高考数学《三角函数》专题 任意角的三角函数学案
高中数学 第三章 三角函数 3.2 任意角的三角函数 3.2.3 诱导公式(一)学案 湘教版必修2-
3.2.3 诱导公式(一)[学习目标] 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．[知识链接]1．对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？答所有与α终边相同的角，连同α在内，可以构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2π－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.[预习导引]1．诱导公式一～四(其中k∈Z)(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα.(2)公式二：.sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.(3)公式三：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.(4)公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.2．诱导公式一～四的记忆方法kπ±α(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名函数值，前面添上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”.要点一 给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值：(1)sin1320°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6； (3)tan (－945°)．解 (1)方法一 sin1320°＝sin (3×360°＋240°) ＝sin240°＝sin (180°＋60°)＝－sin60°＝－32. 方法二 sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin (180°－60°)＝－sin60°＝－32. (2)方法一 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＝cos (π＋π6)＝－cos π6＝－32.方法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(3)tan (－945°)＝－tan945°＝－tan (225°＋2×360°) ＝－tan225°＝－tan (180°＋45°) ＝－tan45°＝－1.规律方法 此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数． 跟踪演练1 求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3(n ∈Z )的值．解 ①当n 为奇数时， 原式＝sin 2π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 43π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34.②当n 为偶数时，原式＝sin 23π·cos 43π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3 ＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝－34.综上，原式＝±34. 要点二 给值求值问题例2 已知cos (α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值．解 ∵cos (α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角． ∴sin (α－75°)＝－1－cos 2α－75°＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223.∴sin (105°＋α)＝sin []180°＋α－75°＝－sin (α－75°)＝223.规律方法 解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式．跟踪演练2 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35，∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α) ＝－sin(π－α)＋(－cos α) ＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝15.要点三 三角函数式的化简 例3 化简下列各式：(1)sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α(k ∈Z )； (2)1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°.解 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin 2n π－αcos[2n －1π－α]sin[2n ＋1π＋α]cos 2n π＋α＝sin －α·cos －π－αsin π＋α·cos α＝－sin α·－cos α－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[2n ＋1π－α]·cos[2n ＋1－1π－α]sin[2n ＋1＋1π＋α]·cos[2n ＋1π＋α]＝sin π－α·cos αsin α·cos π＋α＝sin α·cos αsin α·－cos α＝－1. 综上，原式＝－1. (2)原式＝1＋2sin 360°－70°cos 360°＋70°sin 180°＋70°＋cos 720°＋70°＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝|cos70°－sin70°|cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1. 规律方法 三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.跟踪演练3 化简下列各式：(1)cos π＋α·sin 2π＋αsin －α－π·cos －π－α； (2)cos190°·sin －210°cos －350°·tan －585°. 解 (1)原式＝－cos α·sin α－sin π＋α·cos π＋α＝cos αsin αsin α·cos α＝1.(2)原式＝cos 180°＋10°[－sin 180°＋30°]cos －360°＋10°[－tan 360°＋225°]＝－cos10°·sin30°cos10°·[－tan 180°＋45°]＝－12－tan45°＝12.1．求下列三角函数的值：(1)si n690°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－203π；(3)tan(－1845°)． 解 (1)sin690°＝sin(360°＋330°)＝sin330° ＝sin(180°＋150°)＝－sin150°＝－sin(180°－30°) ＝－sin30°＝－12.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－203π＝cos 203π＝cos(6π＋23π) ＝cos 23π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12. (3)tan(－1845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°) ＝－tan45°＝－1.2．化简：cos 180°＋αsin α＋360°sin －α－180°cos －180°－α.解 原式＝－cos α·sin α[－sin α＋180°]·cos 180°＋α＝sin αcos αsin α＋180°cos 180°＋α＝sin αcos α－sin α－cos α＝1.3．求sin π＋αcos π－αcos 3π－αsin 3π＋α.解 原式＝－sin α－cos α－cos α－sin α＝1.4．证明：2sin α＋n πcos α－n πsin α＋n π＋sin α－n π＝(－1)ncos α，n ∈Z .证明 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，左边＝2sin α＋2k πcos α－2k πsin α＋2k π＋sin α－2k π＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α. 右边＝(－1)2kcos α＝cos α， ∴左边＝右边．当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin α＋2k π－πcos α－2k π＋πsin α＋2k π－π＋sin α－2k π＋π＝2sin α－πcos α＋πsin α－π＋sin α＋π ＝2[－sin π－α]－cos α－sin α＋－sin α＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α.右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边．综上所述，2sin α＋n πcos α－n πsin α＋n π＋sin α－n π＝(－1)ncos α，n ∈Z 成立．1.明确各诱导公式的作用诱导公式 作用公式一 将角转化为0～2π之间的角求值公式二 将负角转化为正角求值 公式三 将角转化为0～π2之间的角求值公式四将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值2.这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．一、基础达标1．如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是( ) ①sin α＝sin β；②sin α＝－sin β；③cos α＝cos β；④cos α＝－cos β. A ．1B ．2 C ．3D ．4答案 B解析 ∵α＋β＝π，∴α＝π－β，∴sin α＝sin(π－β)＝sin β，cos α＝cos(π－β)＝－cos β，∴正确的是①④. 2．sin585°的值为( ) A ．－22B.22C ．－32D.32答案 A3．若n 为整数，则代数式sin n π＋αcos n π＋α的化简结果是( )A ．±tan αB ．－tan αC ．tan α D.12tan α 答案 C4．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )A.12B ．±32 C.32 D ．－32 答案 D解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－32(α为第四象限角)．5．tan(5π＋α)＝m ，则sin α－3π＋cos π－αsin －α－cos π＋α的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1C ．－1D ．