微分学在中学教学中应用
微积分在中学数学中的应用
微积分在中学数学中的应用
微积分在中学数学中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 函数概念的理解：微积分中的函数概念是在中学数学的基础上进一步深化而来的。
通过微积分的学习，可以更好地理解函数概念的本质，掌握函数的应用。
2. 几何应用：微积分中的微元法可以应用于中学数学中的几何问题。
例如，计算曲线的长度、曲率、面积等问题，都可以通过微元法来解决。
3. 方程的求解：中学数学中的方程问题可以通过微积分中的微分方程来解决。
例如，求解函数的导数、积分、微分方程等问题，都可以通过微积分来解决。
4. 数值计算：微积分中的数值计算方法可以应用于中学数学中的数值计算问题。
例如，求解函数的极值、拐点、数值积分等问题，都可以通过微积分来解决。
需要注意的是，微积分在中学数学中的应用主要是一些简单的问题，需要以实际需求为基础，选择合适的方法和技巧来解决。
同时，中学数学中的知识点有限，可能无法提供足够的支撑，需要借助其他工具和方法来辅助解决一些复杂的问题。
微积分在中学数学中的应用开题报告
<2>、2013年1月1日—1月20日：开题、撰写开题报告。
<3>、2013年2月1日—3月25日：撰写论文、提交初稿。
<4>、2013年4月2日—4月11日：修改初稿、提交第二稿。
<5>、2013年4月20日—4月30日：修改第二稿、定稿。
山西大同大学
学院：数计学院 系别：数学系 专业(专业方向)：数学与应用数学
论文题目
微积分在中学数学中的应用
指导教师
王鲜凤
职称
讲师
学生姓名
苗慧芳
学号
090701011427
一、研究目的(选题的意义和预期应用价值)
微积分是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。它是我国现在普遍使用的高中数学教材中增加的部分，蕴含多种数学思想，如极限思想、函数的思想、数形结合思想、化归思想微积分中的哲学思想、辩证的思想等，它们在中学数学中都有着广泛的应用和价值。学习微积分的知识可以进一步提高学生的运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力,可以更好地培养学生分析问题和解决问题的能力,有利于学生学好基础知识和掌握基本内容,有利于数学知识的综合运用。将微积分的理论应用于初等数学，不仅可以使其内在的本质联系得以体现，而且可以进而指导初等数学的教学工作。对于中学数学中一些问题的解决用初等数学的方法可能繁琐、困难甚至根本无法做到，但利用微积分解决则能取得意想不到的效果。作为一名未来的中学教师不但要掌握中学数学中各种题型的一般解法，也要能运用高等数学中相应知识来解答，从而提高教师专业素质。其中微积分就是一个重要的知识点。是个值得研究的课题。
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微积分在高中数学教学中的应用
微积分在高中数学教学中的应用
微积分是高中数学教学中的一门重要课程，它对于学生的数学思想和能力的提高有着重要的作用。
微积分在高中数学教学中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 函数的极限和导数
微积分中的函数极限和导数是高中数学教学中的重点内容。
通过这些概念的学习，学生可以理解函数的增减性、单调性等基本性质，掌握求导的方法和技巧，进一步探究函数的运动规律和变化趋势。
2. 积分的概念和应用
微积分中的积分概念和应用是高中数学教学中的重点内容之一。
通过学习积分的基本概念和方法，学生可以掌握曲线下面积的计算方法，进而应用于各种实际问题的求解，如物体的质心、物理学中的力学问题等。
3. 微分方程的解法
微积分中的微分方程及其解法是高中数学教学中的难点内容。
通过学习微分方程的基本概念和解法，学生可以理解微分方程的物理意义和应用，掌握常微分方程初值问题的解法，进而应用于各种实际问题的求解，如生物学中的人口增长问题、物理学中的振动问题等。
综上所述，微积分在高中数学教学中的应用是非常重要的。
通过学习微积分的相关知识和方法，学生可以进一步提高数学思维能力和解决实际问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的数学基础。
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中学生学微积分的好处
中学生学微积分的好处
中学生学微积分的好处有很多，主要包括以下几个方面：
1. 深化数学理解：微积分涉及到极限、导数、积分等概念，这些是数学的基本工具，理解它们能够更好地理解数学的基础。
2. 提高数学思维能力：微积分需要严密的逻辑推理和思维分析，这个过程可以锻炼和提高学生的数学思维能力。
3. 培养抽象思维：微积分中的许多概念和方法是抽象的，学习微积分有助于培养学生的抽象思维。
4. 增强问题解决能力：微积分中的问题往往具有复杂性和抽象性，解决这些问题需要综合性的思考和解决，这个过程可以增强学生解决问题的能力。
5. 为高等数学打下基础：微积分是大学数学的基础，学好微积分可以为以后学习其他高等数学课程打下基础。
6. 增强对数学的兴趣：微积分的应用广泛，学习微积分可以让学生更深入地了解数学的应用，从而增强对数学的兴趣。
7. 提高科学和工程素养：微积分在科学和工程领域中有广泛的应用，学习微积分可以提高学生的科学和工程素养。
8. 为未来做好准备：随着科技的发展，微积分的知识将更加重要，学习微积分可以为未来的学习和职业生涯做好准备。
总的来说，中学生学微积分的好处不仅在于提高数学成绩，更在
于提高学生的数学素养和思维能力，为未来的学习和职业生涯做好准备。
浅谈微分学在中学数学教学中的应用
浅谈微分学在中学数学教学中的应用１ 序言法国数学家费马为研究极值问题而提出了导数的理论．微分学在经过费马、牛顿和莱布尼茨等多位数学家的辛辛耕耘，由萌芽状态转化为比较成熟的状态，以几乎完备的数学体系展现在世人面前．导数的提出是依据当时的实际问题．英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学建立与导数紧密相联系的数学模型，进而对已知运动规律和已知曲线求它的切线的问题进行求解．由导数与微分的关系，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的积,函数的导数就等于函数微分与自变量微分的商，因此也常称导数为微商．微分在数学中有许多重要的应用，尤其在中学数学中应用，它能提高学生的运用相关知识解决实际问题的能力，有提升学生严谨的思维的作用．使数学的研究领域也随之扩展，而我们现在所学习的微分学是前人的精华，随着社会向前推进，社会规律的探索，向前发展，面临了大量的急需解决的问题，需要我们掌握并灵活运用微分学去解决，提升我们的能力，使之更加完备．在中学教学中，建立相应的数学模型，解决简单的问题，提高学生生活实践能力，进而为社会培养有用的人才．２ 在求曲线的切线方程中的应用在中学教材中，由于初等数学知识和方法本身的局限性，对于曲线的切线问题的解法，出现了解题过程繁琐复杂，并没有固定的解题方法,定义不严谨，但随着微分学进入中学教材后，对上述问题给出了一般的解法，并给出了明确的定义,从而降低了解题的难度,同时也大大加强了对知识体系渗透性理解．曲线的切线的一般定义[]()11P ：设0M 是曲线()y f x =上一定点，M 是该曲线上的一动点，从而有割线0M M ，令M 沿着曲线无限趋近于0M ，则割线0M M 的极限位置是曲线()y f x =在0M 的切线．这一切线定义可以用于求解任何曲线()y f x =的切线方程．故运用上述的切线的一般定义和函数()f x 在0x 处的导数的几何意义：就是曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率()0f x '，于是相应的切线方程就是：()()000y y f x x x '-=-．例1[]()11P 若直线31y x =+是曲线3y ax =的切线，试求出a 的值．解 设直线31y x =+与曲线3y ax =相切于点()00,P x y ，因为曲线方程为3y ax =,所以23y ax '=则()()()00300203112333y x y ax ax =+⎧⎪=⎨⎪=⎩由（1），（2）得30031x ax +=，由（3）得201ax =．