第7章方差分析
=0.05
（2）计算检验统计量
XT X C q S XT X C XT XC 1 1 MS误 差 n n C T ，v v误 差
MS误差 （
1 1 1 1 ） 0.2099( ) 0.2049 nT nc 10 10
表 7-11 例7-2资料的Dunnett-t 检验计算表
表7-1 三种不同喂养方式下大白鼠体重喂养前后差值(g)
图7-1 例7-1大白鼠体重差值变异分解示意图
总变异：
SS总 ( X ij X )
i j
2
总 N 1
组内变异：
完全是各组内个体间的差异，体现为 每组的原始数据与该组均数的差异，因此 可以认为是随机误差，又称误差变异。
第七章 方差分析
林爱华 2012-12-11
问题的提出 ：
比较两个均数 ---- t检验或u检验
多个均数？ 问题：多个均数比较时能否
直接两两之间作t 检验？ -----方差分析 (analysis of variance，ANOVA)
以五个样本均数的比较为例： 进行t 检验时，α=0.05，则5个均数的 两两比较将进行10次，这时，10次比较都 不犯（Ⅰ类）错误的概率为：
方差分析的前提条件
从理论上讲，进行方差分析的数据应满足 如下两个基本假设： (1) 各样本是相互独立的随机样本，均服从 正态分布； (2) 各样本的总体方差相等，即方差齐性。
H 0 ：三组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平相同
H1 ：三组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平不全相同
0.05
(2) 计算检验统计量
(3) 确定P值并作出推断结论
查附表3-1，得 F0.05(2,32) 3.29, F0.01(2,32) 5.34 。 由F = 31.36 知P < 0.01。按 = 0.05水准，差别有
q 对比组 两均数之差 T与C X T X C 3 2 0.2049 （2） （ 1） A与C -1.5900 -7.760
B与C -1.1940 -5.827
q 的临界值
0.05 2.40 2.40
0.01 3.17 3.17
P ＜0.01 ＜0.01
(3) 确定P值并作出推断结论： 根据自由度v误差 =18，试验组数a = k-1=2(不含对 照组）查附录三附表5-2得界值。
（2）计算检验统计量
XA XB t SX AXB
XA XB 1 1 MS误 差 n n B A
，v v误 差
表7-11 例7-1资料的Bonferroni法计算表
对比组
A与 B (1) 1与 2
两均数之差
XA XB
(2) 53.873
SX AXB
(1) 建立检验假设，确定检验水准
对于处理组：
H 0：三个处理组总体均数相等
对于区组：
H 0：十个区组总体均数相等
H1：三个处理组总体均数不全相等 H1：十个区组总体均数不全相等
0.05
0.05
(2) 计算检验统计量
(3) 确定P值并作出推断结论
计算出处理和区组的F值，并根据相应的自由 度查F界值表得出P值。对于处理组，P < 0.01，拒 绝 H 0 ，可以认为三种不同的处理效果不同，即三个 总体均数中至少有两个不同。 对于区组， P >0.05，不能拒绝 H 0 ，即尚不能 认为十个区组的总体均数不同。
(3) 9.1195
标准误
t
(4)
P
(5)
5.907
<.0001
1与 3
2与 3
68.587
14.713
9.1195
9.1195
7.521
1.613
<.0001
0.1163
(3) 确定P值并作出推断结论：
按照 0.0167的水准，组2与组3差别无统计学意
义，其他两两组间差别有统计学意义。
1、方差分析的基本思想
2、完全随机设计资料的方差分析
3. 随机区组设计资料的方差分析 4、多个样本均数的两两比较
5、方差分析的前提条件和数据变换
一、方差分析的基本思想
无论是单因素方差分析、两因素方差分析 还是多因素方差分析它们基本思想是一致的。 下面结合单个处理因素的完全随机设计的 例题介绍方差分析的基本思想。 方差分析的基本思想：把全部观察值间的 变异 —— 总变异按设计和需要分解成两个或 多个组成部分，再作分析。
