人教版九年级上册数学圆内接四边形作业课件含答案
初中数学：圆内接四边形练习(含答案)
初中数学：圆内接四边形练习（含答案）知识点 1 圆内接四边形的性质——圆内接四边形的对角互补1．2016·丽水如图3－6－1，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．已知∠ BCD＝110°，则∠BAD＝_______ °.2．已知四边形ABCD内接于⊙ O，且∠ A∶∠C＝1∶2，则∠A＝_____ °.图3－6－23．如图3－6－2，四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，且∠ ABC＝115°，那么∠ AOC＝4．如图3－6－3，AB是半圆O的直径，C，D 是AB上两点，∠ ADC＝120°，则∠ BAC＝图3－6－3图3－6－45．如图3－6－4，点A，B，C，D都在⊙ O上，∠ B＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙ O的直径是____ ．6．在圆内接四边形ABCD中，∠ A∶∠ B∶∠ C＝2∶3∶6，求∠ D的度数．CD.7．如图3－6－5，四边形ABCD内接于⊙ O，AD∥BC，求证：AB＝图3－6－5知识点 2 圆内接四边形的性质的推论——圆内接四边形的外角等于其内对角8．2017·嵊州市模拟如图3－6－6，点A，B，C，D在圆O上，点 E 在AD的延长线上，若∠ ABC＝60°，则∠ CDE的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．70°9．如图3－6－7，四边形ABCD内接于⊙ O，点E在BC的延长线上，若∠ BOD＝120°，则∠DCE＝___ °.10．如图3－6－8 所示，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点 E. 若BC＝BE.求证：△ ADE是等腰三角形．图3－6－6图3－6－811．如图3－6－9，△ ABC 内接于⊙ O ，∠ OBC ＝40°，则∠ A 的度数为 ( ) A ．80° B ．100° C ．110° D ．130°12．如图 3－6－10，在平面直角坐标系中， ⊙C 过原点 O ，且与两坐标轴分别交于点 A ，B ， 点 A 的坐标为(0，3)，M 是O ︵B 上一点，且在第三象限内．若∠BMO ＝120°，则⊙C 的半径为 ()A ．6B ．5C ．3 2D ．313．如图 3－6－11，已知四边形 ABCD 内接于半径为 4的⊙O 中，且∠C ＝2∠A ，则 BD ＝图 3－ 6－ 11图 3－6－1014．如图3－6－12，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，求四边形ABCD的面积．图3－6－1215．(1) 已知：如图3－6－13①，四边形ABCD内接于⊙ O，延长BC至点E，则∠A＋∠ BCD ＝180°，∠ DCE＝∠A.(2) 依已知条件和(1) 中的结论：如图②，若点 C 在⊙O外，且A，C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠ A＋∠ BCD 与180°的大小关系；如图③，若点 C 在⊙O内，且A，C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠ A＋∠ BCD与180°的大小关系．(3) 如图3－6－14，四边形ABCD内接于⊙ O，∠DAB＝130°，连结OC，P 是半径OC上任意一点，连结DP，BP，则∠ BPD的度数可能为_____ (写出一个即可)．图3－6－14详解详析1．702．60 ［解析］∵四边形ABCD内接于⊙ O，∴∠A＋∠C＝180°.又∵∠A∶∠C＝1∶2，∠A＝60°.3．130 ［解析］∵四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，且∠ ABC＝115°，∴∠ ADC＝180 －∠ ABC＝180°－115°＝65°，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×65°＝130°.4．305. 136．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ A＋∠ C＝180°，∠ B＋∠D＝180°.∵∠ A∶∠ B∶∠ C＝2∶3∶6，设∠ A＝2α，∠ B＝3α，∠ C＝6α，则2α＋6α＝180°，∴α ＝22.5 °，∴∠ B＝3α ＝67.5 °，∴∠ D＝180°－∠ B＝112.5 °.7．证明：∵ AD∥BC，∴∠ A＋∠ B＝180°.∵四边形ABCD内接于⊙ O，∴∠ A＋∠ C＝180°，∴∠ B＝∠ C，∴ AC＝BD，∴AC－AD＝BD－AD，即AB＝CD，∴AB＝CD.8．C ［解析］∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.∵∠CDE＋∠ADC＝180°，∠ ABC＝60°，∴∠CDE＝∠ABC＝60°.故选 C.9．60 ［解析］∵∠BOD＝120°，∴∠BAD＝60°. 又∠ BAD＋∠ BCD＝180 ＝180°，∴∠ DCE＝∠ BAD＝60°.10．证明：∵ BC＝BE，∴∠ E＝∠ BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ A＋∠ DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠ A＝∠ BCE，则∠ A＝∠E，∴AD＝DE，∴△ ADE是等腰三角形．11．D ［解析］如图，连结OC.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40∴∠ BOC＝100∵∠ 1＋∠ BOC＝360°，，∠DCE＋∠ BCD∴∠ 1＝260°.1∵∠A＝2∠1，∴∠A＝130°.故选 D.12．D ［解析］∵四边形ABMO内接于⊙ C，∴∠BMO＋∠BAO＝180°. ∵∠ BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.又∵AO⊥BO，A（0，3），∴AB＝2AO＝6，∴⊙C的半径为 3.故选 D.13．4 3 ［解析］连结OD，OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，∴DF＝BF，∠DOF＝∠BOF.∵ 四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠C＝180°.∵∠C ＝2∠A，∴∠A＝60°，∴∠BOD ＝120°，∴∠ BOF＝60°. ∵OB＝4，∴ BF＝2 3，∴ BD＝2BF＝4 3.14．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点 F.∵∠ADF＋∠ABC＝180°（圆内接四边形的对角互补），∠ ABE＋∠ ABC＝180∴∠ ADF＝∠ ABE.在△ AEB与△ AFD中，∠ABE＝∠ADF，∠AEB＝∠AFD，AB＝AD，∴△ AEB≌△ AFD，∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF. 又∵∠ E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC.∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，∴∠ CAF＝30°.∵AC＝1，∴ CF＝21，AF＝23，15．解：(2) 如图①，连结DE.∵∠ A＋∠ BED＝180°，∠ BED>∠ BCD，∴∠ A＋∠ BCD<180°.如图②，延长DC交⊙ O于点E，连结BE.∵∠ A＋∠ E＝180°，∠ BCD>∠E，∴∠ A＋∠ BCD>180 (3) 答案不唯一，如80∴四边形ABCD的面积＝2S△ ACF＝12×21CF×AF＝11。
