利息理论第一章-1
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第一章 利息理论
季度的实际利率为 3% ：
年名义利率为 12% ，每年结转 4 次利息； 年名义利率为 12% ，每年复利 4 次； 年名义利率为 12% ，每个季度结转一次利息； 年名义利率为 12% ，每个季度复利一次。
相关术语
利息结转期：
interest conversion period ； 每月结转一次： convertible monthly ； 每季支付一次： payable quarterly ； 每半年复利一次： compound semiannually ；
例：
若在 1999 年 6 月 17 日存入 1000 元，到 2000 年 3 月 10 日取款，年单利利率为 8 ％，试分别 按下列规则计算利息金额：
1 ） “ 实际 /365 ” 规则。 2 ） “ 实际 /360 ” 规则。Fra bibliotek（ （ （
3 ） “ 30/360 ” 规则。
（ 1 ）从 1999 年 6 月 17 日到 2000 年 3 月 10 日的精确天数为267 ，因此在 “ 实际 /365 ” 规则下， t = 267/365 ，利息金额为：
单贴现与复贴现的关系（ 了解 ）
单贴现和复贴现对单个时期产生的结果相同。 对于较长时期，单贴现比复贴现产生较小的现值， 而对较短时期情况则相反。 单贴现模式并不对应着单利的贴现模式，而复贴 现模式对应复利的贴现模式。
小结：
计算累积值和现值，既可以用利率，也可以用 贴现率。 如果 用利率计算累积值和现值 ，则有
期末的 1 元在期初的现值为：
此现值用贴现率d表示即为：
故有下图：
根据利率的定义，有
利率i与贴现率d的关系（3）
利息理论第一章-1
n n 1
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等， 从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两 者是一致的。
19
例题
例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
1
即4年后支付10000元的现值为7350.3
24
1.1.3
实际贴现率
1、定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内 取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母 来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
3
二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本 金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一 时期的利息金额。 注意：假定 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。
4
故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )； 当t 1时，a(t)<a* (t )；
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等， 从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两 者是一致的。
19
例题
例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
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解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
1
即4年后支付10000元的现值为7350.3
24
1.1.3
实际贴现率
1、定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内 取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母 来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
3
二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本 金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一 时期的利息金额。 注意：假定 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。
4
故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )； 当t 1时，a(t)<a* (t )；
《利息理论》复习提纲
《利息理论》复习提纲第一章 利息的基本概念 第一节 利息度量 一. 实际利率某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i 来表示。
利息金额I n =A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I 1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，则i n =I n /A(n-1)； 例题：1.1.1二．单利和复利考虑投资一单位本金，（1） 如果其在t 时刻的积累函数为 a(t)=1+i*t ，则称这样产生的利息为单利；实际利率 )()()()(1111-+=---=n i in a n a n a i n（2） 如果其在t 时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t ，则称这样产生的利息为复利。
实际利率 i i n =例题：1.1.3 三.. 实际贴现率一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d 来表示实际贴现率。
等价的利率i 、贴现率d 和贴现因子（折现因子）v 之间关系如下：,(1),1111,,,1d ii d i i d d iv d d iv v i d idi=+==-+=-==-=+例题：1.1.6 四．名义利率与名义贴现率用()m i 表示每一度量期支付m 次利息的名义利率，这里的m 可以不是整数也可以小于1。
所谓名义利率，是指每1/m 个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期的实际利率为()/m i m 。
与()m i 等价的实际利率i 之间的关系：()1(1/)m m i i m +=+。
名义贴现率()m d ，()1(1/)m m d d m -=-。
名义利率与名义贴现率之间的关系：()()()()m m m m i d i d m m m m-=⋅。
例题：1.1.9 五．利息强度定义利息强度（利息力）为()()()()t A t a t A t a t δ''==， 0()ts ds a t e δ⎰=。
利息理论第一章 1 优质课件
注意：积累和贴现是相反的过程。
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
23
例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
16
在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
25
a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
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例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
16
在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
25
a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i
利息理论1
注：若i1 与 d1 等价，i 与 等价，则 i1 2 d2
i 4.988% 5% ，债券投资优于储蓄。 1 i
i2 当且仅当
d1 d 2
。
d与i之间的几种变形有一些有趣的字面解释： 1) 1/(1+i) =1-d -- 此方程两边均表示在期末支付 1的现值。 2) d=iv -- 本金为v产生的利息量d正好为本金v乘以 利率i 3 ） i-d=id -- 某人可借贷 1 而在期末归还 1+i ，也可 以借贷1-d而在期末归还 1 。表达式i-d是所付利 息的差额，此种差额是因为所借本金相差 d 而产 生的。金额d依利率i在一时期末的利息就是id.
