数学选修2-3解排列问题的常用技巧2
示例（2005·福建·理）从6人中选4人分别到巴黎、
伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有 一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两
B 人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有______
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
分析（直接法）分三种情况： 情况一,不选甲、乙两个去游览 情况二:甲、乙中有一人去游览 情况三：甲、乙两人都去游览
把椅子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两 个特殊元素有_A_42__种,再排后4个位置上的
特上殊任元意素排有列_有_A__41__A__55种_种,其,则余共的有5人_A_42_在A_41_5A_个55__位_种置.
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种 A64不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有A55 A64 种
相
独
独
独
相
不相邻问题——插空法
对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它元素 排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及 两端的空隙之间插入即可。
例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻， 分别有多少种站法？
综上不同的选择方案共有 240种
（间接法）A64 A53 A53 240 (个）
练习题 1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个 座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,
则不同的选法共有_3__4_种___;
2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2 号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选 2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这5人共有_2_7_种___乘船方法.
种不同的排法
练习题
某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好 有3枪连在一起的情形的不同种数为_2_0_
不相邻问题插空策略 示例 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出
场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
有 A55 种，第二步将4舞蹈插入第一步排
练习题
（1）(2005 ·北京·文)五个工程队承建某项工程的5 个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲 工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案
共有（ A41 A44 ）种。
（2）(2005 ·全国II ·理)在由数字0，1，2，3，4， 5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被５
整除的数共有____1__9_2______个．
1
Anm Cnm Amm
Anm nAnm11
， C C m n
nm n
Cm n1
Cnm
C m1 n
课前热身练习 1.某校组织学生分4个组从3处风
景点中选一处去春游,则不同的
春游方案的种数是__C___
A A. C34
B.
3 4
C. 34
D. 43
课前热身练习
2.将数字1、2、3、4 填入标号为1、2、 3、4 的四个方格里 , 每格填一个数字， 则每个方格的标号与所填的数字都不相
A43
=288
特殊元素（或位置）优先安排
示例 将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列 车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，
则不同的停放方法有_____
（A）120种 （B）96种 （C）78种 （D）72种
Hale Waihona Puke A 解： 4 4A31
A31
A33
78
A55 2 A44 A33 78
由乘法原理可知 2×2×2×2×2×2-1=63
练习题
（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字 且能被5整除的五位数？
分类：个位数字为5或0： 个位数为0：A54 个位数为5：A41 A43
A54 A41 A43 216
（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数 字且大于31250的五位数？
“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插
例 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙 都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）种
960种 （B）840种 （C）720种 （D）600种
解： A22 A44 A52 960
另解： A22 A55 A41 960
练习题
练习 某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节
高中数学选修2-3
2019年5月2日星期四
1.两个原理的区别与联系：
名称 内容
分类计数原理
分步计数原理
做一件事，完成它可以有n类办法， 做一件事，完成它可以有n个步骤，
定
义
第一类办法中有m1种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法…， 第n类办法中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
做第一步中有m1种不同的方法， 做第二步中有m2种不同的方法……， 做第n步中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
插空法： A33 A44
（3）(2005 ·辽宁)用１、２、３、４、５、６、７、８ 组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４ 相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共 有___________个．（用数字作答）
(3)(2005 ·辽宁)用１、２、３、４、５、６、７、８ 组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻， ３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻， 这样的八位数共有___________个．（用数字作答）
分房问题
又名：住店法，重排问题求幂策略
住店法
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：
一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的
元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用
乘法原理直接求解。
示例 七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获
得,获得冠军的可能的种数有_______
A. 75
排列问题
排列组合问题总的原则—合理分类和准确分步
示例 6个同学和2个老师排成一排照相, 2个老 师站中间,学生甲不站排头,学生乙不站排尾,问共 有多少种不同的排法？
解法分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：
12））若若甲甲在在第排2尾、上3、，6则、剩7位下，的则5人排可尾自的由排安法排有，A有41种A5，5 种乙方的法排.法有
少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列
问题,可先把这几个元素与其他元素一起
进行排列,然后用总排列数除以这几个元
素之间的全排列数,则共有不同排法种数 是： A77 （空位A法33 ）设想有7把椅子让除甲乙丙以外 的四人就坐共有 A74 种方法，其余的三个
位置甲乙丙共有 1 种坐法，则共有 A74 种 方法 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
A41种, 第2、3、6、7位的排法有
不同的站法有A41 A41 A44 种。
A44
种，根据分步计数原理，
3）再安排老师,有2种方法。
根据分步及分类计数原理，不同的站法共有:
2( A55 A41 A41 A44 ) 1008(种）.
