转化与化归思想
高中数学 转化与化归思想
第四讲转化与化归思想知识整合一、转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法，一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．二、转化与化归的常见方法1．直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．2．换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．3．数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．4．等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的．5．特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题的结论适合原问题．6．构造法：构造一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．7．坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．8．类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求．9．参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行解决．10．补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁U A使原问题获得解决，体现了正难则反的原则．1.特殊与一般的转化典题例析例1(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则cos A＋cos C1＋cos A cos C＝45.[思路探究]看到a，b，c成等差数列，可联想到等边三角形举特例求解．[解析]显然△ABC为等边三角形时符合题设条件，所以cos A＋cos C1＋cos A cos C＝cos60°＋cos60°1＋cos60°cos60°＝11＋14＝45.(2)已知f (x )＝33x ＋3，则f (－2 019)＋f (－2 018)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)＝__2_020__.[思路探究] 看到求f (－2 019)＋f (－2 018)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)的值，想到求f (x )＋f (1－x )的值．[解析] f (x )＋f (1－x )＝33x ＋3＋331－x ＋3＝33x ＋3＋3x3＋3x ＝3x ＋33x ＋3＝1，所以f (0)＋f (1)＝1，f (－2 019)＋f (2 020)＝1，所以f (－2 019)＋f (－2 018)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)＝2 020. 规律总结化一般为特殊的应用(1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等． (2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案．(3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．1．AB 是过抛物线x 2＝4y 的焦点的动弦，直线l 1，l 2是抛物线两条分别切于A ，B 的切线，则l 1，l 2的交点的坐标为__(0，－1)__．[解析] 找特殊情况，当AB ⊥y 轴时，AB 的方程为y ＝1，则A (－2,1)，B (2,1)，过点A 的切线方程为y －1＝－(x ＋2)，即x ＋y ＋1＝0.同理，过点B 的切线方程为x －y －1＝0，则l 1，l 2的交点为(0，－1)．2．在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝12，|AD →|＝8.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( C )A ．20B ．15C ．36D ．6[解析] 方法一：由BM →＝3MC →，DN →＝2NC →知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM →＝AB →＋34AD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD→＋23AB →，所以NM →＝AM →－AN →＝AB →＋34AD →－(AD →＋23AB →)＝13AB →－14AD →，所以AM →·NM →＝(AB →＋34AD →)·(13AB →－14AD →)＝13(AB →＋34AD →)·(AB →－34AD →)＝13(AB →2－916AD →2)＝13(144－916×64)＝36，故选C.方法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM →＝(12,6)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM →＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.2.函数、方程、不等式之间的转化 典题例析例2 (1)已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈[1e ，1]，总存在唯一的y ∈[－1,1]，使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y 成立，则实数a 的取值范围是( B )A ．[1e ，e]B ．(2e ，e]C ．(2e，＋∞)D ．(2e ，e ＋1e)[解析] 设f (x )＝ln x －x ＋1＋a ，当x ∈[1e ，1]时，f ′(x )＝1－x x ≥0，f (x )是增函数，所以x ∈[1e ，1]时，f (x )∈[a －1e ，a ]．设g (y )＝y 2e y ，则g ′(y )＝e y y (y ＋2)，则g (y )在[－1，0)单调递减，在[0,1]单调递增，且g (－1)＝1e <g (1)＝e.因为对任意的x ∈[1e ，1]，存在唯一的y ∈[－1,1]，使得f (x )＝g (y )成立，所以[a －1e ，a ]⊆[1e ，e]，∴2e<a ≤e ，故选B.(2)(文)(2019·沈阳模拟)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若对∀x 1∈[12，3]，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)[解析] 当x ∈[12，3]时，f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝4.当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a .依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0.选C.(理)(2019·济南调研)已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn ，则( A )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定[解析] 由不等式可得1n 2－1m 2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m 2＋ln m .设f (x )＝1x 2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.因为x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增．因为f (n )<f (m )，所以n <m .故选A ． 规律总结函数、方程与不等式相互转化的应用1．函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助． 2．解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．1．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈[12，2]，f (x )>0都成立，则实数a 的取值范围为( B )A ．[12，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．[－4，＋∞)D ．(－4，＋∞)[解析] 由题意得，对一切x ∈[12，2]，f (x )>0都成立，即a >2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－2(1x －12)2＋12在x ∈[12，2]上恒成立，而－2(1x －12)2＋12≤12，则实数a 的取值范围为(12，＋∞)． 2．已知a ＝13ln 94，b ＝45ln 54，c ＝14ln4，则( B )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．b <c <a[解析] a ＝13ln 94＝13ln(32)2＝23ln 32＝ln 3232，b ＝45ln 54＝ln 5454，c ＝14ln4＝14×2ln2＝ln22.故构造函数f (x )＝ln x x ，则a ＝f (32)，b ＝f (54)，c ＝f (2)．因为f ′(x )＝1－1·ln x x 2＝1－ln xx2，由f ′(x )＝0，解得x ＝e.故当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，e]上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0， 函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递减．因为54<32<2<e ，所以f (54)<f (32)<f (2)，即b <a <c ，故选B.3.正难则反的转化 典题例析例3 (1)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋(m2＋2)x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是( B )A ．(－5，－103)B ．(－373，－5)C ．(－5，－2)D ．(－5，＋∞)[解析] g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2， 若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t －3t 恒成立，又t ∈[1,2]，则m ＋4≥21－3×1＝－1，即m ≥－5；②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.(2)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为 (0，18) .[解析] f ′(x )＝2ax －1＋1x.(ⅰ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≥0，得a ≥12(1x －1x2)．①令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ＝1x ∈(12，1)．设h (t )＝12(t －t 2)＝－12(t －12)2＋18，t ∈(12，1)，显然函数y ＝h (t )在区间(12，1)上单调递减，所以h (1)<h (t )<h (12)，即0<h (t )<18.