高中数学课件4.4.1 参数方程的意义
高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4：4.4 4.4.1～4.4.2 参数方程的意义 参数方程与普通方程的互化
x－3＝tsin 20°， 法二：将方程改写成 －y＝tcos 20°，
消去 t，
得 y＝－(x－3)tan 70°，即 y＝(x－3)tan 110°， ∴倾斜角为 110°.
x＝3＋－tcos 110°， 法三：将原参数方程化为 y＝－tsin 110°， x＝3＋t′cos 110°， 令－t＝t′，则 y＝t′sin 110°
x＝2＋tcos ±， 得直线的参数方程为 y＝－1＋tsin ±
(t 为参数)．
其中参数 t 的几何意义是有向线段 M0M 的数量．
1．经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 ± 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos ±， y＝y0＋tsin ±
(t 为参数)．
1 x＝ t－ t， 1．已知曲线 C 的参数方程为 y＝3t＋1 t 求曲线 C 的普通方程．
(t 为参数，t＞0)，
1 1 y 2 解：因为 x ＝t＋ t －2，所以 x ＋2＝t＋ t ＝ ，故曲线 C 的普 3
2
通方程为 3x2－y＋6＝0.
x2 2 2．根据下列条件求椭圆 ＋y ＝1 的参数方程： 4 (1)设 y＝sin ¸ ，¸ 为参数； (2)设 x＝2t，t 为参数．
5．(陕西高考改编)如图，以过原点的直线的倾斜 角 ¸ 为参数，求圆 x2＋y2－x＝0 的参数方程．
解：由 x ＋y
2
2
12 2 1 －x＝0，得x－2 ＋y ＝ ， 4
1 即圆的半径 r＝ . 2 ∵OP＝2r·cos ¸ ＝cos ¸ ， ∴x＝OP·cos ¸ ＝cos2¸ ， y＝OP·sin ¸ ＝cos ¸ ·sin ¸ .
x＝ 解：由 y＝
苏教版高二数学选修4-4 4.4.1～4.4.2 参数方程的意义 参数方程与普通方程的互化学案
4．4．4.1～4.4.2 参数方程的意义 参数方程与普通方程的互化1．参数方程的意义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，反过来，对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，就叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数．2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程与普通方程是曲线的两种不同的表达方式．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的范围保持一致．[例1] 指出下列参数方程表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos t ，y ＝－2＋4sin t (t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －2－t ，y ＝2t＋2－t (t 为参数)． [思路点拨] 分析参数方程的结构特征，恰当地选择方法消去参数．[对应学生用书P19][对应学生用书P19][精解详析] (1)∵cos 2t ＋sin 2t ＝1， ∴(x －1)2＋(y ＋2)2＝16cos 2t ＋16sin 2t ＝16， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝16.它表示以(1，－2)为圆心，半径为4的圆． (2)∵cos 2t ＋sin 2t ＝1， ∴(x 5)2＋(y4)2＝cos 2t ＋sin 2t ＝1， 即x 225＋y 216＝1. 它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆． (3)∵x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，∴y 2－x 2＝4.又2t >0，y ≥22t ·2－t ＝2，故y 2－x 2＝4(y ≥2)，它表示双曲线的上支．1．化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有：代入消元法、加减消元法、利用恒等式(三角的或代数的)消元法，但要注意等价性，要先由参数范围求出x ，y 范围后再消参．2．普通方程化为参数方程，必须先指定参数或给出参数与x ，y 中之一的函数关系，对同一个普通方程，由于选择参数不同，得到的参数方程也不同．1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝⎛⎭⎫t ＋1t (t 为参数，t ＞0)，求曲线C 的普通方程．解：因为x 2＝t ＋1t －2，所以x 2＋2＝t ＋1t ＝y3，故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0.2．根据下列条件求椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程：(1)设y ＝sin θ，θ为参数； (2)设x ＝2t ，t 为参数．解：(1)把y ＝sin θ代入椭圆方程，得到x 24＋sin 2θ＝1，于是x 2＝4(1－sin 2θ)＝4cos 2θ，即x ＝±2cos θ，由于θ具有任意性，sin θ与cos θ的符号可以描述平面直角坐标系中点的坐标的符号，所以取x ＝2cos θ.因此，椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)．