以完全随机设计为例：
方差分析的基本思想是首先将总变异分解
为组间(处理)变异和组内(误差)变异，然后
比较平均变异MS组间和MS组内，比较时采用
两者的比值F值，即：
MS组间 F MS组内
例7-1 为研究钙离子对体重的影响作用，某研
究者将36只肥胖模型大白鼠随机等分为三组，
每组12只，分别给予高脂正常剂量钙(0.5%)、 高脂中剂量钙(1.0%)和高脂高剂量钙(1.5%) 三种不同的饲料，喂养9周，测其喂养前后体 重的差值。问三种组不同喂养方式下大白鼠 体重改变是否不同？
学意义，中、高剂量钙与正常钙喂养9周前后体重
差值不同。
2. Dunnett 法（又称 Dunnett-t 检验）
例7-4 对例7-2资料，问两种不同剂量丹参浓度分
别与生理盐水对照组比较其总体均数是否不同？
(1)建立检验假设，确定检验水准
H0 ：T ＝C ,即试验组与对照组的总体均数相等。
H1 ：T ≠C ,即试验组与对照组的总体均数不等。
统计学意义，可以认为三组不同喂养方式下大白
鼠体重改变的总体平均水平不全相同，即三个总 体均数中至少有两个不等。
三、随机区组设计资料的方差分析
随机区组设计(randomized block design)又称 配伍组设计，通常是将受试对象按性质(如动 物的窝别、体重等非实验因素)相同或相近者 组成b个区组(配伍组)，每个区组中的受试对 象分别随机分配到k个处理组中去。
(completely randomized
design)：是将同质的受试对象随机地分配
到各处理组，再观察其实验效应。
完全随机设计是最常见的研究单因素两水
平或多水平的实验设计方法，属单向方差
分析(one-way ANOVA)。
完全随机设计资料的方差分析的一般步骤：
以例7-1为例： (1) 建立检验假设，确定检验水准
总离均差平方和分解为组间离均差平方 和组内离均差平方和。
ss = SS组间+
总
SS组内
相应的总自由度分解为组间自由度和组内 自由度，即：
总 组间 组内
结合本例，将计算结果整理成如下的方差分析表。
表7-3 例7-1资料的方差分析表
二、完全随机设计资料的方差分析
完全随机设计
0.9510=0.599，有（Ⅰ类）错误发生的 概率则为1-0.599=0.401。 远大于设定的检验水准（α=0.05）!
方差分析（analysis of variance，ANOVA）
能用于两个或两个以上样本均数的比较，还 可分析两个或多个研究因素的交互作用以及 回归方程的线性假设检验等。
本章讲解的主要内容：
例7-2 为探索丹参对肢体缺血再灌注损伤的影响， 将30只纯种新西兰实验用大白兔，按窝别相同分为
10个区组。每个区组的3只大白兔随机接受三种不
同的处理，即在松止血带前分别给予丹参2ml/kg、
丹参1ml/kg、生理盐水2ml/kg，并分别测定松止血
带前及松后1小时后血中白蛋白含量(g/L)，算出白
组与对照组均数的比较。
1. SNK法(又称q检验)
例7-3 请对例7-1资料喂养9周后体重差值的三 组总体均数进行两两比较。 (1)建立检验假设，确定检验水准 H0 ：A＝B ,即两对比组的总体均数相等。 H1 ：A≠B ,即两对比组的总体均数不等。
=0.05
（2）计算检验统计量：首先将三个样本均数由
蛋白的减少量如表8-4所示。问三种处理效果是否
不同？
表7-4 三种方案处理后大白兔血中白蛋白减少量(g/L)
随机区组设计方差分析的总变异可以分为 处理的变异、区组的变异和误差三部分。
SS总 SS处理 SS区组 SS误差
总 处理 区组 误差
随机区组设计资料方差分析的基本步骤：
(2) 在设计阶段就根据研究目的或专业知识而计划 好的某些均数间的两两比较。 它常用于事先有明确假设的证实性研究，如多个 处理组与对照组的比较，某一对或某几对在专业上 有特殊意义的均数间的比较等，可采用Dunnett 检
验、LSD-t检验 (Fisher’s least significant test)，也
SS组内 ( X ij X i )2 (ni 1)Si2
i j i
MS组内
SS组内
组内
组内 2 N k
组间变异：
反映各组间均数的差异，即各组间均 数与总的均数的差异，该变异除随机误差 外，有可能存在处理因素的作用。
