(完整版)第一章解三角形章末测试题
第一章解三角形练习题及答案
必修5第一章《解三角形》练习题一、选择题1．在ABC ∆中；6=a ；30=B ；120=C ；则ABC ∆的面积是（ ）A ．9B ．18C ．39D ．318 2．在ABC ∆中；若bBa A cos sin =；则B 的值为（ ）A ．30 B ．45 C ．60 D ．90 3．在ABC ∆中；若B a b sin 2=；则这个三角形中角A 的值是（ ）A ．30或60 B ．45或60 C ．60或120 D ． 30或 150 4．在ABC ∆中；根据下列条件解三角形；其中有两个解的是（ ）A ．10=b ；45=A ；70=C B ．60=a ；48=c ；60=B C ．7=a ；5=b ；80=A D ．14=a ；16=b ；45=A5．已知三角形的两边长分别为4；5；它们夹角的余弦是方程02322=-+x x 的根；则第三边长是（ ）A ．20B ．21C ．22D ．61 6．在ABC ∆中；如果bc a c b c b a 3))((=-+++；那么角A 等于（ ）A ．30 B ．60 C ．120 D ． 1507．在ABC ∆中；若60=A ；16=b ；此三角形面积3220=S ；则a 的值是（ ）A ．620B ．75C ．51D ．49 8．在△ABC 中；AB=3；BC=13；AC=4；则边AC 上的高为（ ）A ．223 B ．233 C ．23D ．33 9．在ABC ∆中；若12+=+c b ； 45=C ； 30=B ；则（ ）A ．2,1==c b B ．1,2==c b C ．221,22+==c b D ．22,221=+=c b 10．如果满足60=∠ABC ；12=AC ；k BC =的△ABC 恰有一个；那么k 的取值范围是（ ）A ．38=kB ．120≤<kC ．12≥kD ．120≤<k 或38=k二、填空题11．在ABC∆中；若6:2:1::=cba ；则最大角的余弦值等于_________________．12．在ABC∆中；5=a；105=B；15=C；则此三角形的最大边的长为____________________．13．在ABC∆中；已知3=b；33=c；30=B；则=a__________________．14．在ABC∆中；12=+ba；60=A；45=B；则=a_______________；=b_______________．三、解答题15．△ABC中；D在边BC上；且BD＝2；DC＝1；∠B＝60o；∠ADC＝150o；求AC的长及△ABC的面积．16．在△ABC中；已知角A；B；C的对边分别为a；b；c；且bcosB＋ccosC＝acosA；试判断△ABC的形状．17. 如图；海中有一小岛；周围3.8海里内有暗礁。
2021-2022学年浙教版九年级数学下册《第1章解直角三角形》期末综合复习训练(附答案)
2021-2022学年浙教版九年级数学下册《第1章解直角三角形》期末综合复习训练（附答案）1．某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．A．6米B．3米C．2米D．1米2．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（）A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（）A．1B．2C．D．4．如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（）A．h1＝h2 B．h1＜h2 C．h1＞h2 D．以上都有可能5．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan ∠OBD的值是（）A．B．2C．D．6．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B 的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（）A．136.6米B．86.7米C．186.7米D．86.6米7．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A．+1B．﹣1C．D．8．已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为．9．数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为米．10．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P 的距离为海里（结果保留根号）．11．如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是m（≈1.732，结果保留整数）．12．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）13．如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）14．2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O 处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D 在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果保留整数，参考数据：≈1.732，≈1.414）15．小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影A′的俯角为60°．已知：点O到湖面的距离OD＝3m，OD⊥DB，AB⊥DB，A、B、A′三点共线，A'B＝AB，求小山的高度AB．（光线的折射忽略不计；结果保留根号）16．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？17．如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24．结果精确到0.1米）18．如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）19．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．20．一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．21．小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）22．小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达B处时，E处图书馆在他的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，≈1.4，≈1.7，≈2.4）23．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．24．在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行4km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）25．某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？26．如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．（1）求观测点B与C点之间的距离；（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．参考答案1．解：在Rt△BAD中，AB＝5米，∠BAD＝37°，则BD＝AB•sin∠BAD≈5×＝3（米），在Rt△BCD中，∠C＝30°，∴BC＝2BD＝6（米），则调整后的楼梯会加长：6﹣5＝1（米），故选：D．2．解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，∴DH＝BF，BH＝DF，∵斜坡的斜面坡度i＝1：，∴＝1：，设DF＝xm，CF＝xm，∴CD＝＝2x＝20m，∴x＝10，∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，∴DH＝BF＝（10+30）m，∵∠ADH＝30°，∴AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）m，∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，故选：A．3．解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ABC∽△DBM，∴＝＝，∵AB＝2BD，∴＝＝＝，在Rt△CDM中，由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，又∵＝＝，∴BC＝2k，AC＝4k，∴＝＝2，故选：B．4．解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高为AD即h1，△PQR底边QR上的高为PE 即h2，在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，∴h1＝h2，故选：A．5．解：如图：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根据勾股定理得：AD＝＝8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．故选：A．6．解：如图作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．在Rt△ADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，∴DH＝50（米），∵四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH＝50（米），在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，∴EF＝BF＝50（米），在Rt△EFC中，FC＝EF•tan60°，∴CF＝50×≈86.6（米），∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．故选：A．7．解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，∴tan22.5°＝＝＝﹣1，故选：B．8．解：过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A＝45°，AB＝4，∴BD＝AD＝4，在Rt△BDC中，BC＝4，∴CD＝＝5，①△ABC是钝角三角形时，AC＝AD﹣CD＝1，∴S△ABC＝AC•BD＝＝2；②△ABC是锐角三角形时，AC＝AD+CD＝7，∴S△ABC＝AC•BD＝×7×4＝14，故答案为：2或14．9．解：在Rt△APO中，OP＝15米，∠APO＝30°，∴OA＝OP•tan30°＝（米），在Rt△POB中，OP＝15米，∠OPB＝60°，∴OB＝（米），∴AB＝OA+OB＝20（米），故答案为：20．10．解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，P A＝50海里，在Rt△APC中，cos∠APC＝，∴PC＝P A•cos∠APC＝50×＝25（海里），在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，∴PB＝＝＝25（海里），故答案为：25．11．解：过A点作AH⊥BC于H，过B点作BD垂直于过C点的水平线，垂足为D，如图，根据题意得∠ACD＝75°，∠BCD＝30°，AB＝3×10＝30m，∵AB∥CD，∴∠ABH＝∠BCD＝30°，在Rt△ABH中，AH＝AB＝15m，∵tan∠ABH＝，∴BH＝＝＝15，∵∠ACH＝∠ACD﹣∠BCD＝75°﹣30°＝45°，∴CH＝AH＝15m，∴BC＝BH+CH＝（15+15）m，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝≈20（m）．