高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充教案苏教版选修1_2
苏教版数学高二-高中数学选修1-2教案 第三章 数系的扩充和复数的引入3
宁县五中导学案一、 章节知识网络二、 归纳专题专题一 复数的概念及分类复数是在实数的基础上扩充的，其虚数单位为i ，满足i 2＝－1，且i 同实数间可以进行加、减、法的运算，结合复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，a ，b 的条件可把复数分为： 复数(z ＝a ＋b i ， a ，b ∈R) ⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0，虚数b ≠0⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，b ≠0，非纯虚数a ≠0，b ≠0.其中纯虚数中“b ≠0”这个条件易被忽略，学习中应引起足够的注意． 例 1 设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( ) A ． 2 B ． －2C ． －12 D. .12【思路点拨】 先将已知复数化为“a ＋b i”的形式，再由纯虚数定义求a .【规范解答】 法一 1＋a i2－i ＝1＋a i 2＋i 2－i 2＋i＝2－a ＋2a ＋1i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2， 故选A.法二 1＋a i 2－i ＝i a －i2－i为纯虚数，所以a ＝2， 故选A.【答案】A专题二 复数的四则运算复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i 2＝－1.在进行复数的运算时，要灵活利用i ，ω或适当变形创造条件，从而转化为关于i ，ω的计算问题，并注意以下结论的灵活应用：(1)设ω＝－12±32i ，则ω2＝ω，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(n ∈N ＋)等．(2)(12±32i)3＝－1.(3)作复数除法运算时，有如下技巧：a ＋b ib －a i＝a ＋b i i b －a ii＝a ＋b i ia ＋b i＝i ，利用此结论可使一的计算过程简化．例2 已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＋z ＝( )A ．1－iB ．－2iC ．1＋iD ．－2【思路点拨】 先计算z 1＝z 2－2zz －1，再计算z 1＋z .【规范解答】法一 z 2－2zz －1＝1－i2－21－i 1－i －1＝－2i －2＋2i －i ＝－2i－i ·i＝－2i ，∴z 2－2zz －1＋z ＝－2i ＋1＋i ＝1－i.故选A. 法二 z 2－2zz －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i＝－i －i－i ·i＝－2i. ∴z 2－2z z －1＋z ＝－2i ＋1＋i ＝1－i.故选A.专题三 共轭复数与模共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模公式解题外，也常用下列结论简化解题过程： (1)|z |＝1⇔z ＝1z；(2)z ∈R ⇔z ＝z ；(3)z ≠0，z 为纯虚数⇔z ＝－z . 例3设z 1，z 2∈C ，且|z 1|＝1，|z 2|≠1，求|z 1＋z 21＋z 1·z 2|的值．【思路点拨】 利复数模的性质：z ·z ＝|z |2进行化简． 【规范解答】 ∵|z 1|＝1，∴|z 1|2＝z 1·z 1＝1. 从而|z 1＋z 21＋z 1z 2|＝|z 1＋z 2z 1z 1＋z 2|＝|1z 1|＝1|z 1|＝1.专题四 复数的几何意义1.复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数2．任何一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面内一点Z (a ，b )对应，而任一 点(a ，b )又可以与以起点，点Z (a ，b )为终点的向量OZ →对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特|z |，|z －a |的几何意义——距离．3．复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z，Z1间的距离．4．复数形式的基本轨迹(1)当|z－z1|＝r时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位1.(2)当|z－z1|＝|z－z2|时，表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．例4 已知复数z1＝i(1－i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．【思路点拨】 (1)利用模的定义求解；(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合．【规范解答】(1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，∴|z1|＝22＋－22＝2 2.(2)法一|z|＝1，∴设z＝cos θ＋isin θ，|z－z1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i|＝cos θ－22＋sin θ＋22＝9＋42sinθ－π.4当sin(θ－π)＝1时，4|z－z1|取得最大值9＋42，作业布置课本63页第2,3题。
数系的扩充与复数的概念》教案
数系的扩充与复数的概念》教案教案：数系的扩充与复数的概念一、教学目标：1.理解数系的扩充是为了解决方程$x^2=a$(a<0)而引入复数的概念；2.掌握复数的定义与基本运算；3.了解复数在平面直角坐标系中的表示方式；4.掌握解一元二次方程及其应用。
二、教学重难点：1.复数的定义与基本运算；2.复数在平面直角坐标系中的表示；3.解一元二次方程及其应用。
三、教学过程：Step 1: 引入教师在黑板上写下方程$x^2=-1$，并询问学生这个方程有没有实数解。
引导学生思考并让他们发表自己的观点。
Step 2: 数系的扩充1.教师讲解当a<0时，方程$x^2=a$没有实数解的情况。
为了解决这个问题，数学家们引入了复数的概念，即数系从实数扩充为复数。
2.教师简要介绍复数的历史背景和意义，以增加学生对复数概念的兴趣。
Step 3: 复数的定义与表示1. 教师引导学生理解复数的定义：复数表示为 a + bi，其中 a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
2. 通过例子引导学生掌握复数的表示方式，如 2 + 3i、-5i、$\sqrt{2} + \sqrt{3}i$。
Step 4: 复数的基本运算1.教师简要介绍复数的基本运算法则：加法、减法、乘法和除法。
2.通过例子分别演示复数的加减乘除运算，并指导学生进行练习。
Step 5: 复数的图示表示1. 教师引导学生理解复数在平面直角坐标系中的表示方法。
将实部和虚部分别看作是复平面上的横坐标和纵坐标，复数 a + bi 对应复平面上的一个点。
2.通过例子和练习让学生熟悉复数在复平面上的图示表示。