将它代人上式得0031x x +=，所以012x =-，于是2112a ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，即4a =．例2 求曲线2y x =和1y x=()0x <的公切线方程． 解 设公切线在2y x=()0x <上的切点为()211,x x ，在1y x=()0x <上的切点为221,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则公切线作为曲线2y x =的切线，其方程为()21112y x x x x =+- （1）公切线作为曲线1y x=的切线，其方程为 ()222211y x x x x =-- （2） 由（1）式和（2）式解得12212x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ， 所以公切线方程为 440x y ++=．例3[]()252P 已知()f x 是(),-∞+∞上的连续函数，它在0x =的某个邻域内满足关系式()1sin f x +-()31sin f x -()8x x ο=+()0x →，且()f x 在点1x =处可导，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程．解 令sin x t =，注意到当()0x →时，0t →，且sin ~x x ，arcsin ~x x ，题设条件可改写为()()()1318f t f t t t ο+--=+()0t →（1）又因为()f x 在点1x =处可导，所以()()()111f t f f t '±=±+()t ο()0t →（2）将（2）式代入（1）式，得()()2141f f t '-++()t ο()8t t ο=+所以()10f =，()12f '=，从而，所求切线方程为()21y x =-．３ 在函数单调性中的应用在初等数学中讨论函数()y f x =的单调性时常用的方法是：在给定区间D 上，任取1x ，2x ，令1x <2x ，若()()120f x f x -<，则()y f x =在区间D 上是增函数；令1x <2x ，若()()120f x f x ->，则()y f x =在区间D 上是减函数．这种方法通俗易懂便于学生接受．但是在函数比较复杂时，对()()120f x f x ->或()()120f x f x -<做出判断时会很困难，技巧性很强，且适用范围也比较窄．在中学引入导数之后，用导数判别函数的单调性就使得很多复杂的问题简单化．用导数判别函数单调性的方法是：设函数()f x 在区间D 可导，若()f x '0>，则函数()f x 在区间D 上是增函数；若()f x '0<，则函数()f x 在区间D 上是减函数．例1[]()11P 判断函数31y x x =-和32y x x =+在(),-∞+∞上的单调性．解 由于2131y x '=-3x x ⎛= ⎝333x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令10y '>，则3x <-或3x >， 令10y '<，则33x -<<所以31y x x =-在3,,3⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内单调增加，在⎛ ⎝⎭内单调减少．而 2231y x '=+ 0>，所以32y x x =+在(),-∞+∞上单调增加．例2 设0a >，求函数()f x ()ln x a =+()0,x ∈+∞的单调区间．解 当0a >,0x >时, 有()1f x x a'=+， ()0f x '>⇔()22240x a x a +-+>， ()0f x '<⇔()22240x a x a +-+<．（1）当1a >时，()22240x a x a +-+>恒成立，即()0f x '>，则()f x 在()0,+∞内单调增加．（2）当1a =时，对1x ≠，有()22240x a x a +-+>，即()0f x '>，则()f x 在()0,1内单调增加，又函数()f x 在1x =处连续，所以()f x 在()0,+∞内单调增加．（3）当01a <<时，令()0f x '>即()22240x a x a +-+>，解得2x a <--2x a >-+，故函数()f x 在区间(0,2a --内单调增加，在区间()2a -++∞内也单调增加．令()0f x '<，即()22240x a x a +-+<，解得 22a x a --<-+故函数()f x 在区间(2a a ---+内单调减少．例3 求证()f x 12arctan1x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭在()0,1内单调减少．证明 设()1x x x ϕ=-，则()x ϕ0>，()()0,1x ∈，()111x x ϕ'⎛⎫'=- ⎪-⎝⎭()211x =-0>，()()0,1x ∈，所以()arctan x ϕ'⎡⎤⎣⎦()()21x x ϕϕ'=+0>，()()0,1x ∈ （1） 又因为()()()12arctan f x x ϕ-=，所以()()()()()321arctan arctan 2f x x x ϕϕ-''=-（2）联合（1）式和（2）式可知，()0f x '<()()0,1x ∈，从而()f x 在()0,1内单调减少．４ 在不等式证明中的应用在初等数学中经常通过恒等变形、数学归纳法、配方法等方法解决或运用已有的不等式证明，往往先要进行恒等变形，这需要较高的技巧．在学习了微积分的知识以后，利用微积分的知识和方法，例如微分中值定理、函数的增减性、极值判别法、可简化不等式的证明过程，降低技巧性．例1[]()4199P 证明以下不等式：1xe x >+和212xx e x >++()0x >．证明 设()f x 1xe x =--,则()1xf x e '=-0>()0x >，所以()f x 递增．又()00f =，故()f x 1xe x =--0>，即1xe x >+．设()212xx y x e x =---，则()1x y x e x '=--．由上面已证得的结论：1xe x >+，可知()0y x '>，即212xx e x >++．例2[]()4199P 证明 ()log a b a+()log a b c a c +++>()0,0,1b c a >>>．证明 设()()()log 1x b xf x x +=>，则()()ln ln x b f x x+=，因为()()()2ln ln ln x b x x b x f x x +-+'=， 所以()0f x '<，即()f x 是减函数．于是有()()f a f a c >+，即()log a b a+()log a b c a c +++>．例3 证明 当0x >时, 1arctan 2x x π+>． 证明 令()1arctan 2f x x x π=+-, 则()221101f x x x '=-<+,()0,x ∈+∞,所以()f x 在()0,+∞内递减．又()1lim lim arctan 02x x f x x x π→+∞→+∞⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，故()1arctan 2f x x x π=+-0>，即1arctan 2x x π+>，()0,x ∈+∞． ５ 在极值中的应用在初等数学中，求函数极值的方法主要是 利用二次函数的定点、三角函数、不等式以及曲线的端点等特殊点求极值．这些求极值的方法一般思路都比较简单，但化简起来比较麻烦，一般需要一定的技巧性．用微分学的知识求极值就避免了这些问题．充分条件（1） 设()f x 在点0x 处连续，且在点0x 的某空心邻域内可导，若当x 从0x 的左侧变到右侧时，()f x '的符号由“正”变“负”（或由“负”变“正”），则()0f x 为极大值（或极小值）；若()f x '不变号，则()0f x 不是极值．充分条件（2） 设0x 是函数()f x 的驻点，且()0f x ''≠，若()0f x ''>，则()0f x 为极小值点，若()0f x ''<，则()0f x 为极大值点．判别函数的极值的第一充分条件比较全面，不易出错．第二充分条件判别极值较为方便，但对()0f x ''=和()f x ''不存在的点不能用此判别而改为第一充分条件判别，因此用第一条件判别极值是最基本的方法．