由①可知，a ≥18.(ⅱ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≤0，得a ≤12(1x －1x2)．②结合(ⅰ)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[18，＋∞)．所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为(0，18)．规律总结转化化归思想遵循的原则1．熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题． 2．简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．3．直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何向平面几何问题转化)．4．正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．1．若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是( D )A ．(－∞，12]B ．(－∞，12)C ．(－12，＋∞)D ．[－12，＋∞)[解析] 设抛物线y ＝x 2上两点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)关于直线y ＝k (x －3)对称，AB 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 21＋x 222.由题设知x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，所以x 1＋x 22＝－12k .又AB 的中点P (x 0，y 0)在直线y ＝k (x －3)上，所以x 21＋x 222＝k (x 21＋x 222)＝k (x 1＋x 22－3)＝－6k ＋12，所以中点P (－12k ，－6k ＋12)．由于点P 在y >x 2的区域内，则－6k ＋12>(－12k )2，整理得(2k ＋1)(6k 2－2k ＋1)<0，解得k <－12.因此当k <－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称，于是当k ≥－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x ＝3)对称．所以实数k 的取值范围是[－12，＋∞)．故选D.2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，则实数p 的取值范围是 (－3，32) .[解析] 若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )>0， 因为Δ＝36p 2≥0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0解得⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.所以p ≤－3或p ≥32，取补集得－3<p <32，即满足题意的实数p 的取值范围是(－3，32)．4.形体位置关系的转化 典题例析例4 (1)如图所示，已知多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为__4__.[解析] 方法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH －ABC 和一个斜三棱柱BEF －CHG .由题意，知V 三棱柱DEH －ABC ＝S △DEH ·AD ＝(12×2×1)×2＝2，V 三棱柱EBF －CHG ＝S △BEF ·DE ＝(12×2×1)×2＝2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.方法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体的体积V 正方体ABHI －DEKG ＝23＝8， 故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEGH ＝12×8＝4.(2)如图1所示，正△ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC ，BC 的中点．现将△ABC 沿CD 翻折，使翻折后平面ACD ⊥平面BCD (如图2)，求三棱锥C －DEF 的体积．[解析] 方法一：如图，取CD 的中点M ，连接EM ，则EM ∥AD ，且EM ＝12AD ＝a2，又AD ⊥平面BDC ，故EM 为三棱锥E －DFC 的高．求三棱锥C －DEF 的体积，即求三棱锥E －DFC 的体积． 由题意，知CD ⊥BD ，AD ⊥CD ，F 为BC 的中点， 所以S △CDF ＝12S △BCD ＝12×12CD ·BD ＝14(2a )2－a 2·a ＝34a 2.所以V 三棱锥E －CDF ＝13S △CDF ·EM ＝13×34a 2×12a ＝324a 3.即V 三棱锥C －DEF ＝324a 2.方法二：如图所示，知三棱锥C －DEF 与三棱锥E －DFC 的体积相等，且三棱锥E －DFC 是三棱锥A －BDC 的一部分．因为平面ACD ⊥平面BCD ，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，故三棱锥E －DFC 的底面积和高分别是三棱锥A －BDC 的底面积和高的一半．由题意，知CD ⊥BD ，AD ⊥CD ，AD ⊥BD ，AD ＝BD ＝a ，DC ＝3a ，所以S △BCD ＝12×3a ·a ＝32a 2. 故V 三棱锥A －BDC ＝13S △BCD ·AD ＝13×32a 2×a ＝36a 3，则V 三棱锥C －DEF ＝14V 三棱锥A －BCD ＝14×36a 3＝324a 3. 规律总结形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征．1．(2019·吉林模拟)已知如图，四边形ABCD 和四边形BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，∠BCD ＝∠BCE ＝π2，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC ＝CD ＝CE ＝2AD ＝2BG ＝2，则五面体EGBADC的体积为 73.[解析] 如图所示，连接DG ，BD .由平面ABCD ⊥平面BCEG ， ∠BCD ＝∠BCE ＝π2，可知EC ⊥平面ABCD ， 又CE ∥GB ， 所以GB ⊥平面ABCD .又BC ＝CD ＝CE ＝2，AD ＝BG ＝1，所以V 五面体EGBADC ＝V 四棱锥D －BCEG ＋V 三棱锥G －ABD＝13S 梯形BCEG ·DC ＋13S △ABD ·BG ＝13×2＋12×2×2＋13×12×1×2×1＝73.故填73. 2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC ＝60°的菱形，M 为PC 的中点．(1)求证：PC ⊥AD ；(2)求点D 到平面P AM 的距离．[解析] (1)证明：如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OC ，AC ，由题意可知△P AD ，△ACD 均为正三角形，所以OC ⊥AD ，OP ⊥AD .又OC ∩OP ＝O ，所以AD ⊥平面POC ， 又PC ⊂平面POC ，所以PC ⊥AD .(2)点D 到平面P AM 的距离即点D 到平面P AC 的距离，由(1)可知，PO ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P －ACD 的高．在Rt △POC 中，PO ＝OC ＝3，PC ＝6，在△P AC 中， 因为P A ＝AC ＝2，PC ＝6，所以边PC 上的高 AM ＝P A 2－PM 2＝22－(62)2＝102， 所以△P AC 的面积S △P AC ＝12PC ·AM ＝12×6×102＝152.设点D 到平面P AC 的距离为h ，由V D －P AC ＝V P －ACD ，得13S △P AC ·h ＝13S △ACD ·PO ，又S △ACD ＝12×2×3＝3，所以13×152×h ＝13×3×3，解得h ＝2155.故点D 到平面P AM 的距离为2155.。
六大数学思想之四：转化与化归_最新修正版
六大数学思想之四：转化与化归1.什么是转化与化归？转化与化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法，转化与化归思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，学会用化归与转化的思想方法分析问题、处理问题有着十分重要意义。
化归与转化是通过某种转化过程，把待解决的问题或未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
2. 转化与化归的主要方式：1、等价转化，2、空间图形问题转化为平面图形问题，3、局部与整体的相互转化，4、特殊与一般的转化，5、非等价转化，6、换元、代换等转化方法的运用，7、正与反的转化,8、数与形的转化，9、相等与不等的转化,10、常量与变量的转化、11、实际问题与数学语言的转化等.3.转化与化归思想的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．题型一正难则反的转化：Esp1：已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 即U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，则⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，⇒m ≥32，x 1x 2＝2m ＋6≥0所以使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．Esp2: 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立． 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.题型二 函数、方程、不等式之间的转化：解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．Esp3: 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x－1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1； 令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)． 取t ＝1n(n ∈N *)时，则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， 叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n )＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．Esp4: 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.题型三主与次的转化：合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a 视作自变量。
转化与化归思想、分类讨论思想
一、转化与化归思想
[思想概述] 转化化归思想的基本内涵是：人们在解决数学问题时，常 常将待解决的数学问题A，通过某种转化手段，归结为另一 问题B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决模