Step 6: 一元二次方程的解及其应用1. 教师复习一下一元二次方程的一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$，其中 a、b 和 c 都是实数，且 $a \neq 0$。
2.教师讲解如何用复数解一元二次方程，通过例题引导学生理解。
四、课堂练习与讨论五、作业布置1.练习册上的相关习题；2.解一些一元二次方程。
2017-2018版高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充教案 苏教版选修1-
3.1数系的扩充和复数的引入【教材分析】教材地位和作用：数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.教材处理办法：精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点：数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】知识目标：了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.情感目标：初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.【教学方法】教学模式：“4+1”教学模式教学方法：开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.学习方法：自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结。
教学手段：结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台【教学程序】以问题为载体，以学生活动为主线.自主学习合作探究成果展示精讲点拨巩固提高小结与作业1、【自主学习】(课前完成)阅读教材《§3.1.1 数系的扩充与复数的概念》内容，思考：(1) 你对数的发展的了解(2) 由得你有，何困惑？(3)方根2-=0无实根的原因是什么？如果扩充数系，使之有解，如何扩充？(4)虚数单位i的性质？i与实数的运算性质？(5)复数的有关概念？(6)实数集R与复数C的关系？2、【合作探究】探究任务一：数系的扩充过程。
问题1：回顾归纳从小学到昨天为止数系的扩充过程。
苏教版高中数学选修123.1数系扩充教案
3.1 数系的扩大和复数的引入【教课目的】（依据课程标准对本节课的要求，本节课的教课目的以下：（1）经过回想数系的扩大过程，察看所列举的复数能简述复数的定义，并能说出复数的实部与虚部.2）经过小组议论能将复数归类，并能用语言或图形表达复数的分类，会解决含有字母的复数的分类问题.（3）经过比较给出的两个复数能归纳出复数相等的充要条件，并能解决与例题相像的题目. 【教课要点】复数的观点【教课难点】虚数单位i的引进及复数的观点【教课过程】一、问题情境(多媒体)问题1:同学们,从小到大，我们认识了各种各种的数.进入高中，我们学习了会合，你知道的数集有哪些？分别用什么记号表示？问题2:你能用会合关系符号将这些数集“串”起来吗？设计企图：一方面从学生已有的认知下手，便于学生迅速进入学习状态，激发他们的学习热忱，培育学生的归纳、归纳与表达能力；另一方面为引入虚数单位“i”埋下伏笔，引入课题.恩格斯以前说过：“各种数集是数学的两大基本柱石之一，整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的.”这样高的评论，看来我们要好好领会此中的神秘，最熟习的地方常常也能发现亮丽的风景.这些数其实不是素来就有，也不是突如其来的，任何事物的发生发展老是有原因的.太古的人类，为了统计捕捉的野兽和收集的野果，创建了自然数，那么其余数呢？它们产生的原由是什么呢？（归纳学生的回答：原由之一——客观需求）从数学内部看，我们研究数，与数的运算是分不开的，数集不过包括了运算的对象，那么运算的规则呢？一代代数学家们追求的不不过是数集的扩大，更是运算规则的完美.二、学生活动问题3:我们常说的运算，是指加、减、乘、除、乘方、开方等运算，思虑一下，这些运算在各个数集中总能实行吗？（学生回答）追问：这些问题是怎么解决的呢？——增添新数经过增添新数，解决了某些运算在本来的数集中不是总能够实行的矛盾.正是数学家们追求完满的理性精神，促进他们不停发现问题，解决问题，进而推进数学的发展.（原由之二——数学内因）设计企图：让学生思虑数集扩大的原由，在此基础之上，帮助学生从头建构数集的扩大过程，这是本节课的生长点.问题4:那么在实数范围内加、减、乘、除、乘方、开方这些运算总能实行了吗？问题5:需要解决什么问题？（负数开偶次方的问题）我们知道，非负数能够开平方，负数只好开奇次方？现实的问题摆在眼前，怎样才能解决？——增添新数学生议论：试试增添新数，求解方程x21,x22,(x1)21.设计企图：教师引领学生采纳类比的思想，将问题转变为找一个数的平方为－1，进而让“引入新数”瓜熟蒂落．第一个正视这种问题的是意大利数学家卡尔丹 .16世纪，意大利数学家卡尔丹碰到问题“将10分红两部分，使二者的乘积等于40”时，出现了疑惑.他以为把答案写成“515和15”就能够知足条件，可是却没法解说.面对这些矛盾，笛卡尔、欧拉、高斯等一个又一个数学家们加入了研究的队伍，经过他们严实的论证，最后终于确立了它的合理地位.可是这种数与以前获得的实实在在的实数对比，仿佛缺乏有力的现实基础，因此法国数学家笛卡尔就将其命名为“虚数”，表示与实数相对应.此后虚数也加入了数的队列，与实数“平分秋色，和平共处”.1777年，瑞士数学家欧拉初次提出用i表示平方等于-1的新数.1801年，德国数学家高斯系统地使用了这个符号，使i通行于世.三、建构数学实数集的扩大就从引入平方等于－1的“新数”i开始的.（一）我们引入新数??，叫做“虚数单位”，并规定：（）21 ??=-1;（2）实数能够与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍旧成立.由这两个规定，我们获得：i代表一个数，；此外规定（2）保证了虚数加入后，能与实数“和平共处，互帮相助”.依据以上两项规定，请同学们思虑问题6：增添的新数不过是 i吗？问题7：你还可以写出其余含有 i的数吗？问题8：你能写出一个形式，把方才所写出来的数都包括在内吗？设计企图：学生经过问题6、7的铺垫，指引学生由特别到一般，抽象归纳出复数的代数形式z=a bi(a,b R)，帮助学生主动建构复数的代数形式．我们结构的数都能够用a bi来表示.abi是由实数与虚数单位i“复合”运作而成，我们把它们称为复数，由全部的复数构成的会合称为复数集，记作C，我们常用字母z表示复数.（二）z a bi（a,b R），也称a bi为复数的代数形式，此中a叫复数的实部，b叫复数的虚部（是实数）.由此，追问： a bi(a,b R)能表示实数吗？问题9：实数集与扩大后的复数集是什么关系呢？问题10：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集它们之间是什么关系呢？你能用图表的形式画出来吗？设计企图：学生经过议论自但是然地想到要对复数进行分类，进而深入对复数观点的理解问题10是让学生直观地感觉复数的分类，进一步深入复数的观点.进而攻陷本节拟订的第二个教课目的.问题11：两个二项式相等的充要条件是什么？你能类比得出两个复数相等的充要条件吗？设计企图：指引学生类比两个二项式相等的条件，归纳出复数相等的充要条件，即实部与实部相等而且虚部与虚部相等.并在此时告诉学生两个复数只好说相等或许不相等，除非它们都是实数时才能够比较大小.陪伴着此问题的解决使得本节最后一个教课目的顺利体现.(三)复数的相等假如两个复数的实部与虚部分别相等,则称两个复数相等,即：a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)a=c且b=d..