例1 求函数()f x 22x x e-=⋅的极值．解 方法一 用第一充分条件判断 由()()22222x x f x xex e x --'=+⋅-()2221x xe x -=-，令()0f x '=，得驻点：11x =-，20x =，31x =．把定义域(),-∞+∞分成几个部分区间，可列表讨论：由表可知，()00f =为极小值，()11f e -±=为极大值．方法二 用第二充分条件判断由()f x '()2221xxe x -=-，令()0f x '=，得驻点：11x =-，20x =，31x =．又因为()()2242104x f x x x e -''=-+，()020f ''=>，所以()00f =是极小值．又()1140f e -±=-<，所以()11f e -±=是极大值．例2 设0()0f x +'>，0()0f x -'<，证明0x 是()f x 的极小值点． 证明 由0()0f x +'>可知，当0δ>足够小时，若00x x δ<-<，则00()()0f x f x x x ->-，于是0()()0f x f x ->；同理：由0()0f x -'<，可知，当0δ>足够小时，若00x x δ-<-<，则00()()0f x f x x x -<-，于是也有0()()0f x f x ->，从而可知0x 是()f x 的极小值点．该题用极小值的定义及导数的定义证明0x 是()f x 的极小值点，用定义法证明问题是我们常用的方法之一．例3 设()f x 在R 上存在二阶导数，且对任意x R ∈满足 2()3[()]1xxf x x f x e -'''+=-． （1）若()f x 在(0)x c c =≠，取极值，证明()f c 必为极小值； （2）若()f x 在0x =取极值，问(0)f 是极大值还是极小值．证明 (1)若()f x 在(0)x c c =≠取极值，则()0f c '=，这时有1()0ce f c c--''=>，所以()f c 必为极小值．(2)若()f x 在0x =取极值，且1()xe f x x--''=23[()]f x '-，(0)0f '=， 2001lim ()lim[3[()]]10xx x e f x f x x-→→-'''=-=> 在0x =附近总有()0f x ''>，因此(0)f 是极小值．６ 在解方程中的应用在初等数学中求方程根的个数，大多数是采用图像法和因式分解法．图像法对作图的准确性要求较高，往往由于作图误差而出错；因式分解法对运算能力要求较高，但学习了微分学的知识后，用导数的方法就降低了难度．例１ 求证方程1sin 02x x -=只有一个根． 证明 构造函数()1sin 2f x x x =-，x R ∈．因为()11cos 02f x x '=->，所以()f x 在R 上是单调递增的．又()00f =，所以曲线()y f x =与x 轴有且仅有一个交点，即方程1sin 02x x -=有唯一的一个根．例２ 已知函数()43241027f x x x x =-+-，则方程()0f x =在[]2,10上的根的个数是多少？解 因为()3241220f x x x x '=-+，令()0f x '=，得()24350x x x -+=．因为235x x -+0=无实数解，所以0x =．所以()f x 的图像的驻点只有一个0x =．当0x >时，()()24350f x x x x '=-+>，所以()f x 在()0,+∞上是增函数，所以()f x 在[]2,10上是增函数． 又因为()230f =-<，()100f >，所以()f x 在[]2,10上有且只有一个根．例３[]()3117118P - 讨论方程()0x xe a a -=>有几个根．解 令()x f x xe a -=-，则()()1x f x x e -'=-，故当1x <时，()0f x '>，()f x 单调增加；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调减少，从而()11f e a -=-是()f x 的最大值．若10e a --<，即1a e ->，()()10f x f ≤<，方程无实根；若1a e -<，由()f -∞=-∞，()10f >，且()f x 在(),1-∞内单调增加，故()f x 在(),1-∞内有且仅有一个实数根；又由()0f a +∞=-<，()10f >，()f x 在()1,+∞内单调减少，故()f x 在()1,+∞内亦有且仅有一个实数根，从而()f x 在(),-∞+∞内有两个实数根；若1a e=，则方程有唯一实数根1x =． 7 在数列问题中的应用因为数列可以看作特殊的函数所以用导数知识解决数列问题，用导数可以确定数列的最大项或最小项，研究数列的增减性、证明数列不等式．例１ 已知数列{}n a 的通项238n a n n =-，n N +∈，求数列{}n a 的最大项．解 构造辅助函数()238f x x x =-，()0x >，则()2163f x x x '=-，显然，当1603x <<时，()0f x '>；当163x >时，()0f x '<，故()f x 在区间160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在区间16,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，所以当163x =时，函数()f x 取最大值． 对于n N +∈，()238f n n n =-，()575f =，()672f =．所以(){}max75f n =，即数列{}n a 的最大项为575a =．例２ 设定义在R 上的函数()f x 与数列{}n a 满足：1a α>，其中α是方程()f x x =的实数根；()1n n a f a +=；()f x 可导，且()()0,1f x '∈．（1）证明 n a α>；（2）判定n a 与1n a +的大小关系，并给出证明．证明 (1) 由已知1a α>，即1n =时，n a α>成立．设n k =时，k a α>．因为()0f x '>，所以()f x 是增函数，所以()()1k k a f a fα+=>．又由题设可知()f αα=，所以1k a α+>，即1n k =+时，命题成立．综上可知，当n N +∈时，n a α>成立．（2）要比较n a ，1n a +的大小，即比较n a 和()n f a 的大小，构造辅助函数()()g x x f x =-，则()()10g x f x ''=->，故()g x 是增函数．所以当n a α>时，()()n g a g α>．又因为()()g fααα=-0=，()()n n n g a a f a =-，所以()0n n a f a ->，故()n n a f a >，即1n n a a +>．例３ 已知数列{}n a 满足：3123n n n a a a +=-+，n N +∈，且()10,1a ∈．求证 01n a <<．证明 构造辅助函数()31322f x x x =-+，则()()()3112f x x x '=--+．当()0,1x ∈时，()0f x '>．所以()f x 在()0,1上是增函数，因为()10,1a ∈，即101a <<，故当1n =时，原不等式成立．设n k =时原不等式成立，即01k a <<，因为()f x 在()0,1上是增函数，所以()()()01k f f a f <<．又()00f =，()11f =，所以()01k f a <<，即101k a +<<．即1n k =+时，原不等式成立，故n N +∈时，01n a <<．8 曲线的凸向与拐点定义 设函数()f x 在某区间内可导，曲线()y f x =上任一点处的切线都在曲线的上（下）方，则称曲线在该区间是向上（下）凸，（亦称凸（凹）弧），连续函数的凸弧与凹弧的分解点叫该曲线的拐点．判别法 设()f x 在(),a b 内具有二阶导数，若在该区间上()0f x ''>（()0f x ''<）则在该区间是下（上）凸的．