1答案 A解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.6．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°等于( )A.1－k2k B ．－1－k2kC.k1－k2D ．－k1－k2答案 B解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos80°＝k ， ∴sin80°＝1－k 2.∴tan80°＝1－k2k.∴tan100°＝－tan80°＝－1－k2k.7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝. 答案 －33解析 cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝－33.二、能力提升8．若sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) A.53 B ．－53C ．±53D ．以上都不对答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 232－2＝－23，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α ＝－1－49＝－53. 9．已知tan(4π＋α)＝m (m ≠±1)，则 sin α－2π＋2cos 2π－α2sin －α－cos 2π＋α的值为．答案 －m ＋22m ＋110．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2013)＝1，则f (2014)＝. 答案 3解析 f (2013)＝a sin(2013π＋α)＋b cos(2013π＋β)＋2 ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2＝2－(a sin α＋b cos β)＝1， ∴a sin α＋b cos β＝1，f (2014)＝a sin(2014π＋α)＋b cos(2014π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝3. 11．若cos(α－π)＝－23，求sin α－2π＋sin －α－3πcos α－3πcos π－α－cos －π－αcos α－4π的值．解 原式＝sin α－sin 3π＋αcos 3π－α－cos α－－cos αcos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α1－cos α－cos α1－cos α＝－tan α. ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23，∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23，sin α＝1－cos 2α＝53， ∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52.当α为第四象限角时，cos α＝23，sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52.综上，原式＝±52. 12．已知tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根，且3π<α<7π2，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．解 因为tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根，所以tan α·1tan α＝13×(3k 2－13)＝1，可得k 2＝163.因为3π<α<7π2，所以tan α>0，sin α<0，cos α<0，又tan α＋1tan α＝－－3k 3＝k ， 所以k >0，故k ＝433，所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝433，所以sin αcos α＝34， 所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α ＝1＋2×34＝2＋32. 因为cos α＋sin α<0， 所以cos α＋sin α＝－3＋12. 所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α) ＝cos α＋sin α＝－3＋12. 三、探究与创新13．在△ABC 中，若si n(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π. 当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32， ∴B ＝π6，∴C ＝712π.。
2020高中数学 第一章 三角函数 阶段复习课 第1课 任意角的三角函数及诱导公式学案 4
第一课 任意角的三角函数及诱导公式[核心速填]1．与角α终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．角度制与弧度制的换算3．弧度制下扇形的弧长和面积公式 (1)弧长公式：l ＝|α|r . (2)面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.4．任意角的三角函数(1)定义1：设任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0)． (2)定义2：设任意角α的终边上任意一点P 的坐标为(x ，y )，r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．5．同角三角函数基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1；sin αcos α＝tan α.6．诱导公式记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限．[体系构建][题型探究]象限角及终边相同的角已知α(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. [解] (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π，∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2＜2k π＋14π9＜π2，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.[规律方法] 1.灵活应用角度制或弧度制表示角 (1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用． (2)角度制与弧度制的换算设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则αrad ＝⎝⎛⎭⎪⎫α·180π°，n °＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ·π180rad. 2．象限角的判定方法(1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的． [跟踪训练]1．若α角与8π5角终边相同，则在[0,2π]内终边与α4角终边相同的角是________.【导学号：84352139】2π5，9π10，7π5，19π10 [由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )． 又α4∈[0,2π]，所以k ＝0,1,2,3，α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.]弧度制下扇形弧长及面积公式的计算(1)如图11，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧、弧、弧的圆心依次是A 、B 、C ，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是________．图11(2)一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为c ，面积为S ，则c －1S的最大值为________． (1)4π (2)4 [(1)弧的长是120π×1180＝2π3，弧的长是：120π×2180＝4π3，弧的长是：120π×3180＝2π，则曲线CDEF 的长是：2π3＋4π3＋2π＝4π.(2)设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角大小为2弧度， 则l ＝2r ，可求：c ＝l ＋2r ＝2r ＋2r ＝4r ， 扇形的面积为S ＝12lr ＝12r 2×2＝r 2，所以c －1S ＝4r －1r 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1r 2＋4r＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1r－22＋4≤4.r ＝12时等号成立，所以c －1S的最大值为4.] [规律方法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略1明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角；2涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解.[跟踪训练]2．如图12，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积.【导学号：84352140】图12[解] ∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴的长为4π.∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，作OD ⊥AB ，有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. ∴弓形ACB 的面积为12π－9 3.任意角三角函数的定义(1)若一个角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝3，则a 的值为( ) A ．4 3 B ．±4 3 C ．－43或－433D. 3(2)已知角α的终边经过点P (12m ，－5m )(m ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值.【导学号：84352141】(1)C [(1)因为α角的终边上有一点P (－4，a )，所以tan α＝－a4，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－a4⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 42＋1＝34， 整理得3a 2＋16a ＋163＝0，(a ＋43)(3a ＋4)＝0，所以a ＝－43或－433.](2)r ＝12m2＋－5m2＝13|m |，若m ＞0，则r ＝13m ，α为第四象限角， sin α＝y r ＝－5m 13m ＝－513，cos α＝x r ＝12m 13m ＝1213，tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512.