文科一轮学案4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数

第四章 三角函数、解三角形学案4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】 1．角的概念(1)角的分类(按旋转的方向)角⎩⎪⎨⎪⎧正角：按照逆时针方向旋转而成的角.负角：按照顺时针方向旋转而成的角.零角：射线没有旋转. (2)象限角(3)终边相同的角所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制(1)定义：把长度等于 长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是 ，负角的弧度数是 ，零角的弧度数是 ．(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝ ，扇形的面积公式： S ＝12lr ＝12|α|r 2. 3．任意角的三角函数的定义α为任意角，α的终边上任意一点P (异于原点)的坐标(x ，y )，它与原点的距离|OP |＝r ＝x 2＋y 2 (r >0)， 则sin α＝y r ；cos α＝x r ；tan α＝y x ；cot α＝x y ；sec α＝r x ；csc α＝ry.4．三角函数在各象限的符号规律及三角函数线 (1)三角函数在各象限的符号：第四章 三角函数、解三角形正弦线 如图，角α的正弦线为MP →. 余弦线 如图，角α的余弦线为OM →. 正切线 如图，角α的正切线为AT →.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( )(3)角α终边上点P 的坐标为(－12，32)，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.( ) (4)α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( )(5)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 角及其表示例1 (1)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为 ．(2)若角α在第三象限，则α2在第 象限．变式训练：(1)设集合M ＝{x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅第二章 函数与基本初等函数(2)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )考点二 弧度制的应用例2 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角：(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？变式训练：(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( ) A.π3B.π6C ．－π3D ．－π6(2)已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为 cm 和圆心角为 弧度时，扇形面积最大．考点三：三角函数的概念 命题点1 三角函数定义的应用例3 (1)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B.12C ．－32 D.32(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32 B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32 D.⎝⎛⎭⎫－32，12命题点2 三角函数值的符号例4 (1)若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )第四章 三角函数、解三角形A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 命题点3 三角函数线例5 满足cos α≤－12的角α的集合为 ．变式训练： (1)已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．直线y ＝x 上D ．直线y ＝－x 上(2)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3]当堂达标 1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )3．(教材改编)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1 4.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝ .第二章 函数与基本初等函数巩固提高案 日积月累 提高自我1．给出下列四个命题：( )①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角． 其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( ) A.π3B.π2C. 3 D ．23．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α等于( )A.43B.34 C ．－34 D ．－434．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α＜0 B ．tan α－sin α＜0 C ．cos α－tan α＜0 D ．tan αsin α＜0 5．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于 ．7．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为 ．8．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第 象限角． 9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ.第四章三角函数、解三角形学案4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数自主预习案自主复习夯实基础【双基梳理】第二章 函数与基本初等函数1．角的概念(1)角的分类(按旋转的方向)角⎩⎪⎨⎪⎧正角：按照逆时针方向旋转而成的角.负角：按照顺时针方向旋转而成的角.零角：射线没有旋转. (2)象限角(3)终边相同的角所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|r ，扇形的面积公式： S ＝12lr ＝12|α|r 2. 3．任意角的三角函数的定义α为任意角，α的终边上任意一点P (异于原点)的坐标(x ，y )，它与原点的距离|OP |＝r ＝x 2＋y 2 (r >0)， 则sin α＝y r ；cos α＝x r ；tan α＝y x ；cot α＝x y ；sec α＝r x ；csc α＝ry.4．三角函数在各象限的符号规律及三角函数线 (1)三角函数在各象限的符号：(2)三角函数线：第四章 三角函数、解三角形正弦线 如图，角α的正弦线为MP →. 余弦线 如图，角α的余弦线为OM →. 正切线 如图，角α的正切线为AT →.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( √ )(3)角α终边上点P 的坐标为(－12，32)，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.( × ) (4)α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( √ )(5)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 角及其表示例1 (1)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为 ．(2)若角α在第三象限，则α2在第 象限．答案 (1)⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋56π (k ∈Z ) (2)二或四解析 (1)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝⎛⎭⎫π4，56π， ∴所求角的集合为⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋56π (k ∈Z )． (2)∵2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，∴k π＋π2＜α2＜k π＋34π(k ∈Z )．第二章 函数与基本初等函数当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π2＜α2＜2n π＋34π，α2是第二象限角，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋3π2＜α2＜2n π＋74π，α2是第四象限角， 综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角．变式训练：(1)设集合M ＝{x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅(2)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 (1)B (2)C解析 (1)方法一 由于M ＝{x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.方法二 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.(2)当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.考点二 弧度制的应用例2 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角：(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？第四章 三角函数、解三角形解 (1)α＝60°＝π3 rad ，∴l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rα＝1012α·R 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1，α＝8(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，α＝12.故扇形圆心角为12.(3)由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2.变式训练：(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( ) A.π3B.π6C ．－π3D ．－π6(2)已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为 cm 和圆心角为 弧度时，扇形面积最大． 答案 (1)C (2)1 2解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A 、B 不正确；又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.(2)设扇形圆心角为α，半径为r ，则 2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r－2.∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2.考点三：三角函数的概念 命题点1 三角函数定义的应用例3 (1)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B.12 C ．－32 D.32(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，32 B.⎝⎛⎭⎫－32，－12C.⎝⎛⎭⎫－12，－32 D.⎝⎛⎭⎫－32，12答案 (1)B (2)A解析 (1)∵r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.(2)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.命题点2 三角函数值的符号例4 (1)若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 (2)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是() A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 (1)C (2)B解析 (1)∵sin α＜0，∴α的终边落在第三、四象限或y 轴的负半轴；又tan α＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．(2)由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角．命题点3 三角函数线例5 满足cos α≤－12的角α的集合为 ． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 解析 作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ 2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .变式训练： (1)已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A ．x 轴上B ．y 轴上C ．直线y ＝x 上D ．直线y ＝－x 上(2)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是() A ．(－2,3] B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]答案 (1)A (2)A解析 (1)||cos α＝1，∴角α的终边在x 轴上．(2)∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.故选A.当堂达标1．角－870°的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限．2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z ) 答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z ) ，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．3．(教材改编)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C.2sin 1D ．2sin 1 答案 C解析 设圆的半径为r ，则sin 1＝1r ，∴r ＝1sin 1， ∴2弧度的圆心角所对的弧长为2r ＝2sin 1. 4.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝ .答案 －35解析 因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限， 又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35， 由三角函数的定义可得cos α＝－35. 5．函数y ＝2cos x －1的定义域为 ．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12. 由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ).巩固提高案 日积月累 提高自我1．给出下列四个命题：( )①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角； ③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析 －3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( ) A.π3 B.π2 C. 3 D ．2答案 C解析 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ， 所以3r ＝α·r ，∴α＝ 3.3．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α等于( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43答案 D解析 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0. 又cos α＝15x ＝x x 2＋16， 解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 4．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A ．sin α＋cos α＜0B ．tan α－sin α＜0C ．cos α－tan α＜0D ．tan αsin α＜0答案 B解析 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A 、C 、D ，故选B.5．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．6．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于 ． 答案 π3解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎨⎧ l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝π3，r ＝2. 7．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为 ． 答案 －1 解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知， 角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.8．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第 象限角． 答案 四解析 由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2 (k ∈Z )，k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，知α2是第二或第四象限角，再由⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2≤0，所以α2只能是第四象限角． 9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2. ∴圆心角α＝l r＝2. 如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．∴圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm.10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ. 解 ∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，即x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.。