式的问题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的解．用
框图可直观地表示为：
[规律方法] (1)根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之
相关，易于解决的新问题，是我们解决数学问题的常用思 路． (2)本题把立体几何问题转化为平面几何问题，三维降为二 维，难度降低，易于解答的数学问题分解(或分割)
成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原 问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加 一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分 解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．
分类讨论的常见类型：
(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如 绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的定理、
公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如 等比数列的前n项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算和字母参数变化引起分类；如偶次方根非负， 对数的底数与真数的限制，方程(不等式)的运算与根的大小比
难以入手，因此对参数θ取特殊值，进行推理求解．
(2)当问题难以入手时，可以先对特殊情况或简单情形进行 观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元 素，然后推广到一般情形，并加以证明．
类型二
换元及常量与变量的转化
【例 2】 已知 f(x)为定义在实数集 R 上的奇函数，且 f(x)在[0，＋ π ∞)上是增函数．当 0≤θ≤2时，是否存在这样的实数 m，使 f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)＞f(0)对所有的
转化与化归思想
转化与化归思想转化与化归思想就是把那些待解决或难解决的问题，通过某种手段，使之转化为一类已解决或易解决的问题，最终使原问题获解．使用化归思想的原则是：化难为易、化生为熟、化繁为简、化未知为已知．转化与化归思想高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，它几乎可以渗透到所有的数学内容和解题过程中. 类型一 直接转化【典例1】 已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．【答题模板】【解析】 ∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，∴{1a n}是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．【对点练1】 求下列函数的值域：(1)y ＝sin x ＋cos x ；(2)y ＝sin 2x －cos x ＋1； (3)y ＝cos x2cos x ＋1；(4)y ＝1＋sin x 3＋cos x.【解析】 (1)∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，∴函数的值域为[－2，2]． (2)∵y ＝sin 2x －cos x ＋1＝2－cos 2x －cos x ＝－(cos x ＋12)2＋94，∴函数的值域为[0，94]． (3)由y ＝cos x 2cos x ＋1，得cos x ＝y1－2y .∵|cos x |≤1，∴解不等式|y 1－2y |≤1，得y ≤13或y ≥1.∴函数的值域为(－∞，13]∪[1，＋∞)．(4)由y ＝1＋sin x3＋cos x ，得sin x －y cos x ＝3y －1，即1＋y 2·sin(x －φ)＝3y －1.∴sin(x －φ)＝3y －11＋y 2.∵|sin(x －φ)|≤1，∴|3y －11＋y 2|≤1.平方化简得y ·(4y －3)≤0.∴0≤y ≤34，即函数值域为[0，34]．类型二 换元法【典例2】 求函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值． 【答题模板】【解析】 y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]且sin x cos x ＝t 2－12.∴y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)． 故当t ＝43时，y min ＝72.【对点练2】 (2015·衡水调研)已知x ＋y ＝－1，且x ，y 都是负数，求xy ＋1xy 的最值． 【解析】 设x ＝－sin 2α(sin 2α≠0)，y ＝－cos 2α(cos 2α≠0)，则xy ＋1xy ＝sin 2αcos 2α＋1sin 2αcos 2α＝14sin 22α＋4sin 22α＝14(sin 22α＋16sin 22α)． ∵sin 22α＋16sin 22α在sin 22α∈(0,1]上是减函数，∴sin 22α＝1时，取得最小值，∴xy ＋1xy 的最小值为14(1＋161)＝174.【典例3】 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 【答题模板】 可采用换元法，令t ＝3x ，将问题转化为关于t 的方程有正解进行解决． 【解析】 设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程 t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a 得a ＋4＝－(t ＋4t )，∵t >0，∴－(t ＋4t )≤－4.∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]． 【对点练3】 设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 【解析】 令2x ＋y ＝t ，则y ＝t －2x .则4x 2＋y 2＋xy ＝1变形为6x 2－3tx ＋t 2－1＝0. Δ＝9t 2－4·6·(t 2－1)≥0，t 2≤85.∴－2105≤t ≤2105，即2x ＋y 的最大值是2105.类型三 数形结合法【典例4】 求函数f (x )＝2－sin x2＋cos x 的值域．【解析】 函数f (x )＝2－sin x2＋cos x ，可看作点(2,2)，(－cos x ，sin x )两点连线的斜率．点(－cos x ，sin x )的轨迹为x 2＋y 2＝1.函数值域即为(2,2)与单位圆x 2＋y 2＝1上点连线斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆相切的直线斜率存在，不妨设为k .∴切线方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0.∴满足|2－2k |1＋k 2＝1，解之得k ＝4±73.∴函数f (x )的值域为[4－73，4＋73]． 【对点练4】 设f (x )＝1＋x 2，求证：对于任意实数a ，b ，a ≠b ，都有|f (a )－f (b )|<|a －b |.【解析】 设A (x 1,1)，B (x 2,1)，则|OA |＝1＋x 21，|OB |＝1＋x 22，|AB |＝|x 1－x 2|.在△AOB 中，||OA |－|OB ||<|AB |，即有|1＋x 21－1＋x 22|<|x 1－x 2|，所以|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，即|f (a )－f (b )|<|a －b |. 类型四 构造法【典例5】 在三棱锥P －ABC 中，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P －ABC 的体积为________．【答题模板】 用常规方法利用三棱锥的体积公式求解体积时，无法求出三棱锥的高．但若换个角度来思考，注意到三棱锥的三对棱两两相等，我们可以构造一个特定的长方体，将问题转化为长方体中的某个问题．【解析】 如图所示，把三棱锥P －ABC 补成一个长方形AEBG －FPDC ，易知三棱锥P －ABC 的各棱分别是长方体的面对角线，不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.所以V P －ABC ＝V AEBG －FPDC －V P －AEB －V C －ABG －V B －PDC －V A －FPC ＝V AEBG －FPDC －4V P －AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160.故所求三棱锥P －ABC 的体积为160.【对点练5】 已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．【解析】先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题．如图，满足题意的正三棱锥P －ABC 可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线，且面ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面ABC 的距离等于体对角线长的16，故球心到截面ABC 的距离为16×23＝33. 类型七 参数法【典例8】 已知直线l 过点A (2,3)且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于M ，N 两点，则当|AM |·|AN |最小时，直线l 的方程为________． 【解析】 设∠AMO 为θ，则θ∈(0，π2)， ∴|AM |＝3sin θ，|AN |＝2cos θ. ∴|AM |·|AN |＝6sin θ·cos θ＝12sin2θ≥12. 当且仅当sin2θ＝1，即θ＝π4时取“＝”号．此时k l ＝－1，∴l 的方程为x ＋y －5＝0. 【对点练8】 (2015·北京东城联考)已知点P (3,4)与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，A ，B 是圆C 上两个动点，且|AB |＝23，则OP →·(OA →＋OB →)(O 为坐标原点)的取值范围是( ) A ．[3,9] B ．[1,11] C ．[6,18] D ．[2,22]【解析】 设AB 的中点为D ，则OA →＋OB →＝2OD →，因为|AB |＝23，所以|CD |＝1，故点D在圆(x －2)2＋y 2＝1上，所以点D 的坐标为(2＋cos α，sin α)，故OP →·(OA →＋OB →)＝2OP →·OD →＝2(6＋3cos α＋4sin α)＝2[6＋5sin(α＋φ)]，而2≤2[6＋5sin(α＋φ)]≤22，则OP →·(OA →＋OB →)的取值范围是[2,22]．。
思想方法 第4讲 转化与化归思想
