职高类对数与对数函数
对数与对数函数（高三复习课）
一、考纲透视：
1．能将指数形式和对数形式进行互化，知道对数的基本性质和简单应用。
2．认识两个恒等式的形式和特点，会用对数运算法则进行对数运算及求值。
3.知道对数函数的图象特点和性质，能利用所知求一些复合函数的定义域、奇偶性，会比较两个对数值的大小等。
4.会利用对数函数单调性解一些简单的指数方程和不等式。
二、备考指导：
（一）、知识回顾
1.对数
（1）对数的定义
一般地，如果啊（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是
b
a=N，那么b叫做以a为底
N的对数，记做log
a
N=b，a叫做对数的底数，N叫做真数。
b
a=N l o g
a
N=b（a＞0，a≠1）
底数的取值范围（0,1）∪（1，+∞）；真数的取值范围（0，+∞）
（2）对数的类型
常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便，N的常用对数10
log N简记作lgN。
自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…为底的对数，以e为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数log e N简记作lnN。
（3）对数的性质
①负数与零没有对数；②log
a 1=0（a＞0，a≠1）；③log
a
a=1（a＞0，a≠1）。
（4）对数恒等式、换底公式
①对数恒等式：如果把
b
a=N中的b写成log
a
N，则有
log
a
N
a=N（a＞0，a≠1）。
②对数的换底公式：log
a N=
log
log m
m
N
a
（a＞0，a≠1，m>0，m≠1，N>0）
（5）积、商、幂的对数运算法则：如果a＞0，a≠1，M>0，N>0有：
①log
a （MN）=log
a
M+log
a
N ②log
a
M
N
=log
a
M—log
a
N
③
log a n
M
=n
log a M （n ∈R ）
2.对数函数
（1）对数函数的定义 函数y=
log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数；对数函数y=log a x （a ＞0，a ≠1）的
定义域为（0，+∞），值域为（-∞，+∞）。 （2）对数的函数的图象
由于对数函数y=
log a
x 的图像与指数函数y=
x
a
的图像关于y=x 对称。因此，我们
只要画出和y=
x
a
的图像关于y=x 对称的曲线，就可以得到y=
log a x 的图像，然后根据
图像特征得出对数函数的性质。
（3）对数函数的性质
说明①函数y=
log a x 与y=1log a
x （a ＞0，a ≠1）的图像关于x 轴对称。②利用对数函数的单调性可以比较两个对数值的大小，还可以解一些简单的对数不等式和对数方程。 3.对数方程
（1）对数方程的定义
在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。 （2）一些特殊的对数方程的解法 ①形如
log a
f （x ）=b 的方程，可利用对数的定义，化成f （x ）=
b
a
的普通方程求解。
②形如
log a f （x ）=log a g （x ）的方程，利用对数性质，转化为f(x)=g(x)的形式求解。
③形如f （
log a x ）=0的方程，利用换元法求解，设t=log a x ，先解f （t ）=0，再由
log a
x=t 进一步解出x=
t
a
。
（二） 、典型例题
例1 求
9
log
27的值。
例2 求下列各式的值：
（1）3
log （
4
2
3
27⨯） （2）2log 18—22log 6 （3）16log 7·49
log 32
解（1）3
log （
4
2
3
27⨯）=3log （4
6
33⨯）=3
log
10
3
=10
（2）
2
log 18—2
2
log
6=
2
log
18—
2
log
36=
2
log
1
2
=—1 （3）
16
log
7·
49
log
32=
54
2
lg lg 7lg 75lg 25
4lg 22lg 78
lg lg 2
2
7
∙∙=
=∙（换底公式）
例3设a=
0.5
log
6.7，b=
2
log
4.3，c=
2
log 5.6，则a ，b ，c 的大小关系为（ A ）