例1、指出以下复数的实部和虚部(1)4;(2)2 3i;(3)5i 2;(4)0;(5)6i;(6)23注意:复数的实部与虚部都是实数.例2．实数m 分别取什么值时，复数z=m(m-1)+(m-1)??是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？剖析：由于m∈R，因此m(m 1),m 1都是实数，由复数z=??+????(a,b∈R)是实数、虚数、纯虚数与零的条件能够确立实数m 的值．解（）当m，即m 时，z 为实数；110 1（）当1 即时，为虚数；2m 0,m1z（）当m(m1) 0即时，为纯虚数 .31 0,mzm练习1：已知z=m 2(1+??)- (m+??),m 为实数，当m 为什么值时，复数 z 是(1)实数(2)虚数(3)纯虚数设计企图：例题1主假如前后照顾，采纳观点同化的方式完美认知结构；实现对目标 1的巩固.例题2 及练习1 主假如稳固复设定的目标 2中数的分类标准．让学生在解决问题的过程中内化复数相关观点，起到实时反应、学致使用的功能.设计企图：加强复数相等的充要条件， 并让学生感觉到复数问题能够化归为实数问题来求解 .例3：已知（2??-1)+i=y-(3-y)i,此中??,??∈R,求??,??的值.【分析】依据复数相等的定义，得方程组设计企图：加强复数相等的充要条件，并让学生感觉到复数问题能够化归为实数问题来求解.2??-1=????=5【分析】由题意得2{-(3-??)解得{1=??=4设计企图：加强复数相等的充要条件，并让学生感觉到复数问题能够化归为实数问题来求解.练习：2（）若（3-10i)y(-2i)x1-9i,务实数x,y1已知复数(2)zk 23k(k25k6)i(k R),且z小于，求k的值（1）??=1,??=1(2)k=2设计企图：本题主假如为了实时稳固、检查讲堂成效；进而进一步提高学生剖析问题和解决问题的能力.（四）讲堂小结经过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑问？并抛出问题：实数能用数轴上的点来表示，全部的复数也能用数轴上的点来表示吗？设计企图：经过学生总结、教师提炼，深入内容，让学生领会数系扩大过程中包含的创新精神和实践能力.提出问题激发学生对复数的后续学习的欲念 ,为下节课学习埋下伏笔. （五）作业部署1、书面作业：课后习题A组第1、2题.2、知识拓展作业：小构成员沟通合作，写一篇与数系扩大和发展相关的小论文；这节课，我们共同感觉了数的观点发展的过程，虚数的出现与好多新惹祸物同样，刚开始并不为人所接受.关于“虚数”的研究，经历了漫长的过程，最后人们发现复数在物理学，空气动力学等好多领域的实质作用后，虚数才被大家所接受，正所谓实践才是查验真谛的独一标准.“数系发展到复数以后还可以不可以持续扩大？跟着数学领域的不停扩展，也许有一天数系会突破复数集的拘束，迈向更广的数系空间.建议有兴趣的同学课下认识章末阅读资猜中“四元数”的内容.。
高中数学选修2-2第三章数系的扩充和复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念讲义
3.1.1 数系的扩充和复数的概念1．虚数单位i在实数集R 中添加新数i ，规定：(1)i 2＝□01－1，其中i 叫做虚数单位；(2)i 可与实数进行□02四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立． 2．复数的相关概念集合C ＝{a ＋b i|a ∈R ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做□03复数，其中i 叫做□04虚数单位．全体复数的集合C 叫做□05复数集． 复数通用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做□06复数的代数形式．其中的a 与b 分别叫做复数z 的□07实部与虚部． 3．复数的分类对于复数z ＝a ＋b i ，当且仅当□08b ＝0时，它是实数；当且仅当□09a ＝b ＝0时，它是实数10b≠0时，叫做虚数；当□11a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．0；当且仅当□4．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，规定：a ＋b i与c＋d i的充要条件是□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．复数相等的充要条件(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数．( )(2)若z＝m＋n i(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )(3)b i是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)若a＋b i＝0，则实数a＝________，实数b＝________.(2)(1＋3)i的实部与虚部分别是________．(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________.答案(1)0 0 (2)0,1＋ 3 (3)±1探究1复数的有关概念例1 给出下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．[解析]①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；②由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；③若a＝0，则a i不是纯虚数；④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．[答案]0拓展提升数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i 与实数的运算及运算律仍成立． 【跟踪训练1】 下列命题中： ①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 D解析 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数． 在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在③中，若x ＝－1，x 2＋3x ＋2≠0不成立，故③错误； ④正确．探究2 复数的分类例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．[条件探究] 是否存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数？[解] 由z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －6m≠0，解得m ∈∅.即不存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数．拓展提升利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤(1)判定复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，实部与虚部分别为哪些； (2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； (3)解相应的方程(组)或不等式(组)； (4)求出参数的值或取值范围． 