思想方法第4讲转化与化归思想 思想概述转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．方法一 特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．例1(1)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a＝1(a >0)的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9B ．x 2＋y 2＝7C ．x 2＋y 2＝5D ．x 2＋y 2＝4________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(2)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝12，|AD →|＝8，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM→等于( )A ．20B ．15C ．36D ．6________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．方法二命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决．一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化．例2(1)(2022·济南模拟)若“∃x∈(0，π)，sin 2x－k sin x<0”为假命题，则k的取值范围为() A．(－∞，－2] B．(－∞，2]C．(－∞，－2) D．(－∞，2)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知在三棱锥P－ABC中，P A＝BC＝234，PB＝AC＝10，PC＝AB＝241，则三棱锥P －ABC的体积为()A．40 B．80C．160 D．240________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元．方法三函数、方程、不等式之间的转化函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y＝f(x)的图象性质可以确定方程f(x)＝0，不等式f (x )>0和f (x )<0的解集．例3已知f (x )＝ln x －x 4＋34x，g (x )＝－x 2－2ax ＋4，若对∀x 1∈(0,2]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是____________．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 例4已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1ef (x )－(x ＋1). (1)求函数g (x )的极大值；________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(2)求证：1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 规律方法借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．。
化归与转化的数学思想解题举例
化归与转化的数学思想解题举例在数学问题中，化归与转化是一种常用的解题思路。
它们可以帮助我们将原问题转化为一个简化的形式，从而更容易得到解答。
本文将通过几个具体的例子来说明化归与转化在数学问题中的应用。
一、化归化归是将一个复杂的问题转化为一个更简单的等价问题的过程。
它通常是通过引入新变量或假设，将原问题转化为一个更易于处理的形式。
例子1：求解一元二次方程的解对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a不等于0，我们可以通过化归的方法求解其根。
首先，我们可以将方程中的未知数x改写为y = x + p，其中p是一个常数。
这样，我们将原来的方程转化为了ay^2 + dy + e = 0（其中d 和e是和p相关的常数）。
接下来，我们可以通过求解新方程来得到原方程的解。
由于新方程中的y是一个平移的变量，我们可以通过平方完成对y的消除。
最后，我们将得到一个新的一次方程： Cy + F = 0（C和F是和p 相关的常数）。
求解这个一次方程，我们就可以得到原方程的解。
通过化归，我们将原本复杂的问题转化为了一个简单的一次方程的求解问题，从而更容易得到解答。
二、转化转化是将一个问题转换为一个具有相同解的等价问题的思想。
它可以通过改变问题的表述方式或者引入新的概念来实现。
例子2：求解无穷几何级数的和对于一个无穷几何级数a + ar + ar^2 + ar^3 + ...（其中| r | < 1），我们可以使用转化的思想来求它的和。
首先，我们可以将级数的和S表示为S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，这是一个无穷级数。
接下来，我们将级数的每一项都乘以公比r，得到rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...，这是另一个等价的无穷级数。
然后，我们将这两个等式相减，得到(S - rS) = a，进一步化简得到S = a / (1 - r)。
通过这样的转化，我们得到了无穷几何级数的和的数学表达式，简化了求解过程。
转换与化归思想
浅谈转换与化归思想转化思想就是数学中的一种基本却很重要的思想。
深究起来,转化两字中包含着截然不同的两种思想,即转换与化归。
这两者其实表达了不同的思想方法,可以说就是思维方式与操作方法的区别。
一、 转换思想(1)转换思想的内涵转换思想就是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化,能跳出现有领域的局限,联系相关领域,并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。
要做到这一点,对思维能力的要求相对更高,必须对各个领域分别都有透彻的了解,更必须对各领域之间的联系有较多的研究,在关键时刻才能随心所欲地运用。
(2)转换思想在同一学科中的应用转换思想可以就是在同一学科的不同知识模块之间的变换,在解决问题时改变解题方向。
象数学学科中,数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。
比如,函数、方程、不等式就是代数中的三大重要问题,而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其她模块的各类问题。
不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决,或者就是二次方程根的分布,也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。
再比如,数列问题用函数观点来解释,那更就是我们数学课堂中一再强调的问题了。
瞧这样一个问题:已知:11122=-+-a b b a ,求证:122=+b a 。
[分析] 这就是一个纯粹的代数证明问题,条件的变形就是比较艰难的,所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点令人望而生畏。
再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式,稍加联系,我们完全可以想到:21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现,它们呈现出完全类似的规律性。
[解答]由题意1≤a 、1≤b ,则可设αsin =a ,αcos =b ,πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα化简得1cos cos sin sin =+αααα所以0sin ≥=αa ,0cos ≥=αb则 1cos sin 2222=+=+ααb a[小结] 本题的解决了就是发现了不同知识模块中的类似规律,加以利用得到新的思路,本题的题设与结论中都没有出现三角函数的形式,最终却必须引进三角函数加以解决,思维已经具有跳跃性,对一般学生来说解决起来还就是比较棘手的。
第二讲转化与化归思想
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问 题． (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂 的 函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通 过互相变换获得转化途径． (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目 的． (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问 题，结论适合原问题．
方法二：(看成不等式的解集)∵a，b为正数，
∴a＋b≥2 ab，又ab＝a＋b＋3，
∴ab≥2 ab＋3.
即( ab)2－2 ab－3≥0，
解得 ab≥3或 ab≤－1(舍去)，∴ab≥9. ∴ab的取值范围是[9，＋∞)． 方法三：若设ab＝t，则a＋b＝t－3， ∴a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根．
则当且仅当gg－1＝1＝ x2＋x2－x≥x＋0，2≥0， 解之，得x≥0或x≤－1. 即实数x的取值范围是x≤－1或x≥0. 拓展提升——开阔思路 提炼方法 通过以上两种方法的比较可以看出，若按常规方法求解，问题 较麻烦；若将变量与参数变更关系，a为主元，转换思考的角度，使解 答变得容易．这种处理问题的思想即为转化与化归的思想．
转化与化归思想使用的根本目的，是为了能更加有效地解答我们所遇到 的问题．转化与化归，不是盲目地转化给出的条件，无论是哪种转化， 都是为了使问题更好地获解，以下几条原则我们在解题中常要遵循，可 对使用这一思想方法起到提示的作用． (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知 的知识、经验来解决问题．
4、转化与化归思想
4 转化与化归思想主线—基础—方法—应用—例题—注意—总结知识清单：知识1 转化与化归思想概述知识2 转化与化归的原则知识1 转化与化归思想概述所谓化归思想就是通过转化，使所要解决的问题由难变易或变为已经解决的问题，以有利于解决的一种数学思想。
化归思想常常以变换题目的结构形状、变更问题、从反面探究结论等方式出现，前面所介绍的函数思想、方程思想、数形结合、分类讨论等都是重要的化归方法。
知识2 转化与化归的原则（1）目标简化原则将复杂的问题向简单的问题转化。
（2）和谐统一性原则即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当。
（3）具体化原则即化归方向应由抽象到具体。
（4）低层次原则即将高维空间问题化归成低维空间问题。
（5）正难则反原则即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
方法清单：方法1 直接转化法方法2 换元转化法方法3 数形结合法转化方法4 构造法转化方法5 坐标法转化方法6 补集法转化方法7 空间与平面间的转化方法8 几何条件转化为向量关系的方法方法9 变更主元的转化法方法10一般式转化为标准式方法1 直接转化法把原问题转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。
例1函数y=1+a x(0<a<1)的反函数的图象大致是（）方法2 换元转化法运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。
例2 设20≤≤x ，求函数523421+⋅-=-x x y 的最大值和最小值。
方法3 数形结合法转化研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）的关系，通过互相变化获得转化途径。
例3 已知1,0,0=+≥≥b a b a ，求证225)2()2(22≥+++b a 方法4 构造法转化 “构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。
转化与化归思想
例1 已知 x + x + 1 = 0, 求 x + 2 x + 2010 的的。
2 3 2
例2 解方解 2( x − 1) − 5( x − 1) + 2 = 0.