2018-2019学年九年级数学上册：3.6圆内接四边形含答案
3.6 圆内接四边形圆内接四边形的对角互补，外角等于内对角．1.在圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C等于(D).A.20°B.30°C.70°D.110°2.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的度数为(A).A.80°B.100°C.60°D.40°（第2题）（第3题）(第4题)3.如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为(C).A.55°B.50°C.45°D.40°4.如图所示，圆心角∠AOB=120°，P是上任意一点(不与点A，B重合)，点C在线段AP的延长线上，则∠BPC 等于(B).A.45°B.60°C.75°D.85°5.如图所示，△ABC内接于圆O，AB=AC，P是上一点，∠BAC=30°，则∠APB等于(A).A.105°B.110°C.115°D.120°(第5题)(第6题)(第7题)(第8题)6.如图所示，BC为半圆O的直径，A，D为半圆上两点，若A为半圆弧的中点，则∠ADC= 135°．7.如图所示，⊙O是四边形ABCD的外接圆，CE∥AD交AB于点E，BE=BC，∠BCD=122°，则∠ADC= 116° .8.如图所示，已知四边形ABCD内一点E，若EA=EB=EC=ED，∠BAD=70°，则∠BCD= 110°．9.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，C是的中点，AB和DC的延长线交于⊙O外一点E.求证：BC=EC．(第9题) （第9题答图）【答案】如答图所示，连结AC.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°=∠ACE.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠ABC=180°∵∠ABC+∠EBC=180°.∴∠EBC=∠D.∵C是的中点，∴∠1=∠2.∴∠1+∠E=∠2+∠D=90°.∴∠E=∠D，∴∠EBC=∠E.∴BC=EC.10.(1)如图1所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长BC 至点E.求证：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．(2)根据已知条件和(1)的结论：①如图2所示，若点C 在⊙O 外，且A ，C 两点分别在直线BD 的两侧，试确定∠A+∠BCD 与180°的大小关系． ②如图3所示，若点C 在⊙O 内，且A ，C 两点分别在直线BD 的两侧，试确定∠A+∠BCD 与180°的大小关系．(第10题)（第10题答图） 【答案】(1)∵,∴∠A+=180°.∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠DCE=∠A.(2)①如答图1所示，连结DE.∵∠A+∠BED=180°，∠BED＞∠BCD，∴∠A+∠BCD＜180°.②如答图2所示，延长DC 交⊙O 于点E ，连结BE.∵∠A+∠E=180°，∠BCD＞∠E，∴∠A+∠BCD＞180°.11.如图所示，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，B ，点A 的坐标为(0，3)，M 是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径为(C ).A.6B.5C.3D.2 (第11题) （第12题）(第14题) (第15题)（第15题答图）12.如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O，F 是上一点，且，连结CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连结AC.若∠ABC=105°，∠BAC=30°，则∠E 的度数为(A ).A.45°B.50°C.55°D.60°13.四边形ABCD 内接于圆，且CD=1，AB=2，BC=2，∠ABC=45°，则四边形ABCD 的面积是(D ). A. 333+ B. 4223+ C. 3223+ D. 433+ 14.如图所示，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，以点O 为圆心作⊙O，点A ，C 分别是⊙O 与x 轴负半轴、y 轴正半轴的交点，点B ，D 在⊙O 上，则∠ADC 的度数是 135° ．15.如图所示，在⊙O 内接四边形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=BC=6，E ，F 分别是AD ，CD 的中点，连结BE ，BF ，EF.若四边形ABCD 的面积为113，则△BEF 的面积为 53 .【解析】如答图所示，连结AC ，作BM 垂直EF 于点M ，交AC 于点N.∵AE=ED，DF=FC ，∴EF∥AC，EF=21AC.∵BM⊥EF，∴BM⊥AC.∵BA=BC，∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形.∵AB=BC=AC=6，∴S △ABC =43×62=93.∵四边形ABCD 的面积为113，∴S △ADC =23.∴S △ABC ∶S △ADC =9∶2.∴BN∶MN=9∶1.∵BN=23×6=33，∴MN=33.∴BM=3310.又∵EF=21AC=3.∴S △BEF =21·EF·BM=21×3×3310=53. (第16题)16.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外接圆的上的一点(不与点A ，C 重合)，延长BD 至点E ．(1)求证：AD 的延长线平分∠CDE．(2)若∠BAC=30°，且△ABC 底边BC 边上高为1，求△ABC 外接圆的周长．【答案】(1)如答图所示，设F 为AD 延长线上一点.∵A，B ，C ，D 四点共圆，∴∠CDF=∠ABC.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF.∵∠ADB=∠EDF，∴∠EDF=∠CDF，即AD 的延长线平分∠CDE.（第16题答图）(2)如答图所示，设O 为外接圆圆心，连结AO 并延长，交BC 于点H ，连结OC.∵AB=AC ，∴.∴AH⊥BC.∴∠OAC=∠OAB=21∠BAC=15°.∴∠COH=2∠OAC=30°.设圆半径为r ，则OH=23r.∵△ABC 中BC 边上的高为1，∴AH=OA+OH=r+23r=1，解得r=4-23.∴△ABC 的外接圆的周长为(8-43)π. 17.如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O，∠D=90°，P 为上一动点(不与点C ，D 重合). (1)若∠BPC=30°，BC=3，求⊙O 的半径.(2)若∠A=90°，，求证：PB-PD=2PC.（第17题） （第17题答图）【答案】(1)如答图所示，连结AC.∵∠D=90°，∴AC 是⊙O 的直径.∵∠BAC=∠P=30°，∴AC=2BC=6.∴⊙O 的半径为3.(2)∵∠A=90°，∴∠BCD=90°.∵AC 为⊙O 直径，∴∠D=∠ABC=90°.∴四边形ABCD 为矩形.∵，∴AB=AD.∴矩形ABCD 为正方形.在BP 上截取BE=DP ，由SAS 易证△BCE≌△DCP.∴PC=CE，∠BCE＝∠DCP.∵∠ECP＝∠ECD+∠DCP＝∠ECD+∠BCE＝90°,∴△CPE 为等腰直角三角形.∴PE=2PC.∴PB=PD+2PC.即PB-PD ＝2PC.18.