参数方程典型例题分析报告
参数方程典型例题分析例1在方程（为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（）．（A）（2，－7）（B）（，）（C）（，）（D）（1，0）
分析由已知得可否定（A）又，分别将，，
1代入上式得，，－1，∴（，）是曲线上的点，故选（C）．例2直线（为参数）上的点A，B所对应的参数分别为，
，点P分所成的比为，那么点P对应的参数是（）．（A）（B）（C）（D）
分析将，分别代入参数方程，
得A点的横坐标致为，B点的横坐标为，
由定比分点坐标公式得P的横坐标为
，
可知点P所对应的参数是故应选（C）．
例3化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线．
（1）（为参数，）
（2）（为参数）；
（3）（为参数），
解：（1）∵
∴，
∴或
故普通方程为（或），方程的曲线如图．
（2）将代入得
∵普通方程为（），方程的曲线如图．
（3）两式相除得代入得
整理得
∵
∴普通方程为（），方程的曲线如图．
点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的，的围，以保证普通方程与参数方程等价．
例4已知参数方程
①若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？
②若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？
解：①当时，由（1）得，由（2）得，
∴，它表示中心在原点，
长轴长为，短轴长为焦点在轴上的椭圆．
当时，，，
它表示在轴上的一段线段．
②当（）时，由（1）得，
由（2）得．平方相减得，
即
它表示中心在原点，实轴长为，虚轴长为，
焦点在轴上的双曲线．
当（）时，，它表示轴；
当（）时，，
∵（时）或（时）
∴，∴方程为（），
它表示轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线．
点评本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数．
例5直线（为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（）．
（A）或（B）或（C）或（D）或
分析将参数方程化为普通方程，直线为（），
当时不合题意．
因为，它们相切的充要条件是，
解得，又，
∴或，故选（A）．
例6求椭圆上的点到直线的最大、最小距离．
解将椭圆普通方程化为参数方程（），
则椭圆任意一点的坐标可设为（，），
于是点到直线的距离
∴，此时；，此时
点评利用参数方程，将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式，这样减少曲线上点的坐标所含变量的个数，将二元函数的问题转化为一元函数的问题．
例7已知点P是圆C：上一动点，点P关于点A（5，0）的对称点为Q，半径CP绕圆心C 按逆时针方向旋转后得到点M，求的最大值和最小值．
解如图，设点（，），
则点M为（，），
即M（，）．
又点A（5，0）为Q的中点，则点Q为（，），
且
所以时，取得最大值
时，取得最小值
点评此题根据圆的参数方程是利用转角作参数，由点坐标求点M坐标，再把与坐标，相关的的最值转化成的最值来求解．
例8直线与椭圆交于A，B两点，当变化时，求线段AB中点M的轨迹．
解设AB中点M（，），
直线的方程为（，为参数）
代入椭圆方程有中可得
设A，B对应的参数值分别为，，则有，
又，
∴，又，
故，即．
所以M点的轨迹是直线在椭圆部的一条线段．
例9已知线段，直线垂直平分交于点O，并且在上O点的同侧取两点P，，使，求直线BP 与直线的交点M的轨迹．
解如图，以O为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，
依题意，可知B（0，2），（0，－2），
又可设P（，0），（，0），其中为参数，可取任意非零的实数．
直线BP的方程为
直线的方程为
两直线方程化简为
解得直线BP与的交点坐标为：（为参数）．
消去参数得（）
∴所求点M的轨迹是长轴为6，短轴为4的椭圆除去B，点．
点评用参数法求解轨迹问题时，首先要建立适当的坐标系，然后选择参数，表示出有关点的坐标，求出动点轨迹的参数方程，必要时还要化成普通方程，根据方程确定轨迹的形状，大小等特征．。
极坐标和参数方程的典型例题
极坐标和参数方程的典型例题在数学中，极坐标和参数方程是研究平面曲线的重要工具。
极坐标是一种用极径和极角来表示平面上点位置的坐标系统，而参数方程则是用一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
在本文中，我们将通过一些典型例题来探讨如何使用极坐标和参数方程解决问题。
例题一：极坐标下的圆首先让我们考虑一个非常简单的例子，即极坐标下的圆。
圆的极坐标方程为：$$ \\begin{cases} r = a \\\\ \\theta \\in [0, 2\\pi) \\end{cases} $$其中，r表示极径，a表示圆的半径，$\\theta$表示极角。
这个方程说明了圆上的每个点都满足极径等于半径a，并且极角可以在0到$2\\pi$之间取值。
例题二：参数方程下的抛物线接下来，我们考虑一个使用参数方程描述的曲线：抛物线。
抛物线的参数方程为：$$ \\begin{cases} x = at^2 \\\\ y = 2at \\end{cases} $$其中，a为常数，t为参数。
根据这个参数方程，我们可以看到x和y都是t的二次函数。
这个参数方程给出了抛物线上的每个点的坐标。
例题三：极坐标和参数方程的转换有时候，我们需要在极坐标和参数方程之间进行转换。
下面的例题将展示如何将一个极坐标方程转换为参数方程。
考虑极坐标方程：$$ \\begin{cases} r = 2\\cos\\theta \\\\ \\theta \\in [0, \\pi] \\end{cases} $$我们可以使用三角恒等式来将这个极坐标方程转换为参数方程。
首先，我们注意到r是$\\theta$的函数，而x和y是r的函数。