【跟踪训练2】 已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？ (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数？解 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋2m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.探究3 复数相等例3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．[解] ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.∴实数m 的值为1或2.拓展提升复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组．【跟踪训练3】 已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，∴a ＝－1.故实数a 的值为－1.1.在复数a ＋b i 中，a ，b 必须是实数，否则不是复数的代数形式.2.复数的虚部是实数而不是虚数，即为“b ”，不是“b i”，更不是“i”.3.当且仅当b ≠0且a ＝0时，复数a ＋b i 才是纯虚数，解题时不能只注意a ＝0而忽视了b ≠0的限制.4.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现.1．“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0，所以“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的必要不充分条件．2．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i答案 A解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，所以所求复数为3－3i.3．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________． 答案 ±2，5解析 由题意得：a 2＝2，－(2－b )＝3，所以a ＝±2，b ＝5. 4．设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________． 答案 3解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3.5．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，求自然数m ，n 的值．解 ∵log 12 (m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 12 m ＋n ≥－1，－m 2－3m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n ≤2，m ＝0或m ＝3.∵m ，n ∈N ，∴m ＝0，n ＝1或n ＝2.。
3.1 数系的扩充 教案 高中数学苏教版 选修1-2
第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充●三维目标1．知识与技能了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位；理解复数的有关概念与复数的分类；理解并掌握复数相等的定义．2．过程与方法体会实际需要与数学矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．3．情感、态度与价值观体会数学的发展来源于实践，又利于推动社会的发展进步和数学问题的解决，形成数学应用意识．●重点、难点重点：对引入复数的必要性的认识，复数的基本概念和复数相等的充要条件．难点：虚数单位i的引入和复数的基本概念．●教学建议1．关于复数概念的教学关于复数概念的教学，建议教师很好的利用课本中解决x2＝－1这一问题，让学生了解复数引入的背景，很好的理解虚数单位i的意义，以及复数的形式，掌握复数的实部与虚部的概念．2．关于复数分类的教学关于复数分类的教学，建议教师从复数的实部与虚部出发，让学生掌握复数的分类取决于实部与虚部的取值，并且通过例题让学生能够熟练地对复数的分类进行判断，另外注意与以前学过的数的衔接．3．关于复数相等的充要条件的教学关于复数相等的充要条件的教学，建议教师在教学中先让学生自学，再进行点拨，使学生从练习中体会将复数相等的问题转化为方程组解的问题的思想．●教学流程创设问题情景，结合知识点1、2中的问题引入复数的概念并分类，定义复数相等的充要条件．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握复数的概念、性质及应用．⇒通过例2及其互动探究，使学生理解复数的分类，求解的关键是列出实部、虚部应满足的条件(方程或不等式)．⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握两个复数相等的充要条件．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识和数学思想方法．若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？【提示】有解，x＝±i.1．虚数单位我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：(1)i2＝－1；(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．2．复数、复数集(1)形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部．(2)复数z＝a＋b i(az＝a＋b i(a，b∈R)，当b＝0时，z是实数；当b≠0时，z是虚数；当a＝0且b≠0时，z是纯虚数．2．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d，特别地，若a＋b i＝0⇔a＝b＝0.(1)若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；(2)当z∈C时，z2≥0；(3)若实数a与a i对应，则实数与纯虚数一一对应；(4)若a＞b，则a i＞b i.【思路探究】(1)理解复数的有关概念；(2)命题真假的判断，可根据复数的概念通过举反例的形式进行．【自主解答】(1)错误，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立．(2)错误，当且仅当z∈R时，z2≥0成立，但z＝i时，z2＜0.(3)错误，当a＝0时，a i＝0，此时不满足实数与纯虚数对应．(4)错误，两个复数不全是实数不能比较大小．综上可知(1)、(2)、(3)、(4)四个命题均不正确．1．数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立，这是特别应注意的，以防思维定势．2．在理解概念时，一定要抓住概念的本质，抓住新概念与以前知识的不同之处，尤其是应该满足的条件，利用举反例的形式否定一个命题是常用的方法．下列给出的四个命题：①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；④复数z＝－1＋i的虚部是i.