d i i , d 4） 1 d 1 i
例 假设期初借款人从贷款人处借入10000元，并约
定一年到期时还10500元。如果借款人希望期初时
即付给贷款人利息，1年到期时偿还本金10000元， 问：期初借款人实际可得金额是多少？
1 0.9524, d iv 0.04762 解：贴现因子 v 1 i
8
n 1, t2 n 时, 记
A(t2 ) A(t1 ) I t1 ,t2 A(t1 ) A(t1 )
表示从投资之日算起第n个时期的利率.
如果记息期为标准时间单位, 通常是一年,一月或 一季,或”一个时期”,则所得利率常称为实(质)利 率. 定义1.4 (实)利率i是指在某一时期开始时投资1 单位本金时，在此时期内应获得的利息。 如：一年期存款，年利率i=2.25%, 故 a(1)=1+2.25% 本金100元，年末累积值为 100(1+2.25%)=102.25元 显然， A(n)=A(n-1)(1+in)
定义 利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转
i 4.988% 5% ，债券投资优于储蓄。 1 i
i2 当且仅当
d1 d 2
。
d与i之间的几种变形有一些有趣的字面解释： 1) 1/(1+i) =1-d -- 此方程两边均表示在期末支付 1的现值。 2) d=iv -- 本金为v产生的利息量d正好为本金v乘以 利率i 3 ） i-d=id -- 某人可借贷 1 而在期末归还 1+i ，也可 以借贷1-d而在期末归还 1 。表达式i-d是所付利 息的差额，此种差额是因为所借本金相差 d 而产 生的。金额d依利率i在一时期末的利息就是id.
d i i , d 4） 1 d 1 i
例 假设期初借款人从贷款人处借入10000元，并约
定一年到期时还10500元。如果借款人希望期初时
即付给贷款人利息，1年到期时偿还本金10000元， 问：期初借款人实际可得金额是多少？
1 0.9524, d iv 0.04762 解：贴现因子 v 1 i
8
n 1, t2 n 时, 记
A(t2 ) A(t1 ) I t1 ,t2 A(t1 ) A(t1 )
表示从投资之日算起第n个时期的利率.
如果记息期为标准时间单位, 通常是一年,一月或 一季,或”一个时期”,则所得利率常称为实(质)利 率. 定义1.4 (实)利率i是指在某一时期开始时投资1 单位本金时，在此时期内应获得的利息。 如：一年期存款，年利率i=2.25%, 故 a(1)=1+2.25% 本金100元，年末累积值为 100(1+2.25%)=102.25元 显然， A(n)=A(n-1)(1+in)
定义 利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转
第1章利息理论
i ( m ) m 1 [1 ] m
[1
i
(m)
m
]m
2.名义贴现率：现率为
(m)
表示每
d ( m ) 计息的名义贴现率，设与之等价的实际 贴现率 m
1 m
个度量期以实际
d ，则有：
( m)
d m 1 d (1 ) m
a ( s) 0 s ds 0 a(s) ds ln a(t )
t t
'
0 s ds a(t ) e
或
t
a(t ) (1 i) 时， t ln( 1 i)
t
e 1 i
例：如果 t 0.01t , 0 t 2，确定投资1000元 在第1年末的积累值和第2年内的利息金额。
例1：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的 还款期是20年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第 2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。
20万元
0 1 2
…
19
20
x
解得
x
x
x
xa20 200000
0.05 x 200000 16048.52 20 1 1.05
例：计算年利率为3%的条件下，每年年末投 资3000元，投资20年的现值及积累值。如果 投资在每年年初进行，那么投资20年的现值 及积累值又分别是多少？
n 2 n
sn i
2. 期初付n期年金的现值和终值
1
0
1
1
1
2
…
…
1
n-1 n
1 vn 1 vn n 1 v v 2 v n1 a 1 v d n n 1 v (1 i) 1 n n n an (1 i) s (1 i) d d
利息理论第一章 利息的基本概念
t t t 0
从而有，
∫0 δ s ds = A(t ) = a (t ) = a(t ) e A(0) a (0)
t
这样我们便得到了利息强度和积累函数之间的关 系。如果已知各个时刻利息强度，便可以求得人一时 刻的积累函数。 例、如果δ t = 0.01t , 0 ≤ t ≤ 2, ，确定投资1000元 ，确定投资1000元 在第一年末的积累值和第二年内的利息金额。 解：