2
1 1 4 例3 已知 x + = 2, 则 x + 4 的的为 __________ . x x
已知正方形的边长为a， 例4 已知正方形的边长为 ，以各边为直径 在正方形内画半圆，求所围成的图形（ 在正方形内画半圆，求所围成的图形（阴影 部分）的面积。 部分）的面积。
如图,在梯形 在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD, 例6 如图 在梯形 中 对角线AC,BD交于点 且AC⊥BD.已知 交于点O,且 ⊥ 对角线 交于点 已知 AD=3,BC=5,求AC的长 的长. 求 的长
如图， 分别是正三角形ABC、正 例7 如图，点E、D分别是正三角形 、 分别是正三角形 、 四边形ABCM、正五边形 中以C点为 四边形 、正五边形ABCMN中以 点为 中以 顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的 延长线交AE于点 点，且BE=CD，DB延长线交 于点 ． ， 延长线交 于点F． 1））若将条件“正三角形、正四边形、正 求图1中∠AFB度数，并证明 ， 、 中 度数， （（3）若将条件“正三角形、正四边形图3中 ）求图2中∠AFB的度数为 中 度数 并证明CD2=BD•EF 2）图 中 的度数为______， 的度数为 五边形”改为“ 边形” 其它条件不变， 度数为_______，在图 、图3中， 五边形”改为 边形 在图2、 ∠AFB度数为“正n边形”，其它条件不变， 度数为 ， 中 ；（填 可用含n的代数式 成立” 则∠AFB度数为 （1）中的等式 _______. 填“成立”或“不成 ）中的等式_____ ；（ （可用含 的代数式 度数为 表示，不必证明） 表示，不必证明） 不必证明） 立”，不必证明）
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转化与化归思想作者：王佩其来源：《广东教育·高中》2015年第02期第一篇：转化与化归思想概述一、转化与化归思想的含义所谓转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法.主要包含以下几个方面：（1）化未知为已知：当所要解决的问题和我们已经掌握的问题有关系时，把所要解决的问题化为已知问题;（2）化难为易：化难为易是解决数学问题的基本思想，当我们遇到的问题是崭新的，解决起来困难时，就要把这个问题化为我们熟悉的问题，熟悉的问题我们有解决的方法，就是容易的问题，这是化难为易的一个方面;（3）化繁为简：在一些问题中，已知条件或求解结论比较繁，这时就可以通过化简这些较繁的已知或者结论为简单的情况，再解决问题.有时把问题中的某个部分看作一个整体，进行换元，这也是化繁为简的转化思想;（4）化大为小：在解答综合性试题时，一个问题往往是由几个问题组成的，整个问题的结论，是通过这一系列的小问题得出的，这种情况下，就可以把所要解决的问题转化为几个小问题进行解决.二、转化与化归的常见方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.（2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径.（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的.（5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题的结论适合原问题.（6）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.（7）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.（8）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求.（9）参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行解决.（10）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集CU A使原问题获得解决，体现了正难则反的原则.三、化归与转化应遵循的基本原则（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决;（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据;（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律;（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决;（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.四、化归与转化应注意的两个问题（1）注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素.因此，化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法，而设计目标是问题的关键.设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法以及在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把要解决的问题化归为成规律问题（即问题的规范化）.化归能不能如期完成，与化归方法的选择有关，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性.因此，在解题过程中，必须始终紧紧盯住化归的目标，即应该始终考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的.在这个大前提下实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同.（2）注意化归的等价性，确保逻辑上的正确化归包括等价化归和非等价化归，等价化归后的新问题与原问题实质是一样的，不等价化归则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.高中数学中的化归大多要求等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果.如果在解题过程中没有注意化归的等价性，就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误.例如在解应用题时要注意原题中数量的实际意义，在经过数学变换后，应将所得的结果按实际意义检验;解方程或不等式时应注意变换的同解性是否仍然保持.同学们，数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，没有一个统一的模式可以遵循，而是在多方领悟、反复应用的基础上形成的，化归也不例外.我们在解题过程中，必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透，要善于反思解题过程，倒摄解题思维，回味解题中所使用的思想，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法.正如笛卡尔所说的：走过两遍的路就是方法.（作者单位：江苏省太仓市明德高级中学）第二篇：转化与化归思想在握，何愁函数问题！王佩其函数问题，是高考命题的核心问题之一.一般来说，高考中的函数问题综合性强，难度大，此类问题不仅考查了丰富多彩的函数知识，同时考查了考生的分析问题和解决问题的综合能力和创新能力.面对纷繁复杂的函数问题，我们该怎么办？转化与化归是“王道”！一、将数学表达式等价转化例1. 已知f（x）为定义在实数集R上的奇函数，f（x）且[0，+∞）在上是增函数.当0≤？兹≤ 时，是否存在这样的实数m，使f（cos2？兹-3））+f（4m-2mcos？兹）>f（0）对所有的？兹∈[0， ]均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m;若不存在，请说明理由.解析：假设存在适合条件的m，由f（x）是R上的奇函数可得f（0）=0.