例1[]()3117118P - 求下列曲线上（下）凸区间及拐点（1）()2ln 1y x=+； （2）y a =解 （1）因为221xy x '=+，()()222211x y x -''=+， 令0y ''=，得1x =±，故点1,1-把函数定义域(),-∞+∞分成三个区间， 可列表如下：由表可知，曲线的上凸区间是(),1-∞-，()1,+∞；下凸区间是()1,1-；拐点为()1,ln 2-，()1,ln 2（２）因为()2313y xb -'=--，()5329y xb -''=-，在x b =处，y '，y ''不存在，但y 在x b=处连续，当x b -∞<<时，0y ''<，故曲线在(),b -∞上凸；当b x <<+∞时，0y ''>，故曲线在(),b +∞下凸，所以点(),b a 是曲线的拐点，而(),b -∞，(),b +∞分别是曲线的上凸区间、下凸区间．注：求曲线拐点时，其二阶导数不存在的点也有可能是拐点，故也应予以判定．9 导数在实际问题中的应用在实际生活、生产中，经常会遇到求函数最大（小）值的问题，若建立的目标函数是三次函数、高次多项式函数、分式函数、无理函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，及时能求出，也要涉及到较高的技巧，而运用导数知识，求目标函数的最值就变的非常简单．例1[]()5132P 在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图所示），做成一个无盖的方底盒子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？解 设箱子底边长为x ,则箱高602x h -=，箱子容积 23260()(060)2x x V x x h x -==<<，23()602V x x x '=- 令23()602V x x x '=-0=，解得0x =（舍去），40x =，在定义域)(0,60内，函数()V x 只有在40x =处使得()0V x '=，故在40x =处取得最大值()max 40V V ==316000cm ．例2 铁路线上AB 段的距离为100km ，工厂C 距A 处为20km ，AB 垂直于AC （如图），为了运输需要，要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路，已知铁路每千米货运的运费与公路上每千米的货运的运费之比是5:3，为了使货物从供应站到工厂C 的运费最少，问D 点应选在何处？解 设()AD x km =，那么100DB x =-，CD 设从B 点到C 点的总运费为y ，由已知可得()53100y k x =-，0100x ≤≤，0k >，则 3y k ⎛⎫'=-⎪⎭， 令0y '=，得15x =，因为y 在]0,100⎡⎣内连续，故y 的最小值在稳定点或端点处取得，当0x =时，400y k =；当15x =，380y k =；当100x =时，500y =380y k =为最小，因此，当15AD =时，总运输费最少．例3[]()3127128P - 将一长为a 的铁丝切成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形与圆形面积之和最小，问两段铁丝的长各为多少？解 设围成正方形的铁丝长为x ，围成圆形的铁丝长为y ，则正方形的边长为14x ，圆形的半径为12y π，于是正方形与圆面积之和为222211142164y s x x y πππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题设x y a +=，将y a x =-代入上式，得A D BC()()2211164S S x x a x π==+-，()()1182S x x a x π'=--， 令()0S x '=得驻点44a x π=+，由11()082S x π''=+>，故当44a x π=+时，()S x 取得极小值，也是最小值．由x y a +=可得y a x =-4a ππ=+．因此，当围成正方形的铁丝之长为44a π+，围成圆形的铁丝之长为4a ππ+时，正方形与圆形面积之和最小，其最小面积为()244a S π=+． 求实际问题的最值是导数应用的主要内容之一，解题的关键是要理清各量之间的关系，建立目标函数，判断函数的极值及端点的函数值，进而确定函数的最值情况．。
微积分在中学数学中的应用
微积分在中学数学中的应用摘要：用高等数学乃至现代数学的思想、观点和方法来分析、认识初等数学的内容，高屋建瓴地处理教材，是高等专业学校数学教学中的一个重要问题。
本文从求函数的极值、讨论函数的单调性、不等式的证明、恒等式的证明、切线方程的求法、数的概念的深刻理解、定积分计算体积等七个方面对微积分在中学数学中的应用问题加以分析，既为解决中学数学的相关问题找到了一些新的解题途径，又使微积分对中学数学的指导作用得到了具体说明。
这样，既拓宽了数学解题的思路，使学生原有的数学知识体系更连贯，学生对知识的理解也更深刻，也能对学生学习高等数学产生良好的心理效应。
关键词：微积分；切线方程；单调性；极值我国现在普遍使用的高中数学教材(人民教育出版社)中，增加了微积分的部分知识。
为什么要增加这部分内容，笔者认为，至少有以下五个原因：一是微积分是人类宝贵的精神财富，加进微积分知识可以增强高中数学的人文价值：二是使学生掌握更有用的变量数学知识，有利于学生数学思维能力的培养；三是可发挥微积分对初等数学的指导作用，促进中学数学教学及邻近学科教学质量的提高；四是增加了解决实际问题的工具，有利于学生分析问题、解决问题能力的培养；五是微积分进入中学已成为国际潮流。
本文将就第三条原因展开讨论，主要讨论微积分在初等数学中的应用问题。
一、求函数的极值初等数学中，经常用不等式、配方法求极值，这些方法的优点是学生熟悉，易于掌握。
但这些方法往往有三个缺点：一是技巧性要求较高，特别是对较复杂的问题；二是适用面较窄，只能解一些较特殊的问题；三是容易混淆极值和最值两个概念，遗漏了极值。
用微积分方法求极值，有固定程序可循，技巧性要求低一些，适用面也广一些，极值和最值也容易区分。
例1.求++1的极值解： =，令=0 得解得或由可得或，因此：当时,得极小=；当时，得极大=3；当时，得极大=1此题若用配方法解如下：(+)2+，当时，得极小=；当时,得极大=3,但很容易遗漏极大=1.二、讨论函数的单调性初等数学中讨论函数的单调性时，经常在某区间任取，令若，则在该区间单调增加。
微分几何在中学中的应用
微分几何在中学中的应用初等数学是高等数学的基础，二者有紧密的联系，将高等数学的理论应用于初等数学，能使其内在的本质联系得以体现，而微积分是在实数范围内研究函数性态的一种重要的工具，与中学数学联系非常广泛.下面将从几个方面探讨微积分在中学数学中的一些应用，以进一步体现微积分与中学数学之间的联系。
一、恒等式的证明有些恒等式，用初等方法证明，往往需要较高的解题技巧，而用微积分的方法，则很简单。
[例1] 证明: arctanx+arccotx=π2， x∈R证明:因为x∈R，有(arctanx+arccotx)' =11+x2-11+x2 =0 所以arctanx+arccotx=C (C是常数)为了确定C,令x=0，有C=arctan0+arccot0= π2因此arctanx+arccotx=π2，x∈R二、极值问题初等数学能解决的极值问题是有限的，且方法不一，难以寻找，如果用微分的方法，有的问题解决起来就很简便。
[例2]求函数 f(x)=xne-n2x (n是自然数，且n≥2)在[ 0,+∞)的最大值与最小值.求极限(x≥0)limx-→∞f(x) 解: f' (x)=nxn- le-n2x- -n2xne- -n2x=nxn-1e- -n2x(1-nx)令f' (x)=nxn-1e-n2x(1-nx)=0,得到两个稳定点0、1n，其中，0是区间[0,+∞)的左端点，讨论f' (x)在稳定点1n的情况。
列表如下:函数f(x)的极大值f(1n )=1nnen，f(0)=0，从表中可以看到fn(x)在1n取最大值，有f(x)=xne-n2x≥0，又f(0)=0,即函数f(x)在0处取得最小值是0，于是，x∈[0,+∞),n∈N,有0≤f(x)≤f(1n )=1nnen 0(n ∞)，于是， x≥0, 有limx→∞f(x)=0。
三、函数单调性的讨论中学数学中函数的单调性一般用定义判别，计算繁琐，对某些函数甚至无法判别，而在微积分中根据“若x∈区间I,有f(x)'>0(<0)，则f(x)在区间I严格增加(严格减少)容易判别函数的单调性。
微积分思想在中学数学中的应用
