107504-概率统计随机过程课件-第三章(第一,二节)
第三章二维随机变量
引入二维随机变量目的、用处: 在第二章中,我们讨论了用一个随机变量描述试验结果以及随机变量的概率分布问题.但在实际和理论研究中,有许多随机试验,仅用一个随机变量描述不够用.需要引入二维、三维、n维随机变量描述其规律性.
例如,对平面上的点目标进行射击,弹着点A的位置需要用横坐标X和纵坐标Y才能确定.由于X和Y 的取值都是随着试验结果而变化.因此X和Y都是随机变量, 弹着点A 的位置是)
X.
,
(Y
又如空中飞行的飞机(其重心)需要用三个随机变量Z
,才能确
X,
Y
定它的位置.等等.因此需要考虑多个随机变量及其取值规律问题.
定义:设试验E 的样本空间为
}{e S =,而)(e X X i i =是定义在}
{e S =上的随机变量,n i ,,2,1???=,把n 个随
机变量
n X X X ,,,21???构成的有序随机变量组
),,,(21n X X X ???称为n 维随机变量(或n
维随机向量);
对任意实数n x x x ,,,21???,函数
),,,(21n
x x x F ???
},,,{2211n
n x X x X x X P ≤???≤≤= 称为n 维随机变量)
,,,(21n X X X ???的分布函数或称为n 个随机变量
n
X X X ,,,21???的联合分布函数.
第一节 随机向量与联合分布
一. 定义和基本性质
定义1 设试验E 的样本空间为
}{e S =,而)(),(e Y Y e X X ==是定义在
}{e S =上的两个随机变量.称由这两
个随机变量组成的向量),(Y X 为二维
随机变量或二维随机向量.
例如 掷两颗骰子,观察出现的
点数.设X 为第一颗骰子出现的点
数,
Y 为第二颗骰子出现的点数,
Y X ,为定义在
}6,,2,1,|),{(???==j i j i S
上的两个随机变量,
),(Y X 为二维随机变量,它描述了掷
两颗骰子出现的点数情况.
对任意实数y x ,,随机事件
})(,)(|{},{y e Y x e X S e y Y x X ≤≤∈=≤≤有概率.
定义 2 设),(Y X 为二维随机
变量, 对任意实数y x ,,二元函数
},{),(y Y x X P y x F ≤≤=
})(,)(|{y e Y x e X S e P ≤≤∈=,
称为二维随机变量),(Y X 的分布函
数,
或称为随机变量X 和Y 的联合分布
函数.
记},|),{(y v x u v u D ≤≤=,
则},{),(y Y x X P y x F ≤≤=
}),{(D Y X P ∈=
分布函数},{),(y Y x X P y x F ≤≤=的
性质:),(y x F 的定义域+∞<<∞-x ,
+∞<<∞-y ;
(1)1),(0≤≤y x F ,且
},{lim ),(lim ),(y Y x X P y x F x F y y ≤≤==-∞-∞
→-∞→ 0)(==φP ,
0},{lim ),(lim ),(=≤≤==-∞-∞
→-∞→y Y x X P y x F y F x x 0},{lim ),(lim ),(=≤≤==-∞-∞-∞
→-∞→-∞→-∞→y Y x X P y x F F y x y x },{lim ),(lim ),(y Y x X P y x F F y x y x ≤≤==+∞+∞+∞
→+∞→+∞→+∞→ 1)(==S P ;
(2)),(y x F 对x 或对y 单调不减,即 ),(),(2121y x F y x F x x ≤?<,
(由},{},{21y Y x X y Y x X ≤≤?≤≤及
概率的单调性),
),(),(2
121y x F y x F y y ≤?<;
(3)),(y x F 对x 或对y 右连续,
即有
),(),(lim ),(0y x F y x x F y x F x =?+=+
→?+
,
),(),(lim ),(0y x F y y x F y x F y =?+=+
→?+
; (4)对任意实数2
121,y y x x <<有
},{02
121y Y y x X x P ≤<≤<≤ ),(),(),(),(12211122y x F y x F y x F y x F --+=, 事实上
},{2
121y Y y x X x ≤<≤<
},{2
2y Y x X ≤≤= },({21y Y x X ≤≤-}),{1
21y Y x X x ≤≤<+,
},{2
121y Y y x X x P ≤<≤< },{2
2y Y x X P ≤≤= },{(2
1y Y x X P ≤≤-}),{1
21y Y x X x P ≤≤<+ )),(),((),(),(11122122y x F y x F y x F y x F ---= ),(),(),(),(1
2211122y x F y x F y x F y x F --+=.
