三角形全等的判定定理

束
单位：北京市东直门中学 姓名：梁燕
A
A’
B
45°
C
B’
45°
C’
由此你能得出什么结论？
结论
两边分别相等且其中一组等边的对角相等
的两个三角形不一定全等.
探究
根据下列条件，分别画△ABC和△A’B’C’. (2) ∠A=∠A’=80° , ∠B=∠B’=30° ,∠C=∠C’=70° . 满足上述条件画出的△ABC和△A’B’C’一定全等吗？ 请你动手画一画. C A’ 70° 80°
图2-52
小知识
由“边边边”可知,只要三边的长 度确定,那么这个三角形的形状和大小 也就固定了,三角形的这个性质叫作三
角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中
有广泛的应用.
探究
根据下列条件,分别画△ABC和△A’B’C’. (1) AB=A’B’=3cm, AC=A’C’=2.5cm ,∠B=∠B’=45°； 满足上述条件画出的△ABC和△A’B’C’一定全等吗？
图2-51
“边边边”
例8 已知：如图2-52,在△ABC中, AB=AC, 点D,E在 BC上,且AD=AE,BE=CD. 求证：△ABD≌△ACE. 证明： ∵ BE=CD, ∴ BE-DE=CD-DE, 即BD=CE. 在△ABD和△ACE中, AB=AC, BD=CE, AD=AE, ∴ △ABD≌△ACE（SSS）.
图2-55
例10 某地在山区修建高速公路时需挖通一条 隧道.为估测这条隧道的长度（如图2-56）,需测 出这座山A,B间的距离,结合所学知识,你能给出 什么好方法吗？
图2-56
选择某一合适的地点O,使得从O点能测出AO与 解： BO的长度.连接AO并延长至A’,使OA’=OA;连接BO并延 长至B’,使OB’=OB,连接A’B’ ,这样就构造出两个三角形. 在△AOB和△A’OB’中, OA =OA′, ∠AOB =∠A’OB′, OB = OB’, ∴ △AOB ≌△A’OB’(SAS) . ∴ AB=A’B’. 因此只要测出A’B’的长度就能 B 得到这座山A,B间的距离.
O
A
说一说ห้องสมุดไป่ตู้
图2-56
你还能想出其它方 案,来测出A,B两处的 距离吗？
小结
1.判定两个三角形全等的方法有哪些？ 2. ASA与AAS的联系与区别是什么？ 3.任意给出三个（边相等或角相等）条件都可以判定两个 三角形全等吗？
4.注意书写格式以及推理的步骤： （找齐条件— 摆齐条件— 得结论）
结
B
30°
80°
A
B’
30°
70° C’
由此你能得出什么结论？
结论
三角分别相等的两个三角形不一定全等.
例9 已知：如图2-55, AC与BD相交于点O, 且 AB=DC,AC=DB. 求证：∠A=∠D.
图2-55
“边边边”
例9 已知：如图2-55, AC与BD相交于点O, 且 AB=DC,AC=DB. 求证：∠A=∠D. 证明： 连接 BC. 在△ABC和△DCB中, AB=DC, BC=CB(公共边), AC=DB, ∴ △ABC≌△DCB（SSS）. ∴ ∠A=∠D.
本章内容 第2章
三角形
本课内容 本节内容 2.5
全等三角形
子目内容 2.5.2
三角形全等的判定定理（2）
返回
动脑筋
如图2-46,在△ABC和 △A’B’C’ 中,如果∠A=∠A′ , ∠B=∠B′ , BC=B’C’ .那么△ABC和△A’B’C’ 全等吗？
在△ABC和△A’B’C’中, ∵ ∠A =∠A′, ∠B =∠B′, ∴ ∠C =∠C′. 又∵ BC=B’C’, ′ ∠B=∠B , ∴ △ABC ≌ △A’B’C’(ASA) .
图2-47
“角角边”
例6 已知：如图2-48,点B,F,C,E在同一条直线上, AC ∥ FD,∠A=∠D,BF=EC. 求证：△ABC≌△DEF. 证明： ∵ AC ∥ FD,
∴ ∠ACB=∠DFE . ∵ BF=EC, ∴ BF+FC=EC+FC , 即BC=EF. 在△ABC和△DEF中, ∠A=∠D , ∠ACB=∠DFE , BC=EF, ∴ △ABC≌△DEF（AAS） .
图2-46
结论
两角分别相等且其中一组等角的对边相 等的两个三角形全等. (可简写成“角角边”或“AAS”).
“角角边”
例5 已知：如图2-47, ∠B=∠D,∠1=∠2. 求证：△ABC≌△ADC. 证明： ∵ ∠1=∠2 , ∴ ∠ACB=∠ACD (等角的补角相等). 在△ABC和△ADC中, ∠B=∠D , ∠ACB=∠ACD , AC=AC, ∴ △ABC≌△ADC（AAS） .
结论
三边分别相等的两个三角形全等. (可简写成“边边边”或“SSS”).
“边边边”
例7 已知：如图2-51, AB=CD, BC=DA. 求证：∠B=∠D. 证明： 在△ABC和△CDA中, AB=CD , BC=DA, AC=CA (公共边), ∴ △ABC≌△CDA（SSS）. ∴ ∠B=∠D.
图2-48
探究
如图2-49,在△ABC和△A’B’C’ 中,如果AB=A’B’,
BC=B’C’, AC=A’C’ ,那么△ABC和△A’B’C’ 全等吗？
A’
B’ ’
C ’’
B’
C’
A’ ’
图2-49
探究
如图2-49,在△ABC和△A’B’C’ 中,如果AB=A’B’,
BC=B’C’, AC=A’C’ ,那么△ABC和△A’B’C’ 全等吗？ ∵ A’B’=A’’B’, A’C’ =A’’C’ , ∴ ∠1=∠2, ∠3=∠4 . 从而 ∠1+∠3=∠2+∠4, 即∠ B’A’C’ =∠ B’A’’C’. 在△A’B’C’和△A’’B’C’中, A’B’=A’’B’, ∠ B’A’C’=∠B’A’’C’ , 图2-50 A’C’ =A’’C’, ∴ △A’B’C’ ≌△A’’B’C’ （SAS） . ∴ △ABC ≌△A’B’C’ .