SS组间＝ ni ( X i X )
大到小排列，并编组次：
组别 正常钙组 293.37 1 中剂量钙 239.49 2 高剂量钙 224 XB MS 误差 2 1 1 n n B A
，v v 误差
表 7-12 例7-1资料的 SNK 检验计算表
对比组 两均数之差 两均数之 X A X B 差标准误差 A与B
（ 1） （ 2）
S X A X B （ 3）
9.12 9.12
4 2 3
7.52 5.91
q
对比组内 包含组数 a 3 2
第7章 方差分析2
案例7-1 讨论
某医院妇产科测定几种卵巢功能异常患者血清中 促黄体素的含量(U/L)，结果如下： 1.卵巢发育不良 2.丘脑性闭经
11.82 3.86 8.26 42.50 38.31 35.76 33.60 6.71 3.32 2.63 4.50 2.20 2.75 11.14 5.98 1.90 5.43 4.59 1.67 31.38
Xi
21.54
Si
3.43
19.54 19.56 19.46 22.47 29.79 28.65 27.13 23.37
18.03 17.39 25.63 29.38 22.68 25.13 28.79 28.44
22.88
3.56Βιβλιοθήκη 28.064.3831.83
4.54
26.07
5.70
⑴建立假设，确定检验水准
∑
ni ( X
i
− X )
g-1
N-g
SS 组间
MS 组间 MS 组内
ν 组间
SS 组内
组内变异
SS 总 − SS 组间
ν 组内
表 7－4 变异来源 总变异 组间变异 组内变异
SS
例 7－1 的方差分析表
ν
59 3 56
MS
F
P
1915.80 1017.41 898.39
339.14 16.04
21.14
请问该研究者所作统计处理是否合理？为什么？ 正确的做法是什么？
各组小白鼠耐缺氧时间/min
耐缺氧时间
ni
24.03 24.37 28.81 20.16 23.01 34.44 33.24 34.22 22.82 16.01 18.74 22.51 28.32 31.69 31.68 35.08 60 28.29 15 29.04 15 18.42 15 18.72 15
第七章方差分析与F检验
• 方差分析又称做变异分析，它的主 要功能在于分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，如 实验处理引起的变异、被试个体差 异带来的变异、实验误差带来的变 异等，从而确定实验中的自变量是 否对因变量有重要影响。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设与部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数
1、建立假设：H0:μ1=μ2=…=μk H1:至少有两个总体平均数是不
同的，即处理效应不全为0 2、计算离差平方和 3、求均方 4、计算F值 5、进行F检验
6、列出方差分析表
变异来源
组间变异 （处理）
组内变异 （误差）
总变异
自由度 平方和 均方 F
dfb=k-1
SSb MSA MSA/
Dfw=∑(n-1) SSw MSE MSE
（六）陈列方差分析表
二、方差分析的基本条件
1、数据所代表的总体必须是正态分布， 即样本必须来自属于正态分布。
2、变异具有可分解性。
3、各组内的方差应无显著差异。因此 理论上在做方差分析之前应先对各 组方差的一致性进行检验。
第二节 单因素完全随机化设 计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素 组间设计的方差分析。在这种实验研究 设计中，各种处理的分类仅以单个实验 变量为基础，因而把它称为单因素方差 分析或单向方差分析。
③计算均方
MSb=MSA=SSb/dfb=43.33/2=21.67 MSw=MSE=SSw/dfw=30.00/12=2.50 ④计算F值,进行F检验,做出决断
F= MSb/ MSw=21.67/2.50=8.67 查F表,F0.05(2,12)=3.88 8.67>3.88,拒绝虚无假设,可以认为在