其中，正确的命题个数是________．【解析】由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①错．两个虚数不能比较大小(除非均为实数)，②错．当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0不是纯虚数，③错． 复数z ＝－1＋i 的虚部是1不是i ，④错． ∴正确的命题个数是0个． 【答案】 0当实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋(m 2－2m )i 为(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？【思路探究】 复数的分类标准→列出方程(不等式)(组) →解出m →结论【自主解答】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2.∴当m ＝2时，复数z 是实数；(2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时， 复数z 是虚数；(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，得m ＝－3. ∴当m ＝－3时，复数z 是纯虚数．1．本例中，极易忽略对m ≠0的限制，从而产生增根，应引起注意．2．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式)，求解参数时，考虑问题要全面．若例题中的复数“z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i ”改为复数“z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )”试求当a 为何值时，z 是实数？z 是纯虚数？【解】 (1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，或a ＝6，a ≠±1， ∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为纯虚数时， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6. ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．【思路探究】 根据两复数相等的充要条件：实部、虚部分别相等，列方程组求解． 【自主解答】 ∵x ，y 为实数，∴2x －1，y ＋1，x －y ，－x －y 均为实数，由复数相等的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2. 因此实数x ＝3，y ＝－2.1．本题的解题关键是两复数相等的充要条件，要注意只有在代数形式下确定实部、虚部后才能运用复数相等的条件．2．复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝(3x ＋2y )＋y i ，求实数x 、y 的值． 【解】 由两复数相等的充要条件知：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∴实数x ＝－1，y ＝2.对纯虚数的概念把握不准致错实数m 取何值时，复数z ＝m 2＋m －2m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数？【错解】 由题意得m 2＋m －2m ＋3＝0，解之得m ＝－2或m ＝1.∴当m ＝－2或m ＝1时，复数z 是纯虚数．【错因分析】 错解中忽略了“纯虚数的虚部不能为零”这一条件，从而产生了增解．【防范措施】 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，二者缺一不可．2．对复数分类时，切记复数的实部、虚部要都有意义． 【正解】 要使复数z 是纯虚数，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝1，m ≠－2且m ≠－3，∴m ＝1.故当m ＝1时，复数z 是纯虚数．1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数b i(b ≠0，b ∈R )不要只记形式，要注意b ≠0.2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解，为利用方程思想提供了条件．3．当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等．若两个复数全是实数，则可以比较大小；反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．(如a ＋b i>0(a ，b ∈R )⇔a ＞0且b ＝01．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是________． 【解析】 2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2. ∴所求的复数z ＝2－2i. 【答案】 2－2i2．(2013·无锡高二检测)若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝________. 【解析】 由i 2＝－1得x i －i 2＝1＋x i ，即1＋x i ＝y ＋2i.根据两个复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i. 【答案】 2＋i3．若a －b －2i ＝1＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝________.【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，－2＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，∴a 2＋b 2＝5. 【答案】 54．当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数？【解】 若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0.解得m ＝3.故m ＝3时，z 为纯虚数．一、填空题1．(2012·北京高考)设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．【解析】 因为复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0，所以“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的必要不充分条件．【答案】 必要不充分2．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a ＝________.【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，∴a ＝－4.【答案】 －43．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.【答案】 －14．若复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝b i ，a ，b 均为实数，且z 1＝z 2，则a －b ＝________. 