又在[0，+∞）上是增函数，故f（x）在R上为增函数.由题设条件可得f（cos2？兹-3））+f（4m-2mcos？兹）>0.又由f（x）为奇函数，可得f（cos2？兹-3））>f（-4m+2mcos？兹）.∵ f（x）是R上的增函数，∴ ;cos2？兹-3>-4m+2mcos？兹.即cos2？兹-mcos？兹+2m-2>0.令cos？兹=t，∵ 0≤？兹≤ ，∴ 0≤t≤1.于是问题转化为对一切0≤t≤1，不等式t2-mt+2m-2>0恒成立.∴ t2- 2>m（t-2），即m> 恒成立.又∵ =（t-2）+ ≤4-2 ，当且仅当t=2- 时取等号.∴ m>4-2 .∴存在实数满足题设的条件，m>4-2 .点评：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题，是我们解决数学问题的常用思路，本题借助换元，将复杂的三角问题转化为普通的函数问题.二、利用特殊化将抽象向具体转化例2. 若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程x-f[g（x）]=0有实数解，则g[f（x）]不可能是（ ;）A. x2+x- ; ;B. x2+x+ ; ; ;C. x2- ; ; ;D.x2+解析：本题直接解不容易，不妨令f（x）=x，则f[g（x）]=g（x），g[f（x）]=g（x），x-f[g（x）]=0有实数解，即x-g（x）=0有实数解. 这样很明显得出结论，B选项能使x-g（x）=0没有实数解，故本题选B.点评：从抽象到具体，再到抽象，能使我们从心理上感到非常轻松.像这样常见的抽象函数式有一次函数型：f（x+y）=f（x）+f（y）+m.对数函数型：f（xy）=f（x）+f（y）.幂函数型：f（x+y）=f（x）f（y）把抽象问题具体化是数学解题中常用的化归途径，它能帮助我们对抽象问题的理解和再认识，从而建立抽象语言与具体事物间的联系，实现抽象向具体的化归.三、通过换元实现函数之间的转化例3. 已知函数f（x）=（）x，x∈[-1，1]，函数g（x）=f2（x）-2af（x）+3的最小值为h（a）.（1）求h（a）;（2）是否存在实数m、n，同时满足以下条件：①m>n>3;②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2].若存在，求出m，n的值;若不存在，说明理由.解析：（1）由f（x）=（）x的单调性可求出f（x）的值域，g（x）是以f（x）为变元的二次函数，令t=（）x，可求关于t的二次函数的最小值h（a）.因为x∈[-1，1]，所以（）x∈[ ，3].设（）x=t，t∈[ ，3]，则g（x）=？渍（x）=t2-2at+3=（t-a）2+3-a2.当a< 时，h（a）=？渍（）= - a;当≤a≤3时，h（a）=？渍（a）=3-a2;当a>3时，h（a）=？渍（3）=12-6a.所以h（a）= - ，（a< ）3-a2，（≤a≤3）12-6a.（a>3）（2）由（1）知当m>n>3时h（a）的表达式，考察h（a）在[n，m]上的单调性，结合其值域[n2，m2]，可列出关于m，n的方程组求解m，n，如果有解则所求实数m，n存在，否则不存在.因为m>n>3，a∈[n，m]，所以h（a）=12-6a.因为h（a）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，h（a）且为减函数，所以12-6m=n2，12-6n=m2，两式相减得6（m-n）=（m-n）（m+n）.因为m>n，所以m-n≠0.故有m+n=6，但这与“m>n>3”矛盾，故满足条件的实数m，n不存在.点评：求解本题关键在于利用换元的思想方法，将原问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值.对于存在性问题，往往是首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理求解，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在.四、正难则反转化例4. 若对于任意t∈[1，2]，函数g（x）=x3+（ +2）x2-2x在区间（t，3）上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________.解析：函数总不为单调函数不易求解，可考虑其反面情况：g（x）在区间（t，3）上为单调函数.g′（x）=3x2+（m+4）x-2，若g（x）在区间（t，3）上上总为单调函数，则：①g′（x）≥0在（t，3）上恒成立，或②g′（x）≤0在（t，3）上恒成立.由①得3x2+（m+4）x-2≥0，即m+4≥ -3x当x∈（t，3）时恒成立，∴ m+4≥ -3t恒成立，则m+4≥-1，即m≥-5;由②得m+4≤ -3x当x∈（t，3）时恒成立，则m+4≤ -9，即m≤- .∴函数g（x）在区间（t，3）上总不为单调函数的的取值范围为-点评：正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，充分体现对立统一、相互转化的思想方法.一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单.因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中.五、主与次的转化例5. 已知函数f（x）=x3+3ax-1，g（x）=f′（x）-ax-5，其中f′（x）是f（x）的导函数.对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）解析：由题意，知g（x）=3x2-ax+3a-5，令？渍（a）=（3-x）a++3x2-5，-1≤a≤1.对-1≤a≤1，恒有g（x）∴？渍（1）故当x∈[- ，1]时，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）点评：合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，本题中通过变换主元，起到了化繁为简的作用.在不等式中出现了两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-1，1]内关于a的一次函数小于0恒成立的问题.六、函数、方程、不等式之间的转化例6. 设f（x）=ln（x+1）+ +ax+b（a，b∈R，且为常数），曲线y=f（x）与直线y= x在（0，0）点相切.（1）求a，b的值;（2）证明：当0解析：（1）把函数问题转化为方程问题.由y=f（x）的图像过点（0，0），代入得b=-1.由y=f（x）在（0，0）处的切线斜率为，知y′│x=0=（ + +a）│x=0= +a= ，得a=0.（2）把不等式问题转化为函数单调性问题.证：由基本不等式，当x>0时，2记h（x）=f（x）- ，则：h′（x）= + - = - < - = .令g（x）=（x+6）3-216（x+1），则当0因此g（x）在（0，2）内是减函数，又由g（0）=0，得g（x）因此h（x）在（0， 2）内是减函数，又由h（0）=0，得h（0）于是当0点评：函数、方程、不等式，三者之间存在着“天然”的联系，利用这种联系是破解函数问题的“法宝”.函数与导数的综合性问题，历来是高考的压轴题.解决这类问题要注意：（1）综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题;（2）及时地进行思维的转换，将问题等价转化，如本例中，将不等式问题转化为研究函数的单调性和最值问题.（作者单位：江苏省太仓市明德高级中学）第三篇：三角函数，善于转化才会赢毛美芳三角函数，作为第二类基本初等函数，是高考的必考内容，在高考中往往以中档题的身份“闪亮登场”.高考三角函数题难度虽然不大，但如果不善于转化，也很难“笑到最后”.三角函数，善于转化才会赢.那么，三角函数问题该如何转化呢？一、通过统一函数名转化函数的结构例1. 求函数y=5sinx+cos2x的最值.解析：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一.y=5sinx+（1-2sin2x）=-2sin2x+5sinx+1=-2（sinx- ）2+ .∵ -1≤sinx≤1，∴当sinx=-1，即x=2k？