把握分类计数原理、分步计数原理是基础
F
E
D
相邻相间问题
相邻元素捆绑策略 示例.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相
邻,共有多少种不同的排法. 解: 可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成
一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。
甲乙 丙丁
由分步计数原理可得共有 A55A22 A22 =480
例6 有4名男生,3名女生.3名女生高矮互不等,将7名学生 排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有多少种排 法？
分析：先在7个位置上作全排列，有 A77 种排法。其中
3个女生因要求“从矮到高”排，只有一种顺序故A33 只
对应一种排法，所以共有
A77 A33
A74
种。
定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多
B. 57
A C
5 7
D.
C5 7
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列， 将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个 “客”有7种住宿法，由乘法原理得 5 种。
77
5 注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 呢？
用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。
重排问题求幂策略
如图，某电子器件是由三个电 阻组成的回路,其中有6个焊接 A
C B
点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，
整个电路就会不通。现发现电路不通了, 那
么焊接点脱落的可能性共有（ A）
（A） 63种 （B）64种 （C）6种 （D）36种
分析:由加法原理可知 C61 C62 C66 63
省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏
灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两
盏灯，可以熄灭的方法共有__A____
（A）C
3 8
种（B）
A83
种
（C）C
3 9
种
（D） C131
种
定序问题
定序问题倍缩空位插入策略
顺序固定问题用“除法”
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几 个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列 数除以这几个元素的全排列数.
B 同的填法共有______
A. 6 种 B. 9种 C.11种 D.23种
3.判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素
的子集有多少个?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上
共需准备多少种车票?
排列问题
有多少种不同的火车票价？
高二数学选修2-3排列组合知识点
高二数学排列组合知识点高二数学排列组合易错知识点1.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题间接法。
2.二项式系数与展开式某一项的系数易混，第r+1项的二项式系数为。
二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混。
二项式系数最大项为中间一项或两项;展开式中系数最大项的求法要用解不等式组来确定r.3.你掌握了三种常见的概率公式吗?(①等可能事件的概率公式;②互斥事件有一个发生的概率公式;③相互独立事件同时发生的概率公式。
)4.求分布列的解答题你能把步骤写全吗?5.如何对总体分布进行估计?(用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图;理解频率分布直方图矩形面积的几何意义。
)6.你还记得一般正态总体如何化为标准正态总体吗?(对任一正态总体来说，取值小于x的概率，其中表示标准正态总体取值小于的概率)高二数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。
记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
(2)建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。
争取做到：找错、析错、改错、防错。
达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
(3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
(4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。
高中数学选修2-3-排列与组合
排列与组合知识集结知识元排列与排列数公式知识讲解1．排列及排列数公式【考点归纳】1．定义（1）排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）（2）排列数：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．2．相关定义：（1）全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．（2）n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．（规定0!＝1）3．排列数公式（1）排列计算公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．（2）全排列公式：＝n•（n﹣1）•（n﹣2）•…•3•2•1＝n!．例题精讲排列与排列数公式例1.（x-2）（x-3）（x-4）…（x-15）（x∈N+，x>15）可表示为（）A．A B．A C．A D．A例2.若=12，则n=（）A．8B．7C．6D．4例3.已知=15，那么=（）A．20B．30C．42D．72组合与组合数公式知识讲解1．组合及组合数公式【考点归纳】1．定义（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．2．组合数公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．3．组合数的性质：性质1性质2．例题精讲组合与组合数公式例1.'排球单循环赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）．'例2.'一个袋子里装有大小相同且标有数字1～5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个．