第7章：方差分析
15.75
k
x
njxj
j 1
K
nj
811.5 88.625 815.75 888
11.9583
kr
SST
(xij - x)2
i1 j1
8
8
8
(x1 j - x)2 (x2 j - x)2 (x3 j - x)2
j 1
2.水平 水平是指因子在实验中所处的不同状态。如，例7.1中三个分 店处于三个不同的位置，每个位置被看作是一种水平。
3.观察值 观察值是指在具体的因素水平下，实验样本的观察数据。如， 例7.1中每个分店在8个观察日的销售额。
4.交互影响 当方差分析的影响因素不唯一时，需要关注各因素之间是否独 立。如果因素之间存在相互作用，我们称之为“交互影响”， 实际中这个交互影响可以看成是试验结果产生作用的一个新因 素，需要单独分离出来进行分析。
17
3
10
9
13
4
13
12
14
5
11
7
18
6
9
9
14
7
8
6
16
8
15
8
19
试分析这三家分店的平均日营业额是否相同，从而确定营业 地点这个位置因素是否对营业额有显著影响(α=5%)
相应的假设为：
H0 : 1 2 3 1，2，3三者不全相等
如果原假设成立，意味着营业位置对销售没有显著影响；如 果原假设不成立说明至少有两个地点的营业额是有显著差异的 ，即承认营业位置对销售存在显著影响。
方差分析是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，是由 英国统计学家费舍尔在进行试验设计时为解释试验数据而首先 引入的。
08方差分析
观 察值
1 2 3 4 5 6 7 样本 均值 总平 均值
零售 业
57 66 49 40 34 53 44
49
行业
旅游 航空 业业
68 31
39
49
29 21
45 34
56 40
51
48 35 47.8696
家电 制造 业
44 51 65 77 58
59
（3）计算离差平方和SSA、
SSE、SST
r
无交互作用旳方差分析 有交互作用旳方差分析
21
无交互作用旳双原因分析
有4个品牌旳彩电在5个地域销售，为分析彩电旳品牌和销 售地域对销售量旳影响，对每个品牌在各地域旳销售量取 得下列数据，如下表所示。试分析品牌和地域对彩电旳销 售量是否有明显影响。（α=0.05）
品 品牌1 牌 品牌2
原 因
品牌3 品牌4
观察 值
零售业
行业 旅游业 航空业
家电制 造业
1
57
68
31
44
2
66
39
49
51
3
49
29
21
65
4
40
45
34
77
5
34
56
40
58
6
53
51
7
44
2
方差分析：
是对多于2个总体旳均值是否相等进行检验旳一 种统计措施。它是经过检验各总体旳均值是否 相等来判断分类型自变量对数值型变量是否有 明显影响。
多重比较：经过对总体均值之间旳配对比较来进 一步检验究竟哪些均值之间存在差别。
环节：
提出假设： H0 : i j , H1 : i j
第七章协方差分析
相应的总体相关系数ρ 可用x与y的总体标
准差 x 、 y ，总体协方差COV(x,y)或 xy 表
示如下：
CO(Vx,y) xy xy xy
（10-4）
均积与均方具有相似的形式 ， 也有相似的
性质。在方差分析中，一个变量的总平方和与
自由度可按变异来源进行剖分，从而求得相应
的均方。统计学已证明：两个变量的总乘积和
（covariance），记为COV(x,y)或 xy 。统 计学证明了，均积MPxy是总体协方差COV(x,y) 的无偏估计量，即 EMPxy= COV(x,y)。
于是，样本相关系数r可用均方MSx、MSy，
均积MPxy表示为：
r MPxy MSx MSy
（10-3）
上一张 下一张 主 页 退 出
在分析阶段控制混杂因素的方法：
1、采用分层分析：如把年龄分组，再比较 同一年龄组的正常体重与超重组有无差别。 （适用：计量、计数资料）
2、协方差分析（适用：计量资料）
3、多因素分析（适用：计量、计数资料）
协方差分析(analysis of covariance，ANCOVA)
将线性回归与方差分析结合起来，检 验两组或多组修正均数间有无差异的一种 统计方法，用于消除混杂因素对分析指标 的影响。
Yijuti eij