【广东】如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O，DA=DC ，∠CBE=50°，则∠DAC 的大小为(C ).A.130°B.100°C.65°D.50°（第18题）（第19题）19.【南京】如图所示，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连结AC ，AE.若∠D=78°，则∠EAC= 27° .20.如图所示，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，F 是CD 延长线上的一点，且AD 平分∠BDF，AE⊥CD 于点E.(1)求证：AB=AC.(2)若BD=11，DE=2，求CD 的长.（第20题） （第20题答图）【答案】(1)∵AD 平分∠BDF，∴∠ADF=∠ADB.∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADF=180°，∴∠ADF=∠ABC.∵∠ACB=∠ADB，∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.(2)如答图所示，过点A 作AG⊥BD，垂足为点G.∵AD 平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，∴AG=AE，∠AGB=∠AEC=90°.在Rt△AED 和Rt△AGD 中，∵⎩⎨⎧==ADAD AG AE ,∴Rt△AED≌Rt△AGD.∴GD=ED=2.在Rt△AEC 和Rt△AGB 中，∵⎩⎨⎧==AB AC AG AE ，∴Rt△AEC≌Rt△AGB.∴CE ＝BG.∵BD=11，∴BG=BD -GD=11-2=9.∴CE=BG=9.∴CD=CE -DE=9-2=7.。
圆内接四边形的性质判定定理习题及答案
圆内接四边形的性质与判定定理习题及答案2.处理过程：让学生独立完成这两道自测题成两组,每一组推荐一名同学说出解题思路和答案.例1 (2011·课标全国卷)如图3,D,E分别为△ABC 的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于方程x2-14x+mn=0的两个根.(1)证明:C,B,D,E四点共圆;(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径. 1.选题立意:本题考查三角形相似、四点共圆的基本知识与方法,考查推理论证能力及运算求解能力.2.处理过程：第(1)小题是证明四点共圆问题，那么要证四点共圆,我们有那些方法呢?通过提问让学生在大脑中搜索相关知识,寻找最佳解题方案这样问题可以转化为证明Rt△ADE与似,从而利用本节的推论来证明四点共圆题是计算问题，关键是引导学生如何确定圆心的位置.根据圆的性质可知,圆心即为该圆弦的中垂线的交点，问题就转化为在矩形AFHG半径了.3.老师点评：证明四点共圆主要是利用圆内接四能力锤炼:能说的让学生说,学生能做的让学生做第(2)小题实际上是证明角相等问题,请一个学生用分析法来寻求证明思路.当学生“找路”有困难时，及时正确引导，同时注意引导方式3.老师点评：解答平面几何问题时不仅要用到几何定理，而且还要用到各种不同的推理形式，推理策略，有时还要使用“添加辅助线”之类的技巧性较高的方法.在几何学习中，除了运用逻辑推理外，还要应用观察、比较、类比、直觉、猜想、归纳、概括等合情推理.如图6,已知△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外接圆劣弧AC ⌒上的点(不与A,C 重合),延长BD 到E. (1)求证:AD 的延长线平分∠CDE;(2)若∠BAC=30°,△ABC 中BC 边上的高为2+ 3 ,求△ABC 外接圆的面积.设计意图:检验所学习的知识，从而熟练掌握本节的重点，形成相应的数学能力.1. 如图7,在Rt △ABC 中,∠BCA=90°,以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点,D 为AC 的中点,连结BD 交⊙O 于F 点.求证:BC BE = CF EF. 2. 如图8,AB 为⊙O 的弦,CD 切⊙O 于P,AC ⊥CD 于C,BD ⊥DC 于D,PQ ⊥AB 于Q,求证:PQ 2=AC ·BD.3. 如图9,已知AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于B,C 两点,圆心O 在∠PAC 的内部,点M 是BC 的中点.(1)证明:A,P,O,M 四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM 的大小.4.E,EG 平分∠E,且与BC 、AD F5.如图11,已知PA 、PB 是圆O 的切线分别是切点,C 为圆O 上不与A 重合的另一点,若∠ 一、 选择题1. 下列关于圆内接四边形叙述正确的有2. 3. 4.C.12aD.13a5.圆内接四边形ABCD 中，BA 与CD 的延长线交于点P,AC 与BD 交于点E,则图中相似三角形有A.5对B.4对C.3对D.2对6.如图，已知圆内接四边形ABCD 的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 面积为A.163 B.8 C.323D.DT6 T7 T127.如图，在以BC 为直径的半圆上任取一点P ,过弧BP 的中点A 作AD BC ⊥于D.连接BP 交AD 于点E,交AC 于点F,则:BE EF =A.1:1B.1:2C.2:1D.以上结论都不对8.直线370x y +-=与20kx y --=与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k = B.3 C.-6 D.6二、填空题9.圆内接四边形ABCD 中，cos cos cos cos A B C D +++= . 10.三角形三边长为5,12,13,则它的外接圆圆心到顶点的距离为 . 11.圆内接四边形ABCD 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则D ∠= .12.如图，AB 为半圆O 的直径，C 、D 为半圆上的两点，20BAC ∠=，则ADC ∠= .三、解答题13.如图，锐角三角形ABC 中，60A ∠=，BC 为圆O 的直径，⊙O 交AB 、AC 于D 、E ，求证：2BC DE =.DBOCEA14.求证：在圆内接四边形ABCD 中，AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅.15.在等边三角形ABC 外取一点P ,若P A P B P C =+，求证：P 、A 、B 、C 四点共圆.16.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，M 为CD 中点，N 为AB 中点，AC BD ⊥于点E ，连接ON 、ME ，并延长ME 交AB 于点F.求证：MF AB ⊥.ABC17.已知：如图所示，10,8,AB cm BC cm ==CD 平分ACB ∠. (1)(2)18.求证：19.E,交BC 于点F,(1)求⊙(2)设∠圆内接四边形的性质与判定定理(参考答案)一、 选择题1-5 BBCAB 6-8 DAB 二、填空题9. 0 10.13211.90 12.110三、解答题13.法一：302ABE ABE AB AE ∠=⇒∆=在Rt 中，12A D A E D E A D EA CB AC A B B C ∆∆⇒===∽ 法二：连接BE, 30ABE DE∠=⇒ 的度数为6060DOE ⇒∠=即ODE ∆为正∆ OD DE ⇒=14.在AC 上取点E,使1,23ADE ∠=∠∠=∠又A EB C A D E B D C A E B D A D B CA DB D⇒∆∆⇒=⇒⋅=⋅∽ ①1A D E A D B C D E A B D A C D A B D E C D∠=∠⇒∠=∠∠=∠∆∆又得∽AB BDBD EC AB CD EC CD⇒=⋅=⋅即 ② ①+②即可15.