答：这架无人机的飞行高度大约是20m．故答案为20．12．解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，在Rt△ABM中，∵∠BAE＝60°，AB＝16，∴BM＝sin60°•AB＝×16＝8（cm），∠ABM＝90°﹣60°＝30°，在Rt△BCD中，∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，又∵BC＝8，∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8﹣7.52≈6.3（cm），即点C到AE的距离约为6.3cm，故答案为：6.3．13．解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：由题意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB•sin∠ABD＝80×sin60°＝80×＝40（海里），∵∠CAB＝30°+45°＝75°，∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AC＝AD＝×40＝40（海里）．答：货船与港口A之间的距离是40海里．14．解：由题意得，AD＝4000米，∠ADO＝30°，CD＝460米，∠BCO＝45°，在Rt△AOD中，∵AD＝4000米，∠ADO＝30°，∴OA＝AD＝2000（米），OD＝AD＝2000（米），在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴OB＝OC＝OD﹣CD＝（2000﹣460）米，∴AB＝OB﹣OA＝2000﹣460﹣2000≈1004（米），∴火箭的速度为1004÷3≈335（米/秒），答：火箭的速度约为335米/秒．15．解：过点O作OE⊥AB于点E，则BE＝OD＝3m，设AE＝xm，则AB＝（x+3）m，A′E＝（x+6）m，∵∠AOE＝45°，∴OE＝AE＝xm，∵∠A′OE＝60°，∴tan60°＝＝，即＝，解得x＝3+3，∴AB＝3+3+3＝（6+3）m．16．解：（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠P AC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20，设PC＝x，则BC＝x，在Rt△P AC中，∵tan30°＝＝＝，∴x＝10+10，∴P A＝2x＝20+20，答：A，P之间的距离AP为（20+20）海里；（2）因为PC﹣10（3+）＝10+10﹣30﹣10＝10（+1）（﹣）＜0，所以有触礁的危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，当P到BD的距离PE＝10（3+）海里时，有sin∠PBE＝＝＝，∴∠PBD＝60°，∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，90°﹣15°＝75°即海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．17．解：过B作BM⊥水平地面于M，BN⊥AC于N，如图所示：则四边形AMBN是矩形，∴AN＝BM，BN＝MA，∵斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2＝，∴设BM＝x米，则AM＝2x米，∴AB＝＝＝x＝105，∴x＝21，∴AN＝BM＝21（米），BN＝AM＝42（米），在Rt△BCN中，∠CBN＝α＝45°，∴△BCN是等腰直角三角形，∴CN＝BN＝42（米），∴AC＝AN+CN＝21+42＝63≈141.1（米），答：观光电梯AC的高度约为141.1米．18．解：∵CM＝3m，OC＝5m，∴OM＝＝4（m），∵∠CMO＝∠BDO＝90°，∠COM＝∠BOD，∴△COM∽△BOD，∴，即，∴BD＝＝2.25（m），∴tan∠AOD＝tan70°＝，即≈2.75，解得：AB＝6m，∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．19．解：（1）过点D作DH⊥CE于点H，由题意知CD＝2米，∵斜坡CF的坡比为i＝1：3，∴，设DH＝x米，CH＝3x米，∵DH2+CH2＝DC2，∴，∴x＝2，∴DH＝2（米），CH＝6（米），答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；（2）过点D作DG⊥AB于点G，设BC＝a米，∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°，∴四边形DHBG为矩形，∴DH＝BG＝2米，DG＝BH＝（a+6）米，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝a（米），∴AG＝（a﹣2）米，∵∠ADG＝30°，∴，∴，∴a＝6+4，∴AB＝（6+4）（米）．答：大树AB的高度是（6+4）米．20．解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，如图所示：设AC＝x米，由题意得：PQ＝5米，∠APC＝30°，∠BQC＝45°，在Rt△APC中，tan∠APC＝＝tan30°＝，∴PC＝AC＝x（米），在Rt△BCQ中，tan∠BQC＝＝tan45°＝1，∴QC＝BC＝AC+AB＝（x+3）米，∵PC﹣QC＝PQ＝5米，∴x﹣（x+3）＝5，解得：x＝4（+1），∴BC＝4（+1）+3＝4+7≈14（米），答：无人机飞行的高度约为14米．21．解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，∵BC⊥AB，∴四边形BCFE是矩形，∴BE＝CF，EF＝BC＝150 m，设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，∴AD＝2DE＝2（x+150）m，在Rt△DCF中，∠FCD＝22.6°，∴CD＝≈＝xm，∵AD＝CD+BC，∴2（x+150）＝+150，解得x＝250（m），∴DF＝250 m，∴DE＝250+150＝400 m，∴AD＝2DE＝800 m，∴CD＝800﹣150＝650 m，由勾股定理得AE＝＝＝400m，BE＝CF＝＝＝600 m，∴AB＝AE+BE＝400+600≈1293（m），答：公园北门A与南门B之间的距离约为1293 m．22．解：过D作DM⊥AC于M，设MD＝x，在Rt△MAD中，∠MAD＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝MD＝x，∴AD＝x，在Rt△MCD中，∠MDC＝63.4°，∴MC≈2MD＝2x，∵AC＝600+600＝1200，∴x+2x＝1200，解得：x＝400，∴MD＝400m，∴AD＝MD＝400，过B作BN⊥AE于N，∵∠EAB＝45°，∠EBC＝75°，∴∠E＝30°，在Rt△ABN中，∠NAB＝45°，AB＝600，∴BN＝AN＝AB＝300，∴DN＝AD﹣AN＝400﹣300＝100，在Rt△NBE中，∠E＝30°，∴NE＝BN＝×300＝300，∴DE＝NE﹣DN＝300﹣100≈580（m），即D处学校和E处图书馆之间的距离约是580m．23．解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10，在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC＝＝＝6，即AC的长为6；（2）如图，连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，∴CF＝AD＝FD，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝2，∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，∴CE＝CD＝2，在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，∴tan∠FBD＝＝＝．解法二：∵BF为AD边上的中线，∴F是AD中点，∵FE⊥BD，AC⊥BD，∴FE∥AC，∴FE是△ACD的中位线，∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．24．解：（1）依题意知：∠P AB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，过点B作BD⊥AP于D点，∵∠DAB＝45°，，∴AD＝BD＝4，∵∠ABD＝∠GBD＝45°，∠GBP＝15°，∴∠PBD＝60°，∵BD＝4，∴，∴P A＝（4+4）（km）；（2）∵∠PBD＝60°，BD＝4，∴PB＝8，过点P作PE⊥BC于E，∵∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，∴∠PBE＝60°，∵PB＝8，∴BE＝4，，∵BC＝12，∴CE＝8，∴PC＝＝4（km）．25．解：过点C作CD⊥BA的延长线于点D，如图．由题意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，∴∠BCA＝∠CAD﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°．即∠BCA＝∠CBD，∴AC＝AB＝200（海里）．在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD×AC＝＝100（海里）．在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200（海里）．故位于A处的济南舰距C处的距离200海里，位于B处的西安舰距C处的距离200海里．26．解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，∴AE＝CE＝25（海里），∵∠CBE＝30°，∴BE＝25（海里），∴BC＝2CE＝50（海里）．答：观测点B与C点之间的距离为50海里；（2）如图，作CF⊥DB于点F，∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，∴四边形CEBF是矩形，∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），在Rt△DCF中，根据勾股定理，得CD＝＝＝70（海里），∴70÷42＝（小时）．答：救援船到达C点需要的最少时间是小时．。
高中数学第一章解三角形章末测试新人教B版必修5201710032138