(2)把x ＝2t 代入椭圆方程，得到4t 24＋y 2＝1.于是y 2＝1－t 2，即y ＝±1－t 2.因此，椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝2t ，y ＝1－t 2，(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－1－t 2，(t 为参数).[例2] 求经过点0[思路点拨] 写出直线的普通方程，选择恰当参数得参数方程． [精解详析] 如图，由题意知，直线的普通方程是y ＋1＝(x －2)tan α，直线方程可化为y ＋1sin α＝x －2cos α.令y ＋1sin α＝x －2cos α＝t ，选择t 为参数， 得直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝－1＋t sin α(t 为参数)．其中参数t 的几何意义是有向线段M 0M 的数量．1．经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．对于上述参数方程要注意以下几点：(1) 参数方程中α、x 0、y 0都是常数，t 是参数且α是直线的倾斜角．(2)参数t 的几何意义是有向线段M 0M 的数量，|t |表示直线上的动点M 到定点M 0的距离．(3)若令a ＝cos α，b ＝sin α，则直线方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt ，(t 为参数)且a 2＋b 2＝1，b ≥0.3．求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 20°，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角． 解：法一：直线的斜率 ＝－cos 20°sin 20°＝－sin 70°cos 70°＝－tan 70°＝tan 110°. ∴倾斜角为110°.法二：将方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝t sin 20°，－y ＝t cos 20°，消去t ， 得y ＝－(x －3)tan 70°，即y ＝(x －3)tan 110°， ∴倾斜角为110°.法三：将原参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋(－t )cos 110°，y ＝(－t )sin 110°，令－t ＝t ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ′cos 110°，y ＝t ′sin 110°(t ′为参数)． ∴直线的倾斜角为110°.4.(湖南高考改编)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，求常数a 的值．解：先把两直线的参数方程化成普通方程．直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：2x －ay －a ＝0.因为两直线平行，所以1×(－a )＝－2×2，故a ＝4，经检验，符合题意.[例3] (1)x 2＋y 2＝9；(2)(x －2)2＋(y －3)2＝9.[思路点拨] 联想三角函数选择角为参数可求参数方程．[精解详析] (1)如图，设M (x ，y )为圆上任一点，射线Ox 轴逆时针旋转到OM 形成的角为α，取α为参数．则圆x 2＋y 2＝9的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数 )．(2)设x －2＝cos α，y －3＝sin α，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋sin α. 因此圆(x －2)2＋(y －3)2＝9的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos α，y ＝3＋3sin α(α为参数)．1．圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数)．2．圆心在(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数)．3．利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型，可以根据条件，用圆的参数把动点的坐标表示出来，然后利用坐标之间的关系，得到动点的轨迹方程．5．(陕西高考改编)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：由x 2＋y 2－x ＝0，得⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14， 即圆的半径r ＝12.∵OP ＝2r ·cos θ＝cos θ， ∴x ＝OP ·cos θ＝cos 2θ， y ＝OP ·sin θ＝cos θ·sin θ.∴圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数)．6.如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12，0)，当点P 在圆上运动时，求线段P A 的中点M 的轨迹的参数方程．解：设点M (x ，y )．∵圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．∴设点P (4cos θ，4sin θ)，由线段中点坐标公式得⎩⎨⎧x ＝4cos θ＋122，y ＝4sin θ2，(θ为参数)．