根据极坐标和直角坐标之间的关系，我们有下面的关系式：$$ \\begin{cases} x = r\\cos\\theta \\\\ y = r\\sin\\theta \\end{cases} $$将极坐标方程中的r代入上述关系式，我们得到参数方程：$$ \\begin{cases} x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta) = 2\\cos^2(\\theta) \\\\y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta) = \\sin(2\\theta) \\end{cases} $$ 通过这个转换，我们将极坐标方程转换为了参数方程。
(完整)参数方程应用总结,推荐文档
参数方程应用专题1、圆的参数方程的应用圆222()()x a y b R -+-=的参数方程为cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩ （ 为参数 ）一、求最值()y x P ,为圆上一点（1）求22Cy Bxy Ax ++的最值（2）求By Ax +的最值 （3）A,B 为定点，求22PB PA +的最值。
例1 已知点P （x ，y ）在圆221x y +=上，（1）求2223x xy y ++的最大值和最小值。
（2）求y x +2的最值 (3)()()()()22220,24,10,121PD PC PB PA D C B A +++-求及和和，点的最值。
练习1、已知实数y x ,满足()()252122=-+-y x ，求y x y x ++2,22的最值。
2、在△ABC 中，∠A,∠B,∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c=10,34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆的动点，求点P 到顶点A 、B 、C 的距离的平方和的最大值和最小值。
二、求轨迹例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列，∠BAC=3π，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹方程。
三、求范围例3 已知点P （x ，y ）是圆22(1)1x y +-=上任意一点，欲使不等式x+y+c ≥0恒成立，求c 的取值范围。
四、求斜率例4 求函数sin 1()cos 2f θθθ-=-的最大值和最小值。
2、椭圆的参数方程的应用22221x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（ 为参数） 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积例1 求椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。
二、求轨迹例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且21MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。
参数方程解题两例
参数方程解题两例
参数方程是常见的数学解题方法，本文就将分别介绍参数方程解题的两个实例，以便读者加深对参数方程的理解。
首先，我们来看一个典型的参数方程： f(x) = ax + bx + c。
这个参数方程的参数有三个，a、b和c。
这里可以看出，一般情况下，参数方程有几个参数，就有几个变量，分别为x、a、b和c。
接下来，我们来看一个具体的参数方程求解的实例：f(x) = 3x + 4x + 5，求f(2)的值。
解答：我们将参数方程的各个参数代入，可以得到f(2) = 3(2) + 4(2) + 5 = 23，所以f(2)的值为23。
再来看另一个参数方程解题的实例：求f(x) = x - 3x + 2的根。
解答：参数方程求根的解法是知道参数a、b和c，求出根的方法是用公式：
x1 = [-b +(b - 4ac)]/2a
x2 = [-b -(b - 4ac)]/2a
将参数a、b和c代入，可以得到x1 = [3 +(9-8)]/2=1.5，x2 = [3 -(9-8)]/2=0.5，所以f(x) = x - 3x + 2的根分别为1.5和0.5。
以上就是本文介绍的参数方程解题的两个实例。
从这些实例可以看出，参数方程解题的步骤是很简单的，但是却非常实用，在解决复杂的数学问题时十分有用。
在实际应用中，参数方程作为常见的数学解题方法经常被用到，它也是一个重要的数学理论。
希望本文对读者有所帮助，可以更加了解参数方程，从而更好地
掌握数学的解题窍门。
坐标系与参数方程常考题型及解析
坐标系与参数方程高考常考题型及解析随着高考改革的不但深入，考试内用也在不但改革，分为必修和选修两部分，选修部分又分为高考必考部分和选考部分，这是对部分学生的兴趣和爱好加上了不等式选讲及几何证明选讲坐标系与参数方程，矩阵及变换等等选讲部分，笔者以多年送高考的经验将坐标系与参数方程选讲部分高考常考题型及解析总结如下，供同行们商榷。
类型一：求直线或圆锥曲线的参数或极坐标方程问题。
例题1：（2013年高考陕西卷）以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则220y x x +-=的参数方程为_____解析 ：222)21()21=+-⇒y x （圆的方程21=⇒r 圆的半径 θθθθθθθsin cos sin ,cos cos cos 2cos 2⋅=⋅==⋅=⇒=⋅=⇒OP y OP x r OP 。
所以圆的参数方程为R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 2变式：（2013年高考江西卷）设曲线C 的参数方程为2x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________解析：本题考查参数方程与极坐标方程的转化。
曲线C 的普通方程为2y x =。
将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2y x =，得22sin cos ρθρθ=，即2cos sin 0ρθθ-=。
所以曲线c 的极坐标方程为2cos sin 0ρθθ-=点评：求极坐标方程与参数方程是坐标系与参数方程是高考常考的题型，记住参数方程与极坐标方程的转化结合直线与圆的方程形式，解决起来比较容易，是中档题目。
类型二;考查在极坐标系下求两点距离或者点到直线距离问题。