可以证明:凡满足上述性质
)4(~)1(的二元函数),(y x F 必定是某个二维随机变量的分布函数.
例1 设二维随机变量),(Y X 的分
布函数为
)2
arctan )(arctan (),(y c x b a y x F ++=, (1) 确定常数c b a ,,;
(2) 求}0,0{>>Y X P .
解(1) 利用分布函数的性质
)2)(2(),(1π
π
++=+∞+∞=c b a F , )2)(arctan (),(0π-+=-∞=c x b a x F ,
由x 的任意性得,
0)2(=-πc , 2π
=c , )2arctan )(2(),(0y c b a y F +-=-∞=π,
由
y 的任意性得,0)2(=-πb , ,2π=b 从而21π=a ,2π
=b ;
(2) }0,0{}0,0{+∞<<+∞<<=>>Y X P Y X P
)0,(),0()0,0(),(+∞-+∞-++∞+∞=F F F F
4121212211222=??-??-??+=πππ
ππππππ. 例2设二维随机变量),(Y X 的分布函数为
?
??>>--=--其它,00,0),)((),(2y x e b e a y x F y x , (1) 确定常数b a ,;
(2) 求}2,0{≤>Y X P .
解 (1) 利用分布函数的性
质
b a F ?=+∞+∞=),(1,
))(1(),(lim ),0(00
y x e b a y x F y F -→--===+, 由0>y 的任意性,
得 1,01==-a a ,
所以 1,1==b a ;
(2)
}2,0{}2,0{≤<-∞+∞<<=≤>Y X P Y X P
)
,()2,0(),0()2,(-∞+∞---∞++∞=F F F F
000)1(12----?=-e 21--=e .
二. 二维离散型随机变量
定义 3 若二维随机变量()
Y X ,的所有取值为有限对或可列对???=,2,1,),,(j i y x j i ,则称()Y X ,是离散型随机变量.
记
{},,2,1,,, ====j i p y Y x X P ij
j i 称它为二维离散型随机变量()Y X ,的(概率)分布律,或称为X 和Y 的联合(概率)分布律.
分布律的表示法:(1)公式法,
(2)列表法.
例如 随机变量()Y X ,的分布律为
二维离散型随机变量()Y X ,的
(概率)分布律具有下列基本性质:
(1)
{},,2,1,,0, =≥===j i y Y x X P p j
i ij (2)1,=∑j i ij
p .
利用分布律可计算概率
定理 设()Y X ,的分布律为
{},,2,1,,, ====j i p y Y x X P ij j i
则随机点()Y X ,落在平面上任一区域D 内的概率为
∑∈=∈D y x ij
j i p D Y X P ),(}),{(, 其中和式是对所有使D y x j
i ∈),(的j i ,求和;
特别有
},{),(y Y x X P y x F ≤≤= }),{(D Y X P ∈=∑∈=D y x ij
j i p ),(
∑≤≤=y y x x ij j i p
.
例1 甲、乙两盒内均有3只晶体管,其中甲盒内有1只正品,2只次品; 乙盒内有2只正品,1只次品.第一次从甲盒内随机取出2只管子放入乙盒内; 第二次从乙盒内随机取出2只管子.以Y X ,分别表示第
一、二次取出的正品管子的数目. 试求),(Y X 的分布律以及},),{(D Y X P ∈
其中}2|),{(:22≥+y x y x D .
解 根据题意知,
X 的可能取值为0,1;
Y 的可能取值为0,1,2.
因此, ),(Y X 的可能取值为
(0,0),(0,1),(0,2),
(1,0),(1,1),(1,2).
),(Y X 是离散型随机变量.
