙和丙 C ．只有乙D ．只有丙3．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（）A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF 4．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是（）A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BACC．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC二、填空题7. 如图,∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是.(填上你认为适当的一个条件即可).8. 在△ABC和△'''C＝69°，∠'B＝44°，A B C中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠'且AC＝''B C，则这两个三角形_________全等.（填“一定”或“不一定”）9. 已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________.11. 如图, 已知：∠1 ＝∠2 , ∠3 ＝∠4 , 要证BD ＝CD , 需先证△AEB≌△AEC , 根据是，再证△BDE ≌△，根据是．12. 已知:如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，（1）若以“ASA”为依据，还缺条件（2）若以“AAS”为依据，还缺条件（3）若以“SAS”为依据，还缺条件三、解答题13．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．答：△AOD≌△COB．证明：在△AOD和△COB中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COBAODOBOACA∴△AOD≌△COB （ASA）．问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？14. 已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：AC与BD互相平分.15. 已知：如图, AB∥CD, OA ＝ OD, BC过O点, 点E、F在直线AOD上, 且AE ＝ DF.求证：EB∥CF.要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC ..举一反三：【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）举一反三：【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）3、已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；证明：连接DC∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD∴∠DAC ＝∠CBD ＝90°在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，DC CD AC BD=⎧⎨⎩＝∴Rt △ADC ≌Rt △BCD （HL ）∴AD ＝BC .（全等三角形对应边相等）举一反三：【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.4、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.一、选择题1．下列说法正确的是 （ ）A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．斜边相等的两个直角三角形全等C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D ．一边长相等的两等腰直角三角形全等3. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“______”．8. 已知，如图，∠A＝∠D＝90°，BE＝CF，AC＝DE，则△ABC≌_______.9. 如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，则AC＝_________.10. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，若DE＝2，AB＝4，则DB＝______.12. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则∠BAD＝_______.三、解答题14. 如图，已知AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，BC＝DF. 求证：AC＝EF.15. 如图，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.求证：∠1＝∠2.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
三角形全等的判定(SSS) ppt课件
两弧交于点A '；
么结论？
3. 连接线段 A'B'、A'C'.
则ΔA'B'C'为所求作的三角形.
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三边对应相等的两个三角形全等，简 写为“边边边”或“SSS”。
用上面的结论可以判定两个三角形全等． 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明
三角形全等．
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11
结 论
三边对应相等的两个三角形全等. (简写成“边边边”或“SSS”)
作法： （1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，
OB 于点C、D； B
D
O
C
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23
应用所学，例题解析
用尺规作一个角等于已知角． 已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB． 作法： （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半
径画弧，交O′A′于点C′； B
D
②三角形全等书写三步骤：
写出在哪两个三角形中
摆出三个条件用大括号括起来
写出全等结论
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巩固
1. △ABC与△DEF的各边如图所示，那 么△ABC与△DEF全等吗？为什么？
A
6cm
4cm
B
C
5cm
F
5cm
E
6cm 4cm
注意：字母的对应位置。 D
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巩固
2.将三根木条钉成一个三角形木架，这 个三角形的形状、大小会改变吗？为什 么？
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探究活动 三边对应相等的两个三角形会全等吗？
