截面形心和惯性矩的计算
惯性矩、静矩,形心坐标公式
§I−1 截面得静矩与形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分(I −1)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得静矩。
静矩可用来确定截面得形心位置。
由静力学中确定物体重心得公式可得利用公式(I −1),上式可写成 (I −2) 或 (I −3) (I −4)如果一个平面图形就是由若干个简单图形组成得组合图形,则由静矩得定义可知,整个图形对某一坐标轴得静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴得静矩得代数与。
即:(I −5)式中A i 、y ci 与z ci 分别表示某一组成部分得面积与其形心坐标,n 为简单图形得个数。
将式(I −5)代入式(I −4),得到组合图形形心坐标得计算公式为 (I −6)例题I −1 图a 所示为对称T 型截面,求该截面得形心位置。
解:建立直角坐标系zOy ,其中y 为截面得对称轴。
因图形相对于y 轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此z C =0,只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则 A Ⅰ=0.072m 2,A Ⅱ=0.08m 2y Ⅰ=0.46m,y Ⅱ=0.2m§I −2 惯性矩、惯性积例题I −1图图I −1与极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
现在图形内取微面积d A ,d A 得形心在坐标系zOy 中得坐标为y 与z ,到坐标原点得距离为ρ。
现定义y 2d A 与z 2d A 为微面积d A 对z 轴与y 轴得惯性矩,ρ2d A 为微面积d A 对坐标原点得极惯性矩,而以下三个积分(I −7)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得惯性矩以及对坐标原点得极惯性矩。
由图(I −2)可见,,所以有(I −8) 即任意截面对一点得极惯性矩,等于截面对以该点为原点得两任意正交坐标轴得惯性矩之与。
另外,微面积d A 与它到两轴距离得乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴得惯性积,而积分(I −9)定义为该截面对于y 、z 轴得惯性积。
惯性矩地计算方法及常用截面惯性矩计算公式
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：（一）.截面静矩和形心1•静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即dS y xdAdSx ydA整个图形对y、z轴的静矩分别为S y xdAyASx 人 ydA2.形心与静矩关系(1-1 )设平面图形形心C的坐标为y c,z c-S x 一S y /、y ， x (I-2 )A A推论1如果y轴通过形心（即x0），则静矩S y 0 ；同理，如果X轴通过形心（即y o），则静矩sx o；反之也成立。
推论2如果x、y轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y轴为图形对称轴，贝昭形形心必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为 A,A2,A3 A n的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为丘，只；乂2*2；x3,y3 ，贝U图形对y轴和x轴的静矩分别为截面图形的形心坐标为nA i Xi 1 nA ii 14•静矩的特征（1） 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。
（2） 静矩有的单位为m 3。
（3） 静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对任意形心轴的静矩必定 为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。
（4） 若已知图形的形心坐标。
则可由式（1-1）求图形对坐标轴的静矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（1-2 ）求图形的形心坐标。
组 合图形的形心位置，通常是先由式（I-3 ）求出图形对某一坐标系的静 矩，然后由式（1-4 ）求出其形心坐标。
（二）•惯性矩 惯性积 惯性半径1.惯性矩定义 设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3 ），则图形对0点的极 惯性矩定义为 I p2dA （1-5）KAn nS yS yiARi 1 i 1nnS xSxiA i Vi 1 i 1(1-3 )A i y i(1-4 )图形对y轴和x轴的光性矩分别定义为I y A x2dA , I x A y2dA （1-6）惯性矩的特征（1）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。
截面的静矩和形心位及惯性矩的计算
y
dA
x
x 0
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，
也可能等于零。
y
若 x , y 两坐标轴中有一个为
dA y
截面的对称轴，则截面对 x , y 轴的 惯性积一定等于零 。
dx dx x
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Z1 80 Z2 0
所以截面的形心坐标为
ZC
A1 Z1 A1
A2 Z2 A2
46.7mm
20 140
zc
20
1
yc
ZC
2
y
100
I1yC
1 12
20 1403
20 140
(8046.7)2
I
2 yC
1 12
100
203
