一类多时滞带反馈非自治单种群模型的灭绝性

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具有连续时滞和功能性反应的非自治竞争系统的持续生存

基金项目：学天元基金（３４４）广西自然科学基金青年基金项目（科青０３Ｏ１数ＡＯ２６４￣桂３９２）
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第２期
严建明等：有连续时滞和功能性反应的非自治竞争系统的持续生存具
论具有连续时滞和扩散的非自治竞争模型：
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［ｔ—（。ｃ）五）ｔｃ）６）—。』。ｒ—）— ｚ —。十（０（。十ｄ— 。ｔ一ｔ（一（ｒ＿［￡ｂ） ∽ ｌｘ口ｌｘｋ）ｔ１－（ｌ（ｔ（ｌｓ（
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为初始值空间，中（）一（，（） … ，（），其丸（），）Ｃ一（一ｒ０，）．［，］Ｒ对于给定０＜＜叩＋ｏ记Ｃ＜ｏ，，］＝｛叩（）∈ Ｃ ≤ （）≤ ｒ０∈ ［ｒ０｝：／，一，］．对于系统（）记ｚ￡１，（）一ｘ（，）￡是过（，）的解，中初值函数ｊ￡ｏ（）Ｏ其６）一（，，（丸（）九（）
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总４Ｏ卷
第２期
数
学研究
Ｖｏ．ＮＯ．１４０２
２００７年６月
ＪｕｎｌｆＭａｈｍａｉａＳｕｙｏｒａｔｅｔｌｔｄｏｃ
Ｊｎ２０ｕ．０７
具有连续时滞和功能性反应的非自治竞争系统的持续生存

具有三个阶段结构单种群模型的全局渐近稳定性

具有三个阶段结构单种群模型的全局渐近稳定性
高淑京
【期刊名称】《新疆大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2001(018)002
【摘要】研究了具有三个阶段：幼年、成年、老年的阶段结构单种群生长模型，得到了该模型平衡点的稳定性的条件，并且证明了该模型惟一正平衡点的全局渐近稳定性的充分条件.%In this paper,we consider a stage-structure populations model with three lift stages, immature, mature and old. We obtain the conditions for stability of equilibrium and estabilish the sufficient conditions for the existence of a globally asymptotically stable of positive equilibrium of the model.
【总页数】5页(P154-158)
【作者】高淑京
【作者单位】广州大学数学系,
【正文语种】中文
【中图分类】O175.13
【相关文献】
1.阶段结构单种群模型的全局渐近稳定性 [J], 梁志清;周泽文
2.具有密度制约和阶段结构的单种群模型 [J], 章培军;杨颖慧
3.具有阶段结构、时滞和接种的幼年染病单种群模型的稳定性 [J], 王烈;陈斯养
4.具有阶段结构和反馈控制的非自治单种群模型的正周期解 [J], 杨英钟
5.具有阶段结构和反馈控制的非自治单种群模型的持久性 [J], 何夏晴;林涵;陈佳琳;陈凤德
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具有反馈控制的多种群互惠系统的全局吸引性与数值模拟

，
２
其中，Ｎ（ｔ）为第ｉ个种群在时刻的密度，Ｐ（ｔ）为第ｉ个控制变量在ｔ时刻的密度，时滞『＞０１，。（ｔ），？）（￡），ｃ（ｔ），ｄ（ｔ），Ｐ（ｔ），（ｔ），Ｐ（ｔ），ｑ（ｔ）∈Ｃ（Ｒ，Ｒ＋）的连续有界常数，Ｒ＋＝［０，＋∞ ）．其互惠性在于：当ｉ，＝１，２，Ｌ，ｎ， ≠ｉ时，种群＿＿Ｖ】，（ｔ）的存在有助于种群 Ⅳ （ｔ）的增长，即种群 Ⅳ ，（ｔ）的存在增大ｒ Ⅳ （ｔ）的环境容纳量，反之亦然．令Ｃ＝Ｃ（［一，０］，Ｒ）表示由［一，０］到尺的连续的向量函数的全体，其中Ｒ＝｛Ｎ（ｔ）＝（ Ⅳ，（￡），，Ｎ（ｔ），Ｐ，（ｔ），，Ｐ（ｔ）） ∈ Ｒ：Ｎ（ｔ）＞０，ｉｉ＝１，２，，ｎ｝．由系统（１．２）的可应用性，本文考虑初值
文献标志码：Ａ
一２
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中图分类号：Ｏ１７５．１４
近年来，许多学者利用微分方程稳定性理论和拓扑度方法，探讨了微分生态系统的动力学性质，获得了一批重要的研究成果，但对具有互惠关系的多种群模型考虑相对较少．１９７６年，ＭａｙＲＭ提

具有时滞和反馈控制的非自治单种群Kolmogorov模型的持久性

邻域Ｕｔ，，）（０ｃＲ＋ＸＣ一ｒ０ＸＣ［，］［一ｒ０，，］
有常数Ｌ＝Ｌ（０，）＞０使得对任意的（，，ｔ，００ｔ）ｔ，，）（＝１２满足ＥＵ（００，ｉ，）０
比较详细的研究［，是迄今为止，种群持久性但。］对的探讨几乎很少见到。本文中我们针对具有时滞和反馈控制的非自治单种群Ｋｌｏｏｖ型ｏｇｍ模ｍ
ｍｇＦ模型ｏｏｏｖ
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）ｔｘ，ｔ，ｔＵ）
基金项目：国家自然基金项目（０６０４，１３１０）国家教育部重点项目（ＪＤ２０Ｉ）ＸＥＵ０４Ｉ。２作者简介：洪燕君（９２）女，１７．，讲师，硕士研究生，从事常微分方程及其应用方面的研究；－ａ：ｏｇａｊｎ３６．ｍ。ｅｍｉｈｎｙｎｕ９＠１３ｔｌｏ通讯作者：滕志东（９０）男，１６－，教授，士生导师，－ａ：ｉｎ＠ｘ．ｄ．ｎ博ｅｍｉｚｄｇｉｅｕｃ。ｌｈｏｕ
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一类具有多时滞捕食-被捕食系统正周期解的存在性

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２０，８１：９０５０８２Ａ（）３ — ４０
数学物理学报
一
类具有多时滞捕食一被捕食系统正周期解的存在性
一
徐文雄
张太雷
徐宗本
＠
（西安交通大学理学院西安７０４；新疆大学数学与系统科学学院乌鲁木齐８０４）１０９３０６
（）ｓ
ｓＪ））ｓ）＿，］ｄ
根据系统（的生物学意义， Ⅳ （，２）∈ 车则结论显然成立．证毕．１）（１）（）Ｒ，０Ⅳ ０
３正周期解的存在性
为了以后讨论方便，我们引入如下记号
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Ⅳ）１ｅ／）。ｓⅣ１ｓ一１ Ⅳ）｛一）（（（ｘ０ｔＯｐｓｉ
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收稿日期：２０ — ８１；订日期：２０ — ７２０６０ — ４修０７０ —７
Ｅｍａｌｗｘ＠ｍａｌｊｕｅｕｃ — ｉ：ｘｉｘｔ．．ｎ．ｄ
基金项目：国家自然科学基金（０７０７１３１９）和国家自然科学基金重点项目ｆ０３００１５１３）资助

