2021研究生入学考试考研数学试卷解析(一)
2021考研数学真题及答案解析(数一)
2021考研数学真题及答案解析数学（一）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）（1）函数1,0()1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，在x =0处（A ）连续且取极大值. （B ）连续且取极小值. （C ）可导且导数为0. （D ）可导且导数不为0.【答案】D .【解析】因为001lim ()lim 1(0)x x x e f x f x→→-===，故()f x 在x =0处连续;因为200011()(0)11lim lim lim 002x x x x x e f x f e x x x x x →→→-----===--，故1(0)2f '=，正确答案为D . （2）设函数(,)f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df = （A ）dx+dy . （B ）dx -dy . （C ） dy . （D ）-dy ，【答案】C .【解析】两边同时关于x 求导得212(1,)(1,)(1)2(1)x x x f x e e f x e x x x ''+++=+++ ① 2212(,)2(,)4ln 2f x x xf x x x x x ''+=+ ②分别将01,01x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩带入①②式有 1212(1,1)(1,1)1,(1,1)2(1,1)2f f f f ''''+=+=联立可得1(1,1)0f '=，2(1,1)1f '=，12(1,1)(1,1)(1,1)df f dx f dy dy ''=+=，故正确答案为C .（3）设函数()2sin 1xf x x =+在0x =处的3次泰勒多项式为23ax bx cx ++，则 （A ）71,0,6a b c ===- （B ）71,0,6a b c ===（C ）71,1,6a b c =-=-=- （D ）71,1,6a b c =-=-=【答案】A .【解析】根据麦克劳林公式有3323332sin 7()()1()()166x x f x x o x x o x x x o x x ⎡⎤⎡⎤==-+⋅-+=-+⎢⎥⎣⎦+⎣⎦故71,0,6a b c ===-，本题选A .（4）设函数()f x 在区间[]0,1上连续，则()10f x dx =⎰（A ）1211lim 22nn k k f n n ∞→=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. （B ）1211lim 2nn k k f n n ∞→=-⎛⎫⎪⎝⎭∑. （C ） 2111lim 2nn k k f n n∞→=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. （D ）21lim 22n n k k f n n∞→=⎛⎫⋅⎪⎝⎭∑. 【答案】B .【解析】由定积分的定义知，将(0,1)分成n 份，取中间点的函数值，则()11211lim 2nn k f k f n x dx n ∞→=-⎛⎫ ⎝=⎪⎭⎰∑，即选B . （5）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为 （A ）2，0. （B ）1，1. （C ）2，1. （D ）1，2.【答案】B .【解析】22221231223312122313(,,)()()()2222f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++--=+++ 所以011121110A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故特征多项式为 11||121(1)(3)11E A λλλλλλ---=---=+---令上式等于零，故特征值为-1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B .（6）已知1231130,2,1112ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，记11221331122,,k l l βαβαββαββ==-=--，若123,,βββ两两正交，则12,l l 依次为（A ）51,22（B ）51,22-（C ）51,22-（D ）51,22--【答案】A .【解析】利用斯密特正交化方法知()()21221110,2,0αββαβββ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 313233121122()()(),,),,(αβαββαββββββ=--， 故3132121122,,51,()()()2)2(,,l l αβαβββββ====，故选A . （7）设A ，B 为n 阶实矩阵，下列不成立的是 （A ）2()T A O r r A O A A ⎛⎫=⎪⎝⎭ （B ）2()T AAB r r A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭ （C ）2()T A BA r r A OAA ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）2()TA O r r A BAA ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】C .【解析】（A ）()()2()TTAO r r A r A A r A OA A ⎛⎫=+=⎪⎝⎭.故A 正确. （B ）AB 的列向量可由A 的列线性表示，故()()2()0T T T A AB AO r r r A r A r A OA A ⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （C ）BA 的列向量不一定能由A 的列线性表示. 举例1201=,0010A B ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1200001200500000T ABA r OAA ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，=32()=2TA BA r r A O AA ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭.（D ）BA 的行向量可由A 的行线性表示，()()2()0T T T AO AO r r r A r A r A BAA A ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 本题正确选项 （C ）.（8）设A ，B 为随机事件，且0()1P B <<，下列命题中不成立的是（A ）若(|)()P A B P A =，则(|)()P A B P A = （B ）若(|)()P A B P A >，则(|)()P A B P A > （C ）若(|)(|)P A B P A B >，则(|)()P A B P A > （D ）若(|)(|)P A A B P A A B >，则()()P A P B > 【答案】D . 【解析】(())()(|)()()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB ==+- (())()()()(|)()()()()()P A A B P AB P B P AB P A AB P A B P A B P A P B P AB -===+-因为(|)(|)P A A B P A A B >，固有()()()P A P B P AB >-，故正确答案为D . （9）设1122(,),(,),,(,)n n X Y X Y X Y 为来自总体221212(,;,;)N μμσσρ的简单随机样本，令121111,,ˆ,n ni i i i X X Y Y X Y n n θμμθ===-===-∑∑则 （A ）ˆθ是θ的无偏估计2212ˆ()D nσσθ+=，（B ）ˆθ不是θ的无偏估计2212ˆ()D nσσθ+=（C ）ˆθ是θ的无偏估计，2212122()ˆD n σσρσσθ+-=（D ）ˆθ不是θ的无偏估计，2212122()ˆD nσσρσσθ+-=【答案】C .【解析】因为X ，Y 是二维正态分布，所以X 与Y 也服从二维正态分布， 则X Y -也服从二维正态分布，即12()()()()ˆE E X Y E X E Y θμμθ=-=-=-=2212122()()()()co ˆv(,)D D X Y D X D Y X Y nσσρσσθ+-=-=+-=，故正确答案为C .（10）设1216,,X X X ⋯是来自总体(,4)N μ的简单随机样本，考虑假设检验问题：01:10,:10.Φ()H H x μμ≤>表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为{11}W X =≥，其中161116i i X X ==∑，则11.5μ=时，该检验犯第二类错误的概率为（A ）1Φ(0.5)- （B ）1Φ(1)- （C ）1Φ(1.5)- （D ）1Φ(2)-【答案】B .【解析】所求概率为1{11}(11.5,)4P X X N <~，11.51111.5{11}1Φ(1)1122X P X P ⎧⎫⎪⎪--<=≤=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭故本题选 B .二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.） （11）0222dxx x +∞=++⎰_______________. 【答案】4π 【解析】00022arctan(1)|22(1)1244dx dx x x x x ∞πππ+∞++∞==+=-=++++⎰⎰ （12）设函数()y y x =由参数方程2214(1)tt x e t y t e t=⎧++=-+⎪⎨⎪⎩确定，则202|t d y dx ==__________. 【答案】23.【解析】由4221t t dy te tdx e +=+，得223(442)(21)(42)2(21)t t t t t t d y e te e te t e dx e +++-+=+，将t =0带入得2022|3t d y dx ==. （13）欧拉方程240x y xy y '''+-=满足条件(1)1,(1)2y y '==得解为y=____________. 【答案】2x【解析】令tx e =，则222,dy d y dy xy x y dt dx dx ==-'''，原方程化为2240d yy dx-=，特征方程为240λ-=，特征根为122,2λλ==-，通解为22221212t t y C e C e C x C x --=+=+，将初始条件(1)1,(1)2y y '==带入得121,0C C ==， 故满足初始条件的解为2y x =.（14）设∑为空间区域22{(,,)|44,02}x y z x y z +≤≤≤表面的外侧，则曲面积分22x dydz y dzdx zdxdy ∑++=⎰⎰_____________. 【答案】4π.【解析】由高斯公式得22x dydz y dzdx zdxdy∑++⎰⎰()202214Dx y dV dz dxdy πΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.（15）设ij A a =为3阶矩阵，ij A 为代数余子式，若A 的每行元素之和均2，且3A =，112131A A A ++=____________.【答案】32.