若m ＜0，则r ＝－13m ，α为第二象限角， sin α＝y r ＝－5m －13m ＝513，cos α＝x r ＝12m －13m ＝－1213，tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512.[规律方法] 利用定义求三角函数值的两种方法1先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值. 2取角α的终边上任意一点P a ，b 原点除外，则对应的角α的正弦值sin α＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝aa 2＋b2，正切值tan α＝ba.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.[跟踪训练]3．如果点P (sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限.【导学号：84352142】[解] 因为点P (sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限， 所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＞0，cos θ＜0，所以角θ在第二象限.同角三角函数基本关系和诱导公式的应用(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________.(2)已知f (α)＝sin2π－α·cos 2π－α·tan －π＋αsin －π＋α·tan －α＋3π.①化简f (α)；②若f (α)＝18，且π4＜α＜π2，求cos α－sin α的值；③若α＝－47π4，求f (α)的值. 【导学号：84352143】[思路探究] 先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值． (1)13 [(1)由已知得－sin θ－2cos θ＝0，故tan θ＝－2， 则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－2＋1－2－1＝13.] (2)①f (α)＝sin 2α·cos α·tan α－sin α－tan α＝sin α·cos α.②由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34，又∵π4＜α＜π2，∴cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0， ∴cos α－sin α＝－32. ③∵α＝－474π＝－6×2π＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.母题探究：1.将本例(2)中“18”改为“－8”“π4＜α＜π2”改为“－π4＜α＜0”求cos α＋sin α.[解] 因为－π4＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0且|cos α|＞|sin α|，所以cos α＋sin α＞0，又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝34，所以cos α＋sin α＝32. 2．将本例(2)中的用tan α表示1fα＋cos 2α.[解]1f α＋cos 2α＝1sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋1tan α＋1. [规律方法] 1.牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsinα.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.2．诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．。
2021_2022学年新教材高中数学第7章三角函数7.27.2.1任意角的三角函数学案苏教版必修第一
7.2 三角函数概念7.2.1任意角的三角函数学习任务核心素养1．理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点)2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点)3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点)1．通过三角函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助公式的运算，提升学生的数学运算素养.在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？知识点1任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r(r＝x2＋y2>0)，那么名称定义定义域正弦sin α＝yr R余弦cos α＝xr R正切tan α＝yx⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠π2＋kπ，k∈Z1.对于确定的角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？[提示]不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．2.若P(x，y)为角α与单位圆的交点，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？[提示]sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.1.若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________.－2222－1 [由题意可知 |OP |＝⎝⎛⎭⎫22－02＋⎝⎛⎭⎫－22－02＝1， ∴sin α＝－221＝－22；cos α＝221＝22；tan α＝－2222＝－1.]知识点2 三角函数在各象限的符号2.(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”或“＜”)(2)cos 3tan 4________0.(填“>”或“<”) (1)＞ (2)＜ [(1)∵α在第三象限， ∴sin α＜0，cos α＜0，∴sin αcos α＞0. (2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴3是第二象限角，4是第三象限角． ∴cos 3<0，tan 4>0.∴cos 3tan 4<0.] 知识点3 三角函数线(1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段；有向直线：规定了正方向的直线；有向线段的数量：若有向线段AB 在有向直线l 上或与有向直线l 平行，根据有向线段AB 与有向直线l 的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB .(2)三角函数线3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．( ) (2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．( ) [答案] (1)√ (2)×类型1 三角函数的定义及应用【例1】 (1)在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．(2)当α＝－π3时，求sin α，cos α，tan α的值．[解] (1)当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝(－1)2＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋(－2)2＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.(2) 当α＝－π3时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P (x ，y )，(x >0，y <0)根据直角三角形中锐角π3的邻边是斜边的一半，得x＝12，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫122＋y2＝1，y<0，解得y＝－32，所以P⎝⎛⎭⎫12，－32.因此sin α＝－321＝－32，cos α＝121＝12，tan α＝－3212＝－ 3.1．将本例(1)的条件“y＝－2x”改为“3x＋y＝0”其他条件不变，结果又如何？[解]直线3x＋y＝0，即y＝－3x，当α的终边在第二象限时，在α的终边上取一点P(－1，3)，则r＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－3)，则r＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.2．将本例(1)的条件“在直线y＝－2x上”，改为“过点P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sin α＋cos α.[解]因为r＝(－3a)2＋(4a)2＝5|a|，①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝yr＝4a5a＝45，cos α＝xr＝－3a5a＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝4a－5a＝－45，cos α＝－3a－5a＝35，所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．2．已知特殊角α，求三角函数值的方法(1)先设出角α的终边与单位圆交点坐标，由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标．(2)利用三角函数的定义，求出α的三角函数值．(此时P 到原点的距离r ＝1)3．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[跟进训练]1．已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. [解] 由题意知r ＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝x x 2＋9.又∵cos θ＝1010x ， ∴xx 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.2. 当α＝4π3时，求sin α，cos α，tan α的值．[解] 当α＝4π3时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P (x ，y )，(x <0，y <0)根据直角三角形中锐角π3的邻边是斜边的一半，得x ＝－12，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫－122＋y 2＝1，y <0，解得y ＝－32， 所以P ⎝⎛⎭⎫－12，－32.因此sin α＝－321＝－32，cos α＝－121＝－12，tan α＝－32－12＝ 3.类型2 三角函数值的符号【例2】 (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)判断下列各式的符号． ①sin 2 015° cos 2 016° tan 2 017°； ②tan 191°－cos 190°； ③sin 2 cos 3 tan 4.