100
20
(46.7)2
zc
120 103 152 120 10
1 12
703
10
(25)2
70
10
100.4 104 mm 4
Iy 278.4 104 mm4
70 20 10
120
y
80
c
x
10
y
I xy 0 15 20 120 10 0 (25) (35) 70 10
x2
10
70 2
45mm
y2 5mm
y 10
1 x1
y1
截面形心和惯性矩的计算
工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩1．面积矩的定义图2-2.1任意截面的几何图形如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。
定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1)(2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。
面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。
2．面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)(2—2.2)或改写成，如式(2—2.3)(2—2.3)面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。
图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。
3．组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。
如式(2—2.4)(2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。
组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。
(2—2.5)2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积1．极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。
定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6)(2—2.6)极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。
极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。
(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7)(2—2.7)(2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8)(2—2.8)式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。
2．惯性矩在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9)(2—2.9)称为图形对z轴和y轴的惯性矩。
惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。
惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。
截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算
x 0
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，
也可能等于零。
y
若 x , y 两坐标轴中有一个为
dA y
截面的对称轴，则截面对 x , y 轴的 惯性积一定等于零 。
dx dx x
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Iy , A
二 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
I x1y1
Ix
2
Iy
sin 2α
I xy cos 2α
主惯性轴 —— 总可以找到一个特定的角 0 , 使截面对新坐标 轴 x0 , y0 的惯性积等于 0 , 则称 x0 , y0 为主惯轴。
主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性轴 ——当一对主惯性轴的交点与截面的形心 重合时，则称为形心主惯性轴。
x
80
§ І -2 极惯性矩 惯性矩 惯性积
定义：
z dA
z
截面对 o 点的极惯性矩为
y
Ip Aρ2dA
y 0
截面对 y ,z 轴的惯性矩分别为
Iy A z2dA Iz A y2dA
因为 ρ2 y2 z2
I p Aρ2 dA
所以 Ip = Ix + Iy
y
y
dA
ix
Ix A
例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。
解：
dA = b dy
Ix
A y2dA
h
2h
by2dy
2
bh3 12
Ix A y2dA
截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算
一、 平行移轴公式
y x , y ——任意一对坐标轴
C —— 截面形心
a
（a , b ) _____ 形心 c 在 xoy 坐标系下的
坐标。
o
xc , yc ——过截面的形心 c 且与 x , y 轴平 行的坐 标轴（形心轴）
yc
C(a,b)
xc
b
x
Ix , Iy , Ixy _____ 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
二 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
I x1y1
Ix
2
Iy
sin 2α