【解析1】（伴随矩阵）111121,,2,1111A A αλαλα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则A *的特征值为Aλ，对应的特征向量为11,1A A αααλ*⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭而112131122232132333A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，11213112223213233311||1111A A A A A A A A A A A λ*++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11213132A A A ++= 【解析2】（行列式展开性质）由于A 的每行元素之和均2，考虑把第二列，第三列都加到第一列，提出第一列公因式可得121312132223222311121332333233212=21=2()321a a a a A a a a a A A A a a a a =++=故11213132A A A ++=.（16）甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X ，Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X 与Y 的相关系数_____________. 【答案】15.【解答】联合分布率(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)0101(,),311311111055102222X Y X Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪~~~ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111ov ,,,?2044C X Y DX DY === 即15XY ρ=. 三、解答题（本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （17）（本题满分10分）求极限20011lim 1sin x t x x e dt e x →⎛⎫+ ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎰. 【答案】12.【解析1】2200001sin +sin 11lim lim 1sin (1)sin x x t t x x x x x e dt x x e dt e e x e x →→⎛⎫+-+ ⎪-= ⎪-- ⎪⎝⎭⎰⎰ 又因为2223301(1())()3xxt e dt t o t dt x x o x =++=++⎰⎰，故原式3333222111(())(1())()3!3!2limx x x o x x x o x x x o x x→-++++--+= 22201()12lim 2x x o x x →+==【解析2】2200000sin 11lim lim lim 1sin 1sin (1)1x x t t x x x x x x x e dt e dt e x x e x e e →→→⎛⎫+ ⎪-=+ ⎪--- ⎪⎝+⎭-⎰⎰ 220000lim lim 1li sin 1cos sin m 211lim 22x x x x x x x xx x e x e x e e e x x→→→→-+-=--+=+=+= （18）（本题满分12分） 设11()(1,2,)(1)nxn n u x ex n n n -+=+=⋯+，求级数1()n n u x ∞=∑的收敛域及和函数. 【答案】()(1)ln(1),(0,1)1,11xxe x x x x e e x S e x --+--+⎧⎪⎪=⎨∈-=-⎪⎪⎩【解析】设11(),nx n S x e ∞-==∑1211()(1)n i S x x n n ∞+==+∑11(),nx n S x e ∞-==∑收敛域01xe-<<，即0x >1211()(1)n i S x x n n ∞+==+∑，收敛域11x -≤≤. 故1()n n u x ∞=∑的收敛域为(0,1].11(),1x nxxn e S x ee ∞---===-∑ 11121111()ln(1)[ln(1)](1)1n n n i n n x x S x x x x x x n n n n ∞∞∞+++=====-=------++∑∑∑(1)ln(1),(0,1)x x x x =--+∈又221(1)lim ()1x S S x -→==故1()n n u x ∞=∑的和函数为()(1)ln(1),(0,1)1,11xxe x x x x e e x S e x --+--+⎧⎪⎪=⎨∈-=-⎪⎪⎩（19）（本题满分12分）已知曲线222642:30x y z x y z C +-=++=⎧⎨⎩，求C 上的点到xoy 坐标面距离的最大值.【答案】66【解析】设拉格朗日函数222(,,,,)(26)(4230)L x y z z x y z x y z λμλμ=++--+++-2224042020264230xy z L x u L y u L z u x y z x y z λλλ'=+='=+='=-+⎧⎪⎪⎪⎨=+-=++=⎪⎪⎪⎩ 由0x y L L ''==解得==0λμ或4x y =，当==0λμ时0z =舍去；当4x y =时解得：(4,1,12)，(8,2,66)-- C 上的点(8,2,66)--到xoy 面距离最大为66. （20）（本题满分12分）设2D R ⊂是有界单连通闭区域，22()(4)DI D x y dxdy =--⎰⎰取得最大值的积分区域记为1D（1）求()1I D 的值. （2）计算222214422()(4)4xy xy D xe y dx ye x dyx y ∂++++-+⎰，其中1D ∂是1D 的正向边界.【答案】π-.【解析】（1）由二重积分的几何意义知：22()(4)DI D x y d σ=--⎰⎰，当且仅当224x y --在D 上大于0时，()I D 达到最大，故221:4D x y +≤且222100()(4)8I D d r rdr πθπ=-=⎰⎰. （2）设2222:4D x y r +=（r 很小）取2D 的方向为顺时针方向， （本题也可以设222:14D x y +=将计算将更简洁）设22224422224,44x y x y xe y ye x P Q x y x y +++-==++，得P Qy x∂∂=∂∂222214422()(4)4xy xy D xe y dx ye x dyx y ∂++++-+⎰2222222212244442222()(4)()(4)44xy xy xy xy D D D xe y dx ye x dyxe y dx ye x dyx y x y ∂∂∂+++++++-++-=-++⎰⎰22222211142r DD D e xdx ydy ydx xdy d r r r ∂∂σπ=-+--=-=-⎰⎰⎰⎰（21）（本题满分12分）已知111111a A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（1）求正交矩阵P ，使得T P AP 为对角矩阵； （2）求正定矩阵C ，使得2(3)C a E A =+-【答案】（1）0P ⎛ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；（2）51135113315133C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭ 【解析】（1）由211||11(1)(2)011aE A a a a aλλλλλλ---=--=-+--=- 得1232,1a a λλλ=+==- 当12a λ=+时211101((2))121011112000a E A r -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的特征向量为1111α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，当231a λλ==-所111111((1))111000111000a E A r ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的特征向量为23111,102αα-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令312123(,,)0P αααααα⎛ ==⎝，则2Λ11Ta P AP a a +⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭， （2）()21(3)(3)44T T P C P P a E A P a E ⎛⎫ ⎪=+-=+-Λ= ⎪ ⎪⎝⎭144122T T TP CPP CP P CP ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⇒=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故511333115123332115333T C P P ⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭. （22）（本题满分12分）在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X ，较长的一段长度记为Y ，令Y Z X=（1）求X 的概率密度；（2）求Z 的概率密度.（3）求Y E X⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【答案】（1）1,010x ⎨<⎧<⎩,其他；（2）22,1(1)()(())0Z Z z z f z F z ⎧≥⎪+==⎪⎩'⎨,其他.（3）12ln2-+. 【解析】（1）设()F x 为X 的分布函数，T 为区间(0,2)上的随机取点T 服从(0,2)上的均匀分布，1,02()20,T t f t ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,012,T T X T <≤⎧=⎨-⎩其他当0x ≤时，(){}0X F x p X x =≤=当01x <<时，(){}{}{2}X F x p X x p T x p T x =≤=<+-< 202112222xx x x dt dt x -=+=+=⎰⎰当1x ≥时，(){}1X F x p X x =≤=则有0,0(),011,1X x F x x x x ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩， 故X 的概率密度1,01()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其他（2）由2Y X =-，即2X Z X-=，先求Z 的分布函数： 22(){}1Z X F z P Z z P z P z X X -⎧⎫⎧⎫=≤=≤=-≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭当1z <时，()0Z F z =；当1z ≥时，210222()1111111z Z F z P z P X dx X z z +⎧⎫⎧⎫=-≤=-≤=-=-⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭⎰ 22,1(1)()(())0Z Z z z f z F z ⎧≥⎪+==⎪⎩'⎨,其他解2：公式法，由2Y x =-，即2XZ X -=，即21X Z =+，22x Z x '=- 222,122(1)()()1(1)0Z X z z f z f z z ⎧≥⎪+=⋅-=⎨++⎪⎩,其他（3）10112ln 222X XxE E dx Y X x ⎛⎫⎛⎫==⋅=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰.。
2021 研究生入学考试数学试题+解析(数学一)
解得 (x, y, z) (4,1,12) 或者 (x, y, z) (8, 2, 66) （10 分）
f (4,1,12) 122 ， f (8,2,66) 662
因此距离的最大值为 66 （12 分）
6
（20）
（1）根据题意，易知 D1 x2 y2 4
4 x2 y2dxdy
三、解答题：17～22 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．请将答案写在答．题．纸．指定位置上．
17. （本题满分 10 分）
求极限
lim
x0
1
e
ex t2
0
x 1
dt
1 sin
x
18. （本题满分 12 分）
设
(x)
enx
xn1 n(n 1)
(n
1,
2,...)