一类含时滞和放养的广义Logistic单种群模型的Hopf分支

引文格式：郎书华，陈斯养．一类含时滞和放养的广义Ｌｇｔ单种群模型的Ｈｐ分支［］安徽大学学报：ｏｉｉｓｃｏｆＪ．自然科学
ＨｏｉｕｃｔｏｆａｃａｓｏｅｅａｇｓｉｏｅｐｆｂｆｒａｉｎｏｌｓｆｇｎｒｌＬｏｉｔｃｍｄｌｗｉｈｔｍｅｄｌｙａｄｓｏｋｎｔｉｅａｎｔｃｉｇ
第３４卷第ｌ期
一
类含时滞和放养的广义Ｌｇｓｃｏｉｉｔ单种群模型的Ｈｏｆ支ｐ分
郎书华，陈斯养
（西师范大学数学与信息科学学院，西西安陕陕７０６）１０２
摘
要：究一类含离散时滞和放养项的广义Ｌｇｔ研ｏｉｉ种群模型的Ｈｐ分支问题．先利用函数ｓｃ单ｏｆ首
理论和特征值理论，给出了系统有唯一正平衡态的条件、唯一正平衡态稳定的条件和Ｈｐ分支存在的ｏｆ条件；然后利用周期函数正交性方法得到了分支周期解的近似表达式．
关键词：义Ｌｇｔ模型；广ｏｉｉｓｃ时滞；定性；ｏｆ支；期解稳Ｈｐ分周中图分类号：１５７０７．文献标识码：Ａ文章编号：００— １２２１）１０３０１０２６（０００ — ００— ５
ｂｒｈｇｎａｏｄｔｏｓｙｏｔｏｏｌｃｎｉｉｎ．Ｋｅｒｓ：ｇｎｒｌＬｏｉｔｃｍｏｅ；ｔｅａｙｗｏｄｅｅａｇｓｉｄｌｉｍｅｄｌｙ；ｓａｉｔｔｂｌｙ；Ｈｏｆｂｉｒａｉｎ；ｐｒｏｃｓｌｔｎｉｐｆｃｔｏｕｅｉｄｉｏｕｉｏ