I xy cos 2α
主惯性轴 —— 总可以找到一个特定的角 0 , 使截面对新坐标 轴 x0 , y0 的惯性积等于 0 , 则称 x0 , y0 为主惯轴。
主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性轴 ——当一对主惯性轴的交点与截面的形心 重合时，则称为形心主惯性轴。
截面对形心轴的静矩等于零。
二 、 组合截面 由几个简单图形组成的截面称为组合截面
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截 面对于同一轴的静矩。
组合截面静矩的计算公式为
n
S
z
Ai
y i
i1
n
S y Ai zi i1
其中： Ai —— 第 i 个简单截面面积
(
y, i
zi)
——
第 i个简单截面的形心坐标
逆時针转取为 + 号，
x1
顺時针转取为 – 号
o
x
I x1
Ix
Iy 2
Ix
2
Iy
cos 2α
I xy
sin 2α
I y1
史上最全的常用截面几何特性计算公式
史上最全的常用截面几何特性计算公式构件截面的几何性质，如静力矩、形心、轴向惯性矩、极惯性矩、惯性积和主惯性轴位置等，对构件的承载能力有影响，常用于分析构件的弯曲、扭转和剪切。
1.静态力矩:也称为面积力矩或静态表面力矩。
截面对轴线的静力矩等于每个微区的积分乘以整个截面上微区到轴线的距离。
静力矩可以是正的，也可以是负的。
它的维数是长度的三次方。
静力矩的力学意义是:如果有均布载荷作用在截面上，其值表示为单位面积的量，则该载荷在某一轴上的合成力矩等于分布载荷乘以该轴的静力矩。
2、形心：又称面积中心或面积重心，是截面上具有如下性质的点：截面对通过此点任一个轴的静矩等于零。
如果将截面看成一均质等厚板，则截面的形心就是板面的重心。
形心坐标xo、yo的计算公式为：3、惯性矩：反映截面抗弯特性的一个量，简称惯性矩。
截面对某个轴的轴惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到轴的距离的平方在整个截面上的积分。
下图所示的面积为A的截面对x、y轴的轴惯性矩分别为：转动惯量总是正的，量纲是长度的四次方。
构件的抗弯能力与轴的惯性矩成正比。
一些典型截面的轴惯性矩可在专业手册中找到。
例如，平行四边形对中心线的惯性矩为4、极惯性矩：反映截面抗扭特性的一个量。
截面对某个点的极惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到该点距离的平方在整个截面上的积分。
下图所示面积为A的截面对某点O的极惯性矩为：极惯性矩永远是正的，量纲是长度的四次方。
构件的抗扭能力与惯性矩成正比。
圆形截面相对于其中心的惯性矩为5、惯性积：截面对于两个正交坐标轴的惯性积等于截面上各个微面积乘微面积到两个坐标轴的距离在整个截面上的积分。
面积为A的截面对两个正交坐标轴x、y的惯性积为:惯性积的量纲是长度的四次方。
截面位于坐标系的一、三象限,Ixy为正，位于二、四象限则为负。
6.主惯性轴:使截面惯性积为零的一对正交坐标轴称为截面主惯性轴，简称主轴。
截面对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。
若两条主惯性轴的交点为质心，则这两条轴称为质心主惯性轴(或称主质心惯性轴)。
组合截面形心和形心主惯性矩的编程计算
I y = I yc + b 2 A
I zy = I zc yc + abA
工程中截面的形状大多数是规则的和简单的或是由它们组合而成的， 对于那些简单 的图形的截面性质我们很容易得到，像矩形，三角形，梯形，圆形的形心坐标，形心惯 ［1］ 性矩的大小都可以通过查表获得 ，
三、程序流程
程序流程图如下所示:
1 1 1 2
一、 引 言
在求梁的弯曲切应力、弯曲正应力时，需要先求出惯性矩。而工程结构的截面多为矩形、圆形等 基本形状构成的组合截面，其形心位置、惯性矩的计算非常繁锁。本文将用 C 语言编程来计算组合复 杂图形的形心及惯性矩，并对几种复杂图形进行了计算，其计算结果和手算结果一致，从而验证了程 序的准确性。
组合截面形心和形心主惯性矩的编程计算＊
刘达林 张轲 张刘君 宇慧平 （1 北京工业大学机电学院大二学生,2 北京工业大学机电学院教师，100022）
摘要：梁的弯曲应力与横截面的形心位置、形心主惯性矩有关。而工程结构的截面多为矩 形、圆形等基本形状构成的组合截面，其形心位置、惯性矩的计算非常繁锁，本文通过计 算机编程来计算截面的形心的位置和形心主惯性矩，效果很好。 关键词：形心，惯性矩，编程
＊
北京工业大学教育教学研究项目（001000514120）资助
- 143 -
开始
自定义各简单图形形心坐标公式及形 心惯性矩计算公式函数。
建立坐标系
选择要输入
输入简单图形坐标
得出简单图形形心坐标
计算得出总形心坐标
再次选择所需简单图形 0 表示结束
根据用户输入的坐标计算出各简单图形的形心惯性矩
计算出总惯性矩
二、 理论基础
在编程中用到的理论公式有： （1）组合截面的形心坐标计算
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工程构件典型截面几何性质的计算
2.1面积矩
1．面积矩的定义
图2-2.1任意截
面的几何图形
如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。
定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1)
(2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。
面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。
2．面积矩与形心
平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)
(2—2.2)
或改写成，如式(2—2.3)
(2—2.3)
面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。
图形形心相对于某一坐标距
