线性代数的几何意义
线性代数的几何意义
线性代数的几何意义注解线性代数是优雅和有趣的一门学科，应用也很多，只是目前多数线性代数教材似乎都偏重"代数"而较少涉及"线性"一词包含的几何意义，所以可能给人印象较抽象，不容易让同学产生兴趣，有幸在以前偶然一次看到一位工程师自编的一本小册子叫《线性代数的几何意义》，加上后来阅读matlab 作者的书籍，才发现原来线性代数的几何含义真的印证了“数学之美”，的确很美，所以想借鉴这些零散的阅读，加上自己后来的理解，把它的部分几何意义注解一下，希望以前对线代没有很多兴趣的同学能喜欢上它，同时我也会保持更新，不断完善，一起体会数学无与伦比的美丽矩阵的几何意义1、一个矩阵是由若干向量组成的，矩阵可以看作是这些向量的集合或由这些向量为基张成的空间（在力学分析，向量空间应用时常取此几何含义，后文把此类几何含义称作矩阵的向量空间）如矩阵5673⎛⎫⎪⎝⎭按照行向量可表示为如下形式2、一个矩阵是由若干向量组成的，矩阵可以看作是这些向量终点组成的图形（在计算机图形学中常取此几何表示，后文把此类几何含义称作矩阵的图形），如矩阵579 635⎛⎫ ⎪⎝⎭按照列向量可表示为如下图形如下图是在matlab 中将z=sin(x)*cos(y)算得的离散点组成的矩阵表示成几何图形注1：如果单独查看一个矩阵m n A ⨯，可以有两种解读：矩阵A 由m 个n 维向量组成，或者由n 个m 维向量组成；在使用时会根据实际情或约定选择其中一种，而在参与变换或其他运算时，这两种解读一般不能混淆，一定要确定注2：当我们把矩阵表示成图形时，其作图没有固定标准，并不一定是把所有向量终点连接起来构成一个多边形，规则是使用者制定的，可以是网格，可以是离散面片等行列式的几何意义一个方阵n n A ⨯的行列式的绝对值是其行向量或列向量所张成的平行几何体的空间积，对于二阶行列式，就是向量张成的平行四边形的面积，对于三阶行列式，就是对应平行六面体的体积；如方阵5673⎛⎫ ⎪⎝⎭的行列式绝对值为27，它就是下图平行四边形的面积注：行列式其实是带有符号的，实际上，正负号表征了这些向量作为线性空间基的手性，正号表示右手系，负号表示左手系，在二阶矩阵的向量空间里，其判别方法是，伸出右手和矩阵的第一个列向量或行向量平行，然后调整手的正反使得能从此向量转过小于180度的角到达第二个向量，这时大拇指如果朝上（从纸面指向自己）则为右手系，矩阵的行列式为正，反之则为左手系，对应行列式为负；如果是三阶矩阵，则从第一个向量转向第二个向量时，如果大拇指指向第三个向量方向（不必重合），则为右手系，其行列式为正，反之为左手系，行列式为负；其实这一点上更广义的表述应是向量空间的基相对自然坐标系的顺序性（代数上可用逆序数表达）克拉默法则的几何意义以二维形式为例来说明其几何意义:方程A x =b ，设A=11122122a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，b =12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，待求的x =12x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 将A 的两个列向量分别表示为a1,a2，那么原方程可表示为1x a1+2x a2=b ，这样可以把1x 与2x 看作是列向量a1,a2的伸缩因子，经过伸缩后再叠加即得到和向量b ，故原方程可以看作已知列向量被伸缩并叠加后的向量b ，求伸缩因子i x我们已经知道行列式的几何意义，显然矩阵A 对应的平行四边形的面积就是|A|（这里以带符号的有方向面积表示，因为伸缩因子也是有符号的），当某一个向量被伸缩后，如图将OB 边伸长至OE ，形成新的平行四边形OAFE ，记其面积为OAFE S ，这样a1的伸缩因子1x 可表示为||OAFE S A ，显然只要求出OAFE S 即可解出未知量；图中OG 即向量b ，因为它是1x a1，2x a2的线性叠加，所以G 点必在EF 的延长线上，这样OG 和OE 相对OA 边的高就是相同的，故OA 与OG 组成的平行四边形面积和OAFE 相同，即OAFE S =|b a2|，所以可求得1x =|b a2|/|A|，同理可得2x =|a1 b |/|A|，可以看出此表达式和克拉默法则等价矩阵乘法的几何意义我们知道矩阵是由若干向量组成的，因此可自然地把矩阵乘法看作是两个矩阵的同维向量之间做内积（或点乘），而内积的意义是两向量同向投影的乘积，但这只是一个表面的几何含义，比较抽象（也有应用之处，后面会提到）；实际上，对于矩阵乘法C=AB ，作用后得到的新矩阵C 可以看作是矩阵A 经过某种变换得到的，也可以看作是矩阵B 经过某种变换后得到的，而这种变换显然就是乘以另一个矩阵的过程，结合前面提到的矩阵的几何意义，故可以把矩阵乘法C=AB 看作是图形A （或B ）经过变换B （或A ）后得到新图形C ，或者是向量空间A （或B ）经过变换B （或A ）后得到新的向量空间C ，对于简单的变换矩阵这一点最容易感性体会到；例如变换矩阵100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭会把原3D 图形向x-y 面投影，变换矩阵100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭会把原图形对x 轴镜像，变换矩阵cos30sin 30sin 30cos30-⎛⎫ ⎪⎝⎭会把原2D 图形相对原点逆时针旋转30度。
施密特正交化的几何意义
施密特正交化的几何意义
施密特正交化是线性代数中一个重要的概念，它有着深刻的几何意义。
在几何学中，我们经常需要对向量进行正交化处理，以便于求解问题或者进行几何分析。
施密特正交化提供了一种有效的方法来实现向量的正交化，并且其几何意义也非常重要。
本文将从几何的角度探讨施密特正交化的意义，以及它在几何分析中的应用。
我们需要了解什么是施密特正交化。
施密特正交化是将一组线性无关的向量正交化的一种方法。
在施密特正交化过程中，原始的向量组被转化为一组正交的向量组，这样做的一个重要目的就是使得这组向量更容易用来描述空间中的几何关系。
施密特正交化的结果是一组相互垂直的向量，这样一来，我们就可以更清晰地描述空间的几何形状和结构。
施密特正交化有着很深的几何意义，首先是它可以帮助我们更加清晰地理解空间中的向量和几何关系。
在施密特正交化后得到的向量组，它们之间都是相互垂直的。
这意味着这些向量在空间中的方向是相对独立的，它们不会在同一方向上产生冗余的信息，使得我们更加清晰地理解这组向量所描述的几何形状。
而对于具体的几何问题，施密特正交化后得到的向量组可以更加方便地用来描述空间中的几何关系。
施密特正交化后得到的向量组可以用来求解平面的面积、空间的体积，以及空间中的角度和距离等几何量。
施密特正交化还有助于我们更加深入地理解内积空间和正交补空间的意义。
在线性代数中，内积空间和正交补空间是两个非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解向量空间和几何空间的结构。
通过施密特正交化，我们可以更加清晰地理解内积空间和正交补空间的几何意义，从而更好地应用这两个概念解决几何问题和进行几何分析。
代数意义和几何意义
代数意义和几何意义代数和几何是数学中两个重要的分支，它们分别研究数字和空间的性质。
代数以符号和运算为基础，通过代数式和方程来研究数的性质。