若已知一画个一三个角三形角的形三，条使边它，的你三能边画长出分 别为4cm,5这cm个,7三cm角.形吗？
三角形全等条件
三角形全等条件一、三角形的概念三角形是由三条边组成的图形，其中每条边都连接两个角。
在数学中，三角形被广泛研究，并有很多重要的定理和条件与之相关。
其中，三角形的全等条件是研究三角形相等性质的重要内容。
二、全等三角形的定义两个三角形如果具有相同的角度度量和相同的边长，则它们被称为全等三角形。
全等三角形表示为∆ABC≌∆DEF。
三、全等三角形的条件1. SSS（边边边）全等条件若三角形ABC的三条边AB、BC、CA的对应边DEF的边长分别相等，则∆ABC≌∆DEF。
即，当∆ABC的三条边分别等于∆DEF的三条边时，两个三角形全等。
例子：已知∆ABC的三边分别为AB = 4 cm，BC = 5 cm，AC = 3 cm，∆DEF的三边分别为DE = 4 cm，EF = 5 cm，FD = 3 cm。
根据SSS全等条件，可以得出∆ABC≌∆DEF。
2. SAS（边角边）全等条件若三角形ABC的一条边AB与对应边DEF相等，且AB、AC的夹角BAC等于对应边DEF、DF的夹角EDF，则∆ABC≌∆DEF。
即，当三角形的两边和夹角分别等于另一个三角形的对应边和夹角时，两个三角形全等。
例子：已知∆ABC的边AB = 5 cm，∠BAC = 50°，∆DEF的边DE = 5 cm，∠EDF = 50°。
根据SAS全等条件，可以得出∆ABC≌∆DEF。
3. ASA（角边角）全等条件若三角形ABC的两个角∠A、∠C和对应角DEF的两个角∠D、∠F相等，则∆ABC≌∆DEF。
即，当三角形的两个角和夹边分别等于另一个三角形的对应角和夹边时，两个三角形全等。
例子：已知∆ABC的两个角∠A = 30°，∠C = 50°，∆DEF的两个角∠D = 30°，∠F = 50°。
根据ASA全等条件，可以得出∆ABC≌∆DEF。
4. RHS（直角边、斜边、直角边）全等条件若两个直角三角形的直角边和斜边分别相等，则两个三角形全等。
三角形全等的判定定理是什么
三角形全等的判定定理是什么
三组对应边分别相等的两个三角形全等、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等、斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等。
判定定理
1.三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS或“边边边”），这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS或“边角边”）。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA或“角边角”）。
4.有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS或“角角边”）。
5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL或“斜边，直角边”）。
全等三角形的性质
1.全等三角形的对应角相等。
2.全等三角形的对应边相等。
3.能够完全重合的顶点叫对应顶点。
4.全等三角形的对应边上的高对应相等。
5.全等三角形的对应角的角平分线相等。
6.全等三角形的对应边上的中线相等。
7.全等三角形面积和周长相等。
8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。
证明三角形全等的题步骤
1.读题，明确题中的已知和求证。
2.要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。
3.分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。
4.有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角。
5.先证明缺少的条件，再证明两个三角形全等。
全等形的判定条件
全等形的判定条件一、全等形的判定条件全等形啊，其实就是能够完全重合的两个图形。
那怎么去判定两个图形是不是全等形呢？1. 边边边（SSS）如果两个三角形的三条边都对应相等，那这两个三角形就是全等的。
你可以想象一下，三边都一样长的三角形，就像是复制粘贴出来的一样，肯定能完全重合呀。
比如说，一个三角形的三条边分别是3厘米、4厘米、5厘米，另一个三角形也是3厘米、4厘米、5厘米，那这两个三角形就是全等三角形啦。
2. 边角边（SAS）当两个三角形的两条边及其夹角对应相等的时候，这两个三角形也是全等的。
夹角很重要哦，如果边相等但是夹角不一样，那可就不是全等形了。
就像有两个三角形，一条边都是4厘米，另一条边都是5厘米，它们之间的夹角都是60度，那这两个三角形就是全等的。
3. 角边角（ASA）要是两个三角形的两个角及其夹边对应相等，这两个三角形也是全等的。
比如一个三角形的两个角分别是30度和60度，它们的夹边是4厘米，另一个三角形同样是30度和60度，夹边也是4厘米，那这两个三角形肯定能完全重合，就是全等三角形啦。
4. 角角边（AAS）如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边对应相等，这两个三角形也是全等的。
这和角边角有点类似，不过这里是一个角的对边相等。
5. 直角、斜边、直角边（HL）这个是专门针对直角三角形的。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那这两个直角三角形就是全等的。
这就像是给直角三角形的一种特殊的判定全等的方法呢。
所以呀，只要满足这些条件中的一个，就可以判定两个图形是全等形啦。
这就像是给图形找双胞胎一样，按照这些规则就能找到完全一样的“双胞胎”图形哦。
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图2-52
小知识
由“边边边”可知,只要三边的长 度确定,那么这个三角形的形状和大小 也就固定了,三角形的这个性质叫作三
角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中
有广泛的应用.
探究
根据下列条件,分别画△ABC和△A’B’C’. (1) AB=A’B’=3cm,
AC=A’C’=2.5cm ,∠B=∠B’=45°； 满足上述条件画出的△ABC和△A’B’C’一定全等吗？ A’ A
B
30°
80°
A
B’
30°
70° C’
由此你能得出什么结论？
结论
三角分别相等的两个三角形不一定全等.
例9 已知：如图2-55, AC与BD相交于点O, 且 AB=DC,AC=DB. 求证：∠A=∠D.
图2-55
“边边边”
例9 已知：如图2-55, AC与BD相交于点O, 且 AB=DC,AC=DB. 求证：∠A=∠D. 证明： 连接 BC. 在△ABC和△DCB中, AB=DC, BC=CB(公共边), AC=DB, ∴ △ABC≌△DCB（SSS）. ∴ ∠A=∠D.
图2-46
结论
两角分别相等且其中一组等角的对边相 等的两个三角形全等. (可简写成“角角边”或“AAS”).
“角角边”
例5 已知：如图2-47, ∠B=∠D,∠1=∠2. 求证：△ABC≌△ADC. 证明： ∵ ∠1=∠2 , ∴ ∠ACB=∠ACD (等角的补角相等). 在△ABC和△ADC中, ∠B=∠D , ∠ACB=∠ACD , AC=AC, ∴ △ABC≌△ADC（AAS） .