，求级数
x 0 时， un (x) 1，级数发散
n1
n1
1
x 1时，
，级数收敛
n1 n(n 1)
所以级数的收敛域为 (0,1].（4 分）
5
（2） S1(x)
n1
vn (x)
enx
n1
lim
n
ex[1 enx ] 1 ex
ex 1 ex
(x
0) （6
分）
S2(x)
n1
wn (x)
n1
0
1
1 0 1
1
(a
2)E
A
0
1
1
，解得 3
1
（4
分）
0 0 0
1
1
1
将1,2 进行施密特正交化可得 1
1 0
2021考研数学一真题带详细答案解析[网络版本]
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2021考研数学一真题带详细答案解析[网络版本]2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、多项选择题：1-8个子题，每个子题4分，总共32分如果以下每个问题中给出的四个选项中只有一个符合问题的要求，请在答题纸（1）的指定位置填写所选选项前面的字母，让函数f（x）处于，内部连续性，其中二阶导数f？？（x）图中显示了的曲线，然后是曲线y？F（x）的拐点数为（）(a)0(b)1(c)2(d)3（2）把你放在一边？12x1e？（x？）Ex是二阶常系数非齐次线性微分方程23y是吗？？通过然后是CEX的一个特殊解决方案()（a） a？？3，b？2，c？？1（b）a？3，b？2，c？？1（c）a？？3，b？2，c？1（d）a？3，b？2，c？一(3)若级数一1.N条件收敛，那么x？3和X？3是幂级数na(x1)nn1n的()(a)收敛点，收敛点(b)收敛点，发散点(c)发散点，收敛点(d)发散点，发散点（4）设d为曲线2XY的第一象限？1,4xy？1和直线y？x、是吗？被3x包围的平面区域，函数f？x、是吗？在D上连续，然后（）1Fx、是吗？dxdy？d?(a)D341sin2？12sin2？Frcos？，rsin？？rdr(b)D341sin2？12sin2？1平方米？12sin2？Frcos？，rsin？？rdrf？rcos？，rsin？？博士(c)D34? （d）d341sin2?12sin2?f?rcos?,rsindr1.111 （5）让matrix A？12a，b？？D如果集合是空的1,2?，然后是线性方程组14a2??d2??ax?b有无穷多解的充分必要条件为()(a)(b)(c)(d)A.DA.DA.DA.D222(6)设二次型f?x1,x2,x3?在正交变换为x?py下的标准形为2y1，?y2?y3其中p??e1,e2,e3?，若q??e1,?e3,e2?，则f?x1,x2,x3?在正交变换x?qy下的标准形为()222（a）2y1？y2？y3222（b）2y1？y2？y3222（c）2y1？y2？y3222（d）2y1？y2？y3(7)若a,b为任意两个随机事件，则()（a） p？ab？？PA.PB（b） p？ab？？PA.PBp?a?p?b?p?a?p?b?(c)p?ab??(d)p?ab??二百二十二(8)设随机变量x,y不相关，且ex?2,ey?1,dx?3，则e??x?x?y?2()（a） ?？3（b）3（c）？5（d）5二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.．．．(9)lim(10)（11）如果函数Z？Z（x，y）由方程ex确定？xyz？十、Coxx？2.如果是，DZ(12)设?是由平面x?y?z?1与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则（0,1）lncosx？_________________。
2021年全国硕士研究生招生考试数学一试题及答案
2021年全国硕士研究生招生考试数学一试题及答案一、选择题:110小题,每小题5分,共50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 函数1,0()1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处 ( )(A) 连续且取得极大值. (B) 连续且取得极小值.(C) 可导且导数等于零. (D) 可导且导数不为零. 【答案】(D)【解析】因为()20000111110lim lim lim =lim 222x x x x x x x e e x e x x f x x x x →→→→-----'====，所以函数()f x 在0x =可导且导数不等于0，故选(D).(2) 设函数(,)f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df = ( )(A) dx dy +. (B) .dx dy - (C) dy .(D) dy -.【答案】(C)【解析】方程()()21,1xf x ex x +=+两边对x 求导得：()()()()2121,1,121x x x f x e f x e e x x x ''+++=+++. ①将0x =代入①得 ()()121,11,11f f ''+=. ② 方程()22,2ln f x x x x =两边对x 求导得：()()222121,,24ln 2f x x f x x x x x x x''+⋅=+⋅. ③将1x =代入③得 ()()121,11,122f f ''+⋅=. ④ 联立②④解得：()11,10f '=,()21,11f '=，故选(C).(3) 设函数2sin ()1x f x x=+在0x =处的3次泰勒多项式为23ax bx cx ++，则 ( )(A) 71,0,6a b c ===-. (B) 71,0,6a b c ===.(C) 71,1,6a b c =-=-=-. (D) 71,1,6a b c =-=-=.【答案】(A) 【解析】由()331sin 6x x x x ο=-+，()2442111x x x xο=-+++，则()332sin 716x x x x xο=-++，所以71,0,6a b c ===-.故选(A).(4) 设函数()f x 在区间[0,1]上连续，则1()f x dx =⎰( )(A) 1211lim()22nn k k f n n →∞=-∑. (B) 1211lim ()2nn k k f n n →∞=-∑. (C) 2111lim()2nn k k f n n →∞=-∑. (D) 212lim ()2nn k k f n n →∞=∑.【答案】(B)【解析】由定积分定义()1011lim nn k k f x dx f n n →∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰，这里将区间[]0,1分为n 等份，即10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦…1,k k n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦…1,1n n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 特殊点依次取区间中点1212,(1,,)2k k k n n n --==⋅⋅⋅， 故()101211lim 2nn k k f x dx f n n →∞=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰. (5) 二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为( )(A) 2,0.(B) 1,1.(C) 2.1.(D) 1,2.【答案】（B ）【解析】二次型矩阵为011121110A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭,11101||1211211111A E λλλλλλλλ---+-=-=---101(1)121(1)(3)011λλλλλλ-=+-=-+-=-. 所以A 的特征值为：0,1,3-，所以正负惯性指数为1,1.答案为（B ）.(6) 已知1231130,2,1112ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，记11βα=,221k βαβ=-,331122l l βαββ=--，若123,,βββ两两正交，则12,l l 依次为 ( )(A)51,22. (B) 51,22-. (C)51,22-. (D) 51,22--. 【答案】（A ）【解析】由施密特正交法：11βα=，21221110(,)2(,)0αββαβββ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭，313233121122(,)(,)(,)(,)αβαββαββββββ=--所以31111(,)5(,)2l αβββ==，32222(,)1(,)2l αβββ==.所以选（A ） (7) 设,A B 为n 阶实矩阵，下列结论不成立的是（ ）(A) ()2TA O r r A O A A ⎛⎫=⎪⎝⎭(B) ()2T A AB r r A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭(C) ()2T A BA r r A OAA ⎛⎫=⎪⎝⎭(D) ()2T A O r r A BAA ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】（C ）【解析】（C ）选项，因为()(),(),()TT A BA r r A BA r AA r A BA r A O AA ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，且(),(,)A BA E B A =,所以(),()r A BA r A ≥.