延长PC 至D,作CAD BAP ∠=∠，并取AD=AP ，则A D P A B P A B P A C D ∆≅∆⇒∠=∠⇒P 、A 、B 、C 四点共圆16.,DE EC DM MC EM DM ⊥=⇒=M D E D E M ⇒∠=∠ 90EAF AEF MDE AEF DEM MEC ⇒∠+∠=∠+∠∠=∠+∠=17.(1)6,52AC BD ==(2)49ACB ADB ABCD S S S ∆∆=+=四边形18.法一：连结EF,,9090180DE AB DF AC AED AFD ⊥⊥⇒∠+∠=+=⇒A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF BEF C ⇒∠=∠⇒∠+∠90180B E D D E F CD A F C =∠+∠+∠=+∠+∠=321BEADCPBAC法二： A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF ⇒∠=∠9090A E F D E F D A F C⇒∠=-∠=-∠=∠19.(1)10156104OE AO R R AEO ADC R CD AC -∆∆⇒=⇒=⇒=∽ (2)90EFB EGC βα∠=∠⇒+=。
九年级数学：圆内接四边形练习(含答案)
九年级数学：圆内接四边形练习（含答案）1．圆内接四边形的对角________．2．圆内接四边形的外角等于内对角．A组基础训练1．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠C＝80°，则∠A等于( )A．120° B．100° C．80° D．90°第1题图2．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为( )第2题图A．100° B．120° C．140° D．160°3．圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C＝1∶2∶5，则∠D等于( )A．60° B．120° C．140° D．150°4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠BOD＝120°，则∠BCD的度数为( ) A．120° B．90° C．60° D．30°第4题图5.如图，已知∠BAE＝125°，则∠BCD＝________度．6．平行四边形ABCD 为圆内接四边形，则此平行四边形是________． 7．⊙O 的内接四边形ABCD ，∠AOC ＝140°，∠D ＞∠B ，则∠D ＝________．8．如图，已知四边形ABCD 内一点E ，若EA ＝EB ＝EC ＝ED ，∠BAD ＝70°，则∠BCD ＝________．第8题图9．如图，已知AD 是△ABC 的外角平分线，与△ABC 的外接圆交于点D. (1)求证：DB ＝DC ；(2)若过D 作DP⊥AC 于点P ，DQ ⊥BA 于点Q ，求证：△CDP≌△BDQ.第9题图10．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于点E ，交BC ︵于点D. (1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)连结CD ，设∠CDB ＝α，∠ABC ＝β，试找出α与β之间的一种关系式，并予以证明．B 组 自主提高8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连结CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连结AC.若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )第11题图A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°12．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点O 在四边形ABCD 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD 的度数为________．第12题图13．如图所示，AB ＝AC ，AB 为⊙O 的直径，AC 、BC 分别交⊙O 于E 、D ，连结ED 、BE. (1)试判断DE 与BD 是否相等，并说明理由； (2)如果BC ＝6，AB ＝5，求BE 的长．第13题图C组综合运用14.如图，正方形ABCD，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P.(1)BE、CF有怎样的数量关系和位置关系？(2)判断点P，F，A，B共圆吗？(3)直接写出∠FPA相等的角．(4)求证：AP＝AB.第14题图3．6 圆内接四边形【课堂笔记】 1．互补 【课时训练】 1－4.BCBA 5. 125 6. 矩形 7.110° 8.110°9．(1)∵AD 是∠EAC 的平分线，∴∠DAC ＝∠DAE.∵四边形ABCD 内接于圆，∴∠DCB ＝∠DAE，∵∠DAC ＝∠DBC，∴∠DCB ＝∠DBC，∴DB ＝DC ； (2)∵AD 平分∠EAC，DP ⊥AC ，DQ ⊥BA ，∴DP ＝DQ ，又∵DB＝DC ，∴△CDP ≌△BDQ(HL)．10．(1)不同类型的正确结论有：①BE＝CE ；②BD ︵＝CD ︵；③∠BED＝90°；④∠BOD ＝∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE 2＋BE 2＝OB 2；⑧S △ABC ＝BC·OE；⑨△BOD 是等腰三角形等； (2)α与β的关系式主要有如下两种形式：①α－β＝90°.证明如下：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠ABC＝90°①.又∵四边形ACDB 为⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠CDB＝180°②.②－①，得∠CDB－∠ABC＝90°，即α－β＝90°. ②α>2β.证明如下：∵OD＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD.又∵∠OBD＝∠ABC＋∠CBD，∴∠ODB>∠ABC.∵OD ⊥BC ，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD ，∴∠CDO ＝∠ODB＝12∠CDB ，∴12∠CDB>∠ABC ，即α>2β.11．B 12．60°13．(1)连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即AD⊥BC，∵AB ＝AC ，∴∠CAD ＝∠BAD，即∠EAD＝∠BAD，∴DE ＝BD ； (2)∵AD⊥BC，AB ＝AC ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝3，∴ADAB 2－BD 2＝4，∵S △ABC ＝12×BC ·AD ＝12AC ×BE ，∴12×6×4＝12×5×BE ，∴BE ＝245.14．(1)BE ＝CF ，BE ⊥CF ，理由：证△BCE≌△CDF(SAS)得BE ＝CF ，∠CBE ＝∠DCF，∵∠DCF ＋∠BCF＝90°，∴∠CBE ＋∠BCF＝90°，即BE⊥CF； (2)点P ，F ，A ，B 共圆．理由：∵BE⊥CF，∠A＝90°，∴点P，F，A，B共圆．(3)∠FPA＝∠FBA＝∠FCD＝∠EBC.(4)证明：∵∠FPA＝∠FBA＝∠FCD＝∠EBC，∴∠APB＝90°－∠FPA＝90°－∠EBC＝∠ABP，∴AP ＝AB.。
人教版九年级上册数学第24章 圆 圆内接四边形
A.3
2 2
B.