例题2：（2013年高考上海卷（理））在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________解析：联立方程组得15(1)12ρρρ±-=⇒=，又0ρ≥，故所求为152+． 变式：（2013年高考北京卷（理））在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于_________.解析：在极坐标系中，点化为直角坐标为（ ，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2，（ ，1），到y=2的距离1，即为点到直线ρsinθ=2的距离1。
参数方程例题讲解1
参数方程例题讲解1直线的参数方程选配应以巩固参数的几何意义为主，椭圆和圆可选利用参数方程减少变量个数，简化运算的例题．互化应以参数方程化普通方程为主．例1 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 212235与⎩⎨⎧+-=+=ty t x 235，是否表示同一条直线． 此例可使学生明确以下几点： ①曲线的参数方程可能不唯一．②两个方程均表示直线03253=---y x ．两个方程中的参数的意义不同，取相同的t ，对应的点可能不同，但t 取全体实数时，所对应的点集相同．③判断方程⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 中t 的几何意义是否为定点(x 0，y 0)到动点P (x ，y )的数量，有二个原则，其一为a 2＋b 2=1，其二是b ≥0，这是因为α为直线倾角时，必有sin 2α+cos 2α=1及sin α≥0．④⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00上A ，B 两点间距离为2122t t b a AB -+=．上述方程中通过换元22'ba t t +=（当 b ≥0），可知t ’的几何意义就是定点(x 0，y 0)到动点(x ，y )的数量，其上两点间距离即为21t t -．⑤通过计算：ab at bt x x y y ==--00，使学生知道(x 0，y 0)必为直线上的点，a b等于直线的斜率．例2 在圆x 2＋2x ＋y 2=0上求一点，使它到直线2x ＋3y －5=0的距离最大．此题常用解法有：①求过圆心(－1，0)与直线2x ＋3y －5 = 0垂直的直线和圆的交点，并根据图形舍去一个点．②求与2x ＋3y －5 = 0平行的圆的切线，再求切点，并根据图形舍去一个点．③设切点坐标T (x 0, y 0)，利用方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=---=++23)1(0020020020x y y x x ,解出切点，再根据图形舍去一个解．④利用圆的参数方程⎩⎨⎧=+-=θθsin cos 1y x ，则圆上点到2x ＋3y －5 = 0的距离为22325s i n 3)c o s 1(2+-++-=θθd 13)132arcsin sin(13137cos 2sin 3+=-+=θθθ当1)132arcsinsin(-=+θ，即132arcsin23-=πθ时，d 取得最大值，此时1313213cos 1--=+-=θx ，13133sin -==θy ．即点P (1313213--，13133-)为所求．例3 在椭圆4x 2＋9y 2=36上求一点P ，使它到直线x ＋2y ＋18=0的距离最短（或最长）． 此题如用求切线的方法解，计算量大．利用椭圆的参数方程⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x ，则椭圆上点到直线的距离518)53arccos cos(5518sin 4cos 3+-=++=θθθd当53arccos+=πθ时，d 取得最小值5513，此时，59c o s 3-==θx ，58sin 2-==θy ．即点P (59-, 58-)为所求．例2 例3是使学生知道利用圆和椭圆的参数方程，可以用单变量θ表示动点坐标 （x ，y ），以简化运算．例4 将下列数方程化成普通方程．①⎩⎨⎧==t y tx 222，②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=221212t t y t x ，③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t t y t t x ，④⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1()1(t t b y t t a x ，⑤⎩⎨⎧+=+-=11mx y my x ．用①～④题介绍消参的常用方法，代入消元法、加（减）、乘（除）消元法，平方消元法，并强调它们是方法不是目的，故消参时，一个题目可能几个方法联合使用或重复使用，第③题还可以用设t=tan 2θ将原式化为⎩⎨⎧==θθsin cos y x ，后消参，第⑤题可以用①式乘以x ＋②式乘以y 直接消去参数m ．为了区别于先将x 、y 表达式求出，再消去m 的方法，可将此法称为直接消参法．这个方法更能使学生体会到参数的本质含义．此法对解综合题十分有用．例5 直线3x －2y ＋6=0，令y = tx ＋6（t 为参数）．求直线的参数方程． 将y = tx ＋6代入3x －2y ＋6=0，解得tx 236-=，将它代入y = tx ＋6得t t y 23618--=，此题是使学生了解，化普通方程为给定参数的参方程的一般方法．例6 将参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ，化为普通方程．所求普通方程为y 2=－x ＋1，x ∈[0，1]．通过类似的例题，说明消参过程中的等价性问题．。
高三数学参数方程试题答案及解析
高三数学参数方程试题答案及解析1.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）的普通方程为___________.【答案】【解析】由x=1+t得t=x-1代入y=-1+3t整理得，，即为曲线C的普通方程.考点:参数方程与普通方程互化2.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程。