(1)D [由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．](2)[解] ①∵2 015°＝1 800°＋215°＝5×360°＋215°， 2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0， ∴sin 2 015° cos 2 016° tan 2 017°>0.②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0.③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2 cos 3 tan 4<0.判断三角函数值在各象限符号的攻略(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限． (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号．(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度制导致象限判断错误．[跟进训练]3．判断下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan 120°·sin 269°.[解] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0. 从而tan 108°·cos 305°＜0.(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π3＞0. 从而cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0， ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. 从而tan 120°·sin 269°＞0.类型3 应用三角函数线解三角不等式【例3】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.1．在单位圆中，满足sin α＝32的正弦线有几条？试在图中明确． [提示] 两条，如图1所示，MP 1与NP 2都等于32. 2．在单位圆中，满足cos α＝－12的余弦线有几条？在图中明确．[提示] 一条，如图2所示，OM ＝－12.图1 图2[解] (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .利用三角函数线解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法对于sin x ≥b ，cos x ≥a (sin x ≤b ，cos x ≤a )，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y ＝b 或x ＝a 与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．(2)正切型不等式的解法对于tan x ≥c ，取点(1，c )，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．[跟进训练]4．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域． [解] 由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22＞0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x ＞22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ＜2k π＋34π，k ∈Z .1．若sin α＜0，tan α＞0，则α终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [由sin α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y 轴的负半轴上． 由tan α＞0可知α的终边落在第一、三象限内． 故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角．] 2．(多选题)下列三角函数判断错误的是( ) A ．sin 165°>0 B ．cos 280°<0 C ．tan 170°>0D ．tan 310°>0BCD[∵90°<165°<180°∴sin 165°>0.又270°<280°<360°，∴cos 280°>0.又270°<310°<360°.∴tan310°<0,90°<170°<180°∴tan 170°<0.]3．已知角α终边过点P (1，－1)，则tan α的值等于________． －1 [由三角函数定义知tan α＝－11＝－1.]4．已知角α终边过P ⎝⎛⎭⎫32，12，则cos α等于________．32 [由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝32.] 5．已知sin θ·tan θ<0，那么θ是第________象限角．二或三 [因为sin θ·tan θ<0，所以sin θ<0，tan θ>0或sin θ>0，tan θ<0，若sin θ>0，tan θ<0，所以θ在第二象限．若sin θ<0，tan θ>0，则θ在第三象限．]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．三角函数值的大小与取点有关吗？与什么有关？[提示] 三角函数值的大小与终边所在的位置有关，与取点无关． 2．求一个角的三角函数值需确定几个量？分别是什么？[提示] 确定三个量，角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离． 3．已知角的大小，怎样利用定义求三角函数值？ [提示] 确定出角的终边与单位圆的交点坐标．。
2025届高考数学一轮复习教案：三角函数-任意角和弧度制及三角函数的概念
第一节任意角和弧度制及三角函数的概念【课程标准】1.了解任意角的概念和弧度制;2.能进行弧度与角度的互化;3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查扇形的弧长、面积、三角函数的定义;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)分类按旋转方向正角、负角、零角按终边位置象限角和轴线角(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为__-α__.(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.(2)公式角α的弧度数公式|α|=l r(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°=180rad;1rad=(180)°弧长公式弧长l=|α|r扇形面积公式S=12lr=12|α|r23.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义(推广):设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sinα=, cosα=,tanα=(x≠0).(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)三角函数的定义域三角函数sinαcosαtanα定义域R R{α|α≠kπ+π2,k∈Z}【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.-π3是第三象限角B.若角α的终边过点P(-3,4),则cosα=-35C.若sinα>0,则α是第一或第二象限角D.若圆心角为π3的扇形的弧长为π,则该扇形面积为3π2【解析】选BD.因为-π3是第四象限角,所以选项A错误;由三角函数的定义可知,选项B正确;由sinα>0可知,α是第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上,所以选项C错误;由扇形的面积公式可知,选项D正确.2.(必修第一册P175练习T1改题型)-660°等于()A.-133πB.-256πC.-113πD.-236π【解析】选C.-660°=-660×π180=-113π.3.(必修第一册P176习题T2改条件)下列与角11π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ+135°(k∈Z)B.k·360°+11π4(k∈Z)C.k·360°+135°(k∈Z)D.kπ+3π4(k∈Z)【解析】选C.与11π4的终边相同的角可以写成2kπ+3π4(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确.4.(忽视隐含条件)设α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,则x=()A.-3B.-4C.-6D.-10【解析】选C.因为P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,所以sinα=45,解得x=±6,因为α是第二象限角,所以x=-6.【巧记结论·速算】α所在象限与2所在象限的关系α所在象限一二三四α2所在象限一、三一、三二、四二、四【即时练】设θ是第三象限角,且|cos2|=-cos2,则2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.因为θ是第三象限角,所以2的终边落在第二、四象限,又|cos2|= -cos2,所以cos2<0,所以2是第二象限角.【核心考点·分类突破】考点一象限角及终边相同的角[例1](1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角,则()A.-α是第一象限角B.2是第三象限角C.3π2+α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上【解析】选D.因为α是第二象限角,可得π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,对于A,可得-π-2kπ<-α<-π2-2kπ,k∈Z,此时-α位于第三象限,所以A错误;对于B,可得π4+kπ<2<π2+kπ,k∈Z,当k为偶数时,2位于第一象限;当k为奇数时,2位于第三象限,所以B错误;对于C,可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π,k∈Z,所以3π2+α位于第一象限,所以C错误;对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上,所以D正确.(2)在-720°~0°内所有与45°终边相同的角为-675°和-315°.【解析】所有与45°终边相同的角可表示为β=45°+k×360°(k∈Z),当k=-1时,β=45°-360°=-315°,当k=-2时,β=45°-2×360°=-675°.【解题技法】1.知α确定kα,(k∈N*)的终边位置的步骤(1)写出kα或的范围;(2)根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置.2.求适合某些条件的角的方法(1)写出与这个角的终边相同的角的集合;(2)依据题设条件,确定参数k的值,得出结论.