（Ⅰ）从中任意取出1个小球，求取出的小球标有数字3的概率；（Ⅱ）从中任意取出3个小球，求其中至少有1个小球标有奇数数字的概率；（Ⅲ）从中任意取出2个小球，求小球上所标数字之和为6的概率．'例3.'求C3n38-n+C21+n3n的值．'排列组合的简单计数问题知识讲解1．排列、组合及简单计数问题【知识点的知识】1、排列组合问题的一些解题技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反、等价转化．对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2、排列、组合问题几大解题方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；（10）指定元素排列组合问题：①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．例题精讲排列组合的简单计数问题例1.的展开式中，x的系数为___（用数字作答）例2.在的展开式中，x4的系数是____．例3.若，则n的展开式中，含x2项的系数为_______．当堂练习单选题练习1.计算2+3的值是（）A．72B．102C．5070D．5100练习2.=（）A．30B．24C．20D．15练习3.6本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲，乙两本书必须放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种。
陕西省高中数学 第一章 计数原理 解排列组合应用题的21种策略拓展资料素材 北师大版选修2-3
解排列组合应用题的21种策略目录排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A=种，答案：D.2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26A种，不同的排法种数是52563600A A=种，选B.3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A=种，选B.4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C=种，选C.（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种答案：A.6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A种，故共有234336C A=种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种 B、240种 C、120种 D、96种答案：B.7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =L 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =L 共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C，从A中任取一个，又从A中任取一个共有111486C C，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C+=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I=L分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A=L；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B=L，能被4除余2的数集{}2,6,,98C=L，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D=L，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；从,B D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525 C C C C++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B⋃=+-⋂.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B--+⋂43326554252A A A A=--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
人教版数学高二【选修2-3 1.2排列组合问题解题的八大策略
3,5 2,4 排列组合问题解题的六大绝招河南省滑县第六高级中学（456400）王红敢排列组合应用问题，在历年高考数学试题中都是必考内容，它同时是解决概率应用问题的基础。
排列组合问题千变万化，解法灵活，除了掌握常见的解题方法以外，如果能够掌握以下六大绝招，可助你掌握此类问题。
绝招一、类比模拟。
例1、（2006年江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将 这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。
解析：此题我们若利用分类的方法显然很复杂，若将其模拟为从一列有八个位置的座位中分给1班2个、2班3个、3班4个，此时问题迎刃而解了。
即：有2349741260C C C =种不同的方法。
绝招二、转化命题例2、过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有A 对B 对C 对D 36对解析：异面直线的定义为不在任何的同一平面内的两条直线为异面直线，满足这个定义很难，但是我们将一个四面体映射为有三对异面直线的话，此题就很容易了。
即：棱柱中的6个点中任取4点有4615C =种情况，其中4点共面的情况有3个，因此可以组成四面体12个，即存在异面直线36对。
绝招三、合并单元格例5．如右图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。