6 2
C.32
D.233
【点拨】如图，作OE⊥AD于点E，连接BD，OD． ∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD＝120°， ∴∠BAD＝60°. 又∵AD＝AB＝2，∴△ABD是等边三角形． 易得DE＝ AD＝1，∠ODE＝ ∠ADB＝30°，∴OE＝ OD. 在Rt△OED中，根据勾股定理可得OE2＋DE2＝OD2，得OD＝ .
___________________，⊙O叫做四边形ABCD的__________．圆内接四边形 的对角⊙_O__的__内__接_．四边形
外接圆
互补
2．(2020·吉林)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大
小为( )
A．54°
B．62°
C
C．72°
D．82°
3．(2020·福建)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为
【思路点拨】根据圆内接四边形的性质即可求得结果．
解：由(1)知∠ADC＝∠ABC. ∵∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°. ∴∠A＝180°－∠ABC－∠E＝180°－90°－42°＝48°.
(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．
【思路点拨】先连接EF，根据圆内接四边形的性质得∠ECD＝∠A，再根据三角形外 角性质得∠ECD＝∠CEF＋∠CFE，则∠A＝∠CEF＋∠CFE，最后根据三角形内角和 定理有∠A＋∠CEF＋∠CFE＋∠AEB＋∠AFD＝180°，即2∠A＋α＋β＝180°，进 而可得出结果．
【点拨】如图，连接AC. ∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2. ∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3， ∴∠3＝∠CDA.∴AC＝AD＝5. ∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°．
部编数学九年级上册专题24.5圆内接四边形【六大题型】(人教版)(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题24.5 圆内接四边形【六大题型】【人教版】【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】 (1)【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】 (5)【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】 (9)【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】 (13)【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】 (16)【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】 (20)【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】【例1】（2022•自贡）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，∠ABD ＝20°，则∠BCD 的度数是（ ）A ．90°B ．100°C ．110°D ．120°【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到∠AOD 的度数，再根据三角形内角和可以求得∠OAD 的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD 的度数．方法二：根据AB 是⊙O 的直径，可以得到∠ADB ＝90°，再根据∠ABD ＝20°和三角形内角和，可以得到∠A的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．【解答】解：方法一：连接OD，如图所示，∵∠ABD＝20°，∴∠AOD＝40°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，∴∠OAD＝∠ODA＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠OAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故选：C．方法二：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故选：C．【变式1-1】（2022•云州区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．当四边形OBCD是菱形时，则∠OBA+∠ODA的度数是（ ）A．65°B．60°C．55°D．50°【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠BAO，∠ODA＝∠DAO，求出∠OBA+∠ODA ＝∠BAD，根据菱形的性质得出∠BCD＝∠BOD，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠BAD，求出∠BCD＝2∠BAD，根号圆内接四边形的性质得出∠BAD+∠BCD＝180°，求出∠BAD，再求出答案即可．【解答】解：连接OA，∵OA＝OB，OA＝OD，∴∠OBA＝∠BAO，∠ODA＝∠DAO，∴∠OBA+∠ODA＝∠BAO+∠DAO＝∠BAD，∵四边形OBCD是菱形，∴∠BCD＝∠BOD，由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，∴∠BCD＝2∠BAD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴3∠BAD＝180°，∴∠BAD＝60°，∴∠OBA+∠ODA＝∠BAD＝60°，故选：B．【变式1-2】（2022•蜀山区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是 60° ．【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠BCD+∠BAD＝180°，根据∠BCD＝2∠BAD求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理求出∠BAE＝90°，求出∠DAE的度数，再根据圆周角定理得出∠DOE＝2∠DAE 即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DOE＝2∠DAE＝60°，故答案为：60°．【变式1-3】（2022秋•包河区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝ 64 °．【分析】利用圆内接四边形的性质，得出∠DAC+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，推出∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，再利用圆周角定理和三角形的内角和定理求出∠3+∠4的度数．【解答】解：如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，又∵△AOC为等腰三角形，∴∠5＝∠OCA，∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，∵∠1+∠2＝64°，∴∠3+∠4＝180°﹣64°﹣2∠5＝116°﹣2∠5，∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠B+∠D＝180°，∴∠D＝∠1+∠2＝64°，∴∠O＝2∠D＝128，在等腰三角形AOC中，2∠5＝180°﹣∠O＝180°﹣128°＝52°，∴∠3+∠4＝116°﹣52°＝64°，故答案为64．【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】【例2】（2022•碑林区校级四模）如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝BD的长为（ ）A．B．C D．【分析】如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．解直角三角形求出CE，ED，再利用勾股定理求出BD即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．∵∠A+∠BCD＝180°，∠A＝45°，∴∠BCD＝135°，∴∠DCE＝45°，∵∠E＝90°，CD＝∴CE＝ED＝2，BE＝CE+BC＝6，在Rt△BED中，∵∠E＝90°，BE＝6，DE＝2，∴BD=故选：D．【变式2-1】（2022•延边州二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过B点作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（ ）A B．C．D．不能确定【分析】首先根据圆内接四边形的性质求得∠A的度数，然后根据斜边长求得等腰直角三角形的直角边长即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝135°，∴∠A＝180°﹣145°＝45°，∵BH⊥AD，AB＝4，∴BH=故选：B．【变式2-2】（2022•宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（ ）A．1)B．1)C．(−1D．