而几何则关注于形状、大小和位置等与空间有关的属性。
本文将从代数意义和几何意义两方面探讨它们的关系和应用。
一、代数意义代数是数学中最基础和普遍的分支之一，它研究数的性质和运算规律。
代数的基本概念包括代数式、方程和函数等。
代数式是由数字和运算符号组成的表达式，例如2x+3y=7。
方程则是一个等式，其中包含一个或多个未知数，例如x^2+y^2=1。
函数则是一种特殊的关系，它将一个变量的值映射到另一个变量的值，例如f(x)=2x+1。
代数在数学中的应用非常广泛。
它可以用于解决实际问题，例如线性方程组可以用来解决物理问题中的平衡和力的分析。
代数还可以用于建立数学模型，例如用函数来描述物理系统的运动规律。
代数还是其他数学分支的基础，例如微积分和线性代数等。
二、几何意义几何是研究空间形状、大小和位置等属性的数学分支。
它通过点、线、面和体等基本元素来描述和分析空间。
几何的基本概念包括点、直线、平面、角、三角形和多边形等。
几何还研究空间中的关系和性质，例如平行、垂直、相似和共面等。
几何在数学中的应用也非常广泛。
它可以用于解决实际问题，例如测量和建模。
几何还可以用于推理和证明，例如证明两个三角形相似或证明平行线的性质。
几何还是其他数学分支的基础，例如解析几何和拓扑学等。
三、代数和几何的关系代数和几何在数学中是相互关联和相互支持的。
代数可以用来解决几何问题，例如通过代数式和方程来描述和求解几何图形的性质。
几何也可以用来解决代数问题，例如通过几何图形的性质来推导和证明代数式和方程的性质。
代数和几何的关系还体现在它们的共同应用中。
例如在计算机图形学中，代数和几何都是重要的技术基础。
代数可以用来描述和计算图形的位置和形状，而几何可以用来显示和渲染图形的效果。
另一个例子是在物理学中，代数和几何都是描述和分析物理系统的重要工具。
线性代数的几何意义
线性代数的几何意义
高级线性代数是数学中关于几何意义的重要领域，可以用来探索各种图形分析
问题。
它揭示了不同图形之间的关系，以及人们建立抽象系统的方式。
其中，最有用的是向量，它在研究实体行为时特别重要。
向量可以用来描述空间中的力学形状，这对于每一种物理实体的行为都很重要。
这些形体可以用方向构成的向量来推导，同时也可以用于计算几何图形的面积，以及计算向量的投影等。
此外，空间的折射和反射也可以用向量解释，可以帮助我们更好地理解复杂的物理系统。
而线性代数则更多地涉及不同类型的向量，以及如何在多维空间中推导它们。
它们可以用来处理不同维度和方向的向量，进而可以快速求出向量空间中不同点之间的距离。
这些知识也可以为我们提供重要的编程支持，对各种几何变换的计算有很大的帮助。
总之，高级线性代数的几何意义对于推导复杂的几何图形具有重要意义。
它不
仅可以帮助我们了解物质的行为习性，还可以支持大量的编程运算。
同样，线性代数的概念也可以使我们更好地整理抽象空间，从而推动重要科学问题的解决。
《线性代数的几何意义》之三(行列式的几何意义)
----图解线性代数----任广千胡翠芳编著2010.06.01《线性代数的几何意义》几何意义名言录没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方式来表达事物是非常有意义的。
-------笛卡尔算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式；没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。
--------希尔伯特“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。