所以2()T ABA r r A O AA ⎛⎫≥⎪⎝⎭. (8) 设,A B 为随机事件，且()01,P B << 下列命题中为假命题的是（ ）(A) 若()(),P A B P A = 则()()P A B P A = (B) 若()(),P A B P A > 则()()P A B P A > (C) 若()(),P A B P A B > 则()()P A B P A > (D) 若()(),P A A B P A AB > 则()()P A P B >【答案】(D)【解析】()(),P A B P A A B =⇒相互独立，所以()()P A B P A =，故（A ）正确；()()P A B P A >中对任意满足题设条件的随机事件均成立，而,A B 也满足条件，所以()()P A B P A >，故（B ）正确； ()()()()()()()()()()1()()P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->⇒>=⇒>- ()()()()()P AB P A P A B P A P B ⇒>⇒>，故（C ）正确；(())(())()()()()()()P A A B P A A B P A A B P A A B P A P AB P A B P A B >⇒>⇒>，故（D ）不正确，选（D ）. (9) 设()()()1122,,,,,,n n X Y X Y X Y 为来自总体()221212,;,;N μμσσρ的简单随机样本.令121111,,,,n ni i i i X X Y Y X Y n n θμμθ===-===-∑∑ 则（ ）(A) θ是θ的无偏估计，()2212D nσσθ+=(B) θ不是θ的无偏估计，()2212D nσσθ+=(C) θ是θ的无偏估计，()2212122D nσσρσσθ+-=(D) θ不是θ的无偏估计，()2212122D nσσρσσθ+-=【答案】(C)【解析】12ˆ()()()E E X E Y θμμθ=-=-=，所以ˆθ是θ的无偏估计； 2212212ˆ()()()2cov(,)cov(,)niii D D X D Y X Y X Y n n σσθ=+=+-=-∑2222121212122122ni nnnσσσσρσσρσσ=++-=-=∑，故选（C ）.(10) 设1216,,,X X X 是来自总体(),4N μ的简单随机样本，考虑假设检验问题：01:10,:10.H H μμ≤> ()x Φ表示标准正态分布函数.若该检验问题的拒绝域为{}11,W X => 其中161116i i X X ==∑，则11.5μ= 时，该检验犯第二类错误的概率为 （ ）(A) ()10.5-Φ (B) ()11-Φ (C) ()1 1.5-Φ(D) ()12-Φ【答案】(B)【解析】检验犯第二类错误的概率为{11}P X ≤.由题可知1~(,)4X N μ，所以11.5{11}{1}1(1)1/2X P X P -≤=≤-=-Φ，选（B ）.二、填空题：1116小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (11)222dxx x +∞=++⎰__________. 【答案】4π【解析】2022dxx x +∞=++⎰()211dxx +∞=++⎰()0arctan 1x +∞+24ππ=-4π=.(12) 设函数()y y x =由参数方程()22141tt x e t y t e t⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩确定，则22t d y dx ==______.【答案】23【解析】dy dy dt dx dt dx =⋅()441221t t t e t e t e +-+=+422,21t t te t t e +==+ ()22212,2121t t dy d d t d y dt dx dx dt dx dt e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅==++ 222.3t d y dx ==(13) 欧拉方程2x y xy y "+'-4=0满足条件()1=1y ，()1=2y '的解为y =_______.【答案】2y x =【解析】作变换tx e =,故()()()ty t y x e xy x '='=',()()()()()y t x t y x xy x x t "=''+"'()()2xy x x y x ='+"()()2y t x y x ='+"则原方程可化为：()()()()40y t y t y t y t "-'+'-=,即()()40y t y t "-=.其特征方程为240λ-=，特征根为12λ=,22λ=-,则该方程的通解222121221tty C e C eC x C x -=+=+,又()1=1y ，()1=2y ', 故11C =,20C =.于是2y x =.(14) 设∑为空间区域{}22(,,)44,02x y z x y z +≤≤≤表面的外侧，则曲面积分22x dydz y dzdx zdxdy ∑++=⎰⎰__________【答案】π4【解析】利用高斯公式可得：22(221).x dydz y dzdx zdxdy x y dv ∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰（其中Ω为Σ围成的封闭区域）由于图形关于xoz 平面对称，所以20.ydv Ω=⎰⎰⎰同理：图形关于yoz 平面对称，则.02=⎰⎰⎰Ωxdv则2222222444424.x y x y x dydz y dzdx zdxdy dv dxdy dz dxdy πΩ+≤+≤++====∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(15) 设()ij A a =为3阶矩阵，ij A 为元素ij a 的代数余子式，若A 的每行元素之和均为2，且3A =，则112131A A A ++=__________ 【答案】32. 【解析】因为A 的每行元素之和为2，所以1112111A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1112111A A A **⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 111||311122111A A *⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故A *的每行元素之和为32.(16) 甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令,X Y 分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数，则X 与Y 的相关系数为______________. 【答案】15. 【解析】由题可知，X 与Y 的联合概率分布与边缘概率分布如下表所示YX0 1i p ⋅0 0.3 0.2 0.5 10.2 0.3 0.5j p ⋅0.50.51所以()0.3E XY =，()()0.5E X E Y ==，()()0.25D X D Y ==.故X 与Y 的相关系数为0.30.2510.255ρ-==.三、解答题：1722小题,共70分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) (本题满分10分)求极限20011lim 1sin x t x x e dt e x →⎛⎫+ ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎰ 【解析】原式2220sin (1)(1)sin (1)(1)limlimsin (1)xxt x t x xx x x e dt e x e dt e x e x→→+--+--==⋅-⎰⎰2222cos (1)sin cos 1cos sin 1limlim22xx t x xt x xx x x e dt x e ex x e dt x e e x x→→++⋅--++⋅+-==⎰⎰2200000cos cos 1sin 11111lim lim lim lim 022222222xt x x x x x x x e dtx x ee xxxx →→→→-⋅-=+++=++-=⎰. (18) (本题满分12分)设()()()11,2,1n nxn x u x en n n +-=+=+，求级数()1n n u x ∞=∑的收敛域及和函数.【解析】设112111()()()()(1)n nxnn n n x S x ux eS x S x n n +∞∞∞-=====+=++∑∑∑， 当1xe-<时，则0x >，此时1()S x 收敛，且11()1xnxxn e S x ee-∞--===-∑，0x >. 121()(1)n n x S x n n +∞==+∑，由21(1)(2)lim 1(1)n n n x n n x x n n ++→∞++=<+，得收敛区间为(1,1)-， 在1x =±时，当n →∞时，()1211(1)n n n n +±+，且211n n ∞=∑收敛，故()111(1)n n n n +∞=±+∑收敛， 故2()S x 的收敛域为[]1,1-，故原级数的收敛域为(]0,1.21()=n n xS x n∞='∑，1211()=1n n S x x x ∞-=''=-∑， 222001()()(0)ln(1)1xxS x S t dt S dt x t ''''=+==---⎰⎰，2220()()(0)ln(1)(1)ln(1)xxS x S t dt S t dt x x x '=+=--=--+⎰⎰，()0,1x ∈，当1x =时，211111(1)[]1(1)(1)n n S n n nn ∞∞====-=++∑∑， 故12()()()(1)ln(1)1xxe S x S x S x x x x e--=+=+--+-，()0,1x ∈， 11211(1)(1)(1)1111nn e eS S S ee e -∞--==+=+=+=--∑， 综上所述：(1)ln(1),(0,1)1(),11xxe x x x x e S x e x e --⎧+--+∈⎪⎪-=⎨⎪=⎪-⎩(19) (本题满分12分)已知曲线2226,:4230,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上的点到xoy 坐标面距离的最大值.