毕业论文（设计）论文（设计）题目：微积分思想在中学数学中的应用姓名陈东学号 11111022037院系数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级 2011级指导教师庄乐森2015 年 4 月 21日目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第1章中学数学中的微积分思想 (3)1.1 中学数学与微积分的关系 (3)1.2 微积分的基本思想方法 (3)1.3 微积分的几种基本思想 (3)1.3.1 极限思想 (3)1.3.2 化归思想 (4)1.3.3 函数思想 (4)1.3.4 数形结合思想 (5)第2章微积分的基本应用 (6)2.1 关于函数单调性的讨论 (6)2.2 函数极值与最值相关问题讨论 (7)2.3 函数的变化性态与图像关系讨论 (8)2.4 关于用微积分解方程问题的讨论 (9)2.5 关于不等式证明的讨论 (11)2.6 关于曲线的切线及求法的讨论 (12)第3章结语和展望 (13)参考文献 (14)致谢 (15)摘要本文主要以微积分思想为基础来讨论微积分与中学数学之间的联系，介绍了常见的几种微积分思想，通过导数，来研究函数的单调性与极值问题，以及验证如何利用导数来证明不等式等问题.以此得到，将微积分应用到中学数学中，能够起到化难为易的重要作用，而且把微积分思想与中学数学之间的联系也需要我们进一步去研究与探讨.关键词：微积分；导数；不等式；最值ABSTRACTThis paper is mainly based on the idea of calculus to discuss links between calculus and middle school mathematics, it introduces several common calculus thought, through derivatives, to study the problem and Extremes monotonic function, and verify how to use derivatives proof of inequality and other issues. in this get, will be applied to high school calculus mathematics, it can play an important role in anything easy, and the contact calculus between thought and middle school mathematics, we also need to go further study and discussion.Keywords: Calculus; Derivative; Inequality; The most value第1章中学数学中的微积分思想微积分思想应用到中学数学中的方面有很多：求函数的极值与最值问题、函数单调性问题、以及利用导数证明不等式和恒等式，它们都是数学最基础的知识，通过微积分可以让问题更简单的解答出来，从而使学生更容易的去接受和理解中学数学.1.1 中学数学与微积分的关系初等数学是高等数学的基础，二者有着本质上的联系.将微积分运用到中学数学中也可以使得本质得以体现，进而更容易掌握初等数学.早在1983年，四川的孟季和老师就针对1978年的高中数学大纲编著了《中学微积分教材教法》[1]一书，对当时大纲中所列出的中学微积分内容进行了教学和教法的探讨，而且把微积分思想运用到初中数学中也能够为以后学习微积分打下一个坚固的基础.1.2 微积分的基本思想方法微积分思想方法在解决问题上一般分为变化率问题与积累性问题，两个问题虽然本质上看来有所不同，但在解决问题上却有异曲同工之处，都是讨论在局部范围的内近似状态，最后通过极限方法使近似状态精确到某一单点值，这就是所谓的微积分思想，微积分思想主要以极限为工具，对数学中的函数、不等式等问题进行解析，而且微积分能够运用到初等数学中的方法有很多：“以直代曲”、“局部刻画整体”、“极限方法”，但是在中学数学中一般偏重于对极限的运用与探讨.1.3 微积分的几种基本思想1.3.1 极限思想极限思想是数学思想的基础，它主要是讨论运用有限的值来描述无限的变化状态，通过多次运算把估算出的近似值转化到相对准确值上，这样也就充分体现出极限思想的本质，他可以讨论变化趋势的“无穷小”过程，同时也揭露了“曲线性与直线性”“量变与质变”“近似于精确”等一些对立统一而又能相互转化的辩证关系.例10.999991?我们知道1/3=0.33333...，两边同时乘以3就可以得到10.99999...=，这样我们就看左边是一个有限的数，右边是无限的数，0.99999...10.99999...990.99999...10⨯-⨯==⨯，所以0.99999 (1)=.同样的想法在求曲边梯形面积时，就要运用到“化整为零”、“以直代曲”、“取极限”等思想，首先把曲边梯形分割成若干个小梯形面积，对每个小梯形进行面积近似求值，最后求和取到近似值，而且分割的越细面积值就越接近曲边梯形面积，最后取极限值，问题得以解决.1.3.2 化归思想在数学问题上，一般都会运用到化归思想，它是解决问题的一个转折点，通过把问题转化，变向的去解决问题的思想方法，也是让问题通过更方便的途径或方法解决出来的另一种形式，起到化复杂为简单，化抽象为具体，化生为熟的作用，化归思想可以说在解决问题时是无处不在的，在问题与问题之间进行相互转化，最后求得原问题的答案，对于化归思想来说它的重要本质主要体现在“转化”，能够做到把复杂转化成简单，使问题更一目了然的展现出来.在数学问题上我们最常见几个利用化归原理来解答问题的例子：对反三角函数进行求导；复合函数求导，通常将其转化成最基本的导数，然后根据四则运算，求其结果，最后得到结果；求曲边形面积，将其转化成极限、积分问题.如在求曲边梯形面积时直接去求解，相对比较更繁琐、困难，但是若把它分割成若干个近似无限个小梯形，去求面积的总和，最后极限求值，这样问题就能更简单的解答出来.而且化归思想同时运用到数学建模上也是比较常见的，在设计模型时，就可以把抽象化具体，寻找实际的例子进行分析，最后转化到模型中.1.3.3 函数思想函数思想是数学中最重要的部分，也是主体部分，它的主体思想与辩证唯物主义是有密切关系的，在讨论事物的相对性，以及一一对应的关系时，不存在绝对性问题，只存在相对性关系，函数思想以变量关系为本质，讨论自变量、因变量以及函数值之间的对应关系.在中学数学中，我们了解熟悉基本初等函数有以下六类：（1）常量函数；（2）幂函数；（3）指数函数；（4）对数函数；（5）三角函数；（6）反三角函数.而且在高等数学中也会有很多的证明需要通过函数来完成，如：柯西中值定理，拉格朗日中值定理，罗尔定理，可见函数思想的重要性以及广泛的应用.中学中函数思想在数学中与其相关最密切的应该是微积分，因为函数中的很多问题都可以通过微积分中的导数来解决，如：解多元函数；讨论函数的单调性；计算函数的极值与最值；判断函数是否连续等问题.我们知道，通过导数来解析函数思想是很有意义的，设某函数在一个规定的区间内成立，那么不难得到区间内的每一个点都有相对应的导数，这样在该区间内就可以定义一个新的函数（即为导数），通过微积分思想我们可以了解到函数里包含导函数，原函数，在解决问题时，我们通常都是对原函数进行解析，但这样做可能变得更繁琐，因此，我们运用化归思想，将其进行转化变形，成为导函数，然后再解决，这样就是问题得以解决.1.3.4 数形结合思想所谓的数形结合思想就是利用图形把相应的数量关系有效地表达出来，做到数与图相结合，从而解决问题的本质，可以说是数学领域一项重要且基础的数学思想，它运用几何关系去表达数量关系，使数与形完美的结合，把抽象的问题或思维具体化，达到转难为易的程度，在微积分的学习中，用导数去证明函数的单调性以及用导数去求曲线的切线方程，这些都涉及到了数形结合思想，而且，对于初中学生来讲，刚刚接触初等数学知识，还不能很好地运用与掌握，但是如果能够把图形运用上，那么问题以及结果就更直观的展现出来，数与形相结合更有利于他们的起步，同时也为高等数学打下良好的基础.第2章 微积分的基本应用2.1 关于函数单调性的讨论定义 2.1：设函数()f x 在区间(),a b 上有定义，如果对于区间(),a b 内的任意两点12,x x ，满足：（1）当12x x <，恒有()()12f x f x ≥则称函数()f x 在开区间(),a b 单调递减；（2）当12x x <，恒有()()12f x f x ≤则称函数()f x 在开区间(),a b 单调递增； 在解决中学数学中函数问题时，一般都会用定义法，但是遇到比较复杂的函数反而不容易判断，如：反三角函数，复合函数，但是运用导数，反而使得问题更简单，更能让学生接受.