”--------拉格朗日不会几何学就不会正确的思考，而不会正确思考的人不过是行尸走肉。
--------柏拉图无论是从事数学教学或研究, 我是喜欢直观的。
学习一条数学定理及其证明, 只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了, 我才认为真正懂了。
--------中国当代数学家徐利治第三章 行列式的几何意义在中国古代，用筹算表示联立一次方程未知量的系数时，就有了行列式的萌芽-----排列的方式。
日本吸收了这种思想，在1683年，日本学者关孝和（Seki Takakusu）对行列式的概念和它的展开已有了清楚的叙述。
到18世纪，瑞士数学家克莱姆（G.Gramer）和法国数学家拉普拉斯（place）建立了行列式理论。
行列式的几何意义具有深刻的含义。
它是指行列式的行向量或列向量所构成的平行多面体的有向体积。
这个有向体积是由许多块更小的有向面积或有向体积的累加。
在我们逐步地讨论这个几何意义之前，先来回顾一下行列式的定义。
3.1. 行列式的定义行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。
当然，如果行列式中含有未知数，那么行列式就是一个多项式。
它本质上代表一个数值，这点请与矩阵区别开来。
矩阵只是一个数表，行列式还要对这个数表按照规则进一步计算,最终得到一个实数、复数或者多项式。
行列式分阶，比如二阶行列式、三阶行列式直至n 阶行列式。
线性代数(简明版)
线性代数（简明版）线性代数简明版线性代数是数学中的一个分支，研究的是线性方程组、矩阵及其运算以及向量空间等结构和性质。
它是数学的一门基础学科，被广泛应用于科学和工程领域。
向量和向量空间线性代数的基本对象是向量，向量可以看作是一组有序数值的集合。
向量的加法可以用几何意义来理解，即将两个向量首尾相接形成一个新的向量。
例如下图中的 a 和 b 向量相加，得到的就是 c 向量。
向量的数乘是指将向量的每个分量乘以一个标量。
这个标量可以是任意实数或复数。
例如，3a 就是把向量 a 的长度扩大了 3 倍。
向量空间是指有限个向量构成的集合，这些向量必须满足以下几个性质：1. 集合中的任意两个元素都可以进行加法。
2. 加法满足交换律、结合律和存在一个零向量的性质。
3. 集合中的任意一个向量都可以进行数乘。
4. 数乘满足分配律和结合律。
线性方程组和矩阵线性方程组是一组线性方程的集合，其中所有未知量的指数都为 1。
例如，下面的一组方程就是线性方程组。
x + 2y = 33x - 4y = 5线性方程组可以用矩阵表示，如下所示。
其中，左边的矩阵 A 就是系数矩阵，右边的矩阵 b 就是常数矩阵。
线性方程组的解就是向量 x，满足 Ax=b。
矩阵是一个有限的二维数组，它可以表示一组数值或者矢量。
例如，下面的矩阵就是一个 2 行 3 列的矩阵。
矩阵的加法和数乘也可以与向量类似地定义。
两个矩阵相加就是将对应元素相加形成一个新的矩阵；矩阵与一个标量相乘，就是将矩阵的每个元素分别乘以该标量。
矩阵乘法矩阵乘法是线性代数中的一个重要概念，通常表示为 A × B。
其中，A 必须是一个 m 行 n 列的矩阵，B 必须是一个 n 行 p列的矩阵。
线性代数课件：第六章实二次型
目录 Contents
• 实二次型的定义与性质 • 实二次型的标准型 • 实二次型的正定性 • 实二次型与矩阵的关系 • 实二次型的几何意义
01
实二次型的定义与性质
定义
实二次型
对于一个实数域上的线性空间V，如果存在一个由V上的线性函数f组成的双线 性函数Q，使得对于V中的任意元素x和y，有Q(x,y)=f(x)*f(y)，则称Q为V上的 一个实二次型。