第一章解三角形测评(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，∠C＝60°，AB＝3，BC＝2，那么∠A等于()A．135°B．105°C．45°D．75°2．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B等于()A．1 B．2 C．2 D．43．在△ABC中，a＋b＋10c＝2(sin A＋sin B＋10sin C)，∠A＝60°，则a等于() A．3 B．2 3 C．4 D．不确定A4．在△ABC中，已知sin B·sin C＝cos2 ，则△ABC的形状是()2A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形5．在△ABC中，∠A＝60°，AC＝16，面积S＝220 3，则BC的长为() A．20 6 B．75 C．51 D．49π6．在△ABC中，∠A＝，BC＝3，则△ABC的周长为()3ππA．4 3sin(∠B＋3)＋3 B．4sin(∠B＋3)＋3ππC．6sin(∠B＋3)＋3 D．6sin(∠B＋6)＋37．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)·tan B＝3ac，则∠B的值为()π2πππ2πA．B．C．D．或3 3 6 3 33 38．在△ABC中，AB·BC＝3，△ABC的面积S∈[2]，则AB与BC夹角的范围是()，2ππππππππA．[B．C．D．，2]3][，4][，3][，4 6 6 39．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin B sin C，则∠A的取值范围是()A．0,B. ,C．0,D．,6363310．美国为了准确分析战场形势，由分别位于科威特和沙特的两个距离a的军事基地C和2 D，测得伊拉克两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝160°，∠ACB＝45°，如图所示，则伊军这两支精锐部队间的距离是()6 6 3 3A．a B．a C．a D． a4 2 8 2二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．在△ABC中，AC＝3，∠A＝45°，∠C＝75°，则BC的长为________．12．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，∠A＋∠C＝2∠B，则sin C＝________．13．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bc·cos A＋ca·cos B＋ab·cos C的值为________．14．如果满足∠ABC＝60°，AB＝8，AC＝k的△ABC只有两个，那么k的取值范围是________．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB·AC＝BA·BC＝1，那么c＝________．三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)(2013·大纲全国高考，理18)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝ac．(1)求∠B；3－1(2)若sin A sin C＝，求∠C．417．(本小题满分15分)如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°．(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；(2)求塔的高度AB．参考答案21. 答案：Ca2＋b2－c2 a2＋c2－b2 2a22. 解析：由余弦定理，得b cos C＋c cos B＝b·＋c·＝＝a＝2．2ab2ac2a答案：C3. 解析：由正弦定理易得△ABC的外接圆的半径为1，a∴＝2R＝2．sin A∴a＝2sin A＝3．答案：A4. 答案：B1 15. 解析：因为S＝AC·AB·sin A＝×16×AB×sin60°＝4 3AB＝220 3，所以AB＝2 255．再用余弦定理求得BC＝49．答案：D6. 解析：令AC＝b，BC＝a，AB＝c，则a＋b＋c＝3＋b＋c＝3＋2R(sin B＋sin C)＝3＋3 sin2π6 3 1 π[sin B＋sin(－B)]3(sin B＋sin B)(B＋6)3＝3＋cos B＋＝3＋6sin ．π 2 23答案：Da2＋c2－b2 3cos B 3 cos B 7. 解析：由(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，得＝，即cos B＝·，∴sin2ac2sin B 2 sin B3 π2πB＝．又B∈(0，π)，∴B＝或．2 3 3答案：D8. 解析：设〈AB，BC〉＝α，∵AB·BC＝|AB|·|BC|·cosα＝3，3∴|AB|·|BC|＝．cos α1 1 3 3 又S＝·|AB|·|BC|sin(π－α)＝··sin(π－α)＝tan α，而2 2 cos α 23 23≤S≤，23 3 3∴≤tan α≤．2 2 23∴≤tanα≤1．3ππ∴≤α≤．6 4答案：B39. 解析：根据正弦定理，由sin2A≤sin2B＋sin2C－sin B sin C，得a2≤b2＋c2－bc，∴bc≤b2＋c2－a2．b2＋c2－a2 1∴≥．2bc 21∴cos A≥．2又∵A∈(0，π)，而f(x)＝cos x在x∈(0，π)上单调递减，π∴A∈(0，3]．答案：C10. 解析：∵∠ADC＝∠ACD＝60°，∴△ADC是等边三角形．3 BC DC∴AC＝a．在△BDC中，由正弦定理，得＝，2 sin∠BDC sin∠DBC3 1a ·2 2 6∴BC＝＝a．2 423 6 3 6 3(a)2＋(a)2－2·a·a cos 45°＝a2，∴在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝2 4 2 4 86∴AB＝a．4答案：ABC AC 11. 解析：由∠A＝45°，∠C＝75°，知∠B＝60°．由正弦定理，得＝，所sin A sin B2sin A 2以BC＝·AC＝× 3＝2．sin B 32答案： 212. 答案：1b2＋c2－a213. 解析：在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝，2bcb2＋c2－a2∴bc·co s A＝，2a2＋c2－b2 a2＋b2－c2同理ac·cos B＝，ab·cos C＝，2 2a2＋b2＋c2 61∴原式＝＝．2 261答案：2414. 答案：(4 3，8)15. 解析：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，由AB·AC＝BA·BC，得cb·cos A＝ca·cos B．由正弦定理，得sin B cos A＝cos B sin A，即sin(B－A)＝0，所以∠B＝∠A，从而有b＝a．由已知AB·AC＝BA·BC＝1，得ac cos B＝1．由余弦定理，得a2＋c2－b2ac·＝1，即a2＋c2－b2＝2，所以c＝2．2ac答案： 216. 解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac．a2＋c2－b2 1由余弦定理得cos B＝＝－，2ac 2因此∠B＝120°．(2)由(1)知∠A＋∠C＝60°，所以cos(∠A－∠C)＝cos A cos C＋sin A sin C＝cos A cos C－sin A sin C＋2sin1 3－1 3A sin C＝cos(∠A＋∠C)＋2sin A sin C＝＋2×＝，2 4 2故∠A－∠C＝30°或∠A－∠C＝－30°，因此∠C＝15°或∠C＝45°．17. 解：(1)依题意，知在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，1CD＝6 000×＝100(m)，60∠D＝180°－135°－30°＝15°．CD BC由正弦定理，得＝，sin∠DBC sin DCD·sin D100 × sin 15°∴BC＝＝sin∠DBC sin 135°6－2100 ×4 50(\r(6)－\r(2)) ＝＝2 22＝50( 3－1)(m)．AB在Rt△ABE中，tan α＝．BE∵AB为定长，∴当BE的长最小时，α取最大值60°，这时BE⊥CD．当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，EC＝BC·cos∠BCE＝50( 3－1)·325＝25(3－3)(m)．设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t分钟，EC25(3－\r(3)) 3－3则t＝×60＝×60＝(分钟)．6 000 6 000 4(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD．在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCD，∴AB＝BE·tan60°＝BC·sin∠BCD·tan60°1＝50( 3－1)×× 3＝25(3－3)(m)．2即所求塔高为25(3－3) m．6。
(完整版)解三角形练习题及答案
第一章解三角形一、选择题1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为（）．A．90°B．120°C．135°D．150°2．在△ABC中，下列等式正确的是（）．A．a∶b＝∠A∶∠B B．a∶b＝sin A∶sin BC．a∶b＝sin B∶sin A D．a sin A＝b sin B3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )．A．1∶2∶3 B．1∶3∶2C．1∶4∶9 D．1∶2∶34．在△ABC中，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c等于( ）．A．25B．5C．25或5D．10或55．已知△ABC中，∠A＝60°，a＝6，b＝4，那么满足条件的△ABC的形状大小 ( ）．A．有一种情形B．有两种情形C．不可求出D．有三种以上情形6．在△ABC中，若a2＋b2－c2＜0,则△ABC是( ）．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不能确定7．在△ABC中，若b＝3，c＝3，∠B＝30°,则a＝( )．A．3B．23C．3或23D．28．在△ABC中,a,b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．如果a，b，c成等差数列,∠B＝30°，△ABC的面积为23，那么b＝（）．A．231+B．1＋3C．232+D．2＋39．某人朝正东方向走了x km后，向左转150°,然后朝此方向走了3 km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值是( )．A．3B．23C．3或23D．310．有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°,若AB＝120米，则电视塔的高度为（ )．A ．603米B ．60米C ．603米或60米D ．30米 二、填空题11．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝10，b ＝ ．12．在△ABC 中，∠A ＝105°,∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ．13．在△ABC 中，∠A ＝60°,a ＝3，则C B A c b a sin sin sin ++++＝ ． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2＜c 2，且sin C ＝23，则∠C ＝ ． 15．平行四边形ABCD 中,AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°,那么AD ＝ ．16．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值＝ ．三、解答题17． 已知在△ABC 中,∠A ＝45°，a ＝2,c ＝6，解此三角形．18．在△ABC 中,已知b ＝3，c ＝1,∠B ＝60°，求a 和∠A ，∠C ．19． 根据所给条件，判断△ABC 的形状．(1)a cos A ＝b cos B ;（2)A a cos ＝B b cos ＝Cc cos ．20．△ABC 中,己知∠A ＞∠B ＞∠C ，且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．第一章 解三角形参考答案一、选择题1．B解析：设三边分别为5k ,7k ，8k （k ＞0)，中间角为， 由cos ＝k k k k k 85249－64＋25222⨯⨯＝21，得 ＝60°，∴最大角和最小角之和为180°－60°＝120°．2．B 3．B4．C5．C6．C7．C8．B解析：依题可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒︒30cos 2－＋＝23＝30sin 212＝＋222ac c a b ac b c a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧ac ac c a b ac b c a 3－2－)＋(＝6＝2＝＋22 代入后消去a ,c ，得b 2＝4＋23，∴b ＝3＋1,故选B ．9．C10．A二、填空题11．56．12．2．13．23．