利用导数来判断函数单调性问题的方法大致有以下几个步骤：（1）首先确定函数的定义域；（2）算出()0f x '=下函数的解，并判断是否是可导点，同时把定义域根据这些点分成多个子区间；（3）确定函数()'f x 在不同的子区间内的符号，根据正、负来判断函数的单调性. 例2 判断函数()()231f x x x =-的单调性.分析 本题主要考查函数的单调性，解决一般的函数大致都会用定义法，但是本题是幂函数，用定义法反而更麻烦，因此我们对函数()f x 进行一阶求导，求出导点与不可导点，然后根据导函数的符号判断函数的单调性.解 首先易知函数的定义域为(),-∞+∞， ()()123313252133x f x x x x x --'=-+=令()'0f x =得到125x =并且20x =是()f x 的不可导点. 所以可以将定义域(),-∞+∞分为三个子区间()22,0,0,,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则画表如下:因此在区间()2,0,,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭函数是递增的，在区间20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭是递减的. 2.2 函数极值与最值相关问题讨论可以说，函数的极值与最值问题一直都是大家讨论的热点话题，也是中学数学中一条重要的知识点，极值与最值可以反映出函数的特性.在很多应用中都有涉及，如：求讨论多元函数问题.若函数f 在闭区间[],a b 上连续，则在定区间[],a b 上一定有最大、最小值，这就为我们求连续函数的最大值、最小值提供了理论保证.具体的若函数f 的最大（小）值点0x 在开区间(),a b 内，则0x 必定是的极大（小）值点.又若f 在点0x 可导，则点0x 还是一个稳定点，所以我们只要比较f 在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到f 在定区间[],a b 上的最大值和最小值.下面举例解释这个过程.例3 求函数()322912f x x x x =-+在闭区间15,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 解 函数在闭区间15,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上连续，故必存在最大最小值.由于 ()()()()322222912291212912,0,452912,0,2f x x x xx x x x x x x x x x x =-+=-+⎧--+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩因此，()()()()()1612,0,45612,0.2x x x f x x x x ⎧----≤≤⎪⎪'=⎨⎪--<≤⎪⎩ 又因为()0012f '-=-，()0012f '+=，所以由导数极限定理推知函数0x =处不可导，令0f '=可得1,2x x ==，不可导点0x =，以及端点15,42x x =-=的函数值. ()()()1115515,24,00,, 5.4322f f f f f ⎛⎫⎛⎫===-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由此函数f 在0x =处取得最小值0，在1x =和52x =处去的最大值5. 2.3 函数的变化性态与图像关系讨论在中学数学中，我们最常见的几种函数图像基本上都是通过描点法来完成的，然而这样的方法得到的图像不一定能够明了的反映出曲线在一定的区间内的性态，这也是描点法的不足之处，但是学习了导数后，可以把导数应用到函数中去，利用导数来判断函数的单调、极值、最值、凹凸性等问题，进而也可以准确的画出函数的变化图像，但是对于一些初等函数而言，取点不够多，就会导致图像的错误，但是如果点取的很多，很浪费时间.对此类问题的例子有很多如：21y x =，正确的图像应为2-2，但是2-3确是用描点法得到的错误图像[]7.图2.1 图2.2所以图像的准确性直接关系着函数变化性的具体体现.作函数图像一般程序：(1)求函数的定义域；(2)考察函数的奇偶性；(3)求函数的某些特殊点,如：与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等；（4）计算出函数曲线与坐标轴的交点坐标，以及极值点、拐点、稳定点的坐标；（5）把上述的重要点的坐标描到直角坐标系中，并画出渐近线，最后讨论曲线的变化性态.例4 作出函数3213x y x =-+的图形. 解 首先判断出函数的定义域∞∞（-，+），并且由题可知与y 轴的交点为（0,2）.22(2)y x x x x '=-=-，2 2.y x ''=-令0y '=，的驻点0x =，2x =；令0y '=，得驻点0x =，2x =；令0y ''=，得1x =. 列表如下:图2.3 2.4 关于用微积分解方程问题的讨论在解方程中尤其是超越方程，凭借以往的图像法去解决问题，往往会导致误差太大，使得答案不准确，因此，我们改用通过微积分，利用函数的单调性以及切线法来解方程.例5 用牛顿切线法求方程322470x x x ---=的近似解，使误差不超过0.01. 分析 首先通过构造函数，然后对函数进行求导，求出x 值，然后来判断是不是极值点，通过运算来得出近似解.解 设()32247f x x x x =---.求得导数()()()()322,6 4.f x x x f x x '=+-''=- 容易检验23x =-为极大值点，2x =为极小值点，并且203f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，又因为()()lim ,lim x x f x f x →-∞→+∞=-∞=-∞，所以方程()0f x =有且只有一个根.如图2.4所示，从点()4,9B 作切线与轴相交于()()1'44 3.684f x f =-≈ 我们来估计以1x 代替δ的误差：()f x '在[]3,4上的最小值为11m =，而()()1 3.68 1.03f x f ==，由误差计算公式可得 ()11 1.0311f x x m δ-≤=, 而1.030.0111≥，因此尚不合要求.图2.4再在点()()11,B x f x '作切线，求得,()()121'1 3.36f x x x f x =-≈, 由于()20.042f x =-，此时, 20.01x δ-≤,因此取 3.36δ≈已能所要求的精确度.2.5 关于不等式证明的讨论不等式是研究数学的重要工具，研究不等式以及不等式的证明两个问题也是数学领域的一个重大突破，相对来说，前者较易，后者较难，利用导数研究函数的单调性，再有单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合的一个难点，也是近几年高考的热点，同时证明不等式也是学生的弱点与难点，而利用微积分的方法和知识，将不等式问题转化为函数问题，进而通过求导数法判断函数的单调性或最值，再利用函数单调性或最值来证明不等式，可简化不等式的证明过程，降低技巧性[]10.那么以下则介绍以下用导数证明不等式的一般思路：（1）构造函数()f x ；（2）通过对函数的运算，求出函数在区间内的单调性；（3）通过函数单调性对不等式进行证明；（4）用函数的最值证明不等式.例6 已知,m n 为正整数，且1m n <<，求证()()11n m m n +>+.分析 直接验证无从下手，则对不等式进行化简变形即可得到，()()ln 1ln 1n m m n +>+，然后验证不等式()()ln 1ln 1m n m n ++>是否成立. 证明 构造函数()()ln 1x f x x +=，当()2x ≥时，求导得()()()()21ln 101x x x f x x x -++'=<+，所以()f x 在[)2,+∞上是减函数，由2m n ≤<知()()f m f n >，即()()ln 1ln 1m n m n++>或()()ln 1ln 1n m m n +>+ 所以()()ln 1ln 1n n m n +>+，即()()11n mm n +>+.