图2-55
例10 某地在山区修建高速公路时需挖通一条 隧道.为估测这条隧道的长度（如图2-56）,需测 出这座山A,B间的距离,结合所学知识,你能给出 什么好方法吗？
图2-56
选择某一合适的地点O,使得从O点能测出AO与 解： BO的长度.连接AO并延长至A’,使OA’=OA;连接BO并 延长至B’,使OB’=OB,连接A’B’ ,这样就构造出两 个三角形. 在△AOB和△A’OB’中, OA =OA′, ∠AOB =∠A’OB′, OB = OB’, ∴ △AOB ≌△A’OB’(SAS) . ∴ AB=A’B’. O 因此只要测出A’B’的长度就能 B A 得到这座山A,B间的距离.
图2-51
“边边边”
例8 已知：如图2-52,在△ABC中, AB=AC, 点D,E在 BC上,且AD=AE,BE=CD. 求证：△ABD≌△ACE. 证明： ∵ BE=CD, ∴ BE-DE=CD-DE, 即BD=CE. 在△ABD和△ACE中, AB=AC, BD=CE, AD=AE, ∴ △ABD≌△ACE（SSS）.
说一说
图2-56
你还能想出其它方 案,来测出A,B两处的 距离吗？
小结
1.判定两个三角形全等的方法有哪些？ 2. ASA与AAS的联系与区别是什么？ 3.任意给出三个（边相等或角相等）条件都可以判定两个 三角形全等吗？
4.注意书写格式以及推理的步骤： （找齐条件— 摆齐条件— 得结论）
Байду номын сангаас
结
束
单位：北京市东直门中学 姓名：梁燕
B
45°
C
B’
45°
C’
由此你能得出什么结论？
结论
两边分别相等且其中一组等边的对角相等
的两个三角形不一定全等.
探究
根据下列条件，分别画△ABC和△A’B’C’. (2) ∠A=∠A’=80°,
∠B=∠B’=30° ,∠C=∠C’=70° .
满足上述条件画出的△ABC和△A’B’C’一定全等吗？ C 请你动手画一画. A’ 70° 80°
本章内容 第2章
三角形
本课内容 本节内容 2.5
全等三角形
子目内容 2.5.2
三角形全等的判定定理（2）
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动脑筋
如图2-46,在△ABC和 △A’B’C’ 中,如果∠A=∠A′ , ∠B=∠B′ , BC=B’C’ .那么△ABC和△A’B’C’ 全等吗？
在△ABC和△A’B’C’中, ∵ ∠A =∠A′, ∠B =∠B′, ∴ ∠C =∠C′. 又∵ BC=B’C’, ′ ∠B=∠B , ∴ △ABC ≌ △A’B’C’(ASA) .
图2-48
探究
如图2-49,在△ABC和△A’B’C’ 中,如果AB=A’B’,
BC=B’C’, AC=A’C’ ,那么△ABC和△A’B’C’ 全等吗
A’
B’ ’
C ’’
B’
C’
A’ ’
图2-49
探究
如图2-49,在△ABC和△A’B’C’ 中,如果AB=A’B’,
BC=B’C’, AC=A’C’ ,那么△ABC和△A’B’C’ 全等吗 ∵ A’B’=A’’B’, A’C’ =A’’C’ , ∴ ∠1=∠2, ∠3=∠4 . 从而 ∠1+∠3=∠2+∠4, 即∠ B’A’C’ =∠ B’A’’C’. 在△A’B’C’和△A’’B’C’中, A’B’=A’’B’, 图2-50 ∠ B’A’C’=∠B’A’’C’ , A’C’ =A’’C’, ∴ △A’B’C’ ≌△A’’B’C’ （SAS） .
结论
三边分别相等的两个三角形全等. (可简写成“边边边”或“SSS”).
“边边边”
例7 已知：如图2-51, AB=CD, BC=DA. 求证：∠B=∠D. 证明： 在△ABC和△CDA中, AB=CD , BC=DA, AC=CA (公共边), ∴ △ABC≌△CDA（SSS）. ∴ ∠B=∠D.
图2-47
“角角边”
例6 已知：如图2-48,点B,F,C,E在同一条直线上, AC ∥ FD,∠A=∠D,BF=EC. 求证：△ABC≌△DEF. 证明： ∵ AC ∥ FD,
∴ ∠ACB=∠DFE . ∵ BF=EC, ∴ BF+FC=EC+FC , 即BC=EF. 在△ABC和△DEF中, ∠A=∠D , ∠ACB=∠DFE , BC=EF, ∴ △ABC≌△DEF（AAS） .