离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。
3．组合截面面积矩和形心的计算
组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。
如式(2—2.4)
(2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。
组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。
(2—2.5)
2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积
1．极惯性矩
任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。
定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6)
(2—2.6)
极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。
极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。
(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7)
(2—2.7)
(2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8)
(2—2.8)
式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。
2．惯性矩
在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9)
(2—2.9)
称为图形对z轴和y轴的惯性矩。
惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。
惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。
同一图形对一对正交轴的惯性矩和对坐标原点的极惯性矩存在着一定的关系。
如式2—2.10)
I P=I z+I y (2—2.10)
上式表明，图形对任一点的极惯性矩，等于图形对通过此点且在其平面内的任一对正交轴惯性矩之和。
表6-1给出了一些常见截面图形的面积、形心和惯性矩计算公式，以便查用。
工程中使用的型钢截面，如工字钢、槽钢、角钢等，这些截面的几何性质可从附录的型钢表中查取。
3．惯性积
如图2—32所示，积分定义为图形对y，、z轴的惯性积，用符号I
表示，如式(2—11)
yz
(2—11)图2-2.2具有轴
对称的图形
惯性积是对于一定的一对正交坐标轴而言的，即同一图形对不同的正交坐标轴的惯性积不同，惯性积的数值可正、可负、可为零，其量纲和单位与惯性矩相同。
由惯性积的定义可以得出如下结论：若图形具有对称轴，则图形对包含此对称轴在内的一对正交坐标抽的惯性积为零。
如图2-32所示，y为图形的对称轴.则整个图形对y、z轴的惯，性积等于零。
常见图形的面积、形心和惯性矩表2—2.1
序
号图形面积
形心位
置
惯性矩(形心轴)
1 2
3
4
5
6
2．3组合截面的惯性矩
1．惯性矩和惯性积的平行移轴公式
任意平面图
图2-33所示。
z、y
对正交的形心轴，
y
为与形心轴平行的另
1
一对正交轴，平行轴间
的距离分别为a和b。
已知图形对形心轴的
惯性矩I z、I y和惯性积
I
，现求图形对z1、y1
zy
轴的惯性矩I z1、I y1和惯
性积I z1y1。
有惯性矩和
惯性积的平行移轴公
式如式(2—2.12)和式
(2—2.13)
(2—2.12)
I z1y1=I zy+abA (2—2.13)
可见，图形对于形心轴的惯性矩是对所有平行轴的
惯性矩中最小的一个。
在应用平行移轴公式(2—2.12)
时，要注意应用条件，即y、z轴必须是通过形心的轴，
且z1、y1轴必须分别与z、y轴平行。
在应用式(2—2.13)
计算惯性积时，还须注意a、b的正负号，它们是截面
形心c在z1oy1坐标系中的坐标值。
2．组合截合惯性矩计算
组合图形对某一轴的惯性矩，等于其各组成部分简
单图形对该轴惯性矩之和，如式(2—2.14)
(2—2.14)
在计算组合图形对z、y轴的惯性矩时，应先将组
合图形分成若干个简单图形，并计算出每一简单图形对
平行于z、y轴的自身形心轴的惯性矩，然后利用平行
移轴公式(2—2.12)计算出各简单图形对z、y轴的惯性矩，最后利用式(2—2.14)求总和。
2.4主惯性轴和主惯性矩
过图形上任一点都可得到一对主轴，通过截面图形
形心的主惯性轴，称为形心主轴，图形对形心主轴的惯
性矩称为形心主惯性矩。
在对构件进行强度、刚度和稳
定计算中，常常需要确定形心主轴和计算形心主惯性
矩。
因此，确定形心主轴的位置是十分重要的。
由于图
形对包括其对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积为
零，所以对于如图6-4所示具有对称轴的截面图形，可
根据图形具有对称轴的情况，观察确定形心主轴的位
置。
(1)如果图形有一根对称轴，则此轴必定是形心主轴、而另一根形心主轴通过形心，并与对称轴垂直，如
图2-34 b)、d)所示。
(2)如果图形有两根对称轴，则该两轴都为形心主轴，如图6-4 a)、c)所示。
(3)如果图形具有3根或更多根对称轴，过图形形心
的任何轴都是形心主、轴，且图形对其任一形心主轴的
惯性矩都相等，如图6-4 e)、f)所示。
图2-2.4具有
称轴的截面图
抗弯截面系数
在横截面上离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大，其值为
比值Iz/ymax仅与截面的形状与尺寸有关，称为抗弯截面系数，并用Wz表示，即Wz=Iz/ymax 由公式可见，最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。
抗弯截面系数Wz综合反映了横截面的形状与尺寸对弯曲正应力的影响。
一些常用抗弯截面系数。