【解析】取C 上点(),,x y z ，到xOy 坐标面距离为z ，目标函数为()2,,f x y z z =,构造拉格朗日函数()222,,,,(26)(4230)F x y z z x y z x y z λμλμ=++--+++-.22240(1)420(2)20(3)260(4)42300(5)xy z F x F y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ⎧'=+=⎪⎪'=+=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+--=⎪⎪'=++-=⎪⎩ 1(1)(2):(4)02x y λ⨯--=. 若0λ=，则0μ=，代入（3）可得0z =，代入（4）（5）2226042300F x y F x y λμ⎧'=+-=⎪⎨'=+-=⎪⎩，此方程无解.若0λ≠，则4x y =，代入（4）（5）2216260162300F y y z F y y z λμ⎧'=+--=⎪⎨'=++-=⎪⎩.可解得4112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或8266x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.()()224,1,1212,8,2,6666f f =--=.故曲线上的点到xOy 坐标面最大距离为66. (20) (本题满分12分)设2D R ⊂是有界单连通闭区域，22()(4)DI D x y dxdy =--⎰⎰取得最大值的积分区域记为1D .(I) 求1()I D 的值； (II) 计算222214422()(4)4xy xy D xe y dx ye x dyx y ++∂++-+⎰，其中D ∂是1D 的正向边界.【解析】(I)要使22()(4)DI D x y dxxdy =--⎰⎰最大，则D 应该包含所有使得被积函数22(,)40f x y x y =--≥并且D 中不能包含使得22(,)40f x y x y =--<的区域，故221{(,)|4}D x y x y =+≤，从而11122221()(4)41()D D D I D x y dxdy dxdy x y dxdy =--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2230161688d r dr ππθπππ=-=-=⎰⎰.(II) 由于22224224222(81)(4)(4)2(4)xy xy Q P xye x y ye x xx yx y ++∂∂-+---=∂∂+22224224222(81)(4)()8(4)xy xy xye x y xe y yx y ++++-+-+0=.且(,),(,)Q x y P x y 在1D ∂围成的区域上1D 上有奇点，所以要补线222:4,0L x y εε+=>足够小，取顺时针方向，且L 围成的区域为D ''，则(,),(,)Q x y P x y 在1D ∂与L 围成的区域D '上满足格林公式的条件，于是11(,)(,)(,)(,)(,)(,)D D LLP x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ∂∂++=+-+⎰⎰⎰()(,)(,)D L Q Pdxdy P x y dx Q x y dy x y -'∂∂=-++∂∂⎰⎰⎰ 22210()(4)D L dxdy xey dx ye x dy εεε-'=+++-⎰⎰⎰2211(11)2D D dxdy dxdy πεε''''=--=-=-⎰⎰⎰⎰.(21) (本题满分12分)设矩阵111111a A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭， (I) 求正交矩阵P ，使TP AP 为对角矩阵；(II) 求正定矩阵C ，使2(3)C a E A =+-，其中E 为3阶单位矩阵.【解析】(I) 因为11||=11(1)(2)(1)011a A E a a a a a λλλλλλλ-----=--+---=---， 所以A 的特征值为121a λλ==-，32a λ=+，当121a λλ==-时，[(1)]0A a E x --=，111111(1)=111000111000A a E --⎛⎫⎛⎫⎪⎪---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭121a λλ==-所对应的两个无关特征向量为：1110α-⎫⎛⎪ =⎪⎪⎝⎭，2101α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.当32a λ=+时，[(2)]0A a E x -+=，211101(2)=121011112000A a E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-+--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭32a λ=+所对应的两个无关特征向量为：3111α-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.对12,αα正交化，11110βα-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，21221111(,)11(,)22αββαβββ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 对123,,ββα单位化111110e ββ-⎛⎫⎪==⎪⎪⎭，222112e ββ⎛⎫⎪==⎪⎪⎭，333111e αα-⎫⎛⎪==-⎪⎪⎭则123(,,)0P e e e ⎛--==-⎪⎪⎝⎭，112a a a -⎛⎫⎪Λ=- ⎪ ⎪+⎝⎭.T P AP =Λ(II) 因为()2(3)(3)(3)TTTC a E A a PP P P P a E P =+-=+-Λ=+-Λ422422111T T TP P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以251112=15131115T C P P -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (22) (本题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为X ，较长一段的长度记为Y ，令Y Z X=. (I) 求X 的概率密度； (II) 求Z 的概率密度； (III) 求X E Y ⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】(I)2+=X Y ,且<X Y ，由题意：~(0,1)X U . 所以X 的概率密度：1,01()0,<<⎧=⎨⎩x x f x 其他.(II)2X Y +=，则2Y X =-,于是2Y X Z X X-==. {}2()-⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭Z X F z P Z z P z X ,①1<z ，()0=Z F z ; ②1z ≥，222()111Z X F z P z P X X z z -⎧⎫⎧⎫=≤=≥=-⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭;综上所述01()2111Z z F z z z <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩+，，,所以221(1)()()01Z Z z z f z F z z ⎧>⎪'+==⎨⎪≤⎩，，. (III)法1：令2==-X X U Y X ,同理可得：22,01(1)()0,⎧<<⎪+=⎨⎪⎩U u u f u 其他, 所以()12022ln 21(1)X E E U u du Y u ⎛⎫==⋅=- ⎪+⎝⎭⎰. 法2：10()2ln 21222+∞-∞⎛⎫⎛⎫==⋅==- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎰⎰X X X x x E E f x dx dx Y X x x .。
2021考研数学(一)试题答案及解析
2021年全国硕士研究生招生考试
数学(一)试题答案及解析
(中公考研版)
一、选择题:1-10小题，每小题5分共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选型是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(A)连续且取极大值人
(B)连续且取极小值
(C)可导且导数为0
(D)可导且导数不为0
[答案](D)
2.设函数f(x,y)可微，且f(x+1,e*)=x(x+l},f(x,x*)=2x?-.Inx，则df(,1)=().
(A) dx+dy (B) dx-dy (C)dy (D) -dy
[答案](C).
(A)a=1,b=0,c=-7/6 (B)a=1,b=0.c=7/6
(C) a=-1,b=-1,c= -7/6 (D)a=-1,b=-1,c=7/6
[答案](A)
故选(A)，
(A)2,0(B)1,1(C)2,1(D)1,2
8.设A,B为随机事件，且0<P(B)<1，下列命题中为假命题的是( )
置上.