即点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ(θ为参数)．1．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t ，(t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α，(α为参数)的交点个数． 解：直线的普通方程为x ＋y －1＝0， 圆的普通方程为x 2＋y 2＝32， 圆心到直线的距离d ＝22＜3， 故直线与圆的交点个数是2.3．已知A ＝{(x ，y )|x ＝2cos α，y ＝2sin α＋m ，α为参数}，B ＝{(x ，y )|x ＝t ＋3，y ＝3－t ，t 为参数}，且A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．解：由⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α＋m ，得[对应学生用书P21]x 2＋(y －m )2＝2cos 2α＋2sin 2α＝2. 所以A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －m )2＝2}．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t ，得x ＋y ＝6， 所以B ＝{(x ，y )|x ＋y －6＝0}． 因为A ∩B ≠∅，所以|m －6|2≤2，解得4≤m ≤8.4．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，求此直线的倾斜角α.解：直线化为：y ＝x ·tan α， 圆化为：(x －4)2＋y 2＝4，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于2，如图， ∴sin α＝24＝12，α＝π6或56π.5．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，求实数b 的取值范围．解：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ即为圆(x －2)2＋y 2＝1.∵直线y ＝x －b 与圆(x －2)2＋y 2＝1有两个不同的公共点， ∴圆心(2,0)到直线y ＝x －b 的距离小于圆的半径1，即|2－b |2<1. 解得2－2<b <2＋ 2.即b 的取值范围为(2－2，2＋2)．6．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上． (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2. 由x ＝1＋2t ，得t ＝x －12，代入y ＝t 2，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －122， 即(x －1)2＝4y .故曲线C 的普通方程为(x －1)2＝4y .7．圆的方程是x 2＋y 2－2a cos θ·x －2a sin θ·y ＝0. (1)若a 是参数，θ是常数，求圆心的轨迹； (2)若θ是参数，a 是常数，求圆心的轨迹． 解：将方程x 2＋y 2－2a cos θ·x －2a sin θ·y ＝0配方， 得(x －a cos θ)2＋(y －a sin θ)2＝a 2.设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，①y ＝a sin θ.②(1)若a 是参数，θ是常数，当cos θ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ表示直线x ＝0.当cos θ≠0，由①，得a ＝xcos θ .③把③代入②，得y ＝xcos θ·sin θ＝tan θ·x .所以轨迹是过原点，斜率为tan θ的直线． (2)若θ是参数，a 是常数， ①2＋②2，得x 2＋y 2＝a 2.由于a ≠0，所以轨迹是以原点为圆心，|a |为半径的圆．8．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1－t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，试在椭圆C 上求一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小．解：法一：由题设可知l 的普通方程为x ＋2y －4＝0，设P (2cos θ，sin θ)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|2cos θ＋2sin θ－4|5＝15⎣⎡⎦⎤4－22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，所以当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1时，d 取最小值，此时θ＝2 π＋π4( ∈ )，所以2cos θ＝2cos π4＝2，sin θ＝sin π4＝22.所以点P 坐标为⎝⎛⎭⎫2，22. 法二：设与直线l 平行的直线l 1方程为x ＋2y ＝m ，当l 1与C 只有一个公共点且l 1与l 距离最小时，l 1与C 的公共点即为所求的点P .椭圆的普通方程为x 24＋y 2＝1.将x ＋2y ＝m 代入此方程，消去x ，得8y 2－4my ＋m 2－4＝0.由题意，Δ＝16m 2－32(m 2－4)＝0，解得m ＝±2 2.l 1与l 的距离为d ＝|m －4|5，所以当m ＝22时，d 最小，此时点P的坐标为⎝⎛⎭⎫2，22.。
