重庆南开中学2019-2020学年年八年级下学期4月月考数学试题(解析版)

重庆南开中学2019-2020学年年八年级下学期4月月考数学试题一、选择题1.下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ） A. 22a b -+ B. 22249x y m -C. 22x y --D. 421625m n -【答案】C 【解析】A 选项-a 2+b 2=b 2-a 2=（b+a ）（b-a ）；B 选项49x 2y 2-m 2=（7xy+m ）（7xy-m ）；C 选项-x 2-y 2是两数的平方和，不能进行分解因式；D 选项16m 4-25n 2=(4m)2-(5n)2=（4m+5n ）（4m-5n ）， 故选C ．【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是要熟记平方差公式的特征. 2.函数y =） A 1x ≥﹣B. 1x ≥﹣且0x ≠C. 0x >D. 1x >-且0x ≠【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，x ＋1≥0且x≠0， 解得：x≥−1且x≠0． 故选：B ．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 3.分解因式4433y x -结果是（ ）A. ()()22223y x yx +-B. ()()()223y x y x y x +-+C. ()()2223y x y x +-D. ()()2223y xy x +-【答案】B【分析】先提取公因式3，再两次利用平方差公式分解即可． 【详解】解：()()()()()()444422222233333y x y x yx y x y x y x y x -=-=+-=+-+，故选：B ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 4.已知25x x m -+有一个因式为2x -，则另一个因式为（ ） A. 3x + B. 6 x ﹣C. 3 x ﹣D. 6x +【答案】C 【解析】 【分析】所求的式子25x x m -+的二次项系数是1，因式（x−2）的一次项系数是1，则另一个因式的一次项系数一定是1，然后根据25x x m -+中一次项系数为－5，列方程求出另一个因式． 【详解】解：设另一个因式为（x ＋a ），则x 2−5x ＋m ＝（x−2）（x ＋a ），即x 2−5x ＋m ＝x 2＋（a−2）x−2a ， ∴a−2＝−5， 解得：a ＝−3，∴另一个因式为（x−3）． 故选：C ．【点睛】本题主要考查因式分解的实际运用，根据二次项系数假设出另一个因式是解本题的关键． 5.如图，当随机闭合电路开关1S 、2S 、3S 中的两个时，能够让灯泡发光的概率为( )A.13B.23C.16D.12【答案】B 【解析】列举闭合开关S1，S2，S3中的两个的所有方法，找出能让灯泡发光的方法，根据概率公式即可得出结论．【详解】因为随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有S1和S2，S2和S3，S1和S3，共3种方法，其中闭合开关S1和S2，S1和S3能够让灯泡发光，所以P(灯泡发光)23 =．故选：B．【点睛】本题考查了概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)mn =．6.根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类. 现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（）A. 16B.18C.112D.116【答案】C【解析】【分析】设投放可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾的垃圾桶分别为：A，B，C，D，设可回收物、易腐垃圾分别为：a，b，画出树状图，根据概率公式，即可求解.【详解】设投放可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾的垃圾桶分别为：A，B，C，D，设可回收物、易腐垃圾分别为：a，b，∵将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶一共有12种可能，投放正确的只有一种可能，∴投放正确的概率是：1 12.故选C.【点睛】本题主要考查画树状图求简单事件的概率，根据题意，画出树状图，是解题的关键.7.关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ）A. 1a ≥B. 1a >且5a ≠C. 1a ≥且5a ≠D. 5a ≠【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a 的范围． 【详解】当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-14； 当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根， 所以a 的取值范围为a≥1． 故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 8.某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元，已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多35m ．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x 元/3m ，根据题意列方程，正确的是（ ）A. 30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B. 30155113x x -=⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 15305113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 15305113x x -=⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用总水费÷单价＝用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m 3得出方程即可． 【详解】解：设去年居民用水价格为x 元/3m ，根据题意得：30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故选：A ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键．