几类种群生态学模型动力学分析

摘要摘要本文利用常微分方程和泛函微分方程的相关理论，讨论了几类种群生态学模型的动力学性质.本文共由五章组成：第一章,介绍了本文的研究目的、意义以及本文的主要工作.第二章，研究了一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，通过利用微分方程定性理论证明该系统在适当条件下是一致持久的；并且当系统是周期系统时，利用泛函分析的Brouwer 不动点定理和构造Lyapunov函数的方法，得到该系统周期正解唯一存在且全局渐近稳定的充分条件；对更具普遍意义的概周期现象，也得到了概周期正解存在且全局渐近稳定的充分条件.第三章，基于综合害虫管理策略，提出并研究了一类具有脉冲效应和Holling IV 类功能反应的捕食者—食饵系统，利用脉冲比较定理、Floquent乘子理论及微小扰动法，得到害虫灭绝周期解的局部渐近稳定性与系统持续生存的充分条件，所得结论为现实的害虫治理提供了可靠的策略依据.第四章，运用时滞微分方程的基本理论和脉冲微分方程的比较定理、周期解存在定理，研究了两类具有功能反应和一个固定脉冲时刻的时滞捕食者—食饵系统，得到了食饵灭绝周期解的全局吸引和系统持久的充分条件，也证明了系统所有解的一致完全有界，所得结论为现实的生物资源管理提供了可靠的策略依据，也丰富了脉冲时滞微分方程的理论.第五章，就全文进行了总结，指出了研究中还没有解决的问题，并对以后要研究的工作进行了展望.关键词:捕食者—食饵系统；一致持续生存；脉冲效应；灭绝性；全局吸引AbstractAbstractIn this thesis, dynamical behaviors of serveral types of population models in ecology are studied by using the theory of ordinary differential equation and functional differential equation. It is composed of five chapters.In Chapter 1, the goal, significance and the main works of this thesis are introduced.In Chapter 2, a predator-prey system with nonautonomous stage-structure and a nonautonomous predator-prey system with Holling IV functional response are studied. It is proved by differential equation qualitative theory that the system is persistent under proper conditions. Also, when the system is periodic, by using Brouwer fixed point theory and the way of constructing Lyapunov function, the sufficient conditions are obtained for the unique existence and global asymptotic stability of the periodic positive solution of the system. With respect to the general almost periodic system, we also obtain the sufficient conditions for the existence of general periodic positive solution as well as globally asymptotic stability．In Chapter 3，based on the strategy of integrated pest management, a predator-prey system with impulsive effect and Holling IV functional response is proposed and studied. By using impulsive comparison theorem, Floquent theory and small amplitude perturbation skill, the sufficient conditions for local asymptotic stability of pest-eradication periodic solution and permanence of the system are obtained.The results provide reliable tactical basis for the practical pest management.In Chapter 4，by using delay differential equation basic theory , comparison theorem and periodic solution existing theorem of impulsive differential equation, sufficient conditions which guarantee the global attractivity of prey-extinction periodic solution and permanence of the system are obtained. It is also proved that all solutions of the system are uniformly ultimately bounded.The obtained results provide reliable tactical basis for the practical biological resource management and enrich the theory of impulsive differential equation.In Chapter 5，we summarize the whole paper and point out the problems that are still unsolved in the research .Moreover, the future study is prospected.Key words: predator-prey system；uniform persistence；impulsive effect；extinction;global attractivity目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)第一章绪论 (1)§1. 1引言 (1)§1. 2研究目的及意义 (2)§1. 3本文的主要工作 (3)第二章非自治捕食者-食饵系统 (4)§2. 1 引言 (4)§2. 2一类具有阶段结构的非自治捕食者-食饵系统的研究 (4)2. 2. 1预备知识 (5)2. 2. 2一致持久生存性 (5)2. 2. 3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (6)2. 2. 4概周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (7)2. 2. 5小结 (9)§2. 3具Holling IV类功能反应的捕食者-食饵系统的研究 (9)2. 3. 1预备知识 (10)2. 3. 2一致持久性 (11)2. 3. 3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (12)2. 3. 3结论 (13)第三章一类基于IPM策略的具有脉冲效应的捕食者-食饵系统 (14)§3. 1引言 (14)§3. 2具有脉冲效应和Holling IV类功能反应的捕食者-食饵系统分析 (14)3. 2. 1预备知识 (15)3. 2. 2灭绝性与持久生存性 (17)§3. 3本章小结 (22)第四章两类具时滞和脉冲作用的捕食者-食饵系统的动力学分析 (23)§4. 1引言 (23)§4. 2一类时滞脉冲捕食食饵-系统的全局吸引性和一致持久 (23)4. 2. 1预备知识 (24)4. 2. 2主要结果 (25)4. 2. 3小结 (29)§4. 3食饵具脉冲扰动与捕食者具连续收获的时滞捕食者-食饵系统的动力学行为 (30)4. 3. 1预备知识 (30)4. 3. 2主要结果 (31)4. 3. 3小结 (36)第五章总结与展望 (37)§5. 1 本文研究工作的总结 (37)§5. 2 对今后研究工作的展望 (37)参考文献 (38)致谢 (43)作者在攻读硕士期间主要研究成果 (44)第一章绪论§1. 1引言种群生态学是生物数学中的主要分支，在现实生活中发挥着越来越重要的作用. 种群生态学的研究主要通过建立符合生物发展规律的数学模型，然后利用相应的数学理论和方法对模型进行推理和求解，进而发现其演化规律.微分方程是研究种群生态学的重要理论和方法.人们利用微分方程建立生态数学模型来研究和解决生态学实际问题，并取得了巨大的成功[1-2].从单种群系统到多种群系统,从自治微分动力系统到非自治微分动力系统，从连续动力系统再到脉冲微分系统，生物动力系统经历了一个百年迅速发展的过程,所建立的数学模型越来越能真实确切地反映生命现象的本质及其发展过程.由于整个自然环境常随时间而改变，自治的生物模型无法刻画这一因素,而时变环境下非自治的生物系统能够更加准确的反映现实.因此非自治系统吸引了学者和专家的重视与兴趣并取得了大量的成果[3-7]，主要是研究系统的全局渐近稳定性、持久性、周期解的存在性等.脉冲微分方程作为20世纪末发展特别迅速的一个数学分支，是描述某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃，它能更真实地反映自然界中一些瞬时突变的现象.在种群动力学中，很多自然现象或因素都需要用脉冲微分方程来描述才能更加真实的反映自然界事物变化规律，因此它比普通微分方程有更丰富的内容和性质.目前，脉冲微分方程在生物种群中的研究应用主要集中在脉冲发生在固定时刻的情况，对食饵-捕食者系统的研究结果较多.§1. 2研究目的及意义§1.2.1 非自治捕食者—食饵系统在自然界中，捕食现象是普遍存在的，所以对捕食模型的研究显得尤为重要.通过研究捕食模型的稳定性、持久性来解释和预测种群的发展趋势，这对于保持良好的生态平衡，保护生物种群的多样性，维持生态系统的可持续发展有着重要的指导意义.因此，捕食者与食饵之间的相互作用关系一直以来都是生物数学界与生态学界的一个重要的研究课题.在经典的微分系统中，总是假设系统的参数是不随时间的变化而变化的，即通常考虑的是自治系统的情形，这时我们通常研究系统平衡点的性态或极限环周围解的性质.一般来说，在环境不发生巨大的变化，不进行人为的破坏，生态系统的发展过程分布比较均匀，把系统的参数看做是常数有一定的合理性，并且有利于人们建立、分析与研究生态模型.然而，在现实世界中，很多生物种群的增长经常会受到很多自然因素的影响，如季节的影响、生存空间、食物供给的丰富性、种群的交配与生殖等，从而产生波动.也就是说，模型的有关参数往往是与时间有关的，所以研究非自治的捕食者—食饵系统具有重要的实际生物意义.但其不足之处有：(1)考虑环境及种群干扰因素过于简单；(2)对于多种群生物系统,没有较完善的数值模拟的方式从图形上来说明；(3)对于非自治生物系统考虑具有Holling IV功能、避难所和干扰常数的研究很少.对于非自治系统的研究完全可以考虑多种外界因素的干扰[8],以便使模型更贴近现实，达到更合理保护或控制生物.