三、解答题:17~22小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸指定位置上，。
2021考研数学一真题及解析
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题:110小题,每小题5分,共50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)函数1,0()1,0x e x f x xx ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处（ ） (A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值. (C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0.【答案】D【解析】因为001lim ()lim 1(0)x x x e f x f x→→-=-=，故()f x 在0x =处连续.因为200011()(0)11lim lim lim 002x x x x x e f x f e x x x x x →→→-----===--，故1(0)2f '=，故选D . (2)设函数(,)f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df =（ ）(A)dx dy +. (B)dx dy -. (C)dy . (D)dy -.【答案】C【解析】212(1,)(1,)(1)2(1)x x x f x e e f x e x x x ''+++=+++ ①2212(,)2(,)4ln 2f x x xf x x x x x ''+=+ ②分别将00x y =⎧⎨=⎩，11x y =⎧⎨=⎩代入①②式有12(1,1)(1,1)1f f ''+=，12(1,1)2(1,1)2f f ''+=联立可得1(1,1)0f '=，2(1,1)1f '=，12(1,1)(1,1)(1,1)df f dx f dy dy ''=+=，故选C .(3)设函数2sin ()1x f x x=+在0x =处的3次泰勒多项式为23+ax bx cx +，则（ ） (A)1a =，0b =，76c =-. (B)1a =，0b =，76c =.(C)1a =-，1b =-，76c =-. (D)1a =-，1b =-，76c =.【答案】A【解析】3323332sin 7()()1()()166x x f x x o x x o x x x o x x ⎡⎤⎡⎤==-+⋅-+=-+⎢⎥⎣⎦+⎣⎦，故1a =，0b =，76c =-，故选A .(4)设函数()f x 在区间[0,1]上连续，则10()f x dx =⎰(A)1211lim 22nx n k f n n →∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑(B )1211l i m 2nx n k f n n→∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. (C)2111lim 2nx n k f n n →∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. (D)212lim 2n x n k f n n→∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. 【答案】B【解析】由定积分定义秩，将(0,1)分成n 份，取中间点的函数11211()lim 2nx n k f x dx f n n →∞=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰，即选B . (5)二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）(A)2,0. (B)1,1. (C)2,1. (D)1,2.【答案】B【解析】22221231223312122313(,,)()()()2222f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++--=+++所以011121110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，故多项式11121(1)(3)11λλλλλλ---=---=+---E A .令上式等于零，故特征值为1-，3，0，故该二次型正惯性指数为1，负惯性指数为1，故选B .(6)已知1101α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3312α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，记11βα=，221k βαβ=-，331122l l βαββ=--，若将1β，2β，3β两两正交，则1l ，2l 依次为（ ）(A)52，12. (B)52-，12. (C)52，12-. (D)52-，12-. 【答案】A 【解析】利用斯密斯正交化21221110[,]2[,]0αββαβββ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭，313233121122[,][,][,][,]αβαββαββββββ=--，故31111[,]5[,]2l αβββ==，322222[,]1[,]2l αββββ==.故选A .(7)设A ，B 为n 阶实矩阵，则下列不成立的是（ ） (A)T2()r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭A O A O A A . (B )T 2()r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭AAB A O A . (C)T 2()r r ⎛⎫=⎪⎝⎭A BA A OAA . (D)T 2()r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭AO A BAA . 【答案】C 【解析】(A)TT()()2()r r r r ⎛⎫=+=⎪⎝⎭A O A A A A O A A ，故A 正确. (B)AB 的列向量可由A 的列线性表示，故T T ()()2()r r r r ⎛⎫=+=⎪⎝⎭AAB A A A OA . (C)BA 的列向量不一定可由A 的列线性表示.(D)BA 的列向量可由A 的行线性表示，T T ()()2()r r r r ⎛⎫=+=⎪⎝⎭AO A A A BAA . (8)设A ，B 为随机变量，且0()1P B <<，下列命题中不成立的是 (A)若()()P A B P A =，则()()P A B P A =. (B)若()()P A B P A >，则()()P A B P A >. (C)()()P A B P A B >，则()()P A B P A >. (D)若()()P A A B P A A B >，则()()P A P B >.【答案】D 【解析】(())()()()()()()P A A B P A P A AB P A B P A P B P AB ==+-(())()()()()()()()()()P A A B P AB P B P AB P A A B P A B P A B P A P B P AB -===+-因为()()P A A B P A A B >，固有()()()P A P B P AB >-，故选D .(9)设11(,)X Y ，22(,)X Y ，，(,)n n X Y 为来自总体1212(,;,;)N μμσσρ的简单随机样本，令12θμμ=-，11ni i X X n ==∑，11n i i Y Y n ==∑，X Y θ∧=-，则(A)θ∧是θ的无偏估计，2212()D nσσθ∧+=.(B)θ∧不是θ的无偏估计，2212()D nσσθ∧+=.(C)θ∧是θ的无偏估计，2212122()D nσσρσσθ∧+-=.(D)θ∧不是θ的无偏估计，2212122()D nσσρσσθ∧+-=.【答案】C【解析】因为X ，Y 是二维正态分布，所以X 与Y 也服从二维正态分布，则X Y -也服从二维正态分布，即12()()()()E E X Y E X E Y θμμθ∧=-=-=-=，2212122()()()()cov(,)D D X Y D X D Y X Y nσσρσσθ∧+-=-=+-=，故选C .(10)设1216,,,X X X 是来自总体(,4)N μ的简单随机样本，考虑假设检验问题：:10o H μ≤，1:10H μ>. ()x Φ表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为 {11}W X =≥，其中161116i i X X ==∑，则11.5μ=，该检验犯第二类错误的概率为(A)1(0.5)-Φ. (B)1(1)-Φ. (C)1(1.5)-Φ. (D)1(2)-Φ.【答案】(B)【解析】所求概率为{11}P X < 1~(11.5,)4X11.51111.5{11}1(1)1122X P X P ⎧⎫⎪⎪--<=<=-Φ⎨⎬⎪⎪⎩⎭故选B .二、填空题：1116小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （11）222dxx x +∞++⎰= _______________ 【答案】4π【解析】2200022(1)1==arctan(1)|==244dx x x x dx x πππ+∞+∞+∞+++++-⎰⎰ (12) 设函数由参数方程22104(1),t t x e t x y t e t x ⎧=++<⎪⎨=-+≥⎪⎩，确定，则202|t d ydx == _______________【答案】23【解析]】由4221t t dy te t dx e +=+，得223(442)(21)(42)2(21)t t t t tt d y e te e te t e dx e +++-+=+，将0t =代入得202|t d y dx == 23(13) 欧拉方程2"'40x y xy y +-=满足条件'(1)1,(1)2y y ==的解为_______________ 【答案】2x【解析】令,tx e =，则',dy xy dt=22"2d y dy x y dx dt =-原方程化为2240d y y dx -=.特征方程为240,λ-=特征根为12,λ=22,λ=-通解为22221212,t t y c e c e c x c x --=+=+将初始条件'(1)1,(1)2y y ==代入得121,0.c c ==故满足初始条件的解为2y x =(14) 设∑为空间区域}{22(,,)|44,02x y z x y z +≤≤≤表面的外侧，则曲面积分22x dydz y dzdx zdxdy ∑++=⎰⎰ _______________【答案】4π【解析】 由高斯公式得原式2214Dx y dV dz dxdy πΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（15）设ij A a =为3阶矩阵，ij A 为代数余子式，若A 的每行元素之和均为2，且3A =，则112131A A A ++= . 