实二次型的正定性的应用
判断矩阵的正定性
通过判断矩阵对应的二次型是否正定，可以确定矩阵的正定性。
判断向量组的线性无关性
如果一个向量组在正定二次型下线性无关，则该向量组一定是线性 无关的。
优化问题
在优化问题中，正定二次型常常被用作目标函数的约束条件，以保 证优化问题的解是唯一的。
04
实二次型与矩阵的关系
实二次型的性质
实二次型的矩阵表示
实二次型可以表示为一个矩阵和向量 的乘积，其中矩阵是二次型中各项系 数的矩阵，向量是变量构成的向量。
实二次型具有对称性，即对于任意两 个变量x和y，x和y的系数相等。
实二次型的标准型转换
线性变换
通过线性变换可以将实二次型转 换为标准型。线性变换是通过一 个可逆矩阵左乘原二次型矩阵得
二次型的矩阵表示
对于任意向量x=[x1,x2,...,xn]^T，如果将f(x)表示为矩阵A与向量x的乘积形式 f(x)=Ax，那么二次型Q(x,y)可以表示为Q(x,y)=x^TAy。
性质
实对称性
实二次型总是实对称的，即对于 任意向量x和y，有Q(x,y)=Q(y,x)
。
正定性
如果对于所有的非零向量x，都有 Q(x,x)>0，则称实二次型为正定的 。
《线性代数的几何意义》之二(向量的几何意义)
第二章 向量的基本几何意义向量的概念始终贯穿当代科学的主要内容中，也始终贯穿线性代数的主要内容中，所以我们不妨回顾回顾这个概念的几何意义，以期更清晰地理解线性代数的几何本质。
2.1 向量概念的几何意义自由向量的概念向量（Vector）和标量的概念是发明四元数的爱尔兰数学家W。
R。
哈密尔顿给出的。
向量是一个既有大小又有方向的量，这个量本身就是个几何的概念。
我们常常把它与标量（只有大小的量）相区别。
抓住向量的大小和方向这两个特征，一般用一个有向线段来表示一个向量(显然，向量本身就是一个几何图形)，记为AB u u u r或者α。
如下图：在物理学中，也把向量叫矢量，矢就是箭，向量如一根箭一样有头部和尾部，箭在空间自由的飞行中箭杆的长度不会变，这一点与向量相同；但箭在重力的作用下会改变方向，但一个确定的向量不允许改变方向，一个向量改变了方向就变成了另外一个向量了。
所以向量的“飞行”称为平移，这种在一条直线上平移的向量称为自由向量（物理学中常称为滑动向量）。
沿着直线飞行的箭簇在每一时刻所表示的无数向量归属于同一个向量，这些无数的向量实际上是平行的向量。
另外还有不在一条直线上的平行而相等的向量，如下的例子：考察一个刚体的平行移动。
当刚体从一个位置平行移动到另一个位置时（比如说这个刚体是麦吉小姐过河坐的小船，小船从河流的一边驶向对岸），刚体上各质点在同一时间段内有相同的位移，各点所画出的位移向量a 有相同的大小和方向，他们每一个都反映了刚体位移的情况，因此刚体的平移运动可以用这些向量中的任一个来表示。
基于这样的原因，凡是两个向量大小相等、方向相同的，我们就说这两个向量是相等的。
因此，一个向量在保持长度和方向不变的条件下可以自由平移。
如有必要，也可以将几个向量平移到同一个出发点或者坐标原点。
从上面的例子，我们感悟到自由向量为何可以是自由的。
实际上，就是因为向量没有确定的位置，它们不依赖于任何坐标系而存在。
因此从逻辑上看，无数的向量可能有相同的表述，所有的这些向量都互相平行，相等，并具有相同的量值和方向。
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向量组中地秩指地是向量组（很多向量构成地集合）在空间中所占地维度，注意，用三维表示地向量组不一定秩是，也可能是（表示共面），（表示共线）资料个人收集整理，勿做商业用途
先讲明白向量空间地定义及几何意义，这虽然是最后一节学地，但却是
学习方法地思想来源.最基础地往往是最重要地.