自然界中有很多现象呈现周期性的变化，如气候、昼夜更替、季节变化等，因此生物的生存环境是随时间而周期改变的.近些年来，很多学者对非自治周期系统进行了大量的研究，得到了周期正解和概周期解的存在唯一性和全局渐近稳定性.§1.2.2脉冲微分方程近年来，人们发现自然界中许多实际现象的发展过程并不是连续的，即系统受到一个短时间的外部作用，尽管这个短暂的干扰时间同整个发展过程相比较可以忽略不计，但是它可以改变系统的状态，导致物种的数量突变，若用连续动力系统去描述这些行为，则必定会与实际相差很大，因此不能单纯地用差分方程或微分方程来处理.而脉冲微分方程为研究这种在一个阶段是连续发展，而在一些时间点上是脉冲式的瞬间干扰行为提供了有力的工具，它能恰当的描述连续与脉冲相结合的自然现象.生物种群系统的许多自然现象和人为干预因素都需要用脉冲微分方程来描述.如：生育脉冲[9-10]，物种的迁徙，接种疫苗，生态环境的剧变对种群的影响.在渔业生产中，鱼苗的放养和成鱼的收获是周期性地发生而且是短时间完成的[11]. 在农业生产中，人们经常利用定期投放天敌和喷洒杀虫剂结合起来去控制害虫，即害虫的综合管理策略[12]. 投放天敌和喷洒杀虫剂是瞬时的、不连续的脉冲行为.在微生物培养中，培养基的脉冲输入[13-14].脉冲微分方程是在常微分方程的基础上发展起来的，其突出的特点是能充分考虑到瞬间变化对状态的影响，能够更合理、更精确地反映事物的变化规律.因此，许多学者对脉冲微分方程理论做了广泛而深入的研究.如文献[15]研究了时滞脉冲微分方程解的存在性、可微性与延拓性，文献[16]研究了脉冲微分方程系统的稳定性, 文献[17]研究了解的振动性, 等等.脉冲微分方程是非线性微分系统的一个分支.脉冲微分方程的研究始于20世纪60年代，近三十年来，脉冲微分方程的理论和方法得到了迅速发展[18-19]，已形成一个比较完整的学术体系，被广泛地应用于生物控制、传染病动力学、种群动力学、药物动力学、分子学、遗传学及生物控制论等方面.其代表成果有：癌细胞的化疗[20],脉冲收获[21], 种群生态学[22], 脉冲控制[23-24], 等等.尽管很多学者为脉冲微分方程在各领域的应用做了广泛的研究，但脉冲微分方程在种群动力学和传染病动力学的应用研究中，尚存在某些研究的空白.脉冲微分方程的定性理论尤其是状态依赖的脉冲微分方程的定性理论还处在起步阶段，脉冲自治系统的几何理论几乎是空白的.此外，脉冲从理论转入应用还有一定的困难，在应用方面，特别是在生命科学中的应用，还相对较少.而在最近十年，又不断地向时滞脉冲微分方程推进[25-26].脉冲种群系统与不含脉冲的种群动力系统相比，有着更加复杂的动力学性质.若同时考虑具有时滞和脉冲的种群系统，二者交织会影响解的性态，因此具有更加复杂的性质，其研究就更加困难，而且可供参考的文献不是很多，但这类种群模型是大量存在的，所以研究这类种群模型具有很重要的实际意义和很好的发展前景.§1.3 本文的主要工作本文运用微分方程定性理论、脉冲比较定理、Floquent乘子理论等方法，研究了非自治动力系统和脉冲微分系统的动力学性质，具体如下：第二章，分为两个部分，利用微分方程定性理论、泛函分析的Brouwer不动点定理和构造Lyapunov泛函的方法，讨论了一类食饵具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，证明该系统在适当条件下是一致持久的，并且当系数分别为周期函数、概周期函数时，得到了该系统周期正解与概周期正解唯一存在且全局渐近稳定的充分条件.第三章，以农业生产中的害虫治理为背景，利用脉冲比较定理、Floquent乘子理论及分析的方法，建立并讨论了一类在固定时刻具有脉冲效应和Holling IV类功能反应的捕食者—食饵系统，得到了系统的一致最终有界性，并给出食饵灭绝周期解的局部渐近稳定性与系统持续生存的充分条件，所得结论为现实的害虫治理提供了可靠的策略依据.第四章，分为两个部分，分别对两类时滞脉冲微分系统作了讨论.运用时滞泛函微分方程的基本理论和脉冲微分方程的比较定理、周期解存在定理，得到了系统食饵、捕食者灭绝周期解的全局吸引和系统持久的充分条件，也证明了系统所有解的一致完全有界，所得的结论为现实的生物资源管理提供了可靠的策略依据，也丰富了脉冲时滞微分方程的理论.第二章非自治捕食者—食饵系统§2. 1 引言捕食者—食饵系统是生态学中一类非常重要的种群系统,许多学者对它进行广泛而深入的研究，并取得了大量的成果[27-33].在自然界中，种群在其成长发育的不同阶段，会表现各种不同的特征，而且其各项生理机能差别较大，如捕食能力，竞争能力，扩散率等等.因此，研究具有阶段结构的捕食模型具有很重要的现实意义，文[27-28]究了具有阶段结构的自治捕食系统.相比自治的微分方程而言，时变的微分系统[29-31]真实地描绘现实世界，比如：如果考虑气候改变，食物来源结构改变等环境因素的变化，自治的生物模型无法刻画这一因素，而时变微分系统能发挥着重要的作用，能够更加准确地描述现实的生命科学体系.由于季节的周期变化,生物的生存环境的周期变化,从而生物的一些习性,如体温、交配等也表现为周期性.这种周期性往往会影响种群的数量,并且可能导致一些周期性结果.因此,考虑时变环境下系统的参数,如内禀增长率、种群间的竞争系数、种群内的竞争系数等，为周期变化的是符合实际的.此外,在研究自然现象和社会现象中,我们考虑种群和环境、种群和种群之间等等的因素（如功能反应函数、种群干扰现象和阶段结构等等）是各异的.因此对时变环境下的非自治系统进行详细的研究不仅仅理论上的必要性而且还有重要的现实性.本章讨论了一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV 类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，通过利用微分方程定性理论、泛函分析的Brouwer 不动点定理和构造Lyapunov 函数的方法，对系统的一致持续生存性、周期正解的存在唯一性和渐近稳定性、概周期正解的存在唯一和全局渐近稳定性进行研究，得到出现各种动力学性质的充分条件.§2. 2 一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统的研究文[29]中考虑了如下的系统：1112222333()()()x x a b x c y yy a b x c y d z z z a b y c z =--⎧⎪=+--⎨⎪=-+-⎩ ，，，通过利用代数方程、Hurwitz 判别法则，得到了该系统平衡点的存在性、稳定性等相关的结论.本节在文[29]基础上假设环境随时间是周期或概周期变化下,针对食饵的年龄结构，把被捕食群体区分为成年群体和幼年群体，考虑到它们在系统中的不同作用，建立一类非自治具有阶段结构的捕食-被捕食模型.具体模型如下：1112222333()()(()()()()())()()(()()()()()()())()()(()()()()()).x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t =--⎧⎪=+--⎨⎪=-+-⎩ ，， (2-2-1) 其中()x t ，()y t 1()a t 12(),(c 分别为幼年食饵和成年食饵在t 时刻的密度，为捕食者种群在t 时刻的密度.，分别为食饵幼体和成体的内禀增长率，为捕食者种群的死亡率.为种内密度制约因素，()z t 3(a t ()()t y t 2()a t 3),()c t )b t t 1()c t x -，，，表示种群间的相互作用. 2()()b t x t y =1,2,3),2d ()t ()t 2-()()d t y ()z t t 3()b t y ()()t z t (),a t b (),i i i t c ()t (i 是[0上连续的严格正函数，并且满足,)+∞2min{,,,}0L L L L i i i a b c d >，2max{,,,}M M M M i i i a b c d <+∞，()1,2,3i =，对于一个连续有界函数，记()h t inf{():}L h h t t R +=∈，.sup{():}M h h t t +=∈R §2.2.1 预备知识引理2.2.1[30]设是非负可微函数，若()g t (),g t M M '<为一正常数，且0(),g t dt +∞<+∞⎰则.lim ()0t g t →+∞=引理2.2.2（Brouwer 不动点定理）设n R 是维欧几里德空间，是n A n R 的一个有界凸集，f 是A A →的一个连续映射，那么必有x A ∈，使得()f x x =.定义 2.2.1[34] 系统(2-2-1)是一致持续生存的是指：如果存在正常数和m M ，使得对于系统(2-2-1)的任何正解()((),(),())X t x t y t z t =都存在T ，当t 时有，即. 0>T ≥()m X t M ≤≤lim inf m X →∞()lim sup ()t t t X t →∞≤≤M ≤§2.2.2 一致持续生存性由于一致持久性对于生物系统而言可以解释为种群最终不会消亡，因此对生物系统一致持久性的研究具有特别重要的意义，下面我们给出系统(2-2-1)的一致持久性结果.定理2.2.1 3R +=(){}(),(),()()0,()0,()0x t y t z t x t y t z t >>>是系统(2-2-1)的正向不变集. 证明对于任意和([0,)t ∈+∞(0),(0),(0))x y z 3R +∈，1110()(0)exp{[()()()()()]}0,t x t x a s b s x s c s y s ds =--⎰>>> 22220()(0)exp{[()()()()()()()]}0,ty t y a s b s x s c s y s d s z s ds =+--⎰ . 3330()(0)exp{[()()()()()]}0tz t z a s b s y s c s z s ds =-+-⎰故3R +是系统(2-2-1)的正向不变集..定理2.2.2 若系统(2-2-1)的系数满足条件110L M a c H ->，，22120L L M a b m d H +->3320M L a b m -+>, (2-2-2)则123{((),(),())|(),(),()}x t y t z t m x t H m y t H m z t H Ω=≤≤≤≤≤≤是系统(2-2-1)的最终有界区域，其中：第二章非自治捕食者—食饵系统1111L M M a c H m b -=1ε-，2212222L L M M a b m d H m c ε+-=-，332333M L M a b m m c ε-+=-，(1,2,3i i )ε= 是任意小的正数.证明考虑函数，则有123()()()()s t w x t w y t w z t =++()()st s t λ+= 1111122222(()()())()(()()())(w a t w w b t x t x t w a t w c t y t w y )t λλ+-+-+ 333331122(()()())()(()())()()w a t w w c t z t z t w c t w b t x t y t λ+-+-+-+2233(()())()()w d t w b t y t z t +-+. (2-2-3)令111()()k t w a t w 1λ=+，222()()k t w a t w 2λ=+，333()()k t w a t w 3λ=-+．