参数方程优秀课件
4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
例4、将下列参数方程化为普通方程：
(1)
x 2 3cos y 3sin
x=t+1/t
(2)
x sin y cos 2
r
P 1(x 1, y 1)
5
o
x1 r cos 又 y1 r sin
x a r cos 所以 y b r sin
-5
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
２、圆的参数方程
x a r cos y b r sin
1.圆的参数方程
（1）圆心在原点的圆参数方程
（2）圆心不在原点的圆的参数方程
2.参数方程与普通方程的概念 3.参数方程与普通方程的互化
4.应用 5. 小结
（1）轨迹问题 （2）求最值
思考1：圆心为原点，半径为r 观察1 的圆的参数方程是什么呢？ 如果点 P 的坐标为 ( x ,y ), 圆半径为 r , P OP 0 ,根据三角函数定义 ,点 P 的横坐标 x 、 纵坐标 y 都是 的函数 ,即 r o x r cos ① y r sin
y
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-4 4.4.1 参数方程的意义》
参数方程的意义授课人：游娟 学科：高中数学 学校：淮阴师范学院附属中学教学目标：（1） 理解曲线参数方程的概念，明确参数方程与普通方程的关系，能选取适当的参数建立曲线的参数方程；（2） 通过对直线、圆和椭圆等常见曲线的参数方程的研究，了解参数意义，体会学习参数方程的必要性，形成数学抽象思维的能力；（3） 初步学会应用参数方程解决实际问题，体验参数的基本思想，培养数学应用的意识，提高探究和发现的能力；（4） 感知数学知识之间的内在联系以及生长和发展的规律，感受人类思维和智慧的魅力，培养学习数学的兴趣，激发学习数学的热情教学重点：参数方程的概念教学难点：建立曲线参数方程的方法教学过程：一、 创设情境 律动思维 以600π弧度/的角情境：楚秀园的摩天轮半径为60m ，按逆时针方向速度匀速旋转【小组议一议】你能就此情境提出一个数学问题吗？【问题预设】如图，某游客现在点0P 处（其中点0P 和转轴O 的连线与水平面平行）问经过t 秒，这个游客的位置在何处？【设计意图】通过生活中具体实例，让学生感受数学迹，激发学生的求知欲与问题意识。
通过数学建模，让学生感受数学的魅力。
从而引入本节课所学的关键词：参数方程、普通方程二、 师生交流 体验过程问题1圆是我们最熟悉的一种曲线，如果一个圆，圆心在原点，半径为r ，它们的普通方程是什么？你能写出它的参数方程吗？问题2怎样选择适当的参数，将圆222(0)x y r r +=>表示成参数方程的形式？问题3圆的方程222()()(0)x a y b r r -+-=>对应的参数方程是什么？【设计意图】通过圆从特殊到一般位置的参数方程的探究活动，让学生再一次感受参数方程的建立过程以及参数的意义，深刻参数方程的意义，为下面引入参数方程的概念做铺垫三、 意义建构 概念形成思考：通过对前面几个问题的研究，能否归纳总结曲线参数方程的一般定义？定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点的坐标,x y 都是某个变量t 的函数(),().x f t y g t =⎧⎨=⎩（*）反过来，对于t 的每个允许值，由函数式(),().x f t y g t =⎧⎨=⎩所确定的点(,)P x y 都在曲线C 上，那么方程(),().x f t y g t =⎧⎨=⎩叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数相对于参数方程，直接给出曲线上点的坐标,x y 间关系的方程(,)0F x y =叫做曲线的普通方程【小组合作探究】：1选一选、说一说：在下列的方程中，哪些是参数方程，哪些是普通方程？且这些方程各表示什么曲线？（1）2240x y --=（2）3cos ,(sin .x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）（3）234(21)0(x y x y λλ+-+-+=为参数）（4）cos ,(sin .x t t y t θθ=⎧⎨=⎩为确定的正数，θ为参数）（5）cos ,(sin .x t y t θθθ=⎧⎨=⎩为确定的锐角，t 为参数）（6）2(1x t t y t =⎧⎨=-⎩为参数） （7）2sin ,[0,2)cos x y θθπθ=⎧∈⎨=⎩ 【设计意图】通过选一选、说一说，让学生在活动中理解曲线参数方程的定义，尤其注意含参方程与参数方程的区别、强调参数选取不同可以得到不同的曲线、参数不同也能得到相同的曲线等常见的理解误区四、尝试应用 培养能力例1如图，以原点O 为圆心，分别以,(0)a b a b >>为半径作两个圆，点N 是大圆半径OM 与小圆的交点，过点M 作MT x ⊥轴，垂足为T ，过点N 作NP MT ⊥，垂足为P ，求当半径OM 绕点O 旋转时，点P 的轨迹【设计意图】立足课本，通过运用参数方程解决常见的椭圆，充分感悟参数方程的优点和学习的必要性五、 回顾反思 提炼升华1. 今天主要研究了曲线参数方程的哪些内容？（What ）2. 既然我们已经学习了曲线的普通方程，为什么还要研究参数方程呢？（Wh ）（视频播放）3. 本节课你运用了哪些数学思想方法？如何利用参数方程解决实际问题？（How ？）【设计意图】以WWH 的学习反思模式，让学生自己学会总结消化，进而形成良好的自我学习习惯六、 课后探究 拓展延伸1已知直线l 经过点00(,)x y ,倾斜角为θ，写出它的参数方程2针对问题情境中的实际情况，游客总是从摩天轮的最低点登上转盘若某游客登上转盘的时刻记为0t ,则经过时间t 该游客的位置在何处？3已知点(,)A x y 在圆22:4C x y +=上运动，求x y +的最大值【设计意图】此处选取了三题，直线的参数方程是对课堂的补充，而摩天轮问题的改编更加切合实际，第三小题让学生感知参数方程不仅可以用来表示图形，还可以用于解决最值问题，知识之间的相互迁移。