从此例可以看到，导数作为证明不等式的工具，方法简单、实用.而且渗透了很强的数学思想.除了不等式的证明外，我们往往也会遇到恒等式的证明问题，对此也可以通过导数的方法来进行证明.例7 求证 1231232n n n n n n C C C nC n -++++=.分析 此题主要考查对二项式定理求导的理解与运用.证明 因为 012233(1)n n n n n n n n x C C x C x C x C x +=+++++，对等式两边求导得：112321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++，令1x =即得：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=. 2.6 关于曲线的切线及求法的讨论例8[]11(2013年福建卷 理科)已知函数()x x x f ln 2-=，验证曲线()x f y =在点()()1,1f A 处是否存在切线方程并算出.分析 此题验证如何来求曲线的切线方程，怎样运用导数进行计算.解 函数()x f 的定义域为()∞+，0，()21f x x '=-，()0>x 因为 ()11=f ，()11,f '=-所以我们可以得到在点()()1,1f A 的切线方程为，()11--=-x y ，即 02=-+y x .综上所述，就可以证明出通过导数来求曲线的切线是一个很好的解题思想和方法.第3章结语和展望本论文研究的主要内容是:讲述微积分思想的意义以及作用，直接深入本文主旨提出微积分思想与中学数学的联系，通过举例证明在初等数学中的广泛应用，并且详细介绍了微积分的主要几种思想，然后在通过实际例子的解答与验证，了解到这些思想的相关应用，从而得到微积分思想在中学数学中的广泛应用，如：微积分关于函数的单调性、求函数的极值、最大值与最小值、函数的变化形态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式的证明、曲线的切线及求法.用微积分去处理中学数学上的问题，能够起到化难为易的重要作用，而且能够让学生更容易的去接受，对于刚接触初等数学的学生，可以起到引导的的作用，同时也为以后更好的学习高等数学打下稳定的基础，微积分思想运用到中学数学中的知识也不仅仅只有这么多，如求不定规则图形的面积、讨论导数在数列中的应用、在几何上的应用、求方程的解、因式分解等很多问题上，它能够把问题通过转化变得简单，起到“化曲为直”的作用，而且在近几年的高考中也逐渐侧重了对微积分的考查与运用，在初等数学与高等数学之间，微积分思想起到承上启下的重要作用，同时也能够开拓师生的思路，掌握教材的能力，微积分思想在中学数学中的作用与地位主要体现在以下几个方面：（1）了解微积分的相关知识，能够增强学生的运算能力以及逻辑思维能力与空间何想象能力；（2）能够帮助学生提高解决问题的能力，为学生打下良好的数学基础；（3）微积分运用到初中数学中能够起到化难为易，化抽象为具体的重要转化作用.综上所述，都足以表明微积分思想在中学数学中的重要性，也使得这一重要的数学思想的本质得以体现.本文章主要介绍了微积分思想在中学数学中的应用，但是它也在其他的领域有所应用，如：在天文学上对经纬度的测量，从而进行了相关的研究：（1）研究黑洞与其他行星；（2）月食现象产生的原因；（3）计算气候变化周期.微积分作为人类文明史上宝贵的精神财富[15],数学史上的重要里程碑，也是数学家们辛劳的结晶，掌握和了解微积分，能够增强学生对数学的理解与运用能力，所以说微积分思想不但是数学史上的创举也是人类发展史上的重要的一部分.参考文献[1]孟季和.中学微积分教材教法[M].重庆：重庆出版社，1983：73～221.[2]曹发祯.微积分在中学数学中的应用[M].广东教育出版社，1991[3] 人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修2—2）.人民教育出版社.2009.[4] 丁向前.微积分思想在中学数学中的渗透[J].数学教学研究，2008，27(8):4～5.[5] 俞宏毓.例说微积分知识在解决中学数学问题中的应用[J].高等函授学报（自然科学版），2006，20(2):32～36.[6] 贤锋.浅析微积分理论在中学数学的简单应用[J].引进与咨询，2000(1)：64～65.[7] 魏本成，吴中林.微积分在中学数学中的应用[J].天中学刊，2001，16(5)：54～55.[8] 吴向群，庄认训.微积分在中学数学中的应用[J].青海师专学报（自然学科），2002，22(5):77～78.[9] 徐岳灿.探索微积分在中学数学中的必要性[J].上海中学数学，2011，64（6）：27～29.[10] 包建廷.微积分在不等式中的应用[J].承德民族师专学报，2003，23(2):27～30.[11] 肖新义，肖尧.微积分方法在初等数学中的应用研究[J].和田师范专科学校学报2009，28（5）：15～16.[12] 徐岳灿.探索微积分在中学数学中的必要性[J].上海中学数学，2011，64（6）：27～29.[13] 丁向前.微积分思想在中学数学中的渗透[J].数学教学研究，2008，27(8):4～5.[14] 李霞.浅论数学分析的原理与方法在中学数学中的应用[J].牡丹江教育学院学报，2006，95（1）：83～84.[15] 王昆扬.给中学生讲好微积分基本知识[J].数学通报，2001(6):23～24.致谢大学的四年生活转瞬即逝，回首过去的日子，感觉收获到很多东西，当完成这篇文章的时候，我感慨万分.首先真诚的感谢我的论文指导老师庄乐森老师，他能够在百忙之中帮我指导论文的修改与审查，同时，我也很感谢大学四年内教过我的老师们，是你们一丝不苟的工作精神与职业责任心深深地感染了我，是你们在教会我很多的数学知识与文学上的知识，是你们的启迪让我对知识探求的渴望，最后，我也很感谢陪伴我身边的朋友，是你们在我困难的时候帮助我，鼓励我，在我困惑的时候给予我宝贵的意见与建议，谢谢你们曾陪我走过，我的大学生活因为有你们而变得充实、丰富而又多彩.。
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微分学在中学数学教学中应用作者：xxx指导教师：王保军摘要：本篇文章以一些中学数学的范例为依据，主要从曲线切线方程的求法、函数性质的讨论、不等式及恒等式的证明、数列求和四个方面，来说明微分学在中学数学相关问题上的应用．微分学的引入，极大地提高了中学生的学习兴趣，使中学和大学的联系更加紧密．关键词：微分学；导数；中学数学；高等数学微分学是整个数学领域的一个基础性分支，也是其他学科的一个工具，一些实际问题及其它相关学科的好多问题都要用到微分学的知识来求解．同样的，在中学数学中，微分学的引入使得好多复杂的问题迎刃而解．如求曲线的切线，研究函数的部分性质，一些不等式的证明等都变得非常简单．同时引入微分学也有利于提高中学生的学习兴趣，培养学生一定的思维能力，使学生初步了解微分中极限等思想，有利于高等数学与初等数学更好的衔接．1微分学的简介微分的诞生是数学史上的一个重要转折点，它主要源于求曲线的切线，运动物体的瞬时速度以及一些问题的极大极小值．在17世纪以前，人们只是以静态的观点来研究这些问题，直到17世纪微分学对这些问题的研究才有了实质性的进展．因此可以说它是数学中“一步真正的发展”，是一种更有力的工具和一种更简便的方法．微分采用逐步逼近的方法把动态转化为静态，通过有限去认识无限，利用近似去探索精确，是辩证法在数学上的体现．例如通过微分讨论函数的单调性、连续性、极值以及函数的作图、求曲线的切线方程、不等式的证明、三角函数式的化简以及数列的求和等．微分在中学数学中的应用使我们充分体会到了微分为什么是“人类精神的最高胜利“和全部数学中一个最大的创造”．它将事物的局部与整体、微观与宏观、过程与状态、瞬间与阶段的联系明显化．有了微积分，人类就有了把握过程的能力，继而就出现了社会化大工业的生产，出现了社会的繁荣与发展，才有了今天的宇宙飞船，航天飞机等高科技的交通工具．当然小到每个中学生的学习，微积分都有不可估量的作用．在中学教学中适当的引入微分的一些知识，对与培养学生的思维能力，提高学生的学习兴趣及解题效率都是很有帮助的．2 微分学的相关概念对于一元函数的微分，初等数学中并没有确切的定义，在高等数学的数学分析中给出了导数和微分的确切定义．定义1[1]设函数y ()f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限000()()lim x x f x f x x x →--存在，则称函数f 在0x 处可导，并称该极限为函数f 在该点处的导数．导数的定义是基础，各种函数的导数公式都是根据定义推导出来的，正确的理解把握定义是运用导数解题的关键，同时正确地应用也有助于同学们更好的理解导数的定义．当然导数的定义式还有许多等价的变形式，在这里我们就不一一列举了．定义2 设函数()y f x =错误！未找到引用源。