选取3M a λ>，使 ()0i k t >(1,2,3i =)代入(2-2-3)有111222()()(()()())()(()()())()st s t k t w b t x t x t k t w c t y t y t λ+=-+- +3331122(()()())()(()())()()k t w c t z t z t w c t w b t x t y t -+-+2233(()())()()w d t w b t y t z t +-+，在上式中令2112()()()b t w t c t =，，21w =233()()2()d t w t b t =，选取t 使，，则有 11w ≥21w ≥111222333()()(()()())()(()()())()(()()())()st s t k t w b t x t x t k t w c t y t y t k t w c t z t z t λ+≤-+-+- =2112212()()()())()(()()())()()b t b t k t x t x t k t c t y t y t c t -+-(2333()()(()())()2()d t c t k t z t z t b t +-. 由于上面不等式的右端所有的二次项系数均为负的，所以存在常数，使得0k > ()()st s t k λ+≤ ，即 ()(())k s t s t λλ≤- ，从而有lim sup ()t k s t λ→∞≤　. 因此，对任给小的0ε>，存在T ，当时，有1t T >()k s t ελ≤+. 令,kH ελ=+当时，有 1t T >()x t H ≤，()y t H ≤，()z t H ≤.另外，由系统(2-2-1)中第一个方程，有111111()()(()()()()())()(())L M M xt x t a t b t x t c t y t x t a b x t c H =--≥-- ，所以 111lim inf ()L M M t a c H x t b α→∞-≥=. 因此，对任给10εα<<，存在，当时，有2T T >12t T >1()x t αε≥-.令11m αε=-，当时，有 2t T >1()x t m ≥. (2-2-4)同理可证：存在和，当，有 20m >3T T >23t T >2()y t m ≥ . (2-2-5)存在和，当，有 . (2-2-6)30m >4T T >34t T >3()z t m ≥综合式(2-2-4)、(2-2-5)和(2-2-6)可得，当时，有4t T ≥()(),(),()x t y t z t ∈Ω.因此，Ω是系统(2-2-1)的最终有界区域.定理2.2.3 若条件(2-2-2)成立，则系统(2-2-1)是一致持续生存.证明由定理2.2.2易得结论.§2.2.3 周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性设是[02(),(),(),()(1,2,3)i i i a t b t c t d t i =,)+∞上连续和严格正的ω周期函数，且有上下界，则系统(2-2-1)是一个ω周期系统.定理2.2.4 若条件(2-2-2)成立，且系统(2-2-1)还满足111122233332()2()()()0,()0,()()2()()0a t m b t c t m b t c t a t b t H c t m d t -++->>-++>，(2-2-7) 则系统(2-2-1)有唯一的全局渐近稳定的ω周期正解.证明 {}123((),(),())|(),(),()x t y t z t m x t H m y t H m z t H Ω=≤≤≤≤≤≤为有界闭凸集，且为系统(2-2-1)的正不变集，定义Poincare 映射3:A R R 3++→，使得 00()(,)A x x x ω=， 03x R +∈，则A 映射到自身，即. 由解对初值的连续依赖性可得Ω()A Ω⊂ΩA 连续.由Brouwer 不动点定理，在Ω中映射A 至少存在一个不动点，相应地系统(2-2-1)至少存在一个严格正的ω周期解.设1111()((),(),())p t x t y t z t =是系统(2-2-1)的ω周期正解，()((),(),())p t x t y t z t =是系统(2-2-1)任意一具有正初值的解，构造Lyapunov 函数：111()()()ln ()ln ()()()v t x t x t y t y t z t z t =-+-+-，则 11()(()()ln ()ln ()()())D v t D x t x t y t y t z t z t ++=-+-+-111(()())(ln ()ln ())(()())D x t x t D y t y t D z t z t +++≤-+-+-1=11(()())sgn(()())x t x t x t x t -- +111()()(()())()()yt y t y t y t y t y t -- +. 11(()())sgn(()())zt z t z t z t -- 由11(()())sgn(()())xt x t x t x t -- 1sgn(()())x t x t =-11[()(()())a t x t x t -2211()(()())b t x t x t --11()(()()()())]c t x t y t x t y t --111= 11()(()())sgn(()())a t x t x t x t x t --12211()(()())sgn(()())b t x t x t x t x t ---111()(()()()())sgn(()())c t x t y t x t y t x t x t ---11111()()()()(()())(()())sgn(()())a t x t x t b t x t x t x t x t x t x t ≤---+-11111()(()()()())sgn(()())c t x t y t x t y t x t x t ---1111112()()()2()()()()()()a t x t x t m b t x t x t c t m x t x t ≤-----1，同理可证: 111()()(()())()()y t y t y t y t y t y t -- 21212()()()()()()()()()b t x t x t c t y t y t d t z t z t ≤---+-1， 11(()())sgn(()())zt z t z t z t -- 313133()()()()()()2()()()a t z t z t b t H z t z t c t m z t z t ≤--+---1 所以 1111221()(()2()()())()()D v t a t m b t c t m b t x t x t +≤--+-+2133332(())()()(()()2()())()()c t y t y t a t b t H c t m d t z t z t --+-+-+-1t .令， 111122233332min{()2()()(),(),()()2()()}a a t m b t c t m b t c t a t b t H c t m d =-++--+-由11()(()()()()()())D v t a x t x t y t y t z t z t +≤--+-+-1，得111()()(()()()()()()s 0tT v t v T a x s x s y s y s z s z s d -+-+-+-≤⎰），111()(()()()()()())tTv T x s x s y s y s z s z s ds a-+-+-≤<⎰∞. 则有1lim ()()0t x t x t →∞-=，1lim (t)()0t y y t →∞-=，1lim ()()0t z t z t →∞-=.这说明系统(2-2-1)的ω周期正解是全局渐近稳定的，从而也说明了周期解的唯一性.§2.2.4 概周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性概周期现象以周期现象作为它的特例，在生态学中更具有实际意义，设，是(),(),()i i i a t b t c t (123i =，，)2()d t [)0+∞，上连续的严格正概周期函数，于是得到如下的概周期系统：1112222333()()(()()()()())()()(()()()()()()())()()(()()()()())(0)0,(0)0,(0)0.x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t x y z =--⎧⎪=+--⎪⎨=+-⎪⎪>>>⎩ ,,-, (2-2-8) 考虑系统 (,)xf t x = ，(,)(,)n f t x C R D R ∈⨯， (2-2-9) 其中是D n R 的一个开集，(,)f t x 是关于t 对n x R ∈上是一致概周期的，对式(2-2-9)的伴随系统(,),(,)x f t x y f t y == . (2-2-10) 引理设存在定义在[上的Lyapunov 函数，满足[35]2.2.3)0,D D +∞⨯⨯(,,)V t x y ()()(,,)(),i a x y V t x y b x y -≤≤-其中和是连续、递增的正定函数； ()a r ()b r 11221212()(,,)(,,){},0ii V t x y V t x y k x x y y k -≤-+->是一个常数；()(,,)iii D V cV t x y +≤-00t t ≥≥S ⊂，这里是一个常数，并且设系统(2-2-9)有一个解，对一切落在紧集内，则系统(2-2-9)在中有唯一概周期解，且此解在上一致渐近稳定.0c >D S D 定理2.2.5 若系统(2-2-8)满足条件(2-2-2)和(2-2-7)，则概周期系统(2-2-8)存在唯一且全局渐近稳定的概周期正解.证明由定理2.2.2和定理2.2.3知，系统(2-2-8)是一致持续生存的，为这个一致持续生存域，显然Ω是紧集，考虑系统(2-2-8)的伴随系统： Ω11111111122121211133131111()()(()()()()()),()()(()()()()()()()),()()(()()()()()),(0)0,(0)0,(0)0.x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t x y z =--⎧⎪=+--⎪⎨=-+-⎪⎪>>>⎩ ，1111()((),(),())P t x t y t z t =11111111122121211133131111()()(()()()()()),()()(()()()()()()()),()()(()()()()()),(0)0,(0)0,(0)0.ut u t a t b t u t c t v t vt v t a t b t u t c t v t d t w t w t w t a t b t v t c t w t u v w =--⎧⎪=+--⎪⎨=-+-⎪⎪>>>⎩ .1111()((),(),())Q t u t v t w t =在上定义Lyapunov 函数：[0,)+∞⨯Ω⨯Ω 11111111(,,)()()()()()()V P Q x t u t y t v t z t w t τ=-+-+-.取111111()()()()()()()()a r b r x t u t y t v t z t w t ==-+-+-，则为连续递增的正定函数，所以满足引理的条件.(),()a r b r ()V t 2.2.3()i 设是系统(2-2-8)在[0上任意两个解，则有 22222222((),(),()),((),(),())P x t y t z t Q u t v t w t ,)+∞⨯Ω⨯Ω1122(,,)(,,)V t P Q V t P Q -=111111222222()()()()()()()()()()()()x t u t y t v t z t w t x t u t y t v t z t w t -+-+------- 121212121212()()()()()()()()()()()()x t x t y t y t z t z t u t u t v t v t w t w t ≤-+-+-+-+-+-1212P P Q Q =-+-.