北师大高中数学选修4-4课件：第2讲第1节参数方程的概念
•第一节参数方程的概念‘ 脸明呢’iS iffi ® fui ［学习目标］i 卜1.通过分析抛射体运动中时间与物体位置的I I关系，了解其参数方程，体会参数的意义.I〔•2. 了解一般曲线的参数方程的含义.【I—-------------------------------------------------------------------—JI ［学法指要］i I i 、1. 了解曲线方程的意义.（重点）I 「2厂利用參数方程解决最值问题难点）------- '预习学案启动思维•铅球运动员投掷铅球,在出手的一刹那,铅球的速度为岭/与地面在么角Z如何来刻画铅球运动的轨迹呢?走进教材1.参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x, y都是某个变数2, 0…）的函数：、①，并且对于每一个[的允[y=g（t）许值，方程组①所确定的点（X, V）都在这条曲线上 ,那么方稈组①就叫这条曲线的参数方程,T叫做参数,相对于参数方程而言，直接给出坐标间的关系的方稈叫普通方程 .• 2-参数的意义•丄—譬鷲如亦喩蠶几何,也可以是____________________ 的变数.自主练习是（） A. 直线x+2y —2—0B. 以（2,0）为端点的射线C. 圆（x-l ）2+/=lD ・以（2,0）和（0，1）为端点的线段 1. 若曲线 ]x == 1 + cos 20, y=sin 23（0为参数）,则点（x ，y ）的轨迹•解析:x = 1 + cos 20=2 - 2sin20 ,又sin?。
= %• Ax = 2 - 2y ,•艮卩兀+ 2y - 2 = 0.•又;y = sin20G [0,1],•・••轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段・•答案：D2-下列参数方程（T为参数）中与方程于=兀表示同一曲线的是（）A.1 —cos2f x==D・] l+cos2f J = tanr•解析：A中化简是方程y二兀2•B中sin?和sinr都表示在一定范围内•C中化简是方程；/二|兀| z %GR ,•而y?二兀中,丘0故借助万能公式代入化简可知选D .•答案：D3.已知曲线［二:爲；^ (0为参数,0£0<2兀).下列各点A(l,3), B(2,2), C(—3,5),其中在曲线上的点是•解析：将4点坐标代入方程得：e=0或兀z 将B、C点坐标代入方程,方程无解,故4点在曲线上.•答案：A•4.设飞机以匀速17=150 m/s做水平飞行，若在飞行高度力=588 m处投弹(设炸弹的初速度等于飞机的速度).•(1)求炸弹离开飞机后的轨迹的参数方程；•(2)试问飞机在离目标多远冰平距离)处投弹才能命中目标？解析：如图所示，4为投弹点，坐标为(0,588), B为目标，坐标为(XoP), g=9.8 m/s?.记炸弹飞行的时间为在4点》=0.设M(x,刃为飞行曲线上的任一点，它对应时刻炸弹水平速度r o=15O m/s,用物理学知识，分别计算水平、竖直方向X = Vot, 上的路程,«L588 1 2,x=150t,即L=588—4.9”这是炸弹飞行曲线的参数方程.标. (2)炸弹飞行得到地面目标B处的时间To满足方程丁=0，即588—4.9冶=0,解得f。
高二数学选修4-44.4.1曲线参数方程的意义ppt
gt
（g=9.8m/s2
2.
)
令y 0, 得t 10.10s.
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
可以使其准确落在指定位置.
知识构建
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标 x, y都是某个变数 t 的函数 x f (t),
可以没有明显意义； 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样;
3.在实际问题中要确定参数的取值范围;
创设情境
由参数方程
x y
cos sin
3,
(
为参数)直接判断点M的轨迹的
曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通
方程，则比较简单。
由参数方程得：
cos sin
y
g (t ).
（1）
且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点
M(x,y)都在这条曲线上, 则方程(1) 就叫做这条曲线的参
数方程, 联系变数 x ,y 的变数 t 叫做参变数, 简称参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数 x, y 的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也
(2)因为：x sin cos 2 sin( )
4
所以x 2, 2
y
所以普通方程是x2 y, x 2, 2 .
所以与参 数方程等价的普通方程 为
x2 y, x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
参数方程
设M(x,y),由上面两直线方程可求得: 18a x 2 , 2 2 x y a 9 (a为参数), 消去参数a, 得 1( x 0). 2 9 4 y 2a 18 a2 9
点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为4的椭圆（除去B,B).