（Ⅱ）设直线与曲线C相交于A，B两点，当a变化时，求的最小值【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）将两边乘以得，，将代入上式得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）将将直线的参数方程代入曲线C的普通方程中，整理关于t的二次方程，设M，N两点对应的参数分别为，利用一元二次方程根与系数将，用表示出来，利用直线参数方程中参数t的几何意义得，|AB|=，再转化为关于与的函数，利用前面，关于的表示式，将上述函数化为关于的函数，利用求最值的方法即可求出|AB|的最小值．试题解析：（Ⅰ）由,得所以曲线C的直角坐标方程为（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入,得设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则t 1+t2=,t1t2=,∴|AB|=|t1-t2|==,当时,|AB|的最小值为4 （10分）【考点】极坐标方程与直角坐标互化，直线与抛物线的位置关系，直线的参数方程中参数t的几何意义，设而不求思想3.（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为，（为常数）.（I）求直线和圆的普通方程；（II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.【答案】（I）,;（II）【解析】（I）由已知直线的参数方程为，（为参数）,消去参数即可得直线的普通方程.由圆的参数方程为，（为常数）消去参数,即可得圆的普通方程.（II）由直线与圆有公共点,等价于圆心到直线的距离小于或等于圆的半径4,由点到直线的距离公式即可得到结论.试题解析：（I）直线的普通方程为.圆C的普通方程为.（II）因为直线与圆有公共点,故圆C的圆心到直线的距离,解得.【考点】1.参数方程.2.直线与圆的位置关系.4.直线（为参数）的倾斜角是【答案】.【解析】直线的斜率为，因此该直线的倾斜角为.【考点】1.直线的参数方程；2.直线的斜率5.直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为．【答案】3【解析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．6.在平面直角坐标系中，直线经过点P（0，1），曲线的方程为，若直线与曲线相交于，两点，求的值．【答案】1【解析】利用直线的参数方程的几何意义，可简便解决有关线段乘积问题. 设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）设，两点对应的参数值分别为，．将代入，整理可得．所以．【解】设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）设，两点对应的参数值分别为，．将代入，整理可得． 5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以）所以． 10分【考点】直线的参数方程7.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】(1)(2)(, ),(2, )【解析】(1)将消去参数t,化为普通方程 , 即C1:.将代入得.所以C1的极坐标方程为.(2)C2的普通方程为 .由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为(, ),(2, )8.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为（，）,直线l的极坐标方程为ρcos（）=a,且点A在直线l上.(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;(2)圆C的参数方程为(为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.【答案】（1）x+y-2=0 （2）相交【解析】(1)由点A（，）在直线ρcos（-）=a上,可得a=，所以直线l的方程可化为,从而直线l的直角坐标方程为.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆C的圆心为(1，0)，半径r=1,因为圆心C 到直线l的距离d=<1,所以直线l与圆C相交.9.在直角坐标平面内，以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数），则点到曲线上的点的距离的最小值为．【答案】【解析】由已知得，点的直角坐标为，曲线的普通方程为，表示以为圆心，为半径的圆，故点到曲线上的点的距离的最小值为．【考点】1、直角坐标和极坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点和圆的位置关系.10.已知曲线C的参数方程为(t为参数)，若点P(m，2)在曲线C上，求m的值．【答案】m＝16【解析】点P(m，2)在曲线C上，则，所以m＝16.11.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为坐标原点，为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．则的参数方程为 .【答案】（为参数）【解析】设点.由，可得.即的参数方程为（为参数）.【考点】1.参数方程的知识.2.向量相等.12.在直角坐标系中,曲线的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点,以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为,则与的两个交点之间的距离等于.【答案】【解析】、的普通方程分别为、，与的两个交点之间的距离即为圆截直线得到的弦长，所以，.【考点】参数方程与极坐标，直线与圆的位置关系.13.若直线（为参数）被圆截得的弦长为最大，则此直线的倾斜角为；【答案】【解析】直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为；直线被圆截得的弦长最大，即圆心到直线的距离最小，，当时，.【考点】参数方程与普通方程的转化、极坐标与直角坐标的转化、最值问题.14.