(−2，【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA=A（0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，∴∠ABO+∠ACO＝180°，∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙D的直径，∴D点为AB的中点，在Rt△ABO中，∠ABO＝60°，∴OB=12AB＝2，∴OA=∴A（0），B（0，2），∴D点坐标为（1）．故选：B．【变式2-3】（2022秋•汉川市期中）已知M是弧CAB的中点，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的长度为x，线段AP的长度是x+1，那么线段PB的长度是 2x+1 ．（用含有x的代数式表示）【分析】延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，由M是弧CAB的中点，可得∠BDM＝∠CDM，又因为MP垂直于弦AB于P，可得∠BPD＝∠EPD＝90°，然后由ASA定理可证△DPE≌△DPB，然后由全等三角形的对应角相等，对应边相等可得：∠B＝∠E，PB＝EP，然后由圆内接四边形的性质可得：∠ECA＝∠B，进而可得：∠E＝∠ECA，然后根据等角对等边可得AE＝AC，进而可得PB＝PE＝EA+AP＝AC+AP，然后将AC＝x，AP＝x+1，代入即可得到PB的长．【解答】解：延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，∵M是弧CAB的中点，∴∠BDM＝∠CDM，∵MP垂直于弦AB于P，∴∠BPD＝∠EPD＝90°，在△DPE和△DPB中，∵∠BPD=∠EPD PD=PD∠BDP=∠EDP，∴△DPE≌△DPB（ASA），∴∠B＝∠E，PB＝EP，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ECA＝∠B，∴∠E＝∠ECA，∴AE＝AC，∴PB＝PE＝EA+AP＝AC+AP，∵AC＝x，AP＝x+1，∴PB＝2x+1．故答案为：2x+1．【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】【例3】（2022•贺州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC：∠ADC＝2：1，AB＝2，点C为BD 的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E＝60°，则⊙O的面积是（ ）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，进而得出△ADE为等边三角形，证明AB＝BE，进而求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC：∠ADC＝2：1，∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∵∠E＝60°，∴△ADE为等边三角形，△BCE为等边三角形，∴AD＝AE，BC＝BE，BC∥AD，∵点C为BD的中点，∴∠DAC＝∠BAC，∴AC⊥DE，∴AD为⊙O的直径，∵BC∥AD，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠CAB＝∠ACB，∴AB＝BC，∴AB＝BE，∴⊙O的半径为2，∴⊙O的面积＝4π，故选：D．【变式3-1】（2022秋•青山区期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（ ）A．3B．6C．9D．12【分析】延长BO交⊙O于E，连接CE，可得∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，由∠AOD+∠BOC ＝180°，∠AOD＝∠COE，推出AD＝CE＝2，根据三角形的面积公式可求得△BEC的面积为6，由OB＝OE，可得△BOC的面积=12△BEC的面积．【解答】解：延长BO交⊙O于E，连接CE，则∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，即CE⊥BC，∵∠AOD+∠BOC＝180°，∴∠AOD＝∠COE，∴AD=CE，∴AD＝CE＝2，∵BC ＝6，∴△BEC 的面积为12BC •CE =12×6×2＝6，∵OB ＝OE ，∴△BOC 的面积=12△BEC 的面积=12×6＝3，故选：A ．【变式3-2】（2022•鹿城区模拟）如图，圆内接四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AB ＝AD ，点E 在CD 的延长线上，且DE ＝BC ，连接AE ，若AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为 8 ．【分析】如图，连接AC ，BD ．由△ABC ≌△ADE （SAS ），推出∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ＝4，S △ABC ＝S △ADE ，推出S 四边形ABCD ＝S △ACE ，由此即可解决问题；【解答】解：如图，连接AC ，BD ．∵∠BCD ＝90°，∴BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°，∵∠ADE +∠ADC ＝180°，∠ABC +∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADE ，∵AB ＝AD ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ＝4，S △ABC ＝S △ADE ，∴∠CAE ＝∠BAD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACE =12×4×4＝8．故答案为8．【变式3-3】（2022•碑林区校级一模）如图，已知AC ＝AC 为弦的⊙O 上有B 、D 两点，且∠BAC ＝∠DAC ，则四边形ABCD 的面积最大值为 4 ．【分析】如图，将△ACB 绕点C 顺时针旋转得到△TCD ．S 四边形ABCD ＝S △ACT ，因为AC ＝CT ＝以当AC ⊥CT 时，S △ACT 的面积最大．【解答】解：如图，将△ACB 绕点C 顺时针旋转得到△TCD ．∵∠B +∠ADC ＝180°，∠B ＝∠CDT ，∴∠ADC +∠CDT ＝180°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACT ，∵AC ＝CT ＝∴当AC ⊥CT 时，S △ACT 的面积最大，最大值=12××=4．故答案为：4．【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】【例4】（2022•银川模拟）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（ ）A ．∠1＝∠4B ．∠1+∠2+∠3+∠5＝180°C ．∠4＝∠7D ．∠ADC ＝∠2+∠5【分析】根据圆周角定理，三角形内角和定理进行判断即可．【解答】解：∵∠1，∠4所对的弧都是弧CD ，∴∠1＝∠4，∵∠2，∠7所对的弧都是弧BC ，∴∠2＝∠7，∵∠5，∠8所对的弧都是弧AB ．∴∠5＝∠8，∵∠1+∠2+∠3+∠8＝180°，∠ADC ＝∠8+∠7，∴∠1+∠2+∠3+∠5＝180°，∠ADC ＝∠2+∠5，故A ，B ，D 都正确，∵BC 和DC 不一定相等，∴BC 与DC 不一定相等，∴∠4与∠7不一定相等，故C 错误，故选：C ．【变式4-1】（2022秋•西湖区校级期中）若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（ ）A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1【分析】利用圆内接四边形的对角互补判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°＝∠B+∠D，故选：C．【变式4-2】（2022•南皮县模拟）如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（ ）A．AB＝AE B．AB＝BE C．AE＝BE D．AB＝AC【分析】只要证明∠ECB＝∠BAE，∠ECD＝∠ABE，再根据角平分线定义即可解决问题．【解答】解：连接EC．∵EC平分∠BCD，∴∠ECB＝∠ECD，∵∠ECB＝∠BAE，∠ECD＝∠ABE，∴∠BAE＝∠ABE，∴EA＝EB．故选：C．【变式4-3】（2022•碑林区校级模拟）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，CP 交AB于点E．（1）判断△ABC的形状，证明你的结论；（2）①若P是AB的中点，求证：PC＝PA+PB；②若点P在AB上移动，判断PC＝PA+PB是否成立，证明你的结论【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；（2）在PC上截取PH＝PA，得到△APH为等边三角形，证明△APB≌△AHC，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可．【解答】（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）①∵P是AB的中点，∴PB=PA，∴PA＝PB，∵CA＝CB，∴PC垂直平分线段AB，∴PC是直径，∴∠PAC＝∠PBC＝90°，∵∠PCA＝∠PCB＝30°，∴PC＝2PA＝2PB，∴PA+PB＝PC．②PC＝PA+PB成立；证明：在PC上截取PH＝PA，∵∠APC＝60°，∴△APH为等边三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，在△APB和△AHC中，∠APE=∠ACH∠APB=∠AHC=120°，AP=AH∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，∴PC＝PH+HC＝PA+PB．