23
参数方程及其应用 例 (2015· 内蒙古包头市模拟)已知直线 x＝1＋1t， 2 l： 3 y＝ t 2 参数)． (1)设 l 与 C1 相交于 A、B 两点，求|AB|；
A
12
x 5cos (5).二次曲线 ( 是参数） y 3sin 的左焦点的坐标为（） (-4,0)
t t
x e e (6).参数方程 ( t 为参数 ) 表示的曲线（ t t y e e A.双曲线B.双曲线的下支C.双曲线的上支D.圆
若x y a恒成立，求实数 a的取值范围
x2 y 2 x= 3 cos , (1)由椭圆 + =1的参数方程为 ( 为参数)， 3 4 y 2sin 可设点P的坐标为( 3 cos , 2sin ) 3 1 则2x+y=2 3 cos 2sin 4 cos sin 2 2
P ( x, y ) t 的几何意义：表示有向线段 P0 P 的数量，
直线上两点P1,P2对应的参数分别是t1，t2，则 | P1P2|=| t1-t2 |
4
●两个要点 x＝x0＋tcosα， (1)在直线的参数方程 (t 为参数)中 t 的几何 y＝y0＋tsinα 意义是表示在直线上从定点 P0(x0，y0)到直线上的任一点 P(x，y) 构成的有向线段 P0P 的数量且在直线上任意两点 P1、P2 的距离为 |P1P2|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2.
参数方程的概念(课件)
对于参数方程 x = a*cos(t), y = a*sin(t) (其中 t 为参数)，可 以通过分离参数 t，得到简单 方程 tan(t) = y/x，进而求解 x 和 y。
参数代入法
01 总结词
通过将参数方程中的参数代入 到已知的函数或表达式中，求 解未知数。
02
详细描述
参数代入法的基本思想是将参 数方程中的参数代入到已知的 函数或表达式中，从而得到一 个关于未知数的简单方程。这 个简单方程通常比较容易求解 ，从而得到原参数方程的解。
在计算机图形学中，参数方程被广泛应用于动画制作和游戏开发 等领域。
在经济学中的应用
在经济学中，参数方程可以用来描述经济数据的趋势和变化规律。
在生物学中的应用
在生物学中，参数方程可以用来描述生物种群的增长规律和生态系 统的平衡状态。
03
参数方程的求解方法
消去参数法
总结词
通过消去参数，将参数方程转化为普通方程，从 而求解未知数。
通过参数的变化，可以描述曲线的几 何性质和动态变化。
x=x(t), y=y(t) 或 x=x(t), y=y(t), z=z(t)，其中 t 是参数。
参数方程的表示形式
平面参数方程
在平面直角坐标系中，如果用参数 t 表示曲线上点的横坐标和纵坐标，则平面 参数方程可以表示为 x=x(t), y=y(t)。
2. 通过代数方法消去 参数 t；
3. 得到直角坐标方程 。
02
参数方程的应用
在几何图形中的应用
描述平面曲线
参数方程可以用平面曲线的几何 性质和形状，通过参数的变化来 描述曲线上的点。
旋转和放缩
通过参数方程，我们可以方便地 实现图形的旋转和放缩，从而得 到不同角度和大小的图形。
「精品」高中数学第二讲参数方程课件新人教A版选修4_4(1)
专题二
专题二:曲线参数方程的应用
例
2 已知曲线
C:���4���2 +
���9���2=1,直线
l:
������ ������
= =
2 + ������, 2-2������ (t
为参数).
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|
|M0M|2=2sec2θ+( 2tan θ-3)2=2tan2θ+2+2tan2θ-6 2tan θ+9
=4tan2θ-6
2tan θ+11=4
tan������-
32 4
2 + 246,
当 tan θ-342=0,即 tan θ=342时,|M0M|2 取最小值246,
此时有|M0M|= 226. 故点 M0 到双曲线的最小距离为 226.
+ cos ������2), sin ������2.
所以���4���2+y2=(cos θ1+cos θ2)2+(sin θ1+sin θ2)2=2+2cos(θ1-θ2)=2.
所以线段
PQ
中点的轨迹的普通方程为������2
8
+
������2 2
=1.
专题一
专题二
变式训练 3 如图,已知圆的方程为 x2+y2=12,椭圆的方程为2������52 + 1������62=1,过原点的射线交圆于点 A,交椭圆于点 B.过点 A 作 x 轴的平行 线,过点 B 作 y 轴的平行线,求所作两条直线的交点 P 的轨迹的普通 方程.