定义在0x 的某邻域0()U x 内．当给0x 一个增量x ∆，00()x x U x +∆∈时，相应得到函数的增量为00()()y f x x f x ∆=+∆-，如果存在常数A ，使得y ∆能表示成()y A x o x ∆=∆+∆，则称函数f 在点0x 可微，并称A x ∆为f 在0x 处的微分．导数及微分的定义，其实就是一种极限的思想，联系曲线切线的定义，我们知道一个可导函数在某一点处的导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，因此我们根据它的几何意义就可以求有关曲线的切线的一系列问题．同时函数的微分反映的是曲线在某一点的邻域内的局部性质，在一定程度上反映了函数值y 随x 的变化情况，因此我们可以根据导数与零的大小关系，判断出函数在这个局部邻域内的增减情况，即可以用来判断函数的单调性，进而再根据极值及最值的定义，来求解有关函数极值及的最值的有关问题．在中学阶段我们还会遇到好多有关不等式证明的问题，并且用中学知识解决还很繁琐，但是呢，学习了微分的有关知识后，大多数问题都可以转化为函数的问题，进而通过判断单调性、最值大小的比较等方面来解决，还可以利用特殊函数的导数来证明一些恒等式等．总之，微分学在中学数学中的应用是非常广泛的．下面就通过一些具体的例子来看看它的广泛用途．3 微分学在中学数学中的的应用3.1 用微分来求曲线的切线方程中学数学中曲线的切线没有一般的定义．例如圆的切线定义为与圆只有一个交点的直线，但把这一定义用到其它曲线上就不行了．如直线0y =与抛物线2y x =错误！未找到引用源。
只有一个交点，0y =是2y x =的切线，但直线0x =与抛物线2y x =错误！未找到引用源。
也只有一个交点，0x =却不是2y x =错误！未找到引用源。
的切线．这说明用“一个交点”来定义切线不能用于所有曲线．学习了微分学的知识后就可以给出曲线切线的一般定义：[2]设n P 是曲线()y f x =错误！未找到引用源。
的一定点，P 是该曲线上的一动点，从而有割线n PP 错误！未找到引用源。
令P 沿着曲线无限趋近于n P ，则割线n PP 错误！未找到引用源。
的极限位置就是该曲线在n P 处的切线．这一定义与中数学中所定义的圆的切线的是一致的．用这一定义也很容易得到0y =是2y x =的切线，而0x =却不是2y x =错误！未找到引用源。
的切线．这一切线的定义可以用于任何曲线()y f x =．用上述切线的一般定义和函数()f x 在0x 处导数的几何意义：就是曲线()y f x =在00(,()P x f x 处切线的斜率．也就是说曲线()y f x =错误！未找到引用源。
在点00(,()P x f x 处切线的斜率为0'()f x ，于是相应的切线方程就很容易求出．但在中学中我们只能列出方程组，通过对一元二次方程解的个数的讨论来解决一些简单的二次曲线的切线问题．对于更高次的曲线以及其它类型曲线的切线就无法解决．例１ 求曲线2ln(1)y x =+在2x =处的切线方程．解 因为22'1x y x =+，因此2x =时，4'5y =，即切线的斜率45k =错误！未找到引用源。
；切点为)(2,ln 5，故切线方程为：4ln 5(2)5y x -=-，即455ln580x y -+-=．所以2x =时切线方程为：455ln580x y -+-=． 这道例题很好的诠释了如何运用导数来求切线方程，处理方法很简单，而在中学数学中对于这样的对数函数连它的的切线的定义都很难给出，更别说求它的切线方程了．由此可见，微分在中学数学中发挥了很重要的的作用．那如果在切点未知的情况下切线方程又该如何来求呢？单纯的中学知识就更无法解决了．例２ 若直线31y x =+是曲线3y ax =的切线，试求出a 的值．解 设直线错误！未找到引用源。
与曲线3y ax =的切点为00(,)P x y ，因为曲线3y ax =错误！未找到引用源。
的错误！未找到引用源。
导数为2'3y ax =，由题意可得：0031y x =+，300y ax =，2033ax =；可解得4a =错误！未找到引用源。
．错误！未找到引用源。
此题与例1相比，稍微变得复杂，不知道切点，但我们知道切线的方程错误！未找到引用源。
，相当于知道了切线的斜率，因此我们可以先将切点设出来，根据切点既在曲线上，又在切线上，也即既满足曲线的方程又满足切线的方程，以及在这点处的导数为切线的斜率，列方程来求解，就变得很容易．但是若不用微分学的知识，用中学中的切线的有关知识是无法解决的，微分学的引入给中学数学解题带来了很大的方便．3.2 利用微分研究函数的性质3.2.1 用微分学讨论函数的单调性在没有接触到微分和导数以前，中学要讨论一个函数的单调性我们只能利用单调性的定义([3]在定义域的一个区间[],a b 上错误！未找到引用源。
，任取两点12,x x ，令12x x >，如果12()()0f x f x ->，则称该函数为单调增函数；如果12()()0f x f x -<，则称该函数为单调减函数．) 以及复合函数单调性的求解方法来判断函数的单调性．显然，这种方法只能解决一些能够经过几次基本的运算后就能判断出单调性的那些函数．因此这种方法虽然简单易懂比较直观，但是呢，它适用面却比较窄．而我们接触到函数的微分和导数之后，再来讨论一些复杂函数的单调性就变得轻而易举．只需求出'()f x ，再判断它的正负即可．如果在定义域内的一个区间错误！未找到引用源。
上'()0f x >则()f x 在该区间上单调递增，否则()f x 在该区间上单调递减．例３ 讨论3y x x =-在错误！未找到引用源。
上的单调性．解 因为2'31y x =-，因此当x >或x <时, '()0f x >；当x << 时，'()0f x <．故该函数在错误！未找到引用源。
⎛ ⎝⎭上单调递减，在错误！未找到引用源。
；)+∞上单调递增．在中学我们讨论函数的单调性只能用定义来做：取任意的 12,x x ，令12x x <，则2332221211221213()()()()124x x f x f x x x x x x x x ⎡⎤-=--+=-++-⎢⎥⎣⎦，此时后边小括号里边代数式的正负不容易判断,因此单调性就不容易判断．比较这道题的两种做法，不难发现，利用微分来解决此类型的题简单易行，不需要太多的技巧，而定义有时候就相当麻烦，需要有一定的观察能力和处理技巧．例４ 已知32()24f x ax x x =++问是否存在实数a ，使()f x 递减区间为)(,1-∞-，递增区间为()1,-+∞．分析：此题相当于已知了单调区间，让我们来求参数．用中学中单调性的定义显然很难讨论清楚，而我们用导数却可以直接求出它的单调区间，与题中给出的区间对比，列出方程即可求出参数a ．解 2'()344f x ax x =++，则若0a =，'()44f x x =+，令440x +>，则1x >-，所以单调增区间为()1,-+∞，递减区间为)(,1-∞-错误！未找到引用源。
符合题意；若0a ≠，则该导数为一元二次函数，令'()0f x >，如果0a >，则0x >或43x a <-．所以递增区间为)(0,+∞，4(,)3a-∞-．与题意不符；如果0a <，同理可得它的单调减区间为4(,3a -+∞），(,0)-∞，与题意不符，舍去．因此0a =．与例３相比此题题意刚好相反，难度增强．例３已知了曲线方程判断单调性，而这道例题却是已知了单调区间来求方程中的参数，综合性增强．那么解此类题时能不能用中学时单调性的定义来做？用定义做起来简便吗？例5 (2000年高考全国卷)[4]设函数()(0)f x ax a =->，求实数a 的取值范围，使()f x 在(0,)+∞是单调函数．分析： 本题所给参考答案由函数的单调性定义,结合不等式恒成立的方法来解,解题过程中运算量大,思维要求高．若运用导数来解，则简便易行，思路清晰易懂．解 因为'()f x a =-，因此当0x >时，01<<，故当错误！未找到引用源。