过点M(2,1)作曲线C:(θ为参数)的弦,使M为弦的中点,求此弦所在直线的方程.【答案】2x+y-5=0【解析】由于曲线表示的是圆心在原点O,半径为r=4的圆,所以过点M的弦与线段OM垂直.∵kOM=,∴弦所在直线的斜率是-2,故所求直线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.15.已知直线与圆相交于AB，则以AB为直径的圆的面积为 .【答案】【解析】消掉可得直线方程为，利用可得圆的方程为，联立方程组得交点，交点间距离为，则所求圆的面积为.另解：因为圆心到直线的距离为，所以，则所求圆的面积为【考点】直线与圆的参数方程16.在平面直角坐标系xOy中，若直线l1： (s为参数)和直线l2： (t为参数)平行，则常数a的值为________．【答案】a＝4【解析】由消去参数s，得x＝2y＋1. 由消去参数t，得2x＝ay＋a.∵l1∥l2，∴＝，∴a＝4.17.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，它与曲线C：(y－2)2－x2＝1交于A、B两点．(1)求|AB|的长；(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【答案】（1）（2）【解析】(1)把直线的参数方程代入曲线方程并化简得7t2－12t－5＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－.所以|AB|＝|t1－t2|＝5(2)易得点P在平面直角坐标系下的坐标为(－2,2)，根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为＝.由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|＝·＝.18.已知曲线（为参数），（为参数）.（1）化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求.【答案】（1），曲线为圆心是，半径是1的圆，曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆；（2）.【解析】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用参数方程与普通方程的互化方法转化方程，再根据曲线的标准方程判断曲线的形状；第二问，根据已知写出直线的参数方程，与曲线联立，根据韦达定理得到两根之和两根之积，再利用两根之和两根之积进行转化求出.试题解析：⑴曲线为圆心是，半径是1的圆．曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆． 4分⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.圆和椭圆的标准方程；3.韦达定理；4.直线的参数方程.19.过点M（3，4），倾斜角为的直线与圆C：（为参数）相交于A、B两点，试确定的值.【答案】15【解析】将过点M（3，4），倾斜角为的直线写成参数方程.再将圆的参数方程写成一般方程，联立后求得含t的一元二次方程.将的值转化为韦达定理的根的乘积关系.即可得结论.本小题主要就是考查直线的参数方程中t的几何意义.试题解析：直线l的参数方程为.代入C：.方程得到：.设为方程两根，则.【考点】1.直线的参数方程.2.圆的参数方程.20.将参数方程（为参数,）化成普通方程为 ______ ．【答案】【解析】由已知得，将两式平方相加有，，所以普通方程为.【考点】参数方程与普通方程的互化.21.过点，倾斜角为的直线与圆C：（为参数）相交于两点，试确定的值．【答案】15．【解析】先将曲线：（圆）的参数方程化成普通方程，再将直线的参数方程代入其中，得到一个关于的一元二次方程，最后结合参数的几何意义，利用一元二次方程的根与系数之间的关系式即可求得距离之积．试题解析：由已知得直线的参数方程为（为参数），即（为参数） 3分曲线的普通方程为． 6分把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得∴点到两点的距离之积为15． 10分【考点】1．圆的参数方程；2．直线和圆相交有关计算．22.在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面坐标系，圆的参数方程（为参数），若圆与相切，则实数 .【答案】.【解析】圆的直角坐标方程为，其标准方程为，圆心为，半径长为，圆的圆心坐标为，半径长为，由于圆与圆外切，则.【考点】1.参数方程与直角坐标方程之间的转化；2.两圆的位置关系23.以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：，曲线C2的参数方程为：，点N的极坐标为．（Ⅰ）若M是曲线C1上的动点，求M到定点N的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2有有两个不同交点，求正数的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．【解析】分别将极坐标方程与参数方程转化为普通方程，根据点与圆的几何意义求的最小值；根据曲线C1与曲线C2有有两个不同交点的几何意义，求正数的取值范围．试题解析：解：（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，可得点，曲线为圆，圆心为，半径为1，∴=3，∴的最小值为．（5分）（Ⅱ）由已知，曲线为圆，曲线为圆，圆心为，半径为t，∵曲线与曲线有两个不同交点，，解得，∴正数t的取值范围是．（10分）【考点】极坐标与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化．24.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，则与交点在直角坐标系中的坐标为 ____.【答案】（2,5）【解析】曲线的参数方程为（为参数），将代入，因为，所以其一般方程为.再将曲线的极坐标方程为转化为直角坐标系中的方程,因为，，故曲线的一般方程为.联立方程组，解得或，又，所以舍去.所以与交点在直角坐标系中的坐标为（2,5）.【考点】坐标系与参数方程25.