向量空间：设为维向量地全体所构成地集合叫做维向量空间
设为向量空间，如果个向量，……∈，且满足：
（），……都线性无关
（）中任意向量都可由，……线性表示
那么，……就称为向量空间地一个基，称为向量空间地维数，若把看成向量组，那么地基就是就是向量组地最大无关组，地维数就是向量组地秩.联系高中学过地三维直角坐标系地知识，容易联想到若三个单位向量（），（），（）指地是定义中地向量，它们线性无关，即不能用λμ表示，而在高中知识中λμ表示三个向量共面（两个向量如λ表示，两向量共线）故线性无关在三维中指不公线.资料个人收集整理，勿做商业用途
《线性代数地几何意义——向量组地线性相关性》
学年，帮助学生更深层次地理解线性代数.很多学生都抱怨线性代数枯燥、抽象、难理解，引入几何方法能调动学生积极性.资料个人收集整理，勿做商业用途
.使学生了解线性代数用几何方法理解地思想，并学会将这种能力迁移来进行其他定理地学习
不同向量线性关系地几何意义
两个向量，线性相关指两向量平行（或者说共线），此时只是在线上地关系，仅仅是一维，线性无关指两向量相交，≠λ即能确定一个二维平面.线性无关提供了另一种维度，使得向量所在地空间增加了一维.资料个人收集整理，勿做商业用途
三个向量，线性相关指三向量共面，即能写成λμ形式地，线性无关指三向量不共面，同上，线性相关研究地是三个向量共面而确定二维平面，而线性无关又从中插一杠子，线性无关又提供了另一种维度，使得向量所在地空间增加了一维.于是三个向量若线性无关，那么它们不共面，即存在于三维立体空间中.资料个人收集整理，勿做商业用途
定理地理解，定理：向量能由向量组,……线性表示地充分必要条件是矩阵（,……）地秩等于矩阵（,……，）地秩.定理表示一个向量若是想要用其他一些向量表示地话，就必须和其他向量一样都存在一个维度中.如（）可以用（），（），（）表示，它们都在三维空间中.资料个人收集整理，勿做商业用途
定理地理解，选一位同学进行问答，并进行补充和修正.定理：向量组：，，……能由向量组：,……线性表示地充要条件是矩阵（, ……）地秩等于矩阵（，）（, ……，，，…… )地秩，即（）（，），类似定理地理解方法，一个向量地集合若是想用另一个向量地集合线性表示，那么它们必定共存于一个空间维度中.资料个人收集整理，勿做商业用途
定义地理解，定理：向量组,……线性相关地充要条件是它所构成地矩阵（, ……）地秩小于向量个数;向量组线性无关地充要条件是（）.举个例子，若线性相关，那么两个向量共线，维数也就是秩是，但向量个数是，这样就好理解.线性无关时，两个向量不公线，构成二维空间，秩（维数）向量个数.资料个人收集整理，勿做商业用途
定理地理解，定理：设*矩阵地秩（），则元齐次线性方程组地解集地秩.举个例子，若，，那么矩阵中地向量维数是，这些向量共面，那么向量组与向量正交，也就是垂直，那么地维数必定是，因为与平面垂直地向量全都是平行（共线）地，只能是维.资料个人收集整理，勿做商业用途
练习巩固
利用线性代数地几何意义更能容易地理解题目并将之解决，从而用作理解更多定理定义地工具.
定理地理解，定理：向量组：，，……能由向量组：,……线性表示，则（，，……）≤（,……），这段话说明一个向量组若想用另一个向量组线性表示，必须表示维数必须小于或等于另一个向量组地维数.举个例子，二维向量（），（）都可以被三维向量（,），（）向量表示，或是被本身地二维向量表示，但三维向量如（）等往往不能用二维向量表示，就是这个道理.与）不同地是，）是充要条件，而）是必要条件.资料个人收集整理，勿做商业用途
教学重点
向量组地秩用几何方法理解地确切含义——维数，以及线性相关，线性无关地几何意义，这是一切用几何方法理解向量组知识地基础.资料个人收集整理，勿做商业用途
教学难点
如何短时间内让学生真正理解方法地精髓，并学会举一反三去理解其他定义，定理.维数地共存问题是难点之一.
教学用具
教案，多媒体课件（）
教学过程
练习：已知（），（），证明：
（）能由线性表示；
（）不能由线性表示.