仔 - （k∈Z）时ymin=-2× + =-6;当sinx=1，即x=2k？仔+ （k∈Z）时ymax=-2× + =4.点评：对于三角函数的最值问题，往往可以利用三角恒等变换公式，将其转化为形如y=Asin（？棕x+？渍）+b或y=asin2x+bsinx+c等形式，进而采用相应的方法求最值.二、利用数形结合转化函数的表现形式例2. 当0≤x≤1时，不等式sin ≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________.解析：作出y1=sin 与y2=kx的图像，要使不等式sin ≥kx成立，由图1可知，需k≤1.点评：图像是函数的另一种表现形式.数形结合可将抽象的代数问题转化成直观的几何问题求解，本题将不等式转化成两个函数图像的位置关系，当0≤x≤1时，不等式sin ≥kx恒成立，即当0≤x≤1时，函数y1=sin 的图像在函数y2=kx的上方.作出两函数图像后比较，即可轻易得出k≤1.三、将三角方程有解问题转化为函数值域问题例3. 若方程2a·9sinx+4a·3sinx+a-8=0有解，则a的取值范围是________ .解析：方程2a·9sinx+4a·3sinx+a-8=0有解，等价于求a= 的值域.∵ 3sinx∈[ ，3]，∴ 2·9sinx+4·3sinx+1∈[ ，31]，则a的取值范围为≤a≤ .点评：“方程”变“函数”，“范围”变“值域”，体现了方程与函数的“内在联系”.四、将三角函数问题最值转化为解析几何问题例4. 求函数y= 的最大值和最小值.解析：联想斜率公式k= ，将原式变形为 = ，则求y的最值可转化为求点（sinx，cosx）与点（-2，0）的连线的斜率范围.设点P（sinx，cosx），Q（-2，0），则可看成单位圆上的动点P与点Q连线的斜率，如图2：设直线OP1的方程为y=k（x+2），即kx-y+2k=0，则圆心（0，0）到它的距离d= =1.解得k1=- 或k2= ，所以- ≤ ≤ ，即-1≤y≤1.故ymax=1，ymin=-1.点评：这类问题的特点是三角函数式以分式形式出现，且分子分母分别是cosx和 sinx的一次式.五、通过合理变角转化例5. 已知tan（？琢- ？茁）= ， tan？琢= ，且？琢∈（0，？仔），？茁∈（，），求？琢- 2？茁.解析：？琢-2？茁=（？琢- ？茁）-？茁，而已知条件没有？茁的三角函数式，所以首先要求出tan？茁的值，然后再根据已知条件利用两角差的正切公式，通过求tan（？琢- 2？茁）的值进而求出？琢- 2？茁的度数.∵ tan（？琢- ？茁）= ，tan？琢= ，∴ tan ？茁=tan[？琢-（？琢- ？茁）]= = = ，∴ tan（？琢- 2？茁）=tan[（？琢- ？茁）- ？茁]= = =-1，∵ tan？琢= ，？琢∈（0，？仔），∴？琢∈（0，）.∵？茁∈（，），∴ -2 ？茁∈（-？仔，- ）.∴？琢-2？茁∈（-？仔，0），∴ ;？琢-2？茁=- .点评：本题实施了“？琢- 2？茁=（？琢- ？茁）-？茁”角的变换.角的变化应因题而异，它是架起“已知”与“未知”之间的“桥梁”，只有仔细观察，善于分析，我们才能发现“桥梁”，并借助这条“桥梁”走向成功.六、利用换元和消元转化例6.（1）函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 ; ; ; ; ;.（2）已知sin？兹+cos？兹 =2sin？琢，sin？兹sin？兹=sin2？茁，求证：2cos2？琢=cos2？茁.解析：（1）设 sinx+cosx=t，则 sinxcosx= ，且t∈[- ， ]，于是y= ;+t= （t+1）2-1≤ （ +1）2-1= + .（2）sin？兹 +cos？兹 =2sin？琢，sin？兹sin？兹=sin2？茁，得（sin？兹 +cos？兹）2 -2sin？兹cos？兹=（2sin？琢）2-2sin2？茁.即1=4sin2？琢-2sin2？茁，整理，得2cos2？琢=cos2？茁问题得证.点评：通过换元，可将三角问题转化为其它代数问题去解决，从而化“陌生”为“熟悉”.通过消元，可以找到三角函数式之间的内在关系，从而将“复杂”变“简单”.七、利用正余弦定理转化例7. ;在△ABC中，已知 = ，试判断△ABC的形状.解析：从本例的等式结构来看，情况较为复杂，因此，应综合应用正余定理、三角形内角和定理、勾股定理，先进行化简，再讨论.法1（化成纯角的关系）：应用正弦定理及二倍角公式，将已知等式变形为： = ，再由余弦定理将其变形为： = ，整理得（ - ;）=0，由 =0，得C=90°，由 - ;=0，及依据正弦定理得： = ，即sinBcosB=sinCcosC. ∴ sin2B=sin2C.∴ 2B=2C或2B+2C=180°，即B=C或B+C=90°.综上所述：△ABC是等腰三角形或直角三角形.法2（化成纯边的关系）：应用正弦定理及二倍角公式，将已知等式变形为： = ，即（a2+b2-c2）cos2B=（a2-b2+c2）cos2C应用余弦定理有（a2+b2-c2）· =（a2-b2+c2）· .整理得（a2+b2-c2）（a2+c2-b2）·（b-c）=0，所以有a2+b2-c2=0或a2+c2-b2=0或b-c=0.所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.点评：解决此类问题的基本方法是利用正余弦定理将已知的边角关系式或转化为边（多项式）的关系，或转化为角（三角函数）的关系.注意不能随意约去公因式，否则结论便不完整了.（作者单位：江苏省太仓市明德高级中学）第四篇：试看平面向量如何转化严 ; 俊我们知道，平面向量是“数”与“形”的完美统一，是数学解题的一把“利剑”.“利剑”虽好，却也离不开转化.破茧成蝶，方可振翅高飞.那么在平面向量解题中有哪些转化途径呢？一、转化为方程问题例1. 若，是两个不共线的向量，与起点相同，则当t为何值时，，t ，（ + ）三向量的终点在同一条直线上？解析：把三点共线转化为两个向量平行.利用共线定理建立方程，就可算出参数t.设 = ， =t ， = （ + ），∴ ;= - =- ;+ ;， ;= - =t - .要使A、B、P三点共线，只需 =？姿 .即- ;+ ;=？姿t -？姿 .∴有- =-？姿， =？姿t？圯？姿= ，t= .∴当t= 时，三向量终点在同一直线上.点评：向量的线性运算，从本质上说，就是用代数方法解决几何问题.而向量共线定理的应用往往与方程思想“结伴同行”.二、转化为函数问题例2. 设，为单位向量，非零向量 =x ;+y ;，x，y∈R. 若，，的夹角为，则的最大值等于_______.解析：将表示成含有某些变量的函数形式，进而求其最值.=（x ）2+（y ）2+2xy · =x2+y2+2xycos30° =x2+y2+ xy.而;= = = = ≤4，因此的最大值为2.点评：与向量有关的最值问题一般两种思路：或利用图形特征，抓住向量“形”的特点，利用几何性质来解;或抓住向量“数”的特点，通过向量的有关运算转化为函数的最值问题.三、转化为图形问题例3. （1）设向量，，满足 = =1， · =- ，〈（ - ），（ - ）〉=60°，则的最大值等于 ; ; ; ; ; ; .（2）已知 =1，≠ ，对？坌t∈R总有 -t ≥ - ，则与 - 的夹角是 ; ; ; ; ;.解析：此类题若用代数方法将困难重重，构造图形解题却是一条捷径.（1）如图1，构造圆的内接四边形ABCD，其中 ;= ， ;= ，∠CAB=120°，则 = ，∠CDB=60°，当为圆直径时最大， max=2.（2）如图2，记 = ， = ， =t ，则依题意，任意的≥ .故应为点A到直线OE的距离，所以与 - 的夹角为 .点评：平面向量问题，往往离不开图形.图形可以帮助我们抓住问题的本质，从而达到简化运算的效果.尤其是对于平面向量数量积运算问题，更要“多用图，用好图”.四、利用基底向量转化例4. 在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是BC边上一点，DC=2BD，则 · =___________.解析：由题中条件可以选择，作为一组基底，只需将，用，表示即可求解.∵ DC=2BD，∴ ;= ;.∴ ;= - ， = + = + ;= + （ - ）= ;+ ;.∴ ;· =（ ;+ ;）（ - ）= ;- ;+ ;· = ×1- ×4+ ×2×1×（- ）=- .