在《利息理论》这门课程中，我们将着重讨 论以下几个方面的问题： 1、金融产品价格的确定。例如，年金、 债券、股票等。 2、分析投资的可行性，确定投资的收益率。 3、设计债务人的各种偿还计划，并且分析 各种偿还计划的特点。 4、分析企业的财务状况，如固定资产的折 旧和固定资产的选择。
在西方资本主义发达的国家，《利息理论》 这门课程也被称作《Financial Mathematics》 这门课程也被称作《Financial Mathematics》, 即《财务数学》。也就是说《利息理论》这门 课程实际上是利用数学的方法定量分析个人、 企业的财务状况，包括：投资收益分析、融资 成本分析、债务偿还分析以及企业自身内部的 固定称的分析。因此，学好利息理论这门课程 十分必要，它是我们先前所学到的诸如《财务 管理》、《金融市场学》等课程的必要补充， 能帮助我们用数学的方法精确的度量各种金融
前面定义的各种利息度量方式都是用来度量在规定 的时间去间内的利息。实际利率和实际贴现率度量的是 一个度量期内的利息，而名义利率和名义贴现率则用来 度量在1/m 度量在1/m个度量期内的利息。 在很多情形下，我们还希望能度量在每一时间点上 的利息，也就是在无穷区间上的利息。这种对利息在各 个时间点上的度量叫做利息强度。 利息强度 δ t 定义如下：
从而有，
∫0 δ s ds = A(t ) = a (t ) = a(t ) e A(0) a (0)
t
这样我们便得到了利息强度和积累函数之间的关 系。如果已知各个时刻利息强度，便可以求得人一时 刻的积累函数。 例、如果δ t = 0.01t , 0 ≤ t ≤ 2, ，确定投资1000元 ，确定投资1000元 在第一年末的积累值和第二年内的利息金额。 解：
在《利息理论》这门课程中，我们将着重讨 论以下几个方面的问题： 1、金融产品价格的确定。例如，年金、 债券、股票等。 2、分析投资的可行性，确定投资的收益率。 3、设计债务人的各种偿还计划，并且分析 各种偿还计划的特点。 4、分析企业的财务状况，如固定资产的折 旧和固定资产的选择。
在西方资本主义发达的国家，《利息理论》 这门课程也被称作《Financial Mathematics》 这门课程也被称作《Financial Mathematics》, 即《财务数学》。也就是说《利息理论》这门 课程实际上是利用数学的方法定量分析个人、 企业的财务状况，包括：投资收益分析、融资 成本分析、债务偿还分析以及企业自身内部的 固定称的分析。因此，学好利息理论这门课程 十分必要，它是我们先前所学到的诸如《财务 管理》、《金融市场学》等课程的必要补充， 能帮助我们用数学的方法精确的度量各种金融
前面定义的各种利息度量方式都是用来度量在规定 的时间去间内的利息。实际利率和实际贴现率度量的是 一个度量期内的利息，而名义利率和名义贴现率则用来 度量在1/m 度量在1/m个度量期内的利息。 在很多情形下，我们还希望能度量在每一时间点上 的利息，也就是在无穷区间上的利息。这种对利息在各 个时间点上的度量叫做利息强度。 利息强度 δ t 定义如下：
利息理论 第1章 利息的基础知识
3）贴现率与利率
d=
或：
an an1 an
=
(1+i )n (1+i ) n1 (1+i ) n
=
i 1+i
d = i v i=
d 1 d
4）贴现率与折现因子
公式一 公式二
d = 1 v
及：
vt = v = (1 d )
t
t
及：
v = 1 d
at = (1 d )
t
日的积累值为1， 例：94年1月1日的积累值为 ，000元，d=10% 年 月 日的积累值为 元 日的现值为多少？ 求：1）90年1月1日的现值为多少？ ） 年 月 日的现值为多少 2）年利率为多少? ）年利率为多少 3）折现因子为多少？ ）折现因子为多少？ 解： 1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2) d 1d
m→∞
(m)
δ = lim m[(1 + i ) 1]
1 m
m →∞
= lim
= lim
m →∞
1 (1 + i ) m 1 m
1
m→∞
= lim
1 ) m2
1 [( 1+ i ) m 1 ( m )'
。
1 ] '
m→∞
1 ln(1+i )(1+ i ) m
(
12 m
= lim (1 + i) ln(1 + i)
（1）单利 设年利率为i ，期初本金为1
1 1+i 1+2i 1+it
0
1
2
t
at=1+it
复利
设利率为i，期初本金为1。
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i 指第一个度量期上的实际利率，实际上它是单位
本金在第一个度量期内产生的利息金额。
则：
10
a(1) a(0) i 1 i i 1 i 1 a(1) a(0) a(1) a(0) a(0) A(1) A(0) A(0) I1 A(0)
11
第n个度量期的实际利率表达式：
a(n) a(n 1) (1 in) [1 i(n 1)] in a(n 1) 1 i(n 1) i 对整数n 1 1 i (n 1)