解析：设A a sin ＝B b sin ＝C c sin ＝k ，则C B A c b a ＋sin ＋sin sin ＋＋＝k ＝A a sin ＝︒60sin 3＝23． 14．32π．15．43．16．－41．三、解答题17．解析:解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小．解法1:由正弦定理得sin C ＝26sin 45°＝26·22＝23． ∵c sin A ＝6×22＝3，a ＝2，c ＝6,3＜2＜6， ∴本题有二解，即∠C ＝60°或∠C ＝120°,∠B ＝180°－60°－45°＝75°或∠B ＝180°－120°－45°＝15°．故b ＝Aa sin sin B ，所以b ＝3＋1或b ＝3－1， ∴b ＝3+1,∠C ＝60°,∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°．解法2：由余弦定理得b 2＋(6)2－26b cos 45°＝4,∴b 2－23b ＋2＝0，解得b ＝3±1． 又（6）2＝b 2＋22－2×2b cos C ，得cos C ＝±21,∠C ＝60°或∠C ＝120°,所以∠B ＝75°或∠B ＝15°．∴b ＝3＋1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°．18．解析:已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解． 解：∵B b sin ＝Cc sin , ∴sin C ＝b B c sin ⋅＝360sin 1︒⋅＝21． ∵b ＞c ，∠B ＝60°,∴∠C ＜∠B ,∠C ＝30°，∴∠A ＝90°．由勾股定理a ＝22＋c b ＝2，即a ＝2，∠A ＝90°,∠C ＝30°．19．解析:本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．(1)解法1：由余弦定理得a cos A ＝b cos B ⇒a ·（bc a c b 2222-+)＝b ·（acc b a 2222+-）⇒a 2c 2－a 4－b 2c 2＋b 4＝0, ∴（a 2－b 2）（c 2－a 2－b 2)＝0,∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2．∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法2:由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B⇒sin 2A ＝sin 2B⇒2∠A ＝2∠B 或2∠A ＝－2∠B ，∠A ,∠B ∈（0，)⇒∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝2π， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．（2）由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入已知等式，得A A R cos sin 2＝BB R cos sin 2＝C C R cos sin 2， ∴A A cos sin ＝B B cos sin ＝CC cos sin ， 即tan A ＝tan B ＝tan C ．∵∠A ，∠B ,∠C ∈（0，π），∴∠A ＝∠B ＝∠C,∴△ABC 为等边三角形．20．解析:利用正弦定理及∠A ＝2∠C 用a ，c 的代数式表示cos C ；再利用余弦定理,用a ,c 的代数式表示cos C ,这样可以建立a ，c 的等量关系;再由a ＋c ＝8，解方程组得a ,c ． 解：由正弦定理A a sin ＝Cc sin 及∠A ＝2∠C ,得 C a 2sin ＝C c sin ，即C C a cos sin 2⋅＝Cc sin ， ∴cos C ＝ca 2． 由余弦定理cos C ＝abc b a 2222-+， ∵b ＝4，a ＋c ＝8，∴a ＋c ＝2b ,∴cos C ＝)()(c a a c c a a ＋－4＋＋222＝)())((c a a c a c a ＋4＋3－5＝a c a 43－5， ∴c a 2＝ac a 43－5， 整理得（2a －3c ）(a －c ）＝0，∵a ≠c ，∴2a ＝3c ． 又∵a ＋c ＝8，∴a ＝524，c ＝516．。
解三角形章末检测卷(含答案)
解三角形章末检测卷 (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.在△ABC 中，a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，则△ABC 的形状是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形2.在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.(152，＋∞) B.(10，＋∞) C.(0,10)D.(0，403]3.在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.53B.54C.55 D.564.已知△ABC 的外接圆的半径是3，a ＝3，则A 等于( ) A.30°或150° B.30°或60° C.60°或120° D.60°或150°答案 A5.在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形 6.在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A.2 5 B. 5 C.25或 5D.以上都不对7.已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A.(2，＋∞) B.(－∞，0) C .(－12，0)D.(12，＋∞) 8.△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( )A.92B.92C.92D.9 2 9.在△ABC 中，sin A ＝sin B ＋sin C cos B ＋cos C ，则△ABC 为( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形10.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C.△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D.△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形11.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A.a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B.b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C.a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D.a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解12.在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21B.106C.69D.154二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知△ABC 中，3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C ＝________.14.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.15.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边.若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.16.太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b 、c 的值.18.(12分)如图，已知A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB 与BC 各等于1 km ，从三点分别遥望塔M ，在A 处看见塔在北偏东45°方向，在B 处看见塔在正东方向，在C 处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路ABC 的最短距离.19.(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且cos A ＝45.(1)求sin 2B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若b ＝2，△ABC 的面积S 为3，求a .20.(12分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值.21.(12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2). (1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积.22.(12分)如图所示，一船在海上由西向东航行，测得某岛M 在A 处的北偏东α角，前进4 km 后，测得该岛在B 处的北偏东β角，已知该岛周围3.5 km 范围内有暗礁，现该船继续东行.(1)若α＝2β＝60°，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B 处向东航行多少距离会有触礁危险？ (2)当α与β满足什么条件时，该船没有触礁危险？答案1.答案 B解析 原式可化为a sin A ＝b sin B ，由正弦定理知a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形. 2.答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C .∴0<c ≤403. 3.答案 B解析 由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52. 又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54. 4.答案 A解析 根据正弦定理得a sin A ＝2R ，sin A ＝a 2R ＝12， ∵0°<A <180°，∴A ＝30°或150°. 5. 答案 C解析 由cos A cos B >sin A sin B ， 得cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角. 6. 答案 C解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴5＝15＋c 2－215×c ×32. 化简得c 2－35c ＋10＝0，即(c －25)(c －5)＝0， ∴c ＝25或c ＝ 5. 7. 答案 D解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk (m >0)，∵⎩⎨⎧a ＋b >c ，a ＋c >b ，即⎩⎨⎧m (2k ＋1)>2mk ，3mk >m (k ＋1)， ∴k >12.8. 答案 B解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3. 设cos θ＝13，则sin θ＝1－cos 2θ＝223. ∴2R ＝3sin θ＝3223＝924.9. 答案 C解析 由已知得cos B ＋cos C ＝sin B ＋sin Csin A，由正弦、余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＋a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋ca ，即a 2(b ＋c )－(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)＝bc (b ＋c ) ⇒a 2＝b 2＋c 2， 故△ABC 是直角三角形. 