9.如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x 的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是6，……，则第2019次输出的结果是（ ）A. 1B. 3C. 6D. 8【答案】B 【解析】 【分析】把x ＝2代入程序中计算，以此类推得到一般性规律，即可确定出第2019次输出的结果． 【详解】把x ＝2代入得：12×2＝1， 把x ＝1代入得：1+5＝6， 把x ＝6代入得：12×6＝3， 把x ＝3代入得：3+5＝8， 把x ＝8代入得：12×8＝4， 把x ＝4代入得：12×4＝2， 把x ＝2代入得：12×2＝1， 以此类推，∵2019÷6＝336…3， ∴第2019次输出的结果为3， 故选B ．【点睛】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序框图是解本题的关键．10.已知m 、n 是方程2210x x --=的两根，且22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于A. 5-B. 5C. 9-D. 9【答案】C【解析】试题解析：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根∴m2﹣2m=1，n2﹣2n=1∴7m2﹣14m=7（m2﹣2m）=7，3n2﹣6n=3（n2﹣2n）=3 ∵（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8∴（7+a）×（﹣4）=8∴a=﹣9．故选C．11.若数a使关于x的不等式组()3x a2x11x2x2⎧-≥--⎪⎨--≥⎪⎩有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程y51y--+3=ay1-有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】【分析】由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．【详解】不等式组整理得：13x ax≥-⎧⎨≤⎩，由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=22a-，由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，故选D．【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题12.用如图所示的两个转盘（分别进行四等分和三等分），设计一个“配紫色”的游戏（红色与蓝色可配成紫色），则能配成紫色的概率为__________．【答案】1 4【解析】【分析】根据已知列出图表，求出所有结果，即可得出概率．【详解】列表得：红黄绿蓝红（红，红）（红，黄）（红，绿）（红，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，黄）（蓝，绿）（蓝，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，黄）（蓝，绿）（蓝，蓝）所有等可能的情况数有12种，其中配成紫色的情况数有3种，∴P配成紫色=31 124=故答案为：1 4【点睛】此题主要考查了列表法求概率，根据已知列举出所有可能，进而得出配紫成功概率是解题关键．13.若m为实数，分式()22x xx m++不是最简分式，则m=______.【答案】0或－4 【解析】【分析】由分式()22x x x m++不是最简分式可得x 或x+2是x 2+m 的一个因式，分含x 和x+2两种情况，根据多项式乘以多项式的运算法则求出m 的值即可. 【详解】∵分式()22x x x m++不是最简分式，∴x 或x+2是x 2+m 的一个因式，当x 是x 2+m 的一个因式x 时，设另一个因式为x+a ， 则有x （x+a ）=x 2+ax=x 2+m ， ∴m=0，当x 或x+2是x 2+m 的一个因式时，设另一个因式为x+a ， 则有(x+2)(x+a)=x 2+(a+2)x+2a=x 2+m ， ∴202a m a+=⎧⎨=⎩，解得：24a m =-⎧⎨=-⎩，故答案为：0或-4.【点睛】本题考查最简分式的定义及多项式乘以多项式，根据题意得出x 或x+2是x 2+m 的一个因式是解题关键.14.关于x 的分式方程22kx 3x 1x 1x 1+=--+会产生增根，则k ＝_____． 【答案】﹣4或6 【解析】 【分析】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k 的值．【详解】方程两边都乘（x +1）（x ﹣1），得 2（x +1）+kx ＝3（x ﹣1），即（k ﹣1）x ＝﹣5， ∵最简公分母为（x +1）（x ﹣1）， ∴原方程增根为x ＝±1， ∴把x ＝1代入整式方程，得k ＝﹣4． 把x ＝﹣1代入整式方程，得k ＝6．综上可知k ＝﹣4或6． 故答案为﹣4或6.【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．15.某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，床位可全部租出，在每床的收费提高幅度不超过5元的情况下，若每床的收费提高2元，则减少10张床位租出，若收费再提高2元，则再减少10张床位租出，以每次提高2元的这种方式变化下去，为了获得1120元的收入，每床的收费每晚应提高_____元 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意表示出每张床的租金与出租的床位数，两者的乘积就是所获得利润． 【详解】解：假设每床的收费每晚应提高x 元， 由题意得：()101001011202x x ⎛⎫+-⨯= ⎪⎝⎭， 解得：x 1＝4，x 2＝6（不合题意，舍去）， 即每床的收费每晚应提高4元， 故答案为：4．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键． 16.若327a x =+，337b x =--，317c x =-+，则代数式222a b c ab bc ac +++-+的值为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】首先把a 2+b 2+c 2+ab-bc+ac 变形为12（2a 2+2b 2+2c 2+2ab-2bc+2ac ），利用完全平方公式，再把a 、b 、c 代入求值即可．