解析：颜色相同的区域可能是2、4或3、5．下面分情况讨论: (ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数44A (ⅱ)当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得44A 种着色法． (ⅲ)当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格① 从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，共有•34C 33A 种方法．由加法原理知：不同着色方法共有244A +•34C 33A =48+24=72（种）.绝招四：结果分析例8（2006年天津）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种解析：从考虑得结果分为两类①1号盒子放1个2号盒子放3个②1号盒子放2个2号盒子放2个的，因此共有1033142224=+C C C C 种，2,4绝招五：相同元素分配隔板例6． 某校准备组建一个12人的篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，问有多少种不同组建方法？解析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额的11个空档中插入7块隔板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有711C 种不同组建方法． 绝招六：定序问题消序例7用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，若偶数2，4，6次序一定，有多少个？解析：1，2，3，4，5，6，7这七个数字的全排列有77A 个，设 “*⨯*⨯⨯*⨯” 表示其中的一个排列，“*”代表2、4、6，“⨯”代表1、3、5、7，那么偶数2，4，6在图示位置的不同排列有33A 个，由于次序一定只有一个符合题意，故答案为3377A A =47A 个．。
人教A版选修2-3高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 .docx
高中数学学习材料唐玲出品高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =C 14A 34C 13练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
人教版数学高二选修2-3 1.2排列应用问题的几种常见解法
排列应用问题的几种常见解法杨新兰河北省乐亭二中063600由于有些排列应用题比较抽象、题型繁多、解法独特，再加上限定条件，往往容易发生重复和遗漏现象，历来是考生失分较多的一部分内容．解决这一问题的有效方法是对常见题型及求解方法加以归类，反复训练，这样，在考试中便能得心应手，水到渠成．下面就五类排列应用题的常见解法综述如下．一、分类法解含有特殊元素(位置)的排列问题对于含有限制条件的较复杂的排列应用题，可以优先考虑安排特殊元素(位置)，然后再考虑其它元素(位置)的安排，而每一类的排列数可以容易地求出来，然后根据加法原理求出总数．例1 今有卡片9张，分别写上0，1，2，3，4，5，6，7，8九个数字，现从中任取3张，并排组成三位整数，其中，写6的卡片也可以作为9使用，总共能组成多少个不同的三位偶数．解：先按特殊元素6来分类．第一类，6当6使用，然后再按0划分类别．⑴0在个位有A28(个)；⑵0不在个位有A14A17A17(个)；第二类，6当9使用且含有9的三位偶数，还先按0划分类别．⑴0在个位有A17A22(个)；⑵0在中间有A13(个)；⑶不含0有A13A16A22(个)．∴满足条件的三位偶数为：A28+ A14A17A17+ A17A22+ A13+ A13A16A22=305 (个)．二、比例法解元素成比例的排列问题有些排列问题，可以根据每个元素出现的机会占整个问题的比例，直接求得问题的解．例2 从6个运动员中选出4个参加4×100米接力赛，如果甲、乙都不能跑第一棒，那么共有多少种不同的参赛方案？若不受条件限制，其参赛方案有A 46种，但其中限制甲、乙两人不能跑第一棒，即第一棒只能是除甲、乙以外的其余4人．因而，这4人在第一棒中出现的可能性为64，故所求的参赛方案有64A 46种． 三、相间插空法解不相邻组合问题对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素位置之间及两端的空隙中插入即可．例3 书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部排成一排，要求各类书互不相邻，一共有多少种排法？解：要求各类书互不相邻，应先排3本化学书，有A 33种排法，再在其间4个空中插入4本数学书，有A 44种排法，这样，化学书、数学书均不相邻了．最后在已排好的7本书的8个空处选5个空插入物理数，各类书就都不相邻了，此时共有A 58种插法，于是一共有A 33A 44A 58= 7015080种排法．四、捆绑法解部分元素相邻问题对于一些元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来合并为一个元素，再与其余元素一起作排列，同时注意合并元素内部之间进行排列．例4 8种不同的商品排成一行，其中甲、乙、丙、丁四种商品一定要排在一起，有多少种不 同的排法？解：把甲、乙、丙、丁四种商品“捆绑”起来相当于一个元素，再与其它4个元素参加排列，有A 55种，甲、乙、丙、丁四种商品之间有A 44种排法，由乘法原理，所以不同的排法数共有A55A44= 2880种．五、排除法从反面考虑问题对于特殊限制的排列问题，可以从反面入手，从总体数目中排除不合乎条件的方法数，通过排除的间接方法求解，可以减少失误．例5 若{a，b，c}≠⊂{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，求符合条件的二次函数y = ax2＋bx＋c的解析式有多少种？解：从8个数字种任取3个数字，有A38种，但a = 0时的A27不满组题意要求，故应排除掉，所以符合条件的二次函数解析式共有A38－A27= 294种．例10 由0，1，2，3，4，5六个数字组成自然数，问有多少个数字不重复且大于102345的自然数？解：由于102345是由0，1，2，3，4，5组成的数字不重复的六位数中最小的一位．所以由0，1，2，3，4，5组成的数字不重复的比102345大的自然数有A15A55=599个．。
-数学选修2-3-1.2排列(优限法、捆绑法、插空法)的运用
解：方法同上，一共有A55A33 ＝720种． ②甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有 多少种？ 解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共 有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元 素中选取2个元素放在排头和排尾，有A52种方法；将剩下的4个元 素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行 排列有A22种方法.则这样的排法一共有A52 A44 A22 ＝960种方法．
1、⑴7位同学站成一排,共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：7个元素的全排列A77＝5040
⑵ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，
共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列A66 =720
⑶ 7位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多
少种不同的排法？
解一：甲站其余六个位置之一有A61种，其余6人全排列有 A66 种，共有A61 A66 =4320。 解二：从其他6人中先选出一人站首位，有A61，剩下6人 （含甲）全排列，有A66 ，共有A61 A66 =4320。
方法.