A ．a 0.5 log 6.7< 0.5 log 1=0，b= 2 log 4.3> 2 log 1=0， c= 2 log 5.6> 2 log 1=0,可知a 是负数，而b 和c 都是正数，得a 最小，在根据 对函数y= 2 log x 在(0, +∞）为增函数，得 2 log 4.3< 2 log 5.6.所以a 例4.已知函数f （x ）= 211log x x +- （1） 求函数f （x ）的定义域 （2） 判断函数f （x ）的奇偶性并证明 解（1）要使函数解析式有意义，由对数函数的定义知 11x x +->0解得—1 2 log 11x x -+=2log 1 1()1x x -+-=— 211log x x +-=—f （x ） 所以，函数f （x ）为奇函数。 例5求解下列对数方程 （1） 2 log x +（ 2 2x +3x —2）=1 （2）lg （ 2 x —3）=lg （3x+1） （3） log a 2 2 1 x x x --+=0（a ＞0且a ≠1） 解：（1）原方程可化为 2 log x +（ 2 2x +3x —2）= 2 log x +（x+2） x=—2或x=—1 ⇔ ⇔ x>1 2 或x<—2 x>—2 ⇔x=1 故原方程的解为x=1 （2）原方程同解于 2 x —3=3x+1 x=4或x=—1 2 x —3>0 ⇔ x>或x< 3x+1>0 x>—13 ⇔x=4 故方程的解为x=4 2 322x x +-=x+2 2 322x x +->0 X+2>0 （3） 原方程同解于 l o g a 2 21 x x x --+=log a 1 2 2 1 x x x --+=1 x=—1或x=3 ⇔ 2 2 1 x x x --+>0 x>2 ⇔x=3 故原方程的解为x=3 （三）、课堂小结 本节课我们主要回顾了对数与对数函数的知识点，并通过一些典型例题为大家讲解了一些解题方法，希望大家能够掌握并能针对考纲进行复习。 （四）作业布置 基础模块训练本节内容 4.2.2对数函数应用举例导学案 【教学目标】 掌握利用对数函数的有关知识解决一些简单的函数应用问题. 【教学重点】 利用对数函数的有关知识解决一些简单的函数应用问题。 【教学难点】 通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义；根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，根据实际问题建立数学模型。 【自主学习】 数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．今天我们就一起来探讨几个有关对数函数的应用问题。 请同学们认真阅读下面的两个例题，然后合作完成下面两道题。 1、1995年我国人口总数是12亿，如果人口的自然增长率控制在1.25%。问哪一年人口总数将达到14亿？ 解：设x 年后人口总数将达到14亿， 则有12（1+1.25%）=14 即：1.0125=12 14 两边取常用对数可得：x=12 14 log 0125 .1 ≈12.4 答：13年后即2008年我国人口总数将达到14亿。 2、库存的某种商品的价值是50万元，如果每年的损耗是4.5%，那么经过多少年，它的价值将为20万元？ 解：设经过x 年它的价值将为20万元， 依题意有：50（1-4.5%）=20 ⇒50×0.955=20 ⇒ 0.955=0.4 4.0log 955.0=⇒x ⇒ x ≈20 答：经过20年它的价值将为20万元。 【例题1】 现有一种放射性物质经过衰变，一年后残留量为原来的84％，设每年的衰变速度不变，问该物质经过多少年后的残留量为原来的50％（结果保留整数）？ 解： 【例题2】 碳-14的半衰期为5730年，古董市场有一幅达芬奇（1452-1519）的绘画，测得 其碳-14的含量为原来的94.1％，根据这个信息，请你从时间上判断这幅画是不是赝品。 解： 对数与对数函数（高三复习课） 一、考纲透视： 1．能将指数形式和对数形式进行互化，知道对数的基本性质和简单应用。 2．认识两个恒等式的形式和特点，会用对数运算法则进行对数运算及求值。 3.知道对数函数的图象特点和性质，能利用所知求一些复合函数的定义域、奇偶性，会比较两个对数值的大小等。 4.会利用对数函数单调性解一些简单的指数方程和不等式。 二、备考指导： （一）、知识回顾 1.对数 （1）对数的定义 一般地，如果啊（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是 b a=N，那么b叫做以a为底 N的对数，记做log a N=b，a叫做对数的底数，N叫做真数。 b a=N l o g a N=b（a＞0，a≠1） 底数的取值范围（0,1）∪（1，+∞）；真数的取值范围（0，+∞） （2）对数的类型 常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便，N的常用对数10 log N简记作lgN。 自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…为底的对数，以e为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数log e N简记作lnN。 （3）对数的性质 ①负数与零没有对数；②log a 1=0（a＞0，a≠1）；③log a a=1（a＞0，a≠1）。 （4）对数恒等式、换底公式 ①对数恒等式：如果把 b a=N中的b写成log a N，则有 log a N a=N（a＞0，a≠1）。 ②对数的换底公式：log a N= log log m m N a （a＞0，a≠1，m>0，m≠1，N>0） （5）积、商、幂的对数运算法则：如果a＞0，a≠1，M>0，N>0有： ①log a （MN）=log a M+log a N ②log a M N =log a M—log a N 实数指数幂习题 练习4.1.1 1、填空题 （1）64的3次方根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ； （2）12的4次算术根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ； （3）38的平方根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 2、将根式转化为分数指数幂的形式，分数指数幂转化为根式 （1写成分数指数幂的形式 （2）将分数指数幂3 23写成根式的形式 （3 参考答案： 1、（1）4,3,64（2）412，4,12（3）±，2,8 2、(1) 1 39544.3 练习4.1.2 1计算2、化简：5352523b a b a ÷÷- 3、计算：2511343822(24)(24)- 参考答案： 1、2 3、82 练习4.1.3 1、指出幂函数y =x 4和y =x 3 1的定义域，并在同一个坐标系中作出它们的图像 2、用描点法作出幂函数y =x 31的图像并指出图像具有怎样的对称性 3、用描点法作出幂函数y =x 4的图像并指出图像具有怎样的对称性 参考答案： 1、略 2、略，关于原点对称 3、略，关于y 轴对称 4．2指数函数习题 练习4.2.1 1、判断函数y=4x 的单调性． 2、判断函数y=的单调性 3、 已知指数函数f(x)=a x 满足条件f(-2)=，求a 的值 参考答案： 1、增 2、减 3、2 练习4.2.2 1． 某企业原来每月消耗某种原料1000kg ，现进行技术革新，陆续使用价格较低的另一种材料替代该试剂，使得该试剂的消耗量以平均每月10%的速度减少，试建立试剂消耗量y 与所经过月份数x 的函数关系。 2．安徽省2012年粮食总产量为200亿kg ．现按每年平均增长10．2%的增长速度．求该省2022年的年粮食总产量(精确到亿kg)． 3． 一台价值10万元的新机床．按每年8%的折旧率折旧,问20年后这台机床还值几万元 参考答案： 1、y=1000(1-10%)x 2、y=200(1+10．2%)10 3、10(1-8%)20 对数习题 练习4.3.1 1、2的多少次幂等于8？ 2、3的多少次幂等于81？ 3、将10log 10003= 对数式写成指数式 参考答案： 1、3 2、4 3、3101000= 练习4.3.2、、lg 2lg5+= 人教版中职数学基础模块上册《对数与对数 函数》课件 (一) 随着信息技术和人工智能的发展，数学这门学科已经成为了无所不在 的一种知识，对于每一个人来说，学好数学都是非常有必要的。而在 数学学科中，对数与对数函数则是非常重要的一部分，是中职数学基 础模块上册《对数与对数函数》课件的核心内容。本文将从以下几个 方面来详细介绍这门课程的内容。 一、对数的基本概念 对数是一个非常重要的数学概念，在各种数值的计算中都有广泛的应用。对数的定义是：若a的正整数次幂等于N，那么，以a为底，N的 对数就是这个正整数。因此，对数的计算可以把大数的运算转化为小 数位数的运算，使运算更加容易进行。 二、对数运算规律 对数运算规律主要包括四个方面：对数的加、减、乘、除的运算规律。其中对数的乘法规律和除法规律是非常重要的，也是应用最广泛的。 在计算过程中，我们常常会用到对数的换底公式，以解决底数不同的 计算问题。 三、对数函数的图像与性质 对数函数是由幂函数演变而来，具有非常独特的图像和性质。对数函 数的图像属于“S”型曲线，在底数大于1时呈现上升趋势，在底数小 于1时则呈现下降趋势。对于对数函数，我们还有许多其他的性质， 如导数、反函数等，这些都是我们在计算中需要重点掌握的知识点。 四、对数函数的应用 对数函数在各种实际应用中都有广泛的应用。它可以用来表示分解式的特征，其底数可以用来表示速度比、功率比等一系列具有非常特殊意义的量。此外，在各种领域的数据处理中，也会经常使用到对数函数的计算方法。 总之，在中职数学基础模块上册《对数与对数函数》课件中，对数及其函数是一个非常重要的知识点。通过学习此课程，我们能够更好地掌握数学基础知识，进一步提升数学应用能力，在实际工作和生活中更好地应用数学知识。 职高指数函数与对数函数 引言 在数学中，指数函数和对数函数是两个十分重要的函数。在职业高中的数学学习中，学生们需要深入了解和掌握这两种函数的性质和应用。本文将对职高所学习的指数函数和对数函数进行全面、详细和深入的探讨。 一、指数函数 指数函数是一种形如f(x) = a^x的函数，其中a是任意正实数且不等于1。指数 函数的特点使其在许多领域都有广泛的应用。 1. 指数函数的定义 指数函数的定义如下： f(x) = a^x 其中a是底数，称为指数函数的底数，x是指数。 2. 