点评：借助原有图形对所求向量进行分解转化，化为用一组基底表示的向量进行处理，此法要求所选的基底的模与夹角可知，体现了“分解与转化”的数学思想，可以减少思维量，特别对于平面图形不含坐标系或不方便建立坐标系的情况，更加有效.五、利用解析法转化例5. 若等边△ABC的边长为2 ，平面内一点M满足 = ;+ ;，则 · =___________.解析：，，与的夹角都不易求得，由于△ABC是等边三角形，故可建立平面直角坐标系，将等边△ABC的三个顶点用坐标表示，进而将点M的坐标表示出来即可.以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图3所示的坐标系.则B（- ，0），C（，0），A（0，3）.∴ ;=（-2 ，0）， =（- ，3），= ;+ ;=（- ，0）+（- ;，2）=（- ，2）.∴ ;= + =（0，2）， =（0，1）， =（- ，-2）.∴ ;· =-2.点评：设 =（x1+y1）， =（x2+y2）则 · =x1x2+y1y2，用此法解决向量数量积问题，必须先建立合适的平面直角坐标系，把向量坐标化，从而把几何问题代数化.解析法又叫坐标法，可使向量数量积运算程序化.六、转化为三角函数问题例6. 已知向量 =（sinx，-1）， =（cosx，）.（1）当∥ ;时，求cos2x-3sin2x的值;（2）求f（x）=（ + ;）·的最小正周期和单调递增区间.解析：（1）由向量平行列方程解出tanx的值，所求式子转化成正切单角名称的三角代数式，代入可求解.由∥ ;得 sinx+cosx=0，即tanx=- ，所以cos2x-3sin2x= = = .（2）进行向量坐标形式的数量积运算得到f（x）的解析式，转化为y=Asin（？棕x+ ？渍）+b函数结构.因为 =（sinx，-1）， ;=（cosx，），所以 + =（sinx+cosx，）.f（x）=（ + ）· =（sinx+cosx）cosx+ = （sin2x+cos2x）+ = sin（2x+ ）+ .所以最小正周期为？仔.由2k？仔-故单调递增区间为（k？仔- ，k？仔+ ）（k∈Z）.点评：在高考命题中，三角函数与平面向量的综合性问题是最常见的解答题题型之一.题目条件中往往给出向量的坐标中含有三角函数的形式，并已知向量间共线或垂直等关系，这时我们只需依据向量的坐标运算法则，将原向量问题转化为纯三角函数问题来求解.（作者单位：江苏省太仓市明德高级中学）第五篇：不等式问题离不开转化与化归思想吴琳琳在中学数学中，不等式问题堪称“第一杀手”.的确，不等式问题灵活多变，令人难以琢磨，伤透脑筋.我们知道，数学问题的求解关键在于合理转化，不等式问题何尝不是如此！真可谓“不等式问题离不开转化与化归思想”.一、利用不等式性质转化例1. 已知1≤lg ≤2，2≤lg ≤3，求lg 的取值范围.解析：由将已知条件变形，得1≤lgx-lgy≤2，2≤3lgx- lgy≤3，令lgx-lgy=a，3lgx- lgy=b，解得lgx= ，lgy= .∴ lg =3lgx- lgy=3· - · = b- a.由1≤a≤2，2≤b≤3，得- ≤- a≤- ，≤ b≤ .∴ ; ≤ b- a≤3，即≤lg ≤3.点评：利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，要特别注意.如，运用同向不等式相加这一性质时，不是等价变形.此类问题的解决方法是：先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得待求整体的范围.二、利用函数性质转化例2. 解关于x的不等式loga（1- ;）>1.解析：原不等式？圳loga（1- ;）>logaa…………①（1）当a>1时，①式等价于1- >0，1- >a？圳1- >a？圳由a>1知，1-a（2）当00，1-由0点评：本题既是一个对数不等式，又是一个分式不等式.由于底数a不确定，所以只有通过对a分类讨论，才可确定对数函数y=logax的单调性，进而将原不等式转化为不等式组来解.三、利用主参换位转化例3. 对于-1解析：已知参数a的范围，要求自变量x的范围，转换主参元x和a的位置，构造以a为自变量x作为参数的一次函数g（a），转换成？坌a∈（0，+∞），g（a）>0恒成立再求解.原不等式可转换成x2+ax设f（a）=（x-1）a+x2-2x+1，则f（a）是a的一次函数或常数函数，要使f（a）>0在a∈[-1，1]恒成立，则须满足：f（-1）>0，f（1）>0？圳x2-x>0，x2-3x+2>0？圯x>2或x故实数的取值范围是（-∞，0）∪（2，+∞）.点评：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题.四、利用数形结合转化例4. 已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是 ; ; ; ; .解析：条件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可化为：3· + ≥5，+ ≤4，≥ .设 =x， =y，则题目转化为：已知x，y满足3·x+y≥5，x+y≤4，y≥ex，求的取值范围.作出所（x，y）在平面区域（如图）.求出y=ex的切线的斜率e，设过切点P（x0，y0）的切线为y=ex+m（m≥0），则 = =e+ ，要使它最小，须m=0.∴的最小值在P（x0，y0）处，为e.此时，点P（x0，y0）在y=ex上A，B之间.当（x，y）对应点C时，y=4-x，y=5-3x？圯5y=20-5x，4y=20-12y？圯y=7x？圯 =7.∴的最大值在C处，为7，∴的取值范围为[e，7]，即的取值范围是[e，7].点评：本题作为2012年高考江苏填空题的压轴题，集函数、不等式、解析几何与线性规划于一体，具有相当高的难度，难就难在解题方法上的创新，而突破这个难点的关键是“转化”：数学语言的转化和数与形的转化，即线性规划思想的灵活应用.五、利用三角代换转化例5. 已知x>0，y>0，且 + =1，求x+y的最小值.解析：由已知条件，令 =cos2？琢， =sin2？琢，0x+y= + = +=10+ + ≥2 +10=16.当且仅当 = ，即tan2？琢=3时取等号，故x+y的最小值为16.点评：利用三角代换，将“二元问题”化归为“一元问题”，进而用基本不等式求最值，本题可用常数代换求解，请同学们一试.六、将不等式恒成立问题转化为函数最值问题例6. 已知x∈（-∞，1]时，不等式1+2x+（a-a2）·4x>0恒成立，求实数a的取值范围.解析：要求a的取值范围，如何构造关于a的不等式是关键，利用分离变量的方法可达到目的.设2x=t，又x∈（-∞，1]，则t∈（0，2]，则原不等式可化为a-a2> .要使上式对t∈（0，2]恒成立，只需 a-a2>（）max，t∈（0，2].而 =-（ + ）2+ ，由∈[ ，+∞）， ;则当 = 时（）max=- .故a-a2>- ，即4a2-4a-3点评：利用变量分离法来确定不等式f（x，？姿）≥0，（x∈D，？姿为实参数）恒成立中参数？姿的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为g（？姿）≥f（x）（或g（？姿）≤f（x））恒成立的形式;（2）求f（x）在x∈D上的最大（或最小）值;（3）解不等式g（？姿）≥f（x）max（或g（？姿）≤f（x）max），得？姿的取值范围. 此法适用题型：（1）参数与变量能分离;（2）函数的最值易求出.七、将比较大小问题转化为函数的单调性问题例7. f（x）为定义在R上的可导函数，且f ′（x）>f（x），对任意正实数a，则下列式子成立的是（ ; ; ）A. f（a）ea f（0）C. f（a）< ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;D. f（a）> .解析：观察选项知，所要比较的两数为与的大小，故可构造函数g（x）= ，并利用其单调性来比较.令g（x）= ，则g′（x）= = >0.∴ g（x）在R上为增函数，又∵a >0，∴ g（a） >g（0），即 > ，即f（a）>ea f（0）. 故选B.点评：解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数，或求导之后得出的错误结论.（作者单位：江苏省太仓市明德高级中学）第六篇：立体几何中的转化与化归思想揭秘。