已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，（为参数），以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：则圆截直线所得弦长为 .【答案】【解析】圆C的参数方程为的圆心为,半径为3, 直线普通方程为,即,圆心C到直线的距离为,所以圆C截直线所得弦长.【考点】1.参数方程；2.点到直线的距离.26.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.⑴求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；⑵当时，曲线和相交于、两点，求以线段为直径的圆的直角坐标方程.【答案】(1)(2)【解析】(1)代入消参数法求解直线方程，利用极坐标公式求解圆的普通方程；（2）借助弦长公式求出直径的长，确定圆心坐标，利用圆的标准方程求解.试题解析：(1)对于曲线消去参数得：当时，；当时，. (3分)对于曲线：，，则. (5分)(2) 当时，曲线的方程为，联立的方程消去得，即，，圆心为，即，从而所求圆方程为. (10分)【考点】1.极坐标系与参数方程的相关知识;2.极坐标方程与平面直角坐标方程的互化;3.平面内直线与曲线的位置关系.27.函数的最大值是．【答案】10【解析】由分析可考虑三角代换，令，则，代入化简可得，即可得.【考点】参数方程，辅助角公式.28.已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方程为，那么，直线与圆的位置关系是 ( )A．直线平分圆B．相离C．相切D．相交【答案】D【解析】先把参数方程化为，再把圆的极坐标方程化成，再利用圆心到直线的距离.【考点】1.参数方程；2.极坐标.29.[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为．直线与曲线交于两点，求．【答案】圆心到直线的距离，。
参数方程考点解析
高考数学2021年6月■甘肃省秦安县第二中学杨志云刘晓艳一、参数方程的槪念侧!已知曲线c的参数方程是(h=1+2/,,&为参数，aWR),点M(—3,4) \y=at在曲线C上。
(1)求常数a的值；(2)判断点P(1,O),Q(3,-1)是否在曲线C上。
解析:(1)将点M(—3,4)的坐标代入曲线匕=1+2±,f—3=1+2e,C的参数方程？得9消去\y=at2,[4=a*,参数£，得a=l o(2)由(1)可知，曲线C的参数方程是严=1+2左,\y=t2o把点p的坐标(1,0)代入方程组，解得£=0,因此点P在曲线C上。
把点Q的坐标(3=l-\~2t,(3,-1)代入方程组，得到,这个方1-1=£2,程组无解，因此点Q不在曲线C上。
点评：满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种，点、在曲线上和点不在曲线上。
①对于曲线C的普通方程若点M(g，3/i)在曲线C上，则点M(rci，夕J的坐标是方程/(rr9夕)=0的解，即有(5,刃)=0;若点N(x2»%)不在曲线C上，则点NS，夕2)的坐标不是方程/*(",，)=0的解，即有于(匚2，夕2)工0。
②对于曲线C的参数方程Ctb=g(E)为参数〉，著点M(,必)在曲线上，则m=/*(£),对应的参数左有解，否则参数z bl=g&)不存在。
二、求曲线的参数方程侧2已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负半轴上移动，顶点B在北轴的非负半轴上移动，求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程。
解析：如图1,设顶点C的坐标为(工，y),NABO=e,过点C作工轴的垂线段即为所求。
点评：该题的解题思路是先画出图形，选取角为参数，建立动点的坐标的三角函数即可。
求曲线的参数方程的步骤：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标；②写出适合条件的点M的集合；③用坐标表示集合，列出方程；④将方程化为最简形式；⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否挪表示曲线上的点，要注意那些特殊■的点)。
一道高考参数方程题的解法分析及教学反思
２０２３年８月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀一道高考参数方程题的解法分析及教学反思◉海南省昌江黎族自治县昌江中学㊀林瑞记㊀㊀摘要:参数方程是高考数学考查的重要模块,本文中结合一道高考参数方程题解法的深入研究,依托高考试题反思教师日常教学,总结不同题型的解法特点,以在教学时真正做到因材施教,进一步落实对学生数学学科核心素养的培养．关键词:参数方程;解法研究;教学反思㊀㊀知过去,才能谋未来．我们的高中生从来都不缺乏练习题㊁高考题的训炼,但大多都浅尝辄止,缺乏上下求索的学习态度,导致各个数学知识点之间的联系没有得到很好的构建,知识的外延也没能得到很好的拓展．实际上,很多高考题具有很强的教学意义和研究价值．笔者曾参与海南省２０１８年高考阅卷工作,现试着从２０１８年全国Ⅱ卷第２２题关于参数方程问题的研究出发,剖析该参数方程题的不同解法,归纳解该类题目的思想方法．首先介绍考生的常见解题思路,并分析不同考生解法的思维特点,然后进一步研究不同的解法,最后揭示不同数学思维水平的考生该如何在考场中 扬长避短 ,以及教师在教学中如何做到 因材施教 ,落实新课标提出的高中数学学科六大核心素养[１]．１试题呈现(２０１８年全国Ⅱ卷第２２题)在直角坐标系x O y中,曲线C 的参数方程为x ＝２c o s θ,y ＝４s i n θ{(θ为参数),直线l 的参数方程为x ＝１＋t c o s α,y＝２＋t s i n α{(t 为参数)．(１)求C 和l 的直角坐标方程;(２)若曲线C 截直线l 所得线段中点的坐标为(１,２),求l 的斜率．答案:(１)C :x ２４＋y２１６＝１．当c o s αʂ０时,l :y ＝ta n α x ＋２－t a n α;当c o s α＝０时,l :x ＝１．(２)直线l 的斜率为－２．２参数方程问题的解题策略分析该题在高考中属于选考题,因为其主要考查的内容是三角函数和解析几何,属学生较为熟悉的知识点,故而在高考考场上选择的考生颇多．第(１)问主要考查学生将极坐标方程转化为直角坐标方程㊁参数方程转化为普通方程的能力,尽管该问较为简单,但是直线l 的转换出错较多．