指数函数的性质 指数函数具有以下几个重要的性质： - 当x为0时，指数函数的值为1； - 当x 为正数时，指数函数是递增的； - 当a大于1时，指数函数是严格递增的； - 当0小于a小于1时，指数函数是严格递减的。 3. 指数函数的图像与变化 指数函数的图像特点主要取决于底数a的大小和正负性。当a大于1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐上升；当0小于a小于1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐下降。 4. 指数函数的应用 指数函数在生活和实际问题中有着广泛的应用。例如，指数函数可以用来描述物质的衰减、生物的增长以及金融领域的复利等问题。在职业高中数学的学习中，学生可以通过应用指数函数解决与人口增长、贷款利息等相关的实际问题。 二、对数函数 对数函数是指以某个正实数a为底数的函数，其中a是不等于1的正实数。对数函数在各个领域中都有着重要的应用。 1. 对数函数的定义 对数函数的定义如下： y = logₐx 其中a是底数，x是函数的值。 2. 对数函数的性质 对数函数具有以下几个重要的性质： - 对数函数可以将指数运算转化为乘法运算；- 当x为1时，对数函数的值为0； - 当x为正数时，对数函数是递增的。 3. 对数函数的图像与变化 对数函数的图像特点主要取决于底数a的大小和正负性。当a大于1时，对数函数的图像在x轴的右侧逐渐上升；当0小于a小于1时，对数函数的图像在x轴的右侧逐渐下降。 4. 对数函数的应用 对数函数在实际问题中有着广泛的应用。例如，在科学中，对数函数可以用来描述各种物理现象，如地震的震级、声音的强度等。在职业高中数学的学习中，学生可以通过应用对数函数解决与科学实验、金融计算等相关的实际问题。 职高指数函数与对数函数 职高指数函数和对数函数是数学中常见的两类函数，它们在各自的领域中有着重要的应用和意义。 职高指数函数是指形如 y = a^x 的函数，其中 a 是一个常数，且 a 大于 0 且不等于 1。职高指数函数的特点是随着自变量 x 的增大，函数值 y 会呈现出指数级别的增长或减小。这种函数在经济学、生物学、物理学等领域中有广泛的应用，例如人口增长模型、生物种群增长模型等。 对数函数是指形如 y = log(x) 的函数，其中 a 是一个大于 0 且不等于 1 的常数。对数函数的特点是其自变量和因变量之间的关系是反转的，即 y = log(x) 等价于 a^y = x。对数函数主要用于解决指数方程和指数函数的问题，在数学、工程、计算机科学等领域中有广泛的应用。 职高指数函数和对数函数之间存在着一种互逆的关系。即对于职高指数函数 y = a^x，可以通过对数函数 y = log(x) 来求解 x 的值；而对于对数函数 y = log(x)，可以通过职高指数函数 y = a^x 来求解 x 的值。这种互逆的关系让职高指数函数和对数函数在一些问题的求解中起着互补的作用。 在实际应用中，职高指数函数和对数函数都有其独特的优势和适用范围。职高指数函数通常用于描述增长或衰减趋势，例如经济增长模型、病毒传播模型等；而对数函数则常用于解决指数方程和指数函数相关的问题，例如计算复利、解决指数方程等。 总之，职高指数函数和对数函数在数学中有重要的地位和应用。它们在描述增长趋势、解决指数方程等问题中起着关键的作用，为我们理解和解决实际问题提供了有力的工具和方法。 职高高一数学函数知识点及例题 一、函数的定义和基本性质 函数是将一个或多个自变量的值通过某种规则转化为相应的因变量的值的关系。在数学中，函数可以用方程、图表或者图形表示。 函数的基本性质包括： 1. 自变量和因变量：函数中自变量的值决定了因变量的值。自变量通常用x表示，因变量通常用y表示。 2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的所有可能取值，值域是函数对应的因变量可能的取值范围。 3. 一一对应：函数的定义域中的每个自变量值只对应一个因变量值，即每个x值只有唯一的y值与之对应。 4. 奇偶性：函数可以根据其关于y轴对称或关于原点对称来判断奇偶性。奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。 5. 单调性：函数的单调性可以分为递增和递减两种。递增意味着随着自变量增大，因变量也随之增大；递减则相反。 二、常见函数类型及其图像 1. 线性函数：线性函数的定义表达式为y = kx + b，其中k和b 为常数。线性函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，而截距则决定了直线和y轴的交点位置。 2. 幂函数：幂函数的定义表达式为y = x^n，其中n为常数。幂函数的图像形状与n的值有关，当n为正数时，图像增长迅速；当n为负数时，图像先上升后下降。 3. 指数函数：指数函数的定义表达式为y = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。指数函数的图像是递增的曲线。 4. 对数函数：对数函数的定义表达式为y = log_a x，其中a为常数且大于1。对数函数的图像是递增的曲线，与指数函数相反。 5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等。它们 的图像是周期性的波动曲线。 三、常见函数的例题 1. 问题：已知函数f(x) = 2x - 3，求f(4)的值。 解答：将x = 4代入函数表达式，得到f(4) = 2(4) - 3 = 5。因此，f(4)的值为5。 2. 问题：已知函数g(x) = x^2 + 3x - 2，求g(-1)的值。 解答：将x = -1代入函数表达式，得到g(-1) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = 2。因此，g(-1)的值为2。 3. 问题：已知函数h(x) = 3^x，求h(2)的值。 解答：将x = 2代入函数表达式，得到h(2) = 3^2 = 9。因此， h(2)的值为9。 高一数学对数与函数知识点 一、对数的基本概念 对数是数学中一种重要的运算符号，经常用于解决指数运算中 的问题。在高一数学中，对数是一个重要的知识点。它的基本概 念就是要通过对数运算，将一个指数问题转化为一个普通算术问题。 在数学中，以a为底的b的对数，记为logₐb，其中a称为底数，b称为真数。对数运算可以看作是指数运算的逆运算，即logₐb=c，等价于aᶜ=b。 二、对数的运算规则 对数运算有一些特定的规则，通过这些规则可以简化对数运算，使得计算更加方便。以下是一些常见的对数运算规则： 1.对数与指数的关系：logₐa=x，等价于a^x=a。 2.乘法规则：logₐ(M*N)=logₐM+logₐN。 3.除法规则：logₐ(M/N)=logₐM-logₐN。 4.幂的规则：logₐ(M^p)=p*logₐM。 5.换底公式：logₐb=logₓb/logₓa，其中a、b、x为正数，且a ≠ 1。 通过这些运算规则，可以在计算过程中将复杂的对数运算转化 为简单的算术运算，提高计算的效率。 三、指数函数与对数函数 指数函数是指以一个正数a(a>0且a≠1)为底的函数y=a^x。对 数函数是指数函数的逆运算，其中y=logₐx。在高一数学中，学生 会学习指数函数和对数函数的定义、性质、图像等内容。 指数函数和对数函数都是非常重要的函数，它们在数学中有广 泛的应用。例如在金融、物理、化学等领域，指数函数和对数函 数经常用于描述增长、衰减、半衰期等现象。 四、指数函数与对数函数的性质 指数函数和对数函数有一些重要的性质，这些性质在高一数学 中也是需要掌握的知识点。以下是一些常见的性质： 1.指数函数的图像：当a>1时，指数函数的图像呈现上升趋势；当0 4.1实数指数幂习题 练习4.1.1 1、填空题 （1）64的3次方根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ； （2）12的4次算术根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ； （3）38的平方根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 2、将根式转化为分数指数幂的形式，分数指数幂转化为根式 （1写成分数指数幂的形式 （2）将分数指数幂3 23写成根式的形式 （3 参考答案： 1、（1）4,3,64（2）412，4,12（3）±，2,8 2、(1) 1 39(2) 544.3 练习4.1.2 1计算2、化简：5352523b a b a ÷÷- 3、计算：2511343822(24)(24)- 参考答案： 1、2 3、82 练习4.1.3 1、指出幂函数y =x 4和y =x 3 1的定义域，并在同一个坐标系中作出它们的图像 2、用描点法作出幂函数y =x 31的图像并指出图像具有怎样的对称性 3、用描点法作出幂函数y=x4的图像并指出图像具有怎样的对称性 参考答案： 1、略 2、略，关于原点对称 3、略，关于y轴对称 4．2指数函数习题 练习4.2.1 1、判断函数y=4x的单调性． 2、判断函数y=0.5x的单调性 3、已知指数函数f(x)=a x满足条件f(-2)=0.25，求a的值 参考答案： 1、增 2、减 3、2 练习4.2.2 1．某企业原来每月消耗某种原料1000kg，现进行技术革新，陆续使用价格较低的另一种材料替代该试剂，使得该试剂的消耗量以平均每月10%的速度减少，试建立试剂消耗量y与所经过月份数x的函数关系。 2．安徽省2012年粮食总产量为200亿kg．现按每年平均增长10．2%的增长速度．求该省2022年的年粮食总产量(精确到0.01亿kg)． 3．一台价值10万元的新机床．按每年8%的折旧率折旧,问20年后这台机床还值几万元参考答案： 1、y=1000(1-10%)x 2、y=200(1+10．2%)10 3、10(1-8%)20 4.3 对数习题 练习4.3.1 1、2的多少次幂等于8？ 2、3的多少次幂等于81？ 3、将10 对数式写成指数式 log10003 中职数学“指数函数与对数函数”的教学研究作者：杨亚军 来源：《知识文库》2018年第16期 1 指数函数和对数函数在中职教育的目标教学 在数学函数当中最重要的内容无非是对数函数和指数函数，这两样函数有着不同之处，但是相关性和类似性也是很大的，中职教育中，这两种函数也是我们将要面对的特大的难题，老师在教学的途中经常会遇到很多的问题，正因如此，对于中职院校的老师来说，也是要对自身的教学手段和教学方式钻研增强，在数学教学过程中对数函数和指数函数的教学方法可以通过很多种有效的手段改进，从而将有效性与实践性在根本上提高。 首要目的就是将学生所理解和掌握对数函数和指数函数在中职教育相关的性质和定义，让其看懂甚至能够绘画出与其相关的图片，还要他们的原理解决一下简单的数学问题基于对他们性质和定义的了解，因为对数函数与指数函数这两个是紧密相连的定义，因此老师们要求学生在学习指数函数的同时多加了解对数函数的应用和了解，让他们认清这两个函数之间的联系和区别，了解他们的定义域，能够让学生们绘画出与其相像的正确的图片，学生们能够依据自己所了解的內容更加深入的明白这两个的性质和内涵，从而解决一些比较现实的内容基于自己的理解，过程中，老师应该注重的去提高学生们的观察能力和分析的能力，能够用相关的图片与这两个函数研究和对比，让学生观察出其不同，从而让他们有更对称和简洁的审美，让他们体会到数学学习的浓浓魅力，为提高他们的学习积极性从根本提起他们对数学的兴趣。 2 指数函数和对数函数有效性教学策略 2.1 注重因材施教，以学生为教学工作的根本。 不管对于对数函数还是指数函数来说，这两个都是函数中等级比较初等的类型，在学习函数越来越难的后续过程里，对数函数和指数函数最重要的就是打好基础，在别的方面来讲，需从根本上了解和扎实对数函数和指数函数的原理和应用，学生们能够及时发现函数的应用价值，让学生对数学学习函数有强烈的兴趣。归根结底来说，我们现实生活中发生的许多问题都可以用函数来解决，所以要求它的实践性，因此，在中职数学教学过程中教师必须转变教学观念，针对学生的实际情况对教学内容作出适当调整，重视教学内容的实用性，从而增加学生对数学的学习兴趣，提高其数学能力；从另一方面来说，不管是对数函数还是指数函数，他们资深都是拥有着很抽象意义的观点，如果学生们自身缺乏一定的理性思考能力，那么学生们通常情况下都无法做到将其全面的理解，由于大部分学生都是第一次接触学习对数与指数函数的感念，对于两个互为反函数他们之间的关系也非常的微妙，这在无形之中为学生们的理解与学习掌握增添了一定的难度，更不用去考虑令学生们在实际问题当中进行合理的运用他们了。这也是目前我国各校当中教师们进行教学时所考虑的最大难题，教师们应该做到以学生的角度进行 新模块职高数学第4章指数函数与对数函数复习题 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不得分） 1.下列函数，在其定义域内，既是奇函数又是增函数的是--------------------------------------------（ ） A. 12 y x = B. 2x y = C. 3 y x = D. 2log y x = 2.下列函数在其定义域内，既是减函数又是奇函数的是-----------------------------------------------（ ） A. 12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B. 2log 2x y = C. 2x y = D. 2log 2x y -= 3.下列关系式正确的是-----------------------------------------------------------------------------------------（ ） A ．013 212 log 32-⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B 。0 13212log 32-⎛⎫ << ⎪⎝⎭ C. 01 3 212 log 32- ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ D 。0 1 321log 322-⎛⎫ << ⎪⎝⎭ 4.三个数3 0.7、3log 0.7、0.7 3的大小关系是-------------------------------------------------------------（ ） A. 30.730.73log 0.7<< B. 30.7 30.7log 0.73<< C. 30.73log 0.70.73<< D. 0.73 3log 0.730.7<< 5.若a b >，则----------------------------------------------------------------------------------------------------（ ） A. 2 2 a b > B. lg lg a b > C. 22a b > D. >6.下列各组函数中，表示同一函数的是---------------------------------------------------------------------（ ） A. 2 x y x =与y x = B. y x = 与y =C. y x =与2log 2x y = D. 0 y x =与1y = 7. y x a =-与log a y x =在同一坐标系下的图象可能是----------------------------------------------（ ） 第四章 指数函数与对数函数 §4.1 实数指数幂 【知识要点】 1．n 次方根 如果x n =a （n ∈N +，且n >1），则称x 为a 的n 次方根；正数a 的正的n 次方根叫做a 的n 次算术根，记作n a 。当n a 有意义时，把n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 负数没有偶次方根，即当根式的根指数为偶数时，根式内应大于或等于零；零的任何次方根都是零。 根式具有以下性质： （1）a a n n =)(（n ∈N +，且n >1）。 （2）当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时⎩ ⎨⎧<-≥==).0(), 0(a a a a a a n n 2．分数指数幂与根式 a n （n ∈N +）叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。 当幂的指数推广到有理数时，规定： （1）n m n m a a = （m ，n ∈N +，且n >1，当n 为奇数时，a ∈R ，当n 为偶数时，a m ≥0）。 （2）n m n m n m a a a 1 1 = = - （n m a 有意义，且a ≠0）。 3．实数指数幂的运算法则 当我们将幂的指数推广到实数以后，其整数指数幂的运算法则仍然适用于实指数幂（见 在实指数幂运算法则中，对幂的底数进行了限制，即底数大于零，这是一般性限制。但对一些特殊的底数小于零的实指数幂，只要实指数幂有定义，实指数幂的运算法则仍适用， 如3)3() 3()3(5 3 5253 52-=-= -⋅-+。在运用上述运算法则进行计算或化简时，如遇根式，一般先 将根式转化为分数指数幂后，再进行计算或化简。 【基础训练】 1．计算 （1）2-2= ； （2）(a+1)0= (a ≠1)； （3）3 1278 ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛= ； （4）33)7(-= ； （5）5105= 。 2．将下列根式化为分数指数幂的形式 （1）32a = ； （2）7 3 1 b = ； （3） 5 3 ) (1 b a += 。 3．将下列分数指数幂化为根式 （1）3 2 2= ； （2）2 1 - a = ； （3）6 5) (- ab = 。 【能力训练】 1．计算 （1）402 16)(31--+⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-π （2）4 057 9()94()73(）÷⨯ 2．化简 （1）3 3 278-⎪⎭ ⎫ ⎝⎛a （a ≠0） （2）2)2(+x （x >-2）。 §4.2 幂函数 【知识要点】 1．幂函数的概念 形如y=x α（α∈R ，α≠0）的函数叫做幂函数，其中x 为自变量， α为常数。 为什么叫对数？ 指数跟对数关系是什么？ 一、对数的定义 一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N , 就是 N a b =，那么数 b 叫做 以a 为 底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 特别提醒： 1、对数记号log a N 只有在01a a ≠且>，0N >时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。 2、记忆两个关系式：①log 10a =；②log 1a a =。 3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便, N 的常用对数 N 10log ， 简记作：lg N 。 例如：10log 5简记作lg 5 5.3log 10简记作lg 3.5。 4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e 为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数。为了简便，N 的自然对数N e log ，简记作：ln N 。 如：3log e 简记作ln 3；10log e 简记作ln10。 二、对数运算性质： 如果 0,1,0,0,a a M N n R ≠∈>>> 有： log ()log log a a a MN M N =+log log log a a a M M N N =- log log () n a a M n M n R =∈ 特别提醒： 1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。如[]2log (3)(5)--是存在的，但[] 222log (3)(5)log (3)log (5)--=-+-是不成立的。 2、注意上述公式的逆向运用：如lg5lg 2lg101+==； 三、对数的换底公式及推论： 对数换底公式：()log log 0,1,0,1,0log m a m N N a a m m N a = ≠≠>>> 两个常用的推论: （1）1log log =⋅a b b a （2）1log log log =⋅⋅a c b c b a 四、两个常用的恒等式： N a N a =log ， log log m n a a n b b m = ()0,1,0,0a a b N ≠>>> 五、对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数。 六、对数函数的图像和性质： a >1 01a << 图 像 职高数学各章节知识点汇总 第一章 集合 一、集合的概念 1、集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性。 2、元素与集合的关系：A a A a ∉∈, 注：1、子集:一个集合中有n 个元素，则这个集合的子集个数为n 2，真子集个数为12-n 。 2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 三、集合之间的运算 1、交集：{}B x A x x B A ∈∈=且| 2、并集：{}B x A x x B A ∈∈=或| 3、补集：{}A x U x x A C U ∉∈=,|且 四、充要条件： q p ⇒，p 是q 的充分条件， q 是p 的必要条件。 q p ⇔，p 是q 的充要条件，q 是p 的充要条件。 第二章 不等式 一、不等式的基本性质： 1、加法法则： 2、乘法法则： 3、传递性： 4、移项： 二、一元二次不等式的解法 第四章 指数函数和对数函数 一、有理指数 1、零指数幂 规定：) 0(10 ≠=a a 2、负整指数幂 a a 1 1 = -； n n a a 1= - （+ ∈≠N n a ,0） 3、分数指数幂 n n a a =1 ； n m n m a a = ),,(为既约分数且n m N n m + ∈ 4、实数指数幂运算法则 n m n m a a a +=⋅； m n m n a a a -=； mn n m a a =)(；m m m b a ab =) ( （n m b a ,,0,0>>为任意实数） 二、指数函数 第四章指数函数与对数函数 4.1.1有理指数(一) 【教学目标】 1. 理解整数指数幂及其运算律，并会进行有关运算． 2. 培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力． 3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养学生合作交流等良好品质． 【教学重点】 零指数幂、负整指数幂的定义． 【教学难点】 零指数幂及负整指数幂的定义过程，整数指数幂的运算． 【教学方法】 这节课主要采用问题解决法和分组教学法．在引入指数幂时，以在国际象棋棋盘上放米 粒为导入素材，既体现数学的应用价值，也能引起学生的学习兴趣．从正整指数的运算法则 中的 a m a n＝a m-n (m＞n，a ≠ 0) 这一法则出发，通过取消m＞n的限制引入了零指数幂和负整指数幂的定义，从而把正整指 数幂推广到整数指数幂．在本节教学中，要以取消m＞n这一条件为出发点，让学生积极大 胆地猜想，以此增强学生的参与意识，从而提高学生的学习兴趣． 【教学过程】 环节教学内容师生互动设计意图 导入 在一个国际象棋棋盘上放一些米 粒，第一格放1粒，第2格放2粒， 第3格放4粒……一直到第64格，那 么第64格应放多少粒米？ 第1格放的米粒数是1； 第2格放的米粒数是2； 第3格放的米粒数是2×2； 第4格放的米粒数是2×2×2； 第5格放的米粒数是2×2×2×2； …… 第64格放的米粒数是2×2×2× (2) 学生在教师的引导下观察 图片，明确教师提出的问题，通 过观察课件，归纳、探究答案． 师：通过上面的解题过程， 你能发现什么规律？那么第64 格放多少米粒，怎么表示？ 学生回答，教师针对学生的 回答给予点评．并归纳出第64 格应放的米粒数为263． 师：请用计算器求263的值． 学生解答． 通过问题的引入 激发学生学习的兴 趣． 在问题的分析过 程中，培养学生归纳推 理的能力． 为引出a n设下伏 笔． 用计算器使问题 得到解决． 2个2 3个2 4个2 63个2对数函数应用举例导学案职业高中
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