第i组第j个观 测值
一般均值
第i组的组效 应
随机误差
方差分析的前提是除随机误差外，水平变量是影响观测值的唯一变量
下面我们再看协方差分析数据结构（单因 素完全随机设计试验资料的协方差分析）：
观测值=一般均值+水平影响+协变量影响+随机误差
Y ij u y tie (X ij u x )ij
生物统计第7章 单因素方差分析
7.2 固定效应模型
7.2.1 线性统计模型
在固定效应模型中，αi是处理平均数与总体 平均数的离差，是个常量，故：∑αi=0（i=1，
2，…n），要检验a个处理效应的相等性，就 要判断各αi是否都等于0。若各αi都等于0，则
各处理效应之间无差异。因此，零假设为：H0： α1=α2= … =αa =0 备择假设为：HA： αi≠0（至少有一个i）
2020/6/19
7.3.3 不等重复时平方和的计算
• 上述情况，无论是固定效应模型，还是随机效 应模型，各处理的观测次数都是相同的。若不 同处理观测次数不同，以上的方差分析方法仍 然适用，但在计算平方和时，公式要作改动。
• 检验程序及结果分析同上述讨论。
2020/6/19
7.4 多重比较(multiple comparison)
2020/6/19
7.1 方差分析的基本原理
7.1.1 方差分析的一般概念
方 差 分 析 （ analysis of variance ， ANOV）是一类特定情况下的统计假设检验， 平均数差异显著性检验----成组数据 t检验的一 种引伸。t检验可以判断两组数据平均数间的差 异显著性，而方差分析则可以同时判断多组数 据平均数之间的差异显著性。当然，在多组数 据的平均数之间做比较时，可以在平均数的所 有对之间做t检验。但这样做会提高犯Ⅰ型错误 的概率，因而是不可取的。
2020/6/19
7.2.3 均方期望与统计量F
2020/6/19
7.2.4 平方和的简易计算方法
• 实际应用时，总的平 方和与处理平方和一 般按右式计算：
• 式中的被减数C通常被称 为校正项（correction) ：
• 误差平方由右式算出 ： • 用SAS软件更简便
高级统计学：第七章方差分析
第七章方差分析第一节方差分析的基本原理方差分析（Analysis of variance，简称ANOV A）是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验的一种方法。
一、方差分析的内容1实例[例] 某饮料生产企业研制出一种新型饮料。
饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。
现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量情况，见表7—1。
新型饮料在五家超市的销售情况表解：从表7—1中看到20个数据各不相同，什么原因使其不同呢？2产生的原因①是销售地点的影响；②是饮料颜色的影响。
A 有可能是抽样的随机性造成的；B 有可能是由于人们对不同颜色有所偏爱。
可以将上述问题就归结为一个检验问题——检验饮料颜色对销售量是否有影响，即要检验各个水平的均值k μμμ,,21 是否相等。
二、方差分析的原理1基本概念因素：一个独立的变量就称为一个因素。
如，颜色水平：将因素中不同的现象称为水平。
（每一水平也称为一组） 单因素方差分析：方差分析只针对一个因素进行。
多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。
观察值之间的差异产生来自于两个方面：①是由因素中的不同水平造成系统性差异的； ②是由于抽选样本的随机性产生的差异。
方差分析数据结构表7-2在一元情形下假设:ik i2i1X ,,X ,X ,i=1,2…n j ,j=1,2,…k,为来自总体)N(2σ,μ的随机样本。
如果假设k H μμμ=== 210:也可表达为 j j αμμ+=其中j α是第j 个水平的偏差。
如果各水平下均值相等，则可以表述为： 0:210====k H ααα对于第j 个因素有ij j ij X εαμ++=其中()2,0~σεN ij 为独立同分布随机变量。