i
in关于n递减，且当n取值较大时，实际利率in 将变得较小。 故常数的单利意味着递减的实际利率。
18
假设每期以复利 i 计息，则在投资期间，不同度 量期将产生不同的利息；实际上
n n 1
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等， 从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两 者是一致的。
19
例题
例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
2、复利
t a ( t ) (1 i ) 如果其在t时的积累值为：
则说这笔投资以每期复利 i 计息，并将这样产生的利 息称为复利。
15
3、单利和复利的比较 （1）从利息的角度
在常数的单利i下，每一个度量期上产生的利息量都 相同，均为常数i。
在常数的复利i下，每一个度量期上产生的利息量不同， 实际上，In a(n) a(n 1) i(1 i) n1随着n而增大。
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。 （2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
(2) 积累函数的性质
a(t )是t的函数，且a(0) 1
5
a(t )一般为t的单增函数； a(t )一般为t的连续函数。
5、总量函数A(t)
0时刻投资的 k 单位本金在时刻t的积累值，称为总 量函数。符号为 A(t )
则有 A(t ) k a(t )
6
1 a （1）定义： 称积累函数a(t ) 的倒数 (t ) 为t期折 现因子或折现函数。特别地，把一期折现因子 a1 (1)
假设I n为从投资日算起第n个度度量期的实际利率，则 In a(n) a(n 1) A(n) A(n 1) in a(n 1) A(n 1) A(n 1) 对整数n 1
12
例题
例1 某人到银行存入1000元，第一年末他存 折上的余额为1050元，第二年末他存折 上的余额为1100元，问：第一年、第二 年的实际利率为少？
21
贴现函数的定义
一般的，对应于积累函数a(t )，a 1 (t )就是为使在t个周期期末的 积累值为1，而在开始时投资的本金金额。a 1 (t )称为贴现函数。 1 在常数的单利i下，a (t ) ， 1 it 1 1 在常数的复利i下，a (t ) . t （ 1 i）
1
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
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I n a(n) a(n 1) (1 i)n (1 i)n1 i (1 i)n1 i a(n 1)
令in (n 1)表示第n个度量期内的实际利率，则 a(n) a(n 1) (1 i ) (1 i) in n 1 a(n 1) (1 i)
在此假定下，决定积累值的两个最主要的因 素就是本金金额和投资期的长度。 投资期的长度可以用不同的时间单位来度量。 例如：日、周、月、季、半年、一年等。用 来度量投资期的长度时间的单位称为“度量 期”或“期”，最常用的是年。（以后除非 另外说明，均可认为一个度量期为一年。） 4、积累函数 （1）定义
0时刻投资一单位的本金，在t时刻的积累值称为 该时刻的积累函数，记为a(t )
4、实际贴现率与单、复利之间的关系
(1)若每期以单利i计息，则第n个度量期上的 a(n) a(n 1) i 实际贴现率为d n ， a ( n) 1 in 可见，d n为n的，则第n个度量期上的
a(n) a(n 1) （ i 1 i) n i 实际贴现率为d n 常数 n a ( n) (1 i) 1 i
6、t期折现因子
简称为折现因子，并记为 v 。
（2）意义： 第t期折现因子a1 (t ) 是为了使在t 期末的积累值为1，而在开始时投资的本金金额。
7、现值或折现值
我们把为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投 资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。在 1 k a (t ) t期末支付k的现值为
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例题
例6 某人到银行存入1000元，第一年末他 存折上的余额为1050元，第二年末他存 折上的余额为1100元，问第一年、第二 年的实际贴现率为多少？
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引例
某人有一张在一年以后到期的100元的票 据，由于现在急需现金到银行去贴现， 若银行只支付给他90元，即预先扣除了 10元的贴现值，则银行的实际贴现率为 10%，银行在期初支付了90元，在期末 可以得到100元，故其实际利率11.11%。