【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】【例5】（2022•思明区校级一模）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝90°，P为CD上一动点（不与点C，D重合）．（1）若∠BPC＝30°，BC＝3，求⊙O的半径；（2）若∠A＝90°，AD=AB，求证：PB﹣PD=．【分析】（1）连接AC，得到AC是⊙O的直径，解直角三角形即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质得到四边形ABCD为矩形．推出矩形ABCD为正方形，根据全等三角形的性质得到PC＝CE，得到△CPE为等腰直角三角形，即可得到结论．【解答】解：（1）连接AC，∵∠D＝90°，∴AC是⊙O的直径，∵∠BAC＝∠P＝30°，∴AC＝2BC＝6，所以圆O的半径为3；（2）∵∠A＝90°，∴∠C＝90°，∵AC为圆O直径，∴∠D＝∠B＝90°，∴四边形ABCD为矩形．∵AD=AB，∴AB＝AD，∴矩形ABCD为正方形，在BP上截取BE＝DP，∴△BCE≌△DPC，∴PC＝CE，∴△CPE为等腰直角三角形，∴PE=，∴PB＝PD．【变式5-1】（2022秋•陵城区期末）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【分析】延长BC到点T，根据圆内接四边形的性质得到∠FDC+∠FBC＝180°，得到∠ABF＝∠FBC，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BFD，进而得到∠ACD＝∠DCT，根据遥望角的定义证明结论．【解答】证明：如图2，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵AD=BD，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【变式5-2】（2022•龙岩模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质计算即可；（2）证明△ADC≌△EBC即可．【解答】（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠ADC＝86°，∴∠ABC＝94°，∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；（2）证明：∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠E，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠CBE+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠CBE，在△ADC和△EBC中，∠ADC=∠EBC∠DAC=∠E，AC=EC∴△ADC≌△EBC，∴AD＝BE．【变式5-3】（2022•天津）如图，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，过B作直线交⊙O于C，交⊙O′于D，G 为圆外一点，GC交⊙O于E，GD交⊙O′于F．求证：∠EAF+∠G＝180°．【分析】连接AB，根据圆内接四边形的性质可知∠GEA＝∠ABC，∠GFA＝∠ABD，再由∠ABC+∠ABD＝180°，可得出∠GEA+∠GFA＝180°，由四边形AEGF的内角和为360°即可得出结论．【解答】证明：连接AB∵四边形ABCE与四边形ABDE均为圆内接四边形，∴∠GEA＝∠ABC，∠GFA＝∠ABD，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠GEA+∠GFA＝180°．∵四边形AEGF的内角和为360°，∴∠EAF+∠G＝180°．【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】【例6】（2022春•涟水县校级期末）如图1，已知△ABC，AB＝AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：DE＝DC．（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC 的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得到∠DEC＝∠B，然后利用等角对等边得到结论．（2）利用旋转的性质及圆内接四边形的性质证得△EDF≌△CDG后即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠B+∠AED＝180°∵∠DEC+∠AED＝180°∴∠DEC＝∠B∵AB＝AC∴∠C＝∠B∴∠DEC＝∠C∴DE＝DC．（2）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠A+∠BDE＝180°∵∠EDC+∠BDE＝180°∴∠A＝∠EDC，∵OA＝OE∴∠A＝∠OEA，∵∠OEA＝∠CEF∴∠A＝∠CEF∴∠EDC＝∠CEF，∵∠EDC+∠DEC+∠DCE＝180°∴∠CEF+∠DEC+∠DCE＝180°即∠DEF+∠DCE＝180°，又∵∠DCG+∠DCE＝180°∴∠DEF＝∠DCG，∵∠EDC旋转得到∠FDG∴∠EDC＝∠FDG∴∠EDC﹣∠FDC＝∠FDG﹣∠FDC即∠EDF＝∠CDG，∵DE＝DC∴△EDF≌△CDG（ASA），∴DF＝DG．【变式6-1】（2022•赤峰）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝AC．（1）若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数；（2）若BD⊥AC交AC于点E，请判断∠BAC和∠DAC之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ACB＝∠ABC＝70°，再根据圆内接四边形的性质可求解；（2）由可得直角三角形的性质∠ABE＝90°﹣∠BAC，∠ACB＝90°﹣∠CBE，结合圆周角定理可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝110°；（2）∠BAC＝2∠DAC．证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠BAC+∠ABE＝90°，∠ACB+∠CBE＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAC，∠ACB＝90°﹣∠CBE，∵∠ABC＝∠ACB，∠ABE+∠CBE＝∠ABC，∴90°﹣∠BAC+∠CBE＝90°﹣∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE，∴∠BAC＝2∠DAC．【变式6-2】（2022秋•香洲区校级期中）画∠A，在∠A的两边分别取点B，点C，在∠A的内部取一点P，连接PB，PC．探索BPC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】先过点A、B、C作⊙O，分类讨论：当点P在⊙O上，根据圆内接四边形的性质得∠BPC+∠A ＝∠B+∠C＝180°；当点P在⊙O内，即P点落在P1的位置，根据三角形外角性质易得∠BPC＝∠A+∠B+∠C；当点P在⊙O内，即P点落在P2的位置，则根据四边形的内角和得到∠BPC+∠A+∠B+∠C＝360°．【解答】解：过点A、B、C作⊙O，如图，当点P在⊙O上，则∠BPC+∠A＝∠B+∠C＝180°；当点P在⊙O内，即P点落在P1的位置，则∠BPC＝∠A+∠B+∠C；当点P在⊙O内，即P点落在P2的位置，则∠BPC+∠A+∠B+∠C＝360°．【变式6-3】（2022•阜宁县二模）我们学过圆内接四边形，学会了它的性质；圆内接四边形对角互补．下面我们进一步研究．（1）在图（1）中．∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角．请你探究∠DCE与∠A的关系．并说明理由．（2）请你应用上述结论解答下题：如图（2）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD，AD延长线上的点．如果DE平分∠FDC．求证：AB＝AC．【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补和邻补角的定义证明结论；（2）根据圆内接四边形的性质和圆周角定理证明∠ABC＝∠ACB，根据等角对等边得到答案．【解答】解：（1）∠DCE＝∠A，∵∠A+∠DCB＝180°，∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DCE＝∠A；（2）∵已知ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC＝∠2，∠ADB＝∠ACB，∠ADB＝∠1，∠ACB＝∠1，∵DE平分∠FDC，∴∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．。
圆的内接四边形教案及课后练习
圆的内接四边形教案及课后练习-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANS3.6 圆内接四边形一、认识圆的内接四边形1.知识要点（1）我们以前学习过圆的内接三角形圆的内接三角形：如果一个三角形的各个顶点在同一个圆上，那么这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆。
（2）今天我们学习圆的内接四边形圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
如右图中，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；⊙O是四边形ABCD的外接圆。