10. 答案 D解析 △A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0， 则△A 1B 1C 1是锐角三角形， 若△A 2B 2C 2是锐角三角形，由⎩⎨⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin (π2－A 1)，sin B 2＝cos B 1＝sin (π2－B 1)，sin C 2＝cos C 1＝sin (π2－C 1)得⎩⎨⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，那么A 2＋B 2＋C 2＝π2，矛盾，若△A 2B 2C 2是直角三角形，不妨设A 2＝π2，则cos A 1＝sin A 2＝1，A 1＝0，矛盾. 所以△A 2B 2C 2是钝角三角形. 11. 答案 D 解析 A 中，∵a sin A ＝b sin B， ∴sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解； B 中，∵sin C ＝20sin 60°18＝539，且c >b ， ∴C >B ，故有两解；C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2， ∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解，故A 、B 、C 都不正确，用排除法应选D. 12. 答案 B解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM cos ∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB ，①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC ， 即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos ∠AMB ，②①＋②得72＋62＝42＋42＋12a 2，所以a ＝106.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.答案13解析 由3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0， 得c 2＝a 2＋b 2－23ab .根据余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋23ab2ab ＝13，所以cos C ＝13.14.答案2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3. 15.答案 1解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B . ∴B ＝π3.由正弦定理知，sin A ＝a sin B b ＝12.又a <b .∴A ＝π6，C ＝π2.∴sin C ＝1.16.答案36解析 如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°， AB ＝1 (km). 由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223(km). 设C 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km).三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.解 (1)∵cos B ＝35>0,0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a b sin B ＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝45c ＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.18.解 由题意∠CMB ＝30°，∠AMB ＝45°， ∵AB ＝BC ＝1，∴S △MAB ＝S △MBC ， 即12MA ·MB ·sin 45°＝12MC ·MB ·sin 30°， ∴MC ＝2MA ，在△MAC 中，由余弦定理得 AC 2＝MA 2＋MC 2－2MA ·MC ·cos 75°， ∴MA 2＝43－22cos 75°，设M 到AB 的距离为h ，则由△MAC 的面积得 12MA ·MC ·sin 75°＝12AC ·h ， ∴h ＝2MA 22·sin 75°＝22·43－22cos 75°·sin 75°＝7＋5313(km). 答 塔到直路ABC 的最短距离为7＋5313km. 19.解 (1)sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos 2A＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1＝5950. (2)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35.由S △ABC ＝12bc sin A ，得3＝12×2c ×35，解得c ＝5.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得 a 2＝4＋25－2×2×5×45＝13，∴a ＝13.20.解 (1)在△ABC 中，由正弦定理得 a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A ， ∴cos A ＝63. (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63，则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾.∴c ＝3舍去.故c 的值为5. 21.(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ， 由正弦定理得a 2＝b 2，∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形.(2)解 由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0.∴ab ＝4(ab ＝－1舍去)， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.22.解 (1)如图，作MC ⊥AB ，垂足为C ，由已知α＝60°，β＝30°， ∴∠ABM ＝120°，∠AMB ＝30°， ∴BM ＝AB ＝4，∠MBC ＝60°， ∴MC ＝BM ·sin 60°＝23<3.5， ∴该船有触礁的危险.设该船自B 向东航行至点D 有触礁危险，连接MD ， 则MD ＝3.5，BM ＝4，BC ＝2，MC ＝23， 在△MDC 中，CD ＝ 3.52－(23)2＝0.5， ∴BD ＝1.5 (km).∴该船自B 向东航行1.5 km 会有触礁危险. (2)设CM ＝x ，在△MAB 中，AB sin ∠AMB ＝BMsin ∠MAB，即4sin (α－β)＝BM cos α，BM ＝4cos αsin (α－β)， 而x ＝BM ·sin ∠MBC ＝BM ·cos β＝4cos αcos βsin (α－β)，∴当x >3.5，4cos αcos βsin (α－β)>72，即cos αcos βsin (α－β)>78时，该船没有触礁危险.。
(完整版)解三角形单元测试题及答案
第一章 解三角形正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C cB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C ++===A +B +A B ．2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=；;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A =;sin sin c b C B =;sin sin c aC A = 5）化角为边： RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===二.三角形面积1.B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+= 2.变形：bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=ab c b a C 2cos 222-+=注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a利用余弦定理判断三角形形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若，，所以为锐角②若为直角A a b c ⇔=+222 ③若， 所以为钝角，则是钝角三角形三角形中常见的结论三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 三角形三边关系：两边之和大于第三边：，，； 两边之差小于第三边：，，；在同一个三角形中大边对大角：B A b a B A sin sin >⇔>⇔> 4) 三角形内的诱导公式：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-)2sin()2cos()22cos()22sin()22tan(2tan C CC C C B A =--=-=+πππ7) 三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则最小角为( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π32．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝ (b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π33.在△ABC 中，已知|AB |＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →等于( ) A ．－2 B ．2 C ．±4 D ．±24．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 25．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为( )A.85B.58C.53D.356．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x < 5 B.5<x <13 C ．1<x <2 5 D ．23<x <2 5 7．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cosB 等于( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.638．下列判断中正确的是( )A ．△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解B ．△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解D ．△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解 9．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积是( )A.34B.32C.3或32D.32或3410．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为( )A. 3 B ．1 C.33 D.3211．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 12．