【解析】 由z 1＝z 2，得a ＝0，b ＝2， ∴a －b ＝－2. 【答案】 －25．设集合C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，若全集S ＝C ，则有下列结论： ①A ∪B ＝C ；②∁S A ＝B ；③A ∩∁S B ＝∅；④B ∪∁S B ＝C . 其中正确的是________．【解析】 ①显然错误；∁S A ＝{虚数}，故②错误；A ∩∁S B ＝A ，故③错误；④正确． 【答案】 ④6．(2013·连云港高二检测)设a ∈R ，且a ＋2i 2为正实数，则a 的范围是________． 【解析】 a ＋2i 2＝a －2为正实数， ∴a －2＞0，则a ＞2. 【答案】 (2，＋∞)7．下列说法正确的个数是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，其中C 为复数集，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )；②2＋i ＞1＋i ；③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ④若一个数是实数，则其虚部不存在．【解析】 ①中，由y ∈∁C R ，C 为复数集知，y 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )，不成立，故①错误；②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；③中，对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数，若a ＝－1，则(a ＋1)i 是0，不是纯虚数，故③错误；④中，实数的虚部为0，故④错误． 【答案】 08．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)＞1，则实数x 的值为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，log 2(x 2－3x －2)＞1，∴x ＝－2. 【答案】 －2 二、解答题9．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，求实数m 的值． 【解】 由纯虚数的定义知log 2(m 2－3m －3)＝0且log 2(m －2)≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＝1，m －2＞0且m －2≠1，解得m ＝4. 故实数m ＝4.10．(2013·徐州高二检测)已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i ，当实数m 取什么值时，复数z 是(1)零；(2)纯虚数；(3)z ＝2＋5i.【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3＝0，可得m ＝1；(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0，可得m ＝0；(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝2，m 2＋2m －3＝5，可得m ＝2；综上：当m ＝1时，复数z 是0；当m ＝0时，复数z 是纯虚数；当m ＝2时，复数z 是2＋5i.11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，求复数z ＝y －x i.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-2 3.1 数系的扩充》88
数系的扩充教学目标：1．理解复数的概念及复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件．2．通过回忆并感知数系扩充的过程，通过归纳并感悟数系扩充的根本方法，进而形成并理解复数的有关概念．3．通过问题情境感受虚数引入的必要性，体会人类理性思维的作用，形成学习数学知识的积极态度．教学重点：数系扩充的过程，复数的有关概念，复数相等的充要条件．教学难点：数系扩充的原那么及虚数单位i的理解．教学方法：教法上，主要采用问题驱动教学模式．学法上，主要采用类比迁移、尝试发现学习模式．通过设置问题，让学生形成认知冲突，引领学生追溯历史，感受数系扩充的过程，帮助学生建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中．一、教学过程1．情境创设以历史上卡尔丹的源问题入手：问题1 :将5分成两个数，使两者乘积为6,将6分成两个数，使两者乘积为8将8分成两个数，使两者乘积为10问题2 能否将10分成两局部，且使两者的乘积为40？设计意图：引领学生重温历史，感悟数学发现并不神秘，数学家也是从常规问题入手，让学生与数学大师一起思考问题、解决问题．归纳出：“找不到这样的两个实数，它们的和为10，积为40”，也就是“方程在实数集内无解〞．历史上，卡尔丹没有就此停止，“有没有两数之和为10呢？有没有两数之积为40呢？为什么这个方程无解呢？〞，让学省形成认知冲突．接着，让学生和卡尔丹一起写出了两个怪东西：“，〞，但卡尔丹写得并不轻松，尽管备受质疑也要写出这两个怪东西，而且发现它们之和为10，之积为40，正是要找的数．此时，让学生感受到实数已经不够用了，从而表达学习新知识的必要性，进而引出课题．2．数系 “扩充〞问题3 数系经历了哪几次扩充？每一次扩充分别解决了哪些问题？设计意图：学生已经学习过一些数集，在此根底之上，通过问题1、2帮助学生梳理数系扩充的过程，了解数系扩充的历史序，从而形成数系扩充的逻辑序．在此过程，让学生充分交流、合作、讨论，感受到每一次扩充都要引入新数，与此同时，感受到数系扩充是社会开展的需要，如：计数、平均分配、测量等，同时也是数学内部开展的需要，如：不够减了、不能整除了、不能总可以开方了等，从而完成数系扩充表问题4 这几次数系的扩充共同特点是什么？设计意图：引导学生通过对前几次数系扩充的归纳与梳理，感受到数系扩充的合理性，并能提炼出数系扩充的一般原那么：“①引入新数；②在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾．〞为数系的再一次扩充以及如何扩充打好了坚实的根底，由此，突破本节课的一个难点．自然数集 负整数 引入无理数 引入 分数 引入整数集 有理数集 实数集3 引入新元 生成概念问题5 为了解决负数开平方问题，实数集应怎样扩充呢？设计意图：此时即将卡尔丹问题，归结为－15怎样开平方，也就是找一个数的平方等于－15，我们知道已经解决，进而引领学生将问题转化为找一个平方为－1的“新数〞，让“引入新元i 〞水到渠成．再规定：“①；②实数可以与i 进行四那么运算，进行四那么运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．〞，从而实数集得以扩充．问题6 引入新元i 后，可以产生哪些新的数呢？设计意图：学生利用新知先写出卡尔丹要找的数，然后再模仿、尝试写出其他含有i 的一些新数，追问：“你能写出一个形式，把刚刚所写的数都包含在内吗？〞，引导学生由特殊到一般，从而概括出复数的代数形式，从而完成从实数集到复数集的扩充．追问：“形如的数一定是虚数吗？〞，引导学生由实数a ，b 的不同取值对复数进行分类，从而深化复数概念，攻克本节课的重点，数系扩充表得以完善．4．学以致用． 例1．写出以下复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．4，，0，，，，例2．实数m 取什么值时，复数是：〔1〕实数？ 〔2〕虚数？ 〔3〕纯虚数？设计意图：例题2、例题3主要是让学生熟悉复数的分类标准，在解决问题的过程中内化复数有关概念，起到及时反应、学以致用的成效．并追问：对于复数，，你认为在什么情况下相等呢？由有序实数对即复数的实部、虚部与复数之间的对应关系，引导学生认同b =0，实数；b ≠0，虚数〔当a =0时为纯虚数〕．复数相等的充要条件，从而为在直角坐标系中用点表示复数提供了可能．接着设置了：例3．，求实数，的值．设计意图：强化复数相等的充要条件，并在解决问题过程中让学生初步感受到复数问题可以化归为实数问题．今天我们从数系扩充的角度引入新元，解决了实数集内负数不能开平方问题，进而学习了复数的有关概念．5．小结通过本节课的学习，你有哪些收获与体会呢？设计意图：学生总结，教师提炼，在课堂交流中形成总结的模式和反思的习惯．【板书设计】课题例题知识点。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-2 3.1 数系的扩充》9