【答案】32【解析】1112111A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A αλα=，2λ=，1=11α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A *的特征值为A λ，对应的特征向量为1=11α⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，A A ααλ*=，又112131122232132333A A A A A A A AA A *⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，112131122232132333321131121132A A A A A A A A A A A λ*⎛⎫⎪++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭. （16）甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X Y ，分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X 与Y 的相关系数 .【答案】15【解析】联合分布律(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(,)322310101010X Y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，X 的边缘分布011122X ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,Y 的边缘分布011122Y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,易知1(,)20Cov X Y =，14DX =,1,4DY =即15XY ρ=.三、解答题：17～22小题,共70分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）求极限2001+1lim 1sin x t x x e dt e x →⎛⎫⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎰. 【答案】12【解析】()()()2220002000sin 1+11+sin 1sin 1lim lim lim 1sin sin 1xx x t x t x t x x x x x x e dt e e dt x e x e dt e x x x e →→→⎛⎫---++ ⎪-== ⎪-- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 2222202220001()1()1sin sin 12lim+limlimlimxxt t xx x x x x o x x x o x x e dte dt x e x xxx→→→→⎡⎤⎡⎤+-++++⎣⎦⎢⎥-+⎣⎦==+⎰⎰2222001()112lim lim 122x x x x o x e x →→-+=+=-+=（18）（本题满分12分）设11()(1,2,)(1)nxn n u x ex n n n -+=+=+，求级数1()n n u x ∞=∑的收敛域及和函数. 【答案】(1)ln(1),(0,1)1(),11xxe x x x x e S x e x e --⎧+--+∈⎪⎪-=⎨⎪=⎪-⎩【解析】易知1nxn e∞-=∑为几何级数，故收敛区间为(0,)+∞；111(1)n n x n n ∞+=+∑的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-，所以1()n n u x ∞=∑的收敛区间为(0,1)当0x =时，1nxn e∞-=∑发散，故1()n n u x ∞=∑发散；当1x =时，1nx n e ∞-=∑与111(1)n n x n n ∞+=+∑均收敛，故1()n n u x ∞=∑收敛；综上，1()n n u x ∞=∑的收敛域为(]0,1.令1()()n n S x u x ∞==∑，(]0,1x ∈（1）(0,1)x ∈时11xnxxn e ee-∞--==-∑ 1111111111(1)11n n n n n n n n n n x x x x x x n n n n n n +++∞∞∞∞∞+======-=-+++∑∑∑∑∑ []ln(1)ln(1)(1)ln(1)x x x x x x =-----=--+()(1)ln(1)1xxe S x x x x e --=+--+-（2）1x =时1111nn e e e -∞--==-∑11(1)n n n ∞=+∑的前n 项和111nSn =-+，lim 1n n S →∞= ()1e S x e =- 综上，(1)ln(1),(0,1)1(),11xxe x x x x e S x e x e --⎧+--+∈⎪⎪-=⎨⎪=⎪-⎩（19）（本题满分12分）已知曲线2226:4230x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求C 上的点到xOy 坐标面距离的最大值.【答案】66【解析】设拉格朗日函数222(,,,,)(26)(4230)L x y z z x y z x y z λμλμ=++--+++- 22240420202=64230xy z L x L y L z L x y z L x y z λμλμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-⎪'=++=⎪⎩解得驻点：(4,1,12),(8,2,66)-- 故C 上的点(8,2,66)--到xOy 坐标面距离最大为66. （20）（本题满分12分）设2D R ⊂是有界单连通闭区域，22()(4)DI D x y dxdy =--⎰⎰取得最大值的积分区域记为1D .（1）求1()I D 的值； （2）计算222214422()(4)4xy xy D xe y dx ye x dyx y ++∂++-+⎰，其中1D ∂是1D 的正向边界.【答案】（1）8π；（2）π- 【解析】（1）由二重积分的几何意义知：22()(4)DI D x y d σ=--⎰⎰，当且仅当224x y --在D 上大于0时，()I D 达到最大，故{}221(,)4D x y x y =+，且22210()=(4)8I D d r rdr πθπ-=⎰⎰.（2）补{}2222(,)4D x y x y ε=+（ε很小），取2D 的方向为顺时针方向，22422(,)4x y xe yP x y x y ++=+，224224(,)4x y ye x Q x y x y +-=+，且Q P x y ∂∂=∂∂ 222214422()(4)4xy xy D xe y dx ye x dyx y ++∂++-+⎰2222222212244442222+()(4)()(4)44xy xy xy xy D D D xe y dx ye x dyxe y dx ye x dyx y x y ++++∂∂∂++-++-=-++⎰⎰22222221124D DD e xdx ydy ydx xdy dxdy επεεε∂∂∂-=-+--==-⎰⎰⎰⎰.（21）（本题满分12分）已知111111a A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.（1）求正交矩阵P ，使得T P AP 为对角矩阵； （2）求正交矩阵C ，使得2(3)C a E A =+-.【答案】（1）0P ⎛ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；（2）51135113315133C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭ 【解析】（1）由21111(1)(2)011aE A a a a aλλλλλλ---=--=-+--=-，得1=2a λ+，23==1a λλ- 当1=2a λ+时211101((2))121011112000a E A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的特征向量为11=11α⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭当23==1a λλ-时111111((1))111000111000a E A ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的特征向量为2311=1,=102αα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令312123,,0P αααααα⎛ ⎛⎫ ⎪== ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，则T211a P AP a a +⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪-⎝⎭. （2）T 2T 1((3))(3)44P C P P a E A P a E ⎛⎫ ⎪=+-=+-Λ= ⎪ ⎪⎝⎭T T T114242P CPP CP P CP ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故T 51131512133215133C P P ⎛⎫-- ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭. （22）（本题满分12分）在区间(0,2)上取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X ，较长的一段长度记为Y ，令XZ Y=. (1)求X 的概率密度.(2)求Z 的概率密度.(3) 求XE Y ⎛⎫⎪⎝⎭. 【答案】(1)101~()0,x X f x <<⎧=⎨⎩，其他；(2)()22,1(1)()()0,Z Z z z f z F z ⎧≥⎪'+==⎨⎪⎩其他；(3)12ln 2-+.【解析】(1)由题知：101~()0,x X f x <<⎧=⎨⎩，其他.(2)由2Y X =-，即2XZ X-=，先求Z 的分布函数. {}22()1Z X F z P Z z P z P z X X -⎧⎫⎧⎫=≤=≤=-≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭当1z <时，()0Z F z =.当1z ≥时，210222()1111111t Z F z P z P X dx X z z +⎧⎫⎧⎫=-≤=-≤=-=-⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭⎰. ()22,1(1)()()0,Z Z z z f z F z ⎧≥⎪'+==⎨⎪⎩其他. (3)10112ln 222X X x E E dx Y X x ⎛⎫⎛⎫==⋅=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰.。