二、圆内接四边形的性质定理1.知识要点定理一：圆内接四边形的对角互补．定理二：圆内接四边形的外角等于它的内对角（内角的对角）．2.典型例题S3.6.1如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=110°，求∠BCD的度数..S3.6.2如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若＝，＝，求的值三、圆内接四边形的判定定理1.知识要点2（1）定理：如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）．（2）推论：如果四边形的一个外角等于它内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．2.典型例题S3.6.3如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC.求证：ABPQ四点共圆.S3．6 圆内接四边形练习1.下列四边形中一定有外接圆的是（）A．对角线相等的四边形 B．菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形2.过四边形ABCD的顶点D，B，C作一个圆，若∠A+∠C＞180°，则点A在( )A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．不能确定3.四边形ABCD内接于圆，∠A:∠B:∠C:∠D= 5:m:4:n，则m，n满足的条件是（）A． 5m=4n B． 4m=5n C． m+n=9 D． m+n=180°4.如下图，圆心角∠AOB=120°，P 是上任一点（不与A，B重合），点C在AP的延长线上，则∠BPC等于（）A． 45° B． 60°C． 75° D． 85°5.圆上四点，A、B、C、D 分圆周为四段弧，:::=1:2:3:4,则圆内接四边形的最大内角为______．36.如下图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=BC，∠ADC=138°，E是梯形外一点，若点E在梯形ABCD的外接圆上，则∠AEB=________．7.AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点（不含A、B），点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，则y与x的函数关系是________．8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，则S正方形:S正方形ABCD等于________．PQRS9.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC交于E，EG平分∠E，且与BC、AD分别交于F、G．求证：∠CFG=∠DGF．Array10. 如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．4。
九年级数学人教版(上册)第2课时 圆内接四边形
3．(2021·常德)如图，已知四边形 A40° ．
4．如图，四边形 ABCD 是菱形，⊙O 经过点 A，C，D，与 BC 相交于点 E，连接 AC，AE.若∠D＝80°，则∠EAC 的度数为 30° ．
5．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°， ∠BAD＝65°.求证：
(1)AD＝CD. 证明：∵∠ABC＝50°， ∴∠ADC＝180°－50°＝130°. 又∵∠ACD＝25°， ∴∠DAC＝180°－130°－25°＝25°＝∠ACD. ∴AD＝CD.
(2)AB 是⊙O 的直径． 证明：连接 BD，∵∠BAD＝65°， ∴∠BCD＝180°－65°＝115°. ∴∠BCA＝∠BCD－∠ACD＝115°－25°＝90°. ∴AB 是⊙O 的直径．
8．(2021·宁夏)如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ADC ＝150°，弦 AC＝2，则⊙O 的半径等于 2 ．
9．(2021·贵港)如图，点 A，B，C，D 均在⊙O 上，直径 AB＝4， 点 C 是B︵D的中点，点 D 关于 AB 对称的 点为 E.若∠DCE＝100°，则弦 CE 的长 是2 3 ．
6．(2021·赤峰)如图，点 C，D 在以 AB 为直径的半圆上，且
∠ADC＝120°，点 E 是A︵D上任意一点，连接 BE，CE，则∠BEC
的度数为( B )
A．20°
B．30°
C．40°
D．60°
7．(2021·盘锦)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴负 半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，⊙D 经过 A，B，O，C 四点，∠ACO ＝120°，AB＝4，则圆心 D 的坐标是 (－ 3，1) ．
第二十四章 圆
人教版九年级数学上册 第24章 圆 24.1 圆的有关性质 第6课时 圆内接四边形【习题课件】
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质 第6课时 圆内接四边形
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1B
2A
3C
4 70° 5C 6B
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7C 8B
9 105°
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10 C
11 C
12 C
13 D
答案显示
16 证明略； π
14 (－3 3，0) 17 证明略
15 证明略
夯实基础·逐点练
1．下列说法正确的是( B ) A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形 B．过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆 C．任意一个四边形都有外接圆 D．一个圆只有唯一一个内接四边形
夯实基础·逐点练
2．下列多边形中一定有外接圆的是( A ) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
夯实基础·逐点练
8．【2017·牡丹江】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB 经过圆心，∠B＝3∠BAC，则∠ADC等于( B ) A．100° B．112.5° C．120° D．135°
夯实基础·逐点练
9．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC的延长线 上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE＝___1_0_5_°__．
EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF，若∠EDC＝
135°，CF＝2 2，则AE2＋BE2的值为( C )
A．8
B．12
C．16
D．20
夯实基础·逐点练
12．【2017·潍坊】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边 形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E， 连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为( C ) A．50° B．60° C．80° D．85°
2022九年级数学上册 第24章 圆 24.1圆的有关性 4圆周角第2课时 圆内接四边形习题课件 (
11.如图，五边形ABCDE内接于⊙O，假设∠CAD＝35°，那么∠B＋∠E 的度数B 是( )
A.210°
B.215° C.235° D.250°
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角
第2课时 圆内接四边形
知识点 圆内接四边形的性质
1.(2021․兰州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，假设∠A＝40°，那么∠C等
于 D
( )
A.110°
B.120° C.135° D.140°
2.如图，点A，B，C，D在⊙O上，假设∠B＝100°， C
拔尖角度二 利用圆内接四边形的性质探究规律 15.如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E，F. (1)假设∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC； (2)假设∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数； (3)假设∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含α，β的式子表示∠，∠E＝∠F，又∵∠ADC＝∠E＋∠DCE，∠ABC
12.(2021․盐城)如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且 那么∠E＋∠C＝_1_5_5_____°.
的度数为50°，
考查角度 利用圆内接四边形的性质求角度
13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC， OC⊥BD. (1)求证：AB＝CD； (2)假设∠A＝66°，求∠ADB的度数.
(1) 证明：∵DB 平分∠ADC，∴A⌒B＝⌒BC.∵⌒OC⊥⌒BD，∴B⌒C＝⌒CD， ∴AB＝CD，∴AB＝CD.
(2)解：∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠BCD＝180°－∠A＝114°. ∵︵BC＝C︵D，∴BC＝CD，∴∠BDC＝12×(180°－114°)＝33°.∵DB 平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠BDC＝33°.