四川省双流中学2021-2022学年高一下学期入学考试试题 数学 Word版含答案
四川省双流中学2021-2022学年度高一（下）入学考试数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷2共4页，共4页．满分150分．考试时间120分钟．务必将选择题和填空题答案写在答题卷的相应位置．第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案务必写在答题卷的相应位置．1．若sin 0α<，且tan 0α<，则α是（A ）第一象限角 （B ）其次象限角 （C ）第三象限角 （D ）第四象限角2．函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是 （A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π3．设函数21,1()2,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则((3))f f =（A ）15 （B ）3 （C ）23 （D ）1394．已知3=a ，2=b ，若3⋅=-a b ，则a 与b 的夹角为（A ）3π （B ）4π（C ）23π （D ）34π5．如图所示，向量OA =a ，OB =b ，OC =c ， 若3AC CB =-，则（A ）1322=-+c a b （B ）3122=-c a b（C ）2=-+c a b （D ）2=+c a b6．三个实数2334222()()log 333p q r ===，，的大小关系正确的是（A ）p q r >> （B ） q r p >> （C ） r p q >>（D ） p r q >>7．依据表格中的数据，可以判定方程20xe x --=的一个根所在的区间为x1-0 123 x e0.371 2.72 7.3920.09 2x + 1 2345（A ）(1,0)- （B ）(0,1) （C ）(1,2) （D ）(2,3)8．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化的状况：一种是即时曲线()y f x = ， 另一种平均价格曲线()y g x =，如(2)3f =表示股票开头买卖后2小时的即时价格为3元；(2)3g =表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示()y f x =，虚线表示()y g x =，其中可能正确的是（A ） （B ） （C ） （D ）9．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断削减，这种现象称为衰变．假设在某放射性元素的衰变过程中，其含量M 与时间t （单位：年）满足函数关系：0()ktM t M e -=（0,M k均为非零常数，e 为自然对数的底数），其中0M 为0t =时该放射性元素的含量，若经过5年衰变后还剩余90%的含量，则该放射性元素衰变到还剩余40%，至少需要经过（参考数据：ln0.2 1.61≈-，ln0.40.92≈-，ln0.90.11≈-）AOB（A ）40年 （B ）41年 （C ）42年 （D ）43年10．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，当0>x 时，121,02()1(2),22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程26[()]()10f x f x --=的实数根的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．答案务必写在答题卷的相应位置．11.已知()4,2a =，()6,y b =，且//a b ，则y = ．12.已知4cos 5α=，(0,)απ∈，则tan α= ．13.已知向量,,a b c 彼此不共线，且,,a b c 两两所成的角相等，若1=a ，1=b ，3=c ，则=a +b+c ．14.已知偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-上函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是_____________．15.设a ，b 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是 ①若a 与b 的夹角为60︒，则==-a b a b；②若==-a b a b ，则a 与a +b 的夹角为60︒； ③若+=-a b a b，则存在非零实数λ，使得λ=b a ；④若存在非零实数λ，使得λ=b a ，则+=-a b a b；⑤若a 与b 共线且同向，则⋅=a b a b．其中的正确的结论是 （写出全部正确结论的序号）．数学答题卷一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题：（每小题5分，共25分）11.________________. 12.________________. 13.________________.14.________________. 15.________________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） （Ⅰ）计算lg83lg5+；（Ⅱ）计算11203217(0.027)()(2)1)79----+-．17．（本小题满分12分）已知角α的终边经过点43(,)55P - （Ⅰ）求sin α的值；（Ⅱ）求sin()tan()2sin()cos(3)πααππαπα--⋅+-的值．18．（本小题满分12分）已知函数()sin(2)3f x x π=-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值. ． 19．（本小题满分12分）已知函数21()21x xf x -=+ （Ⅰ）试推断函数的单调性并加以证明；（Ⅱ）当a x f <)(恒成立时，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分13分）某电力公司调查了某地区夏季居民的用电量y （万千瓦时）是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，记作()y f t =，下表是某日各时的用电量数据：经长期观看()y f t =的曲线可近似地看成函数sin()(0,0)y A t B A ωϕϕπ=++><<． （Ⅰ）依据以上数据，求出函数sin()(0,0)y A x B A ωϕϕπ=++><<的解析式；（Ⅱ）为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高高峰时期的电价，同时降低低峰时期的电价，鼓舞企业在低峰时用电．若居民用电量超过2.25万千瓦时，就要提高企业用电电价，请依据（Ⅰ）的结论，推断一天内的上午8:00到下午18：00，有几个小时要提高企业电价？21.(本小题满分14分)对于函数(),(),()f x g x x ϕ 假如存在实数,a b 使得()()()x a f x b g x ϕ=⋅+⋅，那么称()x ϕ为(),()f xg x 的线性组合函数.如对于()1f x x =+，2()2g x x x =+，2()2x x ϕ=-，存在2,1a b ==-，使得()2()()x f x g x ϕ=-，此时()x ϕ就是(),()f x g x 的线性组合函数.（Ⅰ）设222()1,(),()23f x x g x x x x x x ϕ=+=-=-+，试推断()x ϕ是否为(),()f x g x 的线性组合函数？并说明理由；（Ⅱ）设212()log ,()log ,2,1f x xg x x a b ====，线性组合函数为()x ϕ，若不等式23()2()0x x m ϕϕ-+<在4x ⎤∈⎦上有解，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）设()91(),()1x f x x g x x ==≤≤，取,01a b =>，线性组合函数()x ϕ使()x b ϕ≥ 恒成立，求b 的取值范围．参考答案二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.3. 12. 34. 13.2. 14.1(0,]4. 15. ③⑤. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）3．…………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）45-．……………………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）35-．…………………………………………………………………………6分（Ⅱ）54．…………………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）令222()232k x k k ππππ-≤-≤π+∈Z 解得()1212k x k k π5ππ-≤≤π+∈Z 所以函数sin(2)3y x π=-的单调增区间为5[,]()1212k kk πππ-π+∈Z ……………6分（Ⅱ）由于[0,]2x π∈，所以2[0,]x ∈π，(2)[,]333x ππ2π-∈- 所以当233x ππ-=-，即0x =时，in(2)3y s x π=-取得最小值2-； 当232x ππ-=，即12x 5π=时，sin(2)3y x π=-取得最大值1 ……………12分 19．解析：（Ⅰ）函数122)(+-=x x xx f 的定义域为R ，函数)(x f 在R 上是增函数，设21,x x 是R 内任意两个值，并且21x x <则12122212)()(221121+--+-=-x x x x x f x f )12)(12()12)(12()12)(12(211221+++--+-=x x x x x x )12)(12()22(22121++-=x x x x ……………………………………………………………………5分 21x x < 2122x x <∴.0)12)(12()22(2)()(212121<++-=-∴=x x x x x f x f 即)()(21x f x f <∴ )(x f ∴是R 上的增函数．……………………………………………………………7分（Ⅱ）12211212)(+-=+-=x x x x f02>x 112>+∴x 22120<+>∴x02122<+<-∴x 121211<+-<-∴x即1)(1<<-x f ………………………………………………………………………10分 当1,)(≥<a a x f 恒成立时…………………………………………………………12分 20．解析：（Ⅰ）由表中数据，知12T =，6πω=．由 2.51.5A B A B +=⎧⎨-+=⎩，得0.5A =，2B = ∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)． 代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=． 故所求函数解析式为0.5sin()262y x ππ=++．…………………………………………5分 （Ⅱ）由题意知，0.5sin()2 2.2562x ππ++>．∴0.5sin()0.2562x ππ+>即1cos 62x π>． ∴22363k t k πππππ-+<<+（k ∈Z ）．∴212212k t k -+<<+（k ∈Z ）．………………………………………………………10分 ∵024t ≤≤，故可令0,1,2k =，得02t ≤<或1014t <<或2224t <≤．∴在一天内的上午8:00到下午18：00，有4个小时要提高企业电价．………………13分 22.(本小题满分14分)。
2021-2022学年四川省成都市双流区高一下学期期末考试数学试题(解析版)
四川省成都市双流区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的．） 1．设平面向量(3,6)AB =-，点(1,2)A -，则点B 的坐标为( ) A ．(2,4)-B ．(2,4)-C ．(4,8)-D ．(4,8)-〖解 析〗设O 为原点，则：(1,2)(3,6)AB OB OA OB =-=--=-，∴(1,2)(3,6)(2,4)OB =-+-=-，(2,4)B ∴-．〖答 案〗B 2．不等式01xx -<-的解集为( ) A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(-∞，1)(0-⋃，)+∞D ．(-∞，0)(1⋃，)+∞〖解 析〗不等式01xx -<-等价于(1)0x x ->，解得0x <或1x >， 即不等式的解集为(-∞，0)(1⋃，)+∞． 〖答 案〗D3．cos cos()sin sin()ααβααβ-+-等于( ) A ．cos(2)αβ-B ．cos(2)αβ-C ．cos βD ．cos β-〖解 析〗cos cos()sin sin()cos[()]cos ααβααβααββ-+-=--=． 〖答 案〗C4．若某圆锥的母线长3，底面周长为2π，则该圆锥的体积为( )A B C D 〖解 析〗设圆锥的底面半径为r ，则22r ππ=，即1r =．∴圆锥的高为h ==可得圆锥的体积21133V π=⨯⨯=．〖答 案〗A5．已知菱形ABCD 的边长为2，120D ∠=︒，则(AC BC ⋅= )A ．6B ．C ．2D ．-〖解 析〗由题意知，30ACB ∠=︒，||23AC =所以||||cos 2cos306AC BC AC BC ACB ⋅=⋅∠=⨯︒=． 〖答 案〗A6．若等比数列{}n a 中6a =11项的乘积为( )A ．32B ．C ．16D ．〖解 析〗等比数列{}n a 中6a =∴该数列前11项的乘积111112116a a a a ⋅⋅⋅⋅===〖答 案〗B7．若该多面体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．92π B ．12π C ．9π D ．36π〖解 析〗∴∴球的直径是正方体的对角线，3，∴球的半径是32r =，∴球的表面积为：249r ππ=． 〖答 案〗C8．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知向量1(n m a +=，)n S ，(1,2)n =，若12a =，且//m n ，则对于任意的*n N ∈，下列结论正确的是( ) A ．1n n a a +=-B ．123n n a a +=C ．1n n S S +=D ．123n n S S +=〖解 析〗//m n ，12n n S a +∴=，∴112n n a S +=，∴111322n n n n n n S S a S S S ++=+=+=，123n n S S +∴=． 〖答 案〗D9．我国古代数学著作《周髀算经》中记载了二十四节气与晷长的关系：每个节气的晷长损益相同．晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度，如图1所示，损益相同，即相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，且周而复始．二十四节气及晷长变化如图2所示．已知谷雨时节晷长为5.5尺，霜降时节晷长为9.5尺，则二十四节气中晷长的最大值为( )A ．14.5B ．13.5C ．12.5D ．11.5〖解 析〗设相邻两个节气暑长减少或增加的量为(0)d d >，则谷雨到夏至减少4d ，夏至到霜降增加8d ，则5.5489.5d d -+=，解得1d =，霜降到冬至增加4d ，所以冬至所对的晷长为9.5413.5+=尺， 所以二十四节气中晷长的最大值为冬至对应的晷长，是13.5尺． 〖答 案〗B10．在底面为等边三角形的三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥平面ABC ，2AB =，14AA =，D 是棱1CC 的中点，M 是四边形11ABB A 内的动点．若1//C M 平面ABD ，则线段1C M 长的最小值为( )A ．B ．2CD 〖解 析〗取1BB 、1AA 的中点F 、E ，连接1EC ，1FC ，EF ，如图，F 、D 分别为1AA ，1CC 的中点，1//FC AD ∴，1FC ⊂/平面ABD ，AD ⊂/平面ABD ，1//FC ∴平面ABD ，同理可得：1//EC 平面ABD ，111EC FC C =，∴平面1//C EF 平面ABD ，1//C M 平面ABD ，1C M ∴⊂平面1C EF ，即M ∈平面1C EF ，M 是四边形11ABB A 内的动点，M EF ∴∈，过点1C ，作1C M EF ⊥，此时1C M 值最小，1||EC =||1EM =，1||C M === 〖答 案〗D11．已知0x >，0y >，0z >，且23x y z ++=，则()xy x y z z +++的最大值为( ) A ．3BC ．32D〖解 析〗0x >，0y >，0z >，且23x y z ++=，23x y z ∴=-，0x >，0y >，0z >，∴23000y z y z ⎧->⎪>⎨⎪>⎩， 令t y z =+，y ∴，z 所表示的可行域如下所示（不包含阴影部分的边界），由图可知当y z t =-+过A 时t 取最大值，过(0,0)O 时t 取最小值，0t ∴<<0y z <+<()xy x y z z ∴+++23)23)y z y y y z y z z =-++-++22232y zy yz z =--+--2)2()y z y z =+-+232(2y z =-++，∴当y z +=时，()xy x y z z +++取得最大值，最大值为32． 〖答 案〗C12．设O 为ABC ∆的外心，且满足2340OA OB OC ++=，||1OA =，则下列结论中正确的个数为：( )①78OB OC ⋅=-；②6||2AB =；③2A C ∠=∠．A ．3B ．2C ．1D ．0〖解 析〗有题意可知：1OA OB OC ===． ①23402304OA OB OC OA B OC ++=⇒=--．两边同时平方得到：2224||9||16|0|24OA OB C OB OA =++⋅． 解得：78OB OC ⋅=-，故①正确．②23402254254OA OB OC OA OB OB OC AB OB OC ++=⇒-=--⇒=+． 两边再平方得到：224||25||16||40AB OB OC OB OC =++⋅． 结合第一问解得：6||2AB =．所以②正确． ③2340324OA OB OC BO OA OC ++=⇒=+．两边平方得到：222941616||||cos BO OA OC OA OC AOC =++∠． 解得：11cos 16AOC ∠=-． 同理可得：1cos 4AOB ∠=，7cos 8BOC ∠=-．2AOB C ∠=∠，2COB A ∠=∠．cos 2C ∴∠，7cos28A ∠=-． 2217cos42cos 12()1cos248C C A ∠=∠-=⨯-=-=∠．2A C ∴∠=∠．故③正确．〖答 案〗A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答 案〗填在答题卡上．） 13．已知等差数列{}n a 中，12a =-，529a a -=，则该数列前6项的和为 ． 〖解 析〗设等差数列{}n a 的公差为d ，因为529a a -=，所以52352a a d -==-，又12a =-，所以616(61)61245332S a d -=+⨯=-+=． 〖答 案〗3314．测量某建筑AB 的高时，可以选取与其底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，如图所示，现测得45CBD ∠=︒，60BDC ∠=︒，30ACB ∠=︒，100CD m =，则建筑物AB 的高为 m ．〖解 析〗在BCD ∆中，由正弦定理可得sin sin CB CDCDB CBD=∠∠，100sin sin CD CDBBC CBD⨯∠∴===∠在Rt ABC ∆中，30ACB ∠=︒，tan 50AB BC ACB ∴=∠==． 〖答 案〗5015．已知3sin22tan αα=，则cos2α的值为 ． 〖解 析〗因为3sin22tan αα=，所以2sin 6sin cos cos αααα=， 所以sin 0α=，或21cos 3α=，当sin 0α=时，2cos212sin 1αα=-=， 当21cos 3α=时，27cos22cos 19αα=-=-．〖答 案〗1，79-16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为棱BC ，1CC 的中点，G 是棱AB 上一点，且2AG GB =．过G ，E ，F 三点的平面截该正方体所得截面为 边形（横线上填多边形的边数），该截面多边形的面积为 ．〖解 析〗延长FE 与1B B 的延长线交于点H ，连接1A H ，延长EF 与11B C 的延长线交于点N ，因为E ，F 分别为棱BC ，1CC 的中点，所以ECF EBH ∆≅∆，ECF ∆≅△1NC F ，所以1BH CF ==，11C N EC ==， 因为11113BG HB A B HB ==，所以点1A ，G ，H 三点共线， 连接1A N ，设线段1A N 交线段11D C 于点Q ，连接QF ，则过G ，E ，F 三点的平面截该正方体所得截面为五边形1EFQAG ， 因为△1~NC Q △11NB A ，所以1111113C Q NC A B NB ==，所以112D Q C Q =，因为11A H A N HN ==1A HN 中边HN=，所以112A HNS=⨯ 因为119HGEFNQ A HN S S S ∆∆==，所以五边形1EFQAG的面积为17799A HNS = 〖答三、解答题（本大题共6小题，共70分．除第17题的满分为10分外，其余每个题的满分均为12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（10分）已知sin α=，(0,)2πα∈，求tan(2)4πα-的值．解：因为sin α=，(0,)2πα∈，所以cos α=，则1tan 2α=， 所以22122tan 42tan 21131()2tan ααα⨯===--，所以41tan 2113tan(2)4471tan 2tan 1143πααπα---===+⋅+⨯． 18．（12分）已知向量||1a =，13a b ⋅=，2a b +与a b -垂直．（Ⅰ）求||b 的值；（Ⅱ）求向量b 与a b +夹角的余弦值．解：（Ⅰ）因为2a b +与a b -垂直，所以(2)()0a b a b +⋅-=，即2220a a b b +⋅-=， 又||1a =，13a b ⋅=，所以2112||03b +-=，解得6||3b =．（Ⅱ）2121()333b a b a b b ⋅+=⋅-=-=-，2221||()21233a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯=， 设向量b 与a b +夹角为θ，则1()3cos ||||621b a b b a b θ-⋅+===⋅+⨯． 故向量b 与a b +夹角的余弦值为． 19．（12分）设函数()(3)()f x x x a =--，a R ∈． （Ⅰ）解关于x 的不等式()0f x <；（Ⅱ）当(3,)x ∈+∞时，不等式()9f x -恒成立，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）令()(3)()0f x x x a =--=，得1x a =，23x =， 当3a <时，()0f x <的解集为(,3)a ； 当3a =时，()0f x <的解集为∅； 当3a >时，()0f x <的解集为(3,)a ；（Ⅱ）由()9f x -可得：2(3)390x a x a -+++，即有239(3)x x x a -+-， 所以有239(3)x x x a -+-在(3,)x ∈+∞上恒成立，即22(3)39(3)3(3)9x a x x x x --+=-+-+在(3,)x ∈+∞上恒成立， 所以9(3)33a x x -++-， 又因为9(3)32(3)393x x x -++-=-， 当且仅当933x x -=-，即6x =时，等号成立． 所以a 的范围为(-∞，9]．20．（12分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．（Ⅰ）在下列三个条件中任选一个作为已知，将序号填在横线上 ① ，求角A ；①2cos 2a C b c =-；②cos sin b a C A =；③sin()sin2B Ca A B c ++=． （注：若选多个条件分别解答，按第一个解答给分．)（Ⅱ）若ABC ∆的面积为a 的值． 解：(I)若选①：2cos 2a C b c =-，则由正弦定理，得2sin cos 2sin()sin A C A C C =+-， 即2sin cos sin 0C A C -=， sin 0C ≠，0A π<<，1cos 2A ∴=，则3A π=．若选②：cos sin b a C A =，得sin sin cos sin B A C C A ==，sin()sin cos sin A C A C C A ∴+==，cos sin sin A C C A ∴=，tan A ∴0A π<<，3A π∴=．若选③：sin()sin 2B C a A B c ++=．sin sin sin sin()22AA C C π∴=-， 2sincos cos 222A A A ∴=，1sin 22A ∴=，∴26A π=，3A π∴=．(II)ABC ∴∆的面积为∴1()2a b c ++=24a b c ++=，又1sin 2cb A =，32bc ∴=， 在ABC ∆中，由余弦定理可得222222cos ()3(24)332a b c bc A b c bc a =+-=+-=--⨯， 解得10a =．21．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，等边三角形PBC ∆的重心为O ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，PA =E ，F ，M 分别是棱BC ，BP ，AP 的中点，D 是线段AM 的中点．（Ⅰ）求证：//MO 平面DEF ；（Ⅱ）求证：平面DEF ⊥平面PBC ． 证明：(I)连接PE ，则O 在PE 上，且2POOE=， M 是AP 的中点，D 是线段AM 的中点．∴2PMDM=， ∴2PO PMOE DM==，//OM DE ∴， OM ⊂/平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，//MO ∴平面DEF ；(II)90BAC ∠=︒，2AB AC ==，BC ∴=，AE =，PE ∴=，PO =，在PEA ∆中，cos 3APE ∠===在POM ∆中，由余弦定理可得222812cos 3233OM PM PO PM PO APE =+-⋅⋅∠=+-=，2222133PM PO OM ∴==+=+，90POM ∴∠=︒，OM PE ∴⊥， 2AB AC ==，E 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，PE BC ⊥，PEAE E =，BC ∴⊥平面PAE ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PAE ⊥平面PBC ，平面PAE ⋂平面PBC PE =，OM ∴⊥平面PBC ，DE ∴⊥平面PBC ，又DE ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面PBC ．22．（12分）对于数列{}n c ，若从第二项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于（小于或等于）同一个常数d ，则{}n c 叫做类等差数列，1c 叫做类等差数列的首项，d 叫做类等差数列的类公差．（Ⅰ）若类等差数列{}n c 满足*1(2,)n n c c d n n N --<∈，请类比等差数列的通项公式，写出数列{}n c 的通项不等式（不必证明）；（Ⅱ）若数列{}n a 中，113a =，212n n n a a a +=-．11 (i)判断数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为类等差数列，若是，请证明，若不是，请说明理由；(ii)记数列2{}n a 的前n 项和为n S ，证明：32321n n n S n n <++． 解：（Ⅰ）*1(1)(2,)n c c n d n n N <+-∈．（Ⅱ）()i 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是类等差数列．证明如下：212n n n a a a +=-，∴2111211122()22(22)21212n n n n n n n n n a a a a a a a a a +===+=+----， ∴111212n n na a a +-=-， 2120n n n a a a +=->，1n n a a +∴<，{}n a ∴是递减数列，11()3n max a a ==， 120n a ∴->，1120n a -->，11211(12)(12)(12)(12)(12)0n n n n n n a a a a a a a a +--∴=-=---⋅⋅⋅⋅->，103na ∴<， ∴1114()2201212(12)(12)n n n n n n a a a a a a -----=<----， 2{}12n a ∴-递减，22()6112123max n a ∴==--⨯，22()212120min n a ==--⨯， 11126n n a a +∴<-，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是类等差数列． (ii)证明：212n n n a a a +=-，∴212n n n a a a --=， 2222123n n S a a a a ∴=+++⋅⋅⋅+23341122222n n a a a a a a a a +----=+++⋅⋅⋅+112n a a +-=， 由(i)知1{}na 是类等差数列，结合()i 中结论得： 112363n n n a ++<+，且1103n a +<，1112(23)26(21)n a n n +∴-<--++， ∴11113(23)266(21)3(21)n a a n n n n n +-<-=+++， ∴3(23)3(21)n n n S n n <++，∴32321n n n S n n <++．。
2021-2022学年四川成都双流县双流中学下学期高二开学考试数学(文)试题(解析版)
2021-2022学年四川成都双流县双流中学下学期高二开学考试数学（文）试题一、单选题1．设命题p ：1x ∀<-，20x x +>，则p 的否定为（ ） A ．1x ∃<-，20x x +≤ B ．1x ∃≥-，20x x +≤ C ．1x ∀<-，20x x +≤ D ．1x ∀≥-，20x x +≤【答案】A【解析】根据全称命题的否定是特称命题即可写出p 的否定. 【详解】解：命题p ：1x ∀<-，20x x +>，p ∴的否定为：1x ∃<-，20x x +≤，故选：A.2．共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如下表所示：为调查共享单车使用满意率情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20~30岁的人数为（ ）.A ．12 B ．28 C ．69D ．91【答案】D【分析】根据分层抽样的概念即得.【详解】由分层抽样知，应抽取20~30岁的人数为20045.5%91⨯=（人）. 故选：D.3．下列求导运算错误的是（ ）. A ．1e e x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()21log ln 2x x '=C ．()33ln 3x x '=D ．()2sin 2cos x x x x '=【答案】D【分析】利用导数公式和运算法则判断【详解】解：A 选项中，()()()22e e e e 1ee e e x x x xxx x x x x xx x'''⋅-⋅-⋅-⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故正确； B 选项中，()21log ln 2x x '=，故正确； C 选项中，()33ln 3x x '=，故正确D 选项中，()()()2222sin sin sin 2sin cos x x x x x x x x x x '''=⋅+⋅=⋅+⋅，故错误， 故选：D.4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为0y +=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．3 BC．D ．9【答案】A【解析】由渐近线方程可知,a b 之间关系，将其转化为,a c 关系，即可得离心率. 【详解】因为渐近线方程为0y +=故22222883b cb ac a a a a==⇒-=⇒=. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线的,,a b c 之间的关系，本题涉及由渐近线斜率求解离心率的转换.5．已知命题:p x R ∃∈，212x x +<；命题q ：若210mx mx --<恒成立，则40m -<<，那么（ ） A ．“p ⌝”是假命题 B ．q 是真命题 C ．“p 或q ”为假命题 D ．“p 且q ”为真命题【答案】C【解析】先判断出命题,p q 的真假，再判断出非p 命题与复合命题的真假可得答案. 【详解】由2212(1)0x x x +-=-≥，所以212x x +≥恒成立，所以不存在x ∈R ，使得212x x +<，故p 为假命题，所以“p ⌝”是真命题，故A 不正确；若210mx mx --<恒成立，则0m =或2040m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得40x -<≤，故q 为假命题，故B 不正确；所以“p 或q ”为假命题，故C 正确；“p 且q ”为假命题，故D 不正确. 故选：C【点睛】关键点点睛：判断出命题,p q 的真假是本题的解题关键.6．某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min ），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[)0,5，[)5,10，…，[]35,40，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】从频率分布直方图中可以读出各个区间段的人数，据此逐一检查每个选项茎叶图的数据，排除法解决.【详解】共调查20名学生，[)0,5：0.015201⨯⨯=人，同理可得，[)5,10有1人，排除A ，[)10,15有4人，[)15,20有2人，[)20,25有4人，排除C ，D ，[)25,30有3人，[)30,35有3人，[)35,40有2人，经检验，B 选项中茎叶图数据符合. 故选：B7．我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，给出下列四个结论： ①第3天至第11天复工复产指数均超过80%； ②这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量； ③第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；④第1天至第3天复工指数的方差大于第2天至第4天复工指数的方差.其中所有正确结论的序号是（）.A．①③B．①②③C．②③D．②④【答案】A【分析】由折线图结合方差的概念依次判断即可.【详解】根据折线图知，第3天至11天复工复产指数均超过80%，11天期间，复工指数增量大于复产指数增量，故①正确，②错误；第9天至第11天复产指数增量大于复工指数增量，故③正确；对于复工指数来说，第1天至第3天数据波动比第2天至第4天的小，即方差更小，故④错误；综上所述，①③正确，故选：A.8．已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，527，989.据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）.A．0.25 B．0.2 C．0.35 D．0.4【答案】A【分析】利用随机模拟估计概率的方法求得正确答案.【详解】由题意得，这20组随机数中满足三次投篮恰有两次命中的数有：191，271，932，812，393共5种，所以概率50.2520p==.故选：A9．方程22132x ym m+=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A ．23m -<<B ．20m -<<C ．2m <-或3m >D ．32m -<<【答案】B【分析】求得方程22132x y m m +=-+表示双曲线的充要条件，从而确定正确答案.【详解】由于方程22132x y m m +=-+表示双曲线，32m m -<+，所以3020m m -<⎧⎨+>⎩，解得23m -<<，所以在ABCD 四个选项中，方程22132x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是20m -<<.故选：B10．执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝2524，则判断框内填入的条件不可以是A ．k≤7?B ．k ＜7?C ．k≤8?D ．k ＜8? 【答案】C【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k ，S 的值，当k=8时，退出循环，输出S 的值为2524，故判断框图可以填入的条件是k ＜8,由此得结果. 【详解】模拟执行程序框图，可得： S=0，k=0满足条件，k=2，S=12满足条件，k=4，S=12+14满足条件，k=6，S=12+1146+满足条件，k=8，S=12+1146++18=2524由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S 的值为2524． 结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k ＜8．所以不可以的是k≥8的所有k. 故选C ．【点睛】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S 值是解题的关键，属于基础题．11．若过椭圆22142x y +=内一点()1,1P 的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ） A ．210x y -+= B ．230x y --= C ．230x y +-= D ．230x y ++=【答案】C【分析】设出端点，代入椭圆，两式作差，变形，即可得到直线的斜率，再由点斜式写出直线即可．【详解】设弦两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，则221122221? 421? 42x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①-②得1212121212()2y y x x k x x y y -+==-=--+ 即直线为11(1)2y x -=-- 化简得+230x y -= 故选C【点睛】本题考查根据椭圆中弦的中点求弦所在的直线，解决本类题的思路是点差法：设点-作差-变形，根据中点坐标，即可求出所在直线的的斜率，即可写出直线，属于基础题．12．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为（ ）A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x【答案】C【分析】过点A ，B 分别作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三角形求解．【详解】如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由抛物线定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1，|FC |＝3a ＝3，所以p ＝|FG |＝12|FC |＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x ， 故选：C.二、填空题13．曲线23ln y x x =-在点()1,1处的切线方程为_________．【答案】2y x =-+【解析】求导，根据导数的几何意义，求得切线的斜率，代入直线的点斜式方程，化简整理，即可得答案.【详解】由题意得：32y x x'=-(0)x >， 所以切线的斜率1231x k y ===-=-'，又切点为()1,1， 所以切线方程为11(1)y x -=--，即2y x =-+， 故答案为：2y x =-+14．已知动圆M 与直线2y =-相切，且与定圆C ：()2231x y +-=外切，那么动圆圆心M 的轨迹方程为_______. 【答案】212x y =【分析】根据动圆M 与直线2y =-相切，且与定圆C ：()2231x y +-=外切，可得动点M 到(0,3)C 的距离与到直线3y =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．【详解】解：方法一：由题意知，设(),M x y ，21y =++， 2226969x y y y y +-+=++，解得212x y =.方法二：由题意知，动点M 到()0,3C 的距离比到2y =-的距离多1， 则动点M 到()0,3C 的距离与到3y =-的距离相等， 根据抛物线的定义，3y =-为准线，()0,3为焦点， 设抛物线为22x py =，32p ，6p ，故212x y =. 故答案为：212x y =.15．若函数()36f x x x m =-+恰有2个不同的零点，则实数m 的值是_________.【答案】-【分析】由题可得()316f x x x =-与()2f x m =-，恰有2个交点，利用导数研究函数的性质即得.【详解】因为()36f x x x m =-+恰有2个不同零点，故函数()316f x x x =-与()2f x m =-，恰有2个交点，对于()316f x x x =-，()2136f x x '=-，由()10f x '>，得x x <由()10f x '<，得x < 所以当x 变化时()1f x '，()1f x 变化如下：因为()1f x 与()2f x 恰有两个交点，又1f ==-(f =故1m f -=，或(1m f -=，所以m =m =-故答案为：-16．若()0A y -是直线()00l y a a ++=>上的点，直线l 与圆(()22:212C x y ++=相交于M 、N 两点，若MCN ∆为等边三角形，则过点A 作圆C 的切线，切点为P ，则AP =__________．【答案】【分析】由MCN ∆为等边三角形，以及圆C 的圆心坐标和半径，即可求出a ，再将A 点坐标代入直线l 的方程，即可求出0y ，再由两点间距离公式求出AC 的长，根据AP =.【详解】因为MCN ∆为等边三角形，圆C 的圆心为)2C-，半径为r =，所以根据点C 到直线l 3=16a +=，因为0a >，所以5a =，所以直线l 50y ++=，又()0A y -在直线l 上，所以0950y -++=，所以04y =，即()4A -，所以AP .故答案为【点睛】本题主要考查直线与圆的综合问题，结合点到直线的距离公式，以及两点间距离公式，即可求解，属于常考题型.三、解答题17．求下列函数的单调区间. (1)()ln f x x x =.(2)()e xf x x=.【答案】(1)减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)减区间为：(),0∞-和()0,1，增区间为()1,+∞【分析】利用导数求得（1）（2）中函数的单调区间.【详解】(1)()f x 的定义域为()0,∞+，()'1ln f x x =+，所以()f x 在区间()()'10,,0,e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'1,,0,e f x f x ⎛⎫+∞> ⎪⎝⎭递增.所以()f x 的减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)()f x 的定义域为{}|0x x ≠， ()()22e e e 1x x xx f x x x x⋅-'==⋅-，所以()f x 在区间(),0∞-和()0,1，()()'0,f x f x <递减；在区间()1,+∞，()()0,f x f x '>递增.所以()f x 的减区间为：(),0∞-和()0,1，增区间为()1,+∞.18．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[)25,55岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为：非低碳族“，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： 组数 分组低碳族的人数 占本组的频率 1[)25,30 1200.62 [)30,35195 p3[)35,40100 0.54[)40,45a 0.45[)45,50 30 0.36 [)50,5515 0.3（1）补全频率分布直方图，并求n ，a ，p 的值；（2）从[4050,）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，求选取的3名领队中年龄都在[4045,）岁的概率．【答案】（1）1000n =，60a =，0.65p =；（2）15．【分析】（1）由频率分布直方图求出第二组的概率，由此能补全频率分布直方图，并求n ，a ，p 的值．（2）采用分层抽样法抽取6人，[4045,）岁中有4人，[4550，）岁中有2人．由此能求出选取的3名领队中年龄都在[4045,）岁的概率．【详解】（1）第二组的概率为()10.040.040.030.020.0150.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：第一组的人数为1202000.6=，频率为004502..⨯=，所以20010000.2n ==． 由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==， 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=；（2）因为[4045,）岁年龄段的”低碳族“与[4550，）岁年龄段的”低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取6人，[4045,）岁中有4人，记为a b c d ,,,，[4550，）岁中有2人，记为,A B ．由于从6人中选取3人作领队的所有可能情况 有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,;a b c a b d a b A a b B a c d a c A a c B a d A a d B a A B ()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,;b c d b c A b c B b d A b d B b A B()()(),,,,,,,,;c d A c d B c A B (),,d A B 共20种，其中从[4045,）岁中的4人中选取3名领队的情况有()()()(),,,,,,,c,d ,b,c,d a b c a b d a 4种， 故所求概率为41205=． 19．已知一圆的圆心C 在直线210x y +-=上，且该圆经过()3,0和()1,2-两点. （1）求圆C 的标准方程；（2）若斜率为1-的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，试求ABC 面积的最大值和此时直线l 的方程.【答案】（1）()2214x y -+=（2）最大值2，10x y ++=或30x y +-=.【分析】（1）方法一、求得AB 的垂直平分线方程与已知直线联立，求得圆心，可得半径，即可得到所求圆的方程；方法二、设圆C 的方程为222()()x a y b r -+-=，将点代入可得a ，b ，r 的方程组，解方程可得圆的方程；（2）直线l 与圆C 相交，设直线l 的方程为0x y m ++=，求得圆心到直线的距离和弦长，由三角形的面积公式，化为关于2d 的二次函数，求得最值，进而求得m ，可得所求直线方程；【详解】（1）方法一：()3,0和()1,2-两点的中垂线方程为：10x y +-=，圆心必在弦的中垂线上，联立21010x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得()1,0C ，半径2r =，所以圆C 的标准方程为：()2214x y -+=. 方法二：设圆C 的标准方程为：()()222x a y b r -+-=， 由题得：()()()()2222222103012a b a b r a b r ⎧+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+--=⎪⎩，解得：102a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以圆C 的标准方程为：()2214x y -+=.（2）设直线l 的方程为0x y m ++=，圆心C 到直线l 的距离为d ，∴d =()0,2d ∈，AB =ABC面积12S d AB ===∴当22d=，()0,2d 时，S 取得最大值2=1m =或3-所以，直线l 的方程为：10x y ++=或30x y +-=.【点睛】本题考查圆的求法，注意运用待定系数法和几何法，考查三角形的面积的最值求法，注意运用二次函数的最值求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 20．某品牌2021款汽车即将上市，为了对这款汽车进行合理定价，某公司在某市五家4S 店分别进行了两天试销售，得到如下数据：(1)分别以五家4S 店的平均单价与平均销量为散点，求出单价与销量的回归直线方程ˆˆˆybx a =+. (2)在大量投入市场后，销量与单价仍服从（1）中的关系，且该款汽车的成本为12万元/辆，为使该款汽车获得最大利润，则该款汽车的单价约为多少万元（保留一位小数）？ （附：对于一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计值分别为()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.）【答案】(1)ˆ20449yx =-+ (2)17.2万元.【分析】（1）根据回归直线方程的计算方法，计算出回归直线方程.（2）先求得利润的表达式，然后利用二次函数的性质求得利润最大时汽车的单价. 【详解】(1)五家4S 店的平均单价和平均销量分别为()18.3,83，()18.5,80，()18.7,74，()18.4,80，()18.6,78，∴18.318.518.718.418.618.55x ++++==，8380748078795y ++++==，∴()()()0.24010.250.110.112ˆ200.0400.040.010.010.1b-⨯+⨯+⨯-+-⨯+⨯--===-++++. ∴()ˆˆ792018.579370449ay bx =-=--⨯=+=， ∴ˆ20449yx =-+. (2)设该款汽车的单价应为x 万元，则利润()()()21220449206895388f x x x x x =--+=-+-，故当()68917.2220x =-≈⨯-时，()f x 取得最大值.∴要使该款汽车获得最大利润，该款汽车的单价约为17.2万元.21．已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A (2，y 0)是E 上一点，且|AF |＝2.（1）求E 的方程；（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线y ＝x －3交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点. 【答案】（1）x 2＝4y ；（2）证明见解析.【解析】（1）利用抛物线的定义与性质求得p 的值，即可写出抛物线方程；（2）设点()11,B x y 、()22,M x y ，由直线BM 的方程和抛物线方程联立，消去y ，利用韦达定理和A 、P 、B 三点共线，化简整理可得BM 的方程，从而求出直线BM 所过的定点．【详解】（1）由题意得002224p AF y py ⎧=+=⎪⎨⎪=⎩，解得021p y =⎧⎨=⎩，所以，抛物线E 的标准方程为24x y =. （2）证明：设点()11,B x y 、()22,M x y ，设直线BM 的方程为y kx b =+，联立24y kx bx y =+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx b --=，由韦达定理得124x x k +=，124x x b =-，由MP x ⊥轴以及点P 在直线3y x =-上，得()22,3P x x -， 则由A 、P 、B 三点共线，得21214122x kx b x x -+-=--， 整理得()()()12121241260k x x k x b x b ---++--=， 将韦达定理代入上式并整理得()()12230x k b -+-=， 由点B 的任意性，得230k b +-=，得32b k =-，所以，直线BM 的方程为()2323y kx k k x =-+=-+，即直线BM 过定点()2,3. 【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的位置关系，以及直线过定点的应用问题，利用韦达定理处理由A 、P 、B 三点共线是解第二问的关键，是中档题． 22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点()0,2P 的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求AOB （O 为原点）面积的最大值. 【答案】(1)2213x y +=【分析】（1）由焦距为31,22⎛⎫⎪⎝⎭，能得到a b ，的关系式，则能求出椭圆的方程；（2）设直线AB 为2y kx =+，将直线AB 的方程与椭圆的方程进行联立，消去y 得()2131290k x kx +++=，再由根的判别式和韦达定理能够求出三角形面积的最大值【详解】(1)由2222c c a b ==-=① 由椭圆C 经过点31,22⎛⎫⎪⎝⎭，得2291144a b +=②，联立①②，解得1b =，a = ∴椭圆C 的方程是2213x y +=.(2)由题意可知直线AB 一定存在斜率， 设其方程为2y kx =+，联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2131290k x kx +++=， 则2214436130k k ∆=-+>（），得21k >， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221213kx x k +=-+，122913x x k ⋅=+， ∴AOB POB POA S S S =-△△△12122x x =⨯⨯-12x x =-，∵()()221212124x x x x x x -=+-⋅22212361313k k k ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭()()22236113k k -=+， 设21k t -=（0t >），则()()21223634tx x t -=+3616924t t=++≤34=， 当且仅当169t t =，即43t =时等号成立， 此时2713k =>，符合题意， 此时AOB。
2021-2022学年高一下学期开学考试数学试卷含解析
2021-2022学年高一下学期开学考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量(1,1)a =，(2,3)b =，且a b +与2ka b -共线，则k =（ ） A ．2-B ．12-C ．1D ．22．已知在三角形ABC 中，4BC =，2AB AC =，则AB AC ⋅的取值范围是（ ） A ．32,329⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．32,329⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()0,32D ．[)0,323．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =1sin 2B =，6C π=，则边c =（ ） A．2BC D ．14．已知复数z 满足(13i)42i z ⋅+=+，则||z =（ ）AB C ．2D 5．已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量X 表示摸球8次后的总分值，则()D X =（ ） A ．8B ．169C ．163D ．166．如图所示是水平放置的ABC ∆的直观图，A B y '''轴，A B A C =''''，则ABC ∆ 是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形7．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，160AD D ∠=︒，145CDC ∠=︒，那么异面直线1AD 与1DC 所成角的正弦值是（ ）A 4B C D 8．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12πB ．20πC ．24πD ．32π二、多选题9．某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A ，投中三分球为事件B ，没投中为事件C ，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）A ．()0.55P A =B ．()0.18P B =C ．()0.27P C =D ．()0.55P B C +=10．如图，在棱长均相等的正四棱锥P ABCD -中，M 、N 分别为侧棱PA 、PB 的中点，O 是底面四边形ABCD 对角线的交点，下列结论正确的有（ ）A ．//PC 平面OMNB ．平面//PCD 平面OMNC ．OM PA ⊥D ．PD ⊥平面OMN11．为了解某地高一学生的期末考试语文成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图（各组区间均为左闭右开），已知不低于90分为及格，则（ ）A ．0.002a =B ．这100名学生期末考试语文成绩的及格率为55%C ．0.001a =D ．这100名学生期末考试语文成绩的及格率为60% 12．下列说法错误的有（ ）A ．如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a b +的方向必与a 或b 的方向相同B ．在ABC 中，必有0AB BC CA ++=C ．若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 一定为一个三角形的三个顶点D ．向量,a b 的夹角为60︒，||2,||1a b ==，则|2|23a b +=三、填空题13．已知平面向量,a b ，若向量a 在向量b 方向上的投影为1-，向量b 在向量a 方向上的投影为12-，且||1=b ，则||a b -=__________．14．如图，在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面.若圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于_____.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，四个侧面都是顶角为15的等腰三角形，侧棱长均为,,,a E F G 分别是,,PB PC PD 上的点，则四边形AEFG 周长的最小值为__________．16．定义一个同学数学成绩优秀的标准为“连续5次数学考试成绩均不低于120分（满分150分）”.现有甲､乙､丙三位同学连续5次数学考试成绩的数据（数据都是正整数）的描述：①甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128； ①乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121；①丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125. 则数学成绩一定优秀的同学是___________.四、解答题17．已知向量a 、b 的夹角为4π，且1a b ==，（1）求a b +的值；（2）求a 与a b +的夹角的余弦.18．已知某区A 、B 两所初级中学的初一年级在校学生人数之比为9:11，该区教育局为了解双减政策的落实情况，用分层抽样的方法在A 、B 两校初一年级在校学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：(1)在抽取的100名学生中，A、B两所学校各抽取的人数是多少？(2)该区教育局想了解学生做作业时间的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和做作业时长超过3小时的学生比例，请根据频率分布直方图，估计这两个数值；(3)另据调查，这100人中做作业时间超过3小时的人中的20人来自A中学，根据已知条件填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为“做作业时间超过3小时”与“学校”有关？附表：附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.19．在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin a b C B =． (1)求B ；(2)若b =①ABC 的面积的最大值．20．如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，2DA DC ==，13DD =，点E 是1D C 的中点.(1)求证：1AD ∥平面EBD ； (2)求三棱锥1D BDE -的体积.21．在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为34，23，12，乙队中每人答对的概率均为23，且各人回答问题正确与否互不影响. (1)分别求甲队总得分为1分和2分的概率； (2)求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率.22．一个四棱锥木块如图所示，点O 在△PBC 内，过点O 将木块锯开，使截面平行于直线PC 和AB ，请作出截面，即画出截面与木块表面相交的每条线段，并说明作法及理由．参考答案：1．A【分析】计算a b +和2ka b -的坐标，由向量共线的坐标表示列方程即可求解. 【详解】因为(1,1)a =，(2,3)b =，所以(3,4)a b +=．2(,)(4,6)(4,6)ka b k k k k -=-=--， 因为a b +与2ka b -共线， 所以3(6)4(4)0k k ---=， 解得：2k =-， 故选：A. 2．A【分析】根据三角形三边关系得到AC 的取值范围，再利用余弦定理表示出cos CAB ∠，最后根据平面向量数量积的定义计算可得；【详解】解：因为4BC =，2AB AC =，所以44AB AC AB AC ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，即2424AC AC AC AC ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，解得443AC <<，由余弦定理222cos 2AC AB BC CAB AC AB+-∠=⋅，所以222222cos 22AC AB BC AC AB BC AB AC AB AC CAB AB AC AC AB +-+-⋅=⋅∠=⋅⋅=⋅ 25162AC -=，因为443AC <<，所以216169AC <<，所以2516323292AC --<<，即32,329AB AC ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭；故选：A 3．D【分析】求出三角形的三个内角，然后由正弦定理得结论． 【详解】因为1sin 2B =且5π0,6B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6B π=，23A BC ππ=--=． 又a =sin sin a c A C=sin sin 36cπ=，解得1c =．故选：D ． 4．A【分析】根据复数的除法运算，以及复数的模运算，即可求解.【详解】解：()()()()42i 13i 1010i 1i13i 13i 10z +--===-+-，故1i z =+,所以||z = 故选：A 5．D【分析】先利用古典概型概率计算公式求出从袋中随机取出一球，该球为红球的概率，然后利用二项分布的方差计算公式得到有放回地摸球8次摸到红球的个数Y 的方差，因为3X Y =，利用方差的性质即可得到答案【详解】由题意，袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，从袋中随机取出一个球，该球为红球的概率为41=123，现从中有放回地摸球8次，每次摸球的结果不会相互影响，表示做了8次独立重复试验，用Y 表示取到红球的个数，则1(8,)3Y B 故：1116()8(1)339D Y 又因为3X Y = 根据方差的性质可得： 16()(3)9()9169D X D Y D Y故选：D 6．A【分析】由直观图得到①BAC=90°，且AB≠AC ，所以①ABC 是直角三角形. 【详解】因为A B y '''轴，所以①BAC=90°，因为A B A C =''''，直观图中与y '轴平行的线段是原长度的12，与x '轴平行的线段与原长度相等， 所以AB≠AC.所以①ABC 是直角三角形. 故选A【点睛】本题主要考查斜二测画法和直观图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7．A【分析】连接1,BC BD ，则1BC D ∠异面直线1AD 与1DC 所成角，然后在1BC D 中求解即可【详解】连接1,BC BD ，则1BC D ∠异面直线1AD 与1DC 所成角， 设1CC a =，因为160AD D ∠=︒，145CDC ∠=︒，所以,AD CD a ==，所以2BD a ，12BC a =，1C D ===， 所以由余弦定理得2221cos BC D ∠=因为1090BC D ︒<∠≤︒，所以1sin BC D ∠=所以异面直线1AD 与1DC 故选：A8．B【分析】先分析出三棱锥P ABC -的外接球就是一个长方体的外接球，直接求出长方体的外接球的半径为R ，求出球O 的表面积.【详解】将三棱锥P ABC -放在一个长方体中，如图示：则三棱锥P ABC -的外接球就是一个长方体的外接球，因为2PA AB ==，4AC =，ABC 为直角三角形，所以BC =设长方体的外接球的半径为R ，则()22441220R =++=，故25R =. 所以外接球的表面积为2420S R ππ==. 故选：B.【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法． 9．ABC【分析】求出事件A ，B 的频率即得对应概率，再用互斥事件的加法公式计算，然后逐一判断得解.【详解】依题意，55()0.55100P A ==，18()0.18100P B ==， 显然事件A ，B 互斥，()1()1()()0.27P C P A B P A P B =-+=--=， 事件B ，C 互斥，则()()()0.45P B C P B P C +=+=， 于是得选项A ，B ，C 都正确，选项D 不正确. 故选：ABC 10．ABC【分析】A 选项，由中位线证明线线平行，推导出线面平行；B 选项，在A 选项的基础上证明面面平行；从而推导出D 错误；由勾股定理的逆定理得到PA PC ⊥，从而得到OM PA ⊥. 【详解】因为O 为底面四边形ABCD 对角线的交点， 所以O 为AC 的中点，由M 是PA 的中点，可得∥PC MO ，因为PC⊄在平面OMN，OM⊂平面OMN，PC平面OMN，A正确；所以//PD平面OMN，同理可推得//⋂=，而PC PD PPCD平面OMN，B正确；所以平面//因为PD⊂平面PCD，故PD不可能垂直平面OMN，D错误；设该正四棱锥的棱长为a，则,PA PC a AC，===⊥，所以PA PCPC MO，因为∥⊥，C正确.所以OM PA故选ABC．11．AD【分析】根据直方图的规则，先算出a，再根据直方图算出及格率.【详解】依题意可得：20a=1-20×（0.006+0.008+0.014+0.02）=0.04，即a=0.002；及格率为1-20×（0.006+0.014）=0.6=60%；故选：AD.12．AC【分析】直接利用向量的线性运算，向量的夹角运算，三角形法则，向量的模的求法判断A、B、C、D的结论．【详解】解：对于A：非零向量a与b的方向相同或相反，那么a b+的方向必与a或b的方向相同或为零向量，故A错误；对于B：在ABC中，必有0++=，故B正确；AB BC CA对于C：若0++=，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点，AB BC CA或A 、B 、C 三点共线时，也成立，故C 错误；对于D ：22|2|44842a b a a b b +=+⋅+=+⨯D 正确. 故选：AC ．13【分析】设,a b 的夹角为θ，向量b 在向量a 方向上的投影为12-，求得cos θ，由向量a 在向量b 方向上的投影为1-，求得||a ，利用()||a b a b -=-，即可求解.【详解】设,a b 的夹角为θ，因为向量b 在向量a 方向上的投影为12-，所以1||cos 2θ=-b ，因为||1=b ，所以1cos 2θ=-．因为向量a 在向量b 方向上的投影为1-， 所以||cos 1a θ=-，所以||2a =，所以221||241221()72-=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=a b a b a b ， 所以||7a b -=.14．28)π【分析】先求得挖去的圆锥的母线长,从而求得圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，从而求得组合体的表面积.， 圆柱的侧面积为22624=ππ⨯⨯，圆柱的一个底面面积为22=4ππ⨯，所以组合体的表面积为24428)++=πππ.故答案为：28)π【点睛】本题考查了圆锥，圆柱的侧面积的公式，组合体的表面积的理解，属于容易题. 15．a【详解】把四棱锥四个侧面展开，分别是三角形PAB ，三角形PBC ，三角形PCD ，三角形PDA ' ， 41560o o A PA ∠=⨯='，所以AE+EF+FG+GA ' 的最小值为'AA ,在三角形APA ' 中，PA='PA =a ，60o A PA ∠='，所以'AA = a故答案为a点睛：找周长最小是侧面展开的问题，棱锥的侧面展开就是沿着一条侧棱剪开，展开即可，最后化曲为直即为最小值，放在对应的三角形里解决. 16．乙【分析】根据中位数、均值、众数、极差等概念，找出满足条件的5个数，看最小的能否小于120即可判断．【详解】在①中，甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128，可以找到很多反例，如118，119，125，128，150，故甲同学的数学成绩不一定优秀； 在①中，乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121，所以前三个数为121，121，127，则后两个数肯定大于127，故乙同学的数学成绩一定优秀； 在①中，丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125，最大值与最小值的差为10，若最大值为129，则最小值为119.即119，125，125，127，129，故丙同学的数学成绩不一定优秀.综上，数学成绩一定优秀的同学只有乙. 故答案为：乙．17．（12. 【分析】（1）先求出()22222a b a ba ab b +=+=+⋅+的值，再开方即可求出a b +的值；（2）设a 与a b +的夹角为θ，由()cos a a b a a bθ⋅+=⋅+ 可以求出.【详解】（1）121a b ⋅=⨯=， 222()212a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=+（2）设a 与a b +的夹角为θ， 2()112a a b a a b ⋅+=+⋅=+=，()2cos 15a ab a a bθ⋅+∴===⨯⋅+，故a 与a b +.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，正确使用数量积的定义运算，对于a b +，一般先平方，再开方进行求解.18．(1)A 、B 两校所抽取人数分别为45、55；(2)估计该区学生做作业时间的平均时长为2.675小时，该区有30%的学生做作业时长超过3小时；(3)列联表答案见解析，有99%的把握认为“做作业时间超过3小时”与“学校”有关.【分析】（1）设A 、B 两校所抽取人数分别为x 、y ，根据已知条件列出关于x 、y 的方程组，解出这两个量的值，即可得解；（2）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，可得出该区学生做作业时间的平均时长，计算出频率直方图中后三个矩形的面积之和，可得出该地区做作业时长超过3小时的学生比例；（3）根据题中信息完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合临界值表可得出结论. (1)解：设A 、B 两校所抽取人数分别为x 、y ，由已知可得911100x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得4555x y =⎧⎨=⎩. (2)解：由直方图可知，学生做作业的平均时长的估计值为()0.5 1.250.1 1.750.3 2.250.4 2.750.6 3.250.3 3.750.2 4.250.1 2.675⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）.由()0.50.10.20.30.3⨯++=，可知有30%的学生做作业时长超过3小时.综上，估计该区学生做作业时间的平均时长为2.675小时，该区有30%的学生做作业时长超过3小时. (3)解：由（2）可知，有30%10030⨯=（人）做作业时间超过3小时. 故填表如下（单位：人）：()22100204510258.13 6.63530704555K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为“做作业时间超过3小时”与“学校”有关. 19．(1)23π【分析】（1）利用正弦定理化边为角，然后利用三角函数恒等变换公式化简计算可求出角B ； （2）由余弦定理可得223+a c ac =+，再利用基本不等式可求出1ac ≤，从而可求出ABC 的面积的最大值 (1)因为cos sin a b C B =⋅⋅，由正弦定理得：sin sin cos sin A B C C B =⋅⋅sin cos sin cos sin cos sin B C C B B C C B ⋅+⋅=⋅⋅，即sin cos sin C B C B ⋅=⋅，因为()0,C π∈，sin 0C ≠，所以tan B =()0,B π∈得23B π= (2)若b =23B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得223a c ac =++ 注意到0a >，0c >，由均值不等式22323a c ac ac ac ac =++≥+=， 故1ac ≤，当且仅当1a c ==时取等，于是1sin 2ABCSac B ==≤故ABC 20．(1)证明见解析(2)1【分析】（1）ACBD O =，证明1//OE AD ，然后由线面平行的判定定理可得线面平行；（2）用换底法求三棱锥的的体积． （1）因为四边形ABCD 为矩形，且ACBD O =，则O 为AC 的中点，又因为E 为1CD 的中点，则1//OE AD ， ①1AD ⊄平面EBD ，OE ⊂平面EBD ， 因此，1AD ∥平面EBD ； （2）在长方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥平面11CDD C ， 因此，1111111321332D BDE B DD E D DEV V SBC --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 21．(1)甲队总得分为1分的概率为14，2分的概率为1124；(2)13【分析】（1）利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；（2）首先求出活动结束甲、乙两队得分及所对应的概率，再利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得； (1)解：依题意记甲队总得分为1分为事件A ，甲队总得分为2分为事件B ，则()32123112311111114323422344P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-+⨯-⨯-+⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3211321231111143224323424P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以甲队总得分为1分的概率为14，2分的概率为1124；(2)解：依题意甲队总得分为0分的概率为231111134224⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得1分的概率为14，得2分的概率为1124，得3分的概率为32114324⨯⨯=；乙队总得分为0分的概率为3211327⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1分的概率为222213339⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭，得2分的概率为222413339⎛⎫⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得3分的概率为328327⎛⎫= ⎪⎝⎭；则活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率18114121427249493P =⨯+⨯+⨯=.22．答案见解析【分析】过点O 作EF ①PC ，分别交PB ，BC 于点E ，F ，过点E 作EH ①AB ，交P A 于点H ，过点F 作FG ①AB ，交AD 于点G ，连接GH ，然后由线面平行的判定可证得AB ①平面EFGH ，PC ①平面EFGH ．【详解】解：如图，过点O 作EF ①PC ，分别交PB ，BC 于点E ，F ，过点E 作EH ①AB ，交P A 于点H ，过点F 作FG ①AB ，交AD 于点G ， 连接GH ．①截面为四边形EHGF ． 理由如下：①EH ①AB ，FG ①AB ，①EH ①FG ， ①E ，F ，G ，H 四点共面．①AB ①EH ，EH ⊂平面EFGH ，AB ⊄平面EFGH ， ①AB ①平面EFGH ．①PC①EF，EF⊂平面EFGH，PC⊄平面EFGH，①PC①平面EFGH．。
最新版四川省双流中学高一下学期6月月考数学试题Word版含答案
四川省双流中学2016-2017学年度下期六月考试高一数学试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0}M x x =≥，2{1}N x x =<，则MN =( )A ．[]0,1B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(0,1) 2.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．cos y x =B ．sin y x =C ．ln y x =D ．21y x =+ 3.已知θ是直线2210x y +-=的倾斜角，则sin θ的值是（ ）A ．2-B ．2C ．1D ．1- 4.已知,,a b c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是（ ） A ．ab ac > B ．()0c b a -< C. 22cb ab < D ．()0ac a c -< 5.对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（ ） A ．相离 B ．相切 C.相交 D ．不确定6.已知向量,a b 满足1a =，4b =，且2a b ∙=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．4π C. 3π D ．2π7.一个体积为 ）A ．3B ．．48.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50……，则此数列第20项为（ ） A ．180 B ．200 C. 128 D ．1629.已知()log (1)1a f x x =-+（0a >且a ≠）恒过定点M ，且点M 在直线1x ym n+=（0m >，0n >）上，则m n +的最小值为（ ） A．．8 C. 3+．4 10.已知等比数列{}n a 满足0n a >，1,2,n =，且25252nn a a -∙=（3n ≥），则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）A ．(21)n n -B ．2n C. 2(1)n + D ．2(1)n -11.已知函数()sin cos f x a x b x =+(x R ∈)，若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且0tan 2x =，则点(,)a b 所在的直线方程为（ ）A ．20x y -=B ．20x y += C. 20x y += D ．20x y -= 12.定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，232,[0,1)()1(),[1,2)2x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若当[4,2)x ∈--时，函数21()42t f x t ≥-+恒成立，则实数t的取值范围为（ ）A ．[2,3]B ．[1,4] C. 11[,]42-- D ．[1,3]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是3cm ，则此球的表面积为 2cm ． 14.已知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，则tan α等于 ． 15.已知直线:20l x y -+=与圆22:(2)(1)4C x y ++-=相交于,A B 两点，则AB AC ∙等于 ．16.设函数3()(3)1f x x x =-+-，数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且127()()()14f a f a f a +++=，则127a a a +++= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知直线l 的方程为34120x y +-=，求满足下列条件的直线'l 的方程. （1）'l 与l 平行且过点(1,3)-；（2）'l 与l 垂直且在两坐标轴上的截距相等.18. 设函数22()(sin cos )()f x x x x x R =--∈.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()3g π-的值.19. 围建一个面积为2360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙，（利用的旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为()x m ，维修此矩形场地围墙的总费用为y 元.（1）将y 表示为x 的函数；（2）试确定使修建此矩形场地围墙的总费用最小？并求出最小总费用.20. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(3,)m a b =，(cos ,sin )n B A =. （1）若3m n c ∙=，求角A ；（2）若向量m 与向量(1,1)g =共线，2c =，且ABC ∆a 的值.21. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：*22()n n S a n n N =-∈.（1）求证：数列{2}n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足2log (2)n n b a =+，n T 为数列{}2n n b a +的前n 项和，求证：12n T ≥. 22.已知圆222:(0)O x y r r +=>与直线0x y -+=相切. （1）求圆O 的方程； （2）过点的直线l截圆所得弦长为l 的方程； （3）设圆O 与x 轴的负半轴的交点为A ，过点A 作两条斜率分别为12,k k 的直线交圆O 于,B C 两点，且122k k =-，证明：直线BC 恒过一个定点，并求出该定点坐标.试卷答案一、选择题1-5: BABDC 6-10: CABCB 11、12：AD 二、填空题13. 27π 14. 1315. 7 16.21 三、解答题17.（1）直线:34120l x y +-=，34k =-， ∵'//l l ，∴'34l k k ==-， ∴直线'3:3(1)4l y x -=-+，即3490x y +-=． （2）∵'l l ⊥，∴'l 的'43l k =，设'l 在y 轴上的截距为b ，则'l 的方程为43y x b =+，故它在x 轴上的截距为34b -，∵在两坐标轴上的截距相等，∴34b b -=，即0b =，∴43y x =，即430x y -=．18.（1）由22()(sin cos )f x x x x =--，得()2sin(2)13f x x π=-+，由222,()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，得5,()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是5[,],()1212k k k Z ππππ-+∈.（或5(,),()1212k k k Z ππππ-+∈）（2）由（1）知，()2sin(2)13f x x π=-+，把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到()2sin()13f x x π=-的图象，再把得到的图象向左平移3π个单位，得到()2sin 1f x x =+的图象，即()2sin 1g x x =+.所以，()2sin()1133g ππ-=-+=-. 19.（1）设矩形的另一边长为a m ，则45180(2)1802225360360y x x a x a =+-+⨯=+-，由已知得360xa =，得360a x =，所以2360225360(2)y x x x =+->. （2）∵0x >，∴236022510800x x +≥=，∴236022536010440y x x=+-≥，当且仅当2360225x x=时，等号成立，即当24x m =，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元. 20.（1）由3m n c ∙=cos sin B b A +=，cos sin sin )A B B A C A B +==+cos sin sin cos sin A B B A A B A B +=+即sin sin sin B A AB =，∴sin A A =∴tan A =60A =. （2）由1sin 2ABC S ab C ∆==2sin 2a C =①由余弦定理得，224cos 4a C-=，得2(2)2a C -=②由①②得：sin 2C C =，即sin()13C π+=∴6C π=，224sin a C==，∴2a =. 21.（1）证明：当*n N ∈时，22n n S a n =-，① 当2n ≥时，1122(1)n n S a n --=--②由①②两式相减得：1222n n n a a a -=--，即122n n a a -=+， ∴122(2)n n a a -+=+，∴1222n n a a -+=+，当1n =时，1122S a =-，则12a =，∴{2}n a +是以124a +=为首项，2为公比的等比数列，∴1242n n a -+=∙，∴122n n a +=-.（2）证明：122log (2)log 21n n n b a n +=+==+，∴1122n n n b n a ++=+ 则231231222n n n T ++=+++① 3412123122222n n n n n T +++=++++② 由①-②得：23412121111222222n n n n T +++=+++++211(1)114214212n n n +-+=+-- 1211114222n n n +++=+-- 23342n n ++=- ∴13322n n n T ++=-.∴当1n =时，134124n n ++==，12n T =；当2n ≥时，1312n n ++≤，12n T ≥，所以综上得：12n T ≥.22.（1）∵圆222:(0)O x y r r +=>与直线0x y -+=相切，∴圆心O到直线的距离为2d r ===，∴圆O 的方程为：224x y +=.（2）若直线l 的斜率不存在，直线l 为1x =， 此时直线l截圆所得弦长为 若直线l 的斜率存在，设直线l为(1)y k x -=-，即3330kx y k -+=，由题意知，圆心到直线的距离为1d ==，解得：k =， 此时直线l为20x +-=，则所求的直线l 为1x =或20x +-=；（3）由题意知，(2,0)A -，设直线1:(2)AB y k x =+， 与圆方程联立得：122(2)4y k x x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得：2222111(1)4(44)0k x k x k +++-=，∴2121441A B k x x k -∙=+∴2121221B k x k -=+，12141B k y k =+，即2112211224(,)11k k B k k -++， ∵122k k =-，用12k -代替2k 得：2112211288(,)44k k C k k --++∴直线BC 的方程为：1122211112222111122114881428()22284414k k k k k k y x k k k k k k ---++--=---++-++即21112221118328()424k k k y x k k k ---=-+-+21(2)k ≠，整理得：1112221113232()2223k k k y x x k k k =+=+---21(2)k ≠ 则直线BC 定点为2(,0)3-.。
2021-2022学年四川省成都市双流区高一下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年四川省成都市双流区高一下学期期末数学试题一、单选题1．设平面向量()3,6AB =-，点()1,2A -，则点B 的坐标为（ ） A ．()2,4- B ．()2,4- C ．()4,8- D ．()4,8-【答案】B【分析】设B 点坐标为(,)x y ，则可得AB 的坐标，根据题意，列出等式，即可得答案. 【详解】设B 点坐标为(,)x y ，所以(1,2)(3,6)AB x y =+-=-，解得24x y =⎧⎨=-⎩，所以B 的坐标为()2,4-. 故选：B 2．不等式01xx -<-的解集为（ ） A ．()1,0-B ．()0,1C ．()(),10,-∞-⋃+∞D ．()(),01,-∞⋃+∞【答案】D【分析】根据分式不等式的解法，即可得答案. 【详解】由题意得01xx -<-，等价于(1)0x x --<，即(1)0x x ->， 所以解集为()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D3．()()cos cos sin sin ααβααβ-+-等于（ ） A ．()cos 2αβ- B ．()cos 2αβ-C ．cos βD ．cos β-【答案】C【分析】根据给定条件，逆用差角的余弦公式变形即得.【详解】()()cos cos sin sin cos[()]cos ααβααβααββ-+-=--=. 故选：C4．若某圆锥的母线长3，底面周长为2π，则该圆锥的体积为（ ）A 22πB 2πC 45πD 25π【答案】A【分析】依次求出底面圆的半径、圆锥的高，然后可算出答案. 【详解】因为底面周长为2π，所以底面圆的半径为1， 因为圆锥的母线长391=22- 所以该圆锥的体积为2122π12=3⨯⨯⨯，故选：A5．已知菱形ABCD 的边长为2，120D ∠=︒，则AC =（ ） A ．6 B ．23C ．2 D ．23-【答案】B【分析】利用余弦定理计算可得.【详解】解：在菱形ABCD 中，2AD DC ==，120D ∠=︒，由余弦定理22212cos 44222122AC AD DC AD DC D ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以23AC =故选：B6．若等比数列{}n a 中62a =11项的乘积为（ ） A ．32 B ．2C ．16 D ．2【答案】B【分析】根据等比中项的性质，计算求解，即可得答案.【详解】根据等比中项性质可得，所求()1152111231166622a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅===故选：B73则该球的表面积为（ ） A ．92πB ．12πC ．9πD ．36π【答案】C【分析】3对角线为外接球的直径，即可得外接球半径R ，代入面积公式，即可得答案. 【详解】3 3设外接球半径为R ，则()()()2223332R ++=，解得32R =， 所以外接球的表面积294494S R πππ==⨯=.故选：C8．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知向量()1,n n m a S +=，()1,2n =，若12a =，且//m n ，则对于任意的N n *∈，下列结论正确的是（ ） A ．1n n a a +=- B ．123n n a a +=C ．1n n S S +=D ．123n n S S +=【答案】D【分析】根据向量共线的坐标表示得到12n n S a +=，再根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得. 【详解】解：因为()1,n n m a S +=，()1,2n =且//m n ， 所以12n n S a +=，当1n =时122S a =，又12a =，所以21a =， 当2n ≥时12n n S a -=，所以1122n n n n S S a a -+-=-，即122n n n a a a +=-， 所以132n n a a +=，2n ≥，又122a a =，故A 、B 错误；又12n n S a +=，所以()12n n n S S S +=-，即123n n S S +=，故C 错误，D 正确； 故选：D9．我国古代数学著作《周髀算经》中记载了二十四节气与晷长的关系：每个节气的晷长损益相同.晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度，如图1所示，损益相同，即相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，且周而复始.二十四节气及晷长变化如图2所示.已知谷雨时节晷长为5.5尺，霜降时节晷长为9.5尺，则二十四节气中晷长的最大值为（ ）A ．14.5B ．13.5C ．12.5D ．11.5【答案】B【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为(0)d d >，由图可知冬至的晷长最大，设为x ，从冬至到谷雨减少8d ，从霜降到冬至增加4d ，然后根据题意列方程组可求得答案【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为(0)d d >，由图可知冬至的晷长最大，设为x ，从冬至到谷雨减少8d ，从霜降到冬至增加4d ，则8 5.59.54x d d x -=⎧⎨+=⎩，解得113.5d x =⎧⎨=⎩， 所以二十四节气中晷长的最大值为13.5， 故选：B10．在底面为等边三角形的三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥平面ABC ，2AB =，14AA =，D 是棱1CC 的中点，M 是四边形11ABB A 内的动点，若1C M ∥平面ABD ，则线段1C M 长度的最小值为（ ） A ．22 B ．2 C ．3 D ．7【答案】D【分析】取线段11,AA BB 的中点为,E F ，连接11,,C E C F EF ，首先证明平面1//C EF 平面ABD ，然后可得点M 的轨迹是线段EF ，然后可求出答案.【详解】取线段11,AA BB 的中点为,E F ，连接11,,C E C F EF ，因为侧面11ACC A 为矩形，D 是棱1CC 的中点， 所以1//C E AD ，因为1C E ⊄平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以1//C E 平面ABD ，同理1//C F 平面ABD ，因为111C E C F C ⋂=，所以平面1//C EF 平面ABD ， 因为M 是四边形11ABB A 内的动点，1C M ∥平面ABD ， 所以点M 的轨迹是线段EF ，因为2AB =，14AA =，所以1122C E C F ==2EF =， 所以线段1C M ()22217-故选：D11．已知0x >，0y >，0z >，且2323x y z ++=则()xy x y z z +++的最大值为（ ） A ．3 B 3C ．32D 3【答案】C【分析】依题意可得323x y z =-，再令t yz ，再由2323000y z y z ⎧->⎪>⎨⎪>⎩作出可行域，即可求出y z +的取值范围，再将()xy x y z z +++变形为23322y z ⎛-++ ⎝⎭，结合二次函数的性质计算可得.【详解】解：因为2323x y z ++=2323x y z =-，因为0x >，0y >，0z >，所以2323000y z y z ⎧->⎪>⎨⎪>⎩，令ty z ，所以y 、z 所表示的可行域如下所示（不包含阴影部分的边界）：由图可知当y z t =-+过点(3A 时t 取最大值，过()0,0O 时t 取最小值， 所以03t <<03y z <+<所以()()()23232323xy x y z z y z y y z y z z +++=-+-++ 22323232y zy z yz z =--+--)()2232y z y z =+-+23322y z ⎛=-++ ⎝⎭， 所以当3y z +=()xy x y z z+++取得最大值，最大值为32； 故选：C12．设O 为ABC 的外心，且满足2340OA OB OC ++=，1OA =，则下列结论中正确的个数为（ ）①78OB OC ⋅=-；②62AB =③2A C .A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【分析】根据数量积的运算律及三角形外接圆的性质计算可得. 【详解】解：因为2340OA OB OC ++=，所以342OB OC OA +=-，所以222916244OB OC OB OC OA ++⋅=，即222916244OB OC OB OC OA ++⋅=， 所以78OB OC ⋅=-，故①正确，所以234OA OB OC +=-，即491216OA OB OA OB OC ++⋅=，所以14OA OB ⋅=()2222AB OB OA OB OAOB OB OA OA =-=-=-⋅+222OB OB OA OA =-⋅+221612142=-⨯+=，故②正确；因为7cos 28OB OC OB OC A ⋅=⋅=-，所以72cos 282A =-<-，所以324A ππ<<， 1cos 24OA OB OA OB C ⋅=⋅=，所以11cos 242C =<，所以232C ππ<<，则243C ππ<<，所以2cos 22cos 21cos 4A C C =-=，所以24A C =，即2A C =，故③正确； 故选：A 二、填空题13．已知等差数列{}n a 中，12a =-，529a a -=，则该数列前6项的和为______. 【答案】33【分析】根据等差数列的通项公式，可得d ，代入求和公式，即可得答案. 【详解】因为{}n a 为等差数列， 所以5239a a d -==，解得d =3， 所以前6项的和616566(2)153332S a d ⨯=+=⨯-+⨯=. 故答案为：3314．测量某建筑AB 的高时，可以选取与其底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，如图所示，现测得45CBD ∠=︒，60BDC ∠=︒，30ACB ∠=︒，100CD =m ，则建筑物AB 的高为______m.【答案】2【分析】首先由正弦定理求出BC ，再由锐角三角函数计算可得.【详解】解：在CBD 中45CBD ∠=︒，60BDC ∠=︒，100CD =，由正弦定理sin sin BC CDCDB CBD=∠∠，即100sin 60sin 45BC =︒︒，解得506BC =Rt CBA △中，30ACB ∠=︒，所以3tan AB ACB CB ∠==，所以33506502AB ==故答案为：50215．已知3sin 22tan αα=，则cos2α的值为______.【答案】13-【分析】根据二倍角公式、弦切互化，整理计算，即可得答案. 【详解】由题意可得2sin 32sin cos cos αααα⨯=， 所以23cos 1α=，即21cos 3α=，所以211cos 22cos 12133αα=-=⨯-=-.故答案为：13-三、双空题16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为棱BC ，1CC 的中点，G 是棱AB 上一点，且2AG GB =.过G ，E ，F 三点的平面截该正方体所得截面为______边形（横线上填多边形的边数），该截面多边形的面积为______. 【答案】 五571767176【分析】延长FE 与1B B 的延长线交于点H ，连接1A H ，延长EF 与11B C 的延长线交于点N ，连接1A N ，设线段1A N 交线段11D C 于点Q ，连接QF ，即可得到过G ，E ，F 三点的平面截该正方体所得截面为五边形1EFQA G ，然后算出其面积即可.【详解】延长FE 与1B B 的延长线交于点H ，连接1A H ，延长EF 与11B C 的延长线交于点N ，因为E ，F 分别为棱BC ，1CC 的中点，所以1,ECF EBH ECF NC F ≅≅，所以11,1BH CF C N EC ====， 因为11113BG HB A B HB ==，所以点1,,A G H 三点共线， 连接1A N ，设线段1A N 交线段11D C 于点Q ，连接QF ，则过G ，E ，F 三点的平面截该正方体所得截面为五边形1EFQA G ， 因为111NC QNB A ，所以1111113C Q NC A B NB ==，所以112D Q C Q =， 因为1113A H A N =32HN =1A HN 中边HN 23234132⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以11343321722A HNS=⨯= 因为119HGE FNQ A HN S S S ==，所以五边形1EFQA G 的面积为1773717179926A HNS= 7176四、解答题 17．已知5sin α，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求tan 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】17【分析】依次求出cos α、tan α、tan2α的值，然后根据两角差的正切公式可算出答案. 【详解】因为5sin α0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以25cos α=1tan 2α=，所以22tan 14tan 211tan 314ααα===--，所以41tan 2113tan 2441tan 2713πααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+. 18．已知向量1a =，13a b ⋅=，2a b +与a b -垂直.(1)求b 的值；(2)求向量b 与a b +夹角的余弦值. 【答案】6(2)31414【分析】（1）依题意可得()()20+⋅-=a b a b ，根据数量积的运算律计算可得；（2）首先求出a b +、()a b b +⋅，再根据夹角公式计算可得. 【详解】(1)解：因为1a =，13a b ⋅=且2a b +与a b -垂直，所以()()22220a b a b a a b b +⋅-=+⋅-=，即2220a a b b +⋅-=，即2211203b +-=，解得63b =. (2)解：()2222222a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+⋅+2216211233⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭()2221613b a b b a b a b b +⋅=⋅+=⋅+=+=⎝⎭， 设向量b 与a b +的夹角为θ，所以()1314cos 216a b b a b bθ+⋅===+⋅⨯19．设函数()()()3f x x x a =--，R a ∈. (1)解关于x 的不等式()0f x <；(2)当()3x ∈+∞，时，不等式()9f x ≥-恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析. (2)9a ≤.【分析】（1）分3a <、3a =、3a >三种情况求解即可； （2）由条件可将不等式()9f x ≥-化为93a x x ≤+-，然后求出93x x +-的最小值即可. 【详解】(1)当3a <时，不等式()0f x <的解集为(),3a ， 当3a =时，不等式()0f x <的解集为∅， 当3a >时，不等式()0f x <的解集为()3,a .(2)因为()3x ∈+∞，，所以由()9f x ≥-可得93x a x --≥-，93a x x ≤+-， 因为()999332339333x x x x x x +=-++≥-⋅=---，当且仅当933x x -=-，即6x =时等号成立， 所以9a ≤.20．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)在下列三个条件中任选一个作为已知，将序号填在横线上______，求角A ；①2cos 2a C b c =-；②3cos sin b a C A =+；③()sin sin 2++=B C a A B c . (2)若ABC 的面积为8323a 的值. 【答案】(1)无论选①②③，都有3A π=(2)10【分析】（1）若选①：由正弦定理边化角可得2sin cos 2sin sin A C B C =-，又sin sin()B A C =+，根据两角和的正弦公式，展开化简，结合角A 、C 的范围，即可得答案.若选②：由正弦定理边化角可得3sin sin cos sin B A C C A =，又sin sin()B A C =+，根据两角和的正弦公式，展开化简，结合角A 、C 的范围，即可得答案. 若选③：由正弦定理边化角可得sin sin()sin sin2B CA ABC ++=，根据两角和的正弦公式、诱导公式，展开化简，结合角A 、C 的范围，即可得答案.（2）根据内切圆半径及面积，可得周长，根据角A 及面积公式，可得bc 的值，根据余弦定理，化简整理，即可得答案. 【详解】(1)若选①：由正弦定理边化角可得2sin cos 2sin sin A C B C =-，所以2sin 2sin()2sin cos 2cos sin 2sin cos sin B A C A C A C A C C =+=+=+， 所以2cos sin sin A C C =， 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠， 所以2cos 1A =，即1cos 2A =， 因为(0,)A π∈，所以3A π=；若选②由正弦定理边化角可得3sin sin cos sin B A C C A =+， 又3sin sin()sin cos cos sin sin cos sin B A C A C A C A C C A =+=+=， 所以3cos sin sin A C C A =， 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠， 所以3cos A A =，即tan 3A = 因为(0,)A π∈，所以3A π=；若选③：由正弦定理边化角可得sin sin()sin sin2B CA ABC ++= 所以sin sin sin sin sin cos 22A A A C C C π-⎛⎫== ⎪⎝⎭， 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠， 所以sin 2sincos cos 222A A AA ==， 因为(0,)A π∈，所以0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 02A≠， 所以1sin22A =，即26A π=，解得3A π= (2)因为ABC 的面积为83，其内切圆的半径为233， 所以1()223833a b c ++⨯=，解得24a b c ++=，即24b c a +=-又ABC 的面积113sin 22283bc bc S A =⨯==，解得32bc =，由余弦定理得22222()21cos 222b c a b c bc a A bc bc +-+--===，将24b c a +=-和32bc =代入上式，整理可得22(24)6432a a ---=， 所以2257648960a a a +---=，解得10a =.21．如图，三棱锥P ABC -中，等边三角形PBC 的重心为O ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，23PA =，E ，F ，M 分别是棱BC ，BP ，AP 的中点，D 是线段AM 的中点.(1)求证：MO ∥平面DEF ； (2)求证：平面DEF ⊥平面PBC . 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）连接PE ，可得P 、O 、E 三点共线，且2POOE=，由题意得，可得PMO PDE ∽，进而可得MO DE ∕∕，根据线面平行的判定定理，即可得证.（2）连接AE 、BD ，根据三角形的性质，可证PE BC ⊥、AE BC ⊥，根据线面垂直的判定定理、性质定理，可证BC DE ⊥，根据题中条件，求得各个边长，根据勾股定理，可证DE PE ⊥，根据线面垂直的判定定理，即可得证. 【详解】(1)连接PE ，因为PBC 为等边三角形，且O 为重心， 所以P 、O 、E 三点共线，且2POOE=， 因为M 为P A 中点，D 是线段AM 的中点， 所以2PM PODM OE==， 所以PMO PDE ∽， 所以MO DE ∕∕，因为DE ⊂平面DEF ，MO ⊄平面DEF ， 所以MO ∥平面DEF(2)连接AE 、BD ，如图所示因为PBC 为等边三角形，E 为BC 中点， 所以PE BC ⊥，因为AB AC =，90BAC ∠=︒，E 为BC 中点， 所以AE BC ⊥，因为,PE AE ⊂平面P AE ， 所以BC ⊥平面P AE ， 因为DE ⊂平面P AE ， 所以BC DE ⊥，在PAB △中，2222PB BC AB AC =+=2AB =，3PA = 所以222AB PB PA +=，即AB PB ⊥， 所以3cos 23AB PAB PA ∠== 在ADB △中，3AD 由余弦定理得222112cos 4BD AD AB AD AB PAB =+-⋅∠=， 在BDE 中，122EB BC =BE DE ⊥， 所以222113244DE BD BE =-=-=， 在PDE △中，33PD ，3226PE =所以222PD PE DE =+，即DE PE ⊥， 因为,PE BC ⊂平面PBC ， 所以DE ⊥平面PBC ， 因为DE ⊂平面DEF ， 所以平面DEF ⊥平面PBC22．对于数列{}n c ，若从第二项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于（小于或等于）同一个常数d ，则{}n c 叫做类等差数列，1c 叫做类等差数列的首项，d 叫做类等差数列的类公差.(1)若类等差数列{}n c 满足()12,N n n c c d n n *--<≥∈，请类比等差数列的通项公式，写出数列{}n c 的通项不等式（不必证明）； (2)若数列{}n a 中，113a =，212n n n a a a +=-.①判断数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为类等差数列，若是，请证明，若不是，请说明理由；②记数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明：32321n n nS n n <≤++. 【答案】(1)()1(1)2,N n c c n d n n *<+-≥∈；(2)①数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是类等差数列；②证明见解析.【分析】（1）利用类等差数列定义，类比等差数列通项求解方法累加法可得； （2）①由类等差数列的定义，及212n n n a a a +=-，推得103n a <≤，又推出111212n n n a a a +-=-，结合212n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的单调性，得11126n na a +<-≤，来判断数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为类等差数列；②由212n n n a a a +-=，得数列{}2n a 的前n 项和为112n n a a S +-=，结合（1）中结论可得123631n n n a ++<≤+，从而可推证32321n n n S n n <≤++. 【详解】(1)解：()1(1)2,N n c c n d n n *<+-≥∈(2)解：①数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是类等差数列，理由如下：212n n n a a a +=-211121112222(12)21212n n n n n nn n n a a a a a a a a a +⎛⎫∴===+=+ ⎪----⎝⎭ 即111212n n na a a +-=- 又2120n n n a a a +=->，所以1n n a a +<，则{}n a 是递减数列()1max 13n a a ==1120,120n n a a -∴->->11111(12)(12)(12)(12)(12)0n n n n n n a a a a a a a a +--∴=-=---->103n a ∴<≤()()()-111422=012121212n n n n n n a a a a a a ---∴-<---- 212n a ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭递减，故max 226112123n a ⎛⎫== ⎪-⎝⎭-⨯，min 22212120n a ⎛⎫== ⎪--⨯⎝⎭ 11126n na a +∴<-≤∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是类等差数列；②212n n n a a a +=-，212n n n a a a +-∴=233411222212311222222n n n n n a a a a a a a a a a a a a a S ++-----∴++++==++++=由①知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是类等差数列，结合（1）中结论可得：123631n n n a ++<≤+，且1103n a +<≤ 1112(23)26(21)n a n n +∴-<-≤-++11113(23)266(21)3(21)n a a n nn n n +-∴<≤-=+++即3(23)3(21)n n n S n n <≤++，故32321n n nS n n <≤++. 【点睛】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学类比思想以及数列中的归纳思想，对表达式的灵活变形确定范围，是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
四川省成都市双流中学2014-2021学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
四川省成都市双流中学2022-2021学年高一上学期期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x∈N|1＜x≤2}，则（）A．1∈A B．∈A C．π∈A D．2∈A2．（5分）若函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1）经过点（4，2），则f（2）=（）A．B．1C．2D．43．（5分）集合M={0，1，2，3}，集合P={x|x2=9}，则M∩P=（）A．{﹣3，0，1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{0，1，2} D． {3}4．（5分）与y=x为同一个函数的是（）A．B．C．D ．5．（5分）定义在集合{1，2，3，4}上的函数f（x），g（x）分别由下表给出：x 1 2 3 4 x 1 2 3 4f（x） 3 4 2 1 g（x） 4 3 1 2则与f相同的是（）A．g（f（3））B．g（f（1））C．g（f（4））D．g（f（2））6．（5分）下列结论正确的是（）A．30.8＜30.7B．0.75﹣0.1＜0.750.1C．l n3.4＜ln8.5 D．l g0.3＞lg0.57．（5分）已知偶函数f（x）在A．f（1）＞f（﹣10）B．f（1）＜f（﹣10）C．f（1）=f（﹣10）D．f（1）与f（﹣10）的大小关系不确定8．（5分）假如函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+3在区间（4，+∞）上是增函数，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，9]B．9．（5分）已知函数的图象与x轴的交点分别为（a，0）和（b，0），则函数g （x）=a x﹣b图象可能为（）A．B．C．D ．10．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f （x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q 中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）=．12．（5分）函数f（x）=+的定义域是．13．（5分）已知y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是．14．（5分）若函数y=a与函数y=|2x﹣1|的图象有两个公共点，则a的取值范围是．15．（5分）D（x）=，则给出下列结论①函数D（x）的定义域为{x|x≠0}；②函数D（x）的值域；③函数D（x）是偶函数；④函数D（x）不是单调函数．⑤对任意的x∈R，都存在T0∈R，使得D（x+T0）=D（x）．其中的正确的结论是（写出全部正确结论的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（Ⅰ）计算；（Ⅱ）计算2log510+log50.25．17．（12分）设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜4}，B={x|x﹣2≥0}，C={x|2m﹣1＜x＜m+1，m∈R}．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）求（∁U A）∪（∁U B）．（Ⅲ）若C⊆A，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=﹣（a＞0，x＞0）（Ⅰ）推断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用函数单调性定义加以证明；（Ⅱ）若f（x ）在上的值域是，求实数a的值．19．（12分）设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比．一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100时，该旅游景点须另交保险费200元．设每天的购票人数为x，盈利额为y．（Ⅰ）求y与x之间的函数关系；（Ⅱ）试用程序框图描述算法（要求：输入购票人数，输出盈利额）；（Ⅲ）该旅游景点期望在人数达到20人时即不消灭亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？注：可选用数据：=1.41，=1.73，=2.24．20．（13分）已知函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x﹣3（Ⅰ）当a=2时，若∈，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若函数f（x）在上的最小值为g（a）．①求函数g（a）的表达式；②是否存在实数a，使得g（a）=1，若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=2x+1定义在R上．且f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和．（1）求g（x）与h（x）与的解析式；（2）设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m2﹣m﹣1（m∈R），求出p（t）的解析式；（3）若p（t）≥m2﹣m﹣1对于t∈R恒成立，求m的取值范围．四川省成都市双流中学2022-2021学年高一上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x∈N|1＜x≤2}，则（）A．1∈A B．∈A C．π∈A D．2∈A考点：元素与集合关系的推断．专题：集合．分析：用列举法将集合表示出来即可．解答：解：∵A={x∈N|1＜x≤2}={2}，∴2∈A故选：D 点评：本题考查集合的描述法表示属于基础题．2．（5分）若函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1）经过点（4，2），则f（2）=（）A．B．1C．2D．4考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：由题意和对数的运算易得a=2，代值计算可得．解答：解：∵函数f（x）=log a x经过点（4，2），∴log a4=2，即a2=4，解得a=2，∴f（2）=log22=1故选：B点评：本题考查对数函数的性质，属基础题．3．（5分）集合M={0，1，2，3}，集合P={x|x2=9}，则M∩P=（）A．{﹣3，0，1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{0，1，2} D． {3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：集合M与集合P的公共元素，构成集合M∩P，由此利用集合M={0，1，2，3}，P={x|x2=9}={3，﹣3}，能求出M∩P．解答：解：∵集合M={0，1，2，3}，集合P={x|x2=9}={3，﹣3}，∴M∩P={3}，故选：D．点评：本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，认真解答．4．（5分）与y=x为同一个函数的是（）A．B．C．D ．考点：推断两个函数是否为同一函数．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：推断函数是否相等要看两个方面，对应关系与定义域．解答：解：选项A：y=|x|，对应关系不同，选项B：定义域为{x|x≠0}，定义域不同，选项C：成立，选项D：定义域为{x|x≥0}，定义域不同．故选C．点评：本题考查了函数相等的推断，只需对定义域与对应关系两者都推断即可．5．（5分）定义在集合{1，2，3，4}上的函数f（x），g（x）分别由下表给出：x 1 2 3 4 x 1 2 3 4f（x） 3 4 2 1 g（x） 4 3 1 2则与f相同的是（）A．g（f（3））B．g（f（1））C．g（f（4））D．g（f（2））考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：依据表格的数值，求出对应的函数值即可．解答：解：由表格可得g（1）=4，则f=f（4）=1，g（f（3））=g（2）=3，g（f（1））=g（3）=1，g（f（4））=g（1）=4，g（f（2））=g（4）=2，故与f相同的是g（f（1）），故选：B点评：本题主要考查函数值的计算，依据表格计算对对应的函数值是解决本题的关键．6．（5分）下列结论正确的是（）A．30.8＜30.7B．0.75﹣0.1＜0.750.1C．l n3.4＜ln8.5 D．l g0.3＞lg0.5考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数的单调性即可得出．解答：解：A．考察函数y=3x在R上单调递增，∴30.8＞30.7，不正确．B．考察函数y=0.75x在R上单调递减，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，不正确．C．考察函数y=lnx在（0，+∞）上单调递增，∴ln3.4＜ln8.5．D．考察函数y=lgx在（0，+∞）上单调递增，∴lg0.3＜lg0.5．故选：C．点评：本题考查了对数函数与指数函数的单调性，属于基础题．7．（5分）已知偶函数f（x）在B．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可知（4，+∞）为函数增区间的子集，借助图象可得关于a的不等式，解出可得答案．解答：解：函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+3的对称轴为x=，由题意可得，≤4，解得a≤9，∴实数a的取值范围是（﹣∞，9]，故选A．点评：该题考查二次函数的单调性，二次函数问题经常借助图象解决．正确理解函数f（x）在区间单调递增的含义是解题关键．9．（5分）已知函数的图象与x轴的交点分别为（a，0）和（b，0），则函数g （x）=a x﹣b图象可能为（）A．B．C．D ．考点：指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得a，b的值，函数g（x）=a x﹣b的可能图象可以看成吧y=a x向下平移b个单位得到的，画出函数的简图，结合所给的选项可得结论．解答：解：∵函数的图象与x轴的交点分别为（a，0）和（b，0），则a=2，b=，或a=，b=2．①当a=2，b=时，函数g（x）=a x﹣b即函数g（x）=2x ﹣，其大致图象是：②当a=，b=2时，函数g（x）=a x﹣b即函数g（x）=x﹣2，其大致图象是：故选C．点评：本题主要考查函数的图象的变换规律，函数的单调性和特殊点，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f （x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q 中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16考点：函数最值的应用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：本选择题宜接受特殊值法．取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．从而得出H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得．解答：解：取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．则H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，由解得或，∴A=4，B=20，A﹣B=﹣16．故选C．点评：本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等，考查了数形结合的思想，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）=4﹣π．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：由π＜4，得，由此能求出原式的值．解答：解：∵π＜4∴．故答案为：4﹣π．点评：本题考查根式的化简运算，解题时要留意被开方数的符号，合理地选取公式．12．（5分）函数f（x ）=+的定义域是．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：要使函数f（x）有意义，则需，解出即可得到定义域．解答：解：要使函数f（x）有意义，则需，即，即有﹣x，则定义域为：．故答案为：．点评：本题考查函数的定义域的求法，留意偶次根式被开方式非负，考查运算力量，属于基础题．13．（5分）已知y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是．考点：函数单调性的性质．专题：计算题．分析：依据f（1﹣a）＜f（2a﹣1），严格应用函数的单调性．要留意定义域．解答：解：∵f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1）∴，∴故答案为：点评：本题主要考查应用单调性解题，肯定要留意变量的取值范围．14．（5分）若函数y=a与函数y=|2x﹣1|的图象有两个公共点，则a 的取值范围是（0，1）．考点：指数函数的图像与性质．专题：计算题；数形结合．分析：先作出函数y=|2x﹣1|图象，再由直线y=a与函数y=|2x﹣1|的图象有两个公共点，作出直线，移动直线，用数形结合求解．解答：解：作出函数y=|2x﹣1|图象：若直线y=a与函数y=|2x ﹣1|的图象有两个公共点由图象可知0＜a＜1，∴a的取值范围是0＜a＜1．故答案为：（0，1）点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性，解答的关键是数形结合的思想方法．15．（5分）D（x）=，则给出下列结论①函数D（x）的定义域为{x|x≠0}；②函数D（x）的值域；③函数D（x）是偶函数；④函数D（x）不是单调函数．⑤对任意的x∈R，都存在T0∈R，使得D（x+T0）=D（x ）．其中的正确的结论是③④⑤（写出全部正确结论的序号）．考点：分段函数的应用．专题：阅读型；函数的性质及应用．分析：由函数定义域的概念易知结论①不正确；由函数值域的概念易知结论②不正确；由偶函数定义可证明结论③正确；由函数单调性定义，易知④结论正确；由分段函数的定义和有理数与无理数的概念，可证明结论⑤正确．解答：解：由于D（x）=，则①函数的定义域为R，故①错；②函数D（x）的值域是{0，1}，故②错；③由于D（﹣x）==D（x），则D（x）是偶函数，故③正确；④由于D（）=0，D（2）=1，D（）=0，明显函数D（x）不是单调函数，故④正确；⑤当x为有理数时，D（x）=1，要使D（x+T0）=D（x）=1，则存在T0∈Q，使得x+T0为有理数成立；当x为无理数时，D（x）=0，要使D（x+T0）=D（x）=0，则存在T0∈R，使得x+T0为无理数成立．对任意的x∈R，都存在T0∈R，使得D（x+T0）=D（x）．故⑤正确．故答案为：③④⑤点评：本题考查分段函数及运用，考查函数的性质和运用，考查函数的单调性、奇偶性、值域等性质，考查推理力量，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（Ⅰ）计算；（Ⅱ）计算2log510+log50.25．考点：对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用分数指数幂的去处法则求解．（Ⅱ）利用对数的去处法则求解．解答：解：（Ⅰ）；====．…（6分）（Ⅱ）2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2．点评：本题考查指数式和对数式化简求值，是基础题，解题时要留意运算法则的合理运用．17．（12分）设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜4}，B={x|x﹣2≥0}，C={x|2m﹣1＜x＜m+1，m∈R}．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）求（∁U A）∪（∁U B）．（Ⅲ）若C⊆A，求实数m的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算；集合的包含关系推断及应用．专题：集合．分析：（Ⅰ）进行交集的运算即可；（Ⅱ）进行补集、并集的运算即可；（Ⅲ）若C⊆A，便有C=∅和C≠∅两种状况，C=∅时，2m﹣1≥m+1；C≠∅时，要使C⊆A，则m 应满足，所以分别求出这两种状况下的m的取值范围再求并集即可．解答：解：（Ⅰ）A∩B={x|2≤x＜4}；（Ⅱ）（C U A）∪（C U B）={x|x＜﹣1，或x≥4}∪{x|x＜2}={x|x＜2或x≥4}；（Ⅲ）（1）当C=∅，即2m﹣1≥m+1，即m≥2时，满足C⊆A；（2）当C≠∅，即2m﹣1＜m+1，即m＜2时，则：，解得0≤m≤3；∴0≤m＜2综合（1）（2）可得m≥0；∴实数m的取值范围为即a≥5+25=5×2.24+25=36.2，又a取整数，故取a=37．答：每张门票至少需要37元．点评：本题考查函数模型的选择与应用，依据实际问题选择合适的模型是解决实际问题的变化关系常用的方法，其步骤是，建立函数模型，求解函数，得出结论，再反馈回实际问题中去．同时考查算法和程序框图，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x﹣3（Ⅰ）当a=2时，若∈，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若函数f（x）在上的最小值为g（a）．①求函数g（a）的表达式；②是否存在实数a，使得g（a）=1，若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=﹣，若x∈，利用二次函数的性质求得它的最值，可得函数的值域．（Ⅱ）由f（x）=﹣，x∈，再分对称轴在此区间的左侧、中间、由侧三种状况，分别求得f（x）得最小值g（a）的解析式，依据g（a）=1，分类争辩，分别求得a的值，综合可得结论．解答：解：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=x2﹣3x﹣3=﹣，若x∈，则函数f（x）的最小值为f （）=﹣；最大值为f（﹣2）=7，故函数的值域为．（Ⅱ）∵f（x）=x2﹣（2a﹣1）x﹣3=﹣，x∈，（1）当，即a≤﹣时，函数f（x）的最小值为f（﹣2）=4a﹣1；（2）当﹣2＜≤3，即﹣＜a ≤时，函数f（x）的最小值为f （）=﹣；（3）当＞3，即a ＞时，函数f（x）的最小值为f（3）=9﹣6a；综上可得，①g（a）=．②当a≤﹣时，由4a﹣1=1，得，∴此时a∈∅；当﹣＜a ≤时，由﹣=1，得4a2﹣4a+17=0，∵△＜0得a∈∅，∴此时a∈∅；当a ＞时，由9﹣6a=1，得a=，∴此时，a∈∅；综上，不存在实数a，使得g（a）=1成立．点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类争辩的数学思想，属基础题．21．（14分）已知函数f（x）=2x+1定义在R上．且f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和．（1）求g（x）与h（x）与的解析式；（2）设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m2﹣m﹣1（m∈R），求出p（t）的解析式；（3）若p（t）≥m2﹣m﹣1对于t∈R恒成立，求m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）若f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，利用函数奇偶性的定义，则有f（﹣x）=g（﹣x）+h（﹣x）=g（x）﹣h（x），解上述关于g（x），h（x）的方程组得出g（x）与h（x）的解析式．（2）由于p（t）=g（2x）+2mh（x）+m2﹣m﹣1（m∈R），将g（2x）化为t的表达式后，则p（t）的解析式可求出．（3）p（t）=t2+2mt+m2﹣m+1≥m2﹣m﹣1对于t∈R恒成立，即t2+2mt+2≥0对于t∈R恒成立，则△=（2m）2﹣4×2≤0即可．解答：解：（1）若f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，则有f（﹣x）=g（﹣x）+h（﹣x），即f（﹣x）=g（x）﹣h（x）②，由①②解得，．∵f（x）=2x+1，∴，．（2）由，则t∈R，平方得，∴，∴p（t）=t2+2mt+m2﹣m+1．（3）p（t）=t2+2mt+m2﹣m+1≥m2﹣m﹣1对于t∈R恒成立，即t2+2mt+2≥0对于t∈R恒成立，则△=（2m）2﹣4×2≤0，解得．点评：本题考查函数奇偶性的应用，方程组法、换元法求函数解析式，不等式恒成立．具有肯定的综合性．。
四川省成都市双流县双流中学2021年高一数学理模拟试题含解析
四川省成都市双流县双流中学2021年高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在下列函数中，与函数y=x表示同一函数的是( )．(A) (B) (C) (D)参考答案：C2. 若x∈(0,1)，则下列结论正确的是A．2x>x>lgx B．2x>lgx>xC．x>2x>lgx D．lgx>x>2x参考答案：3. 将棱长为2的正方体（图1）切割后得一几何体，其三视图如图2所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．4参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，其底面面积S=2×2=4，高h=2，故体积V==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题．4. 下列等式成立的是( )．A．log2(8－4)＝log2 8－log2 4 B．＝C．log2 23＝3log2 2 D．log2(8＋4)＝log2 8＋log2 4参考答案：C5. 在海岛上有一座海拔千米的山，山顶设有一个观察站，上午时测得一轮船在海岛北偏东，俯角为的处，匀速直行10分钟后，测得该船位于海岛北偏西，俯角为的处．从处开始，该船航向改为正南方向，且速度大小不变，则该船经过分钟后离开点的距离为A．千米 B．千米 C．千米 D．千米参考答案：C略6. 执行如图所示程序框图，如果输出S=1+++…+，那么输入N（）A．9 B．10 C．11 D．12参考答案：B【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件K＞N，跳出循环，根据输出S的值，判断N 的值即可．【解答】解：k=1，S=0，T=1，故T=1，S=1，K=2≤N，T=，S=1+，K=3≤N，T=，S=1++，K=4≤N，…，T=，S=1+++…+，K=11＞N，输出S=1+++…+，故N=10，故选：B．7. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A. 3B. 4C. 5D. 6参考答案：C8. 已知直线m，n，平面，给出下列命题：①若，且，则②若，且，则③若，且，则④若，且，则其中正确的命题是（）A. ①③B. ②④C. ③④D. ①②参考答案：A【分析】根据面面垂直，面面平行的判定定理判断即可得出答案。
四川省双流中学2021-2022学年高一下学期入学考试试题 英语 Word版含答案
双流中学2021-2022学年度高一（下）入学考试英语(共两个部分，考试时间120分钟，满分150分)第Ⅰ卷(选择题，共100分)留意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在机读卡上。
2.每个选择题在选出答案后，用铅笔把机读卡上相对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案。
1～9页的选择题答在机读卡上;10～12页的题请答在试卷上。
3.考试结束后，监考人只需将第Ⅱ卷(第9～12页)和机读卡一并收回。
第一部分听力第一节(共5小题，每小题1.5分；满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
做题时，先将答案划在试卷上。
录音内容结束后，再将试卷上的答案转涂到机读卡上。
例：How much is the shirt?A. ￡19.15.B. ￡9.15C. ￡9.18.答案是B。
1. What does the man like about the play?A. The story.B. The ending.C. The actor.2.Which place are the speakers trying to find?A.A hotel.B.A bank.C.A restaurant.3.At what time will the two speakers meet?A. 5:20B. 5:10C.4:404.what will the man do ?A.Change the planB.Wait for a phone callC.Sort things out5.What does the woman want to do ?A.See a film with the man.B. Offer the man some helpC.Listen to some great music.其次节（共15小题：每小题1.5分，满分22.5分）请听下面5段对话。
四川省成都市双流中学2019-2020学年高一(下)开学数学试题及答案
2019-2020学年四川省成都市双流中学高一(下)开学数学试卷 一､选择题1. cos1320︒=（ ）．A.B. C. 12- D. 122. 已知ABC 中，4a =，b =30A ︒=，则B 等于（ ）．A. 60︒或120︒B. 30︒C. 60︒D. 30︒或150︒ 3. 已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得120ABC ∠=︒，则A 、C 两地的距离为（ ）．A. B. 10kmC.D.4. 在等差数列{}n a 中，3412a a +=，公差2d =，则9a =（ ）A. 14B. 15C. 16D. 175. 在ABC ∆中，若cos b c A =，则ABC ∆是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形 6. 若42ππθ<<）A. 2sin θB. 2sin θ-C. 2cos θD. 2cos θ- 7. 将函数sin 64y x π=+（）图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中心（ ） A. ,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 7,016π⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 5,016π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 8. 已知等比数列{}n a 满足114a =，()35441a a a =-，则2a =（ ） A. 2B. 1C. 12D. 18 9. 若1sin()33απ-=-，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 79- B. 13- C. 13 D. 79的10. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22,sin a b C B -==，则角A 为（ ） A. 30 B. 60 C.120 D.15011. 已知224x y +=，在这两个实数,x y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（ ）A.B.C.D. 12. 设ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（ ）． （1）若222a b c +<，则2C π>． （2）若2ab c =，则3C π≥． （3）若333a b c +=，则2C π<． （4）若2a b c +=，则2C π>． A. （1）（2） B. （1）（3） C. （1）（2）（3）D. （1）（3）（4） 二､填空题13. 等差数列{}n a 中，11a =，921a =，则3a 与7a 等差中项值为_____14. 在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan a b c C ab +-=，则角C 的值__________．15. 已知1cos()3αβ+=-，5cos213α=-，α、β均为锐角，则cos()αβ-=__________． 16. 已知函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π上的值域为32⎡⎢⎣，则实数ω的取值范围是_____________. 三､解答题17. 已知{}n a 等差数列，25a =，514a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和155n S =，求n 的值.18.已知向量1,2a ⎛=- ⎝⎭，(sin 2,cos 2)b x x =，设函数3()f x a b =⋅-，x ∈R ． （1）求()f x 的最小正周期和最大值； 的（2）讨论()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性． 19. 如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=，CD =ACD ∆面积为2． ⑴求AC 长；⑵若AB AD ⊥，4B π∠=，求BC 的长． 20. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin (2)sin (2)sin c C b a B a b A =-+-．设向量(,)m a b =，(2,2)n b a =--．（1）求角C ；（2）若m n ⊥，边长2c =，求ABC 的周长l 和面积S 的值．21. 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 22. 已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,且()11f =,若a ,[]1,1b ∈-,0a b +≠时,有()()0f a f b a b+>+成立． 的的(1)判断()f x 在[]1,1-上的单调性,并用定义证明；(2)解不等式：()()2211f x f x ->-； (3)若()221f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-,以及所有的[]1,1x ∈-恒成立,求实数m 的取值范围．。
四川省成都市双流中学2021-2021学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
四川省成都市双流中学高一（上）期中数学试卷一、选择题.本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B=（）A．{2，3}B．{0，1}C．{0，1，4}D．{0，1，2，3，4}2．下列函数中与函数y=x相等的是（）A．y=|x|B．C．D．3．下列函数中在定义域内既是奇函数又是增函数的为（）A．y=2x+1 B．y=x2 C．y= D．y=x|x|4．函数y=，x∈[﹣3，3]的值域为（）A．（﹣∞，3]B．[3，+∞）C．[0，3]D．（0，3]5．已知函数f（x）=，若f（f（0））=6m，则实数m等于（）A．B．C．1 D．66．二次函数f（x）=x2﹣2mx+3，在区间[﹣1，2]上不单调，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，2]D．[﹣1，2]7．如图所示是南京青奥会传递火炬时，火炬离主会场距离（y）与传递时间（x）之间的函数关系的图象，若用黑点表示主会场的位置，则火炬传递的路线可能是（）A．B．C．D．8．若∅⊊{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）9．函数y=|a|x﹣（a≠0且a≠1）的图象可能是（）A． B． C．D．10．已知2a=3b=k（k≠1），且2a+b=2ab，则实数k的值为（）A．18 B．18 或﹣18 C．或D．11．函数y=（x﹣4）|x|在[a，4]上的最小值为﹣4，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，2]C．D．12．设函数f（x）=2﹣，则使得f（x2+x+2）＞f（﹣x2+x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，]C．（﹣，+∞）D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡对应的题中横线上.13．若f（x）=，则f（x）的定义域是．14．已知x2∈{0，1，x}，则实数x的值是．15．已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义在[a﹣1，2a]的偶函数，则a+b=．16．对于函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得对于区间D上的一切实数x都有f（x）≤g（x）成立，则称函数g（x）为函数f（x）在区间D上的一个“覆盖函数”，设f（x）=2x，g（x）=2x，若函数g（x）为函数f（x）在区间[m，n]上的一个“覆盖函数”，则2|m﹣n|的最大值为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.17．计算下列各式的值：（1）（）﹣（）+（0.2）﹣2×；（2）．18．已知一次函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=2x+3对任意实数x都成立．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）是定义在区间[﹣1，1]上的偶函数，当x∈[0，1]时，g（x）=f （x），求g（x）的解析式．19．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|x＞2}，全集U=R．（1）求（∁U B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．20．双流中学食堂旁边有一块矩形空地，学校想要在这块空地上修建一个内接四边形EFGH花坛（如图所示），该花坛的四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞10），BC=10，且AE=AH=CG=CF，设AE=x，花坛EFGH的面积记为S （x）．（1）求S（x）的解析式，并指出这个函数的定义域；（2）当x为何值时，花坛面积S（x）最大？并求出最大面积．21．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）用定义证明：f（x）在R上是减函数；（3）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．2015-2016学年四川省成都市双流中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题.本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B=（）A．{2，3}B．{0，1}C．{0，1，4}D．{0，1，2，3，4}【考点】交集及其运算．【分析】根据题意和交集的运算直接求出A∩B．【解答】解：因为集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，所以A∩B={2，3}，故选：A．2．下列函数中与函数y=x相等的是（）A．y=|x|B．C．D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】通过函数的定义域与函数的值域，以及对应法则，判断选项即可．【解答】解：对于A，y=|x|=，与函数y=x的对应关系不同，不是相等函数；对于B，y==x（x∈R），与函数y=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等的函数；对于C，y==|x|，与函数y=x的对应关系不同，不是相等的函数；对于D，y==x（x≠0），与函数y=x（x∈R）的定义域不同，不是相等的函数．故选：B．3．下列函数中在定义域内既是奇函数又是增函数的为（）A．y=2x+1 B．y=x2 C．y= D．y=x|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数、偶函数的定义，奇函数图象的对称性，以及反比例函数、二次函数的单调性及分段函数单调性的判断即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=2x+1的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B．y=x2是偶函数，∴该选项错误；C．反比例函数在定义域内没有单调性，∴该选项错误；D．y=x|x|的定义域为R，且（﹣x）|﹣x|=﹣x|x|；∴该函数为奇函数；；∴y=x|x|在（﹣∞，0），[0，+∞）上单调递增，且02=﹣02；∴该函数在定义域R内是增函数，∴该选项正确．故选：D．4．函数y=，x∈[﹣3，3]的值域为（）A．（﹣∞，3]B．[3，+∞）C．[0，3]D．（0，3]【考点】函数的值域．【分析】由x的范围求出9﹣x2的范围，则函数值域可求．【解答】解：∵﹣3≤x≤3，∴0≤x2≤9，则0≤9﹣x2≤9，∴0．即函数y=，x∈[﹣3，3]的值域为[0，3]．故选：C．5．已知函数f（x）=，若f（f（0））=6m，则实数m等于（）A．B．C．1 D．6【考点】函数的值．【分析】由分段函数的性质先求出f（0）=2，再求出f（f（0））=f（2）=4+2m，由此根据f（f（0））=6m，得4+2m=6m，从而能求出m．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（0）=20+1=2，∴f（f（0））=f（2）=4+2m，∵f（f（0））=6m，∴4+2m=6m，解得m=1．故选：C．6．二次函数f（x）=x2﹣2mx+3，在区间[﹣1，2]上不单调，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，2]D．[﹣1，2]【考点】二次函数的性质．【分析】若二次函数f（x）=x2﹣2mx+3，在区间[﹣1，2]上不单调，则函数图象的对称轴在（﹣1，2）上，进而得到答案．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2mx+3的图象是开口朝上，且以直线x=m为对称轴的抛物线，若在区间[﹣1，2]上不单调，则m∈（﹣1，2），故选：A7．如图所示是南京青奥会传递火炬时，火炬离主会场距离（y）与传递时间（x）之间的函数关系的图象，若用黑点表示主会场的位置，则火炬传递的路线可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】分别根据函数图象的实际意义可依次判断各个选项是否正确．【解答】解：根据函数图象可知，火炬传递的路线先逐渐远去，有一段时间距离不变说明火炬传递的路线是一段弧线，之后回到主会场的位置，分析四个选项只有D符合题意．故选D．8．若∅⊊{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据集合关系即可得到结论．【解答】解：∵∅⊊{x|x2≤a，∴a≥0，故选：B9．函数y=|a|x﹣（a≠0且a≠1）的图象可能是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据指数函数的图象和性质即可判断．【解答】解：当|a|＞1时，函数为增函数，且过定点（0，1﹣），因为0＜1﹣＜1，故排除A，B当|a|＜1时且a≠0时，函数为减函数，且过定点（0，1﹣），因为1﹣＜0，故排除C．故选：D．10．已知2a=3b=k（k≠1），且2a+b=2ab，则实数k的值为（）A．18 B．18 或﹣18 C．或D．【考点】对数的运算性质．【分析】由2a=3b=k（k≠1），知a=log2k，b=log3k，得到=log k2，=log k3，代值计算即可．【解答】解：∵2a=3b=k（k≠1），∴a=log2k，b=log3k，∴=log k2，=log k3，∵2a+b=ab，∴+=log k9+log k2=log k18=2，∴k=3．故选：D．11．函数y=（x﹣4）|x|在[a，4]上的最小值为﹣4，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，2]C．D．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】先作出函数y=（x﹣2）|x|在a≤x≤2上的图象，结合函数图象，欲使函数y=（x﹣2）|x|在a≤x≤2上的最小值为﹣1，则x A≤a≤x B，从而求出所求【解答】解：y=（x﹣4）|x|=，作出函数y=（x﹣2）|x|在a≤x≤4上的图象，令（x﹣4）|x|=﹣4，当x≥0时，x2﹣4x=﹣4，解得x B=2，当x＜0时，﹣x2+4x=﹣4，解得x A=2﹣2，结合函数图象，欲使函数y=（x﹣4）|x|在[a，4]上的最小值为﹣4，则x A≤a≤x B，即实数a的取值范围为，故选：A12．设函数f（x）=2﹣，则使得f（x2+x+2）＞f（﹣x2+x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，]C．（﹣，+∞）D．【考点】函数单调性的性质．【分析】根据函数的表达式可知函数f（x）为偶函数，判断函数在x大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，可得|x2+x+2|＞|﹣x2+x﹣1|，解绝对值不等式即可．【解答】解：f（x）=2﹣定义域为R，∵f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）=2﹣单调递增，根据偶函数性质可知：得f（x2+x+2）＞f（﹣x2+x﹣1）成立，∴|x2+x+2|＞|﹣x2+x﹣1|，∴x2+x+2＞x2﹣x+1，∴x的范围为（﹣，+∞）故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡对应的题中横线上.13．若f（x）=，则f（x）的定义域是{x|x≥﹣2} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：x+2≥0，解得：x≥﹣2，故函数f（x）的定义域是{x|x≥﹣2}，故答案为：{x|x≥﹣2}．14．已知x2∈{0，1，x}，则实数x的值是﹣1．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据集合元素和集合的关系确定x的值，注意元素的互异性的应用．【解答】解：∵x2∈{1，0，x}，∴x2=1，x2=0，x2=x，由x2=1得x=±1，由x2=0，得x=0，由x2=x得x=0或x=1．综上x=±1，或x=0．当x=0时，集合为{1，0，0}不成立．当x=1时，集合为{1，0，1}不成立．当x=﹣1时，集合为{1，0，﹣1}，满足条件．故答案是：﹣1．15．已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义在[a﹣1，2a]的偶函数，则a+b=．【考点】偶函数．【分析】由偶函数的定义域关于原点对称求出a的值，由偶函数的定义f（x）=f （﹣x），求出b的值后求a+b的值．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义在[a﹣1，2a]的偶函数，∴a﹣1+2a=0，解得a=，由f（x）=f（﹣x）得，b=0，即a+b=．故答案为：．16．对于函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得对于区间D上的一切实数x都有f（x）≤g（x）成立，则称函数g（x）为函数f（x）在区间D上的一个“覆盖函数”，设f（x）=2x，g（x）=2x，若函数g（x）为函数f（x）在区间[m，n]上的一个“覆盖函数”，则2|m﹣n|的最大值为2．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】由2|m﹣n|的最大值，知需找|m﹣n|的最大值，由2x≤2x恒成立，知1≤x≤2，所以得|m﹣n|最大为1，所以2|m﹣n|的最大值为2．【解答】解：求解2|m﹣n|的最大值，即为寻找|m﹣n|的最大值，∵f（x）=2x，g（x）=2x，要想对于区间D上的一切实数x都有f（x）≤g（x）成立，即2x≤2x恒成立，则1≤x≤2，∴区间[m，n]的最大跨度为2﹣1=1，∴2|m﹣n|的最大值为2．故答案为：2．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.17．计算下列各式的值：（1）（）﹣（）+（0.2）﹣2×；（2）．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】分别根据指数幂和对数的运算性质计算即可．【解答】解（1）：=﹣+3=；（2）原式==﹣5log32+5log32﹣2﹣3=﹣518．已知一次函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=2x+3对任意实数x都成立．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）是定义在区间[﹣1，1]上的偶函数，当x∈[0，1]时，g（x）=f （x），求g（x）的解析式．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）设f（x）=kx+b（k≠0），由f（x+1）+f（x）=2x+3，即可得到，解得即可．（2）设x＜0，利用函数是偶函数，得到﹣x＞0，然后代入求解即可．【解答】解（1）：设f（x）=kx+b（k≠0），由f（x+1）+f（x）=2x+3，得k（x+1）+1+kx+b=2x+3∴，解得k=1，b=1，∴f（x）=x+1，x∈R，（2）设x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，∵x∈[0，1]时，g（x）=f（x）=x+1，∴g（﹣x）=﹣x+1，又因为g（x）为偶函数∴g（﹣x）=g（x）=﹣x+1∴．19．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|x＞2}，全集U=R．（1）求（∁U B ）∪A ；（2）已知集合C={x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算． 【分析】（1）化简A=[1，3]，B={x |x ＞2}=（2，+∞），从而求得； （2）分类讨论，从而确定a 的取值范围．【解答】解：（1）A={x |3≤3x ≤27}=[1，3]，B={x |x ＞2}=（2，+∞）， 故（∁U B ）∪A=（﹣∞，2]∪[1，3]=（﹣∞，3]； （2）①当a ≤1时，C=∅，此时C ⊆A ； ②当a ＞1时，C ⊆A ，则1＜a ≤3；综合①②，可得a 的取值范围是（﹣∞，3]．20．双流中学食堂旁边有一块矩形空地，学校想要在这块空地上修建一个内接四边形EFGH 花坛（如图所示），该花坛的四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a （a ＞10），BC=10，且 AE=AH=CG=CF ，设AE=x ，花坛EFGH 的面积记为S （x ）．（1）求S （x ）的解析式，并指出这个函数的定义域；（2）当x 为何值时，花坛面积S （x ）最大？并求出最大面积．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）先求得四边形ABCD ，△AHE ，△BEF 的面积，再分割法求得四边形EFGH 的面积，即建立y 关于x 的函数关系式；（2）由（1）知y 是关于x 的二次函数，用二次函数求最值的方法求解． 【解答】解：（1）S △AEH =S △CFG =x 2，S △BEF =S △DGH =（a ﹣x ）（10﹣x ）． S （x ）=S ABCD ﹣2S △AEH ﹣2S △BEF =2a ﹣x 2﹣（a ﹣x ）（10﹣x ）=﹣2x 2+（a +10）x由，得0＜x≤10∴S（x）=﹣2x2+（a+10）x，x∈（0，10]…（2）由（1）知f（x）=﹣2x2+（a+10）x=因为a＞10，若≤10，即10＜a≤30，S（x）max=S（）=综上所述，10＜a≤30时，S（x）max=S（）=；当a＞30，x=10时，S（x）max=S（10）=10a﹣100…21．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）用定义证明：f（x）在R上是减函数；（3）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，求实数k的取值范围．【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据f（x）为R上的奇函数，从而有f（0）=0，这样便可求出a=1；（2）可求得，根据减函数的定义，设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，然后作差，通分，根据指数函数的单调性便可证明f（x1）＞f（x2），这样即可证出f（x）在R上是减函数；（3）根据f（x）为R上的奇函数且为减函数便可由条件得出对任意的恒成立，可设g（x）=，并可令，从而可得到，这样便可求出h（t）在的最小值，即得出g（x）的最小值，从而便可得出k的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）是奇函数且定义域为R可得f（0）=0；即；∴a=1；∴；（2）由（1）知，设x1，x2∈R，且x1＜x2，则：=；∵x1＜x2，y=2x在R上递增；∴＞0；，，；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在R上单调递减；（3）因f（x）是奇函数，从而不等式：f（kx2）+f（2x﹣1）＞0等价于f（kx2）＞f（1﹣2x）；因f（x）为减函数，由上式推得：kx2＜1﹣2x；即对一切有：恒成立；设，令，t；则有；∴g（x）min=h（t）min=g（1）=﹣1；∴k＜﹣1，即k的取值范围为（﹣∞，﹣1）．22．已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．【分析】（1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；（3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．【解答】解：（1）函数y=f（x）为奇函数．当a=0时，f（x）=x|x|+2x，∴f（﹣x）=﹣x|x|﹣2x=﹣f（x），∴函数y=f（x）为奇函数；（2）f（x）=，当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a﹣1；当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；∴当a﹣1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，即﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；（3）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．①当﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，∴关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三个不相等的实数根；…②当a＞1时，即2a＞a+1＞a﹣1，∴f（x）在（﹣∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即4a＜t•4a＜（a+1）2，∵a＞1，∴．设，∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证在（1，2]上单调增∴＜h（a）max=，∴1＜t＜③当a＜﹣1时，即2a＜a﹣1＜a+1，∴f（x）在（﹣∞，2a）上单调增，在（2a，a﹣1）上单调减，在（a﹣1，+∞）上单调增，∴当f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即﹣（a﹣1）2＜t•4a＜4a，∵a＜﹣1，∴，设，∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜g（a）max，又可证在[﹣2，﹣1）上单调减，∴g（a）max=，∴1＜t＜；综上：1＜t＜．2017年1月15日。