对于观察值则有)()(j ij j ij x x x x xx -+-+=将式两端减去x 然后平方，得))((2)()()(222j ij j j ij j ij x x x x x x x x x x --+-+-=-等式两边求和，有也即如上例可以建立如下的假设：43210:μμμμ===H ；43211,,,:μμμμH 不全相等。
第七章方差分析第一节单因素)
一、各处理重复数相等的方差分析
【例1】 某水产研究所为了比较四种不同 配合饲料对鱼的饲喂效果， 配合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条件基 本相同的鱼20尾，随机分成四组， 随机分成四组，投喂不 同饲料， 同饲料，经一个月试验以后， 经一个月试验以后，各组鱼的增 重结果列于下表。 重结果列于下表。
上一张 下一张 主 页
型。在这个模型中表示为总平均数μ、处理效 应αi、试验误差εij之和。尽管各总体的均数可 以不等或相等，σ2则必须是相等的。 所以，单因素试验的数学模型可归纳为： 效应的可加性（additivity）、分布的正态性 （normality）、方差的同质性 （homogeneity）。这也是进行其它类型方差分
F=MSt/MSe =46.5×20/38.84×4=5.99**
3.统计推断： 统计推断： F0.05(4,20) =2.87,F0.01(4,20) =4.43，F＞ F0.01(4,20)，P＜0.01，表明品种间差异极显著。 表明品种间差异极显著。
上一张 下一张 主 页
退 出
SS MS e = e = df e =
t
t
1 = n
∑
T
∑
e
= SS
ni ≠ n
Ti2 − C ni
j
总自由度的剖分
总自由度
dfT = kn −1 = N −1
处理自由度 dft = k −1 误差自由度 dfe = dfT − dft = kn − k = N − K
MSt = SSt / df t MSe = SS e / df e MSt F= MS e
析的前提或基本假定。
xij = µ + α i + ε ij = µ + ( µi − µ ) + ( xij − µi )
生物统计学7-方差分析5-ok
一、多重比较的方法
1.最小显著差数法(Least Significant Difference , LSD法)
实质是两个平均数相比较的成组数据t检验，方法如下：
有时候固定因素与随机因素很难区分，除上述所讲的 原则外，还可以从另一个角度考虑： 固定因素是指因素的水平可以严格地人为控制，
在水平固定之后，它的效应值也是固定的。 随机因素的水平是不能严格地人为控制，在水平
确定之后，它的效应值并不固定。
五、平方和与自由度的分解
由于方差 = 平方和 / 自由度，表示变异的程度。
因为
所以
SST
SSA
SSe
an
SSe
( xij xi )2 ；
i1 j1
dfe a(n 1)
SSe是样本观测值与处理平均数的离差平方和，即反映处理 内变异（即误差引起的变异）的平方和，称为误差平方和、 处理内平方和、组内平方和；
误差项自由度：每一处理均有n-1个自由度，共有α个处理。
a
另一种是检验几个样本平均数的方差是否足够大。
如果样本平均数的方差足够大，远大于由随机误差所产生的方差，说明这几 个样本平均数之间的离散程度很高，除了误差效应外，必然还存在不同的处 理效应。我们可以推断抽出这几个样本的总体属于不同的总体，总体平均数 是不同的。
方差分析的基本思想是分析变异，也就是分解变异。 即：将数据总的变异分解为处理因素引起的变异和随
2.最小显著极差法(Least Significant ranges, LSR法)
是比较α个处理平均数的有序排列中两极端平均数间的差异 显著性。检验步骤如下：
心理统计学基础讲义 第七章 方差分析、统计效力