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( ) A ．60° B ．45°或135°C ．120° D ．30° 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B ＝________.14．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为________． 15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/小时．16．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C(1)求cos A的值；(2)若a＝1，cos B＋cos C＝233，求边c的值．18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2b sin A.(1)求B的大小．(2)若a＝33，c＝5，求b.19.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋12c＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围.20．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a ，b ，c ，已知.cos cos cos 2C b B c A a +=(1）求A cos 的值； (2）若23cos cos ,1=+=C B a ，求边c 的值.21．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b . (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．22．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，33AD =，5sin 13BAD ∠=，3cos 5ADC ∠=． (1）求sin ABD ∠的值； (2）求BD 的长．解三角形 答案1．B 2．B 3.D4．D 5．D 6．D 7．D 8．B 9．D 10．C 11．C 12．B13．45° 14．10 3 15．8 6 16.3317．【答案】(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝13(2)由cos A ＝13得sin A ＝223,则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1， 其中sin φ＝33，cos φ＝63 (0<φ<π2)则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A＝32．18．解 (1)∵a ＝2b sin A ，∴sin A ＝2sin B ·sin A ，∴sin B ＝12.∵0<B <π2，∴B ＝30°.(2)∵a ＝33，c ＝5，B ＝30°.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(33)2＋52－2×33×5×cos 30°＝7. ∴b ＝7.19．【答案】(1)由acosC ＋12c ＝b 和正弦定理得， sinAcosC ＋12sinC ＝sinB ，又sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ，∴12sinC ＝cosAsinC ， ∵sinC ≠0，∴cosA ＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝3π.(2)由正弦定理得，b ＝asinBsinA ＝，c ＝asinC sinA ， 则l ＝a ＋b ＋c ＝1＋sinC)＝1sinB ＋sin(A ＋B)］＝1＋sinB ＋12cosB)＝1＋2sin(B ＋6π). ∵A ＝3π，∴B ∈(0，23π)，∴B ＋6π∈(6π，56π)，∴sin(B ＋6π)∈(12，1］，∴△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3］. 20【答案】（1）由C b B c A a cos cos cos 2+=及正弦定理得,cos sin cos sin cos sin 2C B B C A A +=即().sin cos sin 2C B A A +=又,A C B -=+π所以有(),sin cos sin 2A A A -=π即.sin cos sin 2A A A =而0sin ≠A ，所以.21cos =A (2）由21cos =A 及0＜A ＜π，得A ＝.3π因此.32ππ=-=+A C B由,23cos cos =+C B 得,2332cos cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+B B π 即23sin 23cos 21cos =+-B B B ，即得.236sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB由,3π=A 知.65,66⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+πππB 于是,36ππ=+B 或.326ππ=+B 所以6π=B ，或.2π=B若,6π=B 则.2π=C 在直角△ABC 中，c13sin=π，解得;332=c 若,2π=B 在直角△ABC 中，,13tan c=π解得.33=c21．解 (1)由余弦定理及已知条件得 a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，由此得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理及已知条件得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.22．【答案】（1）因为3cos 5ADC ∠=，所以4sin 5ADC ∠==．因为5sin 13BAD ∠=，所以12cos 13BAD ∠==．因为ABD ADC BAD ∠=∠-∠，所以()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠∠-∠∠412353351351365=⨯-⨯=． (2）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin BD ADBAD ABD=∠∠，所以533sin132533sin65AD BADBDABD⨯⨯∠===∠．。
(完整版)第一章+解三角形测试题(含详解)
必修五第一章解三角形测试卷姓名： __________________一、选择题1.在4 ABC 中，AB = 5, BC = 6, AC = 8,则厶 ABC 的形状是（）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .非钝角三角形 答案 C 2.在△ ABC 中，已知a = 1, b = J 3, A = 30° B 为锐角，那么 C 的大小关系为（）A . A>B>CB . B>A>C C . C>B>AD . C>A>B 解析 由正弦定理s^nA =爲，二sinB ==于.v B 为锐角，二B = 60°则C = 90°故C>B>A.答案 C 3.在△ ABC 中，已知 a = 8, B = 60° , C = 75° ,则 b 等于( A . 4 2 B . 4 3 C . 4 , 6 D.^解析A =45°由正弦定理，得b =asnB 答案C航等于（4.在△ ABC 中，A = 60° a= 3,则如+臨+A ,B , a + b + c8,32 39A. 3B.〒C.26^3D . 2 3解析利用正弦定理及比例性质，得a+ b+ c sinA+ sinB+ sinC=s詁盘£ =2答案5.若三角形三边长之比是1: 3:2，贝卩其所对角之比是A. 1:2:3B. 1: 3 :2C. 1: 2 : 3 (D. 2 : 3 :2• B = 30° • C = 60°因此三角之比为1:2:3.答案 A6.在△ ABC 中，若a = 6, b = 9, A = 45°则此三角形有（）7.已知△ ABC 的外接圆半径为R ,且2R(sin 2A -sin 2C) = ( 2a -b ）sinB （其中a , b 分别为A , B 的对边），那么角C 的大小为（ ）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°解析根据正弦定理，原式可化为a 2 c 2 _b— —2R 4R 2-4R 2 = ( 2a — b)2R ,a2— C = ( 2a —b)b ,「.a 2+ b 2—c 2= 2 ab ,「.cosC = a° = ¥,「C =45°答案 B 8 在厶ABC中，已知 sin 2A + sin 2B -sinAsinB = sin 2C ,且满足 ab =4, 则该三角形的面积为()A . 1B . 2C. 2D. 3• S A ABC = qabsi nC = 3. 答案 Da 1 2 + 3a 2 - 2a 22 a ^3 a••• A = 90°设最小角为B ,则cosB =2a 2+羽a 2 - a 2 羽2 2a - .3a =~2， A .无解 B .一解C .两解D .解的个数不确定 解析由孟,得si 心沁二W 2 =专＞1.•••此三角形无解. 答案A解析a = bsinA= sinBcsinC2R, 又si n2A+ si n2B-sin As inB=sin2C,可得a2+ b2- ab= c2cosC=a2+ b2-c2 12ab 2'•• C= 60° sinC=9.在△ ABC 中，A = 120° AB = 5, BC = 7,则雲的值为（）12.已知△ ABC 中，A , B , C 的对边分别为a , b , c 若a = c = 6 +V2,且 A = 75° 贝S b 为（ ）8 5 £B.5C.i D .|解析由余弦定理，得 AB 2 + AC 2—BC 2 2AB AC ，解得AC = 3.由正 弦定理誥C =AC =5-答案10.在三角形ABC 中, AB = 5， A C = 3, BC = 7,则/ BAC 的大小为5 nB.5T3n C. 4nD ・3解析由余弦定理，得cos Z BAC = A B 2 + A* BC 2==2AB AC 2X 5X 32,A Z BAC =答案11.有一长为1 km 的斜坡, 它的倾斜角为 20°现要将倾斜角改为10°则坡底要加长（A . 0.5 kmB . 1 kmC . 1.5 km解析 如图，AC = AB sin20 = sin20 ；ACBC = AB cos20 = cos20 ° DC =和^10 2cosM0° ••• DB = DC — BC = 2cos 210°-cos20 = 1.答案 BA . 2B . 4+ 2 3C . 4 — 2 3 D. . 6- 2解析 在厶ABC 中，由余弦定理，得 a 2 = b 2+ c 2— 2bccosA ,T a =c ,「・0= b 2 — 2bccosA = b 2 — 2b(^6 + V2)cos75° 而 cos75= cos(30 + 45°) = cos30°c os45°— sin30 sin45 =乎(乎—*) = *V6—V2)，二 b 2 1—2b (的 + ^2)COS 75 = b 2 — 2b^6 + 眾)^V6^2)= b 2— 2b = 0,解得 b = 2,或b = 0(舍去).故选A. 答案 A二、填空题13.在△ ABC 中，A = 60° C = 45° b = 4,则此三角形的最小边是15. _____ 在厶ABC 中，A + C = 2B , BC = 5 ,且厶ABC 的面积为10 3 , 贝y B = , AB= ________ .解析 由 A + C = 2B 及 A +B + C = 180° ° 得 B = 60°.1 1又 S = ^AB BC sinB 「. 10 3= ^AB X 5X sin60 ；• AB = 8.答案 60° 8 16. 