①②
③④
⑤
⑥
⑦
甲
d
Hale Waihona Puke eabc
乙
A22
①②
③ A55 ④
⑤
乙
c
a
e
b
⑥
⑦
d
甲
⑵甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
解：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同 学站在排头和排尾有A52种方法；第二步 从余下的5位同 学中选5位进行排列（全排列）有A55种方法 ，所以一共 有A52 A55 ＝2400种排列方法．
人教A选修2-3排列组合问题的解答技巧和记忆方法
一、相临问题——捆绑法7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．二、不相临问题——插空法7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。
这样的八位数共有( )个．三、复杂问题—正难则反—排除法正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。
A．24个 B.30个 C.40个 D.60个4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种．A．140种B．80种C．70种D．35种四、特殊元素——优先考虑法1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法多少种．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有多少种.用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。
A．24个 B.30个 C.40个 D.60个五、多元问题——分类讨论法某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）A．42 B．30 C．20 D．12六、混合问题——先选后排法12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A．24种B．18种C．12种D．6种七、相同元素分配、构造模型——插板法把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。
高二数学选修2-3排列知识点
高二数学选修2-3排列知识点排列是数学中的一个重要概念，在高二数学选修2-3中，我们将深入学习排列的相关概念和应用。
本文将从基本概念、排列的计算方法和排列的应用几个方面进行探讨。
一、基本概念1. 排列的定义：排列是从给定的元素中选取一部分按照一定的顺序排列的方式。
2. 全排列：全排列指的是从给定的元素中选取所有元素按照不同的顺序进行排列的方式。
3. 循环排列：循环排列是一种特殊的排列方式，即在排列的过程中，首尾相连形成一个环。
二、排列的计算方法1. 排列的计算公式：在计算排列的数量时，我们可以使用排列的计算公式，即n个不同元素的全排列数量为n!。
2. 有重复元素的排列：当排列中存在重复的元素时，计算排列的数量需要考虑重复元素的情况，我们可以使用排列计算公式的变形公式，即在n个元素中，有n1个元素相同，n2个元素相同，...，nk个元素相同，则排列的数量为n!/(n1! * n2! * ... * nk!)。
三、排列的应用1. 字母组合：排列的概念在字母组合的问题中经常被应用。
例如，计算一个字母串中可能的组合数量、字母的全排列数量等。
2. 座位安排：排列的概念也被广泛应用于座位安排的问题中。
例如，如何安排n个人坐在一排座位上的不同方式数量。
3. 时间安排：排列还可以应用于时间安排问题。
例如，在参加一场比赛的选手中，如何安排他们的比赛顺序，使得每个选手都能与其他选手进行比赛。
4. 数字密码：排列的概念在密码学中也扮演着重要的角色。
例如，当设置数字密码时，我们可以使用排列的方式来确定密码的顺序与组合。
综上所述，排列作为高二数学选修2-3中的重要知识点，具有一定的理论基础和应用价值。
通过深入学习和实践，我们可以更好地掌握排列的计算方法和应用技巧，进一步提升我们的数学能力和问题解决能力。
数学北师大版高中选修2-3排列组合的常见题型及其解法
排列组合的常见题型及其解法排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。
复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。
一. 特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？ 分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A 41种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A 55种站法，故站法共有：A A 4155⋅＝480（种）解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A 52种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A 44种，故站法共有：A A 5244480⋅=（种）二. 相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。
例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A 66种，然后女生内部再进行排列，有A 33种，所以排法共有：A A 66334320⋅=（种）。
三. 相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有A 44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A 53种，所以排法共有：A A 44531440⋅=（种）四. 定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。