《数系的扩充与复数的引入》第1课时教案设计●学情分析：“数系的扩充与复数的引入”是苏教版选修1-2第三章第一节内容，是在学生已经学习了实数以及实数有关的运x+=没有实数解，但实际需要要求此方程的解，所以有必要引出复数的概念以及复数的有关算，知道方程210运算，建立新的数系。
●教学理念：本着“以学生为主体，教师为主导”的理念，采用探究式教学方法，按照提出问题，思考、交流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。
●教学目标：知识技能：1．了解数系发展原因，数集的扩展过程；2．理解复数的有关概念以及符号表示；过程与方法：经历了数系的扩充过程，体验了复数引入的必要，探究了复数相等的概念，领悟了类比的思想方法．情感态度与价值观：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求；在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．●教学重难点：重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念难点：虚数单位的引入以及复数概念的生成●设计思路：本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。
并灵活运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣。
●教学过程：以问题为载体，以学生思考为主线创设情境→建构知识→知识运用→归纳总结→作业布置→课后探究提出问题，探究新知：以PPT展示数系的发展过程，带领学生了解数学史，将实数集扩充完后用一个“数字拆分”小游戏引入虚数单位i，从而引出课题。
【设计意图】让学生在轻松的环境中了解数学的发展史，数字拆分小游戏能让学生全身心投入课堂，从而激发学生的学习热情。
感悟知识的发生、发展过程。
知识建构一：虚数单位及规定我们引入一个新数i ,叫做虚数单位,并规定:21i =- 知识建构二：复数的有关概念1. 复数的定义:形如(,)a bi a b R +∈的数,我们称之为复数2复数的表示:复数通常用字母z 表示,即(,)z a bi a b R =+∈其中a 称为复数z 的实部,b 称为复数z 的虚部学生口答:略3复数的分类:［由上面例题分析得出］0,0,b z z a bi b z a z =⎧=+⎨≠⎩当时为实数复数当时为虚数(特别地,当时为纯虚数;=0,).4复数集:全体复数所组成的集合叫做复数集,记作C 复数集与实数集之间的关系是C R ⊆,可用如图2所示的文氏图来表示【设计意图】学生敢于猜想，合作交流，体现知识的连贯性，系统性；数学类比思NZ Q R C图2想的渗透提炼 5 两个复数相等,当且仅当它们的实部与虚部对应相等 这也正是两个复数相等的定义,即(,,,)a ba bi c di abcd R c d =⎧+=+⇔∈⎨=⎩2知识巩固，学以致用：【设计意图】引导学生由所学知识解决问题，提高分析问题能力，激发其学习欲望。
高中数学教案 选修1-2教案 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1数系的扩充与复数的概念
3.1.1 数系的扩充与复数的概念教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。
教学难点：复数及其相关概念的理解教学过程：一、复习准备：1. 提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：（1）2340x x --= （2）2450x x ++= （3）2210x x ++= （4）210x +=3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？二、讲授新课：1. 教学复数的概念：①定义复数：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。
出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论：复数的代数形式中规定,a b R ∈，,a b 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数，,(0)bi b ≠叫做纯虚数。
④ 数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？2.出示例题2：（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）练习：已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充教学案苏教版选修2-2(2021年整理)
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充教学案苏教版选修2-2的全部内容。
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1 数系的扩充[对应学生用书P52]一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳类比,然后提出猜想的推理．从推理形式上看,归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系,相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：（1）综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发,顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B（A为已经证明过的命题，B为要证的命题）．它的常见书面表达是“∵,∴”或“⇒”．(2）分析法是“执果索因",一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析,由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知（已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．2．