在△ ABC 中，已知(b + c) : (c + a) : (a + b) = 8:9:10，则 sinA:sinB:sinCb +c = 8k , = 解析 设 c + a = 9k , 可得 a:b:c =11:9:7.a +b = 10k ,••• sinA:si nB:si nC = 11:9:7. 答案 11:9:7 三、解答题17. (10分)在厶ABC 中，若a= SOACOSB ，判断△ ABC 的形状.2解 依据正弦定理，得霑=a C°SB ，所以acosA = bcosB.再由正弦•/ cosA M 0 ,••• tanA=¥.T 0°A<180° °••• A = 30°. 答案30定理，得sinAcosA= sinBcosB,即sin2A= sin2B,因为2A,2B€ (0,2n ), n故2A= 2B, 或2A+ 2B= n从而A= B, 或A+ B =刁即厶ABC 为等腰三角形，或直角三角形.18. (12分)锐角三角形ABC中，边a, b是方程x2—2.3x + 2= 0的两根，角A, B 满足2sin(A+ B) —3= 0.求:(1)角C的度数；(2)边c的长度及厶ABC的面积.解(1)由2sin(A+ B)—3= 0, 得sin(A+ B) = J•••△ ABC 为锐角三角形，• A+ B= 120°C= 60°(2) •/ a, b是方程x2— 2 §x+ 2= 0的两个根，• a+ b= 2 3, ab= 2.• c2= a2+ b2—2abcosC=(a+ b)2—3ab= 12—6= 6.二c= 6.1 1 c 心心& ABC = qabsi nC = 2xq = ~^.19. （12分）如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°距离为12 6 nmile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°距离为8 3 nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120° 求：（1）A处与D处的距离；⑵灯塔C与D处的距离.分析（1）要求AD的长，在△ ABD中，AB= 12推，B=45° 可由正弦定理求解；（2）要求CD的长，在△ ACD中，可由余弦定理求解.解（1）在厶ABD 中，/ ADB = 60° B = 45° AB= 12 伍，由正ABsinB 12 6X "2"弦疋理，得AD=sA Z ADT^^=24（nmile）.2（2）在厶ADC中，由余弦定理，得CD2= AD2+ AC2—2AD AC cos30°解得CD = 8 3（nmile）.••• A处与D处的距离为24 nmile，灯塔C与D处的距离为8 3 nmile.20. （12分）在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足cosA=令5, AB A C= 3.(1) 求厶ABC的面积；(2) 若b + c= 6,求a的值. 解(1)：cosA=255,• •• COE 2cos2A- 1= 5, sinA= 5.又由AB A C= 3,得bccosA= 3，—bc= 5.1 因此S A ABC = 2bcsinA= 2.⑵由(1)知，bc= 5,又b+ c= 6,b= 5, c= 1, 或b= 1, c= 5.由余弦定理，得a2= b2+ c2- 2bccosA=20.a= 2 5.21. (12分)在厶ABC中，已知内角A=n 边BC= 2书，设内角B= x,周长为y.(1) 求函数y = f(x)的解析式和定义域；(2) 求y的最大值.n解(1)A ABC 的内角和A+B + C= n,由A= 3, B>0, C>0,得2兀OvBv^5应用正弦定理，得BC 2^3AC= sinB= sinx= 4sinx.si nA . nsin3BC 2nAB= sinA s i nC=4s i n5 —x・-y =AB + BC + CA ,2 n (- 2 n「• y =4sinx +4sin — — x + 2 3 0<xV"3 . 书 1(2)y = 4(sinx + -^cosx + qsinx) + 2 3 =4 3sin(x +n )+ 2 3.n n 5 n V6<x + 6<6，二当x +n= n,即x =—时，y 取得最大值时—.22. (12分)△ ABC 中，A , B , C 所对的边分别为a si nA + sinB,sin(B — A) = cosC.cosA + cosB' ')(1)求 A , C ;⑵若 S A ABC = 3+ 3,求 a , c.sinC sinA + si nB cosC cosA + cosB '所以 sinCcosA + sinCcosB = cosCsinA + cosCsinB ,即 sinCcosA — cosCsinA = cosCsinB — sinCcosB ，得 sin(B — C).所以 C — A = B — C ,或 C — A = n~ (B — C)(不成立),即 2C = A + B , 得 C = n,所以 B + A = 2n 1又因为 sin(B — A) = cosC =q , 则 B — A = 6’ 或 B — A ="6(舍去).(1)因为 tanC =si nA + sinBcosA + cosB'b ,c , tanC sin(C — A)=n 5 n n n 得A=4, B= 12. 所以A= 4, C = 3.1 >/6+p2 a cQSA AB C=2acsi nB=—3+ 3,又茹=snc，得a= 2 2, c= 2 3.1解析由A+B+ C= 180°°得B= 75° ° —c为最小边，由正弦定理，知c=bsnC-需尸4^3—1).答案4宀—1)14 .在△ ABC 中，若b= 2a , B = A+ 60° ° 贝卩A=_____________________________________________ .解析由B = A+ 60°°得1 \[3sinB= sin(A + 60°) = 2sinA+ "^cosA.又由b= 2a ,知sinB= 2sinA.2sinA= * 1sinA +-2^0^ 即^sinAu-^cosA.c=.2 2。
第一章_解三角形章末测试题1
《解三角形》测试题一、选择题1．在△ABC中，已知a＝3，b＝1，A＝130°，则此三角形解的情况为( )A．无解B．只有一解C．有两解D．解的个数不确定2．在△ABC中，若B＝120°，则a2＋ac＋c2－b2的值( )A．大于0 B．小于0C．等于0 D．不确定3．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角的度数是( )A．60° B．90°C．120° D．135°4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且c＝60°，则ab的值为( )A.43B．8－4 3C．1 D.2 35．设a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程(a2＋bc)x2＋2b2＋c2x＋1＝0有两个相等的实数根，则A 的度数是( )A．120° B．90°C．60° D．30°6．若△ABC的三边分别为a，b，c，且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形7．已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若此三角形有两解，则x的取值范围是( )A．x>2 B．x<2C．2<x<2 2 D．2<x<2 38．某人站在山顶看见一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车和第二辆车之间的距离d1与第二辆车和第三辆车之间的距离d2之间的关系为( )A．d1>d2B．d1＝d2C．d1<d2D．不能确定大小9．已知锐角三角形的三边长分别为3,4，a，则a的取值范围为( )A．1<a<5 B．1<a<7C.7<a<5D.7<a<710．(2013·新课标全国Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )A．10 B．9C．8 D．5二、填空题11.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为________．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝________．13．已知在△ABC中，7sin A＝8sin B＝13sin C，则C的度数为________．14．在△ABC中，已知D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝2，∠ADB＝135°，若AC＝2AB，则BD＝________.15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，则A的大小为________．三、解答题16． (1)在△ABC中，已知C＝45°，A＝60°，b＝2，求此三角形最小边的长及a与B的值；(2)在△ABC中，已知A＝30°，B＝120°，b＝5，求C及a与c的值．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .19．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a ＝2c sin A . (1)求角C 的值；(2)若c ＝7，且S △ABC ＝332，求a ＋b 的值．20．如图，有两条相交成60°角的直线xx ′，yy ′，交点是O ，甲、乙分别在Ox ，Oy 上，起初甲离O 点3 km ，乙离O 点1 km ，后来两人同时用每小时4 km 的速度，甲沿xx ′方向，乙沿y ′y 方向步行，问： （1）起初两人的距离是多少？（2）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离； （3）什么时候两人的距离最短？。
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第一章 解三角形一、选择题1．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( )．A ．10 kmB ．103kmC ．105kmD ．107km2．在△ABC 中，若2cosAa ＝2cosB b ＝2cosC c ，则△ABC 是( )．A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3．三角形三边长为a ，b ，c ，且满足关系式(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，则c 边的对角等于( )．A ．15°B ．45°C ．60°D ．120°4．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( )．A ．3∶2∶1B ．2∶3∶1C ．1∶2∶3D ．1∶3∶25．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )．A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形6．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，∠B ＝45°，则∠A 为( )． A ．30°或150°B ．60°C ．60°或120°D ．30°7．在△ABC 中，关于x 的方程(1＋x 2)sin A ＋2x sin B ＋(1－x 2)sin C ＝0有两个不等的实根，则A 为( )．A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不存在8．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( )．A ．223B ．233C ．23D ．33 9．在△ABC 中，c b a c b a －＋－＋333＝c 2，sin A ·sin B ＝43，则△ABC 一定是( )．A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形10．根据下列条件解三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( )．