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以表示为某个变量 t 的函数xy＝＝fgtt， 反过来，对于 t 的每一个允许值，由函数式
x＝ft， y＝gt
所确定的点 P(x，y)都在这条曲线上，那么方程
x＝ft， y＝gt 叫做曲线 C
的参数方程，变量 t 是参变数，简称参数．
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疑问2：_____________________________________________________
解惑：_____________________________________________________
疑问3：_____________________________________________________
Q. 如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP. 取 OB＝t，t 为参数(0＜t＜a)．
∵OA＝ a2－t2，
∴BQ＝ a2－t2. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝t＋
y＝t
a2－t2，
(0＜t＜a)．
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法二 设点 P 的坐标为(x，y)，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q，如图所示．
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[再练一题] 1．已知某条曲线 C 的参数方程为yx＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数，a∈R)，点 M(5,4) 在该曲线上，求常数 a. 【解】 ∵点 M(5,4)在曲线 C 上， ∴45＝＝a1t＋2，2t， 解得：at＝＝21，. ∴a 的值为 1.
【导学号：98990026】
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【解】 如图所示，运动开始时质点位于点 A 处，此时 t＝0，设动点 M(x， y)对应时刻 t，上一页来自返回首页下一页
点与曲线的位置
已知曲线 C 的参数方程是xy＝ ＝32tt， 2＋1 (t 为参数)． (1)判断点 M1(0,1)，M2(5,4)与曲线 C 的位置关系； (2)已知点 M3(6，a)在曲线 C 上，求 a 的值．
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【自主解答】 (1)把点 M1(0,1)代入，得01＝ ＝32tt， 2＋1， 解得 t＝0，故点 M1 在曲线 C 上， 把点 M2(5,4)代入，得45＝＝23tt2，＋1， 这个方程组无解， 因此点 M2(5,4)不在曲线 C 上， (2)因为点 M3(6，a)在曲线 C 上，所以a6＝＝23tt2，＋1， 解得ta＝＝29，， 故 a＝9.
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2．求参数方程的一般步骤 (1)建立直角坐标系，设曲线上任意一点 M 的坐标为(x，y)； (2)选取适当的参数； (3)根据已知条件、图形的几何性质、物理意义等，建立点 M 的坐标与参数的 函数关系式； (4)证明所求得的参数方程就是所求曲线的方程(通常省略不写)．
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[思考·探究] 1．从参数方程的概念来看，参数 t 的作用是什么？什么样的量可以当参数？ 【提示】 参数 t 是联系变数 x，y 的桥梁；可以是一个有物理意义或几何意 义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
阶
阶
段
段
一
三
4.4.1 参数方程的意义
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程． 2．通过常见曲线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义．
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[基础·初探]
1．参数方程的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线 C 上任意一点 P 的坐标 x 和 y 都可
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求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找变 量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程．当变量之间的关系不容易用等式表 示时，可以引入参数，使变量之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参数方 程．
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[再练一题] 2．设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆做匀角速运动，角速度为6π0rad/s. 试以时间 t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．
解惑：_____________________________________________________ 疑问 4：_____________________________________________________
解惑：_____________________________________________________
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[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_____________________________________________________
解惑：_____________________________________________________
取∠QBP＝θ， θ 为参数(0＜θ＜π2)，
则∠ABO＝π2－θ.
在 Rt△OAB 中，OB＝acos(π2－θ)＝asin θ.
在 Rt△QBP 中，BQ＝acos θ，PQ＝asin θ.
∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝asin θ＋cos θ， y＝asin θ
(θ 为参数，0＜θ＜π2)．
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求曲线的轨迹方程
如图 4-4-1，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为 a，顶 点 B、A 分别在 x 轴、y 轴上滑动，求点 P 在第一象限的轨迹的参数方程．
图 4-4-1
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【自主解答】 法一 设 P 点的坐标为(x，y)，过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于
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2．在选择参数时，要注意什么？ 【提示】 在选择参数时，要注意以下几点：①参数与动点坐标 x，y 有函数 关系，且 x，y 便于用参数表示； ②选择的参数要便于使问题中的条件明析化； ③对于所选定的参数，要注意其取值范围，并能确定参数对 x，y 取值范围的 制约； ④若求轨迹，应尽量使所得的参数方程便于消参．