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析（江南博哥）1 [单选题]A.连续且取得极大值B.连续且取得极小值C.可导且导数为零D.可导且导数不为零正确答案：D参考解析：因为函数f(x)在x=0处可导且导数不为零．2 [单选题]设函数f(x，y)可微，且f(x+1，e x)=x(x+1)2，f(x，x2)=2x2lnx，则df(1，1)=( )．A.dx+dyB.dx-dyC.dyD.-dy正确答案：C参考解析：将f(x+1，e x)=x(x+1)2两边对x求导得3 [单选题]设函数处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3，则( )．A.a=1，b=0，c=-B.a=1，b=0，c=C.a=-1，b=-1，c=-D.a=-1，b=-1，c=正确答案：A参考解析：4 [单选题]设函数f(x)在区间[0，1]上连续，则( )．A.B.C.D.正确答案：B参考解析：由定积分定义得，这里将区间[0，1]分为n等份，即5 [单选题]二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为( )．A.2，0B.1，1C.2，1D.1，2正确答案：B参考解析：则A的特征值为-1，0，3，所以正惯性指数与负惯性指数依次为1，1．6 [单选题]β2，β3两两相交，则l1，l2依次为()．A.B.C.D.正确答案：A参考解析：由施密特正交化得7 [单选题]设A，B为n阶实矩阵，下列结论不成立的是( )．A.B.C.D.正确答案：C参考解析：因为=r(A，BA)+r(AA T)=r(A，BA)+r(A)，且r(A，BA)≥r(A)，所以8 [单选题]设A，B为随机事件，且0<P(B)<1，则下列命题中为假命题的是( )．A.若P(A|B)=P(A)，则P(A|)=P(A)B.若P(A|B)>P(A)，则P(|)>P()C.若P(A|B)>P(A|)，则P(A|B)>P(A)D.若P(A|A B)>P(|A B)，则P(A)>P(B)正确答案：D参考解析：P(A|B)=P(A)A，B相互独立，所以P(A|)=P(A)，故A项正确；P(A|B)>P(A)中对任意满足题设条件的随机事件均成立，而，也满足条件，所以P(| )>P()，故B项正确；9 [单选题]设(X1，Y1)，(X2，Y2)，…，(X n，Y n)为来自总体的简单随机样本，令=，则( )．A.B.C.D.正确答案：C参考解析：10 [单选题]设X1，X2，…，X16是来自总体N(μ，4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：H0：μ≤10，H1：μ>10．(x)表示标准正态分布函数．若该检验问题的拒绝域为，其中，则μ=11.5时，该检验犯第二类错误的概率为( )．A.1-(0．5)B.1-(1)C.1-(1．5)D.1-(2)正确答案：B参考解析：11 [填空题]参考解析：【解析】12 [填空题]参考解析：【解析】13 [填空题]欧拉方程x2y”+xy’-4y=0满足条件y(1)=1，y’(1)=2的解为______．参考解析：y=x2【解析】作变换x=e t，则y'(t)=y’(x)e t=xy'(x)，y”(f)=x’(t)y’(x)+xy”(x)x’(t)=xy'(x)+x2y”(x)=y’(t)+x2y”(x)，则原方程可转化为y”(t)-y’(t)+y’(t)-4y(t)=0，即y”(t)-4y(t)=0，其特征方程为λ2—4=0，特征根为λ1=2，λ2=-2，则该方程的通解为，又y(1)=1，y’(1)=2，故C1=1，C2=0，所以y=x2．14 [填空题]设三为空间区域{(x，y，z)|x2+4y2≤4，0≤z≤2}表面的外侧，则曲面积分y2dzdx+zdxdy=______．参考解析：4π【解析】由高斯公式得，其中Ω为∑围成的封闭区域．由于图形关于xOz平面对称，所以同理，由于图形关于yOz平面对称，所以15 [填空题]设A=(a ij)为三阶矩阵，A ij为元素a ij的代数余子式．若A的每行元素之和均为2，且|A|=3，则A11+A21+A31=______．参考解析：【解析】因为A的每行元素之和均为2，所以，故A*的每行元素之和均为．16 [填空题]甲、乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球．令X，Y分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数为______．参考解析：由题意可知，X与Y的联合概率分布与边缘概率分布如下表所示．所以E(XY)=0．3，E(X)=E(Y)=0．5，D(X)=D(Y)=0．25，17 [简答题]参考解析：18 [简答题]参考解析：19 [简答题]已知曲线求C上的点到xOy坐标平面距离的最大值．参考解析：设c上的点(x，y，z)到xOy坐标平面的距离为d，则d=|z|根据题意，目标函数为f(x,y，z)=z2，约束条件是x2+2y2-z-6=0及4x+2y+z-30=0．构造拉格朗日函数F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+2y2-z-6)+μ(4x+2y+z-30)，则20 [简答题]设D R2是有界单连通闭区域，取得最大值的积分区域记为D1(Ⅰ)求I(D1)的值；(Ⅱ)其中D1是D1的正向边界．参考解析：(Ⅰ)要使取得最大值，则D应该包含所有使得被积函数f(x，y)=4-x2-y2≥0并且D中不能包含使得f(x，y)=4-x2-y2<0的区域，故D1={(x，y)x2+y2≤4}，又Q(x，y)，P(x，y)在D1围成的区域D1上有奇点，所以要补充曲线L：x2+4y2=ε2，ε>0足够小，取顺时针方向，且L围成的区域为D”，则Q(x，y)，P(x，y)在D1与L围成的区域D’上满足格林公式的条件，21 [简答题](Ⅰ)求正交矩阵P，使P T AP为对角矩阵；(Ⅱ)求正定矩阵C，使C2=(a+3)E-A，其中E为三阶单位矩阵．参考解析：(I)所以A的特征值为λ1=λ2=a-1，λ3=a+2．当λ1=λ2=a-1时，|A-(a-1)E|x=0，22 [简答题](本题满分12分)在区间(0，2)上随机取一点，将该区间分成两段，其中较短一段的长度记为X，较长一段的长度记为Y，．(Ⅰ)求X的概率密度；(Ⅱ)求Z的概率密度；(Ⅲ)求E()．参考解析：(Ⅰ)由题意知，X+Y=2，0<X<Y，且X～U(0，1)，。
2021年全国研究生招生考试考研数学一历年真题及详解
C1x2＋C2x－2，y′＝2C1x－2C2x－3，将初始条件 y（1）＝1，y′（1）＝2 代
入得 C1＝1，C2＝0，故满足初始条件的解为 y＝x2。
4． 设Σ为空间区域
表面的外侧，则曲面
积分
。
【答案】 4π 【考点】 曲面积分； 【解析】
由高斯公式得
。由对称性得，
，则
。
5． 设 A＝aij 为 3 阶矩阵，Aij 为代数余子式，若 A 的每行元素之和均为 2，且 |A|＝3，A11＋A21＋A31＝。
）。
【答案】 B 【考点】 犯第二类错误的概率； 【解析】
—
—
所求概率为 P{X＜11}，X～N（11.5，4），故
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。请将答案写在答题纸指定 位置上）
1．
。
【答案】 π/4 【考点】 定积分的计算； 【解析】
2． 设参数 y＝y（x）由参数方程
【答案】 B 【考点】 二次型的特征值； 【解析】 f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2＝2x22＋2x1x2＋ 2x2x3＋2x3x1
所以
，故特征多项式为
令上式等于 0，得特征值为－1， 3，0，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1，选 B 项。
6. 已知
（ ）。 A． a＝1，b＝0，c＝－7/6 B． a＝1，b＝0，c＝7/6 C． a＝－1，b＝－1，c＝－7/6 D． a＝－1，b＝－1，c＝7/6
【答案】 A 【考点】 麦克劳林公式； 【解析】 根据麦克劳林公式有
较，得 a＝1，b＝0，c＝－7/6，故选 A 项。 4. 设函数 f（x）在区间[0，1]上连续，则 A． B．
2021年考研《数学》试题及答案(卷一)
2021年考研《数学》试题及答案（卷一）[ABCD参考答案：A[单选题]设随机变量，则方程有实根的概率为()。
ABCD0参考答案：C[单选题]ABCD参考答案：D[问答题]设，则参考答案：因为P(A-B)=P(A)-P(AB)，所以P(A+B)=P(A-B)+P(B)=0.8。
[问答题]二元函数f(x，y)=在(0，0)点是否可微?________。
(填是或否)参考答案：否[问答题]设随机变量X，Y相互独立，D(X)=4D(Y)，令U=3X+2Y，V=3X-2Y，则=_____。
参考答案：[单选题]函数y=x+ex的反函数的二阶导数=()。
ABCD[问答题]设随机变量X服从参数为2的泊松分布，令Y=4X-3，则E(Y)=_____。
D(Y)=_____。
参考答案：因为X~P(2)，所以E(X)=D(X)=2，于是E(Y)=4E(X)-3=5，D(Y)=16D(X)=32[问答题]参考解析：[问答题]参考答案：[问答题]一工人同时独立制造3个零件，第k个零件不合格的概率为;，以随机变量X表示3个零件中不合格的零件个数，则P(X=2)=______。
参考答案：令Ak={第k个零件不合格}(k=1，2，3)，则[问答题]参考答案：[问答题]设y=y(x)满足y’=x+y，且满足y(0)=1，讨论级数的敛散性。
参考答案：[单选题]设，则A与B()。
A合同且相似B合同但不相似C不合同但相似D不合同且不相似参考答案：A[单选题]设f(x)的导函数为，则f(x)的一个原函数是()。
A1+arctan xB1-arctan xC1+ln(1+x2)D1-ln(1+x2)参考答案：C[单选题]设总体X服从N(μ，σ2)，与分别是取自总体X的样本容量为10和15的两个样本均值，记P1=。
AP1<p2< p="">BP1=P2CP1>P2DP1=1，P2=σ参考答案：C[问答题]设f(x)是连续函数，且，则f(7)=______。