【对点训练】已知角θ在第二象限,且|sin2|=-sin2,则角2在()A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为角θ是第二象限角,所以θ∈(π2+2kπ,π+2kπ),k∈Z,所以2∈(π4+kπ,π2+kπ),k∈Z,所以角2在第一或第三象限.又|sin2|=-sin2,所以sin2<0,所以角2在第三象限.考点二弧度制及其应用[例2]已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.(1)若α=π3,R=10cm,求扇形的弧长l.(2)(一题多法)若扇形的周长是16cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?(3)若α=π3,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.【解析】(1)因为α=π3,R=10cm,所以l=|α|R=π3×10=10π3(cm).(2)方法一:由题意知2R+l=16,所以l=16-2R(0<R<8),则S=12lR=12(16-2R)R=-R2+8R=-(R-4)2+16,当R=4cm时,S max=16cm2,l=16-2×4=8(cm),α==2,所以S的最大值是16cm2,此时扇形的半径是4cm,圆心角α=2rad.方法二:S=12lR=14l·2R≤14·(r22)2=16,当且仅当l=2R,即R=4cm时,S的最大值是16cm2.此时扇形的圆心角α=2rad.(3)设弓形面积为S弓形,由题意知l=2π3cm,所以S弓形=12×2π3×2-12×22×sinπ3=(2π3-3)cm2.【解题技法】应用弧度制解决问题时的注意事项(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.(3)在解决弧长和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.【对点训练】若扇形的周长是16cm,圆心角是360π度,则扇形的面积(单位cm2)是16.【解析】设扇形的半径为r cm,圆心角弧度数为α=360π·π180=2,所以αr+2r=16即4r=16,所以r=4,所以S=12αr2=12×2×16=16.答案:【加练备选】已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2,求:(1)扇形的半径;(2)扇形圆心角的弧度数.【解析】设扇形的弧长为l,半径为r,面积为S,圆心角为α.(1)由题意得S=12lr=12×60r=240,解得r=8(cm),即扇形的半径为8cm.(2)α==608=152,所以扇形圆心角的弧度数为152rad.考点三三角函数的定义及应用【考情提示】三角函数的定义主要考查利用定义求三角函数值及三角函数值符号的应用,常与三角函数求值相结合命题,题目多以选择题、填空题形式出现.角度1利用定义求三角函数值[例3](1)已知角α的终边经过点P(2,-3),则sinα=-31313,tanα=-32.【解析】因为x=2,y=-3,所以点P到原点的距离r=22+(-3)2=13.则sinα===-31313,tanα==-32.(2)若角60°的终边上有一点A(4,a),则a=43.【解析】由题设知:tan60°=4=3,即a=43.角度2三角函数值的符号[例4](1)若sinαtanα<0,且cos tan>0,则角α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.由sinαtanα<0,知α是第二象限或第三象限角,由cos tan>0,知α是第一象限或第二象限角,所以角α是第二象限角.(2)sin2cos3tan4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在【解析】选A.因为π2<2<3<π<4<3π2,所以sin2>0,cos3<0,tan4>0.所以sin2cos3tan4<0.【解题技法】与三角函数定义有关的解题策略(1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P的坐标,可以求出α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也可以求出点P的坐标.(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.【对点训练】1.(多选题)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是()A.tan A与cos BB.cos B与sin CC.tan2与cos2D.tan2与sin C【解析】选CD.因为A,B的范围不确定,所以A选项不满足条件;cos B与sin C都有意义,但cos B不一定为正值,故B选项不满足条件;因为B,C∈(0,π),所以2,2∈(0,π2),所以C选项满足条件;因为0<A<π,所以0<2<π2,所以tan2>0,又因为0<C<π,所以sin C>0,故D选项满足条件.2.已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2),且cosθ=35,则实数a的值是()A.-2B.211C.-2或211D.1【解析】选B.由题设可知=35且2a+1>0,即a>-12,所以42+4r152+5=925,则11a2+20a-4=0,解得a=-2或a=211,又a>-12,所以a=211.【加练备选】已知角α的终边上一点P的坐标为(sin5π6,cos5π6),则角α的最小正值为5π3.【解析】因为sin5π6>0,cos5π6<0,所以角α的终边在第四象限,根据三角函数的定义,可知sinα=cos5π6=-32,故角α的最小正值为α=2π-π3=5π3.。
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数学案 文(含解
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数2019考纲考题考情1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。
(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。
(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α，k ∈Z 。
2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
(2)角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r。
(3)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝ ⎛⎪⎫180π°。
(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝|α|r ，扇形的面积为S ＝12lr ＝12|α|·r 2。
3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)。
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。
正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)。
如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。
1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角。
(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等。
2．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。
3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x。
一、走进教材1．(必修4P 10A 组T 7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限。
答案 －5π4二2．(必修4P 15练习T 2改编)设角θ的终边经过点P (4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________。
高中数学《任意角的三角函数》教学设计
《任意角的三角函数》教学设计一、学情分析在初中学生学习过锐角三角函数。
因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。
学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。
二、教学目标分析（一）知识与技能1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2．已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3．记住三角函数的定义域、值域以及象限符号。
（二）过程与方法锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．引导学生把这个定义推广到任意角，通过单位圆和角的终边，探讨任意角的三角函数值的求法，最终得到任意角三角函数的定义．根据角终边所在位置不同，分别探讨各三角函数的定义域、象限符号。
（三）情感、态度与价值观1．使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；2．通过共同探究，发现新知的过程，培养学生团结协作的意识以及大胆猜想、勇于探索的科学精神．三、教学重点、难点分析（一）教学重点三角函数是函数的一个特例，与指数函数、对数函数具有相同的地位，但是在具体的定义方式上又有所不同，应该按照概念的体系将之纳入到原有的认知结构中，揭示彼此之间的关系，认识新概念的本质属性。
因此本课时的教学重点是：通过概念的同化与精致过程，帮助学生理解任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），并在这个过程中突出单位圆的作用。
（二）教学难点本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段研究过锐角三角函数，研究范围是锐角；研究方法是几何的，没有坐标系的参与；研究目的是为解直角三角形服务。
以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其学生的主体作用。
具体而言要做到：明确研究范围的变化，开阔学生的视野，并揭示由此带来的新问题，激发学生的学习兴趣；借助单位圆在坐标系中进行研究，要先将锐角的三角函数问题置于坐标系中，帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数，这样做激活了学生的已有知识经验，并且用新的视角认识已有知识经验，复习了旧知识，同时为新的研究内容做好铺垫。
任意角的三角函数及弧度制教案及练习(含答案)
第一章：三角函数第一课时教材：角的概念的推广目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。
相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。