间接证明主要是反证法：反证法:一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾,因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：（1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基,是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推,是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可,第二步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”,否则就是错误的．错误!一、填空题（本大题共14个小题,每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．（新课标全国卷Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析:由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．故可以得到的结论是:表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．答案:表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．下列说法正确的是________．（写出全部正确命题的序号）①演绎推理是由一般到特殊的推理②演绎推理得到的结论一定是正确的③演绎推理的一般模式是“三段论”形式④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确,则结论一定正确．大前提和小前提中,只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．"以上推理的大前提是________．答案：菱形对角线互相垂直且平分5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为________．解析：错误!＝错误!＝错误!·错误!＝错误!×错误!＝错误!.答案：1∶86．（陕西高考）观察分析下表中的数据：解析：三棱柱中5＋6－9＝2;五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2,由此归纳可得F＋V－E＝2。
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3.1数系的扩充和复数的引入
【教材分析】
教材地位和作用：
数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.
教材处理办法：
精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.
重点：
数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.
难点：
数系扩充的过程和方法，虚数的引入.
【教学目标】
知识目标：
了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.
能力目标：
发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.
情感目标：
初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.
【教学方法】
教学模式：
“4+1”教学模式
教学方法：
开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.
学习方法：自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结。
教学手段：结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台
【教学程序】
以问题为载体，以学生活动为主线.
自主学习合作探究成果展示精讲点拨巩固提高小结与作业
1、【自主学习】(课前完成)
阅读教材《§3.1.1 数系的扩充与复数的概念》内容，思考：
(1) 你对数的发展的了解
(2) 由得
你有，何困惑？
(3)方根2-=0无实根的原因是什么？如果扩充数系，使之有解，如何扩充？
(4)虚数单位i的性质？i与实数的运算性质？
(5)复数的有关概念？
(6)实数集R与复数C的关系？
2、【合作探究】
探究任务一：数系的扩充过程。
问题1：回顾归纳从小学到昨天为止数系的扩充过程。
探究任务二：数系扩充的必要性。
问题2：方根2+1=0无实根的原因是什么？如果扩充数系，使之有解，如何扩充？探究任务三：虚数单位
问题3：虚数单位的性质？i与实数的运算性质？
探究任务四：复数的有关概念
问题4：复数的概念？实部、虚部？复数的代数形式？
探究任务五：复数相等
问题5：复数相等的充要条件？
探究任务六：复数的分类
问题6：实数集R与复数C的关系？复数的分类图？
探究任务七：问题7：例1 实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i分别是实数，虚数和纯虚数？
探探究任务八：问题8：例2 设复数z
1＝，z
2
＝(3x＋2y)－yi，若z
1
＝z
2
，求
实数x，y的值.
3、【成果展示与精讲点拔】
问题1：由第1学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。
【展示：】
精讲点拔：1、数的概念产生和发展的历史进程：N+(增加：正分数)→Q+(增加：正无理数) →R+(增加：零和负数) →R.
数系每次扩充的基本原则：
第一、增加新元素；
第二、原有的运算性质仍然成立；
第三、新数系能解决旧数系中的矛盾.
问题2：由第2学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。
【展示：】
精讲点拔：由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾的结果
问题3：由第3学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。
【展示：】
精讲点拔：见课件
问题4：由学生举手展示，其他学生可点评或纠错和完善。
由第4学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。
【展示：】
精讲点拔：见课件
问题5：由第5学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。
【展示：】
精讲点拔：见课件
问题6：由第6学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。
【展示：】
精讲点拔：见课件
问题7：由第7、1、3学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。
【展示：】
精讲点拔：见课件
问题8：由第8、9、4学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。
【展示：】
4、【课堂小结】(学生偿试归纳小结，教师补充完善)
(1).复数的有关概念；
(2). 两复数相等的充要条件；
(3). 数集的扩充.
5、课外作业
(1)、下堂课【自主学习】
阅读教材《复数的几何意义》内容，思考：
①在什么条件下，复数z惟一确定？
②设复数z＝a＋b（a，b∈R），以z的实部和虚部组成一个有序实数对（a，b），那么复数z与有序实数对（a，b）之间是一个怎样的对应关系？
③有序实数对（a，b）的几何意义是什么？复数z＝a＋b（a，b∈R）可以用什么几何量来表示？。