所以满足引理的条件.()V t 2.2.3()ii 与定理2.2.4的证明相类似，有下式成立：111111111()()()()()()()()()()D V t A t x t u t B t y t v t C t z t w t +≤------，其中111112212313332()()2()()(),()()(),()()2()()A t a t m b t c t m b t B t c t b t H C t a t c t m d t =-++-=-=++111min{(),(),()}0,r A t B t C t =>()()D v t rv t +≤-()V t ()iii .取则，所以满足引理2.2.3的条件，从而由引理2.2.3可知系统(2-2-8)在Ω中有唯一正概周期解，它在中是一致渐近稳定的.当满足条件(2-2-2)和(2-2-7)时，可知其具有唯一全局渐近稳定的概周期正解.Ω§2.2.5 小结本节研究了一类食饵具有阶段结构而捕食者不分阶段的捕食者-食饵系统，由定理 2.2.2与定理 2.2.3可知,当系统参数满足110L M a c H ->，，时,系统是一致持久生存的,也就是这时各物种能够长期共存下去,这对于保护物种的多样性有重要意义.而通过定理2.2.4与定理2.2.5的证明，我们得出了该系统周期正解与概周期正解的唯一存在性和全局渐近稳定性的充分条件.22120LL M a b m d H +->3320ML a b m -+>§2. 3 具Holling IV 类功能反应的非自治捕食者—食饵系统的研究研究捕食系统，特别是具有功能反应的捕食系统有着十分重要的现实生态意义，已被许多学者广泛研究[36-42].而对于形式较为复杂的Holling IV 类功能性的捕食系统的研究较少.文[43]中研究了一类具有Holling IV 类功能反应的自治系统：22012()1()1xy x x a bx cx wx x rxy y y h h y wx x ββ⎧=---⎪++⎪⎨⎪=--+⎪++⎩ ,. 讨论了该系统平衡点的全局稳定性、极限环的唯一存在性.但是由于自然界中各种因素如：食物、环境等会随时间发生改变，因此考虑模型的有关参数与时间有关更符合客观实际，本节在文[43]的基础上分析了一类具有Holling IV 类功能性的非自治系统，讨论了其动力学性质.本文具体模型如下：22012()()()()(()()()()()),1()()()()()()()()()(()()()).1()()()()x t y t x t x t a t b t x t c t x t w t x t t x t r t x t y t y t y t h t h t y t w t x t t x t ββ⎧=---⎪++⎪⎨⎪=--+⎪++⎩ (2-3-11) 其中()x t 表示食饵种群在时刻的密度，表示捕食者种群在t 时刻的密度，是食t ()y t ()a t 饵的内禀增长率，2()/(1()()()())x t w t x t t x β++()t t 为Holling IV 类功能反应函数，表示捕食率.为食饵种群转化为捕食者的转化率.表示食饵的密度制约项，h t 表示捕食者种群的死亡率.()r t ()2()()()()b t x t c t x t --(),(),(),(),a t b t c t r t 01()h t y +0(),(),(),w t t h t β1()h t 是[0上连续和严格正的有界函数，并且满足；,)+∞{}01min ,,,,,,,0,L L L L L L L L a b c r w h h β>{}01max ,,,,,,,M M M M M M M M a b c r w h h β<+∞对于一个连续有界函数()f t ，记{}sup ():M f f t t R +=∈，{}inf ():L f f t t R +=∈.§2.3.1 预备知识设{}2((),())()0,()0R x t y t x t y t +=>>，由生物学意义，只在区域2int R +内考虑系统(2-3-11)，对解((),())x t y t 只考虑其具有正初值的情况，即000()0,()0,0x t y t t >>≥. (2-3-12)引理2.3.1 2R +是系统(2-3-11)的正向不变集.证明由系统(2-3-11)得到：202()()()exp{[()()()()()]}01()()()()tt y s x t x t a s b s x s c s x s ds w s x s s x s β=---++⎰>， 00012()()()()exp{[()()()]}01()()()()t t r s x s y t y t h s h s y s ds w s x s s x s β=--+++⎰>>>. 当时，必有.因此系统(2-3-11)满足正初值的解可以保持恒正，故00()0,()0x t y t >2()0,()0x t y t >R +是系统(2-3-11)的正向不变集. 引理2.3.2 对系统(2-3-11)满足正初值条件(2-3-12)的解((),())x t y t ，若满足条件0(M L L r h w >+ ， (2-3-13)则集合2{((),())0(),0()}T x t y t R x t N y t M +=∈<≤<≤是系统(2-3-11)的最终有界集，其中*M L a N N b >=，*M M >=N *N 与、*M 与M 充分接近.证明设((),())x t y t 是系统(2-3-11)满足正初值条件(2-3-12)的解，从而2((),())x t y t R +∈，由系统(2-3-11)的第一个方程知()()(())M L xt x t a b x t ≤- ，于是有lim sup ()ML t a x t b→+∞≤*N N =<. (1)若0()x t N ≤，则对有0t t ≥()x t N ≤；(2)若0()x t >N ，则存在0ε>，当00[,]t t t ε∈+时有()x t N >.由已知条件知()(N N a >())0M L x t xt b N ≤- <，故存在，当时，有100T t ≥≥1t T ≥()x t N ≤. 再由系统(2-3-11)的第二个方程知：012()()()(()1()(M L LL L r x t y t y t h h y t w x t x t β≤--+++ )1()(()1()()ML L L L r y t h h y t x t w x t β≤--+++01()(()M L L y t h h y t ≤--+.则*lim sup ()t y t M →+∞≤=M <.与前面讨论相同，若0()y t M ≤，则对有0t t ≥()y t M ≤；否则，存在，当时，有200T t ≥≥2t T ≥()y t M ≤.令{}01max ,T T =2T ，当时，有0(0t T ≥),0()x t N y t M <≤<≤，故集合是系统(2-3-11)的最终有界集. T§2.3.2 一致持久性定理2.3.1 设条件(2-3-13)成立，若满足：0L a M ->， 0()L M M r h G w 0-+>， (2-3-14) 则212{((),())(),()}x t y t R m x t N m y t M +Ω=∈≤≤≤≤是系统(2-3-11)的正不变集和最终有界集，则系统(2-3-11)是一致持久的. 其中*11L M Ma M m mbc N -<=+，*0221()()L M M M M r h G w m m G w h -+<=+，并且和足够接近(1. i m *i m ,2)i =证明由引理2.3.2知，存在，对所有的，是系统(2-3-11)的最终有界集.于是，由系统(2-3-11)的第一个方程知00T >0t T ≥()[T ()()()]L M M xt x b c N x t -+ t a ≥-M ，则 *11lim inf ()0L M M t a M x t m m b c N→+∞-≥=>+>1. (1) 若0()x t m ≥，则对有0t t ≥1()x t m ≥；(2) 若0()1x t m <，则存在0ε>，当00[,]t t t ε∈+时有1()x t m <，由已知条件知 11()()[()]0L M M x t m xt m a M b c N m <≥--+> 10，故存在，当时，有 3T T ≥3t T ≥1()x t m ≥. 再根据系统(2-3-11)第二个方程知12()()()(()1()(L M M M M r x t y t y t h h y t w x t x t β≥--+++ )1()(()1()()LM M M M r y t h h y t x t w x t β≥--+++令1()()()M f t x t 1(()m x t N ≤≤x t β=+)，则1111()max ,M M f t m m N ββ⎧⎫N G ≤++⎨⎬⎩⎭=，所以 01()()(())LMM Mr y t y t h h y t G w≥--++ ，则 *021()lim inf ()()L M M M M t r h G w 2y t m G w h →+∞-+≥=+m >. 与前面讨论相仿，若0()2y t m ≥，则对有0t t ≥2()y t m ≥；否则，存在，当 4T T ≥34t T ≥时，有 2()y t m ≥.由上述证明可知，当满足条件(2-3-13)、(2-3-14)时，存在，当时，恒有((.因此Ω是系统(2-3-11)的正向不变集和最终有界集，故系统(2-3-11)是一致持久的.40T >4t T ≥),())x t y t ∈Ω§2.3.3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性下面假设(),(),(),(),a t b t c t r t 01(),(),(),()w t t h t h t β是[0,)+∞上连续的严格正函数，且有上下界，并且是周期为ω的光滑函数，则系统(2-3-11)是一个ω周期系统. 定理2.3.2 如果ω周期系统(2-3-11)满足条件(2-3-13)、(2-3-14)，则系统(2-3-11)至少有一个严格正的ω周期解.证明 {}12(),()((),())m x t N m y t M x t y t ≤≤≤≤Ω=为有界闭凸集，且为系统(2-3-11)的正向不变集，定义Pioncare 映射2:A R R 2++→，使得,00()(,)A x x x ω=02x R +∈,则映射A Ω到自身，即.由解对初值的连续依赖性可得映射是连续的.由Brouwer 不动点定理，在Ω中，A 至少存在一个不动点，相应地系统(2-3-11)至少存在一个严格正的()A Ω⊂ΩA ω周期解.定理2.3.3 若条件(2-3-13)、(2-3-14)成立，且系统(2-3-11)还满足21221122(1)M M M M M L LL L w M NM r r N b c m w m m βββ++++>++， (2-3-15) 2122111(1)M M LL L w N N h w m m ββ++>++ ， (2-3-16) 则系统(2-3-11)有唯一的、全局渐近稳定的ω周期正解. 证明设((),)()()x t z t y t =是系统(2-3-11)的ω周期正解，()((),())z t x t y t =是系统任一正解,构造Lyapunov 函数：()ln ()ln ()ln ()x t x t y t y t =-+-ln ()v t . 直接计算沿系统(2-3-11)的解的右上导数有()v t ()ln ()ln ()ln ()ln ()D v t D x t x t D y t y t +++≤-+- =(ln ()ln ())sgn(()())(ln ()ln ())sgn(()())d dx t x t x t x t y t y t y t y t dt dt--+--。