第七章 方差分析、统计效力方差分析原理：综合的F检验应用：两个以上平均数之间的差异检虚无假设：H0：μ1 = μ2 = μ3方差可分解，实验数据的总变异分解为若干不同来源的分变异，一般分为组内变异和组间变异组内变异：实验误差、被试差异等组间变异：不同实验条件造成的变异考察F = 组间均方/ 组内均方的显著性方差分析的前提总体正态分布变异互相独立各实验条件的方差齐性方差分析的步骤a. 求总和方、组间和方、组内和方b. 求总自由度、组间自由度、组内自由度c. 求组间均方、组内均方d. 计算F观测值e. 列方差分析表f. 查F表求F临界值g. 作判断符号系统K = 处理条件或组的数目n i = 第i 组的被试数目，若每组被试相等，则为n N = Σn i = 总被试数T i = ΣX ij = 每个组分数值的和 G = ΣX ij = 所有分数的总和 P = 每个被试的观察数目 单因素完全随机方差分析例：检验三个不同的学习方法的效应。
将学生随机分配到3个处理组 方法 A ：让学生只读课本, 不去上课. 方法 B ：上课,记笔记，不读课本.方法 C ：不读课本，不去上课, 只看别人的笔记解：虚无假设H 0：μ1 = μ2 = μ3 ，三种方法学习效果没有差异 备择假设：至少有一个组和其他不同G=30, N=15, 215G ==, 2106,3XK ==∑SS 总= ΣX 2 - G 2 / N =106 – 900 / 15 = 106 – 60 = 46 SS 组内= SS 1 + SS 2 + SS 3 = 6 + 6 + 4 = 16SS组间= Σ(T2/n i) - G2/N = 52/5 + 202/5 + 52/5 - 302/15 = 5 + 80 + 5 –60 = 30实际SS组间可以用SS总- SS组内快速求得，但不推荐df总= N – 1 = 15 -1 = 14df组内= N –K = 15 - 3 = 12df组间= K – 1 = 3 – 1 = 2MS组内= SS组内/ df组内= 16/12 = 1.333MS组间= SS组间/ df组间= 30/2 = 15F obs = MS组间/ MS组内= 15 / 1.333 = 11.25F0.05(2, 12) = 3.88F obs = 11.25 > F0.05(2, 12) = 3.88所以拒绝H0，至少有一组和其他不同事后检验N-K检验HSD检验Scheffe检验……注意：不能用两两之间t检验，P = 1 - (1 - α)n，例如本例P = 1 - (1 –0.05)3 = 0.143随机区组设计的方差分析又称重复测量方差分析，单因素组内设计，相关组设计，被试内设计解：G = 305.5，N = 32，ΣX2 = 2934.91，K = 4, n = 8SS总= ΣX2 - G2 / N = 2934.91 –305.52 / 32 = 18.33SS组内= SS1 + SS2 + SS3 + SS4 = 2.8 + 3.14 + 1.535 + 1.429 = 8.894SS组内= SS被试间+ SS误差SS被试间=Σ(P2/K) - G2/N = 1544.49/4 + 1482.25/4 + 1584.04/4 + 1310.44/4 + 1303.21/4 + 1444/4 + 1755.61/4 + 1274.49/4 - 305.52/32 = 8.062SS误差= SS组内- SS被试间= 8.894 - 8.062 = 0.832SS组间= Σ(T2/n i) - G2/N = 80.82/8 + 79.62/8 + 75.42/8 + 69.72/8 –305.52/32 = 816.08 + 792.02 + 710.645 + 607.261 –2916.57 = 9.436df总= N – 1 = 32 -1 = 31df组内= N –K = 32 - 4 = 28df组间= K – 1 = 4 – 1 = 3df被试= n – 1 = 8 – 1 = 7df误差= df组内–df被试= 28 –7 = 21MS误差= SS误差/ df误差= 0.832/21 = 0.040MS组间= SS组间/ df组间= 9.436/3 = 3.145F obs = MS组间/ MS误差= 3.145 / 0.040 = 78.63F0.01(3, 21) = 4.87F obs = 78.63 > F0.01(3, 21) = 4.87所以拒绝H0，至少有一组和其他不同事后检验：略协方差分析在某些实际问题中，有些因素在目前还不能控制或难以控制，如果直接进行方差分析，会因为混杂因素的影响而无法得出正确结论。