二、角的概念的推广1.回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2.讲解：“旋转”形成角突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3.“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法：角α或α∠可以简记成α4.由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
1︒角有正负之分如：α=210︒β=-150︒γ=-660︒2︒角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360︒³2=720︒） 3周（360︒³3=1080︒）3︒还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30︒ 390︒-330︒是第Ⅰ象限角， 300︒-60︒是第Ⅳ象限角585︒ 1180︒是第Ⅲ象限角，-2000︒是第Ⅱ象限角等四、关于终边相同的角1．观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同2．终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)k∈个周角的和(Zk390︒=30︒+360︒)1k(=-330︒=30︒-360︒ )1(-=k 30︒=30︒+0³360︒ )0(=k 1470︒=30︒+4³360︒ )4(=k -1770︒=30︒-5³360︒ )5(-=k3．所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 {}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 五、小结： 1︒ 角的概念的推广， 用“旋转”定义角，角的范围的扩大 2︒“象限角”与“终边相同的角”第二课时教材：弧度制目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念。
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数学案 文
3．1 任意角和弧度制及任意角的三角函数[知识梳理]1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(4)相关结论①象限角②轴线角2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)公式3．任意角的三角函数[诊断自测] 1．概念思辨(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( )(2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位．( )(3)α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.( )(4)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A4P 9T 5)直径为4的圆中，36°的圆心角所对的弧长是( ) A.4π5 B.2π5 C.π3 D.π2答案 B解析 ∵36°＝36×π180 rad ＝π5 rad ，∴36°的圆心角所对的弧长为l ＝π5×2＝2π5.故选B.(2)(必修A4P 21T 9)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 由θ在第三象限，所以2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，所以k π＋π2<θ2<k π＋3π4(k ∈Z )．又cos θ2≤0，故选B. 3．小题热身(1)(2017·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y ＝－x 上，且cos α＜0，则tan α＝________.答案 －1解析 如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P (x ，y )，则y ＝－x ，由三角函数的定义得tan α＝y x ＝－xx＝－1.(2)(2018·黄浦模拟)如图，已知扇形OAB 和OA 1B 1，A 1为OA 的中点，若扇形OA 1B 1的面积为1，则扇形OAB 的面积为________．答案 4解析 设∠AOB ＝α，则S 扇形OA 1B 1＝12OA 21·α＝1，S 扇形OAB ＝12OA 2·α，OA ＝2OA 1，∴S 扇形OAB ＝12·(2OA 1)2·α＝4.题型1 象限角及终边相同的角典例1设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，判断两集合的关系( ) A ．M ＝N B ．M N C ．N MD ．M ∩N ＝∅将描述法表示的集合变为列举法表示．答案 B解析 由于M ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z } ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M N .典例2 已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋tan θ|tan θ|的值为________．找α的终边，利用终边定号法．答案 －1解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.因此，y ＝－1＋1－1＝－1.方法技巧象限角的两种判断方法1．图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．2．转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．提醒：注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k ·180°(k ∈Z )表示终边落在角α的终边所在直线上的角．冲关针对训练1．(2017·潍坊模拟)集合{|αk π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2， 此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．故选C.2．若sin θ2＝45，且sin θ<0，则θ所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 C解析 ∵sin θ<0，∴2sin θ2cos θ2<0.又∵sin θ2＝45，∴cos θ2<0.故θ2在第二象限，且2k π＋π2<θ2<2k π＋34π(k ∈Z )． ∴4k π＋π<θ<4k π＋32π，∴θ在第三象限．故选C.题型2 弧度制及扇形面积公式的应用典例 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？利用方程组法、二次函数求最值．解 (1)α＝60°＝π3 rad ，∴l ＝α ·R ＝π3×10＝10π3 (cm)．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2R ＋R α＝10，12α·R 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1，α＝8(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，α＝12.故扇形圆心角为12.(3)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2.[条件探究] 将典例中的第(3)问推广为“若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？”解 扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ， ∴R ＝C2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14α＋4＋α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.方法技巧应用弧度制解决问题的方法1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．见典例(1)． 2．求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．见典例(3)．3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 提醒：弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．冲关针对训练(2018·大连模拟)一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( )A.R 22B.12R 2sin1·cos1 C.12R 2(2－sin1·cos1) D ．R 2(1－sin1·cos1)答案 D解析 设圆心角为θ，由题知2R ＋R ·θ＝4R ，得θ＝2， 所以S 弓＝S 扇－S三角形＝12×2R ·R －12R 2·sin2＝R 2－12R 2·sin2＝R 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin2＝R 2(1－sin1·cos1)．故选D.题型3 任意角三角函数的定义及应用角度1 利用三角函数定义求值典例 已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴．若角α终边经过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，则判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值．定义法．解 依题意，P 到原点O 的距离为 |PO |＝ (－3)2＋y 2，∴sin α＝y r＝y3＋y2＝34y . ∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16，∴y 2＝73，∴y ＝±213.∴点P 在第二或第三象限． 当P 在第二象限时，y ＝213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝－73. 当P 在第三象限时，y ＝－213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝73. 角度2 利用三角函数线比较大小，解不等式典例 sin1，cos1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1>cos1>tan1 B ．sin1>tan1>cos1 C ．tan1>sin1>cos1D ．tan1>cos1>sin1单位圆定义法．答案 C解析 作单位圆，作出锐角1弧度的正弦线BP ，余弦线OB ，正切线AT ，可得tan1>sin1>cos1.故选C.方法技巧三角函数定义问题的常见类型及解题策略1．已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．2．利用单位圆解三角不等式的步骤 (1)确定区域的边界(注意边界的虚实)； (2)确定区域； (3)写出解集．3．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．提醒：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．冲关针对训练1．设π2<x <3π4，a ＝sin x ，b ＝cos x ，c ＝tan x ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．b <a <c 答案 B解析 ∵π2<x <3π4，∴22<sin x <1，－22<cos x <0，tan x <－1. ∴c <b <a .故选B.2．(2017·兴庆区校级期中)已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x >0)，且cos α＝36x, 求sin α＋1tan α的值． 解 角α的终边经过点P (x ，－2)(x >0) ∵r ＝x 2＋2，∵cos α＝x r ＝36x ， 可得x ＝10. 则r ＝2 3.sin α＝y r ＝－223＝－66，tan α＝y x ＝－210＝－55.那么sin α＋1tan α＝－66－5＝－6＋656.1．(2017·商丘期末)已知点P (－3，y )为角β的终边上的一点，且sin β＝1313，则y 的值为( )A ．±12 B.12 C ．－12 D ．±2答案 B解析 由题意可得：|OP |＝y 2＋3，所以sin β＝y y 2＋3＝1313，所以y ＝±12，又因为sin β＝1313，所以y >0，所以y ＝12.故选B. 2．(2018·东莞月考)角β的终边上有一点P (－m ，m )，其中m ≠0，则sin β＋cos β的值为( )A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.2或－ 2 答案 C解析 角β的终边上有一点P (－m ，m )，其中m ≠0， ∴r ＝|OP |＝2|m |， 当m >0时，cos β＝－m2|m |＝－22，sin β＝m2|m |＝22，∴sin β＋cos β＝0； 当m <0时，cos β＝－m2|m |＝22，sin β＝m 2|m |＝－22，∴sin β＋cos β＝0.综上，sin β＋cos β的值为0.故选C.3．(2017·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.5π4 D.11π6答案 D解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴角α为第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝32.∴角α的最小正值为11π6.故选D. 4．(2017·河南八市联考)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上的一点，则2sin α＋cos α＝________.答案 25解析 ∵|OP |＝ (－4m )2＋(3m )2＝5|m |＝5m (m >0)， ∴sin α＝3m 5m ＝35，cos α＝－4m 5m ＝－45，∴2sin α＋cos α＝2×35－45＝25.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ①中－3π4是第三象限角，故①错．②中4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确．③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．故选C.2．sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2·cos3·tan4<0.故选A.3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4答案 C解析 设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.故选C.4．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ．sin θ>tan θ>cos θD ．tan θ>sin θ>cos θ答案 D解析 ∵π4<θ<π2，∴tan θ>1，sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.∵π4<θ<π2，∴0<θ－π4<π4，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4>0，∴sin θ>cos θ.故选D.5．在△ABC 中，若sin A ·cos B ·tan C <0，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定答案 B解析 ∵△ABC 中每个角都在(0，π)内，∴sin A >0. ∵sin A ·cos B ·tan C <0，∴cos B ·tan C <0. 若B ，C 同为锐角，则cos B ·tan C >0. ∴B ，C 中必定有一个钝角． ∴△ABC 是钝角三角形．故选B.6．(2018·永昌县期末)已知角α的终边经过点(3a,4a )(a ≠0)，则sin α＋cos α的值为( )A.75 B ．－75 C ．±75 D ．±34 答案 C解析 ∵角α的终边经过点(3a,4a )(a ≠0)，当a >0时，r ＝5a ，sin α＝y r ＝45，cos α＝x r ＝35，sin α＋cos α＝75； 当a <0时，r ＝|5a |＝－5a ，sin α＝y r ＝－45，cos α＝x r ＝－35，sin α＋cos α＝－75.综上可得，sin α＋cos α＝±75.故选C.7．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan βC ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos βD ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 答案 D解析 由三角函数线可知，选D.8．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C.2sin1 D ．2sin1答案 C解析 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝ACsin ∠AOC ＝1sin1，即r ＝1sin1，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r ＝2sin1.故选C. 9．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α<0 B ．tan α－sin α<0 C ．cos α－tan α<0 D ．tan αsin α<0 答案 B解析 ∵α是第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A ，C ，D.故选B.10．(2018·江西模拟)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝ 7π3，则m 的值为( ) A ．27 B.127 C ．9 D.19答案 B解析 角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则tan 7π3＝tan π3＝3＝3mm＝m－ 16，则m ＝127.故选B.二、填空题11．(2017·广州模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且 sin θ＝24m ，则cos θ的值为________． 答案 －64解析 点P (－3，m )是角θ终边上一点，由三角函数定义可知sin θ＝m3＋m2.又sin θ＝24m ， ∴m3＋m2＝24m . 又m ≠0，∴m 2＝5，∴cos θ＝－33＋m2＝－64. 12．(2018·济南校级期末)已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义，则α所在象限为第________象限．答案 四解析 由1|sin α|＝－1sin α可知，sin α<0，∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的非正半轴上的角． 由lg cos α有意义可知cos α>0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的非负半轴上的角，综上可知角α是第四象限角．13．若角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3cos α＝________.答案 0解析 设角α终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则r ＝x 2＋y 2＝k 2＋(－3k 2)＝10|k |.当k >0时，r ＝10k . ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10kk ＝10.∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0.当k <0时，r ＝－10k .∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10kk ＝－10.∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.14．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正方向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．答案 (2－sin2,1－cos2)解析 因为圆心由(0,1)平移到了(2,1)，所以在此过程中P 点所经过的弧长为2，其所对圆心角为2.如图所示，过P 点作x 轴的垂线，垂足为A ，圆心为C ，与x 轴相切于点B ，过C 作PA 的垂线，垂足为D ，则∠PCD ＝2－π2，|PD |＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos2，|CD |＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin2，所以P 点坐标为(2－sin2,1－cos2)， 即OP →的坐标为(2－sin2,1－cos2)．三、解答题15．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解 设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB ＝2sin1×2＝4sin1. 16．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。
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高考数学《三角函数》专题 任意角的三角函数学案
一、角的概念的推广
1．与角α终边相同的角的集合为 ． 2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ． 3．轴线角（终边在坐标轴上的角）
终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．
4．象限角是指： ．
5．区间角是指： ．
6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．
7．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．
8．弧长公式：l ＝ ；
扇形面积公式：S ＝ .