A ．①只有一解，②也只有一解．B ．①有两解，②也有两解．C ．①有两解，②只有一解．D ．①只有一解，②有两解．二、填空题11．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ．12．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 22A，则此三角形是__________三角形． 13．已知a ，b ，c 是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4， b ＝5，S ＝53，求c 的长度 ．14．△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值 ．15．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶5∶6．若△ABC 的面积为4393，则△ABC 的周长为________________． 16．在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为 ．三、解答题17．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ，b 分别为∠A ，∠B 的对边，且a ＝4＝33b ，解此三角形．18．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B ，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD 为50米．求此山对于地平面的倾斜角 ．(第18题)19．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ， (Ⅰ)求∠B 的大小；(Ⅱ)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：222c b a -＝C B A sin sin )(-．参考答案一、选择题 1．D解析：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC＝102＋202－2×10×20cos 120° ＝700．AC ＝107． 2．B解析：由2cos A a＝2cos B b＝2cos C c及正弦定理，得2cos sin A A ＝2cos sin B B ＝2cos sin C C ，由2倍角的正弦公式得2sin A ＝2sin B ＝2sin C，∠A ＝∠B ＝∠C ．3．C解析：由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 得 a 2＋b 2－c 2＝ab ．∴ cos C ＝ab c b a 2222-+＝21．故C ＝60°． 4．D解析：由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2． 5．D解析：△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形． 若△A 2B 2C 2不是钝角三角形，由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧)－(＝＝)－(＝＝)－(＝＝1121121122πsin cos sin 2πsin cos sin 2πsin cos sin C C C B B B A A A ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧1212122π2π2πC C B B A A －＝－＝－＝，那么，A 2＋B 2＋C 2＝23π－(A 1＋B 1＋C 1)＝2π，与A 2＋B 2＋C 2＝π矛盾． 所以△A 2B 2C 2是钝角三角形． 6．C解析：由A a sin ＝Bb sin ，得sin A ＝b Ba sin ＝222232⨯＝23，而b ＜a ，∴ 有两解，即∠A ＝60°或∠A ＝120°． 7．A解析：由方程可得(sin A －sin C )x 2＋2x sin B ＋sin A ＋sin C ＝0． ∵ 方程有两个不等的实根， ∴ 4sin 2 B －4(sin 2 A －sin 2 C )＞0． 由正弦定理A a sin ＝B b sin ＝Ccsin ，代入不等式中得 b 2－a 2＋c 2＞0， 再由余弦定理，有2ac cos A ＝b 2＋c 2－a 2＞0． ∴ 0＜∠A ＜90°． 8．B解析：由余弦定理得cos A ＝21，从而sin A ＝23，则AC 边上的高BD ＝233．9．A解析：由cb ac b a －＋－＋333＝c 2⇒a 3＋b 3－c 3＝(a ＋b －c )c 2⇒a 3＋b 3－c 2(a ＋b )＝0⇒(a ＋b )(a 2＋b 2－ab －c 2)＝0．∵ a ＋b ＞0，∴ a 2＋b 2－c 2－ab ＝0． (1) 由余弦定理(1)式可化为a 2＋b 2－(a 2＋b 2－2ab cos C )－ab ＝0，得cos C ＝21，∠C ＝60°． 由正弦定理A asin ＝B b sin ＝︒60sin c ，得sin A ＝c a ︒60sin ，sin B ＝c b ︒60sin ，∴ sin A ·sin B ＝2260sin cab )(︒＝43， ∴ 2cab＝1，ab ＝c 2．将ab ＝c 2代入(1)式得，a 2＋b 2－2ab ＝0，即(a －b )2＝0，a ＝b ．△ABC 是等边三角形．10．D解析：由正弦定理得sin A ＝bBa sin ，①中sin A ＝1，②中sin A ＝935．分析后可知①有一解，∠A ＝90°；②有两解，∠A 可为锐角或钝角．二、填空题 11．60°或120°． 解析：由正弦定理A a sin ＝B b sin 计算可得sin A ＝23，∠A ＝60°或120°． 12．等腰．解析：由已知得2sin B sin C ＝1＋cos A ＝1－cos (B ＋C )， 即2sin B sin C ＝1－(cos B cos C －sin B sin C )， ∴ cos (B －C )＝1，得∠B ＝∠C ， ∴ 此三角形是等腰三角形． 13．21或61． 解：∵ S ＝21ab sin C ，∴ sin C ＝23，于是∠C ＝60°或∠C ＝120°．又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，当∠C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－ab ，c ＝21； 当∠C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2＋ab ，c ＝61． ∴ c 的长度为21或61． 14．10＋53．解析：由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，然后运用函数思想加以处理． ∵ 2x 2－3x －2＝0， ∴ x 1＝2，x 2＝－21． 又cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根， ∴ cos C ＝－21． 由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab ·(－21)＝(a ＋b )2－ab ， 则c 2＝100－a (10－a )＝(a －5)2＋75，当a ＝5时，c 最小，且c ＝75＝53， 此时a ＋b ＋c ＝5＋5＋53＝10＋53， ∴ △ABC 周长的最小值为10＋53． 15．13．解析：由正弦定理及sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶5∶6，可得a ∶b ∶c ＝2∶5∶6，于是可设a ＝2k ，b ＝5k ，c ＝6k (k ＞0)，由余弦定理可得cos B ＝ab c b a 2－＋222＝))((k k k k k 62225－36＋4222＝85，∴ sin B ＝B 2cos －1＝839． 由面积公式S △ABC ＝21ac sin B ，得 21·(2k )·(6k )·839＝4393，∴ k ＝1，△ABC 的周长为2k ＋5k ＋6k ＝13k ＝13． 本题也可由三角形面积(海伦公式)得)6213)(5213)(2213(213k kk k k k k －－－＝4393， 即4393k 2＝4393，∴ k ＝1． ∴ a ＋b ＋c ＝13k ＝13． 16．6∶5∶4．解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用． 由正弦定理得c a ＝C A sin sin ＝CC sin 2sin ＝2cos C ，即cos C ＝c a2， 由余弦定理cos C ＝ab c b a 2－＋222＝abb c a c a 2＋－＋2))((．∵ a ＋c ＝2b ，∴ cos C ＝abc a b c a b 22＋＋－2)(＝aca c a 22＋＋－2)(，∴ca 2＝aca c a 22＋＋－2)(．整理得2a 2－5ac ＋3c 2＝0．解得a ＝c 或a ＝23c ． ∵∠A ＝2∠C ，∴ a ＝c 不成立，a ＝23c ∴ b ＝2c a +＝223cc +＝c 45，∴ a ∶b ∶c ＝23c ∶c 45∶c ＝6∶5∶4． 故此三角形三边之比为6∶5∶4． 三、解答题17．b ＝43，c ＝8，∠C ＝90°，∠B ＝60°或b ＝43，c ＝4，∠C ＝30°，∠B ＝120°． 解：由正弦定理知A asin ＝Bb sin ⇒︒30sin 4＝B sin 34⇒sin B ＝23，b ＝43．∠B ＝60°或∠B ＝120°⇒∠C ＝90°或∠C ＝30°⇒c ＝8或c ＝4． 18．分析：设山对于地平面的倾斜角∠EAD ＝θ，这样可在△ABC 中利用正弦定理求出BC ；再在△BCD 中，利用正弦定理得到关于θ 的三角函数等式，进而解出θ 角．解：在△ABC 中，∠BAC ＝15°，AB ＝100米， ∠ACB ＝45°－15°＝30°． 根据正弦定理有︒30sin 100＝︒15sin BC， ∴ BC ＝︒︒30sin 15sin 100．又在△BCD 中，∵ CD ＝50，BC ＝︒︒30sin 15sin 100，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ ，根据正弦定理有︒45sin 50＝)(θ＋90sin 30sin 15sin 100︒︒︒．解得cos θ ＝3－1，∴ θ ≈42.94°． ∴ 山对于地平面的倾斜角约为42.94°．19．解：(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sin B cos C ＝2sin A cos B －cos B sin C ， ∴ 2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin (B ＋C )． 又在三角形ABC 中，sin (B ＋C )＝sin A ≠0， ∴ 2sin A cos B ＝sin A ，即cos B ＝21，B ＝3π． (Ⅱ)∵ b 2＝7＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴ 7＝a 2＋c 2－ac ，(第18题)又 (a ＋c )2＝16＝a 2＋c 2＋2ac ，∴ ac ＝3，∴ S △ABC ＝21ac sin B ， 即S △ABC ＝21·3·23＝433．20．分析：由于所证明的是三角形的边角关系，很自然联想到应用正余弦定理． 解：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得 a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B ， ∴ 2(a 2－b 2)＝－2bc cos A ＋2ac cos B ， 222－c b a ＝c Ba Ab cos ＋cos －．由正弦定理得 a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴222－cb a ＝c Ba Ab cos ＋cos － ＝CA B B A sin cos sin －cos sin＝CB A sin －sin )(．故命题成立.。