【详解】解： a 2+b 2+c 2+ab-bc+ac=12（2a 2+2b 2+2c 2+2ab-2bc+2ac ） =12[(a+b)2+(b-c)2+(c+a)2] ∵327a x =+，337b x =--，317c x =-+∴原式=12[ (-1)2+(-4)2+32]=12×26=13故答案为13.【点睛】此题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．17.一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗的取出，最终盒内都只剩下一颗糖，如果每次以11颗的取出，那么正好取完，则盒子里共有___颗糖．【答案】121【解析】【分析】在200以内分别找到11的倍数及24的倍数＋1的数，取两组数中同时出现的数即可．【详解】解：∵每次以11颗的取出正好取完，∴盒子内糖数必为11的倍数，∵盒子里装有不多于200颗糖，∴盒子内糖数可能为11、22、33、44、55、66、77、88、99、110、121、132、143、154、165、176、187、198；又∵如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，∴盒子内糖数为24的倍数＋1，即盒子内糖数可能为25、49、73、97、121、145、169、193，∴盒子里共有121颗糖，故答案为：121．【点睛】本题考查了数字类规律探索，解题的关键是根据题意总结出符合条件的数所满足的条件．18.在一条笔直的公路上顺次有A、B、C三地，甲车从B地出发往A地匀速行驶，到达A地后停止．在甲车出发的同时，乙车也从B地出发往A地匀速行驶，到达A地停留1小时后，调头按原速向C地行驶．若AB两地相距300千米，在两车行驶的过程中，甲、乙两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则在两车出发后经过_____小时相遇．【答案】358【解析】【分析】观察函数图像可知A 、C 两地的间距，由速度=路程÷时间可求出乙车的速度，结合甲、乙两车速度间的关系可求出甲车的速度，再求出乙车从A 地返回时两车的间距，依据相遇时间=4+两车的间距÷两车的速度和，即求出甲、乙两车相遇的时间.【详解】解：最总两车相距400km ，A 、C 两地相距400km ，乙车的速度为（300+400）÷（8-1）=100km/h ，甲车的速度为100-120÷3=60 km/h ，乙车从A 地返回时，两车的间距为300-60×4=60km，∴两车相遇的时间为4+60÷（100+60）=358. 故答案为358. 【点睛】此题主要考察一次函数的运用.三、解答题19.因式分解（1）()()216 a x y y x +--（2）22449a ab b -+-【答案】（1）()()()44x y a a +--；（2）()()2323a b a b -+--.【解析】分析】（1）先提取公因式()x y -，再利用平方差公式继续分解；（2）将前三项利用完全平方公式分解，然后再利用平方差公式继续分解．【详解】解：（1）原式()()()()()21644x y a x y a a =-=+---； （2）原式()()()2292323a b a b a b =--=-+--．【点睛】此题主要考查了利用公式法、提取公因式法、分组分解法进行分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．20.解分式方程 （1）()32011x x x x +=--+ （2）()221192626x x x -=--+ 【答案】（1）无解；（2）x ＝2.【解析】【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到原分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到原分式方程的解．【详解】解：（1）去分母得：3x−x−2＝0，解得：x ＝1，经检验x ＝1是方程的增根，故原分式方程无解；（2）去分母得：()433x x -+=-，解得：2x =，经检验x ＝2是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．21.解方程：（1）()()221327x x x -=+-（2）()()11x x +-=【答案】（1）12x =，24x =；（2）1x =2x =【解析】【分析】（1）首先整理方程，然后利用因式分解法求解；（2）首先整理方程，然后利用配方法求解．【详解】解：（1）方程整理得：2680x x -+=，因式分解得：()()240x x --=，∴20x -=或40x -=，解得：12x =，24x =；（2）方程整理得：21x -=，配方得：2212x -+=+，即(23x -=，∴x =解得：1x ，2x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．22.已知，关于x 的分式方程1235a b x x x --=+-. （1）当1a =，0b =时，求分式方程的解；（2）当1a =时，求b 为何值时分式方程1235a b x x x --=+-无解： （3）若3a b =，且a 、b 为正整数，当分式方程1235a b x x x --=+-的解为整数时，求b 的值. 【答案】（1）1011x =-；（2）5b =或112；（3）3,29,55,185b = 【解析】【分析】（1）将a ，b 的值代入方程得11235x x x +=+-，解出这个方程，最后进行检验即可； （2）把1a =代入方程得11235b x x x --=+-，分式方程去分母转化为整式方程为(112)310b x b -=-，由分式方程有增根，得11-2b=0，或230x +=（不存在），或50x -=求出b 的值即可；（3）把3a b =代入原方程得31235b b x x x --=+-，将分式方程化为整式方程求出x 的表达式，再根据x 是正整数求出b ，然后进行检验即可．【详解】（1）当1a =，0b =时，分式方程为：11235x x x +=+- 解得：1011x =- 经检验：1011x =-时是原方程的解 （2）解：当1a =时，分式方程为：11235b x x x --=+- (112)310b x b -=-①若1120b -=，即112b =时，有：1302x •=，此方程无解 ②若1120b -≠，即112b ≠时，则 若230x +=，即310230112b b-⨯+=-，663320b b -=-，不成立 若50x -=，即31050112b b--=-，解得5b = ∴综上所述，5b =或112时，原方程无解 （3）解：当3a b =时，分式方程为：31235b b x x x --=+- 即(10)1815b x b +=-∵,a b 是正整数∴100b +≠ ∴181510b x b-=+ 即1951810x b =-+ 又∵,a b 是正整数，x 是整数.∴3,5,29,55,185b =经检验，当5b =时，5x =（不符合题意，舍去）∴3,29,55,185b =【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．23.今年猪肉价格受非洲猪瘟疫情影响，有较大幅度的上升，为了解某地区养殖户受非洲猪瘟疫情感染受灾情况，现从该地区建档的养殖户中随机抽取了部分养殖户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A 级：非常严重；B 级：严重；C 级：一般；D 级：没有感染），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：（1）本次抽样调查的养殖户的总户数是 ；把图2条形统计图补充完整．（2）若该地区建档的养殖户有1500户，求非常严重与严重的养殖户一共有多少户？（3）某调研单位想从5户建档养殖户（分别记为a ，b ，c ，d ，e ）中随机选取两户，进一步跟踪监测病毒传播情况，请用列表或画树状图的方法求出选中养殖户e 的概率．【答案】（1）60；图见解析；（2）750户；（3）列表见解析，25 【解析】【分析】（1）从两个统计图可得，“B 级”的有21户，占调查总户数的35%，可求出调查总户数；求出“C 级”户数，即可补全条形统计图：（2）样本估计总体，样本中“严重”和“非常严重”占92160+，估计总体1500户的92160+是“严重”和“非常严重”的户数；（3）用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．【详解】解：（1）21÷35%＝60户，60﹣9﹣21﹣9＝21户，故答案为：60；补全条形统计图如图所示：（2）1500×92160＝750户，答：若该地区建档的养殖户有1500户中非常严重与严重的养殖户一共有750户；（3）用表格表示所有可能出现的情况如下：共有20种不同的情况，其中选中e的有8种，∴P（选中e）＝820＝25.【点睛】考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．24.某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．（2）若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，（其中a b¹）．现在有两种施工改造方案：方案一：前12S米的道路由甲工程队改造，后12S米的道路由乙工程队改造；方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少【解析】【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，则甲工程队每天道路的长度为()30x +米， 根据题意，得：36030030x x=+， 解得：150x =，检验，当150x =时，()300x x +≠，∴原分式方程的解为：150x =，30180x +=，答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）设方案一所用时间为：111()222s s a b s t a b ab+=+=， 方案二所用时间为2t ，则221122t a t b s +=，22s t a b=+， ∴22()22()a b a b S S S ab a b ab a b +--=++， ∵a b ¹，00a b >>，，∴()20a b ->， ∴202a b S S ab a b+->+，即：12t t >， ∴方案二所用的时间少．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键．25.某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%, a B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与()1问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%5a 结果2019年第二季度的销售额比()1问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值． 【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件；（2）a 的值为30．【解析】【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，则销售B 品牌的建材（126−x ）件，根据销售额＝单价×数量结合总销售额不低于96.6万元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出答案；（2）结合（1）可得出在（1）中销售额最低时，销售B 品牌的建材70件．根据销售额＝单价×数量，即可得出关于a 的一元二次方程，令a%＝y ，整理可得关于y 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）设销售A 品牌的建材x 件，则销售B 品牌的建材（126−x ）件，依题意，得：6000x ＋9000（126−x ）≥966000，解得：x≤56，答：至多销售A 品牌的建材56件；（2）在（1）中销售额最低时，销售B 品牌的建材70件，依题意，得：6000（1−a%）×56（1＋1%2a ）＋9000（1＋a%）×70（1−2%5a ）＝966000×（1＋2%23a ）， 令a%＝y ，整理得：10y 2－3y ＝0，解得：y 1＝0，y 2＝310， ∴a 1＝0（舍去），a 2＝30，答：a 的值为30．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一元二次方程．26.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.【答案】（1）3；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =222AC AD CD -=， ∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°，∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ， ∴222GH BG BH BG =+=， ∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。