具有多时滞脉冲单种群系统的正周期解

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐｏｓｉｔｉｖｅｐｅｉｒｏｄｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｄｅｌａｙ；ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ；ｓｉｎｇｌｅ — ｓｐｅｃｉｅｓｓｙｓｔｅｍ
在实现生物资源可持续开发的前提下，追求最大产量或是最佳经济效益是人们对资源管理的两个基本
在上述模型中，如果考虑脉冲扰动的作用，便得到如下形式：Ｙ（ｔ）＝Ｙ（ｔ）［ｒ（ｔ）一ａ（ｔ）Ｙ（ｔ）一 ∑６（ｔ）Ｙ（ｔ — （ｔ））］，ｔ ≠ｔ
（２）
（１）
Ｙ（￡）＝（１＋）Ｙ（ｔ），ｔ＝ｔ，ｋ∈Ｚ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅａｓｉｎｇｌｅ — ｓｐｅｃｉｅｓｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈｍｕｌｔｉ — ｔｉｍｅｄｅｌａｙｓ．ＢｙｕｓｉｎｇｔｈｅＣＯ —
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＨｕｂｅｉＵｎｉｖｅｓｒｉｔｙｆｏｒＮａｔｉｏｎｌｉａｔｉｅｓ，Ｅｎｓｈｉ４４５０００，Ｃｈｉｎａ）
且：
Ｙ（ｔ）＝，［０，＋ ∞］），（０）＞Ｏ
（３）

具有时滞和年龄结构的非自治食蚜蝇-蚜虫模型的全局稳定性

证明设ｘ（ｔ），Ｙ（ｔ），Ｙ：（ｔ））为系统（３）的任意正解，由系统（３）的第一个方程得
） ≤ ）（）一（）），
由于（）≤ ｒ（）（）≤ ｒＭｘ（ｔ），在［ｔ一丁，］上积分，可知有ｘ（ｔ一。）≥ ｅ－ｒＭ＇ｒｌ（）．于是
（ｔ）＝一ｄｚｙ２（ｔ）＋ｋｄｙ１（ｔ），
２
２
讨论了系统平衡点及其稳定性和分支，但对正平衡点在时滞情况下没有给出理论分析，仅给出计算机模拟．
系统（２）为自治系统，描述环境因素是常定的情况，然而恒定的环境是不存在的，为了更精确地描述生态现象，我们建立如下时变系统
本文主要讨论该系统的全局稳定性．假定系统系数ｒ（ｔ）、Ｋ（ｔ）、ａ（ｔ）、ｂ（ｔ）、Ｃ（ｔ）、ｅ（ｔ）、ｄ（ｔ）、ｄ。（ｔ）、ｄ（ｔ）、（ｔ）为正的有界连续函数．为了方便起见，引入记号
意，＝堕
： பைடு நூலகம்
，＝
ｆＭ１
，
其中
ｍ
ｍ
ｒ
’
ｍ，．ｌ：
ｒｃ’ ｍ ∈ｌ＼ — ｆｚ一， — ｋ（ｄ） … Ｉｌ ’
∈
ｍ＝ｍｉｎ｛［－
Ｍ＋
＋］，１１＿（ｍ２ｄ￣一ｍｌｅＭ）｝．

一类具有收获的时滞单种群模型的稳定性

Ｃｒｅｐｎｉｇａｔｏ．Ｔｅ．：８ — ４９５１２３；ｆｘ：８ — ４９５１９９；ｅｍａｌｔｎｙｎ９６＠１６ｃｍｏｒｓｏｄｎｕｈｒ１＋６１— ３９６ａ＋６１— ３１８－ｉ：ｅｇｏｇ２３２．ｏ
一
类具有收获的时滞单种群模型的稳定性
滕勇，李石涛
（阳工业大学辽阳校区，宁辽阳１１０）沈辽１００
摘要：在生态系统ｑ，群的稳定性一直是研究的重点内容之一，虑了一类具有收获的离散单种群模型，－种考
自然界中存在着各种各样的生物资源，大多但数的生物种群都是多种群的，格意义的单种群在严
自然界中几乎是不存在的，由于人工饲养的原因，但在一定的环境中却可能存在着单种群资源。由于经
本文对具有收获的时滞单种群模型的稳定性进行研究，并采用数值模拟的方法对具有收获单种群状态给出定量描述，中可以看到只要适当的选择从收获，以使具有时滞的单种群处于长期的稳定状可
利用分枝定界法给出了平衡点局部稳定的充分条件，过数值模拟的方法给出种群数量随时间变化的频幅图，到通得
适当的控制收获能力可以使种群模型达到稳定状态。

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摘要：论了一类多时滞带反馈控制的非自治单种群模型正解的灭绝性，到了以积分形式描述的灭绝性的弱充讨得分条件，得出反馈控制对该种群的灭绝性是无害的。并关键词：时滞；馈控制；自治；种群；绝性多反非单灭中图分类号：４．；５．０１１１Ｏ１３１文献标识码：Ａ
第２８卷第３期２１００年６月
石河子大学学报（自然科学版）Ｊｕｎｌｆｈｅｉｎｖｒｉ｛ａｕａＳｉｃ）ｏｒａｏｉｚＵｉｓｙＮｔｒｌｃｎｅＳｈｅｔｅ
Ｖｏ．８ＮＯ３１２．
Ｊｎ２１ｕ．００
ＡｂｔａｔＥｘｉｔｏｎｏｏｓｔｖｏｌｔｏｏｌｓｎａｔｎｏｓｒｃ：ｔｎｃｉｆｐｉｉｅｓｕｉｎｓｆｒａｃａｓｏｆｎｏｕｏｍｏｕｉｌ— ｐｃｅｙｔｍｓｗｉｈｍｕｌｉｅｓｓｎｇｅｓｅｉｓｓｓｅｔｔｐｌｔｍｅｄｌｙｎｅｄｃｏｎｒｓｉｏｉｅｅ．Ｔｈｅｒｔｒｗｅｋｓｆｃｅｔｃｎｄｔｏｎｅｃｉｅｎｔｇａｉ — ｅａｓａｄｆｅｂａｋｃｔｏｌｓｃｎｓｄｒｄａｈｅａｕｆｉｉｎｏｉｉｓｄｓｒｂｄｂｙｉｅｒ —
ｉｏｕｄ．ｓｆｎＫｅｒｓ：ｕｔｐｌｉｅｄｌｙｆｅｂｋｃｎｔｏｌｎａｏｎｙｗｏｄｍｌｉｅｔｍ — ｅａｓ；ｅｄａｃｏｒ；ｏｎｕｔｏｍｏ；ｉｇｌ— ｐｅｉｓｓｓｅ；ｘｔｎｃｉｎｕｓｓｎｅｓｃｅｙｔｍｅｉｔｏ
ＴＡＮＧＨｏｇｉｇＨｏＮＧｎｎｎｂｎ。Ｙａｊ。ｕ
（１ＤｅｐｒｍｅａｈｅａｉｓＴｅｃｅｒＣｏｌｇｅＳｈｉｚＵｎｉｅｓｔＳｈｉｅｉ８３００ＣｈｉａｔｎｔｏｆＭｔｍｔｃ，ａｈｓ，ｌｅ，ｈｅｉｎｖｒｉｙ，ｈｚ２３，ｎａ；
Ｇｏａｓｍｙ和ＰｉｕｎＷｅｇ１提出并研究了一类ｐｌａｅｘａｎ＿
更多有关单种群反馈模型的研究见文献［ — ］６８
及所引文献。迄今为止，多时滞带反馈控制的非对自治单种群模型的持久性和灭绝性的研究相对较少。本文考虑如下多时滞带反馈控制的非自治单种群模型：
ｂｅｆｒｏｈｘｉｃｉｎａｅｏｔｉｅａｄｔｅｆｅｂｃｏｔｏｓａｅｈｒｌｓｏｈｘｉｃｉｎｏｐｃｅｌｏｍｎｔｅｅｔｎｔｒｂａｎｄ，ｎｈｅｄａｋｃｎｒｌｒａｍｅｓｆｒｔｅｅｔｎｔｆｅｉｓｏｏｓ
一
单种群反馈控制增长模型，到了模型存在全局吸得引正平衡点的充分条件；ａｎ和ＤａｉｇＦｎＹａｇｑｎＪａｇ２利用拓扑度方法得到了一类非自治反馈控ｉ『ｎ
２ＤｅａｔｎｆｕｓｎａｈｎＴｅｃｅｓＬｌｇ，ｈｈｚＵｎｎｅｓｔＳｉｅｉ３０３Ｃｈｎ）ｐｒｍｅｔｏＣｏｒｅａｄＴｅｃｉｇ，ａｈｒ，ｏｌｅＳｉｅｉｅｉｖｒｉｙ，ｈｈｚ８２０，ｉａ
基于自然的协调发展和生态资源的可持续发展，有时滞和反馈控制的生物模型的研究已成为具
一
何尾莲Ⅲ 通过ＲｕＸｕＩ等构造了一类新的Ｌａｉｓ］ｙ— ｐｎｖ泛函，ｕｏ研究了一类具时变离个新的热点。对具有时滞和反馈控制的单种群模
型，多学者对该类模型正周期解的存在性、周期许概
解以及全局渐进稳定性等动力学行为进行了比较详细的探讨，得到了一些很好的研究结果，如Ｋ并例
文章编号：０７７８（０００ — ３７０１０ — ３３２１）３０８ — ３
一
类多时滞带反馈非自治单种群模型的灭绝性
唐红兵洪燕君，
（１石河子大学师范学院数学系，河子８２０；２石河子大学师范学院课程教学系，石３０３石河子８２０）３０３
ＥｘｉｔｏｎａＣｌｓｆＮｏａｔｎｏｏｓＳｎｇｅＳｅｉｓＳｓｅｓｗｉｈｔｎｃｉｎｉａｓｏｎｕｏｍｕｉｌ－ｐｃｅｙｔｍｔ
ＭｕｔｐｌｍｅｄｌｙｎｄＦｅｄｂｃｎｒｌｌｉｅＴｉ－ｅａｓａｅａｋＣｏｔｏｓ