解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
1
即4年后支付10000元的现值为7350.3
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1.1.3
实际贴现率
1、定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内 取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母 来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
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5、“等价”的概念：
（ 1）定义
如果对于给定的投资金额，在同样长的时期内，它 们产生同样的积累值，则称两个“率”是“等价”的。 （2）实际利率与实际贴现率等价的关系式：
一般地，若某人以d 借款1，则实际上贷出者的 本金为1 d , 而利息为d，对贷出者来说，若这笔 d 业务的实际利率为i,则i ，i d。 1 d i 将上式整理得，d 。 1 i
I n 表示在一个时间区间上所产生的，在最后
时刻支付利息的量，A(n) 表示在一特定时刻的积累量。
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1.1.1
实际利率
1、定义：某一个度量期的实际利率是指该度量期内 得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之 比。通常，实际利率用字母 表示。 i 注意：这里的度量期为标准的时间单位，如：年、 季、月等，本书中若无特别说明，实际利率一般指的 年实际利率 2、实际利率的公式推导
7
注意：积累和折现的区别
积累和折现是两个相反的过程，积累值 和过去支付的款项有关，现值和未来得 到的款项有关。
a(t ) 是0时刻的1单位本金在t时刻的积累 1 a 值； (t ) 是t时刻的1单位本金在0时刻的 现值。
8
8、利息金额
把从投资日起第n个时期所得的利息金额记为 I n ，则
I n A(n) A(n 1)
（2）从积累形式来看 在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为 投资本金在以后的时期再赚取利息。
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在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
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二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本 金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一 时期的利息金额。 注意：假定 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。
4
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例4 如果上述银行以复利计息，其他条件不变， 重解上例。 解： 5
A(5) 5000 a(5) 5000(1 6%) 6691.13
附加内容:(贴现函数或现值） 本金为1的投资在第一个度量期末将会有1+i的积累值，1+i称为 积累因子。反之，为使第一个度量期末的积累值为1，在期初 投资的本金额必须是(1+i)1。(1+i)1称为贴现因子。记为v
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例2 某人投资1000元于一年期证券上，该证 券年实际利率为10%，问：一年后，此 人将得到的金额为多少？其中的利息为 多少？
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1.1.2 单利和复利
1、单利
考虑投资一单位本金，如果其在t时的积累值为：
a(t ) 1 it
则说这笔投资以每期单利 i 计息，并称这样的利息称 为单利。
故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )； 当t 1时，a(t)<a* (t )；
*
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（4）常数的单复利与实际利率的关系 假设每期以单利 i 计息，则在投资期间，每一度量 期产生的利息均为常数i ；令 in (n 1)为第n个度 量期内的实际利率，则