对于第(２)问,学生的解法主要是将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中去求解,思维的切入点不同,解题的方法往往就大相径庭[２]．解析:(１)由x ＝２c o s θ,y ＝４s i n θ,{得x ２＝c o s θ,y ４＝s i n θ,ìîíïïïï将两式分别平方再相加,得曲线C 的直角坐标方程为x２４＋y ２１６＝１．当c o s αʂ０时,直线l 的直角坐标方程为y ＝t a n α x ＋２－t a n α;当c o s α＝０时,直线l 的直角坐标方程为x ＝１．第(１)问总体来说较简单,失分的同学往往是因为忽略了c o s α＝０这种特殊情况．当然,如果考生将直线l 的直角坐标方程写为y c o s α＝s i n α x ＋２c o s α－s i n α,阅卷时也可以得满分,但是如果l 的直角坐标方程写为x －１c o s α＝y －２s i n α,则至少扣一分．(２)解法１:把x ＝１＋t c o s α,y ＝２＋t s i n α{代入x ２４＋y ２１６＝１,得(１＋t c o s α)２４＋(２＋t s i n α)２１６＝１,整理为(１＋３c o s ２α)t ２＋４(２c o s α＋s i n α)t －８＝０．①因为曲线C 截得直线l 所得线段的中点(１,２)在C 内,所以方程①有两解,设为t １,t ２,根据参数t 的含义,有t １＋t ２＝０．又t １＋t ２＝－４(２c o s α＋s i n α)１＋３c o s ２α,所以２c o s α＋s i n α＝０,故直线l 的斜率为k ＝t a n α＝－２．具体策略分析:解法１在阅卷中属于司空见惯的,由于其解题思路清晰及步骤操作偏模式化,因此有很多考生青睐这种解法,也体现了这类考生数学运算素养较强．因此,在教学中针对这类学生,教师应当着重加强计算能力和运算技巧的训练,这样才能做到有的放矢地教学,这应该也算是数学学科的 因材施教 吧!解法２:(ⅰ)当c o s α＝０时,曲线C 截直线l 所得线段的中点为(１,０),不合题意．９７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年８月上半月㊀㊀㊀(ⅱ)当c o s αʂ０时,由x ２４＋y ２１６＝１,y ＝xt a n α＋２－t a n α,{得x ２４＋(x t a n α＋２－t a n α)２１６＝１．整理得(４＋t a n ２α)x ２＋２t a n α(２－t a n α)x ＋t a n ２α－４t a n α－１２＝０．设方程的两个根分别为x １,x ２,则由韦达定理可得x １＋x ２＝－２t a n α(２－t a n α)４＋t a n ２α．又曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(１,２),所以x １＋x ２２＝１,于是－t a n α (２－t a n α)４＋t a n ２α＝１,解得t a n α＝－２．故直线l 的斜率为－２．具体策略分析:解法２较之解法１,在思维上走的弯路较少,联立后整理得到的方程的解本身就是题目所求,没必要牵涉到参数t 的含义,所以考场上运用解法２的考生也较多．但是,很多学生运用该解法总是拿不到满分,原因是没有考虑c o s α＝０的情况,即直线l 的斜率不存在的情况．针对这类学生,课堂上教师应该有意识地培养他们的数学抽象素养．解法３:设直线l 与椭圆x ２４＋y ２１６＝１相交于点A(x １,y １),B (x ２,y ２),则有x ２１４＋y ２１１６＝１,x ２２４＋y ２２１６＝１,ìîíïïïï两式相减,得(x １＋x ２)(x １－x ２)４＋(y １＋y ２)(y １－y ２)１６＝０．因为A B 的中点坐标为(１,２),所以x １＋x ２＝２,y １＋y ２＝４,则x １－x ２２＋y １－y ２４＝０．当x １ʂx ２时,线段A B 的斜率k ＝y １－y ２x １－x ２＝－２;当x １＝x ２时,线段A B 的中点坐标为(１,０),不符合题意．故直线l 的斜率为－２．具体策略分析:解法３是常用于解圆锥曲线问题的点差法,思想就是未知参量设而不求,最后直接整理得斜率的表达式并求解．考场上运用该解法的学生思路清晰,基本都能拿满分,不过也有部分学生忽略了x １＝x ２时斜率不存在的情况,导致被扣两分．从侧面来看,用解法３还出错的学生表现出其逻辑推理及直观想象素养不够强,教师在教学中应当见微知著,有目的地补齐这类学生的短板．解法４:(ⅰ)当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为y －２＝k (x －１)．联立x ２４＋y ２１６＝１,y ＝k (x －１)＋２,{整理可得(４＋k ２)x ２＋２k (２－k )x ＋k ２－４k －１２＝０．设该方程的两个根分别为x １,x ２,则由韦达定理可得x １＋x ２＝－２k (２－k )４＋k２．又曲线C 截直线l 所得线段中点坐标为(１,２),则x １＋x ２２＝１,即－k (２－k )４＋k２＝１,解得k ＝－２．(ⅱ)当直线l 垂直于x 轴,即直线l 的斜率不存在时,曲线C 截得直线l 所得线段的中点坐标为(１,０),不符合题意．具体策略分析:解法４与解法２有着异曲同工之妙,都是将两方程联立并整理,再应用韦达定理和线段的中点坐标求解．这类解法在考场上较为罕见,主要原因是设直线方程再联立求解,其中的运算量较大,很多考生都望而却步．因此,在日常教学中,教师要有意识地强化学生的数学运算素养,只有夯实基础才能更上一层楼．图１解法５:如图１,曲线C 是中心在原点㊁焦点在y 轴上㊁长轴长２a ＝８㊁短轴长２b ＝４的椭圆,上顶点为A (０,４),右顶点为B (２,０),线段A B 的中点为(１,２),所以直线A B 满足题目要求．故直线l 的斜率为－２．具体策略分析:解法５鲜为考生所知,能用该法解决第(２)问的考生体现了其较强的数学抽象和直观想象素养,在争分夺秒的高考考场上思维仍能做到简明扼要㊁抽丝剥茧,的确令人激赏．总之,参数方程问题的求解不仅要掌握参数方程中参数的含义,有时还需运用数形结合思想来思考和解答问题．通过这道参数方程题来审视我们的教学效果,确实还有很多需要改进的地方,很多素养需要加强．教师只有终身学习才能站好三尺讲台的岗,对以往高考题解法的回顾,能让思维得到锻炼和发散,能厘清知识间千丝万缕的联系．作为人民教师的我们,应生命不息教与学不止．参考文献:[１]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(２０１７年版)[S ]．北京:人民教育出版社,２０１７．[２]汪生芳． 极坐标系与参数方程 的教学研究[D ]．武汉:华中师范大学,２０１８．Z ０８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
极坐标与参数方程例题
极坐标与参数方程例题例题1：求曲线r=2sinθ的极坐标方程对应的参数方程。
解答：我们可以将极坐标方程r=2sinθ转化为参数方程。
首先，我们需要找到x和y与r和θ之间的关系。
根据定义，我们有x=r*cosθ，y=r*sinθ。
将r=2sinθ代入上述公式中，可以得到x=2sinθ*cosθ，y=2sinθ*sinθ。
因此，曲线r=2sinθ对应的参数方程为x=2sinθ*cosθ，y=2sinθ*sinθ。
例题2：求曲线x=2cosθ，y=3sinθ的参数方程对应的极坐标方程。
解答：要将参数方程x=2cosθ，y=3sinθ转化为极坐标方程，我们需要找到r和θ与x和y之间的关系。
通过平方求和公式，我们有cos²θ+sin²θ=1将x=2cosθ，y=3sinθ代入上述公式中，我们可以得到(2cosθ)²+(3sinθ)²=1化简得到4cos²θ+9sin²θ=1因此，曲线x=2cosθ，y=3sinθ对应的极坐标方程为4cos²θ+9sin²θ=1例题3：已知曲线的参数方程为x=t+1，y=2t-2，求其对应的极坐标方程。
解答：我们需要找到r和θ与x和y之间的关系。
根据定义，我们有x=r*cosθ，y=r*sinθ。
将参数方程x=t+1，y=2t-2代入上述公式中，我们可以得到t+1=r*cosθ，2t-2=r*sinθ。
进一步化简可得r²=t²+2t+1+4t²-8t+4化简得5t²-6t+5=r²。
因此，参数方程x=t+1，y=2t-2对应的极坐标方程为5t²-6t+5=r²。
通过以上例题，我们可以看出极坐标与参数方程之间的转换可以通过代入关系来进行。
在已知形式的方程中，我们可以根据已知的方程形式求解出另一种形式的方程。
这种转换在解决特定问题或者在研究特定曲线时非常有用。
参数方程典型例题分析.doc
参数方程典型例题分析例1在方程（为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（）．（A）（2，－7）（B）（，）（C）（，）（D）（1，0）分析由已知得可否定（A）又，分别将，，1代入上式得，，－1，∴（，）是曲线上的点，故选（C）．例2直线（为参数）上的点A，B所对应的参数分别为，，点P分所成的比为，那么点P对应的参数是（）．（A）（B）（C）（D）分析将，分别代入参数方程，得A点的横坐标致为，B点的横坐标为，由定比分点坐标公式得P的横坐标为，可知点P所对应的参数是故应选（C）．例3化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线．（1）（为参数，）（2）（为参数）；（3）（为参数），解：（1）∵∴，∴或故普通方程为（或），方程的曲线如图．（2）将代入得∵普通方程为（），方程的曲线如图．（3）两式相除得代入得整理得∵∴普通方程为（），方程的曲线如图．点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的，的范围，以保证普通方程与参数方程等价．例4已知参数方程①若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？②若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？解：①当时，由（1）得，由（2）得，∴，它表示中心在原点，长轴长为，短轴长为焦点在轴上的椭圆．当时，，，它表示在轴上的一段线段．②当（）时，由（1）得，由（2）得．平方相减得，即它表示中心在原点，实轴长为，虚轴长为，焦点在轴上的双曲线．当（）时，，它表示轴；当（）时，，∵（时）或（时）∴，∴方程为（），它表示轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线．点评本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数．例5直线（为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（）．（A）或（B）或（C）或（D）或分析将参数方程化为普通方程，直线为（），当时不合题意．因为，它们相切的充要条件是，解得，又，∴或，故选（A）．例6求椭圆上的点到直线的最大、最小距离．解将椭圆普通方程化为参数方程（），则椭圆任意一点的坐标可设为（，），于是点到直线的距离∴，此时；，此时点评利用参数方程，将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式，这样减少曲线上点的坐标所含变量的个数，将二元函数的问题转化为一元函数的问题．例7已知点P是圆C：上一动点，点P关于点A（5，0）的对称点为Q，半径CP绕圆心C按逆时针方向旋转后得到点M，求的最大值和最小值．解如图，设点（，），则点M为（，），即M（，）．又点A（5，0）为Q的中点，则点Q为（，），且所以时，取得最大值时，取得最小值点评此题根据圆的参数方程是利用转角作参数，由点坐标求点M坐标，再把与坐标，相关的的最值转化成的最值来求解．例8直线与椭圆交于A，B两点，当变化时，求线段AB中点M的轨迹．解设AB中点M（，），直线的方程为（，为参数）代入椭圆方程有中可得设A，B对应的参数值分别为，，则有，又，∴，又，故，即．所以M点的轨迹是直线在椭圆内部的一条线段．例9已知线段，直线垂直平分交于点O，并且在上O点的同侧取两点P，，使，求直线BP与直线的交点M的轨迹．解如图，以O为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，依题意，可知B（0，2），（0，－2），又可设P（，0），（，0），其中为参数，可取任意非零的实数．直线BP的方程为直线的方程为两直线方程化简为解得直线BP与的交点坐标为：（为参数）．消去参数得（）∴所求点M的轨迹是长轴为6，短轴为4的椭圆除去B，点．点评用参数法求解轨迹问题时，首先要建立适当的坐标系，然后选择参数，表示出有关点的坐标，求出动点轨迹的参数方程，必要时还要化成普通方程，根据方程确定轨迹的形状，大小等特征．。