二、任意角的三角函数
9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；
10．三角函数的符号与角所在象限的关系：
12解析式 y ＝sinx y ＝cosx y ＝tanx
定义
域
值 域
13．三角函数线：在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线．
－ ＋ － + cos x , ＋ ＋ －
－ sin x ,
－ ＋
＋ － tan x , x y O x y O x y O αx
y O
例1. 若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α
,3α
的终边所在位置.
解： ∵α是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k∈Z ）.
（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k∈Z ），
∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.
（2）∵k·180°+45°＜2α
＜k·180°+90°（k∈Z ），
当k=2n （n∈Z ）时，
n·360°+45°＜2α
＜n·360°+90°；
当k=2n+1（n∈Z ）时，
n·360°+225°＜2α
＜n·360°+270°.
∴2α
是第一或第三象限的角.
（3）∵k·120°+30°＜3α
＜k·120°+60°（k∈Z ），
当k=3n （n∈Z ）时，
n·360°+30°＜3α
＜n·360°+60°；
当k=3n+1（n∈Z ）时，
n·360°+150°＜3α
＜n·360°+180°；
当k=3n+2（n∈Z ）时，
n·360°+270°＜3α
＜n·360°+300°.
∴3α
是第一或第二或第四象限的角.
变式训练1：已知α是第三象限角，问3α
是哪个象限的角？
解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k∈Z ），
60°+k·120°＜3α
＜90°+k·120°.
①当k=3m(m∈Z )时，可得
典型例题
60°+m·360°＜3α＜90°+m·360°（m∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m∈Z )时，可得 180°+m·360°＜3α＜210°+m·360°（m∈Z ). 故3α
的终边在第三象限.
③当k=3m+2 （m∈Z ）时，可得
300°+m·360°＜
3α＜330°+m·360°（m∈Z ）. 故3α
的终边在第四象限.
综上可知，3α
是第一、第三或第四象限的角.
例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:
(1)sin α≥23;(2)cos α≤2
1-. 解：（1）作直线y=2
3交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ， 则OA 与OB 围成的区
域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为
α|2k π+3π
≤α≤2k π+
32π，k∈Z . （2）作直线x=21
-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影
部分）
即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα. 变式训练2：求下列函数的定义域：
（1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）.
解：（1）∵2cosx -1≥0，∴cosx≥21.
由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).
∴x∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+
-32,32ππππk k （k∈Z ）. （2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43
,∴-23＜sinx ＜2
3.
利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影),
∴x ∈（k π-3π,k π+3π
）（k ∈Z ).
例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值. 解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，
∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),
则x=4t,y=-3t, r=5)3()4(2222=-+=+t t y x |t|,
当t ＞0时，r=5t,
sin α=
5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=4
343-=-=t t x y ; 当t ＜0时，r=-5t,sin α=
5
353=--=t t r y , cos α=
5454-=-=t t r x , tan α=4343-=-=t t x y . 综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=4
3-;
t ＜0时，sin α=53
,cos α=-54,tan α=43-. 变式训练3：已知角θ的终边经过点P 2(3,)(0),sin m m θ-≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值．
解：由题意，得 2223,0,53r m m m m =+=≠∴=+ 故角θ是第二或第三象限角．
当5m =时,22r =P 的坐标为(3,5)-， 36515cos tan 223x y r x θθ-∴======- 当5m =时,22r =P 的坐标为(3,5)-，
36515cos tan 223x y r x θθ--∴======-
例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ．
(1) 若α3π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积； (2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值． 解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓。
)(3
2cm l π= S S S -=扇弓△＝3
sin 221232212ππ⨯⨯-⨯⨯ ＝)332(π
（cm 2
） 扇形周长R R l R C 222+=+= ∴22+=
C R ∴22)22(2121+⋅=⋅=
C R S αα扇 162
4241244122
22
2C C C ≤++⋅=++⋅=ααα 当且仅当22
＝4，即α＝2时扇形面积最大为162
c ． 变式训练4：扇形OAB 的面积是1cm 2
，它的周长是4cm ，求中心角的弧度数和弦长AB ． 解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，中心角的弧度数为α
则有⎪⎩⎪⎨⎧==+12142lr l r ∴⎩⎨⎧==21l r 由|α|＝r
l 得α＝2 ∴|AB|＝2·sin 1( cm )
1．本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好：如角度的范围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系．
2．在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清：①角的范围是什么？②对应的三角函数值是正还是负？③与此相关的定义、性质或公式有哪些?
小结归纳。