}0{=X 表示从甲盒内取出2
只次品管子放入乙盒内,此时乙盒
内有2只正品,3只次品,利用乘法公式可得
}0|0{}0{}0,0{==?====X Y P X P Y X P
3032
5
23
2322=?=C C C C , }0|1{}0{}1,0{==?====X Y P X P Y X P
3062
5
13
122322=?=C C C C C , }0|2{}0{}2,0{==?====X Y P X P Y X P
3012
5
22
2322=?=C C C C , }1{=X 表示从甲盒内取出1
只正品和1只次品管子放入乙盒内,此时乙盒内有3只正品,2只次品,利用乘法公式可得
}1|0{}1{}0,1{==?====X Y P X P Y X P
3022
5
22
231211=?=C C C C C , }1|1{}1{}1,1{==?====X Y P X P Y X P
30122
5
13
12231211=?=C C C C C C , }1|2{}1{}2,1{==?====X Y P X P Y X P
3062
5
23
231211=?=C C C C C , 于是得),(Y X 的分布律为
}),{(D Y X P ∈}2,0{===Y X P
}2,1{}1,1{==+==+Y X P Y X P
30
193063012301=++= . 例2 某射手在射击中,每次击中
目标的概率为)10(<
次击中目标时所进行的射击次数, Y 表示第二次击中目标时所进行的射击次数,
试求二维随机变量),(Y X 的分布律.
解 设=k
A 第k 次射击时击中目标, 根据题意,p A P k
=)(,???=,2,1k , 且??????,,,,21k
A A A 相互独立, j
j i i i A A A A A A j Y i X 1111},{-+-??????===, 所以),(Y X 的分布律为
}
,{j Y i X P ==)()()()()()(1111j j i i i A P A P A P A P A P A P -+-??????=22)1(--=j p p ,
1,,2,1-???=j i ;???=,3,2j .
例 3 接连不断地掷一颗匀称
的骰子,直到出现点数大于2为止, 以X 表示掷骰子的次数.以Y 表示最后一次掷出的点数.求二维随机变量),(Y X 的分布律.
解 依题意知,X 的可能取值为???,3,2,1;Y 的可能取值为3,4,5,6 设=k
B 第k 次掷时出1点或2点,
=kj A 第k 次掷时出j 点, 则62)(=k
B P ,61)(=kj A P , S A A A A B k k k k k =++++6543,
===},{j Y i X “掷骰子i 次,最后一次掷出j 点,前)1(-i 次掷出1点或2点”
ij i A B B 11-???=,
(各次掷骰子出现的点数相互独立)
于是),(Y X 的分布律为
11)3
1(6161)62(},{--?=?===i i j Y i X P , ???=,2,1i ,6,5,4,3=j .
(例如
11)3
1(6161)62(}3,{--?=?===i j Y i X P )
三. 二维连续型随机变量
定义 4 设二维随机变量()Y X ,的分布函数为()y x F ,,若有非负可积函数()y x f ,,
使得对任意实数y x ,,
恒有()dudv v u f y x F y x
??∞-∞
-=,),( ??≤≤=y
v x u dudv v u f ),( ,
则称()Y X ,是二维连续型随机变量,称函数()y x f ,为连续型随机变量()Y X ,的概率密度, 或称为随机变量X 和Y 的联合概率密度.
()Y X ,的概率密度()y x f ,具
有下列基本性质:
(1) ()0,≥y x f , +∞<<∞-y x , ;
(2) ()1),(,=+∞+∞=??+∞∞-+∞
∞
-F dxdy y x f . 反之,可以证明,若二元函数()y x f ,满足上面两条基本性质,那么它一定是某个二维随机变量
()Y X ,的概率密度.
显然,如果概率密度()y x f ,在
点()y x ,处连续,则有
()y x f y x F ,2=??? . 利用概率密度计算概率
定理 设()Y X ,的概率密度为()y x f ,,则有
(1)??=≤<≤
dydx y x f d Y c b X a P ),(},{,
(2)设D 为平面上任一区域, ??=∈D
dxdy y x f D Y X P ),(}),{( .
例 3 设二维随机变量()Y X ,具有概率密度
???>≤≤=-其它,00,20,),(2y x ae y x f y
, (1)确定常数a ;
(2)求分布函数),(y x F ;
(3)求}{X Y P ≤
解(1)由概率密度的性质
()dy ae dx dxdy y x f y
????+∞-+∞∞-+∞∞-==0
220,1
a a e a y =?=-=∞
+-212|)21(20
2, 即得1=a ;
(2)()dudv v u f y x F y x
??∞-∞
-=,),( , (A )当0,20>≤≤y x 时,
dv e du y x F y v
x ??-=0
20),(
)1(2|)21(20
2y
y v e x e x ---=-= , (B )当0,2>>y x 时
dv e du y x F y v
??-=0
220),( )1(|)21(220
2y
y v e e ---=-=, (C )当0 对y v x u ≤≤,有0),(=v u f , ()0,),(==??∞-∞ -dudv v u f y x F y x 于是得所求分布函数 ???????>>->≤≤-=--其它,00,2),1(0,20),1(2),(22y x e y x e x y x F y y ; (3)设}|),{(x y y x D ≤=, }0,20|),{(1 x y x y x D ≤≤≤≤=, }),{(}{D Y X P X Y P ∈=≤ ??=D dxdy y x f ),(??=1 ),(D dxdy y x f dx e dy e dx x x y )1(21220 0220---==??? )21212(21|)21(21420 2-+=+=--e e x x )3(414 -+=e . 四. 常用的二维连续型随机变量有 下面两种: (1)均匀分布 若随机变量()Y X ,概率密度为 ()?????∈=其它 ,0),(,1,D y x A y x f , 其中A 为有界区域D 的面积.则称 ()Y X ,在区域D 上服从均匀分布. 记为())(~,D U Y X . (2)二维正态分布 若随机变量()Y X ,概率密度为 ),(y x f 221121 ρσπσ-= 211 2[)1(21exp{???? ??---?σ μρx 2 2112σμσμρ---y x ]}2 2 2??? ? ??-+σμy 其中ρσσμμ,,,,2121均为常数,且 +∞<<∞-1μ,+∞<<∞-2 μ 1||,0,021<>>ρσσ, 则称随机变量()Y X ,服从参数为ρσσμμ,,,,2 121的二维正态分布,记作 );,;,(~),(2 2 2211ρσμσμN Y X . 上述五个参数的意义将在第五章 中说明. 第二节 边沿分布函数 (或边缘分布函数) 概念:设随机变量()Y X ,的分布函数为),(y x F ,分量X 的分布函数记为)(x F X , 称)(x F X 为()Y X ,关于X 的边沿分布函数; 分量Y 的分布函数记为)(y F Y , 称)(y F Y 为()Y X ,关于Y 的边沿分布函数. 边沿分布函数的计算公式: },{}{)(+∞<≤=≤=Y x X P x X P x F X },{lim y Y x X P y ≤≤=+∞ → ),(lim y x F y +∞ →=),(+∞=x F , },{}{)(y Y X P y Y P y F Y ≤+∞<=≤= },{lim y Y x X P x ≤≤=+∞ →),(lim y x F x +∞→= ),(y F +∞=. 已知联合分布函数),(y x F ,可以计算出边沿分布函数)(),(y F x F Y X ;但 第二章 随机过程分析 1.1 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程,它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解:对应不同随机试验结果的时间过程的集合,随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程,则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ],随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在,则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2,把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在,则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1,t 2,…,t n ,把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5) =≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ,,,;,,,称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x ) () (2 - 6)?=???F x x t t t f x x x t t t x x x ,,,;,,,,,,;,,, 存在,则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程ξ (t )在任意给定时刻t 的取值ξ (t )是一个随机变量,其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =? 随机变量巩固练习―――重点:“函数的函数”相关运算 定理 1 设X 为连续型一维随机变量,其概率密度函数为()X f x ,则对于Y =g(X)的概率密度函数,有下列结果: (1)若g(x)是严格单调可微函数,则Y=g(X)的概率密度函数为 (())'(),()0, X Y f h y h y y I f y y I ?∈?=???? 其中h(y)是y=g(x)的反函数. (2)若g(x)不是严格单调可微函数,则将g(x)在其定义与上分成若干个单调分支,在每个单调分支上应用(1)的结果得Y=g(X)的概率密度函数为 1122(())'()(())'(),()0, X X Y f h y h y f h y h y y I f y y I ?++∈?=???? 其中I 是在每个单调分支上按照(1)确定的y 的取值公共部分。 练习1 设~[,],tan 22X U Y X ππ-=,试求Y 的概率密度函数()Y f y . 练习2 设 随机变量X 在(0,1)区间内服从均匀分布,试求 (1)X Y e =的概率密度函数 (2)2ln Y X =-的概率密度函数 随机过程巩固练习 1 设随机过程(),(0,),X t Vt b t b =+∈∞为常数,V 为服从正态分布N(0,1)的随机变量。求:X(t)的一维概率密度函数、均值和相关函数。 2 设随机变量Y 具有概率密度函数f(y),令 (),0,0Yt X t e t Y -=>> 求随机过程X(t)的一维概率密度函数、均值和相关函数。 3 设有随机过程()cos()sin()X t A wt B Wt = +,其中w 为常数,A ,B 是相互独立的且服从正态分布2(0,)N σ的随机变量。求随机过程的均值和相关函数。 4 已知随机过程X(t)的均值函数()X m t 和协方差函数12(,),()X B t t t ?为普通函数,令()()()Y t X t t ?=+,求随机过程Y(t)的均值和协方差函数。 5 设随机过程()cos()X t A wt =+Θ,其中,A w 为常数,随机变量Θ服从(,)ππ-上 的均匀分布。令2()()Y t X t = ,求(,)Y R t t s + 6 设X(t)为实随机变量,x 为任意实数,令 1,()()0,()X t x Y t X t x ≤?=?>? 证明随机过程 Y(t)的均值函数和相关函数分别是X(t)的一维和二维分布函数。 2.1 设)(t ξ是一马尔可夫过程,又设k n n n t t t t t ++<<<<<<ΛΛ121。试证明: )/(),,/(1/1,,/11++++++=n n t t k n n n t t t x x f x x x f n n k n n n ΛΛ 即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。 证明:首先,由条件概率的定义式得 ) ,,(),,,(),,/(1,,1,,,1,,/111k n n t t k n n n t t t k n n n t t t x x f x x x f x x x f k n n k n n n k n n n ++++++++++++= ΛΛΛΛΛΛ 根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开,并化简得 ) () ()/()()/()/() ()/()/()/(),,/(11/112/1/1/12/1/1,,/11112111211+++++-+++++-+++++++++-+++++-++++== n t n t n n t t n t n n t t k n k n t t n t n n t t n n t t k n k n t t k n n n t t t x f x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x f n n n n n n n k n k n n n n n n k n k n k n n n ΛΛΛΛ 于是, )/() (),(),,/(1/11,1,,/1111++++++++++== n n t t n t n n t t k n n n t t t x x f x f x x f x x x f n n n n n k n n n ΛΛ 2.2 试证明对于任何一个马尔可夫过程,如“现在”的)(t ξ值为已知,则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的,即如果有321t t t <<,其中2t 代表“现在”,1t 代表“过去”,3t 代表“将来”,若22)(x t =ξ为已知值。试证明: )/()/()/,(23/21/231/,2321231x x f x x f x x x f t t t t t t t = 证明:首先,由条件概率的定义式得 ) () ,,()/,(2321,,231/,2321231x f x x x f x x x f t t t t t t t = 然后,根据马尔可夫性将上式中的分子展开,并化简得 ) (),() /()() ()/()/()/,(221,23/2112/23/231/,22123211223231x f x x f x x f x f x f x x f x x f x x x f t t t t t t t t t t t t t t == 第 2 章 随机过程 2.1 引言 ?确定性信号是时间的确定函数,随机信号是时间的不确定函数。 ?通信中干扰是随机信号,通信中的有用信号也是随机信号。 ?描述随机信号的数学工具是随机过程,基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推广到 时间函数。 2.2 随机过程的统计特性 一.随机过程的数学定义: ?设随机试验E 的可能结果为)(t g ,试验的样本空间S 为{x 1(t), x 2(t), …, x n (t),…}, x i (t) 是第i 次试验的样本函数或实现,每次试验得到一个样本函数,所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程,记作)(t g 。 随机过程举例: 二.随机过程基本特征 其一,它是一个时间函数; 其二,在固定的某一观察时刻1t ,)(1t g 是随机变量。 随机过程具有随机变量和时间函数的特点。 ● 随机过程)(t g 在任一时刻都是随机变量; ● 随机过程)(t g 是大量样本函数的集合。 三.随机过程的统计描述 设)(t g 表示随机过程,在任意给定的时刻T t ∈1, )(1t g 是一个一维随机变量。 1.一维分布函数:随机变量)(t g 小于或等于某一数值x 的概率,即 })({);(1x t g P t x P ≤= 2.2.1 2.一维概率密度函数:一维概率分布函数对x 的导数. x t x P t x p ??= ) ;(),(11 2.2.2 3.对于任意两个时间1t 和2t ,随机过程的对应的抽样值)(1t g )(2t g 为两个随机变量.他们的联合分布定义为)(t g 的二维分布 })(;)({),;,(221121212x t g x t g P t t x x P ≤≤= 2.2.3 4.二维分布密度定义为 2 12121221212) ,;,(),;,(x x t t x x P t t x x p ???= 2.2.4 四.随机过程的一维数字特征 设随机过程)(t g 的一维概率密度函数为),(1t x p . 1.数学期望(Expectation) dx t x xp t g E t g );()]([)(1?∞ ∞ -==μ 2.2.5 2.方差(Variance) 第二章 一、填空题 1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为__、__、__、__四类. 2、__是随机过程{X(t),t∈T}在时刻t的平均值,__是随机过程在时刻t对均值m x(t)的偏离程度,而__和__则反映随机过程{X(t),t∈T}在时刻s和t 时的线性相关度. 3、若随机变量x服从(01)分布,即p k=p{x=k}=,k=0,1则其特征函数g(t)=__. 4、若随机变量X服从参数为的指数分布,则其特征函数g(t)=__. 5、若随机变量X服从退化分布,即p(X=c)=1,其中c为常数,则其特征函数g(t)=__. 二、计算题 1、已知Γ分布,X~Γ(α,β), 若 其中α,β>0,试求Γ分布的特征函数. 2、设随机变量X服从泊松分布,即p k=p(X=k)=,k=0,1,…,n,求其特征函数. 3、设随机过程X(t)=Y+Zt,t>0,其中Y,Z是相互独立的N(0,1)随机变量,求{ X(t),t>0}的一,二维概率密度族. 4、设随机过程:0),sin()cos( )(>+=t t Z t Y t X θθ,其中Y 、Z 是相互独立的随机变量,且EY=EZ=0,DY=DZ=δ2,求{X(t),t>0}的均值函数、协方差函数和方差函数. 5、设随机变量Y 具有概率密度f(y),令 )0,0(,)(>>=-Y t t X e Yt , 求随机过程X(t)的一维概率密度及EX(t),R x (t 1,t 2). 6、设随机过程Z t =,t 0,其中X 1,X 2,…,X n 是相互独立的,且服从 N(0, )的随机变量,ω1, ω2,…, ωn 是常数,求{Z t ,t }的均值函数m(t)和相关函 数R(s,t). 第二章 平稳过程 P103 2. 设随机过程()sin X t Ut =,其中U 是在[]02π,上均匀分布的随机变量。试证 (1)若t T ∈,而{}12T =,,,则(){}12X t t =,,, 是平稳过程; (2)若t T ∈,而[)0T =+∞,,则(){} 0X t t ≥,不是平稳过程。 证明: 由题意,U 的分布密度为:()1 0220u f u π π?<=???,,其它 数学期望()()[]sin X m t E X t E Ut ==???? ()()2220 00 1111 sin sin cos cos 212222ut du ut d ut ut t t t t π π ππππππ=?==-=--? ?. 相关函数()()()()()sin sin X X R R t t E X t X t E Ut U t ττττ=+=+=?+????????, ()()()220 0111sin sin cos 2cos 222ut u t du ut u u du π π τττππ??=?+? =?-+--?? ????? ?? ()()2220 00 1 1 11 cos 2cos sin 2sin 442u t u du u t u t π π π ττττππ ττ?? =- +-=-+-??? ???+??? ? ? ()()11 sin 22sin 2424t t πτπτπτπτ =- +++. (1)若t T ∈,而{}12T =,,时,()0X m t =,()X R τ只与τ有关,二者均与t 无关, 因此,(){}12X t t =,,, 是平稳过程。 (2)若t T ∈,而[)0T =+∞,时,()X m t 可能取到不是常数的值,所取到的值与t 有关, ()X R τ取到的值也与t 有关,因此,(){}0X t t ≥,不是平稳过程。 设)(t ξ是一马尔可夫过程,又设k n n n t t t t t ++<<<<<< 121。试证明: )/(),,/(1/1,,/11++++++=n n t t k n n n t t t x x f x x x f n n k n n n 即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。 证明:首先,由条件概率的定义式得 ) ,,(),,,(),,/(1,,1,,,1,,/111k n n t t k n n n t t t k n n n t t t x x f x x x f x x x f k n n k n n n k n n n ++++++++++++= 根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开,并化简得 ) () ()/()()/()/() ()/()/()/(),,/(11/112/1/1/12/1/1,,/11112111211+++++-+++++-+++++++++-+++++-++++== n t n t n n t t n t n n t t k n k n t t n t n n t t n n t t k n k n t t k n n n t t t x f x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x f n n n n n n n k n k n n n n n n k n k n k n n n 于是, )/() (),(),,/(1/11,1,,/1111++++++++++== n n t t n t n n t t k n n n t t t x x f x f x x f x x x f n n n n n k n n n 试证明对于任何一个马尔可夫过程,如“现在”的)(t ξ值为已知,则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的,即如果有321t t t <<,其中2t 代表“现在”,1t 代表“过去”,3t 代表“将来”,若22)(x t =ξ为已知值。试证明: )/()/()/,(23/21/231/,2321231x x f x x f x x x f t t t t t t t = 证明:首先,由条件概率的定义式得 ) () ,,()/,(2321,,231/,2321231x f x x x f x x x f t t t t t t t = 然后,根据马尔可夫性将上式中的分子展开,并化简得 ) (),() /()() ()/()/()/,(221,23/2112/23/231/,22123211223231x f x x f x x f x f x f x x f x x f x x x f t t t t t t t t t t t t t t == 2随机过程的基本概念 §2.1 基本概念 随机过程是指一族随机变量 . 对随机过程的统计分析称为随机过程论 , 它是随机数学中的一个重要分支,产生于本世纪的初期 . 其研究对象是随机现象 ,而它特别研究的是随“ 时间” 变化的“ 动态” 的随机现象 . 一随机过程的定义 1 定义设 E 为随机试验, S 为其样本空间,如果 (1对于每个参数 t ∈ T , X(e,t为建立在 S 上的随机变量, (2对每一个 e ∈ S , X(e,t为 t 的函数,那么称随机变量族 {X(e,t, t∈ T, e∈ S}为一个随机过程,简记为 {X(e,t, t∈ T}或 X(t。 ((((({} {} [](为随机序列。时,通常称 , 取可列集合当可以为无穷。 通常有三种形式: 参数一般表示时间或空间, 或有时也简写为一个轨道。 随机过程的一个实现或过程的样本函数,或称随机的一般函数,通常称为为对于 :上的二元单值函数。 为即若用映射来表示注意: t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X R S T t e X t 21321, , , , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, , 3, 2, 1, 0T , . 4, . 3, , 2, :, . 1=---==??×?′?′L L L 为一个随机过程。则令 掷一均匀硬币, 例 , ( (cos (}, {1 t e X t X R t T e t H e t t X T H S =??íì====p2 随机过程举例 例 2:用 X(t表示电话交换台在 (0, t 时间内接到的呼唤的次数 , 则 (1对于固定的时刻 t, X(t为随机变量 , 其样本空间为{0, 1, 2, …..}, 且对于不同的 t, 是不同的随机变量 . (2对于固定的样本点 n, X(t=n是一个 t 的函数 . (即:在多长时间内来 n 个人 ? 所以 {X(t,t>0}为一个随机过程 . 相位正弦波。为随机过程,称为随机则令例 (第2章 随机过程习题及答案
最新随机过程练习(第二章)
随机过程习题第2章
第二章 随机过程汇总
《随机过程》第二章题目与答案
随机过程作业题及参考答案(第二章)
随机过程习题第2章
第二章随机过程基本概念.